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2025年中考数学解决问题专项训练：平面直角坐标系
1．如图，已知．
(1)将以原点为旋转中心旋转，画出旋转后对应的；
(2)连接，则四边形的面积为______．
2．如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中建立平面直角坐标系，格点（网格线交点）、、的坐标分别为、、．
(1)作关于y轴对称的．
(2)请仅用无刻度直尺作图，保留作图痕迹，不写作法．
①在所给的网格图中，确定一个格点，使得交于点；在图中标出点和点，并写出点坐标________；
②线段的长为________．
3．在平面直角坐标系中，反比例函数的图象为G，直线经过点，与图象G交于B，C两点．
(1)求b的值，并在图中画出直线l；
(2)当点B与点A重合时，点在第一象限内且在直线l上，过点P作轴于点Q．
①求点C的坐标；
②连接OP，若，直接写出m的取值范围．
4．如图，在平面直角坐标系中，为原点，是等腰直角三角形，，点，点在第一象限，长方形的顶点，，点在第二象限．
(1)点的坐标为______；长方形的面积为______；
(2)将长方形沿轴向右平移，得到长方形，点，，，的对应点分别为，，，.长方形与重叠部分的面积为．
小王同学猜想：当点恰好落在边上时如图2）S最大；
小张同学猜想：当长方形恰好平移到等腰直角的中央位置如图3），即的中点与的中点恰好重合时S最大．
请你探究一下这两种位置中，哪一种位置的S比较大，并说明理由（提示：设与长方形的边、分别交于、两点，可令图中的）
5．如图，在平面直角坐标系中，平行四边形的顶点，在轴上，在轴上，，的长是方程的两个根．请解答下列问题：
(1)求点的坐标；
(2)若直线分别交轴、轴、于点，，，且是的中点，直线交延长线于点，，求的值；
(3)在（2）的条件下，在直线上是否存在点（不与点重合），使与相似？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
6．在平面直角坐标系中，点，点，当时，我们称点P与点Q互为“等和点”．
例如：点与点互为“等和点”．
(1)点与点互为“等和点”，求b的值；
(2)点与点都在直线上，且点C与点D互为“等和点”，求k的值；
(3)直线在第一象限的部分记为图象，抛物线在的部分记为图象，点E在图象上，点F在图象上．
①若，点E与点F互为“等和点”且点E的横坐标比点F的横坐标大1，求点F的坐标；
②若在图象上总存在点F，使得E、F两点互为“等和点”，求m的取值范围．
7．如图，在平面直角坐标系中，，，轴，且与轴交于点，点与点关于轴对称，连接．
(1)若令，证明：；
(2)如图1，点为线段上的点，为射线上点，且，，请求出点坐标；
(3)如图2，点在线段上，其横坐标为，作轴，与交于点，在延长线上有动点，射线上有点，且﹐若，求的值（用含的代数式表示）．
8．综合运用
如图1，在平面直角坐标系中，矩形的顶点C在原点O处，已知点，，连接 ，E是上一动点(不与点C，D 重合)，过点E作交于点 F，过点 E作交于G，连接．
(1)若，求证：；
(2)设，用含a的式子表示的面积，并求出面积的最大值；
(3)如图2，设与交于点 M，连接，求线段的取值范围．
9．我们定义：若点M绕点A逆时针方向旋转，得到的对应点设为N，则称点N为点M的“点”．
（1）概念理解：
在平面直角坐标系中，已知点，设点P的“点”为Q．若点，则点P的坐标为_____
（2）问题探究：
如图1，已知点，点D在直线上，若点D的“点”在坐标轴上，求点D的坐标．
（3）应用拓展：
如图2，已知线段EF的端点为和，边长为6的正方形以点O为中心，各边分别与坐标轴平行．点M在线段上，点N在正方形上，若存在点，使得点M的“点”为点N，请直接写出t的取值范围．
10．在平面直角坐标系中，将任意两点横坐标之差的绝对值与纵坐标之差的绝对值中较大的值定义为这两点的“切比雪夫距离”．若点两点间的“切比雪夫距离”记作，则，
(1)已知点，求的值；
(2)以下三个图形中，满足到原点的切比雪夫距离不大于1的所有点构成的区域是 ；（填写序号）
(3)设点为直线外一定点，点为直线上任意一点，定义的最小值为点到直线的“切比雪夫距离”，记作．求原点到直线的切比雪夫距离的值．
11．在平面直角坐标系中，对于不同的两点M，N，若点M到x轴、y轴的距离的较大值等于点N到x轴、y轴的距离的较大值，则称点M，N互为“距轴等点”．
(1)在点、、中与点互为“距轴等点”的是_______.
(2)已知点与点
①若点A、B分别在直线和直线上，且点A与点B始终互为“距轴等点”，求m的取值范围．
②若点A在二次函数的图像上，点B在过点且垂直于y轴的直线l上，当点A、B互为“距轴等点”时，证明：．
12．如图，在平面直角坐标系中，轴于点，点的坐标为，平移线段，使点与原点重合，点的对应点为点．
(1)点的坐标为________．
(2)如图，点是射线上的一个动点．
若点在线段上，连接，请利用三角形的面积关系，求出，满足的关系式；
若点在线段的延长线上，中的结论是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由．
(3)如图，点在从点出发，沿线段运动，到达点后沿轴正半轴运动，在运动过程中，是否存在以点，，为顶点的三角形与相似？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．
13．某校组织九年级学生以研究某种化学试剂的挥发情况为主题，开展跨学科主题学习活动．某研究小组从函数角度进行了如下实验探究：
【实验观察】记录的数据如下表：
时间（分钟） 5 10 15 20 …
剩余质量（克） 20 15 10 5 …
【探索应用】
(1)如图，建立平面直角坐标系，横轴表示时间（分钟），纵轴表示剩余质量（克），描出以表格中数据为坐标的各点；
(2)观察上述各点的分布规律，判断它们是否在同一条直线上，如果在同一条直线上，求出这条直线所对应的函数表达式，如果不在同一条直线上，说明理由；
(3)查阅文献可知，该化学试剂发挥作用的最低质量为克．在上述实验中，该化学试剂经过多长时间剩余质量恰好为克？
14．将一个矩形纸片放置在平面直角坐标系中，点，点，点，点在边上（点不与点，重合），折叠该纸片，使折痕所在的直线经过点，并与轴的正半轴相交于点，且，点的对应点落在第一象限．设．

(1)如图①，当时，的大小为______，点的坐标为______；
(2)如图②，若折叠后重合部分为四边形，点的对应点为，且在直线的下方，与边相交于点，折痕与边相交于点，试用含有的式子表示的长，并直接写出的取值范围；
(3)当，求折叠后重合部分面积的取值范围．
15．矩形在平面直角坐标系的位置如图所示，分别在y轴、x轴上，且的长分别是方程的两个根．
(1)求点B的坐标；
(2)点D在x轴上，，且交于点E，求过点E的反比例函数的解析式；
(3)在（2）的条件下，点Q在直线BC上，平面内是否存在点P，使以B，D，P，Q为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
16．如图1，在平面直角坐标系中，四边形是正方形，，点是延长线上一点，是线段上一动点（不包括O、B）作，交的平分线于点．
(1)①直接写出点的坐标；
②求证：
(2)如图2，若，在上找一点，使四边形是平行四边形，求点P的坐标；
(3)如图，连接交于F，连接FM，下列两个结论：①的长为定值：②平分，其中只有一个正确，选择并证明．
《2025年中考数学解决问题专项训练：平面直角坐标系》参考答案
1．(1)见解析
(2)
【分析】本题主要考查了坐标与图形变化—中心对称，坐标与图形，正确画出是解题的关键．
（1）以原点为旋转中心旋转得到，则和关于原点对称，再由关于原点对称的点横纵坐标都互为相反数得到A、B、C对应点的坐标，描出，并顺次连接即可；
（2）根据列式求解即可．
【详解】（1）解：如图所示，即为所求；
（2）解：由题意得，．
2．(1)见解析
(2)见解析，或；
【分析】本题考查作图--轴对称变换，及通过网格图确定垂直线和计算线段长度的知识点等知识，解题的关键是学会利用数形结合的思想解决问题．
（1）利用轴对称的性质分别作出的对应点，连接，，即可；
（2）确定垂直线，可以利用网格的特点和直角的性质．作点C以B为中心逆时旋转至，连接，平移点至A，点B至，连接交与，并延长可得，由图写出对应点坐标； 补全图形后，所在的矩形面积去掉周围三个三角形的面积，由勾股定理求出的长度，由面积可得的长度．
【详解】（1）解：如图，即为所求．
（2）解：如图，作点C以B为中心逆时旋转至，连接，平移点至A，点B至，连接交与，并延长可得，
，，
．
．
由图可知，点坐标可为或．
由图可知
，
3．(1)，见解析
(2)①点的坐标为；②
【分析】本题考查待定系数法求函数解析式、画一次函数图象、二次函数的图象与性质、坐标与图形，正确求得函数解析式，利用二次函数的性质求不等式的解集是解答的关键．
（1）利用待定系数法求得一次函数解析式，进而画一次函数的图象即可；
（2）①先利用待定系数法求得反比例函数的解析式，再联立方程组求得点C的坐标；
②由题意，，，则，，，利用二次函数的图象与性质求解即可．
【详解】（1）解：∵直线经过点，
∴，解得，
∴，
当时，，则直线l经过点，
画出直线l如图所示：
（2）解：①由题意，，
将代入中，得，
∴反比例函数的解析式为，
联立方程组，则，
解得或，
∴；
②由题意，，，
由得，
∴；
∴，，
∴，
∵，
∴对应的二次函数的图象开口向下，
由得，，
∴当时，．
4．(1)，
(2)小张同学猜想的位置的S比较大，理由见解析
【分析】本题考查矩形的性质，等腰直角三角形的性质，平移的性质，解题关键是利用等腰直角三角形和长方形的性质，通过合理设未知数来计算重叠部分面积并比较大小 ．
（1）由，，，及四边形是矩形即可得出答案；
（2）分别求出两种情况的面积，再比较即可，具体减详解．
【详解】（1）解：，，，
，，
四边形是矩形，
，，，
点的坐标为；长方形的面积为，
故答案为：，；
（2）小王同学猜想：当点恰好落在边上时如图，
是等腰直角三角形，
，
将长方形沿轴向右平移，得到长方形，
，
，
是等腰直角三角形，
，
的面积，
长方形与重叠部分的面积为长方形的面积；
小张同学猜想：当长方形恰好平移到等腰直角的中央位置如图，
此时的，
的面积，
长方形与重叠部分的面积为长方形的面积长方形的面积，
，
小张同学的方法使得重叠部分的面积更大．
5．(1)
(2)2
(3)存在，
【分析】（1）结合，的长是方程的两个根，进行解方程，即可作答．
（2）根据平行四边形的性质，得，再得出，结合直线分别交轴、轴、于点，，，且是的中点，得；；然后得出，是等腰直角三角形，得出，再证明，则，再证明是等腰直角三角形， 得，再运用勾股定理列式解得，再结合，得，代入数计算，即可作答．
（3）根据点在直线上，使与相似，第一种是，第二种是，然后根据相似三角形的性质列式计算，即可作答．
【详解】（1）解：由，得
∴或
∴，，
，
，，
∵在轴的负半轴，
；
（2）解：∵，，
∴，
∵平行四边形的顶点，在轴上，在轴上，
∴，，，
∵是的中点，
∴，
则，
∵直线分别交轴、轴、于点，，，
∴令时，则；即；
∴令时，则；即；
∵，，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∵，
∴是等腰直角三角形，，
∴把代入，得
即，
过点作于，过点作于，
，，
，
，
，，
，
∴是等腰直角三角形，，，
∴，
∵点在直线，
∴，
解得，
∴，
同理证明是等腰直角三角形，，
∴，，
即，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
即，
整理得，
∴，
∵，
∴，则，
解得，
经检验：是的解．
∴，
则．
（3）解：∵，
∴直线，
∵点在直线上，且，如图所示：
由（2）得出，则，，
∴，
∵，
∴，
则，
∵，
∴，
设点P的坐标为，
∴，
∵，
∴，
即，
则，
解得，
∴或，
如图所示：
即，，
∵点在直线上，，
∴只能，，
显然点不合题意；
∵点不与点重合，且，故不存在，
综上：．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，勾股定理，平行四边形的性质，解直角三角形，等腰三角形的判定与性质，因式分解法解一元二次方程，坐标与图形，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
6．(1)
(2)
(3)①；②
【分析】（1）根据等和点的定义，列出方程进行求解即可；
（2）将点代入函数解析式，得到，再根据等和点的定义，列出方程进行求解即可；
（3）①设，则根据等和点的定义，列出方程进行求解即可；②设，，得到，设，，得到，根据在图象上总存在点F，使得E、F两点互为“等和点”，得到，进行求解即可．
【详解】（1）解：由题意得，
；
（2）∵点，点都在直线上，，
∵点C与点D互为“等和点”，
，
解得；
（3）①
，
设，
在中，令
．
∵点E在图象上，且点E的横坐标比点F的横坐标大1，
，且，
．
∵点E与点F互为“等和点”，
，
整理得，解得（舍去）．
当时，
；
②设，设．
随a的增大而增大，
．
设，设．
关于n的二次函数图象的对称轴为直线，
，图象开口向上，当时，在对称轴右侧，随n的增大而增大，当时，，当时，
．
∵在图象上总存在点F，使得E、F两点互为“等和点”．
，
解得．
的范围为．
【点睛】本题考查坐标与图形，一次函数的图象和性质，二次函数的图象和性质，二次函数与一次函数的综合应用，掌握“等和点”的定义，是解题的关键．
7．(1)证明见详解；
(2)
(3)
【分析】本题是三角形的综合题，涉及平行线的性质、等腰三角形的判定和性质、相似三角形的判定和性质、轴对称图形的性质、全等三角形的判定与性质、解直角三角形、坐标与图形等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线构造相似三角形解决问题，学会用转化的思想思考问题．
（1）如图中，连接，只要证明和即可解决问题；
（2）在上取点，且，连接，令，由（1）知，证明，过作的延长线于点，从而求解点的横坐标和纵坐标，即可求解；
（3）在的延长线上取点，且，连接，证明，即可解决问题；
【详解】（1）解：如图1中，连接．
，，轴，
，，
，
，
，
，
，
、关于轴对称，
，
，
．
（2）解：在上取点，且，连接
令，由（1）知，
轴，
，
，
，
，
，
，
，
而，
，
，，
，
即，
由（1）（2）（3）可得，
，，
在中，，，
则，
，，，
在等腰中，，，
过B作于T，则，
∴，
，
过作的延长线于点，
在中，，
而，
，，
点的横坐标，纵坐标，
．
（3）解：在的延长线上取点，且，连接，
已知点在线段上，且横坐标为，
令与轴交于点，过B作轴于N，过E作轴于M，
则，，，
∵，
∴，
∴，，，
在中，，
由，而，
，
，
，
，又，
，
轴，
，
轴，
，，
，
即（4）
，，
，
（5）
所以由（4）（5）可得，
．
8．(1)证明见解析
(2)，最大值为；
(3)
【分析】（1）先证明，，从而可得结论；
（2）证明，可得，证明，可得，利用，再进一步求解即可；
（3）如图，由（2）得：，，证明，可得，；即为定点，当时，最小，此时，如图，当重合时，，此时最大，且，再进一步解答即可．
【详解】（1）证明：∵矩形，
∴，，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴；
（2）解：∵，
∴，
∵，，，
∴，
∴，
由（1）可得：，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴
，
∵，
∴有最大值，
当时，最大值为；
（3）解：如图，
由（2）得：，，
∴，
∵矩形，
∴，，
∴，
∴，
∴；即为定点，
当时，最小，此时，
∴，
∴，
∴，
解得：，
如图，当重合时，，此时最大，且，
∴，
∴；
∴．
【点睛】本题考查的是坐标与图形，矩形的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，二次函数的性质，熟练的证明三角形相似是解本题的关键．
9．（1）；（2）点D的坐标为或；（3）t的取值范围是或
【详解】本题主要考查了一次函数综合题，合理运用旋转的性质，旋转的坐标变换以及全等三角形的判定与性质是本题解题的关键.
（1）连接， 过作 轴于，过作 轴于，根据全等三角形的判定与性质求解；
（2）根据坐标轴的不同分类讨论，根据（1）的方法求解即可；
（3）根据与轴的位置关系分类讨论，求出点的坐标，然后根据在不同边上时，点坐标的取值来分类讨论求解即可.
解：（1）连接， 过作轴于，过作 轴于， 如图：
由旋转的性质可知， ，
，
又 ，
，
，
，
；
故答案为：；
（2）①若点的“点”在轴上， 如图：
则
，
代入直线方程得，，
；
②若点的“点”在轴上， 如图：
由（1）知，，
，
∴；
综上所述，或；
（3）设直线的表达式为：
直线EF所在直线的表达式为．
设点，其中．
当点T在x轴上方时，如图．
分别过点M，N作y轴的垂线，垂足分别为，，
易证，，
∴点．
①若点N落在CD上，
则且，
而，则．
②若点N落在AD上，
则且，
而，则，
∴．
当点T在x轴下方时，如图．
同理可得点．
①若点N落在AB上，
则且，
而，则．
②若点N落在BC上，
则且．
而，则．
综上所述，t的取值范围是或．
10．(1)
(2)①
(3)
【分析】本题主要考查了新定义“切比雪夫距离”，准确理解题意是解题关键．
（1）根据新定义“切比雪夫距离”，计算即可；
（2）分析该点在第一象限时的情况，同理可得在第二、三、四象限时的情况，据此即可获得答案；
（3）设是直线上一点，且，则有，分别求得和，即可获得答案．
【详解】（1）解：∵，，
又∵，
∴；
（2）设点，满足，
若点在第一象限，当时，可有，
当时，可有，
即在第一象限，满足到原点的切比雪夫距离不大于1的所有点构成的区域为以原点为一顶点，且边长在坐标轴上的边长为1的正方形，
同理可得在第二、三、四象限，满足到原点的切比雪夫距离不大于1的所有点构成的区域为以原点为一顶点，且边长在坐标轴上的边长为1的正方形，
所以，满足到原点的切比雪夫距离不大于1的所有点构成的区域是①．
故答案为：①；
（3）设是直线上一点，且，
则有，
由，可解得，
即有，当时，取最小值，为；
由，可解得，
即有，当时，取最小值，为2，
综上所述，原点到直线的切比雪夫距离的值为．
11．(1)，
(2)①m的取值范围为或；②见解析
【分析】本题考查了一次函数的性质，二次函数的性质，理解题意，能进行分类讨论是解题的关键．
（1）根据定义，逐一判断即可；
（2）①求出直线和直线的交点横坐标和直线和直线的交点横坐标，结合图象即可解答；
②根据的大小不同，分类讨论，逐一论证即可．
【详解】（1）解：点到x轴、y轴的距离的较大值为，
到x轴、y轴的距离的较大值为，
点与点互为“距轴等点”；
到x轴、y轴的距离的较大值为，
点不与点互为“距轴等点”；
到x轴、y轴的距离的较大值为，
点与点互为“距轴等点”；
故答案为：，；
（2）解：①如图，
当时，
解得：，
点的横坐标为2，
当时，
解得：，
由图可知：当时，点到x轴、y轴的距离的较大值为m，点到x轴、y轴的距离的较大值为m，
∴点A与点B始终互为“距轴等点”，
当时，点到x轴、y轴的距离的较大值为，点到x轴、y轴的距离的较大值为，且，
∴点A与点B不互为“距轴等点”，
点的横坐标为，
当时，点到x轴、y轴的距离的较大值为，点到x轴、y轴的距离的较大值为，
∴点A与点B始终互为“距轴等点”，
∴m的取值范围为或．
②将点代入，得，
∴，
∵点在过点且垂直于y轴的直线l上，
，
，
，
∵函数与直线l都是以y轴为对称轴的轴对称图形，
∴不妨先设，
当时，，
当时，点到x轴、y轴的距离的较大值为，
∴点A与点B不互为“距轴等点”（舍），
第二种情况：当时，
点到x轴、y轴的距离的较大值为，点到x轴、y轴的距离的较大值为，
，互为“距轴等点”，
此时符合，
第三种情况：当时，点到x轴、y轴的距离的较大值为，
∵点A与点B为“距轴等点”，
∴且，
∴且，
综上：且时，点A与点B互为“距轴等点”，
，
∴且，
∴；
当时，同上；
当时，，点A与点B不互为“距轴等点”（舍）；
综上：．
12．(1)；
(2)；结论仍然成立，证明见解析；
(3)存在，点的坐标为，或．
【分析】（）根据平移的性质即可求解；
（）根据得即可求解；
根据得即可求解；
（）分当时，当与重合时，当在轴正半轴上时，三种情况讨论即可；
本题考查了平移的性质，相似三角形的性质，勾股定理，等面积法，熟练掌握知识点的应用是解题的关键．
【详解】（1）解：∵，
∴，
∵平移线段，使点与原点重合，点的对应点为点，
∴，
∴，
故答案为：；
（2）解：如图，
由得：
，
∴，
∴；
中的结论仍然成立，理由如下：
如图，
由得：
，
∴，
∴；
（3）解：设，
当时，如图，过作，
此时，
∴，
∴，则，
∴，
由（）得，
解得：（负值舍去），
∴；
当与重合时，如图，
此时，
∴点；
当在轴正半轴上时，如图，
此时，
∴，
∴，则，
∴，
综上可知：点的坐标为，或．
13．(1)见解析
(2)在同一条直线上，
(3)该化学试剂经过分钟剩余质量恰好为克
【分析】本题考查了一次函数的应用，理解题意、熟练掌握一次函数的图象与性质是解题的关键．
（1）根据表格中数据为坐标，描出各点即可；
（2）观察数据发现“观察表格数据得：时间每过分钟，剩余质量减少克”，判断各点在同一条直线上，设（），把，代入求解即可；
（3）根据题意“剩余质量恰好为克”，则时，，求解即可．
【详解】（1）解：如图，描出以表格中数据为坐标的各点，
（2）解：∵观察表格数据得：时间每过分钟，剩余质量减少克，
∴和满足一次函数关系，即各点在同一条直线上，
设（），
把，代入得：，
解得：，
∴；
（3）解：时，，
解得：，
答：该化学试剂经过分钟剩余质量恰好为克．
14．(1)；
(2)，
(3)
【分析】（）根据直角三角形的性质及折叠的性质可知，再根据折叠的性质及锐角三角函数即可解答；
（）根据折叠的性质及直角三角形的性质可知，再根据全等三角形的性质及锐角三角函数可知即可；
（）根据折叠的性质及锐角三角函数可知，然后分两种情况讨论：①当时，阴影面积为四边形的面积，利用二次函数的性质求解即可；②当时，令与的交点为，则阴影面积为的面积，利用锐角三角函数和等边三角形的判定和性质求解即可．
【详解】（1）解：∵，，
∴在中，，
由折叠的性质得：，
∴，
∵，
∴；
由折叠的性质可知：，
∵，
∴，
过点作，，
∴，
∴在中，，
∴,，
∴，
∴，
故答案为：；；
（2）解：延长交于点，过点作，过点作，
∵，，
∴在中，，
由折叠的性质得：，
∴，
∵，
∴；
∵，
∴，
∵，
∴，
由折叠的性质可知：，
∵，，
∴，
∴，
∵,,，
∴在中，，
在中，，
∵，
∴,
∴，
∵在直线的下方，
∴，
∴，
∴,
∵,
∴，
∴，
∴，
（3）解：如图，延长交于点，过点作，过点作，
∵，，
∴在中，，
由折叠的性质得：，
∴，
∵，
∴；
∵,
∴，
∵，
∴，
由折叠的性质可知：，
∵，，
∴，
∴，
∵，，，
∴在中，，
在中，，
∵，
∴,
∴，
∴在中，，
∴，
由折叠的性质可知：，
当时，，此时，即点在点上方，
当时，，此时，则，即点在直线上，
当点在上时，此时，
，
，
①当时，阴影面积为四边形的面积，
∵，
∴，
∵，
∴当时，随的增大而增大，
∴当时，，
当时，，
即当时，折叠后重合部分面积的取值范围为；
②当时，令与的交点为，则阴影面积为的面积，
过点作于点，此时，
，，
，
为等边三角形，
，
在中，，
，
即当时，折叠后重合部分面积的值恒为
当，求折叠后重合部分面积的取值范围为．
【点睛】本题考查了矩形与折叠，解直角三角形，二次函数的性质等知识，利用数形结合和分类讨论的思想解决问题是关键．
15．(1)
(2)
(3)存在．，，，
【分析】（1）先用因式分解法求出一元二次方程的根，从而得出的长，从而得出点B坐标；
（2）先用待定系数法求出直线，的解析式联立求出点E的坐标，在用待定系数法求反比例函数解析式即可；
（3）设，结合，分①当为菱形时，②当为菱形时，③当为菱形时，三种情况分别求解即可．
【详解】（1）解：，
，
，，
的长分别是方程的两个根，
，
；
（2），
，
，
，
设直线的解析式为，
，解得：，
直线的解析式为
设直线的解析式为，
，解得：，
直线的解析式为，
，解得：，
，
设反比例函数的解析式为，将点代入，
，
过点E的反比例函数的解析式为；
（3）设，
，
①当为菱形时，的中点，的中点，
，，
，
，，
，即，
，
，
解得：，
当时，两点重合，舍去，
，
，
②当为菱形时，的中点，的中点，
，，
，
，，
，即，
，
解得：，
；
③当为菱形时，的中点，的中点，
，，
，
，，
，即，
，
解得：，
或；
综上所述，点P的坐标有，，，．
【点睛】本题考查了一元二次方程的求解，坐标与图形，求一次函数，反比例函数解析式，菱形性质，中点坐标，两点间距离的求解，分情况讨论是解答本题的关键．
16．(1)①②见解析
(2)
(3)平分正确，证明见解析
【分析】（1）①由正方形的性质求得点C的坐标；②在上取，连接，只要证明即可．
（2）作于E，只要证明即可求得N点坐标．知道平行四边形的三点坐标，再根据平移的性质即可求得P点坐标．
（3）在延长线上取，过作于，因为，所以只要证明即可解决问题．
【详解】（1）①四边形是正方形，，
．
②证明：如图，在上取，连接，
，，
，，
，
平分，
，
，
，
，
，
，
，
在和中，
，
，
．
（2）如图，作于E
由可知，
，
，，
，
在和中，
，
，
，，
，
点，
四边形是平行四边形，，，
由平移的性质可得．
（3）结论：平分成立．
证明：如图，在延长线上取，
在与中，
，
，
，，
，
，
，
，
在与中，
，
，
，
过作于，则，
由（2）可知，
，，
，即平分．
【点睛】本题考查了四边形综合题、全等三角形的判定和性质、等腰直角三角形的判定和性质、坐标与图形、平行四边形的性质、正方形的性质．解题的关键是学会添加辅助线，构造全等三角形，记住一些基本图形，可以使得我们在观察新问题的时候很迅速地联想到解题方法．
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