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第一章 数与式
微专题01 数与式中的计算与化简求值问题
（7种题型+精选43题+2技巧+1步骤+2易错点）
【题型汇总】
类型一 数与式相关计算问题
题型01 实数的混合运算
实数计算的易错点：
1）负数的奇数次幂是负数，负数的偶数次幂是正数；
2）一个非负数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；
3），
在计算中常用的锐角三角函数值：
三角函数 30° 45° 60°
sin α
cos α
tan α 1
1．（2024·山东济南·中考真题）计算：．
2．（2024·四川广元·中考真题）计算：．
3．（2023·辽宁沈阳·中考真题）计算：．
4．（2024·四川凉山·中考真题）计算：．
题型02 整式的混合运算
5．（2024·江苏南通·中考真题）计算：；
6．（2024·江苏无锡·中考真题）计算：．
7．（2023·青海西宁·中考真题）计算：．
题型03 分式的混合运算
解题方法：按顺序进行计算：分式的混合运算顺序与实数类似，即先乘方，再乘除，最后加减；有括号时，先进行括号内的运算；同级运算，按照从左到右的顺序进行.此外，也应仔细观察式子的特点，灵活选择简便的方法计算，如使用运算律、公式等.
分式的混合运算要注意各分式中的分子、分母的符号，结果中分子或分母的系数（首项系数）为负数时，要将“－”号提到分式的前面.
8．（2024·山东德州·中考真题）化简：
9．（2024·四川宜宾·中考真题）计算：．
10．（2024·甘肃临夏·中考真题）化简：．
题型04 因式分解
因式分解的一般步骤：
11．（2024·山东淄博·中考真题）若多项式能用完全平方公式因式分解，则的值是 ．
12．（2024·山东威海·中考真题）因式分解： ．
13．（2023·内蒙古呼和浩特·中考真题）分解因式 ．
14．（2023·黑龙江绥化·中考真题）因式分解： ．
题型05 判断计算过程中的错误步骤
15．（2024·河北邯郸·模拟预测）已知．
(1)若，，，求的值；
下图是佳佳同学的计算过程：
佳佳的计算过程有错误吗？如果有指出是第几步错误，并求出正确的值；
(2)若，，，当为何值时，的值是7．
16．（2024·河北沧州·模拟预测）已知多项式
(1)在化简多项式A时，小明同学的解题过程如下所示．
在标出①②③④的几项中出现错误的是______；请你写出正确的解答过程；
(2)淇淇说：“若给出a与b互为相反数，即可求出多项式A的值．”嘉嘉说：“若给出a与b互为倒数，即可求出多项式A的值．”请你判断哪个同学说得对，并按此同学赋予的条件求A的值．
17．（2024·浙江杭州·一模）以下是小滨计算的解答过程：
解：原式
．
小滨的解答过程是否有错误？如果有错误，写出正确的解答过程．
18．（2024·江西南昌·模拟预测）下面是小华同学计算多项式乘以多项式的过程，请认真阅读并完成相应任务．
（1）计算：． 解：原式． （2）计算：． 解：原式．
任务一：在上述解题过程中，（1）中所利用的公式是乘法公式中的________．（填“完全平方公式”或“平方差公式”）
任务二：请判断小华（2）的解答是否正确，若错误，请直接写出（2）中计算的正确答案．
任务三：计算：．
19．（2024·江苏连云港·中考真题）下面是某同学计算的解题过程：
解：①
②
③
上述解题过程从第几步开始出现错误？请写出完整的正确解题过程．
20．（2024·四川乐山·中考真题）先化简，再求值：，其中．小乐同学的计算过程如下：
解：…① …② …③ …④ …⑤ 当时，原式．
(1)小乐同学的解答过程中，第______步开始出现了错误；
(2)请帮助小乐同学写出正确的解答过程．
21．（2023·内蒙古通辽·中考真题）以下是某同学化简分式的部分运算过程：
解：原式…………第一步 …………第二步 …………第三步 ……
(1)上面的运算过程中第___________步开始出现了错误；
(2)请你写出完整的解答过程．
题型06 新定义问题
解题方法：新定义运算的规律都是由题目给出的，想要找到其规律，需要从所给的条件当中进行简单的推论.这时候就考验大家的观察能力，以及对数字的敏感程度.
22．（2024·黑龙江哈尔滨·模拟预测）现定义一种新运算“※”，对任意有理数、都有，则（　　）
A． B． C． D．
23．（2024·河南驻马店·三模）对于任意正整数a，b定义一种新运算：．比如，则，，那么的结果是（ ）
A．2024 B． C． D．1012
24．（2023·四川广安·中考真题）定义一种新运算：对于两个非零实数，．若，则的值是 ．
25．（2024·重庆·模拟预测）定义：对于一个两位自然数，如果它的个位和十位上的数字均不为零，且它正好等于其个位和十位上的数字的和的n倍（n为正整数），我们就说这个自然数是一个“n喜数”．
例如：24就是一个“4喜数”，因为；25就不是一个“n喜数”，因为．44 （填“是”或“不是”）“n喜数”；最大的“7喜数”是 ．
26．（2023·湖南怀化·中考真题）定义新运算：，其中，，，为实数．例如：．如果，那么 ．
类型二 数与式相关化简问题
题型01 整式化简求值
27．（2024·湖南长沙·中考真题）先化简，再求值：，其中．
28．（2024·甘肃·中考真题）先化简，再求值：，其中，．
29．（2024·江苏常州·中考真题）先化简，再求值：，其中．
30．（2024·山西·中考真题）（1）计算：；
（2）先化简，再求值：，其中．
31．（2023·四川凉山·中考真题）先化简，再求值：，其中，．
32．（2023·内蒙古·中考真题）先化简，再求值：，其中，．
题型02 分式化简求值
33．（2023·江西·中考真题）化简．下面是甲、乙两同学的部分运算过程：
解：原式 ……
解：原式 ……
(1)甲同学解法的依据是________，乙同学解法的依据是________；（填序号）
①等式的基本性质；②分式的基本性质；③乘法分配律；④乘法交换律．
(2)请选择一种解法，写出完整的解答过程．
34．（2024·青海·中考真题）先化简，再求值：，其中．
35．（2023·青海西宁·中考真题）先化简，再求值：，其中，是方程的两个根．
36．（2024·西藏·中考真题）先化简，再求值：，请为m选择一个合适的数代入求值．
37．（2023·辽宁营口·中考真题）先化简，再求值：，其中．
38．（2023·辽宁盘锦·中考真题）先化简，再求值：，其中．
39．（2023·山东滨州·中考真题）先化简，再求值：，其中满足．
40．（2024·山东淄博·中考真题）化简分式：，并求值（请从小宇和小丽的对话中确定，的值）

41．（2024·广东广州·中考真题）关于的方程有两个不等的实数根．
(1)求的取值范围；
(2)化简：．
42．（2024·山东烟台·中考真题）利用课本上的计算器进行计算，按键顺序如下：，若是其显示结果的平方根，先化简：，再求值．
43．（2023·山东·中考真题）先化简，再求值：，其中x，y满足．第一章 数与式
微专题01 数与式中的计算与化简求值问题
（7种题型+精选43题+2技巧+1步骤+2易错点）
【题型汇总】
类型一 数与式相关计算问题
题型01 实数的混合运算
实数计算的易错点：
1）负数的奇数次幂是负数，负数的偶数次幂是正数；
2）一个非负数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；
3），
在计算中常用的锐角三角函数值：
三角函数 30° 45° 60°
sin α
cos α
tan α 1
1．（2024·山东济南·中考真题）计算：．
【答案】6
【分析】本题考查了实数的运算，熟练掌握负整数指数幂、绝对值、特殊角的三角函数值、零指数幂的性质是解题的关键．
根据负整数指数幂、绝对值、特殊角的三角函数值、零指数幂的性质进行化简，然后根据实数运算法则进行计算即可
【详解】解：原式．
2．（2024·四川广元·中考真题）计算：．
【答案】
【分析】此题考查了实数的混合运算，特殊的三角函数值，零次幂及负指数幂计算，正确掌握各计算法则是解题的关键．
【详解】解：原式．
3．（2023·辽宁沈阳·中考真题）计算：．
【答案】10
【分析】根据零指数幂和负整数指数幂运算法则，二次根式性质，特殊角的三角函数值，进行计算即可．
【详解】解：
．
【点睛】本题主要考查了实数混合运算，解题的关键是熟练掌握零指数幂和负整数指数幂运算法则，二次根式性质，特殊角的三角函数值，准确计算．
4．（2024·四川凉山·中考真题）计算：．
【答案】2
【分析】本题考查了实数的混合运算．分别进行零指数幂、负整数指数幂、二次根式及绝对值的运算，然后代入特殊角的三角函数值代入运算即可．
【详解】解：
．
题型02 整式的混合运算
5．（2024·江苏南通·中考真题）计算：；
【详解】解：
；
6．（2024·江苏无锡·中考真题）计算：．
【详解】解：
．
7．（2023·青海西宁·中考真题）计算：．
【答案】
【分析】运用完全平方公式，平方差公式及整式的加减运算法则处理；
【详解】解：原式

.
【点睛】本题考查整式的运算，掌握乘法公式以简化运算是解题的关键．
题型03 分式的混合运算
解题方法：按顺序进行计算：分式的混合运算顺序与实数类似，即先乘方，再乘除，最后加减；有括号时，先进行括号内的运算；同级运算，按照从左到右的顺序进行.此外，也应仔细观察式子的特点，灵活选择简便的方法计算，如使用运算律、公式等.
分式的混合运算要注意各分式中的分子、分母的符号，结果中分子或分母的系数（首项系数）为负数时，要将“－”号提到分式的前面.
8．（2024·山东德州·中考真题）化简：
【详解】解：原式
；
9．（2024·四川宜宾·中考真题）计算：．
【详解】解：
．
10．（2024·甘肃临夏·中考真题）化简：．
【答案】
【分析】本题考查分式的混合运算，掌握分式的混合运算法则是解题关键．根据分式的混合运算法则计算即可．
【详解】解：，
．
题型04 因式分解
因式分解的一般步骤：
11．（2024·山东淄博·中考真题）若多项式能用完全平方公式因式分解，则的值是 ．
【答案】
【分析】此题考查了因式分解-运用公式法，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．利用完全平方公式的结构特征判断即可确定出m的值．
【详解】解：多项式能用完全平方公式因式分解，
，
，
故答案为：．
12．（2024·山东威海·中考真题）因式分解： ．
【答案】
【分析】本题主要考查了用完全平方公式分解因式，先按照多项式乘以多项式展开，然后利用完全平方公式分解因式即可．
【详解】解：
故答案为：．
13．（2023·内蒙古呼和浩特·中考真题）分解因式 ．
【答案】
【分析】先提取公因式，再根据完全平方公式，即可进行因式分解．
【详解】解：，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了综合提公因式和公式法因式分解，解题的关键是正确找出公因式，熟练掌握完全平方公式．
14．（2023·黑龙江绥化·中考真题）因式分解： ．
【答案】
【分析】先分组，然后根据提公因式法，因式分解即可求解．
【详解】解： ，
故答案为：．
【点睛】本题考查了因式分解，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键．
题型05 判断计算过程中的错误步骤
15．（2024·河北邯郸·模拟预测）已知．
(1)若，，，求的值；
下图是佳佳同学的计算过程：
佳佳的计算过程有错误吗？如果有指出是第几步错误，并求出正确的值；
(2)若，，，当为何值时，的值是7．
【答案】(1)有错，第一步错了；
(2)
【分析】本题考查了实数的混合运算，一元一次方程等知识点，熟悉掌握运算的法则是解题的关键．
（1）由，可得佳佳在第一步运算错误；根据运算法则进行运算求解即可；
（2）把，，，代入运算即可．
【详解】（1）解：∵，
∴佳佳的计算过程有错，第一步错了；
正确的过程为：；
（2）把，，，代入可得：
，
∴当时，的值是．
16．（2024·河北沧州·模拟预测）已知多项式
(1)在化简多项式A时，小明同学的解题过程如下所示．
在标出①②③④的几项中出现错误的是______；请你写出正确的解答过程；
(2)淇淇说：“若给出a与b互为相反数，即可求出多项式A的值．”嘉嘉说：“若给出a与b互为倒数，即可求出多项式A的值．”请你判断哪个同学说得对，并按此同学赋予的条件求A的值．
【答案】(1)①；过程见解析
(2)淇淇说得对，
【分析】此题考查了整式的混合运算和倒数、相反数的计算能力，关键是能准确理解并运用以上知识进行正确地计算．
（1）通过计算化简该算式进行判断、求解；
（2）分别令a与b互为相反数和互为倒数倒数进行计算、辨别．
【详解】（1）出现错误的是①，
∵
出现错误的是①，
故答案为：①；
（2）淇淇说得对，
当a与b互为相反数时，
多项式
；
当a与b互为倒数时，
多项式
淇淇说得对．
17．（2024·浙江杭州·一模）以下是小滨计算的解答过程：
解：原式
．
小滨的解答过程是否有错误？如果有错误，写出正确的解答过程．
【答案】有错误；
【分析】本题考查了二次根式的混合运算．先把和化简，再化为，接着把除法运算转化为乘法运算，然后根据二次根式的乘法法则运算．
【详解】解：小滨的解答过程有错误；
正确的解答过程:
．
18．（2024·江西南昌·模拟预测）下面是小华同学计算多项式乘以多项式的过程，请认真阅读并完成相应任务．
（1）计算：． 解：原式． （2）计算：． 解：原式．
任务一：在上述解题过程中，（1）中所利用的公式是乘法公式中的________．（填“完全平方公式”或“平方差公式”）
任务二：请判断小华（2）的解答是否正确，若错误，请直接写出（2）中计算的正确答案．
任务三：计算：．
【答案】任务一：平方差公式；任务二：不正确，；任务三：．
【分析】本题考查了平方差公式，完全平方公式，多项式乘多项式，准确熟练地进行计算和掌握平方差公式是解题的关键．
任务一：根据解题过程，可以判断①中所利用的公式是乘法公式中的平方差公式；
任务二：式子不符合平方差公式，用多项式乘多项式计算即可求解；
任务三：利用完全平方公式计算即可求解．
【详解】解：任务一：在上述解题过程中，（1）中所利用的公式是乘法公式中的平方差公式；
故答案为：平方差公式；
任务二：小华（2）的解答是不正确，
；
任务三：
．
19．（2024·江苏连云港·中考真题）下面是某同学计算的解题过程：
解：①
②
③
上述解题过程从第几步开始出现错误？请写出完整的正确解题过程．
【答案】从第②步开始出现错误，正确过程见解析
【分析】本题考查异分母分式的加减运算，先通分，然后分母不变，分子相减，最后将结果化为最简分式即可．掌握相应的计算法则，是解题的关键．
【详解】解：从第②步开始出现错误．
正确的解题过程为：
原式．
20．（2024·四川乐山·中考真题）先化简，再求值：，其中．小乐同学的计算过程如下：
解：…① …② …③ …④ …⑤ 当时，原式．
(1)小乐同学的解答过程中，第______步开始出现了错误；
(2)请帮助小乐同学写出正确的解答过程．
【答案】(1)③
(2)见解析
【分析】本题考查了分式的化简求值，异分母的分式减法运算，熟练掌握知识点是解题的关键．
（1）第③步分子相减时，去括号变号不彻底；
（2）先通分，再进行分子相减，化为最简分式后，再代入求值即可．
【详解】（1）解：∵第③步分子相减时，去括号变号不彻底，
应为：；
（2）解：
当时，原式
21．（2023·内蒙古通辽·中考真题）以下是某同学化简分式的部分运算过程：
解：原式…………第一步 …………第二步 …………第三步 ……
(1)上面的运算过程中第___________步开始出现了错误；
(2)请你写出完整的解答过程．
【答案】(1)一
(2)见解析
【分析】（1）根据解答过程逐步分析即可解答；
（2）根据分式混合运算法则进行计算即可．
【详解】（1）解：
故第一步错误．
故答案为：一．
（2）解：
．
【点睛】本题主要考查了分式的混合运算，灵活运用分式的混合运算法则是解答本题的关键．
题型06 新定义问题
解题方法：新定义运算的规律都是由题目给出的，想要找到其规律，需要从所给的条件当中进行简单的推论.这时候就考验大家的观察能力，以及对数字的敏感程度.
22．（2024·黑龙江哈尔滨·模拟预测）现定义一种新运算“※”，对任意有理数、都有，则（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】该题主要考查了整式的混合运算，解题的关键是根据新定义列出等式．
原式利用题中的新定义计算即可得到结果．
【详解】解：根据题中的新定义得：
，
故选：B．
23．（2024·河南驻马店·三模）对于任意正整数a，b定义一种新运算：．比如，则，，那么的结果是（ ）
A．2024 B． C． D．1012
【答案】C
【分析】本题主要考查新定义运算和同底数幂的乘法，根据新定义运算法则和同底数幂运算法则进行计算即可
【详解】解：∵，且，，，

，
∵，
∴，
故选：C
24．（2023·四川广安·中考真题）定义一种新运算：对于两个非零实数，．若，则的值是 ．
【答案】
【分析】先根据可得一个关于的等式，再根据新运算的定义代入计算即可得．
【详解】解：，
，即，
，
故答案为：．
【点睛】本题考查了新定义下的实数运算、代数式求值，理解新运算的定义是解题关键．
25．（2024·重庆·模拟预测）定义：对于一个两位自然数，如果它的个位和十位上的数字均不为零，且它正好等于其个位和十位上的数字的和的n倍（n为正整数），我们就说这个自然数是一个“n喜数”．
例如：24就是一个“4喜数”，因为；25就不是一个“n喜数”，因为．44 （填“是”或“不是”）“n喜数”；最大的“7喜数”是 ．
【答案】 不是 84
【分析】此题主要考查了新定义“n喜数”，理解和应用新定义是解本题的关键．
（1）根据“n喜数”的意义，判断即可得出结论；
（2）先设出“7喜数”的个位数字a和十位数字b，进而得出，即可得出数值，然后求和即可．
【详解】解：（1）因为，所以44不是一个“n喜数”；
故答案为：不是；
（2）设存在“7喜数”其个位数字为a，十位数字为b，（a，b为1到9的自然数），
由定义可知：，
化简得：，
因为a，b为1到9的自然数，
∴，；，；，；，．四种情况，
∴“7喜数”最大的是84．
故答案为：84．
26．（2023·湖南怀化·中考真题）定义新运算：，其中，，，为实数．例如：．如果，那么 ．
【答案】
【分析】根据新定义列出一元一次方程，解方程即可求解．
【详解】解：∵
∴
即
解得：
故答案为：．
【点睛】本题考查了新定义运算，解一元一次方程，根据题意列出方程解题的关键．
类型二 数与式相关化简问题
题型01 整式化简求值
27．（2024·湖南长沙·中考真题）先化简，再求值：，其中．
【答案】；
【分析】本题考查整式的混合运算及其求值，先根据整式的混合运算法则化简原式，再代值求解即可．
【详解】解：
．
当时，原式．
28．（2024·甘肃·中考真题）先化简，再求值：，其中，．
【答案】，
【分析】本题主要考查了整式的化简求值，先根据平方差公式和完全平方公式去小括号，然后合并同类项，再根据多项式除以单项式的计算法则化简，最后代值计算即可．
【详解】解：
，
当，时，原式．
29．（2024·江苏常州·中考真题）先化简，再求值：，其中．
【答案】，
【分析】本题主要考查了整式的化简求值，实数的运算，先根据完全平方公式和单项式乘以多项式的计算法则去括号，然后合并同类项化简，最后代值计算即可．
【详解】解：
，
当时，原式．
30．（2024·山西·中考真题）（1）计算：；
（2）先化简，再求值：，其中．
【答案】（）；（2），．
【分析】（）根据有理数乘法，二次根式的性质，二次根式的除法，零指数次幂运算法则进行计算即可；
（）先算括号内的单项式乘以多项式，平方差公式，再合并同类项，最后算多项式除以单项式即可；
本题考查了实数的混合运算和整式的乘法运算，熟练掌握运算法则是解题的关键．
【详解】解：（1）原式，
；
（2）原式
，
，
当时，
原式．
31．（2023·四川凉山·中考真题）先化简，再求值：，其中，．
【答案】，
【分析】根据，，单项式乘以多项式法则进行展开，再加减运算，代值计算即可．
【详解】解：原式
．
当，时，
原式
．
【点睛】本题考查了化简求值问题，完全平方公式、平方差公式，单项式乘以多项式法则，掌握公式及法则是解题的关键．
32．（2023·内蒙古·中考真题）先化简，再求值：，其中，．
【答案】，45
【分析】先按照完全平方公式、平方差公式、多项式乘以多项式计算整式的乘法，再合并同类项即可．
【详解】原式
．
当，时
原式．
【点睛】本题考查的是整式的化简求值，同时考查了二次根式的混合运算，掌握完全平方公式与平方差公式进行简便运算是解题的关键．
题型02 分式化简求值
33．（2023·江西·中考真题）化简．下面是甲、乙两同学的部分运算过程：
解：原式 ……
解：原式 ……
(1)甲同学解法的依据是________，乙同学解法的依据是________；（填序号）
①等式的基本性质；②分式的基本性质；③乘法分配律；④乘法交换律．
(2)请选择一种解法，写出完整的解答过程．
【答案】(1)②，③
(2)见解析
【分析】（1）根据所给的解题过程即可得到答案；
（2）甲同学的解法：先根据分式的基本性质把小括号内的分式先同分，然后根据分式的加法计算法则求解，最后根据分式的乘法计算法则求解即可；
乙同学的解法：根据乘法分配律去括号，然后计算分式的乘法，最后合并同类项即可．
【详解】（1）解：根据解题过程可知，甲同学解法的依据是分式的基本性质，乙同学解法的依据是乘法分配律，
故答案为：②，③；
（2）解：甲同学的解法：
原式
；
乙同学的解法：
原式
．
【点睛】本题主要考查了分式的混合计算，熟知相关计算法则是解题的关键．
34．（2024·青海·中考真题）先化简，再求值：，其中．
【答案】，
【分析】本题主要考查了分式的混合运算．先计算括号内的，再计算除法，然后把代入化简后的结果，即可求解．
【详解】解：
∵
∴
∴原式．
35．（2023·青海西宁·中考真题）先化简，再求值：，其中，是方程的两个根．
【答案】，
【分析】先根据分式的混合运算进行化简，然后根据一元二次方程根与系数的关系式得出 ，代入化简结果，即可求解．
【详解】解：原式

∵，是方程的两个根
∴
∴原式.
【点睛】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，分式的化简求值，熟练掌握分式的混合运算，一元二次方程根与系数的关系是解题的关键．
36．（2024·西藏·中考真题）先化简，再求值：，请为m选择一个合适的数代入求值．
【答案】，取，原式．
【分析】本题考查了分式的化简求值．原式括号中两项通分并利用同分母分式的加法法则计算，同时分子分解因式，约分得到最简结果，把合适的m值代入计算即可求出值．
【详解】解：
，
∵，，
∴，，
∴取，原式．
37．（2023·辽宁营口·中考真题）先化简，再求值：，其中．
【答案】，原式
【分析】先根据分式的混合计算法则化简，然后根据特殊角三角函数值和二次根式的性质求出m的值，最后代值计算即可．
【详解】解：
，
∵，
∴，
∴原式．
【点睛】本题主要考查了分式的化简求值，求特殊角三角函数值，化简二次根式等等，正确计算是解题的关键．
38．（2023·辽宁盘锦·中考真题）先化简，再求值：，其中．
【答案】
【分析】先将括号内的部分通分，再将分式分子、分母因式分解并化简，再计算出x的值后，将代入即可求解．
【详解】解：原式，
，
，
，
当时，
原式，
．
【点睛】本题考查了分式的化简求值及实数的混合计算，熟悉通分、约分和分母有理化是解题的关键．
39．（2023·山东滨州·中考真题）先化简，再求值：，其中满足．
【答案】；
【分析】先根据分式的加减计算括号内的，然后将除法转化为乘法，再根据分式的性质化简，根据负整数指数幂，特殊角的三角函数值，求得的值，最后将代入化简结果即可求解．
【详解】解：
；
∵，
即，
∴原式．
【点睛】本题考查了分式化简求值，解题关键是熟练运用分式运算法则以及负整数指数幂，特殊角的三角函数值进行求解．
40．（2024·山东淄博·中考真题）化简分式：，并求值（请从小宇和小丽的对话中确定，的值）

【答案】；
【分析】本题考查分式的化简求值，无理数估算；根据对话可求得，的值，将原分式化简后代入数值计算即可．
【详解】解：依题意，，且为整数，又，则，
；
当，时，原式．
41．（2024·广东广州·中考真题）关于的方程有两个不等的实数根．
(1)求的取值范围；
(2)化简：．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查的是一元二次方程根的判别式，分式的混合运算，掌握相应的基础知识是解本题的关键；
（1）根据一元二次方程根的判别式建立不等式解题即可；
（2）根据（1）的结论化简绝对值，再计算分式的乘除混合运算即可．
【详解】（1）解：∵关于的方程有两个不等的实数根．
∴，
解得：；
（2）解：∵，
∴
；
42．（2024·山东烟台·中考真题）利用课本上的计算器进行计算，按键顺序如下：，若是其显示结果的平方根，先化简：，再求值．
【答案】，．
【分析】本题考查了分式的化简求值，先利用分式的性质和运算法则对分式化简，然后根据题意求出的值，把的值代入到化简后的结果中计算即可求解，正确化简分式和求出的值是解题的关键．
【详解】解：
，
，
，
，
，
，
，
∵，
∴的平方根为，
∵，
∴，
又∵为的平方根，
∴，
∴原式．
43．（2023·山东·中考真题）先化简，再求值：，其中x，y满足．
【答案】，6
【分析】原式括号中两项通分并利用同分母分式的加法法则计算，同时将除法变为乘法，约分得到最简结果，将变形整体代入计算即可求解．
【详解】解：原式
；
由，得到，
则原式．
【点睛】此题考查分式的化简求值，解题关键熟练掌握分式混合运算的顺序以及整体代入法求解．

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