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考点九 集合、复数与逻辑用语（选填题10种考向）
考向一 集合的运算
【例1-1】（2025·广东深圳·一模）已知集合，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】不等式，可解得：或 ，
而，因此，.
故选：A.
【例1-2】（2025·福建漳州·一模）已知集合，，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】因为集合，，
，所以，故选项A错误.
，故选项B错误.
，故选项C错误.
，故选项D正确.
故选：D.
【例1-3】（2025·河南南阳·一模）集合，，则等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】，，
.
故选：D.
【例1-4】（2025·广东佛山·二模）图中阴影部分用集合符号可以表示为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】在阴影部分区域内任取一个元素，则或，故阴影部分所表示的集合为或者，故A正确.
故选：A.
【例1-5】（2025·河北沧州·一模）集合的真子集个数为（ ）
A．15 B．16 C．31 D．32
【答案】A
【解析】不等式的解为，因为，所以，
所以集合的真子集个数为.
故选：A.
【例1-6】（2025·河北邯郸·一模）设集合，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由，所以；由，所以.所以.故选：A
考向二 已知集合求参数
【例2-1】（2025高三·全国·专题练习）已知，，，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】因为，所以当，即时，，满足，即；
当，即时，，满足，即；
当，即时，由，得，，即；
综上，．
故选：C．
【例2-2】（2025·江西赣州·一模）已知集合，，若，则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】解集合，
解集合，
因为，所以，
故选：B.
【例2-3】（2025高三·全国·专题练习），集合，则 .
【答案】2
【解析】由题意知，所以，则，又，所以，.
故.
故答案为：2.
【例2-4】（2025·贵州毕节·一模）已知集合，，若，则实数a的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】集合，，，，，
则实数的取值范围是．故选：C．
考向三 充分、必要条件
【例3-1】（2025·山东烟台·一模）已知复数，其中，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】由，则，可得或，
所以“”是“”的必要不充分条件.
故选：B
【例3-2】（2025·甘肃兰州·一模）已知集合，以下判断正确的是（ ）
A．是的充分条件 B．是的既不充分也不必要条件
C．是的必要条件 D．是的充要条件
【答案】D
【解析】对于A，当时，成立，不成立，所以不是的充分条件，故A错误；
对于B，因为，所以，
因为，所以，所以，所以是的充分条件，故B错误；
对于C，因为，所以，当时，
成立，但不成立，所以不是的必要条件，故C错误；
对于D，因为，，所以，所以，所以是的充分条件，
由，可得，所以，所以是的必要条件，
所以是的充要条件，故D正确.
故选：D.
【例3-3】（2025·福建漳州·一模）锐角的内角的对边分别为，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【解析】因为是锐角三角形，所以，
若，则，即，
又在上单调递增，所以成立.
若，且，则，所以成立.
所以“”是“”的充要条件.
故选：C.
【例3-4】（2025·湖北·模拟预测）已知圆和直线，则“”是“直线与圆有公共点”的（ ）
A．充要条件 B．充分不必要条件
C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】圆的圆心坐标为，半径，
当圆心到直线的距离时，直线与圆有公共点，
即，解得，
所以“”是“直线与圆有公共点”的充分不必要条件.
故选：.
考向四 命题的否定
【例4-1】（2025·江西·二模）若命题，，则命题的否定为（ ）
A．， B．，
C．， D．，
【答案】C
【解析】命题的否定为: ，,
故选：C
【例4-2】（2025·河北保定·一模）已知命题，则为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】全称量词命题的否定为存在量词命题，
所以为“”.
故选：A.
【例4-3】（24-25高一上·湖北·期中）命题“”的否定是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】命题“”的否定是.
故选：D
考向五 全称命题与存在命题
【例5-1】（24-25高三下·江苏苏州·开学考试）若命题“”是假命题，则a的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】命题“”是假命题，则 是真命题，∴，
解得：或，即a的范围是故选：D.
【例5-2】（23-24高三上·黑龙江哈尔滨·期末）已知命题“，”为假命题，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由题意知命题“，”为假命题，
则命题“，”为真命题，
故当时，，即为，符合题意；
当时，需满足解得.
综上，实数的取值范围是.
故选：D.
【例5-3】（24-25高一上·广东珠海·期中）命题“，使”是假命题，则实数m的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】因为“，使”是假命题，
所以，恒成立是真命题，
当时，，即，不恒成立，不符合题意；
当时，有，解得.
综上所述，实数m的取值范围为.
故选：C.
【例5-4】（24-25高三下·江苏盐城·阶段练习）已知命题为假命题，则a的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】由题意得为真命题，
令，则定义域为R，
，
故为R上的偶函数，
又，
所以为的一个周期，
当时，，
因为，所以，所以，
故在R上的值域为，
所以a的取值范围为.
故选：C
考向六 命题真假的判断
【例6-1】（24-25高三上·山东青岛·期末）下列说法正确的是（ ）
A．若随机变量ξ，η满足，则
B．命题“，”的否定是“，”
C．设，则“”是“”的必要而不充分条件
D．已知平面内两个单位向量，的夹角为θ，若，则
【答案】C
【解析】因为随机变量ξ，η满足，所以，故A错误；
命题“，”的否定是“，”，故B错误；
由，可得或，所以可得“”是“”的必要而不充分条件，故C正确；
因为，所以，又，是单位向量，
所以，所以，又，
所以，故D错误.
故选：C.
【例6-2】（2025·湖北·模拟预测）下列四个命题
①直线不平行于平面，则平面内不存在与平行的直线；
②两直线平行是它们与同一平面所成的角相等的充分不必要条件；
③平面平面，过内的任意一点作交线的垂线，则此垂线必垂直于平面；
④空间中，一个角的两边分别垂直于另一个角的两边，那么这两个角相等或互补.
其中正确的命题是（ ）
A．①② B．①②③ C．①③④ D．②③④
【答案】A
【解析】对于①，已知直线不平行于平面，那么直线与平面相交.
理由：假设平面内存在与平行的直线，根据直线与平面平行的判定定理：
如果平面外一条直线和这个平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行，
就会得出，这与已知条件矛盾，所以平面内不存在与平行的直线，命题①正确；
对于②，若两直线平行，根据线面角的定义和性质，它们与同一平面所成的角一定相等，
所以两直线平行能推出它们与同一平面所成的角相等；
但是两直线与同一平面所成的角相等时，两直线可能平行、相交或异面，
因此，两直线平行是它们与同一平面所成的角相等的充分不必要条件，命题②正确；
对于③ ，根据面面垂直的性质定理：如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内
垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面.这里强调的是过内的任意一点作交线的垂线，
此垂线必须在平面内才垂直于平面，而题中的垂线不一定在平面内，故命题③错误；
对于④，如图，过平面内一点作于点，点()，连接，
过平面内一点作于点，点()，连接，
则，而，，故，
但是和大小关系不确定，故命题④错误.

综上所得，①②正确.
故选：A.
【例6-3】（24-25高三下·湖南永州·开学考试）（多选）下列命题中，真命题的有（ ）．
A．“”是“”的必要不充分条件
B．命题“”的否定是“”
C．若，则
D．若，则.
【答案】BD
【解析】对于A，将不等式化为，即，解得或；
因此“”能推出“”，反之则不成立，所以“”是“”的充分不必要条件，即A错误；
对于B，易知命题“”的否定是“”，即B正确；
对于C，若且异号时，为负值，显然不成立，即C错误；
对于D，易知，所以，
当且仅当时，等号成立,可得D正确.
故选：BD
【例6-4】（23-24湖北孝感·阶段练习）(多选)下列说法中正确的有（ ）
A．命题p：，，则命题p的否定是
B．“”是“”的必要条件
C．命题“”是真命题
D．“”是“关于x的方程有一正一负根”的充要条件
【答案】AD
【解析】对于A，命题p的否定是，A正确；
对于B，不能推出，如，但；也不能推出，如，而，
因此“”是“”的既不充分也不必要条件，B错误；
对于C，当时，，C错误；
对于D，关于x的方程有一正一负根，则，解得m<0，
所以“”是“关于x的方程有一正一负根”的充要条件，D正确．
故选：AD
考向七 复数基本概念
【例7-1】（2025·贵州毕节·一模）已知复数z满足，且z是关于x的方程的一个根，则实数p，q的值为（ ）
A．， B．， C．， D．，
【答案】B
【解析】复数满足，则，
是关于的方程的一个根，则也是关于的方程的一个根，
故，解得．故选：B．
【例7-2】（2025·黑龙江·二模）已知复数满足，则复数在复平面内对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
【答案】B
【解析】，
即得故在第二象限，故选：B
【例7-3】（2025·广东·模拟预测）（多选）已知为虚数单位，复数满足，则（ ）
A．的实部为3
B．的虚部为
C．
D．在复平面内对应的点在第四象限
【答案】ACD
【解析】由于，
则的实部为的虚部为2，不是，所以A正确，B错误；
由于在复平面内对应的点在第四象限，所以CD都正确，
故选：ACD.
【例7-4】（2025·辽宁抚顺·模拟预测）（多选）已知复数满足，则（ ）
A．为纯虚数 B．的虚部为
C． D．和是方程的两个根
【答案】BC
【解析】因为，所以，
所以，，
所以，所以A错误，B正确；
，所以C正确；
因为，，所以，，
所以D错误.
故选：BC
考向八 复数的性质
【例8-1】（2025·陕西渭南·二模）（多选）已知是复数，则下列说法正确的是（ ）
A．若，则是实数
B．若为虚数，则是虚数
C．对于任意的复数都是实数
D．
【答案】BCD
【解析】设，
选项A，若，则，不一定是实数，A错；
选项B，是虚数，则，，但，是虚数，B正确；
选项C，是实数，C正确；
选项D，设，则
，D正确；
故选：BCD．
【例8-2】（2025·广东湛江·一模）（多选）复数，满足，，则（ ）．
A． B．
C． D．
【答案】ABD
【解析】依题意得，复数，是方程的两个根，
可得，
解得，则，，
所以，故选项A正确；
，故选项B正确；
，故选项C错误；
，故选项D正确．
故选：ABD．
【例8-3】（2025·山东菏泽·模拟预测）（多选）已知复数，，为的共轭复数，则下列结论中一定成立的是（ ）
A．为实数 B．
C．若，则 D．
【答案】ABD
【解析】对于A，设复数，则，
则，为实数，故A正确；
对于B，，，则，故B正确；
对于C，若，不妨取，则不成立，故C错误；
对于D，，则
，
，则
，
则，故D正确.
故选：ABD.
【例8-4】（24-25高三上·江苏南通·期末）（多选）已知，是复数，则下列说法正确的是（ ）
A．若为实数，则z是实数 B．若为虚数，则z是虚数
C．若，则是实数 D．若，则
【答案】BC
【解析】对于A，B，设，则，
若为实数，则，但这不一定能得到，比如，
这个时候满足为实数，但不是实数，故A错误；
若为虚数，则，这一定能得到，此时是虚数，故B正确；
对于C，D，设，
若，这表明，
所以是实数，故C正确；
若，
这表明，
但不一定等于0，
比如，这个时候有，
但，故D错误.故选：BC.
考向九 复数的取值范围
【例9-1】（24-25高三下·河南信阳·开学考试）已知复数满足，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】因为，所以，整理得，
故复数在复平面内的点的轨迹是以为圆心，半径为1的圆．
又可以看成单位圆上的点与两点连线的斜率，
如图，直线与单位圆分别切于点，，
因为和都为锐角，
所以，
所以，即的最大值为．
故选：B
【例9-2】（2025·辽宁·模拟预测）已知复数分别满足，，则的最大值为（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
【答案】D
【解析】设，则，
如图，复数在复平面内对应点的轨迹是以为圆心，2为半径的圆，
复数在复平面内对应点的轨迹是以原点为圆心，1为半径的圆，
则．
故选：D．
【例9-3】（2025·江西萍乡·一模）（多选）已知复数，（）在复平面内对应的向量分别为，（其中为原点），则下列命题正确的是（ ）
A．若，则
B．若，则的最小值为3
C．若，则
D．若，则
【答案】AB
【解析】对于A，若，则复平面内以有向线段和为邻边的平行四边形是矩形，
根据矩形的对角线相等和复数加减法的几何意义可知，选项A正确；
对于B，若，则点的轨迹是以为圆心，以5为半径的圆，
设，
则，
因为，可得，故B正确；
对于C，
，取，显然，但，故C错误；
对于D，两个复数当且仅当它们同为实数时才能比较大小，故D错误.
故选：AB.
考向十 新定义
【例10-1】（24-25高三下·江苏盐城·阶段练习）设为两个实数集，定义集合，若，则的子集个数为（ ）
A．15 B．16 C．31 D．32
【答案】B
【解析】由题意，
所以的子集个数为，
故选：B
【例10-2】（24-25高三下·上海·阶段练习）已知A，B为非空实数集，为平面直角坐标系中的一些点构成的集合，集合对任意，有，集合对任意，有.对于下列两个命题：①若，则；②若，则其中判断正确的是（ ）
A．①②都正确 B．①②都错误 C．①正确②错误 D．①错误②正确
【答案】B
【解析】由已知，设，，
若，此时(没有满足对任意，有)，而，
若(仅满足)，但，所以不包含，故命题①错误；
设，，，此时满足，
若(和均满足)，但，所以不包含于，
故命题②错误.
故选：B．
【例10-3】（2025·山东菏泽·一模）（多选）离散对数在密码学中有重要的应用．设是素数，集合，若，记为除以的余数，为除以的余数；设，两两不同，若，则称是以为底的离散对数，记为．则（ ）
A．若，则对应集合X有5个元素
B．若，，，则
C．若，，则
D．
【答案】BC
【解析】因为，所以，所以共个元素，故错误；
因为，，所以，因为除以的余数为，
所以，故正确；
因为，，所以，又除以的余数为，
所以，即，故正确；
由已知当，，，
所以，除以的余数为，
所以，所以，故错误.
故选：.
【例10-4】（2025·湖北武汉·二模）（多选）已知，记为集合中元素的个数，为集合中的最小元素．若非空数集，且满足，则称集合为“阶完美集”．记为全部阶完美集的个数，下列说法中正确的是（ ）
A．
B．将阶完美集的元素全部加1，得到的新集合，是阶完美集
C．若为阶完美集，且，满足条件的集合的个数为
D．若为阶完美集，且，满足条件的集合的个数为
【答案】ABD
【解析】当非空数集是子集中含个元素的子集时，.根据“n阶完美集”的定义，中大于等于的数有、、、共个，所以此时可以是、、、.
当非空数集是子集中含个元素的子集时，.中大于等于的数有、、共个，所以此时可以是、、.
当非空数集是子集中含个元素的子集时，.中大于等于的数有、共个，不满足“n阶完美集”的定义，所以中个元素的子集不满足.
同理，中含个元素的子集也不满足.
综上，4阶完美集有、、、、、、，所以，故A正确.
若将“n阶完美集”中元素全部加，中元素个数不变，但加变大，均不违背“阶完美集”的定义，所以得到的新集合是一个“阶完美集”，故B正确.
若，满足条件的集合的个数为7，而,C错误；
对于满足“阶完美集”的所有，不属于所有，可视为退化为“阶完美集”的情况，总个数为.
又因为，所以满足条件的集合要排除掉“阶完美集”中只含有个元素的情形（排除个单元素集合），因此满足条件的集合的个数均为，D正确.
故选：ABD.
单选题
1．（2025·贵州安顺·模拟预测）设集合，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】因为，，
所以.
故选：C
2．（2025·江西·二模）若集合（i是虚数单位），，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】，所以，故选：B
3．（24-25高三下·江苏·开学考试）已知集合，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】解求出集合，再求交集可得答案.
【详解】由得，
解得，因为，所以集合是所有奇数构成的集合，
则.
故选：B.
4．（2025·河北·模拟预测）已知集合，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】根据题意，由，得，所以集合，易知，，
故选：B.
5．（2025·黑龙江哈尔滨·一模）已知集合，，则满足条件的集合的个数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】因为，
，
由可得，
由于每个符合条件的集合都包含元素、，
所以，集合的个数即为集合的子集个数，
故集合的个数为.
故选：C.
6．（2025·福建福州·模拟预测）已知集合，则的真子集个数为（ ）
A．3个 B．6个 C．7个 D．8个
【答案】C
【解析】集合是坐标平面内，以原点为圆心，2为半径的圆上的点的集合，
集合是坐标平面内，函数图象上的点的集合，
在同一坐标系内作出圆及函数的部分图象，如图：
观察图象知，圆及函数的图象有3个公共点，
所以有3个元素，共有个真子集．
故选：C
7．（2025·湖北·一模）集合函数的最小正周期不小于，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】依题意，，解之得，则集合；
，解之得，则集合，
所以.
故选：A
8．（2025·海南·三模）复数的虚部为（ ）
A． B． C． D．1
【答案】B
【解析】，
所以虚部为，
故选：B
9．（2025·福建漳州·一模）已知复数，在复平面内，复数，对应的点分别为，，且点与点关于直线对称，则（ ）
A． B． C． D．5
【答案】A
【解析】因为，所以点
因为点与点关于直线对称，所以.
所以
故选:A.
10．（2025·四川巴中·一模）已知复数z在复平面内满足，则复数对应的点Z的集合所形成图形的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】因为所以复数对应的点表示的是以为半径的圆，
所以面积为.
故选：B.
11．（2025·河南安阳·一模）若复数满足，则在复平面内，复数所对应的点组成的图形的周长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】设，
由，则，
则在复平面内，复数所对应的点组成的图形为以为圆心，为半径的圆，
故复数所对应的点组成的图形的周长为.
故选：D.
12．（2025·四川成都·二模）已知，则在复平面内所对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
【答案】D
【解析】设，则，解得，
则，
则在复平面内所对应的点为，位于第四象限.
故选：D.
13．（2025·新疆·模拟预测）已知复数满足，则下列结论正确的是（ ）
A． B．为纯虚数
C．的虚部为 D．
【答案】D
【解析】由可得，
对于A，，A错误，
对于B，不是纯虚数，B错误，
对于C，的虚部为，C错误，
对于D，，D正确，
故选：D
14．（2025·山东·模拟预测）已知复数满足，则（ ）
A． B．2 C． D．
【答案】A
【解析】由题意知，即，
所以，
所以，
故选：A
15（2025·北京平谷·一模）已知是平面内两个非零向量，，那么“”是“”的（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】若，，
所以，，
当时，，当时，，此时
故“”是“”的不充分条件，
因为，若，则，当且仅当方向相同时取到等号，则恒成立，故 ，所以是必要条件，
综上可知，，那么“”是“”的必要不充分条件，
故选：B
16．（2025·湖北·二模）复数是成立的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】当时，
再计算：
，
所以当时，成立，充分性成立.
由，则：，
即或，所以当时，不一定等于，必要性不成立.
因为充分性成立，必要性不成立，所以复数是成立的充分不必要条件，
故选：A.
17．（2025·安徽黄山·一模）“”是“为双曲线方程”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】若为双曲线方程，则，
解得或，
故是“为双曲线方程”的充分不必要条件.
故选：A
18．（2025·辽宁·一模）若命题“”是假命题，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】因为“”是假命题，所以“”是真命题；
即a要小于等于的最小值，又当时，，故.
故选：C
19．（24-25高三上·湖南长沙·期末）已知命题，为假命题，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由题意知，，令，则，
作出函数的图象如图所示，
若，则直线与函数的图象没有公共点，数形结合可知,
所以的取值范围为.
故选：D.
19．（24-25高三下·湖北武汉·阶段练习）若向量，则“”是“向量的夹角为锐角”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】向量的夹角为锐角，则，且向量不共线，
当向量共线时，，
则，
若，则成立，反之不成立，
故“”是“向量的夹角为锐角”的必要不充分条件，
故选：B.
20．（24-25高三下·安徽·阶段练习）已知集合，则集合A的子集个数为（ ）
A．4 B．8 C．16 D．32
【答案】C
【解析】由，得或，
解得或空集，
又，所以，
则集合A的子集个数为.
故选：C
21．（24-25高三下·河南周口·开学考试）已知集合，，若，则（ ）
A．1 B． C．1或0 D．1或
【答案】D
【解析】因为，当，即时，，，符合题意；
当，即时，，，符合题意．
综上，或．
故选：D．
多选题
22．（2025·吉林长春·一模）在复数范围内，方程的两个根分别为，，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】BCD
【解析】对A，根据韦达定理知，故A错误；
对B，根据韦达定理知，故B正确；
对C，解出两根分别为，显然两根互为共轭复数，则，故C正确；
对D，因为，则，故D正确.
故选：BCD.
23．（2025·河北石家庄·一模）已知为虚数单位，以下选项正确的是（ ）
A．若，则的充要条件是
B．若复数满足，则
C．
D．若复数满足，则的最大值为6
【答案】ACD
【解析】对于A，因，则等价于，
等价于，即，故A正确；
对于B，由可得，
当时，等式成立，但与不一定相等，故B错误；
对于C，因对于， ，
则，
于是，故C正确；
对于D，由可理解为复平面内以原点为圆心的单位圆，
而可看成点到该圆上点的距离，
易得的最大值即，故D正确.
故选：ACD.
24．（2025·青海海南·模拟预测）定义复数运算：．若，且（是虚数单位），则下列说法正确的是（ ）
A．的虚部为 B．的模为
C． D．在复平面内对应的点位于第二象限
【答案】BCD
【解析】设，由题意知，
即，则，解得，所以，
对于选项A，因为的虚部为1，所以A错误；
对于选项B，因为，所以B正确；
对于选项C，因为，故C正确，
对于选项D，因数在复平面内对应的点在第二象限，所以D正确，
故选：BCD.
填空题
25．（2025·河北秦皇岛·一模）已知集合，集合，若集合满足 ，则这样的集合共有 个.
【答案】7
【解析】由 ，则集合中一定有元素，
且至少含有其中一个元素，
则这样的集合共有个.
故答案为：7.
26．（2025·山东聊城·模拟预测）已知集合，集合，求 .
【答案】或
【解析】，
由，
则，或，
或.
故答案为：或
27．（2025高三·全国·专题练习）设A、B是两个非空集合，定义且，已知，，则 ．
【答案】
【解析】由题意，，
所以，，则．
故答案为：
28．（2025·辽宁·模拟预测）已知集合，，，若，，则 .
【答案】
【解析】由题意得集合，
因为，，所以，
则，，解得，，所以.
故答案为：
29．（24-25高三下·浙江宁波·阶段练习）已知复数满足，则的最小值为 ．
【答案】
【解析】由复数的几何意义可知，表示复数与对应点之间的距离，
所以复数对应的点是以为圆心为半径的圆，如图，
表示圆上的点到原点的距离，
由图知，的最小值为.
故答案为：.
30．（2025高三下·全国·专题练习）已知复数满足，（其中i是虚数单位），则的最小值为 .
【答案】3
【解析】设复数在复平面内对应的点分别为，
由题意可知：，
可知点的轨迹表示焦点分别为的椭圆，
则长半轴长为，半焦距，短半轴长为，
且该椭圆的长轴所在直线为，短轴所在直线为.
因为点在上，且，
若使得最小，则需取得最小值，
即点为第一象限内的短轴端点，此时.
故答案为：3.
31．（2025高三·全国·专题练习）复数z满足，则复数z的模的范围是
【答案】
【解析】表示z对应的点的轨迹为以为圆心半径为的圆，
故复数z的模即圆上的点到原点的距离，则，
故z的模的范围是.
故答案为：
32．（24-25高三下·上海杨浦·开学考试）已知等差数列的公差为，集合有且仅有两个元素，则这两个元素的积为 .
【答案】/
【解析】，
则，
其周期为，而，即最多3个不同取值，
集合有且仅有两个元素，设，
则在中，或，或，
又，即
一定会有相邻的两项相等，设这两项分别为，
于是有，即有，解得，
不相等的两项为，
故，.
故答案为：.
33．（2025高三·全国·专题练习）在复平面内，复数、所对应的点分别为、，对于下列四个等式：（1）；（2）；（3）；（4）.其中恒成立的等式的个数是
【答案】2
【解析】对于（1），取，则，，显然，（1）错；
对于（2），设，，
则，
所以，
，（2）对；
对于（3），由平面向量数量积的定义可得，（3）对；
对于（4），因为，则，
所以，，（4）错.
故恒成立的等式有（2）、（3）共2个.
故答案为：2
34．（24-25高三上·安徽阜阳·期末）已知复数满足，则取最小值时， ．
【答案】
【解析】设，因为，所以，
化简得，故的轨迹是以为圆心，1为半径的圆，
而，故表示圆上的点到的距离，
如图，设圆心为，点为，所在直线为，与圆交于，
设，对应的坐标为，
由题意得点一定在圆上，
当取得最值时，点一定在直线上，
由两点间距离公式得，
当取最小值时，也取最小值，此时点与点重合，
由斜率公式得的斜率为，故的方程为，
联立方程组，，
解得，(其它根与题意不符，舍去)，
故，得到，
由模长公式得.
故答案为：
35（24-25高三上·上海宝山·期中）复数满足，是复平面上以为圆心、1为半径的圆的任意一条直径，若是在复平面上对应的点，则的最小值为 .
【答案】
【解析】设，又，
即，
所以点在以、为焦点的双曲线的左支上，则，
不妨设，
则
，
又，当且仅当时取等号，
所以的最小值为.

故答案为：
36（2024·浙江杭州·一模）已知复数的实部和虚部都不为0，满足①；②.则 ， .（写出满足条件的一组和）
【答案】
【解析】设，
则，
，
由，
整理得，即，
所以，
可取，
所以.
故答案为：.（答案不唯一，只要满足即可）
21世纪教育网(www.21cnjy.com)考点九 集合、复数与逻辑用语（选填题10种考向）
考向一 集合的运算
【例1-1】（2025·广东深圳·一模）已知集合，则（ ）
A． B． C． D．
【例1-2】（2025·福建漳州·一模）已知集合，，则（ ）
A． B．
C． D．
【例1-3】（2025·河南南阳·一模）集合，，则等于（ ）
A． B． C． D．
【例1-4】（2025·广东佛山·二模）图中阴影部分用集合符号可以表示为（ ）
A． B．
C． D．
【例1-5】（2025·河北沧州·一模）集合的真子集个数为（ ）
A．15 B．16 C．31 D．32
【例1-6】（2025·河北邯郸·一模）设集合，，则（ ）
A． B． C． D．
考向二 已知集合求参数
【例2-1】（2025高三·全国·专题练习）已知，，，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【例2-2】（2025·江西赣州·一模）已知集合，，若，则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【例2-3】（2025高三·全国·专题练习），集合，则 .
【例2-4】（2025·贵州毕节·一模）已知集合，，若，则实数a的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
考向三 充分、必要条件
【例3-1】（2025·山东烟台·一模）已知复数，其中，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【例3-2】（2025·甘肃兰州·一模）已知集合，以下判断正确的是（ ）
A．是的充分条件 B．是的既不充分也不必要条件
C．是的必要条件 D．是的充要条件
【例3-3】（2025·福建漳州·一模）锐角的内角的对边分别为，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【例3-4】（2025·湖北·模拟预测）已知圆和直线，则“”是“直线与圆有公共点”的（ ）
A．充要条件 B．充分不必要条件
C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
考向四 命题的否定
【例4-1】（2025·江西·二模）若命题，，则命题的否定为（ ）
A．， B．，
C．， D．，
【例4-2】（2025·河北保定·一模）已知命题，则为（ ）
A． B．
C． D．
【例4-3】（24-25高一上·湖北·期中）命题“”的否定是（ ）
A． B．
C． D．
考向五 全称命题与存在命题
【例5-1】（24-25高三下·江苏苏州·开学考试）若命题“”是假命题，则a的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【例5-2】（23-24高三上·黑龙江哈尔滨·期末）已知命题“，”为假命题，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【例5-3】（24-25高一上·广东珠海·期中）命题“，使”是假命题，则实数m的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【例5-4】（24-25高三下·江苏盐城·阶段练习）已知命题为假命题，则a的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
考向六 命题真假的判断
【例6-1】（24-25高三上·山东青岛·期末）下列说法正确的是（ ）
A．若随机变量ξ，η满足，则
B．命题“，”的否定是“，”
C．设，则“”是“”的必要而不充分条件
D．已知平面内两个单位向量，的夹角为θ，若，则
【例6-2】（2025·湖北·模拟预测）下列四个命题
①直线不平行于平面，则平面内不存在与平行的直线；
②两直线平行是它们与同一平面所成的角相等的充分不必要条件；
③平面平面，过内的任意一点作交线的垂线，则此垂线必垂直于平面；
④空间中，一个角的两边分别垂直于另一个角的两边，那么这两个角相等或互补.
其中正确的命题是（ ）
A．①② B．①②③ C．①③④ D．②③④
【例6-3】（24-25高三下·湖南永州·开学考试）（多选）下列命题中，真命题的有（ ）．
A．“”是“”的必要不充分条件
B．命题“”的否定是“”
C．若，则
D．若，则.
【例6-4】（23-24湖北孝感·阶段练习）(多选)下列说法中正确的有（ ）
A．命题p：，，则命题p的否定是
B．“”是“”的必要条件
C．命题“”是真命题
D．“”是“关于x的方程有一正一负根”的充要条件
考向七 复数基本概念
【例7-1】（2025·贵州毕节·一模）已知复数z满足，且z是关于x的方程的一个根，则实数p，q的值为（ ）
A．， B．， C．， D．，
【例7-2】（2025·黑龙江·二模）已知复数满足，则复数在复平面内对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
【例7-3】（2025·广东·模拟预测）（多选）已知为虚数单位，复数满足，则（ ）
A．的实部为3
B．的虚部为
C．
D．在复平面内对应的点在第四象限
【例7-4】（2025·辽宁抚顺·模拟预测）（多选）已知复数满足，则（ ）
A．为纯虚数 B．的虚部为
C． D．和是方程的两个根
考向八 复数的性质
【例8-1】（2025·陕西渭南·二模）（多选）已知是复数，则下列说法正确的是（ ）
A．若，则是实数
B．若为虚数，则是虚数
C．对于任意的复数都是实数
D．
【例8-2】（2025·广东湛江·一模）（多选）复数，满足，，则（ ）．
A． B．
C． D．
【例8-3】（2025·山东菏泽·模拟预测）（多选）已知复数，，为的共轭复数，则下列结论中一定成立的是（ ）
A．为实数 B．
C．若，则 D．
【例8-4】（24-25高三上·江苏南通·期末）（多选）已知，是复数，则下列说法正确的是（ ）
A．若为实数，则z是实数 B．若为虚数，则z是虚数
C．若，则是实数 D．若，则
考向九 复数的取值范围
【例9-1】（24-25高三下·河南信阳·开学考试）已知复数满足，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【例9-2】（2025·辽宁·模拟预测）已知复数分别满足，，则的最大值为（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
【例9-3】（2025·江西萍乡·一模）（多选）已知复数，（）在复平面内对应的向量分别为，（其中为原点），则下列命题正确的是（ ）
A．若，则
B．若，则的最小值为3
C．若，则
D．若，则
考向十 新定义
【例10-1】（24-25高三下·江苏盐城·阶段练习）设为两个实数集，定义集合，若，则的子集个数为（ ）
A．15 B．16 C．31 D．32
【例10-2】（24-25高三下·上海·阶段练习）已知A，B为非空实数集，为平面直角坐标系中的一些点构成的集合，集合对任意，有，集合对任意，有.对于下列两个命题：①若，则；②若，则其中判断正确的是（ ）
A．①②都正确 B．①②都错误 C．①正确②错误 D．①错误②正确
【例10-3】（2025·山东菏泽·一模）（多选）离散对数在密码学中有重要的应用．设是素数，集合，若，记为除以的余数，为除以的余数；设，两两不同，若，则称是以为底的离散对数，记为．则（ ）
A．若，则对应集合X有5个元素
B．若，，，则
C．若，，则
D．
【例10-4】（2025·湖北武汉·二模）（多选）已知，记为集合中元素的个数，为集合中的最小元素．若非空数集，且满足，则称集合为“阶完美集”．记为全部阶完美集的个数，下列说法中正确的是（ ）
A．
B．将阶完美集的元素全部加1，得到的新集合，是阶完美集
C．若为阶完美集，且，满足条件的集合的个数为
D．若为阶完美集，且，满足条件的集合的个数为
单选题
1．（2025·贵州安顺·模拟预测）设集合，，则（ ）
A． B． C． D．
2．（2025·江西·二模）若集合（i是虚数单位），，则（ ）
A． B． C． D．
3．（24-25高三下·江苏·开学考试）已知集合，则（ ）
A． B． C． D．
4．（2025·河北·模拟预测）已知集合，，则（ ）
A． B． C． D．
5．（2025·黑龙江哈尔滨·一模）已知集合，，则满足条件的集合的个数为（ ）
A． B． C． D．
6．（2025·福建福州·模拟预测）已知集合，则的真子集个数为（ ）
A．3个 B．6个 C．7个 D．8个
7．（2025·湖北·一模）集合函数的最小正周期不小于，，则（ ）
A． B． C． D．
8．（2025·海南·三模）复数的虚部为（ ）
A． B． C． D．1
9．（2025·福建漳州·一模）已知复数，在复平面内，复数，对应的点分别为，，且点与点关于直线对称，则（ ）
A． B． C． D．5
10．（2025·四川巴中·一模）已知复数z在复平面内满足，则复数对应的点Z的集合所形成图形的面积为（ ）
A． B． C． D．
11．（2025·河南安阳·一模）若复数满足，则在复平面内，复数所对应的点组成的图形的周长为（ ）
A． B． C． D．
12．（2025·四川成都·二模）已知，则在复平面内所对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
13．（2025·新疆·模拟预测）已知复数满足，则下列结论正确的是（ ）
A． B．为纯虚数
C．的虚部为 D．
14．（2025·山东·模拟预测）已知复数满足，则（ ）
A． B．2 C． D．
15（2025·北京平谷·一模）已知是平面内两个非零向量，，那么“”是“”的（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
16．（2025·湖北·二模）复数是成立的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
17．（2025·安徽黄山·一模）“”是“为双曲线方程”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
18．（2025·辽宁·一模）若命题“”是假命题，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
19．（24-25高三上·湖南长沙·期末）已知命题，为假命题，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
19．（24-25高三下·湖北武汉·阶段练习）若向量，则“”是“向量的夹角为锐角”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
20．（24-25高三下·安徽·阶段练习）已知集合，则集合A的子集个数为（ ）
A．4 B．8 C．16 D．32
21．（24-25高三下·河南周口·开学考试）已知集合，，若，则（ ）
A．1 B． C．1或0 D．1或
多选题
22．（2025·吉林长春·一模）在复数范围内，方程的两个根分别为，，则（ ）
A． B．
C． D．
23．（2025·河北石家庄·一模）已知为虚数单位，以下选项正确的是（ ）
A．若，则的充要条件是
B．若复数满足，则
C．
D．若复数满足，则的最大值为6
24．（2025·青海海南·模拟预测）定义复数运算：．若，且（是虚数单位），则下列说法正确的是（ ）
A．的虚部为 B．的模为
C． D．在复平面内对应的点位于第二象限
填空题
25．（2025·河北秦皇岛·一模）已知集合，集合，若集合满足 ，则这样的集合共有 个.
26．（2025·山东聊城·模拟预测）已知集合，集合，求 .
27．（2025高三·全国·专题练习）设A、B是两个非空集合，定义且，已知，，则 ．
28．（2025·辽宁·模拟预测）已知集合，，，若，，则 .
29．（24-25高三下·浙江宁波·阶段练习）已知复数满足，则的最小值为 ．
30．（2025高三下·全国·专题练习）已知复数满足，（其中i是虚数单位），则的最小值为 .
31．（2025高三·全国·专题练习）复数z满足，则复数z的模的范围是
32．（24-25高三下·上海杨浦·开学考试）已知等差数列的公差为，集合有且仅有两个元素，则这两个元素的积为 .
33．（2025高三·全国·专题练习）在复平面内，复数、所对应的点分别为、，对于下列四个等式：（1）；（2）；（3）；（4）.其中恒成立的等式的个数是
34．（24-25高三上·安徽阜阳·期末）已知复数满足，则取最小值时， ．
35（24-25高三上·上海宝山·期中）复数满足，是复平面上以为圆心、1为半径的圆的任意一条直径，若是在复平面上对应的点，则的最小值为 .
36（2024·浙江杭州·一模）已知复数的实部和虚部都不为0，满足①；②.则 ， .（写出满足条件的一组和）
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