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2025 年上海市徐汇区高考数学二模试卷
一、单选题：本题共 4 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知 、 为两个随机事件，则“ 、 为互斥事件”是“ 、 为对立事件”的( )
A.充分非必要条件 B.必要非充分条件 C.充要条件 D.非充分非必要条件
2 1.在研究线性回归模型时，若样本数据( , )( = 1,2,3, …, )所对应的点都在直线 = 3 + 2 上，则两组
数据 和 ( = 1,2,3, , )的线性相关系数为( )
A. 1 B. 1 C. 13 D. 2
3.在桌面上有一个质地均匀的正四面体 .从该正四面体与桌面贴
合的面上的三条棱中等可能地选取一条棱，沿其翻转正四面体至正四面体
的另一个面与桌面贴合，如此翻转称为一次操作.如图，开始时，正四面
体与桌面贴合的面为 ，操作 ( = 1,2,3, )次后，正四面体与桌面贴
合的面是 1的概率记为 .现有下列两个结论：① 2 = 3；② 25 < 24.
则下列说法正确的是( )
A.①正确，②错误 B.①错误，②正确 C.①、②都正确 D.①、②都错误
4.已知函数 = ( )的定义域和值域都为 ，且图像是一条连续不断的曲线，其导函数 = ′( )的值如表：
( ∞, 1) 1 ( 1, 2) 2 ( 2, + ∞)
′( ) + 0 0 +
设 ，若集合{ | = ( ), ∈ } = { , , }，其中 ， ， 为常数，则符合要求的集合 的个数不可能是
( )
A. 3 B. 27 C. 63 D. 343
二、填空题：本题共 12 小题，共 54 分。

5.已知全集 = { || 1| ≤ 2, ∈ }， = [1,3]，则 = ______．
6 = 1.复数 1 (其中 为虚数单位)的虚部是______．
7.在空间直角坐标系中，向量 = ( ,6,3), = (2, , 1)，若 / / ，则 + = ______．
8 3.已知幂函数 = ( )的图像过点(3, 3 )，则该幂函数的值域是______．
9.如图是一个 2 × 2 列联表，则 = ______．
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1 2 总计
1 35 45
2 7
总计 73
10 3.已知 = 5 , ∈ (0, )

，则 tan( 4 )的值为______．
11.已知 ⊥平面 ，△ 是直角三角形，且 = = 2， = 4，则点 到直线 的距离是______．
12.已知 是正方形，点 是 的中点，点 在对角线 上，且 = 3 ，则∠ 的大小为______．
13 1 1 2

.已知两个随机事件 ， ，若 ( ) = 5， ( ) = 4， ( | ) = 3，则 ( | ) = ______．
2 2
14 .已知 1为双曲线 2 2 = 1( > 0, > 0)的左焦点， 是双曲线右支上一点，线段 1与以该双曲线实轴
为直径的圆相切于线段 1的中点，则该双曲线的离心率为______．
15 2.如图，某处有一块圆心角为3 的扇形绿地 ，扇形的半径为 20 米，
是一条原有的人行直路，由于工程建设需要，现要在绿地中建一条直
路 ，以便在图中阴影部分区域分类堆放物料.为了尽量减少对绿地的破
坏(不计路宽)，则原直路 与新直路 的交叉点 到 的距离为
______米.
16.设实数 > 0，若 ( ) = 满足对任意 1 ∈ [0, ]，都存在 2 ∈ [ , 2 ]，使得 ( 1) + ( 2) = 0 成立，
则 的最小值是______．
三、解答题：本题共 5 小题，共 78 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题 14 分)
如图， 1 1 1 1是一块正四棱台形铁料，上、下底面的边长分别为 20 和 40 ，高 30 ．
(1)求正四棱台 1 1 1 1的侧面 1 1与底面 所成二面角的大小；
(2)现削去部分铁料(不计损耗)，将原正四棱台打磨为一个圆台，使得该圆台的上、下底面分别为原正四棱
台上、下底面正方形的内切圆及其内部.求削去部分与原正四棱台的体积之比．
18.(本小题 14 分)
已知函数 = ( )，其中 ( ) = log2 .
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(1)解关于 的不等式 (3 2) < (2 + 1)；
(2)若存在唯一的实数 0，使得 ( 0)， ( 0 )， (2)依次成等差数列，求实数 的取值范围．
19.(本小题 14 分)
某公司生产的糖果每包标识“净含量 500 ”，但公司承认实际的净含量存在误差.已知每包糖果的实际净含
量 (单位： )服从正态分布 (500, 2.52).
(1)随机抽取一包该公司生产的糖果，求其净含量误差超过 5 的概率(精确到 0.001)；
(2)随机抽取3 包该公司生产的糖果，记其中净含量小于497.5 的包数为 .求 的分布和期望(精确到0.001)．
参考数据： (1) ≈ 0.8413， (2) ≈ 0.9772， (3) ≈ 0.9987，其中 = ( )为标准正态分布函数．
20.(本小题 18 分)
已知抛物线 ： 2 = 4 ，点 是抛物线 的焦点．
(1)求点 的坐标及点 到准线 的距离；
(2) 1 1过点 作相互垂直的两条直线 1， 2， 1交抛物线 于点 1、 2， 2交抛物线 于点 1、 2，求证：| +1 2| | 1 2|
为定值，并求出该定值；
(3)过点 且斜率为 3的直线交抛物线 于 、 两点，设点 不在直线 上且 为△ 的内角平分线，求
△ 面积的最大值．
21.(本小题 18 分)
对于函数 = ( )，记 (0)( ) = ( )， (1)( ) = ( ( ))′，…， ( +1)( ) = ( ( )( ))′( ∈ ).如果 是满足
( )( ) = ( )的最小正整数，则称 是函数 = ( )的“最小导周期”．
(1)已知函数 = ( )，其中 ( ) = ( + ) + ( + )，求证：对任意实数 ， ， ，都有 (4)( ) = ( )；
(2)设 ， ∈ ， ( ) = + ，若函数 = ( )的最小导周期为 2，记 ( , ) =
( )2 + ( + 1 + ( ))2，当实数 ， 变化时，求 ( , )的最小值；
(3)设 > 1， ( ) = ，若函数 = ( )满足 (2)( ) ≤ 对 ∈ (0, + ∞)恒成立，且存在 0 ∈ (0, + ∞)使

得 (2)( 0) = 0，试用 表示 0，并证明2 < 0 < ．
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参考答案
1.
2.
3.
4.
5.[ 1,1)
6.12
7. 4
8.(0, + ∞)
9.90
10.7
11.3 2
12. 2
13. 715
14. 5
15.10 2
16.34
17.解：(1)设正方形 ， 1 1 1 1的中心分别为 ， 1，连接 1，
则 1 ⊥平面 ，
分别取 ， 1 1的中点 ， 1，连接 1， ， 1，
则 ⊥ ， 1 1 ⊥ 1 1．
又 ， 1分别为等腰梯形 1 1底边 ， 1 1的中点，所以 1 ⊥ ，
由 1 1// 1 1// // ，可得四边形 1 1是一个直角梯形，
1 ⊥ ，又 ⊥ ，
所以∠ 1为侧面 1 1与底面 所成二面角的平面角，
因为正四棱台上、下底面的边长分别为 20 和 40 ，高 30 ．
则 1 11 1 = 2 1 1 = 10, = 2 = 20, 1 = 30，
所以 tan∠ 1 =
1 30
= = 3．1 1 10
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所以侧面 1 1与底面 所成二面角的大小为 3；
(2)设圆台 1上底面圆半径 = 10 ，下底面圆半径 = 20 ，高 1 = 30 ，
则圆台 1的体积为 = (102 + 2021 1 3 + 10 × 20) × 30 = 7000 (
3)．
1
又正四棱台的体积 2 = 3 (20
2 + 402 + 202 × 402) × 30 = 28000( 3)，
所以削去部分的体积 3 = 28000 7000 ( 3)，
28000 7000 4
所以削去部分与正四棱台的体积之比为 28000 = 4 ．
18.解：(1)函数 ( ) = log2 为单调增函数，
则 (3 2) < (2 + 1) 0 < 3 2 < 2 + 1，
2
解得 ∈ ( 3 , 3)；
(2)若存在唯一的实数 0，使得 ( 0)， ( 0 )， (2)依次成等差数列，
即 2 ( 0 ) = ( 0) + (2)，也就是方程log2 + 1 = 2 2( )恰有一个实数解，
1
即2 2(2 ) = 2( )在 ∈ (0, + ∞)上恰有一个实数解．
等价于 2 = 在 ∈ (0, + ∞)上恰有一个实数解．
即 = 2 在 ∈ (0, + ∞)上恰有一个实数解．
令 2 = ( > 0)，则 = 1 22 在 ∈ (0, + ∞)上恰有一个实数解．
关于 的二次函数在 ∈ (0, + ∞)上的图象如图：
由图可知， ∈ { 12 } ∪ [0, + ∞)时只有一个交点．
∴ ∈ { 12 } ∪ [0, + ∞)．
19.解：(1)由题意， ～ (500, 2.52)，
= 500令 2.5 ，则 ～ (0,1)，
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因此 (| 500| > 5) = (| | > 2) = 2(1 (2)) ≈ 0.0456，
故净含量误差超过 5 的概率约为 0.046；
(2)由题意可知， 可能的取值为 0、1、2、3，
由(1)可知，任取一包糖果，净含量小于 497.5 的概率为 ( 1) = 1 (1) ≈ 0.1587，
故 服从二项分布 (3,0.1587)， 的所有可能取值为 0，1，2，3，
则 ( = 0) = (1 0.1587)3 ≈ 0.595， ( = 1) = 13 × 0.1587 × (1 0.1587)2 ≈ 0.337， ( = 2) = 23 ×
0.15872 × (1 0.1587) ≈ 0.064， ( = 3) = 0.15873 ≈ 0.004，
所以 的分布列为：
0 1 2 3
0.595 0.337 0.064 0.004
所以 ( ) = 3 × 0.1587 ≈ 0.476．
20.解：(1)易知 2 = 4，
解得 = 2，
因为点 是抛物线 的焦点，
所以 (1,0)，点 到准线 的距离为 2；
(2)证明：易知直线 1， 2的斜率存在且不等于 0 并过点 (1,0)，
设直线 1的方程为 = ( 1)( ≠ 0)， 1( 1, 1)， 2( 2, 2)，
2 = 4
联立 2 2 2 2 = ( 1)，消去 并整理得 (2 + 4) + = 0，
2 2+4
由韦达定理得 1 + 2 = 2 ， 1 2 = 1，
2 2
| 1 2| = 1 + 2 + 2 =
2 +4 4 +4
2 + 2 = 2 ，
4( 1)2+4
同理得| 1 2| = 2( 1)2
= 4 + 4，

1 1 2 1 1
则| 1 2|
+ | 1 |
=
2 4 2+4
+ 4 2+4 = 4；
(3)直线 的方程为 = 3( 1)，
= 3( 1)
联立 ，
2 = 4
11 = 3 1 = 3
解得
= 2 3
或 ，
1 = 2 31 3
令 ( 13 ,
2 3
3 ), (3,2 3)，
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此时| | = 13 + 1 + 3 + 1 =
16 | | = 3+13，| | 1 = 3，
3+1
在△ | | | |中，sin∠ = sin∠ ，
△ | | = | |在 中，sin∠ sin∠ ，
因为∠ + ∠ = ，∠ = ∠ ，
| | | |
所以| | = | | = 3
设 ( , )，
此时 ( 3)2 + ( 2 3)2 = 3 ( 13 )
2 + ( + 2 3 23 ) ，
整理得 2 + ( + 3)2 = 4，
所以点 在以点(0, 3)为圆心，2 为半径的圆上(除去与直线 的两个交点)，
因为圆心(0, 3)在直线 上，
所以点 到直线 距离的最大值为 2．
△ = 1 × 2 × 16 = 16故 面积最大值 2 3 3．
21.解：(1)证明：因为 (1)( ) = [ ( + ) + ( + )]′ = ( + ) ( + )，
(2)( ) = [ ( + ) ( + )]′ = ( + ) ( + )，
(3)( ) = [ ( + ) ( + )]′ = ( + ) + ( + )，
(4)( ) = [ ( + ) + ( + )]′ = ( + ) + ( + ) = ( )，
所以对任意实数 ， ， ，都有 (4)( ) = ( )；
(2)因为 ( ) = + ，且函数 = ( )的最小导周期为 2，
所以 (1)( ) = ( + )′ = ， (2)( ) = ( )′ = 2 ，
由题意知， + = 2 对任意实数 恒成立，
令 = 0，则 1 + = 2 ，即 2 = 1 + 2 ，

令 = 2，则 2 =
2 2 ，则 2 = 1，
所以 = 1， = 0 或 = 1， = 0；
若 = 1， = 0，
则 ( ) = ， (1)( ) = ( )′ = = ( )，
最小导周期为 1，不是 2，与已知矛盾；
若 = 1， = 0，
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则 ( ) = ， (1)( ) = ( )′ = ， (2)( ) = ( )′ = = ( )，
最小导周期为 2，符合要求，
所以 ( ) = ．
又因为 ( , ) = ( )2 + ( + 1 + ( ))2
= ( )2 + ( + 1 + )2
= ( )2 + ( 1 )2，
可视为点 ( , 1)与点 ( , )之间的距离，
当实数 ， 变化时，
点 ( , 1)在直线 = 1 上运动，点 ( , )在曲线 = 上运动，
因此所求最小值可转化为曲线 = 上的点到直线 = 1 距离的最小值，
而曲线 = 在直线 = 1 上方，平移直线 = 1 使其与曲线 = 相切，
则切点到直线 = 1 的距离即为所求．
设切点 ( 0, 0)，
因为 ′ = ，
切线斜率 0 = 1，得 0 = 0，
所以切点为(0,1)，
又因为点(0,1)到直线 = 1 |1+0+1|距离 = = 2，
12+12
即 ( , )的最小值为 2；
(3)证明：因为 (1)( ) = ( )， (2)( ) = 2cos( )，
记 ( ) = (2)( ) ，即 ( ) = 2 ．
由 ( ) = (2)( ) ≤ 0 在(0, + ∞)上恒成立及存在 0 > 0 使 ( 0) = (2)( 0) 0 = 0，
可知 = 0是函数 = ( )的极大值点，
于是 ′( 0) = 3 0 1 = 0，
则 10 = 3①，
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又 ( 0) = 2 0 0 = 0，
则 = 00 2 ②，
1 2 6 1
由①2 +②2，得 0 6 + 4 = 1，则 0 = ，
又因为 0 =
1
3 > 0,
0
0 = 2 < 0，
所以 2 + 2 < 0 < 2 + ( ∈ )，
由 0 > 0，得 ≥ 0，
2
又因为2 < 0 < ( ∈ )，
所以 ( 2 0 ) =
2cos[ ( 2 2 0 )] ( 0 )
= 2 + 2 = 2 0 0 ≤ 0，
有 ≤ 0，于是 = 0，

所以2 < 0 < ．
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