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2025 年云南省保山市腾冲五中高考数学一模试卷
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1 1.设复数 满足 +1为纯虚数，则| | =( )
A. 1 B. 2 C. 3 D. 2
2.已知集合 = { | 2 4 ≤ 0}， = { | 3 < ≤ 4}，则( ) ∩ =( )
A. { | 3 < ≤ 0} B. { | 3 ≤ ≤ 4} C. { | 3 < < 0} D. { | ≥ 4}
3.函数 = ( )与函数 = ( )的图像如图 1 和图 2，则函数 = ( ) ( )的图像可能是( )
A. B.
C. D.
4.在△ 中，内角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，∠ = 120°， = 2， = 1， 为 边上一点，且∠ = 90°，
则△ 的面积为( )
A. 34 B.
3
5 C.
3 3
6 D. 10
2 25.双曲线 2

2 ( > 0, > 0)的左、右焦点分别为 1、 2.过 2作其中一条渐近线的垂线，垂足为 .已知
2 = 2
2
，直线 1的斜率为 4 ，则双曲线的方程为( )
2 2A. = 1 B.
2

2 2 2 2 2
8 4 4 8 = 1 C.
4 2 = 1 D. 2 4 = 1
6.已知一个圆锥的底面半径为 2，其侧面面积是底面面积的 3倍，则该圆锥的体积为( )
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A. 6 B. 2 C. 3 D. 43 3 3 3
7 1 1.已知函数 ( ) = 2 ( + ) 2 | |，则 ( )的值域是( )
A. [ 1,1] B. [ 22 , 1] C. [ 1,
2 2
2 ] D. [ 1, 2 ]
8.已知实数 ， 满足3 = 4 ，则下列不等式可能成立的是( )
A. < < 0 B. 2 < < 0 C. 0 < < D. 0 < 2 <
二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知点 在圆( 5)2 + ( 5)2 = 16 上，点 (4,0)， (0,2)，则( )
A.点 到直线 的距离小于 10 B.点 到直线 的距离大于 2
C.当∠ 最小时，| | = 3 2 D.当∠ 最大时，| | = 3 2
10.在去年的足球联赛上，甲队每场比赛平均失球数是 1.5，方差为 1.1；乙队每场比赛平均失球数是 2.1，
方差是 0.4，下列说法正确的有( )
A.平均来说甲队比乙队防守技术好 B.乙队比甲队的防守技术更稳定
C.每轮比赛甲队的失球数一定比乙队少 D.乙队可能有一半的场次不失球
11.设 ( )是定义域为 的可导函数，若存在非零常数 ，使得 ( + ) = (1 ) ( )对任意的实数 恒成立，
则称函数 ( )具有性质 ( ).则( )
A.若函数 ( )具有性质 ( )，则 ′( )也具有性质 ( )
B.若 ( )具有性质 (2)，则 (1) + (2023) = 0
C.若 ( ) 1具有性质 ( 2 )，且 (0) = 1，则

=1 ( ) <
1
3
D.若函数 ( ) = ( > 0, ≠ 1)具有性质 ( )，则 的取值范围是 0 < < 1
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12 ( ) =
, ≥ 1
.已知函数 ( + 1), < 1，则 ( 2) = ______．
13.已知单位向量 , , 满足 + + = 0，则 = ______．
2 2
14 .已知椭圆 ： 2 + 2 = 1( > > 0)，点 ， 分别为椭圆 的左右顶点，点 为椭圆 的右焦点， 为椭圆
上一点，且 垂直于 轴.过原点 作直线 的垂线，垂足为 ，过原点 作直线 的垂线，垂足为 ，记 1，
402分别为△ ，△ 的面积.若 2 = 9，则椭圆 的离心率为______．1
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
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15.(本小题 13 分)
等差数列{ }的公差 不为 0，其中 3 = 7
1 2 3
， 1， 2， 6成等比数列.数列{ }满足 + + + +2 1 2 2 2 3

2
= 2．
(1)求数列{ }与{ }的通项公式；
(2)若 = ，求数列{ }的前 项和 ．
16.(本小题 17 分)
2024 年初，冰城哈尔滨充分利用得天独厚的冰雪资源，成为 2024 年第一个“火出圈”的网红城市，冰城
通过创新营销展示了丰富的文化活动，成功提升了吸引力和知名度，为其他旅游城市提供了宝贵经验，从
2024 年 1 月 1 日至 5 日，哈尔滨太平国际机场接待外地游客数量如下：
(日) 1 2 3 4 5
(万人) 45 50 60 65 80
(1)计算 ， 的相关系数 (计算结果精确到 0.01)，并判断是否可以认为日期与游客人数的相关性很强；
(2)请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出 关于 的线性回归方程；
(3)为了吸引游客，在冰雪大世界售票处针对各个旅游团进行了现场抽奖的活动，具体抽奖规则为：从该旅
游团中随机同时抽取两名游客，两名游客性别不同则为中奖.已知某个旅游团中有 5 个男游客和 ( ≥ 5)个
女游客，设重复进行三次抽奖中恰有一次中奖的概率为 ，当 取多少时， 最大？

=

=1 ( )( )

参考公式： 2 =
=1 = = =1 ( )( ) ， ， ，参考数据： 3 ≈
=1 ( )

=1
2 2 2 =1 ( )
2
=1 ( )
1.732．
17.(本小题 15 分)
2
已知函数 ( ) = 2 + 2 ( + 2) ， ∈ ．
(Ⅰ)讨论 ( )的单调性；
(Ⅱ) ( 1) ( 2)若 > 1 对任意两个不相等的正实数 1， 2恒成立，求 的取值范围．1 2
18.(本小题 15 分)
如图，在四棱台 1 1 1 1中，平面 1 1 ⊥平面 ，底面 为正方形， = 2， 1 =
1 1 = 1 = 1．
(1)求证： 1 ⊥平面 1 1；
(2)点 在直线 1上，且 ⊥平面 ，求 1与平面 1 1所成角的正弦值．
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19.(本小题 17 分)
2 = 2 ( > 0)
2
已知 是抛物线 21： 与椭圆 2： 4 + = 1 的一个交点， 1的焦点为 ， 为坐标原点．
(Ⅰ)若点 到 轴的距离等于| | 2，求 1的方程；
(Ⅱ)若点 满足 = 2 ，求直线 斜率的最大值；
(Ⅲ)若存在过点 但不过点 的直线 ，与 1交于另一点 ，与 2交于另一点 ，且 为线段 的中点，求
的最大值．
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参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.2
13. 12
14. 63
15.解：(1)由已知 22 = 1 6，又 3 = 7
故(7 )2 = (7 2 )(7 + 3 )
解得 = 0(舍去)，或 = 3
∴ = 3 + ( 3) = 3 2
1 2 3
∵ +2 1 2
+ + 2 2 3
= ①
2 2
故当 = 1 1 1时，可知 = 2 1 = 22 1 2
∴ 1 = 4
当 ≥ 2 1 2 3 1 1时，可知 2
+
1
+
2 2 2
+
3 2
= ②
1 2
① 1②得 = 2 2 = 2 2
∴ = 4
又 1也满足 = 4 ，故当 ∈ 时，都有 = 4 ．
(2)由(1)知 = = (3 2) × 4
故 = 1 × 41 + 4 × 42 + … + (3 5) × 4 1 + (3 2) × 4 ③
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∴ 4 2 = 1 × 4 + … + (3 5) × 4 + (3 2) × 4 +1④
由③—④得 3 = 4 + 3(42 + 43 + … + 4 ) (3 2) × 4 +1
解得 = ( 1) × 4 +1 + 4
16. 1+2+3+4+5 45+50+60+65+80解：(1)因为 = 5 = 3, = 5 = 60，
5 所以 =1 ( )( ) = 85，
5
=1 ( )
2 = 10，

因为5 2 =1 ( ) = 750，
5 所以 ( )2 5

=1 =1 ( )
2 = 7500，

=
5
=1 ( )( ) = 85 ≈ 85所以 ≈ 0.98，
5 ( )25 =1 =1 ( )2
50 3 86.6

由此可以认为日期与游客人数的相关性很强；
(2)由(1)知5

=1 ( )( ) = 85，
5 2
=1 ( ) = 10，
5

= =1 ( )( ) 85所以 5 2 = = 8.5， =1 ( ) 10

因为 = = 60 8.5 × 3 = 34.5，
所以回归方程为 = 8.5 + 34.5；
(3)记 ( ) = = 10 ( +5)( +4) ( ≥ 5, ∈ )，
∵ ( + 1) ( ) = 10( +1) 10 +6)( +5) ( +5)( +4) =
10(4 )
( +4)( +5)( +6) < 0，
∴ ( + 1) < ( ) ≤ (5) = 59，即 0 < ≤
5
9，
∵ = 1 (1 )2 = 3 3 6 23 + 3 , ′( ) = 9 2 12 + 3 = 3(3 1)( 1)，
∴ 在(0, 1 1 53 )上单调递增，在( 3 , 9 ]上单调递减，
∴当 = 13时， 取得最大值，
= 10 1由 ( +5)( +4) = 3，解得 = 20 或 = 1(舍去)，
∴当 = 20 时，恰有一次中奖的概率 最大．
2
17.解：(Ⅰ)函数 ( ) = 2 + 2 ( + 2) 的定义域为(0, + ∞)，
2
∵ ( ) = 2 + ( + 2) = ( +2) +2 ( 2)( )′ = ，
当 ≤ 0 时， ∈ (0,2)时， ′( ) < 0， ∈ (2, + ∞)时， ′( ) > 0，
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∴ ( )在(0,2)上单调递减， ( )在(2, + ∞)上单调递增；
当 0 < < 2 时， ∈ (0, )时， ′( ) > 0， ∈ ( , 2)时， ′( ) < 0， ∈ (2, + ∞)时， ′( ) > 0，
∴ ( )在(0, )、(2, + ∞)上单调递增， ( )在( , 2)上单调递减；
当 = 2 时， ∈ (0, + ∞)时， ′( ) ≥ 0 恒成立，故 ( )在(0, + ∞)上单调递增；
当 > 2 时， ∈ (0,2)时， ′( ) > 0， ∈ (2, )时， ′( ) < 0， ∈ ( , + ∞)时， ′( ) > 0，
∴ ( )在(0,2)、( , + ∞)上单调递增， ( )在(2, )上单调递减．
(Ⅱ)设 0 < < ( 1) ( ，由 2)2 1 > 1 得 ( 1) ( 2) > (1 )( 1 2)，1 2
即 ( 1) (1 ) 1 > ( 2) (1 ) 2．
设 ( ) = ( ) (1 ) ，则 ( )在(0, + ∞)上单调递增，
∴ ′( ) = ′( ) (1 ) = 2 + 3 ≥ 0 在(0, + ∞)上恒成立，
则 2 ≥ 2 + 3 在(0, + ∞)上恒成立，
设 ( ) = 2 + 3 ， ∈ (0, + ∞)，
3
函数的对称轴为 = 2，则 =
3
2时， ( )
9
取得最大值， ( ) = 4．
∴ 2 ≥ 94，则 ≥
9
8
9
则实数 的取值范围为[ 8 , + ∞)．
18.证明：(1) ∵平面 1 1 ⊥平面 ，
底面 为正方形，
∴ ⊥ ，则 ⊥ 1，
∵ = 2， 1 = 1 1 = 1 = 1．
∴过 1， 1分别作 1 ， 1 垂直 于 ， ，
= = 1则 2， = 1，
3
1 = 1 = ，2
则∠ 1 = 60° tan∠ =
1 ， 1 =
3 3
2
1 = 2
3
1+ 3
= ，3
2 2
则∠ 1 = 30°，则∠ 1 = 180° 30° 60° = 90°，
即 1 ⊥ 1，
∵ 1 ∩ = ，
∴ 1 ⊥平面 1 1．
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(2) ∵平面 1 1 ⊥平面 ，底面 为正方形，
∴建立空间直角坐标系如图：则 (0,0,0)， (0,2,0)， (2,0,0)， (2,2,0)， 1 3 3 31(0, 2 , )，2 1(0, , ，2 2 )
则 = (2,0,0)， = (2,0,0)， = (0,2,0)，
1 =
1 1 2 = (1,0,0)，则
1 3
1(1, , )， 1
1
1 = 2 = (1,0,0)，则2 2 1(1,
3 3 ，
2 , 2 )
∵ 在直线 1上，∴设 = 1 = ( 1,
1 3 ，
2 , 2 )
= + = (2, 2,0) + ( 1, 12 ,
3
2 ) = (2
, 2 + 1 , 3 ，2 2 )
∵ ⊥平面 ，∴ ⊥ ，即 2 × ( 2 + 12 ) = 0，得 = 4，
则 1 = (1,
1 , 3 ， ，2 2 ) = ( 2,0, 2 3)
1 = + 1 = (2,0,2 3) + (1,
1 , 3 ) = (3, 1 , 5 3 )，2 2 2 2
∵ 1 ⊥平面 1 1；
∴ 1是平面 1 1的法向量，
则 1 = (0,
3 , 32 2 )，
设 1与平面 1 1所成角为 ，
1 3 5 3 3
则 = |cos < 1 1 × + ×1， > | = | 2 2 2 2
3 3 21 21
1 ．|
| = | 28× 3 | = =1|| 1| 2 21 2×21
= 14
即 1与平面 1 1所成角的正弦值为
21．
14
19.解：(Ⅰ)设点 ( 1, 1)，若点 到 轴的距离等于| | 2，
则 1 = | | 2 | | = 1 + 2，

由抛物线的定义有| | = 1 + 2，∴ 2 = 2 = 4，
∴ 1的方程为 2 = 8 ；
(Ⅱ)设点 ( , ) ，由题意可得 ( 2 , 0)，则有
= ( 1, 1), = ( 2 , )，
由 = 2 有 =
1+
3 , =
1
3，点 ( 1, 1)在抛物线 1：
2 = 2 ( > 0)上，
∴ 21 = 2 1，
1
∴ =
3 1 1 1 1 2
= 1+ = = = ≤ =1+ 2 1 1+ 2 1 2 ，3 2 + 2 1 2 1
1
当且仅当2 =

时，即 1 1 = 2 ，等号成立，
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∴直线 斜率的最大值为 2；
2
(Ⅲ)当直线 的斜率不存在时，此时，点 和点 重合，不满足题意，
当直线 的斜率存在时，设直线 的方程为 = + ， ( 0, 0)， ( 2, 2)，
2 2
4 + = 1由 (1 + 4 2) 2 + 8 + 4 2 4 = 0，
= +
= (8 )2 4(1 + 4 2)(4 2 4) = 16(4 2 2 + 1) > 0，
∴ 1 + 2 =
8 = 1+ 21+4 2， 0 2 =
4
1+4 2 , 0 = 0 + = 1+4 2，
∴ ( 4 , 1+4 2 1+4 2 )，又点 在抛物线 1上，
∴ ( 2 4 2 1+4 2 ) = 2 × ( 1+4 2 ) = 8 (1 + 4 ) = 8 (1+4 2)，
= +
又∵ 2 2 2 = 2 + 2( ) +
2 = 0，
2 2 2
∴ 1
(1+4 )
0 = 2 1 = 2 = 4 3 , 1 = 1 + =

0 4 2
，
2
∴ ( (1+4 ) 3 ,

2 )，又点 在椭圆 上，4 4 2
∴ 1 ( (1+4
2) 6)2 + ( 2 2 64 4 4 3 4 2 ) = 1 = (1+4 2)2+4 2，
2 4
∴ 2 = 64 2(1+4 2)2 = (1+4 2)2[(1+4 2)2+4 2]，
又 1 + 4 2 ≥ 2 1 × 4 2
1
= 4 ，当且仅当 1 = 4 2时，即 =± 2时等号成立，
4 4
∴ 2 = 1(1+4 2)2[(1+4 2)2+4 2] ≤ 16 2(16 2+4 2) = 16×20，
∴ ≤ 5，∴ 的最大值为 5．40 40
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