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2025 年江西省南昌市豫章中学高考数学调研试卷
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.若复数 的实部为 1，则 + =( )
A. 1 B. 2 C. D. 2
2.已知集合 = {1}，集合 = { |0 < < 2}，则“ ∈ ”是“ ∈ ∪ ”的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
3.若 ( ) = sin( + )ln( 1+ )是偶函数，则 + =( )
A. 1 B. 1 C. ±1 D. 0 或 2
4.在平面直角坐标系中，圆 ： 2 + 2 = 1 与圆 21： + 2 6 = 0 相交于 ， 两点，则四边形 1
的周长为( )
A. 4 B. 7 C. 8 D. 10
5.已知△ 的三个内角 ， ， 所对的边分别为 ， ， ，若 = 2 ，且 ， ， 成等差数列，则
=( )
A. 1116 B.
3 3 7
12 C. 12 D. 8
6.一个密闭的长方体盒子高为 4，底面是边长为 2 的正方形，盒内有一个半径为 1 的小球，若将盒子任意
翻动，则小球不能到达区域的体积是( )
A. 16 4 B. 16 103 C. 16
8
3 D. 16 2
7.若 ( ) = 在(0, )上的极大值大于 1，则 的取值范围为( )
A. ( ∞,0) B. ( 3 , 0) C. ( 1,0) D. (0,1)
8.已知等差数列{ }、{ } 的前 项和分别为 、 ，若 = ，对 ∈ 2 +3 ， > 0， < ，则 的
最小值为( )
A. 1 1 15 B. 4 C. 2 D. 1
二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9 + + + .已知两组样本数据，第一组 1, , 1 2 1 2 32 3, 4, 2 ，第二组 1, 2, 3, 4, 3 ，若 1 ≤ 2 ≤ 3 ≤ 4，则( )
A.这两组数据的平均数一定相等 B.这两组数据的极差一定相等
C.这两组数据的第 90 百分位数一定相等 D.这两组数据的众数一定相等
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10 { 8 ( +2).已知数列 }的通项公式为 = 9 ，则( )
A. ∈ ， +1 ≥ B. ∈ ， ∈ ， ≤
C. ∈ ， ∈ ， ≥ D. 、 ∈ ， ≠ ， =
11.已知函数 ( )、 ( )定义域为 ，其中 ( + 2)为偶函数， ( ) + (3 ) = 0，且 ( ) = ( + 1) 3，
(1) = 2，则( )
A. (2025) = 5 B. ( )为奇函数
C. ( ) + (1 ) = 6 D. 2025 =1 ( ) = 0
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12.已知圆锥的母线长为 2，其侧面展开图是一个半圆，则该圆锥的体积为______．
13 tan( + ) = 3 , sin( + 2 ) = 1.已知 2，则 = ______．
14.如图，由 9 个单位小方格组成的 3 × 3 方格表中共有 16 个格点，将每个格点染成灰
色或黑色，满足：若任意 4 个格点构成矩形的 4 个顶点，则这 4 点中至多有 2 点被染成
灰色.则被染为灰色的格点数目最多为______．
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题 13 分)
已知△ 的内角 、 、 的对边分别为 、 、 ，( + + )( + ) = 3 ．
(1)求 ；
(2) 若 = 4， = 3 + 1，求 ．
16.(本小题 15 分)
已知 ( ) = 1， ( ) = ，且 ( )在 = 1 处的切线 与 ( )的交点横坐标为 ．
(1)求 ；
(2)记 ( ) = ( ) ( )，求 ( )的单调区间；
(3)在(2)的条件下，证明： ( ) > 0．
17.(本小题 15 分)
如图， 1 1 1 1是平行六面体，底面 是边长为 1 的正方形， 1 = 2，∠ 1 = ∠ 1 = 60°，
点 ， 满足 = 2 = 2 3 1．
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(1)求证： ， ， 1， 四点共面；
(2)求平面 1 与平面 1 1夹角的余弦值．
18.(本小题 17 分)
2
如图所示， 1， 2， 1， 2分别是“曲圆”与 轴、 轴的交点，已知∠ 1 2 = 3，扇形 1 1 2的面积为
4
3．
2(
2
注：题目中把半椭圆 + = 1( ≥ 0)与圆弧( )2 + 2 2 2 2 = ( < 0)合成的曲线称作“曲圆”，其中
( , 0)为半椭圆的右焦点)
(1)求 ， 的值；
(2)过点 且倾斜角为 的直线交“曲圆”于 ， 两点，试将△ 1 的周长 表示为 的函数；
(3)在(2)的条件下，当△ 1 的周长 取得最大值时，探究△ 1 的面积是否为定值？若是，请求出该定
值；若不是，请求出面积的取值范围．
19.(本小题 17 分)
“由样本估计总体”是统计学中一种重要的思想方法，而我们利用一些样本去估计某一参数的值时，常采
用最大似然估计的方法.最大似然估计是由高斯首次提出，费尔希推广并使之得到广泛应用的一种估计方法，
其原理是从总体中抽出具有 个值的采样 1， 2，…， ，求出似然函数 ( ) = ( 1 = 1, 2 = 2, …, = )，
似然函数 ( )表示样本同时取得 1， 2，…， 的概率，当似然函数取得最大值时参数的取值即为该参数的
最大似然估计值．
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(1)已知一工厂生产产品的合格率为 ，每件产品合格与否相互独立，现从某批次产品中随机抽取 20 件进行
检测，有 2 件不合格；
( )估计该批次产品合格率；
( )若用随机变量 表示产品是否合格， = 0 表示不合格， = 1 表示合格，求合格率 的最大似然估计值，
并判断与( )中估计值是否相等；
(2)设一次试验中随机变量 的概率分布如下：
1 2 3
2 2 (1 (1 ) )2
现做 次独立重复试验， = 1 出现了 1次， = 2 出现了 2次， = 3 出现了 3次，求 的最大似然估计值；

(3)泊松分布是一种重要的离散分布，其概率分布为 ( = ) = ! ( = 0,1,2, )，设一次试验中随机变
量 的取值服从泊松分布，进行 次试验后得到 的值分别为 1， 2，…， ，已知 的最大似然估计值为 2，
求数列{ }的前 项和 ．
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参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12. 3 3
13.14
14.6
15.解：(1)因为( + + )( + ) = 3 ，即( + )2 2 = 3 ，可得 2 + 2 2 = ，
2
由余弦定理可得 = +
2 2 1，
2 = 2
因为 ∈ (0, ) ，故 = 3；
(2)因为 = 4， =

3，则 = sin( + ) = + =
2 1 2 3 2+ 6，
2 × 2 + 2 × 2 = 4
2( 3+1)
= = 由正弦定理得 ，解得
2
= 6+ 2 = 2．
4
16.解：(1)依题意， ′( ) = 1，
则 ′(1) = ，
又 (1) = ，
所以函数 ( )在 = 1 处的切线为 = ( 1)，即 = ．
则 = ( ) = ，
解得 = 1．
(2)由题知 ( ) = 1 ( > 0)，
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′( ) = 1 1．
记 ′( ) = ( ) 1，则 ′( ) = 1 ，
易得 ′( )在(0, + ∞)上单调递增．
又 ′(1) = 0，
所以 ∈ (0,1)时， ′( ) < 0； ∈ (1, + ∞)时， ′( ) > 0，
则 ( )在(0,1)上单调递减，在(1, + ∞)上单调递增，
则 ( ) ≥ (1) = 0，即 ′( ) ≥ 0，
所以 ( )在(0, + ∞)单调递增，
即 ( )的单调递增区间为(0, + ∞)，无单调递减区间．
(3)证明：当 0 < < 1 时， 1 > 0， < 0，
所以 ( ) = 1 > 0；
由(2)知：当 ≥ 1 时，因为 ( )在(0, + ∞)单调递增，
则 ( ) ≥ (1) = 1 > 0．
综上， ( ) > 0，即得证．
17.(1) 2证明：因为 = 13 ，所以 = + = +
2
3
1，
因为 2 = 2 3
1，所以 = + = +
1
3 1，
所以 + = + + 1 = 1，
所以 ， ， 1， 四点共面；
(2)解：设 = ， = ， 1 = ，
则由题意可得：| | = | | = 1，| | = 2， = 0， = = 1，
设 = 1 + 1 + 1 为平面 1 的法向量，
5
则由 = 0，有 1 + 2 1 + 11 1 = 0
= 0 1 + 4 1 + 7 1 = 0
，
令 1 = 3，有 1 = 5， 1 = 4，所以 = 5 + 4 3 ，
则| | = 25 + 16 + 36 30 24 = 23，
设 = 2 + 2 + 2 为平面 1 1的法向量，
= 0 +
则由 ，可得 2 2
= 0
1 = 0 2 + 2 + 4 2 = 0
，
令 2 = 1，有 2 = 1， 2 = 3，所以 = + 3 ，
则| | = 1 + 9 + 4 2 6 = 6，
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又 = (5 + 4 3 ) ( + 3 ) = 5 5 + 12 4 3 9 + 12 = 8，
| | 4 138
所以平面 1 与平面 1 1夹角的余弦值为| || ．| = 69
18.解：(1) 1 2 扇形 1 1 2的面积为2 × 3 ×
2 = 4 3，所以 = 2，
2 2
2 + 2 = 1( ≥ 0)与 轴的交点 2(0, )，右焦点 ( , 0)，
因此在三角形 2中，tan∠ = tan
= 2 3 = 3，
又由于 2 + 2 = 2 = 4，因此 = 1．
(2)显然 的斜率不为 0，因此 ∈ (0, )，
2 2
根据第一问知半椭圆方程为 + = 1( ≥ 0)，4 3
圆弧方程为( 1)2 + 2 = 4( < 0)， 1( 1,0)恰为椭圆的左焦点，
2 2 2
①当 ∈ [ 3 ,

3 ]时， 、 在半椭圆 4 + 3 = 1( ≥ 0)上，
由于 、 在半椭圆上，因此| | + | 1| = | | + | 1| = 2 = 4，
因此三角形 1 的周长 = | 1| + | 1 | + | | + | | = 8；
2 2 2②当 ∈ ( 3 , )时， 、 分别在半椭圆 4 + 3 = 1( ≥ 0)和圆弧( 1)
2 + 2 = 4( < 0)上，
由于| 1 | = | | = 2，因此三角形 1 是腰为 2 的等腰三角形，且∠ 1 = ，
因此| 1 | = 4

2 = 4

2，
由于 在半椭圆上，因此| | + | 1| = 2 = 4，
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因此三角形 1 的周长 = | 1| + | 1 | + | | + | | = 6 + 4

2；
2 2
③当 ∈ (0, 3 )时， 、 分别在圆弧( 1)
2 + 2 = 4( < 0)和半椭圆
4 +

3 = 1( ≥ 0)上，
由于| 1 | = | | = 2，因此三角形 1

是腰为 2 的等腰三角形，且∠ 1 = ，因此| 1 | = 4 2，
由于 在半椭圆上，因此| | + | 1| = 2 = 4，
因此三角形 1 的周长 = | 1| + | 1 | + | | + | | = 6 + 4

2．
6 + 4 2 , ∈ (0,

3 )
综上所述， = 8, ∈ [ , 2 3 3 ] ．
6 + 4 2 , ∈ ∈ (
2
3 , )
(3) ∈ ( 2 , ) ∈ ( , 1根据第二问知，当 3 时，2 3 2 ), cos 2 ∈ (0, 2 ), = 6 + 4

2 ∈ (6,8)，
当 ∈ (0, 3 )

时，2 ∈ (0, 6 ), sin 2 ∈ (0,
1
2 ), = 6 + 4

2 ∈ (6,8)，
2 2 2
因此当 ∈ [ 3 , 3 ]时， 取得最大值 8，此时 、 在

4 +

3 = 1( ≥ 0)上，
设 为 = + 1，
= + 1
联立直线 和椭圆方程可得 2 2 ，化简得(3 2 + 4) 2 + 6 9 = 0，
4 + 3 = 1
6 9
根据韦达定理可得 1 + 2 = 3 2+4 , 1 2 = 3 2+4，
2 2
| | = 1 + 2 ( 21 + 2) 4 1 2 = 1 + 2
144+144 12( +1)
3 2
，
+4 = 3 2+4
2
点 1( 1,0)到 的距离 = ，1+ 2
1
2 2
因此 △ 1 = 2 × | | × =
1 × 12( +1) 2 12 +1，2 3 2+4 × =1+ 2 3 2+4
2 + 1 = 2 1令 ，由于 ∈ [ 23 , 3 ]，因此 0 ≤ ≤ 3，
2 + 1 = ∈ [1, 43 ]，
= 12
2+1 1
△ 1 3 2+4 = 12 9 2+6 +1 = 12 9 +1+6，
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由于函数 ( ) = 9 + 1 在[1,
4 4
3 ]上单调递增，因此 (1) ≤ ( ) ≤ ( 3 )，所以 10 ≤ ( ) ≤
51
4，
因此
16 ≤ 9 + 1 + 6 ≤
75 , 4 1 1 2 3 1 1 8 3 14 75 ≤ ≤ , ≤ ≤ ,9 +1+6 16 15 9 +1+6 4 5
≤ 12 1 ≤ 3，
9 + +6
所以三角形 1 的面积不是定值，取值范围是[
8 3 ．
5 , 3]
19.解：(1)根据题目：已知一工厂生产产品的合格率为 ，每件产品合格与否相互独立，现从某批次产品中
随机抽取 20 件进行检测，有 2 件不合格；
(ⅰ) 20 2由题该批次产品合格率 = 20 = 0.9；
(ⅱ)由题意得，似然函数 1( ) = 18(1 )2， 1′( ) = 17( 1)(20 18)，
当 ∈ (0,0.9)时， 1′( ) > 0， 1( )单调递增，
当 ∈ (0.9,1)时， 1′( ) < 0， 1( )单调递减，
则当 = 0.9 时， 1( )取得最大值，即 的最大似然估计值为 0.9，与(ⅰ)中的估计值相等；
(2) 2( ) = ( 2) 1[2 (1 )] 2[(1 )2] 3 = 2 2 2 1+ 2(1 )2 3+ 2，
令 ( ) = 2( ) = (2 1 + 2) + (2 3 + 2)ln(1 ) + 2 2，
则 2 + 2 + ′( ) = 1 2 3 2
2 +
1 ，令 ′( ) = 0，解得 =
1 2
2 ，
易知 ′( )在 ∈ (0,1)上单调递减，

则当 ∈ (0, )时， ′( ) > 0， ( )单调递增，当 ∈ ( , 1)时， ′( ) < 0， ( )单调递减，

所以 2( )在(0, )上单调递增，在( , 1)上单调递减，
2 + 2 +
则 = = 1 22 时， 2( )取得最大值，所以 的最大似然估计值为
1 2
2 ．

(3) 3( ) = ( = , , = ) =

1 1 =1 !
= =1 ，


=1 !
设 ( ) = 3( ) = ( =1 )

=1 !，
则函数 ( )与 3( )单调性相同，因为 ′( ) =
1
=1 为减函数，

令 ( ) = 0 ，得 = =1 ，则 0 < <
=1
时，

′( ) > 0 函数 ( ) 单调递增； > =1 时， ′( ) < 0 函数， ( )单调递减，

所以 = =1 为 ( )极大值点也及最大值点，
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所以 = =1 为 3( )极大值点也及最大值点，

则由题 的最大似然估计值为 =1 = 2，即

=1 = = 2 ．
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