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2025 年江西省景德镇市昌江一中高考模拟
数学试卷（二）
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.命题“ ∈ ( , + ∞)， > 1”的否定是( )
A. ∈ ( , + ∞)， ≤ 1 B. ∈ ( , + ∞)， ≤ 1
C. ∈ (0, ]， > 1 D. ∈ (0, ]， > 1
2.已知复数 满足(1 ) = 2 + ，则| | =( )
A. 102 B. 5 C.
5 D. 102 4
3.已知集合 = { , 1}， = { | 2 + 2 ≤ 0}，若 ，则实数 的取值范围是( )
A. { 2,1} B. { 1,0,2} C. [ 2,1] D. [ 2,1)
4.若 sin( + ) 2 = cos( )，则下列结论一定正确的是( )
A. tan( ) = 1 B. tan( + ) = 1 C. tan( ) = 1 D. tan( + ) = 1
5.在△ 中， 为 边上一点，且 = 3 ，设 = ， = ，则 =( )
A. 23 +
1 B. 1 2 3 3 + 3
C. 2 1 3 3 D.
1
3
2
3
6.如图，在圆锥 中， 是底面圆的直径，已知 = 4，∠ = 30°， 是 的中点，二面角
的大小为 60°.则圆锥 的体积为( )
A. 4 3
B. 4
C. 16 3
D. 6
7.已知5 = 2，5 = 2，52 = 3，则下列结论正确的是( )
A. < 且 < 2 B. > 且 > 2 C. 2 < < D. < < 2
8.已知点 是抛物线 ： 2 = 4 的焦点，点 是抛物线 上一点.过点 作圆 ： 2 + 2 = 1 的两条切线，切点
分别为 ， ，且分别交抛物线的准线于 ， 两点， ， 位于 轴异侧(如图所示).若| | = 2 11，则| |
的长为( )
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A. 2 B. 3 C. 4 D. 3 3
二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知函数 ( ) = sin( 32 +

4 )，将 ( )

的图象向左平移6个单位长度后与函数 = ( )的图象重合，则关于
函数 = ( )，下列结论正确的是( )
A.函数 = ( ) 4 的最小正周期为 3 B.函数 = ( )图象关于点( 3 , 0)对称
C.函数 = ( ) = 图象关于直线 3对称 D.函数 = ( )在区间(0, 3 )上单调递减
10 2 1.设 ， 是一次随机试验中的两个事件，且 ( ) = 3， ( ) = 4， ( ∪ ) ( ∩ ) =
7
12，则( )
A. ， 相互独立 B. ( | ) = 13

C. ( + ) = 56 D. ( | ) < ( | )
11.已知函数 ( )的定义域为 ，区间 ，若 0 ∈ ， ( 0) = 0，则称 0是 ( )在 上的不动点，集合 =
{ 0| ( 0) = 0, 0 ∈ }为 ( )在 上的不动点集.若函数 ( ) = 3 (3 2 1) + 1( > 0)在 上的不动点
集为{ 1, 2, 3}，下列结论正确的是( )
A. 1 + 2 + 3 = 0 B. 1 2 3 = 1
3
C. 0 < ≤ 42 D.
2 2 2 3
1 + 2 + 3 > 3 2
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
2
12.函数 ( ) = 2 2在点 (0, (0))处的切线方程为______．
13.在△ 中，角 ， ， 所对的边分别为 ， ， ，已知 = 2 3， = 6，则△ 的面积的最大值为______．
14
2 2
.已知椭圆 ： 2 + 2 = 1( > > 0)的左，右焦点分别为 1( , 0)， 2( , 0)，其中 > 0，直线 = ( ≠
0)与椭圆 交于 ， 两点，记△ 1的面积为 ，若| | = 时， ≥ 22 3 ，则椭圆 的离心率的取值范围为
______．
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题 13 分)
已知数列{ }满足： 1 = 1， +1 = + 2 ( ∈ )．
(1)求数列{ }的通项公式；
(2)设数列{ }的前 项和为 ，若 =
+1
，求证： < 1． +1
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16.(本小题 15 分)
为激发学生注重学科核心素养的培养，某校数学教研组开展数学基本技能比赛，比赛采用自主报名参赛方
式，全校共有 200 名学生自主报名参赛，统计参赛成绩，参赛学生所得分数的分组区间为[70,80)，[80,90)，
[90,100]，得到如下的频数统计表：
分数区间性别 [70,80) [80,90) [90,100]
男生/名 15 45 60
女生/名 25 25 30
(1)若学生得分不低于 90 分，则认为基本技能优秀，得分低于 90 分，则认为基本技能良好，依据小概率值
= 0.1 的独立性检验，分析该校学生的基本技能与性别是否有关？
(2)为进一步调研男生和女生在基本技能上的差异，在参加数学基本技能比赛的 200 名学生中，按性别比例
分层抽样的方式随机抽取 5 名学生进行问卷调研，然后再从这 5 名学生中随机抽取 3 名学生进行座谈调研，
记取出的 3 人中女生的人数为 ，求 的分布列和数学期望．
附：
0.10 0.05 0.010
2.706 3.841 6.635
2 = ( )
2
( + )( + )( + )( + )， = + + + ．
17.(本小题 15 分)
如图，在三棱柱 1 1 1中， 为边 上(异于 ， 两点)的动点，平面 1 与边 1 1交于点 ．
(1)请判断四边形 1 的形状，并说明理由；
(2)已知侧面 1 1 ⊥底面 ， = 3 ， 1 = 1 = = = 2 2， = 4，求直线 与平面
1 所成角的大小．
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18.(本小题 17 分)
已知函数 ( ) = ， ( ) = ．
(1)证明：函数 = ( )与 = ( )的图象关于直线 = 对称；
(2)设 ( ) = ( ) ( ) 1．
(ⅰ)判断函数 ( )的单调性；
(ⅱ) ( +1) 1证明： ∈ (2, + ∞)， 2 > + ．
19.(本小题 17 分)
2 2
已知 1， 2分别是双曲线 ： 2 2 = 1( > 0, > 0)的左、右焦点， 是双曲线 的右支上一点，若| 1|
| 2| = 2 2
6
，双曲线 的离心率为 2 ．
(1)求双曲线 的标准方程；
(2)设 1， 2分别是双曲线 的左，右顶点，平行 轴的直线 交双曲线 于 ， (异于 1， 2)两点.直线 1
与直线 2 交于点 ，求交点 的轨迹 的方程；
(3)过点 (1,0)且斜率为 (| | ≥ 1)的直线交第(2)问的轨迹 于 ， ( , 不在坐标轴上)两点，点 是轨迹
上一点，满足 ⊥ 轴，直线 ， 分别交直线 于点 ， ，其中 为坐标原点，记 △ = 1， △ = 2，
1 1
求 + 的最小值．1 2
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参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12. + 1 = 0
13.3 3
14.( 2 , 62 3 ]
15.解：(1)数列{ }满足 1 = 1， +1 = + 2 ( ∈ )，
所以当 ≥ 2 时， = + 2 1 1 ，…， 3 = 2 + 22， 2 = 1 + 2，
上述各式相加得 = 1 + 2 + 22 + + 2 1，

又 1 = 1，所以 = 1 + 2 + 22 + + 2 1 =
1 2
1 2 = 2 1( ≥ 2)，
又 1 = 1 满足上式，故 = 2 1( ∈ )．
(2) +1证明：设数列{ }的前 项和为 ，若 = ， +1

所以 =
+1 2 1+1 1 1

=
+1 (2 1)(2 +1 1)
= 2 1 2 +1 1，
所以数列{ }的前 项和
1 1 1 1 1 1 1 = 21 1 22 1+ 22 1 23 1+ + 2 1 2 +1 1 = 1 2 +1 1 < 1，
即 < 1．
16.解：(1)学生得分不低于 90 分，则认为基本技能优秀，得分低于 90 分，则认为基本技能良好，
根据题意得如下 2 × 2 列联表：
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男生 女生 合计
基本技能优秀 60 30 90
基本技能良好 60 50 110
合计 120 80 200
零假设 0：该校学生的基本技能与性别无关联．
2 = 200×(60×50 60×30)
2 100
120×80×110×90 = 33 ≈ 3.030 > 2.706，
依据小概率值 = 0.1 的独立性检验，我们推断 0不成立，
即认为该校学生的基本技能与性别有关联，此推断犯错误的概率不大于 0.1．
(2)在参加数学基本技能比赛的 200 名学生中，按性别比例分层抽样的方式随机抽取 5 名学生进行问卷调研，
然后再从这 5 名学生中随机抽取 3 名学生进行座谈调研，
记取出的 3 人中女生的人数为 ，由题意知，随机抽取进行问卷调查的 5 名学生中，女生 2 名，男生 3 名，
∴随机变量 的可能取值有 0，1，2，
0 3
故 ( = 0) = 2 33 =
1
5 10
，
1 2 ( = 1) = 2 3 = 33 5， 5
( = 2) =
2 12 3 3
3
= ，
5 10
∴ 的分布列为：
0 1 2
1 3 3
10 5 10
( ) = 0 × 1 3 3 610 + 1 × 5+ 2 × 10 = 5．
17.解：(1)在三棱柱 1 1 1中， 1// 1，
又 1 平面 1 1， 1 平面 1 1，
所以 1//平面 1 1，又平面 1 ∩平面 1 1 = ， 1 平面 1 ，
所以 1// ，
又平面 1 1 1//平面 ，
平面 1 ∩平面 = ，平面 1 ∩平面 1 1 1 = 1 ，
所以 // 1 ，
所以四边形 1 为平行四边形；
(2)取 的中点 ，连接 ， 1 .
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在△ 中，因为 = ，所以 ⊥ ，
因为侧面 1 1 ⊥底面 ，底面 ∩侧面 1 1 = ， 底面 ，
所以 ⊥平面 1 1，又 1 侧面 1 1，所以 ⊥ 1．
在△ 中，由 = 4， = = 2 2，可知 = 2，
在 △ 1中，因为 1 = 2 2， = 2，所以 = 2 2 = (2 2)2 221 1 = 2，
所以 21 + 2 = 8 = 21，所以 1 ⊥ ，
从而 ， ， 1两两垂直．
以 为原点，以 ， ， 1所在直线分别为 轴， 轴， 轴建立空间直角坐标系，如图，
则 (0,0,0)， 1(0,0,2)， (2,0,0)， (0,1,0)， (0, 2,0)，
所以 = ( 2,1,0)， = 1 = (0,2,2)， = (2,2,0)，
= 2 + = 0,
设平面 1 的法向量为 = ( , , )，则 = 2 + 2 = 0,
令 = 1，得 = (1,2, 2)，
设直线 与平面 1 所成角为 ，
= |cos < |
, > | =
| = |2×1+2×2+0×( 2)|则 =
2
| || | 2 ，2 +22+02 12+22+( 2)2 2

因为 ∈ (0, 2 ]，所以 = 4，

即直线 与平面 1 所成角的大小为4．
18.解：(1)证明：设点 ( 0, 0)为函数 ( ) = 上任一点，又点 ( 0, 0)关于直线 = 对称的点为 ( 0, 0)，
∵ 0 = ( 0) = 0，∴ 0 = 0，∴点 ( 0, 0)在函数 = ( )的图象上．
设点 ( 1, 1)为函数 = ( )上任意一点，又点 ( 1, 1)关于直线 = 对称的点为 ( 1, 1)，
∵ 1 = ( 1) = 1，∴ 1 = 1，∴点 ( 1, 1)在函数 = ( )的图象上．
综上可得，函数 = ( )的图象与 = ( )的图象关于直线 = 对称；
(2)(ⅰ)由已知 ( ) = ( ) ( ) 1 = 1( > 0)，
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得 ′( ) = + = ( +
1
)，
令 ( ) = + 1 1 1 1 1 ，则 ′( ) = 2 = (1 )，
当 0 < < 1 时， ′( ) < 0， ( )在(0,1)单调递减，
当 > 1 时， ′( ) > 0， ( )在(1, + ∞)单调递增，

∴ ( ) = (1) = 1 > 0，∴ ′( ) = +

=
( + 1 ) > 0，
则 ( )在(0, + ∞)单调递增．
(ⅱ) ( +1) 2 + 1 =
+1 ln( +1) 1 1
证明： 2 + = ln( + 1)
2 ，
当 > 2 时，令 ( ) = ln( + 1) 2 ，
则 ′( ) = [ln( + 1) + 1 +1 ] 2 1 >
2 1( > 2)，
令 ( ) = 2 1( > 2)，则 ′( ) = 2 > 0( > 2)，
∴ ( )在(2, + ∞)上单调递增，则 ( ) > (2) = 2 5 > 0，
∴ ′( ) > 0，∴ ( )在(2, + ∞)上单调递增，
则 ( ) > (2) = 2 3 6 > 2 6 > 0，
∴ ( +1)
2 + 1 > 0，
即 ∈ (2, + ∞) ( +1)， >
2 + 1 ．
19. (1) ∵
2

2
解： 1， 2分别是双曲线 ： 2 2 = 1( > 0, > 0)的左、右焦点， 是双曲线 的右支上一点，
且| 1| | 2| = 2 2，
∴ = 2，
又双曲线 的离心率为 6，
2
即 = 6，得 ， = 2 = 3
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∴ = 2 2 = 1，
2∴双曲线 的标准方程为
2
2 = 1．
2
(2)由(1)得双曲线 的方程为 2 = 1，2
设 ( , ), ( 1, 1)(| 1| > 2)，
则 ( 1, 1)，又 1( 2, 0)， 2( 2, 0)，
则 1 = ( + 2, ), 1 = ( 1 + 2, 1)，
由 1， ， 三点共线得：( 1 + 2) = 1( + 2)；
又 2 = ( 2, ), 2 = ( 1 2, 1)，
由 2， ， 三点共线得：( 1 2) = 1( 2)，
两式相除得 = 2 , = 2 1 ， 1
∵
2
1 2 ，
2 1 = 1
4 2 2
所以 ，
2 2 2 = 1
2
即 2 2 2 = 2，得 2 ，
2 + = 1( ≠ 0)
2
∴直线 1 与直线 2 的交点 的轨迹 的方程为

2 +
2 = 1( ≠ 0)．
(3)由已知可设直线 的方程为 = ( 1)，| | ≥ 1，设 ( 2, 2)， ( 3, 3)，
2 2
联立 2 + = 1( ≠ 0),
= ( 1),
化简可得(2 2 + 1) 2 4 2 + 2 2 2 = 0，
∴ = (4 2)2 4(2 2 + 1)(2 2 2) = 8 2 + 8 > 0，
4 2 2 2∴ 2 + 3 = 2 2+1 , 2 =
2
3 ，2 2+1
2
= 22 3 ( 2 1)( 3 1) = 2( 2

3 2 3 + 1) = 2 2 ，+1
2 + 3 = ( 2 + 3 2) =
2
2 2+1，
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又直线 2 2的方程为 = ，与直线 = 1 联立可得 (1, )，2 2
∴ 1 =
1
2 × |
2
| × | 2 1|，2
= 3 (1, 直线 3的方程为 ，与直线 = 1 联立可得 )，3 3
∴ = 12 2 × |
3
| × | 3 1|，3
∴ 1 1 2 2 2 3 | 2+ | | 3+ | + = | | + | | = 2 + 2 ，1 2 2( 2 1) 3( 3 1) 22 23
∵ | | ≥ 1，∴ ( 2 + )( 3 + ) = 2 2 3 ≥ 0，
1 1 2 2∴ + = 2| 2 3+ 3+
2
2 3+
2
2
1 2 2 2
|，
2 3
3 3
2 + 2 = ( + )2 2 = 4 + 2 = 2
3(2 2+3)
又 2 3 2 3 2 3 (2 2+1)2 2 2+1 (2 2+1)2 ，
3
2 22 3 + 3 2 = 2 3( 2 + 3) =
2
(2 2+1)2，
∴ 1 +
1
= 8| +
2
1 2
| ≥ 16 2，当且仅当 =± 2时取等号，
∴ 1 + 1 1 的最小值为 16 2．2
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