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2025 年湖北省宜昌市远安第一高级中学高考数学模拟试卷（一）
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合 = { |log2 < 1}， = { | < 1}，则 ∩ =( )
A. ( ∞,1) B. (0,1) C. ( ∞,2) D. (0,2)
2 1+ .设复数 满足2 = ( 为虚数单位)，则 =( )
A. 2 B. 2 C. 2 + 2 D. 2 2
3.已知平面向量 , 是两个单位向量， 在 1上的投影向量为 2 ，则 ( +
) =( )
A. 1 B. 32 C. 2 D. 3
4.若数列{ }各项均为正数，则“{ }为等比数列”是“{ }为等差数列”的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分又不必要条件
5.已知抛物线 2 = 2 ( > 0) 的焦点为 ，点 ( 0, 4)在抛物线上，点 到点 的距离与到直线 = 2的距离
相等，则 =( )
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
6 ( ) = 1, ≤ 0.已知函数 1 , > 0 ，则 (2 ) + ( 3) > 0 的解集是( )
A. ( ∞,1) B. (1, + ∞) C. ( ∞, 3) D. ( 3, + ∞)
7.已知圆台的侧面展开图是半个圆环，侧面积为 4 ，则圆台上下底面面积之差的绝对值为( )
A. B. 2 C. 4 D. 8
8.已知 0 < < < 2，则( )
A. < B. <
C. < D. >
二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9 1 .在二项式( + ) 2 的展开式中，前 3 项的系数成等差数列，则下列结论中正确的是( )
A. = 8
B.展开式中所有奇数项的二项式系数和为 128
C. 1常数项为16
D.展开式中系数最大项为第 3 项和第 4 项
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2 2
10.已知 1，

2分别是椭圆 ： 4 + 3 = 1 的左、右焦点， 为坐标原点， 为 上异于左、右顶点的一点，
是线段 2的中点，则( )
A. | | + | 2| = 2 B. | | > 1
C. △ 32内切圆半径的最大值为 6 D. △ 1 2外接圆半径的最小值为 1
11.已知递增数列{ }的各项均为正整数，且满足 = 3 ，则( )
A. 1 = 3 B. > C. 5 = 6 D. 2025 = 81 25
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12.将两个 1，两个 3，一个 5 排成一行，则不同的排法种数为______. (用数字作答)
13.函数 ( ) = | | + 的最小值为______．
14.已知正四面体 的棱长为 2 2，动点 满足 2 + 2 = 2 + 2，用所有这样的点 构成的平面
截正四面体，则所得截面的面积为______．
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题 13 分)
7
某公司升级了智能客服系统，在测试时，当输入的问题表达清晰时，智能客服的回答被采纳的概率为8，当
1 1
输入的问题表达不清晰时，智能客服的回答被采纳的概率为2 .已知输入的问题表达不清晰的概率为5．
(1)求智能客服的回答被采纳的概率；
(2)在某次测试中输入了 3 个问题，设 表示智能客服的回答被采纳的次数.求 的分布．
16.(本小题 15 分)
如图，正方形 所在平面和等腰梯形 所在平面互相垂直，已知 = 4， = = 2，点 在线段
上．
(1)求证：平面 ⊥平面 ；
(2)当直线 3 21 与平面 所成角的正弦值为 14 时，求 ．
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17.(本小题 15 分)
2 2
已知双曲线 ： 2 2 = 1( > 0, > 0)的离心率为 2， 为坐标原点，过 的右焦点的直线 交 的右支于 ，
两点，当 ⊥ 轴时，| | = 2 2．
(1)求 的方程；
(2)过 作直线 = 1 的垂线，垂足为 ．
( )证明：直线 过定点；
( )求△ 面积的最小值．
18.(本小题 17 分)
已知 ， ∈ ，函数 ( ) = ， ∈ [0, + ∞)．
(1)当 = 0 时，求 ( )的极值；
(2)若 ( )存在零点．
( )当 = 0 时，求 的取值范围；
( )求证： 2 + 2 > 2．
19.(本小题 17 分)
如图，已知给定线段 1 1长为 2，以 1 1为底边作顶角为 (0° < ≤ 90°)的等腰三角形 1 1 1，取△ 1 1 1
的腰 1 1的三等分点 2， 2( 2靠近 1)，以 2 2为底边向△ 1 1 1外部作顶角为 的等腰三角形 2 2 2
依次类推，取△ 1 1 1的腰 1 1的三等分点 ， ( 靠近 1)，以 为底边向
△ 1 1 1外部作顶角为 的等腰三角形 ( ≥ 2)，得到三角形列{ △ }.
(1)用 表示出△ 2 2 2的外接圆半径；
(2)当 = 60°时，证明：{ △ }各顶点均在△ 1 1 1外接圆上或其内部；
(3)若{ △ }各顶点均在△ 1 1 1外接圆上或其内部，求 的取值范围．
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参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.30
13. 1
14.2
15.解：(1)根据题意，设 =“输入的问题表达清晰”，事件 =“智能客服的回答被采纳”，

( ) = 1则 5，则 ( ) = 1
1 4
5 = 5，
( | ) = 7

8， ( | ) =
1
2，

故 ( ) = ( ) ( | ) + ( ) ( | ) = 4 × 7 1 1 45 8+ 5 × 2 = 5，
(2)根据题意， 可取的值为 0、1、2、3，则 ～ (3, 45 )，
则 ( = 0) = 0 4 3 13(1 5 ) = 125，
( = 1) = 0 × 4 4 2 123 5 × (1 5 ) = 125，
( = 2) = 0 × ( 4 )23 5 × (1
4 48
5 ) = 125，
( = 3) = 0 × ( 4 3 643 5 ) = 125，
故 的分布为：
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0 1 2 3
1 12 48 64 125 125 125 125
16.解：(1)证明：由正方形 有 ⊥ ，又平面 ⊥平面 ，平面 ∩平面 = ，
所以 ⊥平面 ，又 平面 ，
所以 ⊥ ，
过点 作 ⊥ ，则 = 1， = 3， = 3，
所以 = 2 3，
所以 2 + 2 = 2，即 ⊥ ，
又 ∩ = ，所以 ⊥平面 ，又 平面 ，
所以平面 ⊥平面 ；
(2)由(1)知 ， ， 两两互相垂直，
分别以 ， ， 所在直线为 轴， 轴， 轴，建立空间直角坐标系如图：
则有 (0,0,0)， (2,0,0)， (0,2 3, 0)， ( 1, 3, 2)，

设 = (0 ≤ ≤ 1)，则 = ，
设 ( , , )，则有( 2, , ) = ( 1 , 3 , 2 )，
解得 = 2 3 2 1+ ， = ， =1+ 1+ ，
得 ( 2 3 1+ , 1+ ,
2
1+ )；
所以 = ( 2,2 3, 0)， = ( 3, 3, 2)， = ( 2 3 2 ，1+ , 1+ , 1+ )
设平面 的法向量为 = ( , , )，
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= 2 + 2 3 = 0
则有

，
= 3 + 3 + 2 = 0
令 = 1，得 = ( 3, 1, 3)，
设直线 与平面 所成角为 ，

2 3(1+ )
= |cos < , > | = | | = | 1+ | = | 3(1+ ) | = 3 21
所以 | || | 8 2 4 +4 14 2 7 +7 14 ，× 7
(1+ )2
解得 = 1 52或 = 7，
1 5
所以 = 2或7．
17. 解：(1)由题设 = 2且 2 + 2 = 2 ，则 = , = 2 ，
2
由 ⊥ 轴时，| | = 2 2，不妨令 ( 2 , 2) 2 ，代入双曲线得
2
2
2 = 1，
2 2
所以 2 = 2 = 2，则所求方程为 = 1；2 2
(2)( )证明：设 ( 1, 1)， ( 2, 2)，则 (1, 1)，由 斜率不为 0，设 ： = + 2，
联立双曲线并整理得( 2 1) 2 + 4 + 2 = 0，则 2 1 ≠ 0， = 8 2 + 8 > 0，
所以 1 + 2 =
4 2
2 1， 1 2 = 2 1，
由 2 ≠ 1，直线 =
2 ： 1 1 ( 1) + 1，2
根据双曲线的对称性，直线 所过定点必在 轴上，

令 = 0 2 1，则 1 ( 1) + 1 = 0 =
2 1 2
2 ，2 1
= + 2 = 2 因为 ，所以 1 2
2 1
2 2 ，2 1
+ + 1 2 = 2 1+ 2
1 2
而 = 1
+
2，则 = 2 2
2 1 3
2 ，1 2 2
=
1 2
所以 3过定点 ( 2 , 0)；
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2
= 1 | || | = 3 ( + )2 4 = 3 2 +1由 ，2 1 2 4 1 2 1 2 2 ( 2 1)2
2 1 ≠ 0
2
由( )， 8( + 1) > 0 ，可得 0 ≤ 2 < 1，
1 2 =
2
2 1 < 0
令 = 2 1 ∈ [ 1,0)，则 = 3 2 +2 = 3 2 1 2 3 2 1 1 2 1 2 ，2 2 + 2 = 2 2( + 4 ) 8
1
由 ∈ ( ∞, 1]，故
3 2
≥ ，当 = 1 时取等号．2
综上， 3 2 的最小值为 ．2
18.解：(1) = 0 时， ′( ) = ，
当 ≤ 1 时， ′( ) ≥ 0，函数 ( )单调递增，既无极大值也无极小值．
当 > 1 时， ∈ [0, )， ′( ) < 0，函数 ( )单调递减， ∈ ( , + ∞)， ′( ) > 0，函数 ( )单调递
增，
函数 ( )的极小值是 ，无极大值．
(2)( )当 = 0 时，因为函数 ( )存在零点，故 = 有解，

若 = 0，此时无解，所以 > 0， ( ) = 有解， ′( ) = = 2 2 2 ，
①若 ≤ 0， ( )单调递增， ( ) > (0) = 1，此时不存在零点；
②若 > 0，令 ( ) = 2 ， (0) = < 0， ( 2) = 2 > 0，
由零点存在定理可知存在 0 ∈ (0, 2)， ( 0) = 0，
所以 ( )在(0, 0)上为减函数，在( 0, + ∞)上为增函数，
1
故 ( ) = 1 0 0 = 22 0 ≤ 0，解得 0 ≥ 2，故 ≥ 2 = 2 ，0
即 的取值范围是[ 2 , + ∞)．
( )证明：因为函数 ( )存在零点，所以 ( ) = 有解 0，其中 0 ≥ 0，
若 0 = 0，则 1 × 0 × 0 = 0，该式不成立，故 0 > 0．
故 0 + 0 0 = 0，考虑直线 0 + 0 0 = 0，
2 + 2表示原点与直线 0 + 0 0 = 0 上的动点( , )之间的距离，
0 2 0
2 + 2 ≥ ，所以 2 + 2 ≥ 2 ，
20+
0+ 0 0
2 0
0 > 0 时，要证 2 + 2 > 2

，只需证
2
> 2，
0+ 0
即证 2 0 2 20 2 0 > 0，
令 ( ) = 2 2 2 2 ， > 0，则 ′( ) = 2 2 4 2 = 2( 2 2 1)，
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令 ( ) = ( 2 2 1)， > 0，故 ′( ) = 2( 2 1) > 0， ( )在(0, + ∞)上为增函数，故 ( ) > (0) = 0，
即 ′( ) > 0， ( )在(0, + ∞)上为增函数，
2 0
故 ( ) > (0) = 1 ，故 22 > 2，即 + 2 > 2 成立． 0+ 0
19.解：(1)设△ 2 2 2的外接圆半径为 2，
1 1
由题意知， 1 1 11 = = ， 2 2 = 3 =
1
，
2 1 12 sin2 3

2
又 2 2 12 = ，故 2 2 = sin = ，3 sin 2
故△ 2 2
1
2的外接圆半径为 2 = ．6 sin 2
(2)证明：设△ 的外心为 ，外接圆半径为 ， 的中点为 ， = ，
则 = 1 2 ， = ， = = ，2 +1 3 2 6

2
注意到 1 1的中点也为 ，故 A 1 1的中垂线与 中垂线重合，
由题意知 ， ， 1均在 的中垂线上，
而 1 = tan
= 1 1 tan = 1 = 1 1 2 2 2 4 2 3
，
2
= = = 1 1 tan 2 = ，12 2tan 6 3
故 1 = 1 +
2 1
= 3 3．

另一方面， 1 1 1 = 2 2 = 2 (1
1
) =
2 1
6 3 3
= 1，
2
故△ 的外接圆内切于△ 1 1 1的外接圆，
从而△ 的外接圆各点位于△ 1 1 1的外接圆上或其内部．①
反复使用结论①可得，△ 的外接圆位于△ 1 1 1外接圆上或其内部，
故△ 各顶点均在△ 1 1 1外接圆上或其内部，
(3)若满足题意，则 2位于在△ 1 1 1外接圆上或其内部，
故 A 2 1 ≤ 1，
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由(2) 知 1 2 = 1 1 11 2 tan 2 = 2 tan 2 = ，4 2
cos cos
2 2 =
2
=
1 2 1， = 1 2
2 12 2 2 1 2 2
+ 1 2 = 4 ( + 2 )，
2 2 cos2 3 2
cos
由题意， 1 2 1 ≤ 1，即 14 ( +
2 1
cos 3 2
) ≤ 2 ，
2 2
1
解得2 ≤ sin 2 ≤ 1，
故 60° ≤ ≤ 90°，
当 60° ≤ ≤ 90°，同上可得 1 ≤ 1，
由(2)知 ， ， 1共线，故 A + 1 ≤ 1，即 + 1 ≤ 1
故 1 ≤ 1 ，故△ 的外接圆位于△ 1 1 1外接圆上或其内部，
故△ 各顶点均在△ 1 1 1外接圆上或其内部，
故 1的范围为[0, 2 ]．
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