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2025 年山西省、陕西省、宁夏、青海省四县区高考数学质检试卷
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合 = { |0 < < 10}， = { | 2 < 1}，则 ∩ =( )
A. ( 1,10) B. (1,10) C. (0,1) D. ( 1,1)
2.已知向量 = ( , 0)， = (2,1).若( 4 ) = 0，则 的值为( )
A. 10 B. 6 C. 3 D. 4
3.“ < 0”是“复数 2 + (2 ) 在复平面内对应的点在第一象限”的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
4.在(1 )6展开式中，含 3项的系数是( )
A. 20 B. 20 C. 120 D. 120
5 1
1
.设 = log43， = ( 24 ) ， = log52，则( )
A. < < B. < < C. < < D. < <
6.已知函数 ( + 1) = 2 2 ，则 ( )在[ 1,1]上的最大值为( )
A. 32 B.
15
4 C. 0 D. 1
7.已知角 的顶点与坐标原点 重合，始边与 轴的非负半轴重合，其终边与圆 交于点 (7 2, 2)，若点
5
沿着圆 的圆周按逆时针方向移动 2个单位长度到达点 ，则 cos∠ =( )
A. 2 55 B.
3
5 C.
2 6 4
5 D. 5
8
2 2
.已知双曲线 ： 2 2 = 1( > 0, > 0)的焦距为 4 5，左、右焦点分别为 1， 2，过点 1作斜率不为 0
的直线 与双曲线 的左、右支分别交于 ， 两点.若△ 2的内切圆与直线 相切于点 ，且| | = 8，则双
曲线 的渐近线方程为( )
A. ± 4 = 0 B. 4 ± = 0 C. 2 ± = 0 D. ± 2 = 0
二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.现有一组数据为 3，5，6，6，3，7，下列说法正确的是( )
A.该组数据的中位数为 6 B.该组数据的平均数为 5
C. 7该组数据的方差为3 D.该组数据的第 45 百分位数为 4
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10.将函数 ( ) = 2 ( 18 + 3 )图象上所有的点向左平移 3 个单位长度，得到函数 ( )的图象，则下列命
题正确的是( )
A. ( )的最小正周期为 36 B. ( ) = 2 18
C. ( )为偶函数 D. ( )在[ 45,45]上共有 5 个极值点
11.在四棱锥 中， ⊥ ， = = = 2 2，四边形
是平行四边形， ， 分别为棱 ， 的中点， = ，点 在平面
的射影恰好是棱 的中点，则( )
A. //平面
B. 10线段 的长为 2
C.三棱锥 的外接球的表面积为 32
D. 35平面 与平面 夹角的余弦值为 7
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12.若△ 的内角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，且 4 = ， = 8，则 = ______，△
的面积为______．
13.已知点 (4, )在抛物线 ： 2 = 8 上，点 为圆 ： 2 + ( 2)2 = 2(0 < < 4)上任意一点，且| |
的最小值为 3，则| | = ______，圆 的半径 = ______．
14.设函数 ( ) = ，函数 ( ) = ( + 1) + + 1 ， ≠ 0， ∈ .若函数 ( ) =
( ), ( ) < ( )
( ), ( ) ≥ ( )恰有两个零点，则 的取值范围为______．
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题 13 分)
已知函数 ( ) = + ．
(1)求 ( )的单调区间；
(2)若 ( ) ≥ 0 恒成立，求 的取值范围．
16.(本小题 15 分)
如图，在正四棱柱 1 1 1 1中， = 2， 1 = 2 ( > 0)， 为棱 1的中点， ⊥ 1D.
(1)证明： ⊥平面 1 ．
(2)求 的值．
(3)求直线 1与平面 1 所成角的正弦值．
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17.(本小题 15 分)
如图，点 ， ， ， ， 均在直线 上，且 = = = = 1，质点 与质点 均从点 出发，两个质
1
点每次都只能向左或向右移动 1 个单位长度，两个质点每次移动时向左移动的概率均为4，每个质点均移动
2 次.已知每个质点移动 2 次后到达的点所对应的积分如下表所示，设随机变量 为两个质点各自移动 2 次
后到达的点所对应的积分之和．

积分 200 100 0 100 200
(1)求质点 移动 2 次后到达的点所对应的积分为 0 的概率；
(2)求随机变量 的分布列及数学期望．
18.(本小题 17 分)
2 2
已知 ， 分别为椭圆 ： 2 + 2 = 1( > > 0)的左、右顶点， = 6 2， ， 均为椭圆 上异于顶点的
点， 为椭圆 上的点，直线 经过左焦点 1，直线 经过右焦点 2(1,0)．
(1)求椭圆 的标准方程．
(2) | 1| + | 2|试问| 1| | |
是否为定值？若是定值，求出该定值；若不是，请说明理由．
2
19.(本小题 17 分)
已知集合 = { 0, 1, 2, 3, , 1}， ， ∈ ， > 1，集合 满足 ，1 ≤ ≤ 2 ， ∈ ，当
取不同值时， 各不相同.记 的所有元素之和为 ，将数列{ }的所有项重新排列为 1, 2, 3, , 2 ，
使得 +1 ≥ ．
(1)当 = 3 时，求 1， 2， 3， 4．
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(2)当 = 2 时，证明： 1, 2, 3, , 2 成等差数列．
(3)设 ≥ 3， ≤ ，1 ≤ ≤ 2 ，1 ≤ ≤ 2 ， ∈ ， ∈ ，证明： + (1 ) ≥ (2 ) ∩ ．
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参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.12 2
13.4 1
14.( 1,0) ∪ {1, 2 }
15.解：(1)定义域为(0, + ∞)，
( ) = 1 ′ 2 = 2 ，
当 > 时， ′( ) > 0， ( )单调递增，当 0 < < 时， ′( ) < 0， ( )单调递减，
故 ( )的单调递增区间为( , + ∞)，单调递减区间为(0, )；
(2)由(1)可得 ( ) = ( ) = 2 ，
若 ( ) ≥ 0 恒成立，则 2 ≥ 0，即 ≤ 2，
故 的范围为{ | ≤ 2}．
16.解：(1)证明：在正四棱柱 1 1 1 1中，易知 ⊥平面 1 1，
因为 平面 1 1，所以 ⊥ ，
因为 ⊥ 1 ， 1 ∩ = ， 1 ， 平面 1 ，
所以 ⊥平面 1 ；
(2)在正四棱柱 1 1 1 1中，
易知四边形 1 1为矩形，四边形 为正方形，
则 = = 1 1 = 2，由 为 1的中点，
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则 = 1 12 1 = 2 1 = ，
由 ⊥ 1 ，易知 △ ～ △ 1 1

则 =1 ，1 1
2
可得 =
2
2，解得 = 2．
(3)由(1)可知 为平面 1 的一个法向量，
在正四棱柱 1 1 1 1中，易知 ， ， 1两两垂直，
则以 为原点，直线 ， ， 1分别为 ， ， 轴建立空间直角坐标系，
因为 = = 2， 1 = 2 2，
所以 (0,0,0)， (0,2, 2)， (2,0,0)， 1(0,2,2 2)，
则 1 = ( 2,2,2 2)， = (0,2, 2)，
设直线 1与平面 1 的夹角为 ，
则 = |cos < 1, > | =
| 1 |
| 1|| |
= 8 8 6．4+4+8× 4+2 = 4× 6 = 3
17.解：(1)设事件 为“质点 移动 2 次后到达的点所对应的积分为 0”，
由题意可知点 两次移动后在点 ，又起点为点 ，即 的移动一次向左一次向右，
所以 ( ) = 14 ×
3 + 3 1 34 4 × 4 = 8；
(2) 的所有可能取值为 400， 200，0，200，400，
( = 400) = 1 1 1 1 14 × 4 × 4 × 4 = 256，
( = 200) = 1 1 3 34 × 4 × 8 × 2 = 64，
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( = 0) = 1 1 3 3 3 3 274 × 4 × 4 × 4 × 2+ 8 × 8 = 128，
( = 200) = 3 × 3 3 274 4 × 8 × 2 = 64，
( = 400) = 3 × 3 × 3 × 3 = 814 4 4 4 256，
所以随机变量 的分布列为：
400 200 0 200 400
1 3 27 27 81256 64 128 64 256
( ) = ( 400) × 1 3 21256 + ( 200) × 64+ 0 × 128 + 200 ×
21 + 400 × 8164 256 = 200．
18.解：(1)依题意可得： = 6 22 2 ，解得
2 = 9， 2 = 8，
= 1
2 2
所以椭圆 的标准方程
9 + 8 = 1．
(2)
易得 1( 1,0)， 2(1,0)，设 ( 1, 1)， ( 1, 1)， ( 2, 2)， ( 0, 0)， ( 0, 0)，
= 1， = 2, > 1, > 1，
1 = (1 ) 0 则 ，1 = (1 ) 0
20
2
0
所以 9
+ 8 = 1,① ②① × (1 )2 ②，
[(1 ) 0 ]2 [(1 ) 0]2
9 + 8 = 1,
得2 (1 ) 0
2 +9 4
= 2 2 ， = 0 +5 = 1 + +5，同理可得 =
0 9 = 1 4 ，
9 0 0 0 5 0 5
| 1| + | 则 2| 1 1 0+5 0 5 5| 1| | |
= 1 +2 1
= 4 4 = 2．
19.解；(1)当 = 3 时，集合 = {1,3}，其子集 及其对应的 为：
①空集： = 0；②{1}： = 1；③{3}： = 3；④{1,3}： = 4；
重新排列之后： 1 = 0， 2 = 1， 3 = 3， 4 = 4；
(2)证明：当 = 2 时，设 = {2 1, 2 2, 2 3 , , 2 }， = {2 1, 2 2 , 2 3 , , 2 }，
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= ， = ，其中 0 ≤ 1 < 2 < … < ≤ 1，0 ≤ 1 < … < ≤ 1，1 ≤ ≤ ，1 ≤ ≤ ，
1 ≤ ≤ 2”，1 ≤ ≤ 2 ， ∈ +， ∈ +， ∈ + . ∈ +， ∈ +，
由 ≠ 得 ≠ ，去除 ， 的相同元素，设 1剩余元素中最大的元素为2 ，
设 剩余元素中最大的元素为2 ，1 ≤ ≤ ， ∈ ，1 ≤ ≤ ， ∈ +，若2 ≥ 2 ，
则同理有 < ，所以对任意的 ≠ ， ≠ ，即 ≠ 恒成立，由题意可知 1 = 0， 2 = 1 + 2 + 4 + +
2 1 = 2 1，
因为对任意的 ≠ ， ≠ ， ≠ 恒成立，且 1 ≤ 2 ≤ 3 ≤ ≤ 2 , 1, 2, 3, , 2 ∈
+，
所以(0 = 1 < 2 < 3 < < 2 = 2 1)，所以 = 1,1 ≤ ≤ 2 ，故 1 = 1，
所以 1, 2, 3, , 2 成等差数列；
(3)证明：①若 ， + ( 2) ∩ ≥ + ( 2) = ( 1) ，
即 + (1 ) ≥ (2 ) ∩ ，
②若 不包含于 ，则 ≠ ， ≠ ，不妨设 = { | ∈ , }， = { | ∈ , }，
则 ≠ ， ≠ ， ∩ = ， = + ∩ , = + ∩ ，由 ≤ ，得 ≤ ，
设 = { 1, 2 , , 5}，0 ≤ < + +1 2 < < ≤ 1，1 ≤ ≤ ， ∈ ， ∈ ，
= { 1, 2 , , } 0 ≤ 1 < 2 < < ≤ 1，1 ≤ ≤ ， ∈ ， ∈ ，
由 ≤ ， ≥ 3，得 ≤ ≤ = 1 + 2 + + < 0 + 1 + +
+1 1 +1 (1 +1)
= 1 1 = 1 ，
1 1 +1
因为 0 ≤ 1 1 +1 < 1, 1 > 1

，所以 1 < 1，
+1(1 1
+1
)
则 +1 1 < ，
因为 ∈ ， ∈ ，所以 ≥ ，因为 ∩ = ， ≠ ，所以 1 ≥ ，
= 1 + 2 + + ≤ 0 + 1 + +
1 +1 +1= = 1 ≤
1 1
1 1 1 ≤ 1，
即( 1) ≤ 1，得( 1) < ，
即 + (1 ) > (2 ) ∩ ，
综上所述： + (1 ) ≥ (2 ) ∩ ．
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