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2024-2025年春季人教版七年级下册第一次数学竞赛试题
考生注意：本试卷满分为120分，考试时间为100分钟．
测试范围：第七章----------九章
一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分，每小题只有一个正确选项.
1．下列命题是真命题的是（ ）
A．相等的角是对顶角 B．同位角相等
C．两个锐角的和是锐角 D．垂线段最短
2．﹣27的立方根是（　　）
A．3 B．﹣3 C．±3 D．
3．在下列图形中，与是内错角的是（ ）
A． B． C． D．
4．老师让同学们验证教室里黑板的上，下边缘是否平行．小明画出了如图所示的线段，并用量角器测量∠1，∠2的度数，解决这个问题所应用的数学原理是（　　）
A．两点确定一条直线
B．两直线平行，同旁内角互补
C．同旁内角互补，两直线平行
D．对顶角相等
5．点A（m+3，m+1）在y轴上，则点A的坐标为（ ）
A．(0，-2) B．(2，0) C．(4，y) D．(0，-4)
6．如图，数轴上点表示的实数可能是( )
A. B. C. D.
7.将点P（m+2，m﹣2）向右平移3个单位长度得点Q，点Q刚好落在y轴上，则点P的坐标为（　　）
A．（7，﹣3） B．（﹣3，﹣7） C．（﹣3，﹣3） D．（﹣7，3）
8．如图，把一个含30°角的直角三角板ABC的直角顶点C放在直尺上，∠A＝30°，∠1＝50°，则∠2的度数是（　　）
A．10° B．12° C．15° D．20°
9．如图，AB∥CD，AD和BC相交于点0，∠A=30°，∠COD=80°，则∠C=（ ）
A．80° B．70° C．60° D．50°
10．如图，一个粒子在第一象限内及轴、轴上运动，在第一分钟，它从原点运动到点；第二分钟，它从点运动到点，而后它接着按图中箭头所示在与轴、轴平行的方向上来回运动，且每分钟移动个单位长度，那么在第分钟时，这个粒子所在位置的坐标是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题：本大题共6小题，每小题3分，共18分.
11．计算：点在第 象限．
12．如图，已知直线AB与CD相交于点O，OE⊥AB，∠COE＝50°，那么直线AB与直线CD的夹角度数是　 　 ．
13．如果一个正数的平方根是和，则这个正数是 ．
14．（1）16的算术平方根是 ；（2）比较大小： -7．
15．如图，点，分别在射线，上，且平分若，，，则的度数为______．
16．健康骑行越来越受到老百姓的喜欢，某品牌的自行车的平面示意图如图，自行车的前轴与后轴所在直线与地面平行，车架与地面平行，自行车的中轴处与座位处在一条直线上，若，，则的度数是 ．
三、简答题：本大题共5小题，共32分,解答时，应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.
17.计算：（6分）
(1)；(2)．
18.（7分）如图，在平面直角坐标系的正方形网格中，每个小正方形的边长为1，的三个顶点都在格点（小正方形的顶点）上．
(1)请写出、、的坐标：
(2)若将平移得到，中任一点经过平移后的对应点的坐标是，画出平移后的，并直接写出在平移过程中，线段扫过的面积是________．
(3)已知点，请用无刻度直尺画出轴上的点，使．
19.(8分)已知：如图，直线分别与直线、交于点E和点F，，射线、分别与直线交于点M、N，且，，求的度数.
∵，(已知)，
∴(__________________)
∵，(已知)，
∴(__________________)
∵(已知)，
∴______°+_______°=_________°，
∵(已证)
∴_______(___________________)
∴__________°(等量代换)
20.（6分)如图，已知直线、相交于点O，，点O为垂足，平分．
(1)若，求的度数；
(2)若，求的度数．
21（5分）已知2a﹣1的算术平方根是3，a﹣b+2的立方根是2，求a﹣4b的平方根．
四、解答题：本大题共5小题，共35分,解答时，应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.
22.（8分）如图，，直线、交于点O，，分别平分和．
(1)求证：；
(2)若，求的度数．
23.（8分）如图，在平面直角坐标系中，已知A（a，0），B（b，0），其中a，b满足．
（1）填空：a＝ 　 　 ，b＝ 　 　 ；
（2）若在第三象限内有一点M（﹣2，m），用含m的式子表示△ABM的面积；
（3）在（2）条件下，线段BM与y轴相交于C（0，），当时，点P是y轴上的动点，当满足△PBM的面积是△ABM的面积的2倍时，求点P的坐标．
24.（7分）如图，△ABC中，D是AC上一点，过D作DE∥BC交AB于E点，F是BC上一点，连接DF．若∠1＝∠AED．
（1）求证：DF∥AB．
（2）若∠1＝50°，DF平分∠CDE，求∠A的度数．
25（7分）如图1，在平面直角坐标系中，已知点，连接与轴，轴分别相交于点，点，点满足．

(1)【基础训练】请你直接写出两点的坐标；
(2)【能力提升】如图2，点在线段上，满足，点在轴负半轴上，连接交轴的负半轴于点，且，求点的坐标；
26.（10分）如图1，已知直线，点，分别在直线，上，为直线与之间的一点．
（1）猜想，，之间的数量关系，并说明理由；
（2）如图2，，平分，平分，，求的度数；
（3）如图3，，，，，则的度数为______（用含，的式子表示）．
参考答案
一、选择题
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 A B C B A C B D B C
填空题
11.二
12.
13.49
14.4，>
15.
16.
三．简答题
17.（1）解：
；
（2）解；
．
18.（1）解：由图可得，，，．
故答案为：3；5；2；2；5；1；
（2）解：由题意知，向左平移5个单位长度，向下平移2个单位长度得到，如图所示：
即为所求；
在平移过程中，线段扫过的面积为，
（3）解：取点关于轴的对称点，连接交轴于点，连接，如图所示：
此时，，
，则点即为所求．
19.解：(已知)，
(同位角相等，两直线平行)，
(已知)，
(垂直定义)，
(已知)，
，
(已证)，
(两直线平行，内错角相等)，
(等量代换)
20.（1）解：∵平分，，
∴，
∵，
∴，
∴，
（2）解：∵，
∴可设
∵平分，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴
∴，
即的度数为．
21.解：∵2a﹣1＝32，
∴a＝5，
∵a﹣b+2＝23，
∴b＝﹣1，
∴±±±±3．
四．解答题
22.（1）证明：∵，
∴，
∵，分别平分和，
∴，，
∴，
又，
∴，
∴
（2）解：∵，，
∴，
又，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
又，
∴．
23.解：（1）∵a、b满足（b﹣3）2＝0，
∴a+1＝0，且b﹣3＝0，
∴a＝﹣1，b＝3，
故答案为：﹣1，3；
（2）∵a＝﹣1，b＝3，
∴A（﹣1，0），B（3，0），
∴AB＝4，
∵M（﹣2，m），且M在第三象限，
∴m＜0，
∴△ABM的面积4×（﹣m）＝﹣2m；
（3）当m时，
则M（﹣2，），S△ABM＝﹣2m＝﹣2×（）＝3，
∵△PBM的面积＝△ABM的面积的2倍＝6，
∵△PBM的面积＝△MPC的面积+△BPC的面积PC×2PC×3＝6，
解得：PC，
∵C（0，），
∴OC，
当点P在点C的下方时，P（0，），即P（0，）；
当点P在点C的上方时，P（0，），即P（0，）；
综上所述，点P的坐标为（0，）或（0，）．
24.证明：（1）∵DE∥BC，
∴∠B＝∠AED，
∵∠1＝∠AED，
∴∠1＝∠B，
∴DF∥AB．
（2）方法1：∵DE∥BC，
∴∠EDF＝∠1＝50°，
∵DF平分∠CDE，
∴∠EDC＝2∠EDF＝100°，
∴∠A＝∠EDC﹣∠AED＝∠EDC﹣∠1＝100°﹣50°＝50°．
方法2：∵DE∥BC，
∴∠EDF＝∠1＝50°，
∵DF平分∠CDE，
∴∠CDF＝∠EDF＝50°，
∵DF∥AB，
∴∠A＝∠CDF＝50°．
25.（1）解：∵，，
∴．
∴．
∴；
（2）解：如图，
由，
，
，
连接，作轴于轴于，，

即，
∵，
，
，
，
，
．
（3）解：如图，过点分别作轴，轴，
依题意，设，
则，
当点在上方时，如图1，，

∵平分，
∴，
∵轴，
∴，即，
∴；
当点在下方时，如图，

∵平分轴，
，
，
综上，的度数为或．
26．（1）①∵分别平分和，
∴，
∴，
又∵，，
∴，
∴；
②∵分别平分和，
∴，
∴，
又∵，，
∴，
∴；
（2）与之间的数量关系保持不变；理由如下，
∵，
∴，，
又∵平分，
∴，
∴；
∴与之间的数量关系保持不变，关系为；
26.（1）．
理由如下：
如图，过点作，
∵，
∴，
∴，，
∵，
∴．
（2）∵平分，平分，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴
．
（3）设
∵
∴由（1）知
又∵，
∴，
又∵
∴
∴
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