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2025年中考数学（新考向）4月模拟卷05
本试卷共8页，满分120分，考试用时120分钟.
注意事项：
1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上指定位置.
2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.
3.非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效，作图一律用2B铅笔或黑色签字笔.
4.考试结束后，请将试卷和答题卡一并交回.
数学模拟卷(一)
一、选择题(共10题，每题3分，共30分.在每题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求)
1.在0，1，－1，π中最小的实数是（B）
A.0 B.－1 C.1 D.π
2.下列几何体中，其三视图的主视图和左视图都为矩形的是（C）
3.下列运算中正确的是（B）
A.a2－a＝a　 B.a·a2＝a3 C.(a2)3＝a5 D.(2ab2)3＝6a3b6
4.如图是某机械加工厂加工的一种零件的示意图，其中AB∥CD，DE⊥BC，∠ABC＝70°，则∠EDC的度数为（B）
A.10° B.20° C.30° D.40°
5.不等式x＋5≥1的解集在数轴上表示正确的是（B）
6.下列事件中，不属于随机事件的是（A）
A.任意画一个三角形，其外角和为360°
B.投一枚骰子得到的点数是奇数
C.经过有交通信号灯的路口，遇到红灯
D.从日历本上任选一天为星期天
7.我国古代算书《四元玉鉴》中记载：“九百九十九文钱，甜果苦果买一千，甜果九个十一文，苦果七个四文钱，试问甜苦果几个？”大意：用999文钱买了甜果和苦果共1 000个，9个甜果卖11文钱，7个苦果卖4文钱，问买了甜果和苦果各多少个.设买了x个甜果，y个苦果，可列方程组为（B）
A. 　B. 　
C. 　 D.
8.如图，在等腰三角形ABC中，∠A＝40°，分别以点A，点B为圆心，大于AB为半径画弧，两弧分别交于点M和点N，连接MN，直线MN与AC交于点D，连接BD，则∠DBC的度数是（B）
A.20° B.30° C.40° D.50°
9.如图，在平面直角坐标系中，将边长为1的正方形OABC绕点O顺时针旋转45°后得到正方形OA1B1C1，依此方式，绕点O连续旋转2 024次得到正方形OA2 024B2 024C2 024，那么点A2 024的坐标是（D）
A.(－1，0) B.(1，0) C.(0，－1) D.(0，1)
【解析】根据正方形OABC绕点O顺时针旋转45°后得到正方形OA1B1C1，求出A1，A2，A3，A4，A5，A6，A7，A8…，发现是8次一循环，即可得到点A2 024的坐标.
10.如图，已知抛物线y＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数，且a≠0)的对称轴为直线x＝－1，且该抛物线与x轴交于点A(1，0)，与y轴的交点B在(0，－2)，(0，－3)之间(不含端点)，有下列结论：①abc>0；②9a－3b＋c≥0；③A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
【解析】本题主要考查二次函数和一次函数的性质，根据题干可得a>0，b＝2a>0，－3二、填空题(共5题，每题3分，共15分)
11.写一个小于 的整数是1(答案不唯一).
12.某十字路口有一组自动控制交通运行的红绿灯，按照绿灯亮30 s，黄灯亮5 s，红灯亮25 s循环显示.小明每天骑车上学都要经过这个路口，那么他一次路过此路口，正好遇到绿灯的概率是0.5.
13.如图，一个弹簧不挂重物时长6 cm，挂上重物后，在弹性限度内弹簧伸长的长度与所挂重物的质量成正比.弹簧总长y(单位：cm)关于所挂物体质量x(单位：kg)的函数图象如图所示，则图中a的值是3.
14.计算：－＝x－1.
15.如图，在△ABC中，延长CA到点D，延长BA到点E，连接CE，BD，F是BC边上一点，连接AF，若AF∥DB∥CE，且BD＝5 cm，CE＝8 cm，则S△DBA∶S△CEA＝25∶64，AF＝cm.
三、解答题(共9题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
16.(6分)计算：2sin 30°＋＋|－5|－(π＋3)0.
解：原式＝2×＋2＋5－1
＝1＋2＋5－1
＝2＋5.
17.(6分)如图，在 ABCD中，点M，N在AD边上，AM＝DN，连接CM并延长交BA的延长线于点E，连接BN并延长交CD的延长线于点F.求证：AE＝DF.
小丽的思考过程如下：
平行四边形→三角形相似→对应边成比例→AE＝DF
参考小丽的思考过程，完成推理.
证明：∵AM＝DN，∴AM＋MN＝DN＋MN，
∴AN＝DM，∴＝，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥DC，AB＝DC，∵AE∥DC，DF∥AB，
∴△AME∽△DMC，△DNF∽△ANB，
∴＝，＝，∴＝，
∴＝＝1，∴AE＝DF.
18.(6分)襄阳鼓楼位于襄阳市襄城区昭明街市辖区，为襄阳古城内最繁华最具特色的街道之一，为纪念南朝昭明太子萧统而建.襄阳市某校学生开展测量鼓楼高度的“数学综合与实践”活动，测量实践报告如表：
活动课题 测量鼓楼高度
活动目的 运用三角函数知识解决实际问题
活动工具 测角仪、皮尺等测量工具
方案 示意图 　 ①
测量步骤 (1)利用测角仪站在B处测得城门楼最高点P的仰角为39°； (2)前进了14 m到达A处(点A，B，O在同一水平线上，测角仪高度忽略不计)，在A处测得P点的仰角为56°
测量数据 ∠PBO＝39°，∠PAO＝56°，AB＝14 m
参考数据 sin 39°≈0.6，cos 39°≈0.8，tan 39°≈0.8，sin 56°≈0.8，cos 56°≈0.6，tan 56°≈1.5
根据上表中的测量方案及数据，计算鼓楼OP的高度(结果保留整数).
解：设OA＝x，则OB＝OA＋AB＝x＋14，
在Rt△AOP中，∠OAP＝56°，∴OP＝AO·tan 56°≈1.5x，
在Rt△BOP中，∠PBO＝39°，∴OP＝OB·tan 39°≈0.8(x＋14)，
∴1.5x＝0.8(x＋14)，解得x＝16，∴OP＝1.5x＝24(m).
答：鼓楼OP的高度约为24 m.
19.(8分)某水果公司以10元/kg的成本价购入2 000箱荔枝，每箱质量5 kg，在出售荔枝前，需要去掉损坏的荔枝，现随机抽取20箱，去掉损坏荔枝后称得每箱的质量(单位：kg)如下：
4.7　4.8　4.6　4.5　4.8　4.9　4.8　4.7　4.8　4.7
4.8　4.9　4.7　4.8　4.5　4.7　4.7　4.9　4.7　5.0
整理数据：
质量(kg) 4.5 4.6 4.7 4.8 4.9 5.0
数量(箱) 2 1 7 a 3 1
　　　　分析数据：
平均数 众数 中位数
4.75 b c
(1)直接写出上述表格中a，b，c的值；
(2)平均数、众数、中位数都能反映这组数据的集中趋势，请根据以上样本数据分析的结果，任意选择其中一个统计量，估算这2 000箱荔枝共损坏了多少千克；
(3)根据(2)中的结果，求该公司销售这批荔枝每千克定为多少元才不亏本(结果保留一位小数).
解：(1)由表格可知a＝20－(2＋1＋7＋3＋1)＝6，b＝4.7，
c＝＝4.75.
(2)取平均数4.75，则共损坏：2 000×(5－4.75)＝500(kg).
答：根据平均数估算得这2 000箱荔枝共损坏了500 kg.
(3)设该公司出售这批荔枝每千克定为x元才不亏本.由题意得2 000×4.75x≥2 000×5×10，
解得x≥10，取x≥10.6.
答：该公司出售这批荔枝每千克至少定为10.6元才不亏本.
20.(8分)如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y＝kx＋b的图象与反比例函数y＝的图象相交于点A(－1，n)，B(2，1).
(1)求一次函数、反比例函数的解析式；
(2)连接OA，OB，求△OAB的面积.
解：(1)∵一次函数y＝kx＋b的图象与反比例函数y＝的图象相交于点A(－1，n)，B(2，1)，
∴m＝－n＝2，∴m＝2，n＝－2，∴反比例函数解析式为y＝，
一次函数y＝kx＋b的图象过A(－1，－2)，B(2，1)，解得
∴一次函数解析式为y＝x－1.
(2)设直线与x轴的交点为点C，在函数y＝x－1中，
当y＝0时，x＝1，∴C(1，0)，即OC＝1，
∴S△AOB＝S△BOC＋S△AOC＝×1×1＋×1×2＝.
21.(8分)如图，BE是⊙O的直径，点A在⊙O上，点C在BE的延长线上，∠EAC＝∠ABC，AD平分∠BAE交⊙O于点D，连接DE.
(1)求证：CA是⊙O的切线；
(2)当AC＝8，CE＝4时，求DE的长.
(1)证明：连接OA，∵BE是⊙O的直径，
∴∠BAE＝90°，∴∠BAO＋∠OAE＝90°，
∵OA＝OB，∴∠B＝∠BAO，
∵∠EAC＝∠ABC，∴∠CAE＝∠BAO，
∴∠CAE＋∠OAE＝90°，∴∠OAC＝90°，
∵OA是⊙O的半径，∴CA是⊙O的切线.
(2)解：连接BD，∵∠EAC＝∠ABC，∠C＝∠C，
∴△ABC∽△EAC，∴＝，∴＝，
∴BC＝16，∴BE＝BC－CE＝12，
∵AD平分∠BAE，∴∠BAD＝∠EAD，∴＝，∴BD＝DE，
∵BE是⊙O的直径，∴∠BDE＝90°，∴DE＝BD＝BE＝6.
22.(10分)在一幅长80 cm，宽50 cm的矩形风景画的四周镶一条金色纸边，制成一幅矩形挂图，如果要使整个挂图的面积是y cm2，设金色纸边的宽为x cm，要求纸边的宽度不得少于1 cm，同时不得超过2 cm.
(1)求出y关于x的函数解析式；
(2)当挂图面积为4 264 cm2，时，求金色纸边的宽；
(3)金色纸边的宽应为多少厘米时，这幅挂图的面积最大？求出面积的最大值.
解：(1)镶金色纸边后风景画的长为(80＋2x)cm，宽为(50＋2x)cm，
∴y＝(80＋2x)·(50＋2x)＝4x2＋260x＋4 000(1≤x≤2).
(2)当y＝4 264 cm2时，即4x2＋260x＋4 000＝4 264，
解得x1＝1，x2＝－66(舍去).
∵1≤x≤2，∴x＝1.
答：当挂图面积为4 264 cm2时，金色纸边的宽为1 cm.
(3)∵二次函数y＝4x2＋260x＋4 000的对称轴为x＝－＝－，
∴在1≤x≤2上，y随x的增大而增大，∴当x＝2时，y取最大值，最大值为4 536.
答：金色纸边的宽为2 cm时，这幅挂图的面积最大，面积的最大值为4 536 cm2.
23.(11分)如图，在矩形ABCD中，E为射线BC上一动点，连接AE.将△ABE沿AE翻折，使点B落在点F处，AE交BD于点G.
(1)如图①，当点E在BC边上，点F在BD边上时，若AB＝3，BE＝，求 的值；
(2)如图②，当点E在BC边上，点F在BD边上时，若AB＝4，且EF＝EC时，求BF的长；
(3)如图③，当点E在线段BC的延长线上，将△ABE沿AE翻折后，EF恰好经过点D，当AB＝4，BC＝4 时，求DG的长.
解：(1)∵四边形ABCD是矩形，∴CD＝AB＝3，
由翻折知EF＝BE＝，∴＝.
(2)由折叠的性质得BF⊥AE，EF＝BE，BG＝GF，∴∠BGE＝90°，
∵EF＝EC，∴EF＝BE＝EC＝BC，
∵四边形ABCD是矩形，∴∠ABC＝∠BCD＝90°，AB＝CD＝4，
∵∠BAE＋∠AEB＝90°，∠AEB＋∠CBD＝90°，∴∠BAE＝∠CBD，
∵∠ABE＝∠BCD，∴△ABE∽△BCD，∴＝，即＝，
解得BC＝4 或－4(舍去)，∴BE＝BC＝2，∴AE＝2，
∵∠BGE＝∠ABE＝90°，∠GBE＝∠BAE，
∴△BGE∽△ABE，∴＝，
∴＝，∴BG＝，BF＝2BG＝.
(3)∵四边形ABCD是矩形，∴∠DCE＝90°，
∵AD∥BC，∴∠ADF＝∠BED，
由折叠的性质得AF＝AB＝CD＝4，
∴△ADF≌△DEC(AAS)，∴DE＝AD＝4，
∴CE＝＝4，∴BE＝BC＋CE＝4＋4，
在Rt△BCD中，BD＝＝4，∵AD∥BC，
∴△ADG∽△EBG，
∴＝，即＝，解得DG＝.
24.(12分)如图，直线m：y＝b和直线n：y＝x－b分别与y轴交于点A，点B，顶点为C的抛物线L：y＝－x2＋bx与x轴的右交点为点D.
(1)若AB＝8，求b的值和抛物线L的对称轴；
(2)当点C在直线m下方时，求顶点C与直线m距离的最大值；
(3)在L和n所围成的封闭图形的边界上，把横、纵坐标都是整数的点称为“整点”，求出b＝2 023时“整点”的个数.
解：(1)在y＝x－b中，令x＝0得y＝－b，
∴B(0，－b)，∵AB＝8，A(0，b)，
∴b－(－b)＝8，解得b＝4，
∴抛物线L解析式为y＝－x2＋4x＝－(x－2)2＋4，
∴抛物线L的对称轴为直线x＝2.
(2)∵y＝－x2＋bx＝－＋，∴C，
∵点C在直线m下方，
∴C与直线m的距离为b－＝－(b－2)2＋1，
∵－＜0，∴点C与直线m距离的最大值为1.
(3)当b＝2 023时，抛物线的解析式为y＝－x2＋2 023x，直线n的解析式为y＝x－2 023，
联立解得x1＝－1，x2＝2 023，
∵对y＝－x2＋2 023x和y＝x－2 023，每一个整数x的值都对应一个整数y值，且－1和2 023之间(不包括－1和2 023)共有2 023个整数，
∴所围成的封闭图形边界在－1和2023之间(不包括－1和2 023)有2 023×2＝4 046个“整点”，另外有两个交点(－1，－2 024)和(2 023，0)，
∴“整点”的个数为4 046＋2＝4 048(个).
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2025年中考数学（新考向）4月模拟卷05
本试卷共8页，满分120分，考试用时120分钟.
注意事项：
1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上指定位置.
2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.
3.非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效，作图一律用2B铅笔或黑色签字笔.
4.考试结束后，请将试卷和答题卡一并交回.
数学模拟卷(一)
一、选择题(共10题，每题3分，共30分.在每题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求)
1.在0，1，－1，π中最小的实数是（B）
A.0 B.－1 C.1 D.π
2.下列几何体中，其三视图的主视图和左视图都为矩形的是（C）
3.下列运算中正确的是（B）
A.a2－a＝a　 B.a·a2＝a3 C.(a2)3＝a5 D.(2ab2)3＝6a3b6
4.如图是某机械加工厂加工的一种零件的示意图，其中AB∥CD，DE⊥BC，∠ABC＝70°，则∠EDC的度数为（B）
A.10° B.20° C.30° D.40°
5.不等式x＋5≥1的解集在数轴上表示正确的是（B）
6.下列事件中，不属于随机事件的是（A）
A.任意画一个三角形，其外角和为360°
B.投一枚骰子得到的点数是奇数
C.经过有交通信号灯的路口，遇到红灯
D.从日历本上任选一天为星期天
7.我国古代算书《四元玉鉴》中记载：“九百九十九文钱，甜果苦果买一千，甜果九个十一文，苦果七个四文钱，试问甜苦果几个？”大意：用999文钱买了甜果和苦果共1 000个，9个甜果卖11文钱，7个苦果卖4文钱，问买了甜果和苦果各多少个.设买了x个甜果，y个苦果，可列方程组为（B）
A. 　B. 　
C. 　 D.
8.如图，在等腰三角形ABC中，∠A＝40°，分别以点A，点B为圆心，大于AB为半径画弧，两弧分别交于点M和点N，连接MN，直线MN与AC交于点D，连接BD，则∠DBC的度数是（B）
A.20° B.30° C.40° D.50°
9.如图，在平面直角坐标系中，将边长为1的正方形OABC绕点O顺时针旋转45°后得到正方形OA1B1C1，依此方式，绕点O连续旋转2 024次得到正方形OA2 024B2 024C2 024，那么点A2 024的坐标是（D）
A.(－1，0) B.(1，0) C.(0，－1) D.(0，1)
【解析】根据正方形OABC绕点O顺时针旋转45°后得到正方形OA1B1C1，求出A1，A2，A3，A4，A5，A6，A7，A8…，发现是8次一循环，即可得到点A2 024的坐标.
10.如图，已知抛物线y＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数，且a≠0)的对称轴为直线x＝－1，且该抛物线与x轴交于点A(1，0)，与y轴的交点B在(0，－2)，(0，－3)之间(不含端点)，有下列结论：①abc>0；②9a－3b＋c≥0；③A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
【解析】本题主要考查二次函数和一次函数的性质，根据题干可得a>0，b＝2a>0，－3二、填空题(共5题，每题3分，共15分)
11.写一个小于 的整数是1(答案不唯一).
12.某十字路口有一组自动控制交通运行的红绿灯，按照绿灯亮30 s，黄灯亮5 s，红灯亮25 s循环显示.小明每天骑车上学都要经过这个路口，那么他一次路过此路口，正好遇到绿灯的概率是0.5.
13.如图，一个弹簧不挂重物时长6 cm，挂上重物后，在弹性限度内弹簧伸长的长度与所挂重物的质量成正比.弹簧总长y(单位：cm)关于所挂物体质量x(单位：kg)的函数图象如图所示，则图中a的值是3.
14.计算：－＝x－1.
15.如图，在△ABC中，延长CA到点D，延长BA到点E，连接CE，BD，F是BC边上一点，连接AF，若AF∥DB∥CE，且BD＝5 cm，CE＝8 cm，则S△DBA∶S△CEA＝25∶64，AF＝cm.
三、解答题(共9题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
16.(6分)计算：2sin 30°＋＋|－5|－(π＋3)0.
解：原式＝2×＋2＋5－1
＝1＋2＋5－1
＝2＋5.
17.(6分)如图，在 ABCD中，点M，N在AD边上，AM＝DN，连接CM并延长交BA的延长线于点E，连接BN并延长交CD的延长线于点F.求证：AE＝DF.
小丽的思考过程如下：
平行四边形→三角形相似→对应边成比例→AE＝DF
参考小丽的思考过程，完成推理.
证明：∵AM＝DN，∴AM＋MN＝DN＋MN，
∴AN＝DM，∴＝，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥DC，AB＝DC，∵AE∥DC，DF∥AB，
∴△AME∽△DMC，△DNF∽△ANB，
∴＝，＝，∴＝，
∴＝＝1，∴AE＝DF.
18.(6分)襄阳鼓楼位于襄阳市襄城区昭明街市辖区，为襄阳古城内最繁华最具特色的街道之一，为纪念南朝昭明太子萧统而建.襄阳市某校学生开展测量鼓楼高度的“数学综合与实践”活动，测量实践报告如表：
活动课题 测量鼓楼高度
活动目的 运用三角函数知识解决实际问题
活动工具 测角仪、皮尺等测量工具
方案 示意图 　 ①
测量步骤 (1)利用测角仪站在B处测得城门楼最高点P的仰角为39°； (2)前进了14 m到达A处(点A，B，O在同一水平线上，测角仪高度忽略不计)，在A处测得P点的仰角为56°
测量数据 ∠PBO＝39°，∠PAO＝56°，AB＝14 m
参考数据 sin 39°≈0.6，cos 39°≈0.8，tan 39°≈0.8，sin 56°≈0.8，cos 56°≈0.6，tan 56°≈1.5
根据上表中的测量方案及数据，计算鼓楼OP的高度(结果保留整数).
解：设OA＝x，则OB＝OA＋AB＝x＋14，
在Rt△AOP中，∠OAP＝56°，∴OP＝AO·tan 56°≈1.5x，
在Rt△BOP中，∠PBO＝39°，∴OP＝OB·tan 39°≈0.8(x＋14)，
∴1.5x＝0.8(x＋14)，解得x＝16，∴OP＝1.5x＝24(m).
答：鼓楼OP的高度约为24 m.
19.(8分)某水果公司以10元/kg的成本价购入2 000箱荔枝，每箱质量5 kg，在出售荔枝前，需要去掉损坏的荔枝，现随机抽取20箱，去掉损坏荔枝后称得每箱的质量(单位：kg)如下：
4.7　4.8　4.6　4.5　4.8　4.9　4.8　4.7　4.8　4.7
4.8　4.9　4.7　4.8　4.5　4.7　4.7　4.9　4.7　5.0
整理数据：
质量(kg) 4.5 4.6 4.7 4.8 4.9 5.0
数量(箱) 2 1 7 a 3 1
　　　　分析数据：
平均数 众数 中位数
4.75 b c
(1)直接写出上述表格中a，b，c的值；
(2)平均数、众数、中位数都能反映这组数据的集中趋势，请根据以上样本数据分析的结果，任意选择其中一个统计量，估算这2 000箱荔枝共损坏了多少千克；
(3)根据(2)中的结果，求该公司销售这批荔枝每千克定为多少元才不亏本(结果保留一位小数).
解：(1)由表格可知a＝20－(2＋1＋7＋3＋1)＝6，b＝4.7，
c＝＝4.75.
(2)取平均数4.75，则共损坏：2 000×(5－4.75)＝500(kg).
答：根据平均数估算得这2 000箱荔枝共损坏了500 kg.
(3)设该公司出售这批荔枝每千克定为x元才不亏本.由题意得2 000×4.75x≥2 000×5×10，
解得x≥10，取x≥10.6.
答：该公司出售这批荔枝每千克至少定为10.6元才不亏本.
20.(8分)如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y＝kx＋b的图象与反比例函数y＝的图象相交于点A(－1，n)，B(2，1).
(1)求一次函数、反比例函数的解析式；
(2)连接OA，OB，求△OAB的面积.
解：(1)∵一次函数y＝kx＋b的图象与反比例函数y＝的图象相交于点A(－1，n)，B(2，1)，
∴m＝－n＝2，∴m＝2，n＝－2，∴反比例函数解析式为y＝，
一次函数y＝kx＋b的图象过A(－1，－2)，B(2，1)，解得
∴一次函数解析式为y＝x－1.
(2)设直线与x轴的交点为点C，在函数y＝x－1中，
当y＝0时，x＝1，∴C(1，0)，即OC＝1，
∴S△AOB＝S△BOC＋S△AOC＝×1×1＋×1×2＝.
21.(8分)如图，BE是⊙O的直径，点A在⊙O上，点C在BE的延长线上，∠EAC＝∠ABC，AD平分∠BAE交⊙O于点D，连接DE.
(1)求证：CA是⊙O的切线；
(2)当AC＝8，CE＝4时，求DE的长.
(1)证明：连接OA，∵BE是⊙O的直径，
∴∠BAE＝90°，∴∠BAO＋∠OAE＝90°，
∵OA＝OB，∴∠B＝∠BAO，
∵∠EAC＝∠ABC，∴∠CAE＝∠BAO，
∴∠CAE＋∠OAE＝90°，∴∠OAC＝90°，
∵OA是⊙O的半径，∴CA是⊙O的切线.
(2)解：连接BD，∵∠EAC＝∠ABC，∠C＝∠C，
∴△ABC∽△EAC，∴＝，∴＝，
∴BC＝16，∴BE＝BC－CE＝12，
∵AD平分∠BAE，∴∠BAD＝∠EAD，∴＝，∴BD＝DE，
∵BE是⊙O的直径，∴∠BDE＝90°，∴DE＝BD＝BE＝6.
22.(10分)在一幅长80 cm，宽50 cm的矩形风景画的四周镶一条金色纸边，制成一幅矩形挂图，如果要使整个挂图的面积是y cm2，设金色纸边的宽为x cm，要求纸边的宽度不得少于1 cm，同时不得超过2 cm.
(1)求出y关于x的函数解析式；
(2)当挂图面积为4 264 cm2，时，求金色纸边的宽；
(3)金色纸边的宽应为多少厘米时，这幅挂图的面积最大？求出面积的最大值.
解：(1)镶金色纸边后风景画的长为(80＋2x)cm，宽为(50＋2x)cm，
∴y＝(80＋2x)·(50＋2x)＝4x2＋260x＋4 000(1≤x≤2).
(2)当y＝4 264 cm2时，即4x2＋260x＋4 000＝4 264，
解得x1＝1，x2＝－66(舍去).
∵1≤x≤2，∴x＝1.
答：当挂图面积为4 264 cm2时，金色纸边的宽为1 cm.
(3)∵二次函数y＝4x2＋260x＋4 000的对称轴为x＝－＝－，
∴在1≤x≤2上，y随x的增大而增大，∴当x＝2时，y取最大值，最大值为4 536.
答：金色纸边的宽为2 cm时，这幅挂图的面积最大，面积的最大值为4 536 cm2.
23.(11分)如图，在矩形ABCD中，E为射线BC上一动点，连接AE.将△ABE沿AE翻折，使点B落在点F处，AE交BD于点G.
(1)如图①，当点E在BC边上，点F在BD边上时，若AB＝3，BE＝，求 的值；
(2)如图②，当点E在BC边上，点F在BD边上时，若AB＝4，且EF＝EC时，求BF的长；
(3)如图③，当点E在线段BC的延长线上，将△ABE沿AE翻折后，EF恰好经过点D，当AB＝4，BC＝4 时，求DG的长.
解：(1)∵四边形ABCD是矩形，∴CD＝AB＝3，
由翻折知EF＝BE＝，∴＝.
(2)由折叠的性质得BF⊥AE，EF＝BE，BG＝GF，∴∠BGE＝90°，
∵EF＝EC，∴EF＝BE＝EC＝BC，
∵四边形ABCD是矩形，∴∠ABC＝∠BCD＝90°，AB＝CD＝4，
∵∠BAE＋∠AEB＝90°，∠AEB＋∠CBD＝90°，∴∠BAE＝∠CBD，
∵∠ABE＝∠BCD，∴△ABE∽△BCD，∴＝，即＝，
解得BC＝4 或－4(舍去)，∴BE＝BC＝2，∴AE＝2，
∵∠BGE＝∠ABE＝90°，∠GBE＝∠BAE，
∴△BGE∽△ABE，∴＝，
∴＝，∴BG＝，BF＝2BG＝.
(3)∵四边形ABCD是矩形，∴∠DCE＝90°，
∵AD∥BC，∴∠ADF＝∠BED，
由折叠的性质得AF＝AB＝CD＝4，
∴△ADF≌△DEC(AAS)，∴DE＝AD＝4，
∴CE＝＝4，∴BE＝BC＋CE＝4＋4，
在Rt△BCD中，BD＝＝4，∵AD∥BC，
∴△ADG∽△EBG，
∴＝，即＝，解得DG＝.
24.(12分)如图，直线m：y＝b和直线n：y＝x－b分别与y轴交于点A，点B，顶点为C的抛物线L：y＝－x2＋bx与x轴的右交点为点D.
(1)若AB＝8，求b的值和抛物线L的对称轴；
(2)当点C在直线m下方时，求顶点C与直线m距离的最大值；
(3)在L和n所围成的封闭图形的边界上，把横、纵坐标都是整数的点称为“整点”，求出b＝2 023时“整点”的个数.
解：(1)在y＝x－b中，令x＝0得y＝－b，
∴B(0，－b)，∵AB＝8，A(0，b)，
∴b－(－b)＝8，解得b＝4，
∴抛物线L解析式为y＝－x2＋4x＝－(x－2)2＋4，
∴抛物线L的对称轴为直线x＝2.
(2)∵y＝－x2＋bx＝－＋，∴C，
∵点C在直线m下方，
∴C与直线m的距离为b－＝－(b－2)2＋1，
∵－＜0，∴点C与直线m距离的最大值为1.
(3)当b＝2 023时，抛物线的解析式为y＝－x2＋2 023x，直线n的解析式为y＝x－2 023，
联立解得x1＝－1，x2＝2 023，
∵对y＝－x2＋2 023x和y＝x－2 023，每一个整数x的值都对应一个整数y值，且－1和2 023之间(不包括－1和2 023)共有2 023个整数，
∴所围成的封闭图形边界在－1和2023之间(不包括－1和2 023)有2 023×2＝4 046个“整点”，另外有两个交点(－1，－2 024)和(2 023，0)，
∴“整点”的个数为4 046＋2＝4 048(个).
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