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2025年浙江省中考数学模拟练习试卷（二）
考生须知：
1．全卷共三大题，24小题，满分为120分．考试时间为120分钟，本次考试采用开卷形式．
2．全卷分为卷Ⅰ（选择题）和卷Ⅱ（非选择题）两部分，全部在答题纸上作答．
卷Ⅰ的答案必须用2B铅笔填涂；卷Ⅱ的答案必须用黑色字迹钢笔或签字笔写在答题纸相应位置上．
3．请用黑色字迹钢笔或签字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号．
4．作图时，请使用2B铅笔，确定后必须使用黑色字迹的钢笔或签字笔描黑．
5．本次考试不得使用计算器．
卷Ⅰ
一、选择题（本题有10小题，每小题3分，共30分．每小题只有一个选项是正确的。）
1．一月某天，以下四个城市中某天中午12时气温最低的城市是（ ）
温州 南京 西安 厦门
A．温州 B．南京 C．西安 D．厦门
2 . 为了节能减排，国家积极倡导使用新能源汽车，新能源汽车发展也取得了巨大成就．
下列新能源汽车的车标既是中心对称图形又是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
3 . 年6月6日，嫦娥六号在距离地球约千米外上演“太空牵手”，完成月球轨道的交会对接．
数据用科学记数法表示为（ ）
A． B． C． D．
4．下列运算正确的是（ ）
A． B． C． D．
为庆祝中国共产党成立100周年，郴州市某学校开展“学党史，跟党走”师生阅读活动，
老师每周对各小组阅读情况进行综合评分．下表是其中一周的评分结果：
组别 一 二 三 四 五 六 七
分值 90 96 90 89 91 85 90
则“分值”这组数据的中位数和众数分别是（　　）
A．89，90 B．90，95 C．88，95 D．90，90
6 . 如果点在平面直角坐标系的第三象限内，那么的取值范围在数轴上可表示为（ ）
A． B．
C． D．
7 . 如图，在平面直角坐标系中，与是位似图形，位似中心为点．
若点的对应点为，则点的对应点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
某港珠澳大桥是世界上最长的跨海大桥，被誉为“现代世界七大奇迹”的超级工程，
它是我国从桥梁大国走向桥梁强国的里程碑之作．港珠澳大桥主桥为三座大跨度钢结构斜拉桥，
其中九洲航道桥主塔造型取自“风帆”，寓意“扬帆起航”．某校九年学生为了测量该主塔的高度，
站在B处看塔顶A，仰角为，然后向后走160米（米），到达C处，此时看塔顶A，仰角为，则该主塔的高度是（ ）

A．80米 B．米 C．160米 D．米
9 .某商家设计了一个水箱水位自动报警仪，其电路图如图1所示，
其中定值电阻，是一个压敏电阻，用绝缘薄膜包好后放在一个硬质凹形绝缘盒中，
放入水箱底部，受力面水平，承受水压的面积S为0.01，
压敏电阻的阻值随所受液体压力F的变化关系如图2所示（水深h越深，压力F越大），
电源电压保持6V不变，当电路中的电流为0.3A时，报警器（电阻不计）开始报警，
水的压强随深度变化的关系图象如图3所示（参考公式：，，）．
则下列说法中不正确的是（ ）
A．当水箱未装水（）时，压强p为0kPa
B．当报警器刚好开始报警时，水箱受到的压力F为40N
C．当报警器刚好开始报警时，水箱中水的深度h是0.8m
D．若想使水深1m时报警，应使定值电阻的阻值为
如图，在矩形ABCD中，点E是AD上一点，连结BE，将沿BE折叠得，
点F恰好在边CD上，过点A作分别交BC，BF，BE于点G，P，Q．
已知，当时，则折痕BE的长为（ ）
A． B．4 C． D．6
卷Ⅱ
二、填空题（本题有6小题，每小题3分，共18分）
11.已知，，则的值为 ．
12,不等式组的解为 ．
为了估计鱼塘中鱼的数量，养鱼者先从鱼塘中捕获50条鱼，在每一条鱼身上做好标记后把这些鱼放归鱼塘，过了一段时间，待有标记的鱼完全混合于鱼群后，再从鱼塘中捕捞鱼．通过多次捕捞实验后，发现捕捞的鱼中有作记号的频率稳定在5%，据此可估计该鱼塘中鱼的条数为　 　．
温州有很多历史悠久的石拱桥，它们是圆弧的桥梁．如图是温州某地的石拱桥局部，
其跨度为24米，拱高为4米，则这个弧形石拱桥设计的半径为 米．
15.如图，在以O为原点的平面直角坐标系中，矩形OABC的两边OC．OA分别在x轴、y轴的正半轴上，
反比例函数的图象与AB相交于D，与BC相交于E，若，且的面积是6，
则k的值为 ．
16 . 如图，E为矩形纸片的边上一点，将纸片沿折叠，使点D落在边的中垂线上，
若，则的长为 ．
解答题（本题有8题，17-21题每小题8分，22，23题， 每小题10分，24题12分，共72分，
解答需写出必要的文字说明、演算步骤或证明过程）
17．计算：；
解二元一次方程组： ．
19 . 3月12日，某初级中学组织学生开展了义务植树社会实践活动．
为了了解全校500名学生义务植树情况，小文同学开展了一次调查研究．
小文从每个班级随机抽取了5名学生进行调查，并将收集的数据（单位：棵）进行整理、描述，
绘制成如下两幅不完整的统计图，根据图中提供的信息解答下列问题：
小文一共随机抽取______名学生进行调查；
在扇形统计图中，“4棵”所在的扇形的圆心角等于______度；
补全条形统计图；
随机抽取的这部分学生义务植树数量的中位数是______；
在这次社会实践活动中，学校授予义务植树数量不少于4棵的学生为“植树小能手”的称号，
根据调查结果，估计该学校获得“植树小能手”称号的学生有______名．
20．如图，四边形是平行四边形，点E为边上一点，连接．
（1）请在图中用无刻度的直尺和圆规，在边上找一点F，连接，使得．
（要求：保留作图痕迹，不写作法）
(2)（1）的条件下，连接分别交、于点M、N．求证：．
如图1是一种手机支架，图2是其侧面结构示意图．托板固定在支撑板顶端的点C处，
托板可绕点C转动，支撑板可绕点D转动．现量得，．
当支撑板与底座的夹角（）为时，求点C到底座的距离；（结果保留根号）
(2) 小强在使用过程中发现，当为且为时，此支架使用起来最舒适，
求此时点A到底座的距离．（结果保留根号）
22 .甲、乙两人相约一同登山，甲、乙两人距地面的高度与登山时间之间的函数图像
如图所示，根据图像所提供的信息解答下列问题：
(1)图中t=___________．
(2)若乙提速后，乙登山的上升速度是甲登山的上升速度3倍，
①则甲登山的上升速度是___________；
②请求出甲登山过程中，距地面的高度与登山时间之间的函数关系式；
③当甲、乙两人距地面高度差为时，请直接写出满足条件的x值．
23 . 如图1，抛物线与轴交于点、（点在点左侧），与轴交于点，
点是抛物线上一个动点，连接
求抛物线的函数表达式；
(2) 如图2所示，当点在直线上方运动时，连接，
求四边形面积的最大值，并写出此时点坐标．
(3) 若点是轴上的一个动点，点是抛物线上一动点，的横坐标为．
试判断是否存在这样的点，使得以点为顶点的四边形是平行四边形，
若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．
24 .如图，以为直径作圆，弦于点E，点P在弧上，点C关于直线的对称点为F．
连接，，，，．
如图1，当点F与点A重合时，求证：．
如图2，当点F落在直径上时，若，，求直径的长．
如图3，当点F落在的中点时，求出的值．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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2025年浙江省中考数学模拟练习试卷（二）解答
考生须知：
1．全卷共三大题，24小题，满分为120分．考试时间为120分钟，本次考试采用开卷形式．
2．全卷分为卷Ⅰ（选择题）和卷Ⅱ（非选择题）两部分，全部在答题纸上作答．
卷Ⅰ的答案必须用2B铅笔填涂；卷Ⅱ的答案必须用黑色字迹钢笔或签字笔写在答题纸相应位置上．
3．请用黑色字迹钢笔或签字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号．
4．作图时，请使用2B铅笔，确定后必须使用黑色字迹的钢笔或签字笔描黑．
5．本次考试不得使用计算器．
卷Ⅰ
一、选择题（本题有10小题，每小题3分，共30分．每小题只有一个选项是正确的。）
1．一月某天，以下四个城市中某天中午12时气温最低的城市是（ ）
温州 南京 西安 厦门
A．温州 B．南京 C．西安 D．厦门
【答案】C
【分析】此题考查了比较有理数大小的应用．根据正数大于0，负数小于0，两个负数绝对值大的反而小，据此即可得到解答．
【详解】解：∵，
∴四个城市中某天中午12时气温最低的城市是西安，
故选：C
2 . 为了节能减排，国家积极倡导使用新能源汽车，新能源汽车发展也取得了巨大成就．
下列新能源汽车的车标既是中心对称图形又是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据中心对称与轴对称的定义进行判断即可．本题考查了中心对称图形与轴对称图形的识别．解题的关键在于熟练掌握：在平面内，把一个图形绕着某个点旋转180度，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形；在平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形叫做轴对称图形．
【详解】解：A．中图形不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项不符合题意；
B．中图形是中心对称图形，也是轴对称图形，故此选项符合题意；
C．中图形是中心对称图形，但不是轴对称图形，故此选项不符合题意；
D．中图形不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项不符合题意．
故选：B．
3 . 年6月6日，嫦娥六号在距离地球约千米外上演“太空牵手”，完成月球轨道的交会对接．
数据用科学记数法表示为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了绝对值大于1的科学记数法的表示，解题的关键在于确定的值．
根据绝对值大于1的数，用科学记数法表示为，其中，的值为整数位数少1．
【详解】解：大于1，用科学记数法表示为，其中，，
∴用科学记数法表示为，
故选：B．
4．下列运算正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据合并同类项法则，同底数幂的乘法以及积的乘方，同底数幂的除法法则解答．
【详解】解：A、3a与2b不是同类项，不能合并，故本选项错误；
B、，故本选项错误；
C、，故本选项正确；
D、，故本选项错误．
故选：C．
为庆祝中国共产党成立100周年，郴州市某学校开展“学党史，跟党走”师生阅读活动，
老师每周对各小组阅读情况进行综合评分．下表是其中一周的评分结果：
组别 一 二 三 四 五 六 七
分值 90 96 90 89 91 85 90
则“分值”这组数据的中位数和众数分别是（　　）
A．89，90 B．90，95 C．88，95 D．90，90
【答案】D
【分析】根据中位数和众数的定义即可得出答案．
【详解】解：把这些数从小到大排列为：85，89，90，90，90，91，96，
则这组数据的中位数是90分；
出现了3次，出现的次数最多，
众数是90分．
故选：D．
6 . 如果点在平面直角坐标系的第三象限内，那么的取值范围在数轴上可表示为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】根据点的位置得出不等式组，求出不等式组的解集，即可得出选项．
【详解】解：∵在平面直角坐标系的第三象限内，
∴，
解得：，
在数轴上表示为：

故选D．
7 . 如图，在平面直角坐标系中，与是位似图形，位似中心为点．
若点的对应点为，则点的对应点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了位似变换，根据点的坐标可得到位似比，再根据位似比即可求解，掌握位似变换的性质是解题的关键．
【详解】解：∵与是位似图形，点的对应点为，
∴与的位似比为，
∴点的对应点的坐标为，即，
故选：．
某港珠澳大桥是世界上最长的跨海大桥，被誉为“现代世界七大奇迹”的超级工程，
它是我国从桥梁大国走向桥梁强国的里程碑之作．港珠澳大桥主桥为三座大跨度钢结构斜拉桥，
其中九洲航道桥主塔造型取自“风帆”，寓意“扬帆起航”．某校九年学生为了测量该主塔的高度，
站在B处看塔顶A，仰角为，然后向后走160米（米），到达C处，此时看塔顶A，仰角为，则该主塔的高度是（ ）

A．80米 B．米 C．160米 D．米
【答案】B
【分析】过点A作于点D，先根据三角形的外角性质可得，从而可得米，然后在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，即可解答．
【详解】解：如图，过点A作于点D，

根据题意得：，
∵，
∴，
∴，
∴米，
在中，米．
即该主塔的高度是米．
故选：B
9 .某商家设计了一个水箱水位自动报警仪，其电路图如图1所示，
其中定值电阻，是一个压敏电阻，用绝缘薄膜包好后放在一个硬质凹形绝缘盒中，
放入水箱底部，受力面水平，承受水压的面积S为0.01，
压敏电阻的阻值随所受液体压力F的变化关系如图2所示（水深h越深，压力F越大），
电源电压保持6V不变，当电路中的电流为0.3A时，报警器（电阻不计）开始报警，
水的压强随深度变化的关系图象如图3所示（参考公式：，，）．
则下列说法中不正确的是（ ）
A．当水箱未装水（）时，压强p为0kPa
B．当报警器刚好开始报警时，水箱受到的压力F为40N
C．当报警器刚好开始报警时，水箱中水的深度h是0.8m
D．若想使水深1m时报警，应使定值电阻的阻值为
【答案】B
【分析】根据题意结合图、图、图可得，，对各个选项进行逐个计算即可．
【详解】A. 由图得：当时，，故此项说法正确；
B. 当报警器刚好开始报警时，，解得，由图可求得：，解得，故此项说法错误；
C. 当报警器刚好开始报警时，由上得，则有，，由图求得，，解得：，故此项说法正确；
D. 当报警器刚好开始报警时：，，当时，，，，，故此项说法正确．
故选：B．
如图，在矩形ABCD中，点E是AD上一点，连结BE，将沿BE折叠得，
点F恰好在边CD上，过点A作分别交BC，BF，BE于点G，P，Q．
已知，当时，则折痕BE的长为（ ）
A． B．4 C． D．6
【答案】B
【分析】本题考查了矩形的性质，锐角三角函数的比值关系，勾股定理，灵活运用三角函数的比值关系是解题的关键．
利用平行线的性质，翻折和矩形的性质得到，再根据同角的三角函数比值关系得到，利用勾股定理运算出的长后，利用比例系数得到的度数，从而可求出的度数，再结合三角函数的比值关系运算即可．
【详解】解：∵四边形为矩形，
∴
∵将沿折叠得，
∴，，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∴在中：，即，
解得：（负的舍去），
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
故选：B．
卷Ⅱ
二、填空题（本题有6小题，每小题3分，共18分）
11.已知，，则的值为 ．
【答案】6
【分析】直接提取公因式，进而分解因式，再整体代入数据即可得出答案．
【详解】∵，，
∴
=3×2
=6．
故答案为：6．
12,不等式组的解为 ．
【答案】
【分析】分别解两个不等式，然后根据大小小大中间找确定不等式组的解集．
【详解】解：，
解不等式①得：，
解不等式②得：，
∴不等式组的解集为：．
为了估计鱼塘中鱼的数量，养鱼者先从鱼塘中捕获50条鱼，在每一条鱼身上做好标记后把这些鱼放归鱼塘，过了一段时间，待有标记的鱼完全混合于鱼群后，再从鱼塘中捕捞鱼．通过多次捕捞实验后，发现捕捞的鱼中有作记号的频率稳定在5%，据此可估计该鱼塘中鱼的条数为　 　．
【考点】利用频率估计概率．版权所有
【专题】概率及其应用；数据分析观念．
【答案】1000．
【分析】设鱼塘中有鱼x条，利用频率估计概率得到5%，然后解方程即可．
【解答】解：设鱼塘中有鱼x条，
根据题意得5%，
解得x＝1000，
经检验x＝1000为原方程的解，
所以估计鱼塘中有鱼1000条．
故答案为：1000．
温州有很多历史悠久的石拱桥，它们是圆弧的桥梁．如图是温州某地的石拱桥局部，
其跨度为24米，拱高为4米，则这个弧形石拱桥设计的半径为 米．
【答案】20
【分析】本题考查了垂径定理、勾股定理，找出石拱桥圆弧形的圆心，连接，设半径为米，则米，由垂径定理可得米，再由勾股定理计算即可得出答案．
【详解】解：如图，找出石拱桥圆弧形的圆心，连接，
，
设半径为米，则米，
∵跨度为24米，，
∴米，
由勾股定理得：，
∴，
解得：，
∴这个弧形石拱桥设计的半径为米，
故答案为：．
15.如图，在以O为原点的平面直角坐标系中，矩形OABC的两边OC．OA分别在x轴、y轴的正半轴上，
反比例函数的图象与AB相交于D，与BC相交于E，若，且的面积是6，
则k的值为 ．
【答案】
【分析】根据所给的三角形面积等于长方形面积减去三个直角三角形的面积，然后即可求出B的横纵坐标的积即是反比例函数的比例系数．
【详解】解：∵四边形OCBA是矩形，
∴AB=OC，OA=BC，
设B点的坐标为（a，b），
∵BD=3AD，
∴D（a，b）
∵D、E在反比例函数的图象上，
∴=k，
设E的坐标为（a，y），
∴ay=k
∴E（a，），
∵，
∴，
解得：．
故答案为：
16 . 如图，E为矩形纸片的边上一点，将纸片沿折叠，使点D落在边的中垂线上，
若，则的长为 ．
【答案】2
【分析】根据折叠的性质可得△ADE≌△AD′E，再根据中位线的性质得出AF=EF,从而得出D′F=AF=EF，继而得出∠BAD′=∠FAD′=∠DAE′=30°，再利用直角三角形的性质和勾股定理得出答案；
【详解】∵四边形ABCD是矩形，
∴∠D=∠DAB=90°，
由折叠的性质可得：△ADE≌△AD′E，
∴∠AD′E=90°，∠DAE′=∠D′AE
∵点D落在边的中垂线上，
∴GC=GB，EC//FG//AB，
∴AF=EF, ∠BAD′=∠FD′A
∴D′F=AF=EF，
∴∠FAD′=∠FD′A
∴∠BAD′=∠FAD′=∠DAE′=30°，
∴AE=2DE
在Rt△ADE中，，
∴AE2=DE2+AD2，
∴4DE2=DE2+3，
∴DE=1
∴AE=2；
故答案为：2
解答题（本题有8题，17-21题每小题8分，22，23题， 每小题10分，24题12分，共72分，
解答需写出必要的文字说明、演算步骤或证明过程）
17．计算：；
【答案】4
【分析】根据绝对值的性质、幂的运算法则，乘方运算法则及特殊角三角函数值求解．
【详解】解：
=4
解二元一次方程组： ．
【答案】
【分析】本题考查了解二元一次方程组，根据加减消元解二元一次方程组，即可求解．
【详解】解：
得，
解得：
将代入①得，
解得：
∴方程组的解为：
19 . 3月12日，某初级中学组织学生开展了义务植树社会实践活动．
为了了解全校500名学生义务植树情况，小文同学开展了一次调查研究．
小文从每个班级随机抽取了5名学生进行调查，并将收集的数据（单位：棵）进行整理、描述，
绘制成如下两幅不完整的统计图，根据图中提供的信息解答下列问题：
小文一共随机抽取______名学生进行调查；
在扇形统计图中，“4棵”所在的扇形的圆心角等于______度；
补全条形统计图；
随机抽取的这部分学生义务植树数量的中位数是______；
在这次社会实践活动中，学校授予义务植树数量不少于4棵的学生为“植树小能手”的称号，
根据调查结果，估计该学校获得“植树小能手”称号的学生有______名．
【答案】(1)100，72
(2)见解析
(3)3
(4)175
【分析】（1）根据“1棵”的人数及所占的百分比求出随机抽取的学生数，用总人数减去其他小组的人数即可求得植树棵数求出“4棵”的人数，根据“4棵”的人数及调查的学生数求出4棵”所在的扇形的圆心角的度数；
（2）由（1）可知植树棵数为“4棵”的人数，再补全条形统计图即可；
（3）利用中位数的定义求得中位数即可；
（4）根据全校学生数及不少于4棵的学生所占的百分比求出该学校获得“植树小能手”称号的学生人数．
【详解】（1）10÷10%=100（名），
植树量为4棵的人数为：100-10-15-40-10-5=20（人），
360°×=72°，
故答案为：100，72；
（2）补全条形统计图如下：
因为共有100个数，把这组数据从小到大排列，
最中间两个数的平均数是第50个数和第51个数的平均数，所以中位数是3，
故答案为：3；
（4）500×=175（名），
故答案为：175．
20．如图，四边形是平行四边形，点E为边上一点，连接．
（1）请在图中用无刻度的直尺和圆规，在边上找一点F，连接，使得．
（要求：保留作图痕迹，不写作法）
(2)（1）的条件下，连接分别交、于点M、N．求证：．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）以点D为圆心，以为半径画弧，交于点F，连接，得到得到平行四边形，继而得到．
（2）根据平行四边形的性质，证明证明．
本题考查了基本作图，平行四边形的判定和性质，熟练掌握作图和平行四边形的判定和性质是解题的关键．
【详解】（1）以点D为圆心，以为半径画弧，交于点F，连接，得到得到平行四边形，继而得到．
则点F即为所求．
（2）∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∴，
∵
∴
∴．
．
如图1是一种手机支架，图2是其侧面结构示意图．托板固定在支撑板顶端的点C处，
托板可绕点C转动，支撑板可绕点D转动．现量得，．
当支撑板与底座的夹角（）为时，求点C到底座的距离；（结果保留根号）
(2) 小强在使用过程中发现，当为且为时，此支架使用起来最舒适，
求此时点A到底座的距离．（结果保留根号）
【答案】(1)点C到底座的距离为；
(2)点A到底座的距离为．
【分析】（1）过点作，利用含角直角三角形的性质，求解即可；
（2）过点作，再作，通过证明为等腰直角三角形，即可求解．
【详解】（1）解：过点作，如下图：
由题意可得：，
∴，
由勾股定理可得：，
即点C到底座的距离为；
（2）解：过点作，再作，如下图：
由题意可得：
∵，
∴，
∴，
∴为等腰直角三角形，，
∴，
点A到底座的距离为．
22 .甲、乙两人相约一同登山，甲、乙两人距地面的高度与登山时间之间的函数图像
如图所示，根据图像所提供的信息解答下列问题：
(1)图中t=___________．
(2)若乙提速后，乙登山的上升速度是甲登山的上升速度3倍，
①则甲登山的上升速度是___________；
②请求出甲登山过程中，距地面的高度与登山时间之间的函数关系式；
③当甲、乙两人距地面高度差为时，请直接写出满足条件的x值．
【答案】(1)2
(2)①10；②；③当的值是4，9，15，甲乙两人距地面高度差为50
【分析】（1）根据题意和函数图象可以求得的值；
（2）①根据乙提速后，乙登山的上升速度是甲登山的上升速度3倍，可以求得甲的速度；
②根据题意和函数图象中的数据可以求得甲登山过程中，距地面的高度与登山时间之间的函数关系式；
③根据函数图象可以求得段乙的函数解析式，从而可以求得的值．
【详解】（1）在段，乙每分钟走的路程为米分，
则，
故答案为：2；
（2）①乙提速后的速度为：米分，
甲的速度为：，
故答案为：10；
②甲登山用的时间为：（分钟），
设甲登山过程中，距地面的高度与登山时间之间的函数关系式，
，得，
即甲登山过程中，距地面的高度与登山时间之间的函数关系式是：
；
③设乙在段对应的函数解析式为，
，得，
，
，
解得，或，
当时，，
解得，
综上所述，当的值是4，9，15，甲乙两人距地面高度差为50．
23 . 如图1，抛物线与轴交于点、（点在点左侧），与轴交于点，
点是抛物线上一个动点，连接
求抛物线的函数表达式；
(2) 如图2所示，当点在直线上方运动时，连接，
求四边形面积的最大值，并写出此时点坐标．
(3) 若点是轴上的一个动点，点是抛物线上一动点，的横坐标为．
试判断是否存在这样的点，使得以点为顶点的四边形是平行四边形，
若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)时，有最大值，最大值为，点的坐标为
(3)存在，点的坐标为或或或
【分析】（1）抛物线经过点、，用待定系数法即可求解；
（2）根据二次函数解析式分别求出的长，再求出的面积，如图2（见解析），过点作轴交于点，设，则，用含的式子表示出，由此即可求解；
（3）根据平行四边形的性质，即可求解．
【详解】（1）解：∵抛物线经过点、，
∴，解得，，
∴该抛物线的表达式为．
（2）解：∵，
∴抛物线的对称轴为直线，
∵点和点关于直线对称，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
如图2，过点作轴交于点，
设所在直线的解析式为：，过点，
∴，即所在直线的解析式为：，
设，则，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴当时，有最大值，最大值为，
∴点的坐标为．
（3）解：抛物线的表达式为，点的横坐标为，
∴，即，且，
①如图所示，四边形为平行四边形，
∴，且，
∴点的纵坐标为，，解得，，，
∴点的坐标为，
∴，
设点，
∵，
∴，则，即；
②如图所示，四边形是平行四边形，过点作轴于，过点作轴于，
∴，，，
∴，
∴，且,设，，
∴，解得，，，
当时，，即，则；当时，，即，则，
∴点的坐标为或；
③如图所示，四边形为平行四边形，
∴，，
∴设，则，
∴，即点的坐标为；
综上所示，点的坐标为或或或．
24 .如图，以为直径作圆，弦于点E，点P在弧上，点C关于直线的对称点为F．
连接，，，，．
如图1，当点F与点A重合时，求证：．
如图2，当点F落在直径上时，若，，求直径的长．
如图3，当点F落在的中点时，求出的值．
【答案】(1)证明见解析
(2)
(3)
【分析】本题考查垂径定理，圆周角定理，轴对称的性质，解直角三角形，熟练掌握垂径定理和圆周角定理是解题的关键．
（1）根据垂径定理和圆周角定理求证即可；
（2）连接，根据垂径定理得，根据轴对称性质可得，再利用锐角三角函数求解即可；
（3）连接，同（2）的方法求解即可．
【详解】（1）证明：∵直径，
∴，
∴．
∵点F，C关于对称（A，F重合），
∴，
∴，
∴．
（2）如图2，连接，
∵直径，
∴，
∴．
∵点F，C关于对称，
∴，
∴．
又∵，，
∴，
∴，，
∴．
（3）如图3，连接，
∵直径，
∴．
∵点F，C关于对称，F为的中点，
∴，
∴，
∴，
∴．
又∵，
∴，
∴，
∴，，
∴．
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