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第三章 函数
第14讲 二次函数的应用
题型01 最大利润问题
题型02 方案解决问题
题型03 行程问题
题型04 拱桥问题
题型05 隧道通车问题
题型06 喷水问题
题型07 投球问题
题型08 利用图像构建函数模型解决问题
题型09 图形问题
题型10 动点问题
题型01 最大利润问题
1．（2024·广东湛江·模拟预测）某超市以每件10元的价格购进一种文具，销售时该文具的销售单价不低于进价且不高于19元．经过市场调查发现，该文具的每天销售数量（件）与销售单价（元）之间满足一次函数关系：．
(1)若该超市每天销售这种文具获利192元，则销售单价为多少元？
(2)设销售这种文具每天获利（元），求关于的函数关系式（写出自变量的取值范围），并求出当销售单价为多少元时，每天获利最大？最大利润是多少元？
2．（2023·江苏扬州·一模）农经公司以30元/千克的价格收购一批农产品进行销售，为了得到日销售量（千克）与销售价格（元/千克）之间的关系，经过市场调查获得部分数据如表：
销售价格（元/千克） 30 35 40 45 50
日销售量（千克） 600 450 300 150 0
(1)请你根据表中的数据，用所学过的一次函数、二次函数、反比例函数的知识确定与之间的函数表达式，并直接写出与的函数表达式为______；
(2)农经公司应该如何确定这批农产品的销售价格，才能使日销售利润最大？
(3)农经公司每销售1千克这种农产品需支出元的相关费用，当时，农经公司的日获利的最大值为2430元，求的值．（日获利日销售利润日支出费用）
3．（2024·贵州遵义·模拟预测）某数学兴趣小组在暑假开展社会实践活动，销售某品牌书包，平均每天可以销售20个，每个盈利12元，为了扩大销售，增加盈利，该小组决定采取适当的降价措施，经调查发现，如果每个书包每降价1元，平均每天可以多卖5个．
(1)若每个书包降价元，则可多卖__________个，每个盈利__________元；
(2)若该兴趣小组同学想要一天盈利300元，每个书包应降价多少元；
(3)该兴趣小组同学想要一天盈利最大，应降价多少元，所得最大利润是多少元？
4．（2024·湖北黄冈·模拟预测）大学生小丽暑假期间从小商品批发市场批发了一种新商品，新商品的进价为30元/件，经过一段时间的试销，她发现每月的销售量会因售价的调整而不同，若设每月的销售量为y件，售价为x元/件.
(1)当售价在40—50 元/件时，每月的销售量都为60件，则此时每月的总利润最多是多少元
(2)当售价在50—70 元/件时，每月的销售量与售价的关系如图所示，求y 与x的关系式；
(3)小丽决定每卖出一件商品就向福利院捐赠m(m为整数)元，若要保证小丽每月获利仍随x的增大而增大，请你帮她计算m的最小值是多少，并求此时售价为多少元时，她每月获利最大.
题型02 方案解决问题
5．（2024·山东潍坊·一模）某无人机租赁方案有50架某种型号的无人机对外出租，该方案有两种租赁方案：
方案A：如果每架无人机月租费300元，那么50架无人机可全部租出．如果每架无人机的月租费每增加5元，那么将少租出1架无人机．另外，方案为每架租出的无人机支付月维护费20元． 方案B：每架无人机月租费350元，无论是否租出，方案均需一次性支付月维护费共计185元．
说明：月利润=月租费-月维护费．
设租出无人机的数量为x架，根据上述信息，解决下列问题：
(1)当时，按方案A租赁所得的月利润是__________元，按方案B租赁所得的月利润是__________元；
(2)如果按两种方案租赁所得的月利润相等，那么租出的无人机数量是多少？
(3)设按方案A租赁所得的月利润为，按方案B租赁所得的月利润为，记函数，求w的最大值．
6．（2024·湖北宜昌·模拟预测）某商场计划用5400元购买一批商品，若将进价降低10%，则可以多购买该商品30件．市场调查反映：售价为每件25元时，每天可卖出250件．如果调整价格，一件商品每涨价1元，每天要少卖出10件．
(1)求该商品原来的进价；
(2)在进价没有改变的条件下，若每天所得的销售利润为2000元，且销售量尽可能大时，该商品的售价是多少元/件？
(3)在进价没有改变的条件下，商场的营销部在调控价格方面，提出了A，B两种营销方案．
方案A：每件商品涨价不超过5元；
方案B：每件商品的利润至少为16元．
请比较哪种方案的最大利润更高，并说明理由．
7．（2024·内蒙古呼和浩特·模拟预测）呼和浩特素有“召城”之称，塞上老街是一个重要的旅游街区，不仅有各式传统文化遗物向游人诉说着历史，更有新兴的现代手工制品吸引着世人的目光，现塞上老街某文创专卖店在旅游文化节期间准备购进甲、乙两种围巾，其中乙种围巾的进价比甲种围巾的进价少元，已知甲种围巾的售价为每条元，乙种围巾的售价为每条元，若用元购进甲种围巾的数量与用元购进乙种围巾的数量相同．
(1)求甲、乙两种围巾每条的进价；
(2)要使购进的甲、乙两种围巾共条的总利润不少于元，且不超过元，问该文创专卖店有几种进货方案；
(3)文创专卖店准备对甲种围巾进行价格调整，甲种围巾每星期可卖出条，市场调查反映，如调整价格，甲种围巾每降价1元，每星期可多卖出条，乙种围巾售价不变，若该专卖店一星期要购进甲、乙共条围巾且全部售出，如何给甲种围巾定价才能使一星期总利润最大，此时甲、乙两种围巾各卖出多少条
8．（2024·陕西西安·一模）有一建筑的一面墙近似呈抛物线形，该抛物线的水平跨度顶点P的高度为4m，建立如图所示平面直角坐标系．现计划给该墙面安装门窗，已经确定需要安装矩形门框（点B，C在抛物线上，边在地面上），针对窗框的安装设计师给出了两种设计方案如图：
方案一：在门框的两边加装两个矩形窗框（点G，H在抛物线上），；
方案二：在门框的上方加装一个矩形的窗框（点G，H在抛物线上），．

(1)求该抛物线的函数表达式；
(2)若要求门框的高度为3m，判断哪种方案透光面积（窗框和门框的面积和）较大？（窗框与门框的宽度忽略不计）
题型03 行程问题
9．（2024·浙江·模拟预测）问题情境：如图1，两条宽为16米、互相垂直的马路组成十字路口，为中心对称图形，两交通白线AB，CD间的距离与EF，GH间的距离均为64米，双向安装红绿灯．
安全条件：当绿灯亮时的最后一秒（即绿灯读数为0），甲从交通白线AB骑出，能及时穿过路口，不与另一方向绿灯亮时从交通白线EF出来的汽车相撞，即可保证交通安全．
实验数据：测试时，甲沿BC骑行，汽车按公路中线行驶．当绿灯亮起，汽车起步后的速度v（米/秒）、行驶距离s（米）关于时间t（秒）的函数图象分别为图2、图3，已知．
解决问题：
(1)求图3中m的值．
(2)当时，求s关于t的函数表达式．
(3)如图1，若甲骑车速度为5米/秒，汽车与摩托车长度忽略不计，设红绿灯时间差为T秒．当T要满足什么条件时，才能使汽车与甲不相撞？试通过计算说明．
10．（2024·浙江杭州·一模）如图，小车从点A出发，沿与水平面成角光滑斜坡下滑，在下滑过程中小车速度逐渐增加，设小车出发点A离水平地面的高度为h，小车从点A滑行到最低点B所用的时间为t（秒），小车滑行到点B时的速度为v（厘米/秒）．速度v与时间t满足关系：，高度h与时间t满足关系：（，g是常数），当小车出发点小车出发点A离水平地面的高度为20（厘米）时，小车从点A滑到最低点B需要2秒．
(1)当小车出发点A离水平地面的高度为45（厘米）时，小车滑到最低点B需要几秒钟？此时小车到达B点时的速度是多少？
(2)小车继续在粗糙的水平地面上滑行，设滑行的距离为s（厘米），小车从斜坡滑行到点B时速度为v（厘米/秒），小车在水平地面上滑行的时间为T（秒），若s与v，T之间满足以下关系：（，a是常数），当（厘米/秒）时，（厘米），（秒）．如果把小车出发点A离水平地面的距离h提高到125厘米，那么当滑行到时间秒时，小车在水平地面上滑行的距离为多少？
11．（2024·安徽宿州·二模）赛龙舟是我国传统的体育竞技项目，有着悠久的历史和广泛的群众基础．某龙舟队进行800米直道训练，全程分为启航，途中和冲刺三个阶段．图1，图2分别表示启航阶段和途中阶段龙舟划行总路程与时间的近似函数图象．启航阶段的函数表达式为；途中阶段匀速划行，函数图象为线段；冲刺阶段，龙舟先加速后匀速划行，加速期龙舟划行总路程与时间的函数表达式为．

(1)求出的值，并写出启航阶段自变量的取值范围；
(2)已知途中阶段龙舟速度为，当时，求该龙舟划行的总路程；
(3)冲刺阶段，加速期龙舟用时将速度从提高到，之后保持匀速划行至终点，求该龙舟队完成训练总路程所需时间．
12．（2022·湖北武汉·中考真题）在一条笔直的滑道上有黑、白两个小球同向运动，黑球在处开始减速，此时白球在黑球前面处．
小聪测量黑球减速后的运动速度（单位：）、运动距离（单位：）随运动时间（单位：）变化的数据，整理得下表．
运动时间 0 1 2 3 4
运动速度 10 9.5 9 8.5 8
运动距离 0 9.75 19 27.75 36
小聪探究发现，黑球的运动速度与运动时间之间成一次函数关系，运动距离与运动时间之间成二次函数关系．
(1)直接写出关于的函数解析式和关于的函数解析式（不要求写出自变量的取值范围）
(2)当黑球减速后运动距离为时，求它此时的运动速度；
(3)若白球一直以的速度匀速运动，问黑球在运动过程中会不会碰到白球？请说明理由．
题型04 拱桥问题
13．（2024·广东·模拟预测）如图，小河上有一拱桥，拱桥及河道的截面轮廓线由抛物线的一部分和矩形的三边，，组成，已知河底是水平的，，，抛物线的顶点C 到的距离是， 以所在的直线为x 轴，抛物线的对称轴为y 轴建立平面直角坐标系．
(1)根据题意，填空：
①顶点C 的坐标为 ；
②点B 的坐标为
(2)求抛物线的解析式．
(3)已知从某时刻开始的内，水面与河底的距离l(单位：m) 随时间t(单位：h)的变化满足函数关系，且当点C到水面的距离不大于时，需禁止船只通行，请通过计算说明，在这一时段内，有多少小时禁止船只通行？
14．（2024·河南驻马店·模拟预测）如图，三孔桥横截面的三个孔都呈抛物线形，左右两个抛物线是全等的，正常水位时，大孔水面宽为，顶点距水面（即 ），小孔顶点距水面（即），建立如图所示的平面直角坐标系．
(1)求出大孔抛物线的解析式；
(2)航管部门设定警戒水位为正常水位上方处，汛期某天水位正好达到警戒水位，有一艘顶部高出水面，顶部宽的巡逻船要路过三孔桥，请问该巡逻船能否安全通过大孔？并说明理由；
(3)当水位上涨到刚好淹没小孔时，则大孔的水面宽度 ．
15．（2024·安徽合肥·模拟预测）如图1，悬索桥两端主塔塔顶之间的主索，其形状可近似地看作抛物线，水平桥面与主索之间用垂直吊索连接．已知两端主塔之间水平距离为，两主塔塔顶距桥面的高度为，主索最低点P离桥面的高度为，若以桥面所在直线为x轴，抛物线的对称轴为y轴，建立如图2所示的平面直角坐标系．
(1)求这条抛物线对应的函数表达式；
(2)若在抛物线最低点P左下方桥梁上的点处放置一个射灯，该射灯光线恰好经过点P和右侧主索最高点D．
（i）求主索到射灯光线的最大竖直距离；
（ii）现将这个射灯沿水平方向向右平移，并保持光线与原光线平行，若要保证该射灯所射出的光线能照到右侧主索．则最多向右平移___________米．
题型05 隧道通车问题
16．（2024·贵州六盘水·一模）如图①，桐梓隧道位于遵义市桐梓县境内，是贵州省高速公路第一长隧道．如图②是桐梓隧道的部分截面，图③是其截面简化示意图，由矩形和抛物线的一部分构成，矩形的边，，抛物线的最高点离地面．以的中点为原点、所在直线为轴．建立平面直角坐标系．
(1)求抛物线的解析式，并注明自变量的取值范围；
(2)为了行驶安全，现要在隧道洞口处贴上黄黑立面标记．已知将该抛物线向上平移所扫过的区域即为贴黄黑立面标记的区域，则贴黄黑立面标记的区域的面积为　　　　；
(3)该隧道为单向双车道，且规定车辆必须在距离隧道边缘大于等于范围内行驶，并保持车辆顶部与隧道有不少于的空隙，请利用二次函数的知识确定该隧道车辆的限制高度．
17．（2024·河南平顶山·三模）小明发现有一处隧道的截面由抛物线的一部分和矩形构成，他对此展开研究：测得矩形的宽为，长为，最高处点P到地面的距离为，建立如图所示的平面直角坐标系，并设抛物线的表达式为 ，其中表示抛物线上任一点到地面的高度，表示抛物线上任一点到隧道一边的距离．
(1)求抛物线的解析式．
(2)为了保障货车在道路上的通行能力及行车安全，根据我国交通运输部的相关规定，普通货车的宽度应在之间，高度应在之间，小明发现隧道为单行道，一货车沿隧道中线行驶，宽为，货车的最高处与隧道上部的竖直距离约为，通过计算，判断这辆货车的高度是否符合规定．
18．（2024·湖北·模拟预测）现要修建一条隧道，其截面为抛物线型，如图所示，线段A．表示水平的路面，O为的中点，以O为坐标原点，以所在直线为x轴，以过点O垂直于x轴的直线为y轴，建立平面直角坐标系．根据设计要求：抛物线底面宽度米，该抛物线的顶点P到的距离为9米．
(1)求抛物线的解析式；
(2)现需在这一隧道内整上同一高度安装照明灯，即在该抛物线上的点M，N处分别安装照明灯．已知照明灯M，N 的水平距离为10米，求照明灯距地面的高度；
(3)如图，现需在隧道上方安装一块高度为1米、宽度为3米的电子显示屏，为确保行车安全，要求电子显示屏距地面至少6米，并且距左右墙紧需各留至少1米的安全距离，试通过计算说明能否满足安装设计要求．
题型06 喷水问题
19．（2024·陕西西安·模拟预测）一所大学在刚进入校门的广场处修建了一个喷泉，在水池中央垂直于地面处安装了柱子，在柱子顶端A处安装了一个喷头向外喷水．水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下，如图是该喷泉其中一股水流的平面示意图．以柱子底部为坐标原点，以水平地面为x轴，过原点且垂直于x轴的直线为y轴建立平面直角坐标系．已知柱子在水面以上的部分的高度为，为使水流形状较为漂亮，要求水流在距离柱子处达到距水平面最高，且最高为．
(1)求该抛物线的函数表达式；
(2)若不计其他因素，当喷泉池的半径为2.8米时，喷出的水流是否会落到池外？
20．（2024·河南信阳·模拟预测）小华在走读淮河文化园游玩，发现公园的草地自动浇水装置喷洒出的水流呈抛物线型，小华通过多次测量数据，在平面直角坐标系中绘制了水流喷出的高度与距离浇水装置的水平距离之间的函数图象，如图所示，已知点，抛物线顶点坐标为点．
(1)求水流所形成的抛物线的表达式．
(2)小华通过观察发现距离喷水装置处的一棵古树未被浇到水，请通过计算说明这个自动浇水装置不能浇到古树的原因．
(3)通过与园区工作人员交谈，小华发现这个喷水装置还可以上下移动，且移动之后水流的形状、大小保持不变，若想让（2）中的古树能被此浇水装置浇到，则此喷水装置需要向上移动的最小距离是多少？请直接写出答案．
21．（2024·贵州贵阳·二模）某公园要在圆形水池上修建喷泉，在池中心竖直水管的顶端安一个喷水头，使喷出的水柱呈抛物线型，如图所示，线段表示圆形水池的半径，以O为坐标原点，以线段所在直线为x轴，以水管所在直线为y轴，建立平面直角坐标系．按照设计师的设计，水管的高度为，且抛物线型水柱在与池中心的水平距离为处达到最高，且高度为，此时喷泉的观赏效果最佳．

(1)求抛物线型水柱的解析式；
(2)若此时有一个工人在清理水池，已知工人的身高为，求他站在距离A点多远以内会被水淋湿？
(3)为了使喷泉更加美观，如图所示，设计人员计划在中心水管上面延长一段增加一个喷水头，并使得该喷水头喷出的抛物线型水柱也在与池中心的水平距离为处达到最高，且比原抛物线水柱高，且落地处B点与点O的距离比短，则延长的水管高度应该设计为多少？
22．（2024·河南商丘·模拟预测）大自然中有一种神奇的鱼——射水鱼，它能以极快的速度从口中射出水柱击落昆虫来捕食，射出的水柱呈抛物线形．如图，以射水鱼所在的位置为原点建立平面直角坐标系，设水柱距水面的高度为，与射水鱼的水平距离为与的函数表达式为，水柱的最大高度为．
(1)求关于的函数表达式．
(2)一只昆虫位于点处，水柱形成的时间忽略不计，射水鱼从原点出发，需要水平向右游动多少距离才能击中昆虫？
23．（2024·山东临沂·一模）消防汽车自从上世纪初问世以后，经过不断的发展完善，很快成了消防工作的主力军，也彻底改变了人类与火灾斗争的面貌，随着现代建筑水平的提高，高层建筑越来越多、越来越高，消防车也随之发生了变化，云梯消防车出现了，云梯消防车的水枪固定在云梯上，水枪可在云梯打开的过程中升高或平移，在一次消防演练中，模拟建筑物某楼层发生火灾，此时消防车停放在火灾楼正前方的点O处，O到的水平距离35 米，在不打开消防云梯的状态下，水枪出水口D距地面高度为4米，喷出水的路线近似为抛物线，水离出水口水平距离 20米时，水柱达到最大高度，此时离水平地面68米，如图1，以所在的直线为y轴，以所在的水平线为x轴建立直角坐标系，（注：若水枪出水口位置发生改变，喷出水的路线的抛物线开口大小不变）
(1)求出水口在D点时抛物线的解析式:
(2)若着火楼层的窗户的顶端C到地面B的高度为80米，窗户的底端E到地面B的高度为 76 米，打开云梯后，水枪的出水口到达点F，点F距离y轴10米，距离x轴19 米，如图2，问此时水能否射进着火窗户内？
(3)若火源的中心在距离窗口水平距离5米的地面上，调整水枪的位置，使水柱的最高点恰好沿着窗户的上边缘C处射进窗户，问射进里的水能否正好击中地面火源的中心位置？请说明理由.
题型07 投球问题
24．（2023·安徽合肥·二模）如图1所示的某种发石车是古代一种远程攻击的武器，将发石车置于山坡底部处，以点为原点，水平方向为轴方向，建立如图所示的平面直角坐标系，将发射出去的石块当作一个点看，其飞行路线可以近似看作抛物线的一部分，山坡上有一堵防御墙，其竖直截面为，墙宽米，与轴平行，点与点的水平距离为米、垂直距离为米．
(1)若发射石块在空中飞行的最大高度为米，
①求抛物线的解析式；
②试通过计算说明石块能否飞越防御墙；
(2)若要使石块恰好落在防御墙顶部上（包括端点、），求的取值范围，
25．（23-24九年级上·江苏南京·阶段练习）掷实心球是南京市高中阶段学校招生体育考试的选考项目．如图1，一名女生投掷实心球，实心球行进路线是一条抛物线，行进高度与水平距离之间的函数关系如图2所示，已知掷出时起点处高度为，当水平距离为时，实心球行进至最高点处．
(1)求关于的函数表达式；
(2)根据南京市高中阶段学校招生体育考试评分标准（女生），投掷过程中，实心球从起点到落地点的水平距离大于等于，此项考试得分为满分．该女生在此项考试中是否得满分，请说明理由．
26．（2023·河南三门峡·一模）如图，在某中学的一场篮球赛中，李明在距离篮圈中心（水平距离）处跳起投篮，球出手时离地面，当篮球运行的水平距离为时达到离地面的最大高度．已知篮球在空中的运行路线为一条抛物线，篮圈中心距地面．
(1)建立如图所示的平面直角坐标系，求篮球运动路线所在抛物线的函数解析式；
(2)场边看球的小丽认为，李明投出的此球不能命中篮圈中心．请通过计算说明小丽判断的正确性；
(3)在球出手后，未达到最高点时，被防守队员拦截下来称为盖帽．但球到达最高点后，处于下落过程时，防守队员再出手拦截，属于犯规．在（1）的条件下，防守方球员张亮前来盖帽，已知张亮的最大摸球高度为，则他应该在李明前面多少米范围内跳起拦截才能盖帽成功？
27．（2024·湖北武汉·模拟预测）乒乓球被誉为中国国球。2023年的世界乒乓球锦标赛中，中国队包揽了五个项目的冠军，成绩的取得与平时的刻苦训练和精准的技术分析是分不开的。甲乙两人训练打乒乓球，让乒乓球沿着球台的中轴线运动。图为从侧面看乒乓球台的视图，为球台，为球网，点为的中点，，，甲从正上方的处击中球完成发球，球沿直线撞击球台上的处再弹起到另一侧的处，从处再次弹起到，乙再接球。以为原点，所在直线为轴，所在直线为轴，为单位长度建立平面直角坐标系，将乒乓球看成点，两次弹起的路径均为抛物线且形状不变，段抛物线的解析式为，段的解析式为．
(1)当球在球网左侧距球网时到达最高点，求的解析式；
(2)球从处弹起至最高点后下落过程中，球刚好擦过球网，视为网球重发，求的值；
(3)若球第二次的落点在球网右侧处，球再次弹起最高为，乙的球拍（看作线段）在的正上方处，，若将球拍向前水平推出（）可接住球（不包括球刚好碰到边沿点），求出的取值范围．
题型08 利用图像构建函数模型解决问题
28．（2024·浙江·模拟预测）某个农场有一个花卉大棚，是利用部分墙体建造的．其横截面顶部为抛物线型，大棚的一端固定在墙体上，另一端固定在墙体上，其横截面有2根支架，相关数据如图1所示，其中支架，，这个大棚用了400根支架．

为增加棚内空间，农场决定将图1中棚顶向上调整，支架总数不变，对应支架的长度变化，如图2所示，调整后C与E上升相同的高度，增加的支架单价为60元/米（接口忽略不计），需要增加的经费不超过32000元．
(1)分别以和所在的直线为x轴和y轴建立平面直角坐标系．
①求出改造前的函数解析式．
②当米，求的长度．
(2)只考虑经费情况下，求出的最大值．
29．（2024·陕西安康·二模）如图1，这是一款智能浇灌系统，水管垂直于地面并可以随意调节高度（的最大高度不超过1.5m）．浇灌花木时，喷头P会向四周喷射水流形成固定形状的抛物线，水流的落地点M与点O的距离即为最大浇灌距离，各方向水流的落地点形成一个以点O为圆心，为半径的圆形浇灌区域（区域内均能被浇灌到）．当喷头P位于地面与点O重合时，某一方向的水流上边缘形成了如图2所示的抛物线．经测量，，水流最高时距离地面0.1m．
(1)在图中建立合适的平面直角坐标系，求抛物线的函数表达式．
(2)当调节水管的高度时，圆形浇灌区域的面积会发生变化，请你求出圆形浇灌区域的最大面积．（结果保留π）
30．（2024·辽宁鞍山·一模）乒乓球被誉为中国国球．2023年的世界乒乓球锦标赛中，中国队包揽了五个项目的冠军，成绩的取得与平时的刻苦训练和精准的技术分析是分不开的．图2是图1所示乒乓球台的截面示意图，一位运动员从球台边缘正上方以击球高度（距离球台的高度）为的点A处，将乒乓球向正前方击打到对面球台，乒乓球的运行路线近似是抛物线的一部分．
乒乓球到球台的竖直高度记为y（单位：），乒乓球运行的水平距离记为x（单位：）．测得如下数据：
水平距离 0 10 50 90 130 170 230
竖直高度 33 45 49 45 33 0
(1)如图3，在平面直角坐标系中，描出表格中各组数值所对应的点，并画出表示乒乓球运行轨迹形状的大致图象．
(2)①当乒乓球到达最高点时，与球台之间的距离是______，当乒乓球落在对面球台上时，到起始点的水平距离是______．
②求满足条件的抛物线的表达式．
(3)技术分析：如果只上下调整击球高度，乒乓球的运行轨迹形状不变，那么为了确保乒乓球既能过网，又能落在对面球台上，需要计算出的取值范围，以利于有针对性的训练，如图2，乒乓球台长为，球网高为．现在已经计算出乒乓球恰好过网的击球高度的值约为．请你计算出乒乓球恰好落在对面球台边缘点B处时，击球高度的值（乒乓球大小忽略不计）．
31．（2024·河南信阳·一模）如图1所示的藉车是中国古代一种远程火攻武器，将某加强版藉车置于山坡底部O处（原点O处），抛出物从藉车竖直方向上的点C处被抛出，米，将发射出去的抛出物当作一个点看，其飞行路线可以近似看作抛物线的一部分，当抛出物飞行的水平距离为50米时，达到最大高度25米．

(1)求抛物线的表达式；
(2)为了阻挡抛出物的飞行，守城方在斜坡上的点A处建有防御工事M，其最高点B与O点的水平距离为45米，与斜坡的竖直距离米，斜坡的坡比，通过计算说明抛出物能否飞越防御工事M．
题型09 图形问题
32．（2023·湖北武汉·三模）某家禽养殖场，用总长为的围栏靠墙（墙长为）围成如图所示的三块矩形区域，矩形与矩形面积相等，矩形面积等于矩形面积的二分之一，设长为，矩形区域的面积为．

(1)求与之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围；
(2)当为何值时，有最大值？最大值是多少？
(3)现需要在矩形和矩形区域分别安装不同种类的养殖设备，单价分别为40元/平方米和20元/平方米，若要使安装成本不超过30000元，请直接写出的取值范围．
33．（2024·湖北襄阳·模拟预测）如图，某农户计划用篱笆围成一个矩形场地养殖家禽，为充分利用现有资源，该矩形场地一面靠墙(墙的长度为)，另外三面用篱笆围成，中间再用篱笆把它分成三个面积相等的矩形分别养殖不同的家禽，计划购买篱笆的总长度为，设矩形场地的长为， 宽为， 面积为．
(1)分别求出y与x，s与x的函数解析式；
(2)当x为何值时，矩形场地的总面积最大？最大面积为多少？
(3)若购买的篱笆总长增加，矩形场地的最大总面积能否达到 若能，请求出x的值；若不能，请说明理由．
34．（2024·广西·模拟预测）在锐角中，，矩形的两个顶点，分别在上，另两个顶点均在上，高交于点，设的长为，矩形的面积为．
(1)求的长，并用含的式子表示线段的长；
(2)请求出关于的函数解析式；
(3)试求的最大值．
35．（2022·浙江宁波·二模）如图1是一架菱形风筝，它的骨架由如图2的4条竹棒AC，BD，EF，GH组成，其中E，F，G，H分别是菱形四边的中点，现有一根长为的竹棒，正好锯成风筝的四条骨架，设菱形的面积为.
(1)写出关于的函数关系式：
(2)为了使风筝在空中有较好的稳定性，要求，那么当骨架的长为多少时，这风筝即菱形的面积最大？此时最大面积为多少？
题型10 动点问题
36．（2024·吉林·二模）如图，在等腰直角三角形中，，．动点E，F分别从点A，B同时出发，点E沿折线A→C→B向终点B运动，在AC上的速度为2cm/s，在CB上的速度为cm/s，点F以1cm/s的速度沿线段向终点A运动，连接，．设运动时间为x（s），的面积为y（cm2）（）．
(1)的长为______cm（用含x的代数式表示）．
(2)求y关于x的函数解析式，并写出x的取值范围．
(3)当为钝角三角形时，直接写出x的取值范围．
37．（2024·四川资阳·二模）如图，在中，，，点P、Q分别在射线、上（点P不与C，B重合），且保持．
(1)若P在线段上，求证：；
(2)设、，求y与x之间的函数关系式，并写出x的取值范围．
38．（2024·天津红桥·二模）在平面直角坐标系中，为原点，矩形的顶点，，等边三角形的顶点，顶点在第二象限．
(1)填空：如图①，点的坐标为______________，点的坐标为______________；
(2)将沿轴向右平移，得，点，，的对应点分别为．设，与矩形重叠部分的面积为．
①如图②，当与矩形重叠部分为五边形时，边与相交于点，边与相交于点，试用含有的式子表示，并直接写出的取值范围；
②当时，求的取值范围（直接写出结果即可）．
39．（23-24九年级上·重庆江津·期末）如图，在四边形中，，于点E，，，．动点P从点A出发，沿方向以每秒2个单位长度的速度运动，同时动点Q从点E出发，沿折线方向以每秒1个单位长度的速度运动．当点Q到达点D时，P、Q两点都停止运动．设动点P运动的时间为x秒，的面积为y．
(1)请直接写出y关于x的函数关系式并注明自变量x的取值范围；
(2)在给定的平面直角坐标系中，画出这个函数的图象，并写出该函数的一条性质；
(3)结合函数图象，直接写出的面积为4时x的值．
1．（2024·山东潍坊·中考真题）【问题提出】
在绿化公园时，需要安装一定数量的自动喷洒装置，定时喷水养护，某公司准备在一块边长为的正方形草坪（如图1）中安装自动喷洒装置，为了既节约安装成本，又尽可能提高喷洒覆盖率，需要设计合适的安装方案．
说明：一个自动喷洒装置的喷洒范围是半径为的圆面．喷洒覆盖率，为待喷洒区域面积，为待喷洒区域中的实际喷洒面积．
【数学建模】
这个问题可以转化为用圆面覆盖正方形面积的数学问题．
【探索发现】
（1）如图2，在该草坪中心位置设计安装1个喷洒半径为的自动喷洒装置，该方案的喷洒覆盖率______．
（2）如图3，在该草坪内设计安装4个喷洒半径均为的自动喷洒装置；如图4，设计安装9个喷洒半径均为3m的自动喷洒装置；，以此类推，如图5，设计安装个喷洒半径均为的自动喷洒装置．与（1）中的方案相比，采用这种增加装置个数且减小喷洒半径的方案，能否提高喷洒覆盖率？请判断并给出理由．
（3）如图6所示，该公司设计了用4个相同的自动喷洒装置喷洒的方案，且使得该草坪的喷洒覆盖率．已知正方形各边上依次取点F，G，H，E，使得，设，的面积为，求关于的函数表达式，并求当取得最小值时的值．
【问题解决】
（4）该公司现有喷洒半径为的自动喷洒装置若干个，至少安装几个这样的喷洒装置可使该草坪的喷洒覆盖率？（直接写出结果即可）
2．（2024·内蒙古赤峰·中考真题）如图，是某公园的一种水上娱乐项目．数学兴趣小组对该项目中的数学问题进行了深入研究．下面是该小组绘制的水滑道截面图，如图1，人从点A处沿水滑道下滑至点B处腾空飞出后落入水池．以地面所在的水平线为x轴，过腾空点B与x轴垂直的直线为y轴，O为坐标原点，建立平面直角坐标系．他们把水滑道和人腾空飞出后经过的路径都近似看作是抛物线的一部分．根据测量和调查得到的数据和信息，设计了以下三个问题，请你解决．
(1)如图1，点B与地面的距离为2米，水滑道最低点C与地面的距离为米，点C到点B的水平距离为3米，则水滑道所在抛物线的解析式为______；
(2)如图1，腾空点B与对面水池边缘的水平距离米，人腾空后的落点D与水池边缘的安全距离不少于3米．若某人腾空后的路径形成的抛物线恰好与抛物线关于点B成中心对称．
①请直接写出此人腾空后的最大高度和抛物线的解析式；
②此人腾空飞出后的落点D是否在安全范围内？请说明理由（水面与地面之间的高度差忽略不计）；
(3)为消除安全隐患，公园计划对水滑道进行加固．如图2，水滑道已经有两条加固钢架，一条是水滑道距地面4米的点M处竖直支撑的钢架，另一条是点M与点B之间连接支撑的钢架．现在需要在水滑道下方加固一条支撑钢架，为了美观，要求这条钢架与平行，且与水滑道有唯一公共点，一端固定在钢架上，另一端固定在地面上．请你计算出这条钢架的长度（结果保留根号）．
3．（2024·山西·中考真题）大棚经济“金钥匙”，激活乡村产业振兴新引擎．刘叔叔计划在自家菜地修建一个蔬菜大棚，图是其横截面的示意图，其中，为两段垂直于地面的墙体，两段墙体之间的水平距离为米，大棚的顶部用抛物线形铝合金骨架作支撑．已知骨架的一端固定在离地面米的墙体处，另一端固定在墙体处，骨架最高点到墙体的水平距离为米，且点离地面的高度为米．

数学建模
（1）在图中，以为原点，水平直线为轴，所在直线为轴，建立平面直角坐标系．设大棚顶部骨架上某处离地面的高度为（米），该处离墙体的水平距离为（米），求与之间的函数关系式；
问题解决
（2）为了大棚顶部更加稳固，刘叔叔计划在棚顶安装“丁”字形铝合金支架，如图2所示，支架可以看成是由线段，组成，其中点，在顶棚抛物线形骨架上，于点．为不影响耕作，将点E到地面的距离定为米．
点的坐标为______，的长为______；
请你计算做一个“丁”字形支架所需铝合金材料的最大长度．（结果精确到米．参考数据：）
4．（2023·江苏泰州·中考真题）某公司的化工产品成本为元/千克．销售部门规定：一次性销售千克以内时，以元/千克的价格销售；一次性销售不低于千克时，每增加千克降价元．考虑到降价对利润的影响，一次性销售不低于千克时，均以某一固定价格销售．一次性销售利润（元）与一次性销售量（千克）的函数关系如图所示．

(1)当一次性销售千克时利润为多少元？
(2)求一次性销售量在之间时的最大利润；
(3)当一次性销售多少千克时利润为元？
5．（2023·广东深圳·中考真题）蔬菜大棚是一种具有出色的保温性能的框架覆膜结构，它出现使得人们可以吃到反季节蔬菜．一般蔬菜大棚使用竹结构或者钢结构的骨架，上面覆上一层或多层保温塑料膜，这样就形成了一个温室空间．如图，某个温室大棚的横截面可以看作矩形和抛物线构成，其中，，取中点O，过点O作线段的垂直平分线交抛物线于点E，若以O点为原点，所在直线为x轴，为y轴建立如图所示平面直角坐标系．
请回答下列问题：
(1)如图，抛物线的顶点，求抛物线的解析式；

(2)如图，为了保证蔬菜大棚的通风性，该大棚要安装两个正方形孔的排气装置，，若，求两个正方形装置的间距的长；

(3)如图，在某一时刻，太阳光线透过A点恰好照射到C点，此时大棚截面的阴影为，求的长．

6．（2023·湖北武汉·中考真题）某课外科技活动小组研制了一种航模飞机．通过实验，收集了飞机相对于出发点的飞行水平距离（单位：）以、飞行高度（单位：）随飞行时间（单位：）变化的数据如下表．
飞行时间 0 2 4 6 8 …
飞行水平距离 0 10 20 30 40 …
飞行高度 0 22 40 54 64 …
探究发现：与，与之间的数量关系可以用我们已学过的函数来描述．直接写出关于的函数解析式和关于的函数解析式（不要求写出自变量的取值范围）．
问题解决：如图，活动小组在水平安全线上处设置一个高度可以变化的发射平台试飞该航模飞机．根据上面的探究发现解决下列问题．

（1）若发射平台相对于安全线的高度为0m，求飞机落到安全线时飞行的水平距离；
（2）在安全线上设置回收区域．若飞机落到内（不包括端点），求发射平台相对于安全线的高度的变化范围．
1．（2024·天津·中考真题）从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度（单位：）与小球的运动时间（单位：）之间的关系式是．有下列结论：
①小球从抛出到落地需要；
②小球运动中的高度可以是；
③小球运动时的高度小于运动时的高度．
其中，正确结论的个数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
2．（2024·山东烟台·中考真题）如图，水平放置的矩形中，，，菱形的顶点，在同一水平线上，点与的中点重合，，，现将菱形以的速度沿方向匀速运动，当点运动到上时停止，在这个运动过程中，菱形与矩形重叠部分的面积与运动时间之间的函数关系图象大致是（ ）
A． B．
C． D．
3．（2024·黑龙江齐齐哈尔·中考真题）如图，在等腰中，，，动点E，F同时从点A出发，分别沿射线和射线的方向匀速运动，且速度大小相同，当点E停止运动时，点F也随之停止运动，连接，以为边向下做正方形，设点E运动的路程为，正方形和等腰重合部分的面积为y，下列图像能反映y与x之间函数关系的是（ ）
A． B． C．D．
4．（2023·天津·中考真题）如图，要围一个矩形菜园，共中一边是墙，且的长不能超过，其余的三边用篱笆，且这三边的和为．有下列结论：
①的长可以为；
②的长有两个不同的值满足菜园面积为；
③菜园面积的最大值为．
其中，正确结论的个数是（ ）

A．0 B．1 C．2 D．3
5．（2023·黑龙江齐齐哈尔·中考真题）如图，在正方形中，，动点M，N分别从点A，B同时出发，沿射线，射线的方向匀速运动，且速度的大小相等，连接，，．设点M运动的路程为，的面积为，下列图像中能反映与之间函数关系的是（ ）

A． B． C． D．
6．（2024·广西·中考真题）如图，壮壮同学投掷实心球，出手（点P处）的高度是，出手后实心球沿一段抛物线运行，到达最高点时，水平距离是，高度是．若实心球落地点为M，则 ．
7．（2024·甘肃·中考真题）如图1为一汽车停车棚，其棚顶的横截面可以看作是抛物线的一部分，如图2是棚顶的竖直高度y（单位：）与距离停车棚支柱的水平距离x（单位：）近似满足函数关系的图象，点在图象上．若一辆箱式货车需在停车棚下避雨，货车截面看作长，高的矩形，则可判定货车 完全停到车棚内（填“能”或“不能”）．
8．（2024·四川自贡·中考真题）九（1）班劳动实践基地内有一块面积足够大的平整空地．地上两段围墙于点O（如图），其中上的段围墙空缺．同学们测得m，m，m，m，m．班长买来可切断的围栏m，准备利用已有围墙，围出一块封闭的矩形菜地，则该菜地最大面积是 ．
9．（2023·山东滨州·中考真题）要修一个圆形喷水池，在池中心竖直安装一根水管，水管的顶端安一个喷水头，使喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离为处达到最高，高度为，水柱落地处离池中心，水管高度应为 ．
10．（2023·湖北襄阳·中考真题）如图，一位篮球运动员投篮时，球从点出手后沿抛物线行进，篮球出手后距离地面的高度与篮球距离出手点的水平距离之间的函数关系式是．下列说法正确的是 （填序号）．
①篮球行进过程中距离地面的最大高度为；②篮球出手点距离地面的高度为．

11．（2023·吉林长春·中考真题）年5月8日，商业首航完成——中国民商业运营国产大飞机正式起步．时分航班抵达北京首都机场，穿过隆重的“水门礼”（寓意“接风洗尘”、是国际民航中高级别的礼仪）．如图①，在一次“水门礼”的预演中，两辆消防车面向飞机喷射水柱，喷射的两条水柱近似看作形状相同的抛物线的一部分．如图②，当两辆消防车喷水口A、B的水平距离为米时，两条水柱在物线的顶点H处相遇，此时相遇点H距地面米，喷水口A、B距地面均为4米．若两辆消防车同时后退米，两条水柱的形状及喷水口、到地面的距离均保持不变，则此时两条水柱相遇点距地面 米．

12．（2023·湖北十堰·中考真题）“端午节”吃粽子是中国传统习俗，在“端午节”来临前，某超市购进一种品牌粽子，每盒进价是40元，并规定每盒售价不得少于50元，日销售量不低于350盒，根据以往销售经验发现，当每盒售价定为50元时，日销售量为500盒，每盒售价每提高1元，日销售量减少10盒，设每盒售价为x元，日销售量为p盒．
(1)当时，__________；
(2)当每盒售价定为多少元时，日销售利润W（元）最大？最大利润是多少？
(3)小强说：“当日销售利润最大时，日销售额不是最大，”小红说：“当日销售利润不低于8000元时，每盒售价x的范围为．”你认为他们的说法正确吗？若正确，请说明理由；若不正确，请直接写出正确的结论．
13．（2024·湖北·中考真题）学校要建一个矩形花圃，其中一边靠墙，另外三边用篱笆围成．已知墙长42m，篱笆长．设垂直于墙的边长为米，平行于墙的边为米，围成的矩形面积为．
(1)求与与的关系式．
(2)围成的矩形花圃面积能否为，若能，求出的值．
(3)围成的矩形花圃面积是否存在最大值？若存在，求出这个最大值，并求出此时的值．
14．（2024·山东烟台·中考真题）每年5月的第三个星期日为全国助残日，今年的主题是“科技助残，共享美好生活”，康宁公司新研发了一批便携式轮椅计划在该月销售，根据市场调查，每辆轮椅盈利200元时，每天可售出60辆；单价每降低10元，每天可多售出4辆．公司决定在成本不变的情况下降价销售，但每辆轮椅的利润不低于180元，设每辆轮椅降价x元，每天的销售利润为y元．
(1)求y与x的函数关系式；每辆轮椅降价多少元时，每天的销售利润最大？最大利润为多少元？
(2)全国助残日当天，公司共获得销售利润12160元，请问这天售出了多少辆轮椅？
15．（2024·广东·中考真题）广东省全力实施“百县千镇万村高质量发展工程”，2023年农产品进出口总额居全国首位，其中荔枝鲜果远销欧美．某果商以每吨2万元的价格收购早熟荔枝，销往国外．若按每吨5万元出售，平均每天可售出100吨．市场调查反映：如果每吨降价1万元，每天销售量相应增加50吨．该果商如何定价才能使每天的“利润”或“销售收入”最大？并求出其最大值．（题中“元”为人民币）
16．（2024·贵州·中考真题）某超市购入一批进价为10元/盒的糖果进行销售，经市场调查发现：销售单价不低于进价时，日销售量y（盒）与销售单价x（元）是一次函数关系，下表是y与x的几组对应值．
销售单价x/元 … 12 14 16 18 20 …
销售量y/盒 … 56 52 48 44 40 …
(1)求y与x的函数表达式；
(2)糖果销售单价定为多少元时，所获日销售利润最大，最大利润是多少？
(3)若超市决定每销售一盒糖果向儿童福利院赠送一件价值为m元的礼品，赠送礼品后，为确保该种糖果日销售获得的最大利润为392元，求m的值．
17．（2024·河南·中考真题）从地面竖直向上发射的物体离地面的高度满足关系式，其中是物体运动的时间，是物体被发射时的速度．社团活动时，科学小组在实验楼前从地面竖直向上发射小球．
(1)小球被发射后_________时离地面的高度最大（用含的式子表示）．
(2)若小球离地面的最大高度为，求小球被发射时的速度．
(3)按（2）中的速度发射小球，小球离地面的高度有两次与实验楼的高度相同．小明说：“这两次间隔的时间为．”已知实验楼高，请判断他的说法是否正确，并说明理由．第三章 函数
第14讲 二次函数的应用
题型01 最大利润问题
题型02 方案解决问题
题型03 行程问题
题型04 拱桥问题
题型05 隧道通车问题
题型06 喷水问题
题型07 投球问题
题型08 利用图像构建函数模型解决问题
题型09 图形问题
题型10 动点问题
题型01 最大利润问题
1．（2024·广东湛江·模拟预测）某超市以每件10元的价格购进一种文具，销售时该文具的销售单价不低于进价且不高于19元．经过市场调查发现，该文具的每天销售数量（件）与销售单价（元）之间满足一次函数关系：．
(1)若该超市每天销售这种文具获利192元，则销售单价为多少元？
(2)设销售这种文具每天获利（元），求关于的函数关系式（写出自变量的取值范围），并求出当销售单价为多少元时，每天获利最大？最大利润是多少元？
【答案】(1)销售单价为元；
(2)当销售单价为元时，每天获利最大，最大利润是元．
【分析】本题考查了二次函数的应用，一元二次方程的应用等知识，掌握相关知识是解题的关键．
（1）根据每天的获利=每件的利润×每天的销售量，即可得出关于的一元二次方程，解之取其较小值即可得出结论；
（2）根据每天的获利每件的利润每天的销售量，即可得出关于的函数关系式，再利用二次函数的性质即可解决最值问题．
【详解】（1）解：根据题意得：
整理得：
解得：(不合题意，舍去)，
答：销售单价为元；
（2）解：根据题意得：
，
∴当时，随的增大而增大，
∴当时，取得最大值，最大值为：
，
∴关于的函数关系式为：
当销售单价为元时，每天获利最大，最大利润是元．
2．（2023·江苏扬州·一模）农经公司以30元/千克的价格收购一批农产品进行销售，为了得到日销售量（千克）与销售价格（元/千克）之间的关系，经过市场调查获得部分数据如表：
销售价格（元/千克） 30 35 40 45 50
日销售量（千克） 600 450 300 150 0
(1)请你根据表中的数据，用所学过的一次函数、二次函数、反比例函数的知识确定与之间的函数表达式，并直接写出与的函数表达式为______；
(2)农经公司应该如何确定这批农产品的销售价格，才能使日销售利润最大？
(3)农经公司每销售1千克这种农产品需支出元的相关费用，当时，农经公司的日获利的最大值为2430元，求的值．（日获利日销售利润日支出费用）
【答案】(1)
(2)这批农产品的销售价格定为元/千克，才能使日销售利润最大
(3)2
【分析】本题主要考查一次函数，二次函数图象的性质，掌握待定系数法求解析式，销售问题中数量关系是解题的关键．
（1）先判断与x成一次函数关系，设与x之间的函数表达式为，运用待定系数法即可求解；
（2）设日销售利润为w元，由题意得：，根据一次函数图象的性质即可求解；
（3）设日获利为w元，由题意得：，结合二次函数图象的性质，分类讨论，即可求解．
【详解】（1）解：根据表格中的数据可知：销售价格每增加5元，日销售量减少，
∴与成一次函数关系，设与之间的函数表达式为，
将代入，得：
，
解得：，
∴；
（2）解：设日销售利润为元，由题意得：
，
∵，抛物线开口向下，
∴当时，有最大值．
∴这批农产品的销售价格定为元/千克，才能使日销售利润最大；
（3）解：设日获利为元，由题意得：
，
对称轴为，
当时，，则当时，有最大值，将代入，得：
，
当时，
，
解得（舍去）；
当，，则当时，有最大值，将代入，得：
当时，
，
解得：（舍去）；
综上所述，的值为．
3．（2024·贵州遵义·模拟预测）某数学兴趣小组在暑假开展社会实践活动，销售某品牌书包，平均每天可以销售20个，每个盈利12元，为了扩大销售，增加盈利，该小组决定采取适当的降价措施，经调查发现，如果每个书包每降价1元，平均每天可以多卖5个．
(1)若每个书包降价元，则可多卖__________个，每个盈利__________元；
(2)若该兴趣小组同学想要一天盈利300元，每个书包应降价多少元；
(3)该兴趣小组同学想要一天盈利最大，应降价多少元，所得最大利润是多少元？
【答案】(1)，
(2)每个书包降价6元
(3)当降价4元时利润最大，最大利润为320元
【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用以及二次函数的应用，解决本题的关键是：
（1）根据每个书包降价元，利用每个书包每降价1元，平均每天可以多卖5个，即可得出降价后书包多卖个，每个盈利元；
（2）利用书包降价后每天盈利每个的利润卖出的个数降低的价格）增加的件数），把相关数值代入即可求解；
（3）由（2）得关系式：，配方后可解答．
【详解】（1）解：若每个书包降价元，则可多卖个，每个盈利元；
故答案为：，；
（2）设每个书包降价元，可盈利300元，
则，
解得：（舍去），，
每个书包降价6元；
（3）设每个书包降价元，最大利润为元，
则
，
，
当时，有最大值，最大值为320；
答：当降价4元时利润最大，最大利润为320元．
4．（2024·湖北黄冈·模拟预测）大学生小丽暑假期间从小商品批发市场批发了一种新商品，新商品的进价为30元/件，经过一段时间的试销，她发现每月的销售量会因售价的调整而不同，若设每月的销售量为y件，售价为x元/件.
(1)当售价在40—50 元/件时，每月的销售量都为60件，则此时每月的总利润最多是多少元
(2)当售价在50—70 元/件时，每月的销售量与售价的关系如图所示，求y 与x的关系式；
(3)小丽决定每卖出一件商品就向福利院捐赠m(m为整数)元，若要保证小丽每月获利仍随x的增大而增大，请你帮她计算m的最小值是多少，并求此时售价为多少元时，她每月获利最大.
【答案】(1)每月的总利润最多是 1200 元
(2)
(3)m的最小值是30，售价为70元时，她每月获利最大
【分析】题目主要考查一次函数及二次函数的应用，理解题意，列出相应的函数关系式是解题关键．
（1）根据题意得出总利润，再由一次函数的性质即可求解；
（2）当售价在元时，设每月销售量，利用待定系数法进行计算即可；
（3）求出二次函数解析式，再根据二次函数的定义进行计算即可．
【详解】（1）解：当售价在元时， 每月的总利润为元.
则总利润，
，
当时，总利润最多，为(元)，
每月的总利润最多是元；
（2）解：当售价在元时，设每月销售量，
，
解得，
每月销售量．
（3）解：当售价在元时，设每月的总利润为元.
每月的总利润 ，二次函数的对称轴为直线
，且要保证小丽每月获利仍随x的增大而增大，
，解得，
m的最小值是30，
此时
当时，取得最大值，最大值为200元，
m的最小值是30，此时售价为70元时，她每月获利最大．
题型02 方案解决问题
5．（2024·山东潍坊·一模）某无人机租赁方案有50架某种型号的无人机对外出租，该方案有两种租赁方案：
方案A：如果每架无人机月租费300元，那么50架无人机可全部租出．如果每架无人机的月租费每增加5元，那么将少租出1架无人机．另外，方案为每架租出的无人机支付月维护费20元． 方案B：每架无人机月租费350元，无论是否租出，方案均需一次性支付月维护费共计185元．
说明：月利润=月租费-月维护费．
设租出无人机的数量为x架，根据上述信息，解决下列问题：
(1)当时，按方案A租赁所得的月利润是__________元，按方案B租赁所得的月利润是__________元；
(2)如果按两种方案租赁所得的月利润相等，那么租出的无人机数量是多少？
(3)设按方案A租赁所得的月利润为，按方案B租赁所得的月利润为，记函数，求w的最大值．
【答案】(1)4800，3315
(2)如果按两种方案租赁所得的月利润相等，那么租出的无人机数量是37架；
(3)的最大值为元．
【分析】本题考查了二次函数的实际应用．
（1）用甲方案未租出的无人机数量算出每辆车的租金，再乘以10，减去维护费用可得甲方案的月利润；乙方案租出的无人机租金乘以10，减去维护费用可得乙方案的月利润；
（2）先求出两个方案月利润函数关系式，再求时，x的值即可；
（3）根据题意得到函数，利用二次函数的性质求解即可．
【详解】（1）解：元，
当每个方案租出的无人机为10辆时，甲方案的月利润是48000元；
乙方案的月利润为元，
故答案为：4800，3315；
（2）解：设甲方案的月利润为，乙方案的利润为，则：
，
乙方案的利润为，
当时，
，
解得或（不合题意，舍去），
答：如果按两种方案租赁所得的月利润相等，那么租出的无人机数量是37架；
（3）解：由题意得
，
∵，
∴函数有最大值，
又，
∴当时，有最大值，为元．
6．（2024·湖北宜昌·模拟预测）某商场计划用5400元购买一批商品，若将进价降低10%，则可以多购买该商品30件．市场调查反映：售价为每件25元时，每天可卖出250件．如果调整价格，一件商品每涨价1元，每天要少卖出10件．
(1)求该商品原来的进价；
(2)在进价没有改变的条件下，若每天所得的销售利润为2000元，且销售量尽可能大时，该商品的售价是多少元/件？
(3)在进价没有改变的条件下，商场的营销部在调控价格方面，提出了A，B两种营销方案．
方案A：每件商品涨价不超过5元；
方案B：每件商品的利润至少为16元．
请比较哪种方案的最大利润更高，并说明理由．
【答案】(1)该商品原来的进价为20元；
(2)商品的售价是每件30元；
(3)综上所述，方案最大利润更高．
【分析】此题主要考查了二次函数的应用，根据题意利用函数性质得出最值是解题关键．
（1）利用销量每件利润总利润，进而求出即可；
（2）利用二次函数的性质得出销售单价；
（3）分别求出两种方案的最值进而比较得出答案．
【详解】（1）解：设该商品原来的进价为元．
由题意：，解得，
经检验，是原方程的解，
答：该商品原来的进价为20元；
（2）解：设提价元，
根据题意得：，
解得或5，
销量尽可能大，
，
商品的售价是每件30元；
（3）解：；
，
抛物线对称轴是直线，开口向下，对称轴左侧随的增大而增大，对称轴右侧随的增大而减小，
方案：根据题意得，，则，
当时，利润最大，
最大利润为（元，
方案：根据题意得，，
解得：，
则，
故当时，利润最大，
最大利润为（元，
，
综上所述，方案最大利润更高．
7．（2024·内蒙古呼和浩特·模拟预测）呼和浩特素有“召城”之称，塞上老街是一个重要的旅游街区，不仅有各式传统文化遗物向游人诉说着历史，更有新兴的现代手工制品吸引着世人的目光，现塞上老街某文创专卖店在旅游文化节期间准备购进甲、乙两种围巾，其中乙种围巾的进价比甲种围巾的进价少元，已知甲种围巾的售价为每条元，乙种围巾的售价为每条元，若用元购进甲种围巾的数量与用元购进乙种围巾的数量相同．
(1)求甲、乙两种围巾每条的进价；
(2)要使购进的甲、乙两种围巾共条的总利润不少于元，且不超过元，问该文创专卖店有几种进货方案；
(3)文创专卖店准备对甲种围巾进行价格调整，甲种围巾每星期可卖出条，市场调查反映，如调整价格，甲种围巾每降价1元，每星期可多卖出条，乙种围巾售价不变，若该专卖店一星期要购进甲、乙共条围巾且全部售出，如何给甲种围巾定价才能使一星期总利润最大，此时甲、乙两种围巾各卖出多少条
【答案】(1)甲、乙两种围巾每条的进价分别为元和元
(2)种
(3)甲、乙两种围巾分别卖出条和条
【分析】本题考查了分式方程的应用，一元一次不等式的应用，二次函数的应用．熟练掌握分式方程的应用，一元一次不等式的应用，二次函数的应用是解题的关键．
（1）设乙种围巾的进价为x元，则甲种围巾的进价为元，依题意得：，计算求出满足要求的解，然后求解作答即可；
（2）设购进甲种围巾a条，则购进乙种围巾条，依题意得，，计算求解，然后作答即可；
（3）设甲种围巾降了y元，则每星期可多卖出条，且，该文创专卖店一星期的总利润为w元， 依题意得，，整理得：，根据二次函数的图象与性质求解作答即可．
【详解】（1）解：设乙种围巾的进价为x元，则甲种围巾的进价为元，
依题意得：，
解得：，
经检验，是原分式方程的解且满足题意，
∴（元），
答：甲、乙两种围巾每条的进价分别为元和元．
（2）解：设购进甲种围巾a条，则购进乙种围巾条，
依题意得，，
解得：，
∵a为正整数，
∴该文创专卖店有种进货方案；
（3）解：设甲种围巾降了y元，则每星期可多卖出条，且，该文创专卖店一星期的总利润为w元，
依题意得，，
整理得：，
∵，
∴当时，w有最大值，
此时，甲种围巾的售价为：（元），
甲种围巾售出：（条），
乙种围巾售出：（条），
∴甲、乙两种围巾分别卖出条和条．
8．（2024·陕西西安·一模）有一建筑的一面墙近似呈抛物线形，该抛物线的水平跨度顶点P的高度为4m，建立如图所示平面直角坐标系．现计划给该墙面安装门窗，已经确定需要安装矩形门框（点B，C在抛物线上，边在地面上），针对窗框的安装设计师给出了两种设计方案如图：
方案一：在门框的两边加装两个矩形窗框（点G，H在抛物线上），；
方案二：在门框的上方加装一个矩形的窗框（点G，H在抛物线上），．

(1)求该抛物线的函数表达式；
(2)若要求门框的高度为3m，判断哪种方案透光面积（窗框和门框的面积和）较大？（窗框与门框的宽度忽略不计）
【答案】(1)
(2)方案一透光面积较大，见解析
【分析】本题主要考查二次函数的应用，解题的关键是根据点的坐标求出小矩形的边长．
（1）由题意可知，抛物线的顶点P的坐标，设所求抛物线的解析式为，把代入解析式中即可得出答案；
（2）将代入解析式求出A、B两点的坐标，再根据已知条件分别求出方案一和方案二中小矩形的长和宽，求出面积比较即可．
【详解】（1）解：由题意可知，抛物线的顶点P的坐标，
设所求抛物线的解析式为
把代入解析式中，得，
解得：
所以该抛物线的表达式为；
（2）解：当时，
即
解得：，
所以点A的坐标为，点B的坐标为，，
方案一：
，
∵，
∴点E的坐标为，
∴点G的横坐标为1，
当时，
∴
∴
∴
方案二：
∵，
∴点E的坐标为，
∴点G的横坐标为3，
当时，
∴
∴
∵，
∴方案一透光面积较大．
题型03 行程问题
9．（2024·浙江·模拟预测）问题情境：如图1，两条宽为16米、互相垂直的马路组成十字路口，为中心对称图形，两交通白线AB，CD间的距离与EF，GH间的距离均为64米，双向安装红绿灯．
安全条件：当绿灯亮时的最后一秒（即绿灯读数为0），甲从交通白线AB骑出，能及时穿过路口，不与另一方向绿灯亮时从交通白线EF出来的汽车相撞，即可保证交通安全．
实验数据：测试时，甲沿BC骑行，汽车按公路中线行驶．当绿灯亮起，汽车起步后的速度v（米/秒）、行驶距离s（米）关于时间t（秒）的函数图象分别为图2、图3，已知．
解决问题：
(1)求图3中m的值．
(2)当时，求s关于t的函数表达式．
(3)如图1，若甲骑车速度为5米/秒，汽车与摩托车长度忽略不计，设红绿灯时间差为T秒．当T要满足什么条件时，才能使汽车与甲不相撞？试通过计算说明．
【答案】(1)
(2)
(3)大于3.9秒才能使车人不相撞，见解析
【分析】本题主要考查了二次函数的应用，一元一次不等式的应用，将现实生活中的事件与数学思想联系起来，理解摩托车与汽车不相撞的条件，列出不等式关系式即可求解．
（1）将题干中已知坐标代入解析式求出的值，再令，即可求出的值．
（2）观察图二可发现，当时，速度始终为15 m/s，理解题意，将速度代入关系式中，即可得出s关于t的函数表达式．
（3）根据已知条件，需要求出另一侧绿灯亮时，摩托车通过路口的行驶时间， 再求出汽车到路口行驶时间，摩托车通过路口要比汽车通过线要早一些方可避免碰撞事故，所以满足摩托车通过路口的行驶时间大于汽车到路口行驶时间即可．
【详解】（1）解：（1）将代入，
，
，
即与的关系式为，
．
（2）由题意得，当时，m/s
．
（3）（米），
当绿灯亮时骑车出发到另一侧绿灯亮时，摩托车可骑行路程，
此时摩托车到线的剩余路程为（），需要骑行时间（秒）．
又汽车到路口行驶路程米＞22.5米，
当时，，解得，
汽车到路口行驶时间秒．
要保证安全，摩托车需及时通过路口，
，解得，
大于3.9秒才能使车人不相撞．
10．（2024·浙江杭州·一模）如图，小车从点A出发，沿与水平面成角光滑斜坡下滑，在下滑过程中小车速度逐渐增加，设小车出发点A离水平地面的高度为h，小车从点A滑行到最低点B所用的时间为t（秒），小车滑行到点B时的速度为v（厘米/秒）．速度v与时间t满足关系：，高度h与时间t满足关系：（，g是常数），当小车出发点小车出发点A离水平地面的高度为20（厘米）时，小车从点A滑到最低点B需要2秒．
(1)当小车出发点A离水平地面的高度为45（厘米）时，小车滑到最低点B需要几秒钟？此时小车到达B点时的速度是多少？
(2)小车继续在粗糙的水平地面上滑行，设滑行的距离为s（厘米），小车从斜坡滑行到点B时速度为v（厘米/秒），小车在水平地面上滑行的时间为T（秒），若s与v，T之间满足以下关系：（，a是常数），当（厘米/秒）时，（厘米），（秒）．如果把小车出发点A离水平地面的距离h提高到125厘米，那么当滑行到时间秒时，小车在水平地面上滑行的距离为多少？
【答案】(1)当小车出发点A离水平地面的高度为45（厘米）时，小车滑到最低点B需要3秒钟，此时小车到达B点时的速度是30厘米/秒
(2)小车在水平地面上滑行的距离为
【分析】本题考查二次函数的应用，待定系数法求函数解析式，准确求出函数解析式是解题关键．
（1）先根据已知条件求出g的值，求出高度h与时间t的函数解析式，再把代入解析式求出t，再把t的值代入求出速度v；
（2）先把代入求出a的值，再根据h求出t，再求出v，然后求出s即可．
【详解】（1）解：当时，，
解得，
；
∴当时，，
解得或（舍去），
此时，
答：当小车出发点A离水平地面BE的高度为45（厘米）时，小车滑到最低点B需要3秒钟，此时小车到达B点时的速度是30厘米/秒；
（2）把代入，
则，
解得，
，
当时，，
解得或（舍去），
∴，
∴．
答：小车在水平地面BE上滑行的距离为．
11．（2024·安徽宿州·二模）赛龙舟是我国传统的体育竞技项目，有着悠久的历史和广泛的群众基础．某龙舟队进行800米直道训练，全程分为启航，途中和冲刺三个阶段．图1，图2分别表示启航阶段和途中阶段龙舟划行总路程与时间的近似函数图象．启航阶段的函数表达式为；途中阶段匀速划行，函数图象为线段；冲刺阶段，龙舟先加速后匀速划行，加速期龙舟划行总路程与时间的函数表达式为．

(1)求出的值，并写出启航阶段自变量的取值范围；
(2)已知途中阶段龙舟速度为，当时，求该龙舟划行的总路程；
(3)冲刺阶段，加速期龙舟用时将速度从提高到，之后保持匀速划行至终点，求该龙舟队完成训练总路程所需时间．
【答案】(1)，
(2)
(3)
【分析】本题考查了二次函数的应用，一次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，待定系数法，根据条件准确得到表达式是解题关键．
（1）把代入 得出的值，则可得出答案；
（2）设，把代入，得出，求得，当时，求出，则可得出答案；
（3）由（1）可知，把代入，求得．求出，则可得出答案．
【详解】（1）解：把代入，得，解得，
启航阶段总路程关于时间的函数表达式为；
（2）解：设，把代入，得，解得，
．
当时，．
当时，该龙舟划行的总路程为；
（3）解：由（1）可知，把代入，得．
函数表达式为，
把代入，解得．
，
．
答：该龙舟队完成训练总程所需时间为．
12．（2022·湖北武汉·中考真题）在一条笔直的滑道上有黑、白两个小球同向运动，黑球在处开始减速，此时白球在黑球前面处．
小聪测量黑球减速后的运动速度（单位：）、运动距离（单位：）随运动时间（单位：）变化的数据，整理得下表．
运动时间 0 1 2 3 4
运动速度 10 9.5 9 8.5 8
运动距离 0 9.75 19 27.75 36
小聪探究发现，黑球的运动速度与运动时间之间成一次函数关系，运动距离与运动时间之间成二次函数关系．
(1)直接写出关于的函数解析式和关于的函数解析式（不要求写出自变量的取值范围）
(2)当黑球减速后运动距离为时，求它此时的运动速度；
(3)若白球一直以的速度匀速运动，问黑球在运动过程中会不会碰到白球？请说明理由．
【答案】(1)，
(2)
(3)黑、白两球的最小距离为，大于0，黑球不会碰到白球
【分析】（1）根据黑球的运动速度与运动时间之间成一次函数关系，设表达式为v=kt+b，代入两组数值求解即可；根据运动距离与运动时间之间成二次函数关系，设表达式为，代入三组数值求解即可；（2）当黑球减速后运动距离为时，代入（1）式中关于的函数解析式求出时间t，再将t代入关于的函数解析式，求得速度v即可；（3）设黑白两球的距离为，得到，化简即可求出最小值，于是得到结论．
【详解】（1）根据黑球的运动速度与运动时间之间成一次函数关系，设表达式为v=kt+b，代入（0，10），（1，9.5）得，
，解得，
∴，
根据运动距离与运动时间之间成二次函数关系，设表达式为，代入（0，0），（1，9.75），（2，19）得
，解得，
∴;
（2）依题意，得，
∴，
解得，，；
当时，；当时，（舍）；
答：黑球减速后运动时的速度为．
（3）设黑白两球的距离为，
，
∵，∴当时，的值最小为6，
∴黑、白两球的最小距离为，大于0，黑球不会碰到白球．
【点睛】本题考查一次函数和二次函数的实际应用，待定系数法求解析式，解决本题的关键是明确题意求出函数表达式．
题型04 拱桥问题
13．（2024·广东·模拟预测）如图，小河上有一拱桥，拱桥及河道的截面轮廓线由抛物线的一部分和矩形的三边，，组成，已知河底是水平的，，，抛物线的顶点C 到的距离是， 以所在的直线为x 轴，抛物线的对称轴为y 轴建立平面直角坐标系．
(1)根据题意，填空：
①顶点C 的坐标为 ；
②点B 的坐标为
(2)求抛物线的解析式．
(3)已知从某时刻开始的内，水面与河底的距离l(单位：m) 随时间t(单位：h)的变化满足函数关系，且当点C到水面的距离不大于时，需禁止船只通行，请通过计算说明，在这一时段内，有多少小时禁止船只通行？
【答案】(1)①；②；
(2)；
(3)．
【分析】本题考查了二次函数的应用，待定系数法求解析式，构建二次函数模型解决实际问题是解题的关键．
（1）求出、、的长即可解决问题．
（2）根据抛物线特点设出二次函数解析式，把坐标代入即可求解；
（3）水面到顶点的距离不大于米时，即水面与河底的距离至多为，把代入所给二次函数关系式，求得的值，相减即可得到禁止船只通行的时间．
【详解】（1）解：由题意知，，，，
∴，，
故答案为：和；
（2）解：由（1）知，，，
设抛物线的解析式为：，把代入得：
，
解得：，
∴抛物线的解析式为：；
（3）解：水面到顶点的距离不大于米时，即水面与河底的距离至多为(米) ，，
，
∴，
解得：，，
(小时)，
∴需小时禁止船只通行．
14．（2024·河南驻马店·模拟预测）如图，三孔桥横截面的三个孔都呈抛物线形，左右两个抛物线是全等的，正常水位时，大孔水面宽为，顶点距水面（即 ），小孔顶点距水面（即），建立如图所示的平面直角坐标系．
(1)求出大孔抛物线的解析式；
(2)航管部门设定警戒水位为正常水位上方处，汛期某天水位正好达到警戒水位，有一艘顶部高出水面，顶部宽的巡逻船要路过三孔桥，请问该巡逻船能否安全通过大孔？并说明理由；
(3)当水位上涨到刚好淹没小孔时，则大孔的水面宽度 ．
【答案】(1)；
(2)该巡逻船能安全通过大孔，理由见解析；
(3)．
【分析】（）用待定系数法即可得大孔抛物线的解析式；
（）求出时的值，与作比较即可判断；
（）求出点坐标，即可得到答案；
本题了考查二次函数的应用，掌握二次函数的性质是解题的关键．
【详解】（1）解：由题意可得，，，
设大孔抛物线的解析式为，
把点代入解析式得，，
解得,
∴大孔抛物线的解析式为；
（2）解：该巡逻船能安全通过大孔，理由如下：
把代入得，，
∴该巡逻船能安全通过大孔；
（3）解：∵，
∴点的纵坐标为，
∴当时，，
解得，，
∴由抛物线对称性可得，，
∴，
答：大孔的水面宽度为．
15．（2024·安徽合肥·模拟预测）如图1，悬索桥两端主塔塔顶之间的主索，其形状可近似地看作抛物线，水平桥面与主索之间用垂直吊索连接．已知两端主塔之间水平距离为，两主塔塔顶距桥面的高度为，主索最低点P离桥面的高度为，若以桥面所在直线为x轴，抛物线的对称轴为y轴，建立如图2所示的平面直角坐标系．
(1)求这条抛物线对应的函数表达式；
(2)若在抛物线最低点P左下方桥梁上的点处放置一个射灯，该射灯光线恰好经过点P和右侧主索最高点D．
（i）求主索到射灯光线的最大竖直距离；
（ii）现将这个射灯沿水平方向向右平移，并保持光线与原光线平行，若要保证该射灯所射出的光线能照到右侧主索．则最多向右平移___________米．
【答案】(1)
(2)（i）最大距离为 （ii）
【分析】本题考查二次函数的应用，二次函数的性质，正确记忆相关知识点是解题关键.
（1）利用待定系数法代入数据求解即可；
（2）（i）作垂直与x轴的直线与，抛物线分别交于.利用解析书求取线段的表达式，分情况讨论比较即可得到结论;
（ii）根据题意分别求出原直线与平移后直线与轴的交点，相减即可得到结论.
【详解】（1）解：由题意可知,抛物线的顶点为，
设抛物线的解析式为：，
由∵，
，
解得：，
∴解析式为：；
（2）(i)设直线为
将 ，代入可得
，解得：，
解析式为；
如图，作垂直为轴的直线交于，交抛物线于点，设点的坐标为则为 ，
当时，
，
故时有最大值；
当时，
，
时，随的增大而减小，，
∴当时，有最大值为：，
综上所述，最大距离为；
(ii)设平移后的直线为：，
联立 ，
，
当 时 ，
解得：，
时, ，
时, ，
∴向右最多平移 (米)，
故答案为: .
题型05 隧道通车问题
16．（2024·贵州六盘水·一模）如图①，桐梓隧道位于遵义市桐梓县境内，是贵州省高速公路第一长隧道．如图②是桐梓隧道的部分截面，图③是其截面简化示意图，由矩形和抛物线的一部分构成，矩形的边，，抛物线的最高点离地面．以的中点为原点、所在直线为轴．建立平面直角坐标系．
(1)求抛物线的解析式，并注明自变量的取值范围；
(2)为了行驶安全，现要在隧道洞口处贴上黄黑立面标记．已知将该抛物线向上平移所扫过的区域即为贴黄黑立面标记的区域，则贴黄黑立面标记的区域的面积为　　　　；
(3)该隧道为单向双车道，且规定车辆必须在距离隧道边缘大于等于范围内行驶，并保持车辆顶部与隧道有不少于的空隙，请利用二次函数的知识确定该隧道车辆的限制高度．
【答案】(1)
(2)12
(3)该隧道车辆的限制高度为5米．
【分析】本题主要考查了二次函数的应用，解题时要熟练掌握并能灵活运用是关键．
（1）依据题意得，顶点，从而可设抛物线为，又，，则，，进而可得，求出即可得解；
（2）依据题意，由贴黄黑立面标记的区域抛物线面积抛物线面积矩形面积，从而贴黄黑立面标记的区域的面积为，进而可以得解；
（3）依据题意，由车辆必须在距离隧道边缘大于等于范围内行驶，从而可令，则，又（米），故可以判断得解．
【详解】（1）解：由题意得，顶点，
可设抛物线为．
又，，
，．
．
．
所求抛物线的解析式为；
（2）解：由题意，如图，
将该抛物线向上平移所扫过的区域即为贴黄黑立面标记的区域抛物线面积抛物线面积矩形面积．
贴黄黑立面标记的区域的面积为．
故答案为：12；
（3）解：由题意，车辆必须在距离隧道边缘大于等于范围内行驶，
可令，则．
又（米），
该隧道车辆的限制高度为5米．
17．（2024·河南平顶山·三模）小明发现有一处隧道的截面由抛物线的一部分和矩形构成，他对此展开研究：测得矩形的宽为，长为，最高处点P到地面的距离为，建立如图所示的平面直角坐标系，并设抛物线的表达式为 ，其中表示抛物线上任一点到地面的高度，表示抛物线上任一点到隧道一边的距离．
(1)求抛物线的解析式．
(2)为了保障货车在道路上的通行能力及行车安全，根据我国交通运输部的相关规定，普通货车的宽度应在之间，高度应在之间，小明发现隧道为单行道，一货车沿隧道中线行驶，宽为，货车的最高处与隧道上部的竖直距离约为，通过计算，判断这辆货车的高度是否符合规定．
【答案】(1)
(2)这辆货车的高度不否符合规定．
【分析】本题主要考查了求二次函数解析式、二次函数的应用等知识点，掌握数形结合思想成为解题的关键．
（1）有题意可得：， ，然后运用待定系数法即可解答；
（2）由题意可得：点，设D点坐标为，然后代入解析式求得d，即，再根据线段的和差求得，然后判断是否符合规定即可．
【详解】（1）解：由题意可得：，
设该抛物线的解析式为：
将代入可得： ，解得：，
所以抛物线的解析式为．
（2）解：由题意可得：点，
设D点坐标为，则，
∴，即，
∴，
∵，
∴这辆货车的高度不否符合规定．
18．（2024·湖北·模拟预测）现要修建一条隧道，其截面为抛物线型，如图所示，线段A．表示水平的路面，O为的中点，以O为坐标原点，以所在直线为x轴，以过点O垂直于x轴的直线为y轴，建立平面直角坐标系．根据设计要求：抛物线底面宽度米，该抛物线的顶点P到的距离为9米．
(1)求抛物线的解析式；
(2)现需在这一隧道内整上同一高度安装照明灯，即在该抛物线上的点M，N处分别安装照明灯．已知照明灯M，N 的水平距离为10米，求照明灯距地面的高度；
(3)如图，现需在隧道上方安装一块高度为1米、宽度为3米的电子显示屏，为确保行车安全，要求电子显示屏距地面至少6米，并且距左右墙紧需各留至少1米的安全距离，试通过计算说明能否满足安装设计要求．
【答案】(1)
(2)米
(3)满足安装设计要求，过程见详解．
【分析】本题考查了待定系数法解二次函数的解析式，矩形的性质，二次函数的图象性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
（1）依题意，设抛物线的解析式为，再结合抛物线底面宽度米，且O为的中点，得出，代入求解即可作答．
（2）由二次函数的图象性质得代入，进行计算即可作答．
（3）先作图：延长交抛物线于一点H，然后令，则，把，代入，得，故点到地面距离为（米），因为，所以满足安装设计要求．
【详解】（1）解：依题意，设抛物线的解析式为，
∵抛物线底面宽度米，且O为的中点，
∴（米），
∴，
把代入，得，
∴．
∴抛物线的解析式为．
（2）解：依题意，∵照明灯M，N 的水平距离为10米且在同一高度，
∴
把代入，
∴，
∴照明灯距地面的高度为米；
（3）解：满足安装设计要求，过程如下：
依题意，电子显示屏是矩形，
∴（米），（米），
如图：延长交抛物线于一点H，
∵电子显示屏，为确保行车安全，距左右墙紧需各留至少1米的安全距离
∴令，
则，
把，代入，
得，
即点，
∴点到地面距离为（米），
∵，
∴满足安装设计要求．
题型06 喷水问题
19．（2024·陕西西安·模拟预测）一所大学在刚进入校门的广场处修建了一个喷泉，在水池中央垂直于地面处安装了柱子，在柱子顶端A处安装了一个喷头向外喷水．水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下，如图是该喷泉其中一股水流的平面示意图．以柱子底部为坐标原点，以水平地面为x轴，过原点且垂直于x轴的直线为y轴建立平面直角坐标系．已知柱子在水面以上的部分的高度为，为使水流形状较为漂亮，要求水流在距离柱子处达到距水平面最高，且最高为．
(1)求该抛物线的函数表达式；
(2)若不计其他因素，当喷泉池的半径为2.8米时，喷出的水流是否会落到池外？
【答案】(1)
(2)喷出的水流不会落到池外．理由见解析
【分析】本题主要考查了二次函数的应用，解题时要熟练掌握并能灵活运用二次函数的性质是关键．
（1）依据题意，根据已知得出二次函数的顶点坐标，即可利用顶点式得出二次函数解析式；
（2）依据题意，由（1）得解析式，令，结合喷水池的半径为2.8米，进而可以判断得解．
【详解】（1）解：由题意，顶点为，
可设解析式为，
∵抛物线过点．
∴，
解得．
抛物线的解析式为：；
（2）解：由（1）抛物线的解析式为，
令，
．
或（舍去）．
，
当喷泉池的半径为2.8米时，喷出的水流不会落到池外．
20．（2024·河南信阳·模拟预测）小华在走读淮河文化园游玩，发现公园的草地自动浇水装置喷洒出的水流呈抛物线型，小华通过多次测量数据，在平面直角坐标系中绘制了水流喷出的高度与距离浇水装置的水平距离之间的函数图象，如图所示，已知点，抛物线顶点坐标为点．
(1)求水流所形成的抛物线的表达式．
(2)小华通过观察发现距离喷水装置处的一棵古树未被浇到水，请通过计算说明这个自动浇水装置不能浇到古树的原因．
(3)通过与园区工作人员交谈，小华发现这个喷水装置还可以上下移动，且移动之后水流的形状、大小保持不变，若想让（2）中的古树能被此浇水装置浇到，则此喷水装置需要向上移动的最小距离是多少？请直接写出答案．
【答案】(1)
(2)此浇水装置不能浇到古树，见解析
(3)
【分析】本题考查二次函数的应用，关键是用待定系数法求函数解析式．
（1）根据题意用待定系数法求解析式即可；
（2）令，解一元二次方程，求出的与5比较即可；
（3）设此浇水装置需向上平移 ，则平移后的解析式为，然后把代入解析式求出即可．
【详解】（1）解：设水流所形成的抛物线的表达式为．
把点代入，得，
解得，
水流所形成的抛物线的表达式为；
（2）解：令，则，
解得（负值已舍去），
，
此浇水装置不能浇到古树；
（3）解：喷水装置移动之后水流的形状、大小保持不变，
设此浇水装置需向上平移 ，则平移后的解析式为，
把，代入解析式得，，
解得，
此喷水装置需要向上移动的最小距离是．
21．（2024·贵州贵阳·二模）某公园要在圆形水池上修建喷泉，在池中心竖直水管的顶端安一个喷水头，使喷出的水柱呈抛物线型，如图所示，线段表示圆形水池的半径，以O为坐标原点，以线段所在直线为x轴，以水管所在直线为y轴，建立平面直角坐标系．按照设计师的设计，水管的高度为，且抛物线型水柱在与池中心的水平距离为处达到最高，且高度为，此时喷泉的观赏效果最佳．

(1)求抛物线型水柱的解析式；
(2)若此时有一个工人在清理水池，已知工人的身高为，求他站在距离A点多远以内会被水淋湿？
(3)为了使喷泉更加美观，如图所示，设计人员计划在中心水管上面延长一段增加一个喷水头，并使得该喷水头喷出的抛物线型水柱也在与池中心的水平距离为处达到最高，且比原抛物线水柱高，且落地处B点与点O的距离比短，则延长的水管高度应该设计为多少？
【答案】(1)抛物线水柱的解析式为
(2)站在距离A点以内会被水淋湿
(3)延长的水管高度应该设计为
【分析】本题考查了二次函数的应用，数形结合是解答本题的关键．
（1）用待定系数法求解即可；
（2）把代入，进而可求出他站在距离A点多远以内会被水淋湿；
（3）求出新抛物线的最高点为，设新抛物线的解析式为，代入求出函数解析式，然后令即可求解．
【详解】（1）由于抛物线水柱在与池中心的水平距离为处达到最高，高度为，
∴设抛物线水柱的解析式为，
将点代入，得，
解得，
∴抛物线水柱的解析式为．
当时，即，
解得 (舍)或，
∴抛物线水柱落地处离池中心的最大距离为，
∴抛物线水柱的解析式为．
（2）由(1)知，
∴当时，解得，
∴距离A点的距离为：，
∴站在距离A点以内会被水淋湿．
（3）∵比原抛物线最高处高，
∴新抛物线的最高点为，
∴设新抛物线的解析式为，
∵，
∴新抛物线过点，
将代入抛物线中，
解得，
∴新抛物线的解析式为，
当时，，
，
∴延长的水管高度应该设计为．
22．（2024·河南商丘·模拟预测）大自然中有一种神奇的鱼——射水鱼，它能以极快的速度从口中射出水柱击落昆虫来捕食，射出的水柱呈抛物线形．如图，以射水鱼所在的位置为原点建立平面直角坐标系，设水柱距水面的高度为，与射水鱼的水平距离为与的函数表达式为，水柱的最大高度为．
(1)求关于的函数表达式．
(2)一只昆虫位于点处，水柱形成的时间忽略不计，射水鱼从原点出发，需要水平向右游动多少距离才能击中昆虫？
【答案】(1)关于的函数表达式为
(2)射水鱼需要水平向右游动或才能击中昆虫
【分析】本题主要考查了二次函数的应用，求出函数解析式是解题的关键．
（1）用待定系数法求函数解析式即可；
（2）根据设射水鱼从原点O出发，需要水平向右游动才能击中昆虫，根据平移的性质得出平移后的解析式，再把代入解析式求出m即可．
【详解】（1）解：水柱的最大高度为，
．
由题意，可知水柱过原点，将代入，得，解得．
关于的函数表达式为．
（2）解：设射水鱼水平向右游动能击中昆虫．
游动后的抛物线表达式为．把代入，得，解得或．
射水鱼需要水平向右游动或才能击中昆虫．
23．（2024·山东临沂·一模）消防汽车自从上世纪初问世以后，经过不断的发展完善，很快成了消防工作的主力军，也彻底改变了人类与火灾斗争的面貌，随着现代建筑水平的提高，高层建筑越来越多、越来越高，消防车也随之发生了变化，云梯消防车出现了，云梯消防车的水枪固定在云梯上，水枪可在云梯打开的过程中升高或平移，在一次消防演练中，模拟建筑物某楼层发生火灾，此时消防车停放在火灾楼正前方的点O处，O到的水平距离35 米，在不打开消防云梯的状态下，水枪出水口D距地面高度为4米，喷出水的路线近似为抛物线，水离出水口水平距离 20米时，水柱达到最大高度，此时离水平地面68米，如图1，以所在的直线为y轴，以所在的水平线为x轴建立直角坐标系，（注：若水枪出水口位置发生改变，喷出水的路线的抛物线开口大小不变）
(1)求出水口在D点时抛物线的解析式:
(2)若着火楼层的窗户的顶端C到地面B的高度为80米，窗户的底端E到地面B的高度为 76 米，打开云梯后，水枪的出水口到达点F，点F距离y轴10米，距离x轴19 米，如图2，问此时水能否射进着火窗户内？
(3)若火源的中心在距离窗口水平距离5米的地面上，调整水枪的位置，使水柱的最高点恰好沿着窗户的上边缘C处射进窗户，问射进里的水能否正好击中地面火源的中心位置？请说明理由.
【答案】(1)
(2)水能够射进窗户
(3)正好能击中火苗，理由见详解
【分析】本题考查了二次函数的实际应用，待定系数法求二次函数解析式，理清题目中的数量关系并结合实际分析是解题的关键．
（1）由题意知，抛物线顶点坐标为，且过点，设顶点式，代入点即可；
（2）经过平移后抛物线的解析式为，当时，则，即可比较；
（3）由题意可得，抛物线的解析式为，，此时着火点的横坐标为40，当时，，因此可以击中火苗．
【详解】（1）解：由题意知，抛物线顶点坐标为，且过点，
设解析式为，代入得：，
解得：.
∴解析式为：；
（2）解：经过平移后抛物线的解析式为，
即为：
当时，，
∵，
∴水能够射进窗户；
（3）由题意可得，抛物线的解析式为，
此时着火点的横坐标为40，当时，，
因此，正好能击中火苗．
题型07 投球问题
24．（2023·安徽合肥·二模）如图1所示的某种发石车是古代一种远程攻击的武器，将发石车置于山坡底部处，以点为原点，水平方向为轴方向，建立如图所示的平面直角坐标系，将发射出去的石块当作一个点看，其飞行路线可以近似看作抛物线的一部分，山坡上有一堵防御墙，其竖直截面为，墙宽米，与轴平行，点与点的水平距离为米、垂直距离为米．
(1)若发射石块在空中飞行的最大高度为米，
①求抛物线的解析式；
②试通过计算说明石块能否飞越防御墙；
(2)若要使石块恰好落在防御墙顶部上（包括端点、），求的取值范围，
【答案】(1)；②石块能飞越防御墙；
(2)
【分析】（1）①根据题意得抛物线解析式为：，待定系数法求解析式即可求解；
②根据题意，得出，将代入解析式计算，即可求解．
（2）依题意得出，进而根据以及原点分别待定系数法求解析式即可求解．
【详解】（1）解：①∵发射石块在空中飞行的最大高度为米，
∴抛物线解析式为：，
将点代入得，，
解得：，
∴抛物线解析式为，
∴，
②∵点与点的水平距离为米、垂直距离为米．
∴，
当时， ，
∴石块能飞越防御墙；
（2）∵，，
∴
当经过点，时，
，解得：.
当经过点，时，
，解得：
∴要使石块恰好落在防御墙顶部上（包括端点、），的取值范围为
【点睛】本题考查了二次函数的实际应用，熟练掌握待定系数法求解析式是解题的关键．
25．（23-24九年级上·江苏南京·阶段练习）掷实心球是南京市高中阶段学校招生体育考试的选考项目．如图1，一名女生投掷实心球，实心球行进路线是一条抛物线，行进高度与水平距离之间的函数关系如图2所示，已知掷出时起点处高度为，当水平距离为时，实心球行进至最高点处．
(1)求关于的函数表达式；
(2)根据南京市高中阶段学校招生体育考试评分标准（女生），投掷过程中，实心球从起点到落地点的水平距离大于等于，此项考试得分为满分．该女生在此项考试中是否得满分，请说明理由．
【答案】(1)y关于x的函数表达式为；
(2)该女生在此项考试中是得满分，理由见解析．
【分析】本题考查二次函数的应用和一元二次方程的解法．
（1）根据题意设出y关于x的函数表达式，再用待定系数法求函数表达式即可；
（2）根据该同学此次投掷实心球的成绩就是实心球落地时的水平距离，令，解方程即可求解．
【详解】（1）解：∵当水平距离为3m时，实心球行进至最高点3m处，
∴设，
∵经过点，
∴，
解得：
∴，
∴y关于x的函数表达式为；
（2）解：该女生在此项考试中是得满分，理由如下∶
∵对于二次函数，当时，有，
∴，
解得∶，(舍去)，
∵，
∴该女生在此项考试中是得满分．
26．（2023·河南三门峡·一模）如图，在某中学的一场篮球赛中，李明在距离篮圈中心（水平距离）处跳起投篮，球出手时离地面，当篮球运行的水平距离为时达到离地面的最大高度．已知篮球在空中的运行路线为一条抛物线，篮圈中心距地面．
(1)建立如图所示的平面直角坐标系，求篮球运动路线所在抛物线的函数解析式；
(2)场边看球的小丽认为，李明投出的此球不能命中篮圈中心．请通过计算说明小丽判断的正确性；
(3)在球出手后，未达到最高点时，被防守队员拦截下来称为盖帽．但球到达最高点后，处于下落过程时，防守队员再出手拦截，属于犯规．在（1）的条件下，防守方球员张亮前来盖帽，已知张亮的最大摸球高度为，则他应该在李明前面多少米范围内跳起拦截才能盖帽成功？
【答案】(1)
(2)小丽的判断是正确的，计算过程见解析
(3)张亮应在李明前面1米范围内处跳起拦截才能盖帽成功
【分析】（1）由题意可知，抛物线的顶点坐标为，球出手时的坐标为，设抛物线的解析式为，由待定系数法求解即可；
（2）求得当时的函数值，与比较即可说明小丽判断的正确性；
（3）将代入函数的解析式求得x的值，进而得出答案．
【详解】（1）抛物线顶点坐标为，
设抛物线的解析式为．
把代入，得．
；
（2）把代入抛物线解析式
得．
，
此球不能投中，小丽的判断是正确的．
（3）当时，，
解之，得或．
，．
答：张亮应在李明前面1米范围内处跳起拦截才能盖帽成功．
【点睛】本题考查了二次函数在实际问题中的应用，数形结合并熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
27．（2024·湖北武汉·模拟预测）乒乓球被誉为中国国球。2023年的世界乒乓球锦标赛中，中国队包揽了五个项目的冠军，成绩的取得与平时的刻苦训练和精准的技术分析是分不开的。甲乙两人训练打乒乓球，让乒乓球沿着球台的中轴线运动。图为从侧面看乒乓球台的视图，为球台，为球网，点为的中点，，，甲从正上方的处击中球完成发球，球沿直线撞击球台上的处再弹起到另一侧的处，从处再次弹起到，乙再接球。以为原点，所在直线为轴，所在直线为轴，为单位长度建立平面直角坐标系，将乒乓球看成点，两次弹起的路径均为抛物线且形状不变，段抛物线的解析式为，段的解析式为．
(1)当球在球网左侧距球网时到达最高点，求的解析式；
(2)球从处弹起至最高点后下落过程中，球刚好擦过球网，视为网球重发，求的值；
(3)若球第二次的落点在球网右侧处，球再次弹起最高为，乙的球拍（看作线段）在的正上方处，，若将球拍向前水平推出（）可接住球（不包括球刚好碰到边沿点），求出的取值范围．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）根据抛物线的对称性以及顶点坐标，可求出对称轴的关系式，进而求出的值，确定抛物线的关系式；
（2）根据题意，可求出对称轴，利用抛物线上点的对称性列式，进而求出的值；
（3）根据题意求出段抛物线的解析式，再根据关系式求出当时相应的的值，进而求出的最大值和最小值，确定的取值范围．
【详解】（1）解： 段抛物线的解析式为，，
是抛物线的对称轴，即，解得，
；
（2）解： 段抛物线的解析式为，，
是抛物线的对称轴，即，解得；
（3）解：由题意可知，段抛物线的解析式为，
点的横坐标为，把代入得，解得（舍去），，
段抛物线的解析式为，
当时，即，解得，，
的最小值为，的最大值为，即．
【点睛】本题考查二次函数的应用，涉及待定系数法确定函数关系式、二次函数图象与性质、抛物线上点的对称性等知识，读懂题意，求出二次函数关系式以及将实际数字转化为点的坐标是解决问题的关键．
题型08 利用图像构建函数模型解决问题
28．（2024·浙江·模拟预测）某个农场有一个花卉大棚，是利用部分墙体建造的．其横截面顶部为抛物线型，大棚的一端固定在墙体上，另一端固定在墙体上，其横截面有2根支架，相关数据如图1所示，其中支架，，这个大棚用了400根支架．

为增加棚内空间，农场决定将图1中棚顶向上调整，支架总数不变，对应支架的长度变化，如图2所示，调整后C与E上升相同的高度，增加的支架单价为60元/米（接口忽略不计），需要增加的经费不超过32000元．
(1)分别以和所在的直线为x轴和y轴建立平面直角坐标系．
①求出改造前的函数解析式．
②当米，求的长度．
(2)只考虑经费情况下，求出的最大值．
【答案】(1)①；②米
(2)1.6米
【分析】本题考查了二次函数的性质，掌握二次函数的性质是解题的关键．
（1）①设改造前的函数解析式为，根据所建立的平面直角坐标系得到，，，然后代入解析式得到关于a、b、c的方程组，求解即可；
②根据已知条件得到函数的解析式，再利用函数解析式得到、的坐标即可得到结论；
（2）根据已知条件表示出、的坐标得到a的不等式，进而得到的最大值．
【详解】（1）解：①如图，以O为原点，分别以OB和OA所在的直线为x轴和y轴建立如图所示的平面直角坐标系，
由题意可知：，，，
设改造前的抛物线解析式为，
，
解得：，
∴改造前的抛物线的函数表达式为；

②如图，建立与（1）相同的平面直角坐标系，
由①知改造前抛物线的解析式为，
∴对称轴为直线，
设改造后抛物线解析式为：，
∵调整后C与E上升相同的高度，且，
∴对称轴为直线，则有，
当时，，
，
，，
改造后抛物线解析式为：，
当时，
改造前：，
改造后：，
米，
∴的长度为米；
（2）解：如图，设改造后抛物线解析式为，

∵当时，，
当时，，
，，
，
由题意可列不等式：，
解得：，
，
要使最大，需a最小，
∴当时，的值最大，最大值为米．
29．（2024·陕西安康·二模）如图1，这是一款智能浇灌系统，水管垂直于地面并可以随意调节高度（的最大高度不超过1.5m）．浇灌花木时，喷头P会向四周喷射水流形成固定形状的抛物线，水流的落地点M与点O的距离即为最大浇灌距离，各方向水流的落地点形成一个以点O为圆心，为半径的圆形浇灌区域（区域内均能被浇灌到）．当喷头P位于地面与点O重合时，某一方向的水流上边缘形成了如图2所示的抛物线．经测量，，水流最高时距离地面0.1m．
(1)在图中建立合适的平面直角坐标系，求抛物线的函数表达式．
(2)当调节水管的高度时，圆形浇灌区域的面积会发生变化，请你求出圆形浇灌区域的最大面积．（结果保留π）
【答案】(1)见解析，
(2)圆形浇灌区域的最大面积为
【分析】本题考查二次函数的实际应用，正确的列出函数解析式，是解题的关键：
（1）以为坐标原点，方向为轴正方向，垂直于为轴建立平面直角坐标系，进而得到点，，顶点坐标为，设出解析式，利用待定系数法求出函数解析式即可；
（2）当时，圆形浇灌区域的面积最大，将（1）的抛物线向上平移1.5个单位长度，得到的新抛物线，求出时的值，利用圆形的面积公式计算即可．
【详解】（1）解：如图，以为坐标原点，方向为轴正方向，垂直于为轴建立平面直角坐标系，此时点，，顶点坐标为．
设抛物线的表达式为．
将点代入，得，解得，
抛物线的表达式为．
（2），
当时，圆形浇灌区域的面积最大．
当时，即将抛物线向上平移1.5个单位长度，得到的新抛物线的表达式为．
令，则，解得，（舍去），
以点为圆心，为半径的圆形浇灌区域的面积为，
圆形浇灌区域的最大面积为．
30．（2024·辽宁鞍山·一模）乒乓球被誉为中国国球．2023年的世界乒乓球锦标赛中，中国队包揽了五个项目的冠军，成绩的取得与平时的刻苦训练和精准的技术分析是分不开的．图2是图1所示乒乓球台的截面示意图，一位运动员从球台边缘正上方以击球高度（距离球台的高度）为的点A处，将乒乓球向正前方击打到对面球台，乒乓球的运行路线近似是抛物线的一部分．
乒乓球到球台的竖直高度记为y（单位：），乒乓球运行的水平距离记为x（单位：）．测得如下数据：
水平距离 0 10 50 90 130 170 230
竖直高度 33 45 49 45 33 0
(1)如图3，在平面直角坐标系中，描出表格中各组数值所对应的点，并画出表示乒乓球运行轨迹形状的大致图象．
(2)①当乒乓球到达最高点时，与球台之间的距离是______，当乒乓球落在对面球台上时，到起始点的水平距离是______．
②求满足条件的抛物线的表达式．
(3)技术分析：如果只上下调整击球高度，乒乓球的运行轨迹形状不变，那么为了确保乒乓球既能过网，又能落在对面球台上，需要计算出的取值范围，以利于有针对性的训练，如图2，乒乓球台长为，球网高为．现在已经计算出乒乓球恰好过网的击球高度的值约为．请你计算出乒乓球恰好落在对面球台边缘点B处时，击球高度的值（乒乓球大小忽略不计）．
【答案】(1)见解析
(2)①49，230；②
(3)乒乓球恰好落在对面球台边缘点B处时，击球高度的值为
【分析】本题主要考查了二次函数的实际应用：
（1）根据描点法画出函数图象即可求解；
（2）①根据二次函数图象的对称性求得对称轴以及顶点，根据表格数据，可得当时，；
②待定系数法求解析式即可求解；
（3）根据题意，设平移后的抛物线的解析式为，根据题意当时，，代入进行计算即可求解．
【详解】（1）解：如图所示，
（2）解：①观察表格数据，可知当和时，函数值相等，则对称轴为直线，顶点坐标为，
又抛物线开口向下，可得最高点时，与球台之间的距离是，
当时，，
∴乒乓球落在对面球台上时，到起始点的水平距离是；
故答案为：；．
②设抛物线解析式为，将代入得，
，
解得：，
∴抛物线解析式为；
（3）解：∵当时，抛物线的解析式为，
设乒乓球恰好落在对面球台边缘点B处时，击球高度的值为，则平移距离为，
∴平移后的抛物线的解析式为，
依题意，当时，，
即，
解得：．
答：乒乓球恰好落在对面球台边缘点B处时，击球高度的值为．
31．（2024·河南信阳·一模）如图1所示的藉车是中国古代一种远程火攻武器，将某加强版藉车置于山坡底部O处（原点O处），抛出物从藉车竖直方向上的点C处被抛出，米，将发射出去的抛出物当作一个点看，其飞行路线可以近似看作抛物线的一部分，当抛出物飞行的水平距离为50米时，达到最大高度25米．

(1)求抛物线的表达式；
(2)为了阻挡抛出物的飞行，守城方在斜坡上的点A处建有防御工事M，其最高点B与O点的水平距离为45米，与斜坡的竖直距离米，斜坡的坡比，通过计算说明抛出物能否飞越防御工事M．
【答案】(1)
(2)抛出物能够飞越防御工事M
【分析】（1）根据题意得到抛物线顶点坐标，将设抛物线表达式设成顶点式，将点代入，即可求解，
（2）延长与轴交于点，得到长度，根据坡比得到的长度，将时，代入，所得值减去的长度，与的长度相比较，即可求解，
本题考查了二次函数的实际应用，解题的关键是：根据题意列式．
【详解】（1）解：根据题意得：抛物线顶点坐标为，经过点，
∴设抛物线表达式为：，
将点，代入，得：，解得：，
∴抛物线表达式为：，即：，
故答案为：，
（2）解：延长与轴交于点，

根据题意得：（米），，
∴（米），
当时，（米），
∴，
∴抛出物能够飞越防御工事M．
题型09 图形问题
32．（2023·湖北武汉·三模）某家禽养殖场，用总长为的围栏靠墙（墙长为）围成如图所示的三块矩形区域，矩形与矩形面积相等，矩形面积等于矩形面积的二分之一，设长为，矩形区域的面积为．

(1)求与之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围；
(2)当为何值时，有最大值？最大值是多少？
(3)现需要在矩形和矩形区域分别安装不同种类的养殖设备，单价分别为40元/平方米和20元/平方米，若要使安装成本不超过30000元，请直接写出的取值范围．
【答案】(1)
(2)当时，有最大值，（元）
(3)
【分析】（1）根据题意可得，则，最后根据矩形面积公式，即可进行解答；
（2）将（1）中得到的表达式化为顶点式，即可进行解答；
（3）先分别求出矩形和矩形的面积，再求出总费用w，结合w关于x的函数图象，即可得出x的取值范围．
【详解】（1）解：题意得，，
．
∴．
∴．
（2）解：
∵，开口向下，对称轴且，
∴当时，有最大值，（元）
（3）解：矩形 ，
矩形面积，
∴，
整理得：，
设，
如图，画出w关于x的函数图象．

由图可知，当或时，，
∵，
∴．
【点睛】本题主要考查了二次函数的图象和性质，解题的关键是正确理解题意，根据题意得出表达式，熟练掌握二次函数相关知识点，并灵活运用．
33．（2024·湖北襄阳·模拟预测）如图，某农户计划用篱笆围成一个矩形场地养殖家禽，为充分利用现有资源，该矩形场地一面靠墙(墙的长度为)，另外三面用篱笆围成，中间再用篱笆把它分成三个面积相等的矩形分别养殖不同的家禽，计划购买篱笆的总长度为，设矩形场地的长为， 宽为， 面积为．
(1)分别求出y与x，s与x的函数解析式；
(2)当x为何值时，矩形场地的总面积最大？最大面积为多少？
(3)若购买的篱笆总长增加，矩形场地的最大总面积能否达到 若能，请求出x的值；若不能，请说明理由．
【答案】(1)，
(2)当时，矩形场地的总面积最大，最大为；
(3)矩形场地的最大总面积不能达到，理由见解析．
【分析】本题主要考查二次函数的应用，解题的关键是将实际问题转化为数学问题以后，准确列出二次函数关系式，正确运用二次函数的有关性质来解题．
（1）设饲养室长为，则宽为，根据长方形面积公式即可得，由墙可用长可得的范围；
（2）把函数关系式化成顶点式，然后根据二次函数的性质即可得到结论；
（3）由题意列出函数关系式，再将代入求解，最后再验证即可．
【详解】（1）根据题意得，，；
（2），
当时，矩形场地的总面积最大，最大为；
（3）由题意得，，
将代入得：，
解得：，
，
不符合要求，舍去，
矩形场地的最大总面积不能达到．
34．（2024·广西·模拟预测）在锐角中，，矩形的两个顶点，分别在上，另两个顶点均在上，高交于点，设的长为，矩形的面积为．
(1)求的长，并用含的式子表示线段的长；
(2)请求出关于的函数解析式；
(3)试求的最大值．
【答案】(1)；
(2)
(3)的最大值为6
【分析】（1）根据三角形的面积求出，证明，得出，即：，求出结果即可；
（2）先求出，证明四边形为矩形，得出，求出即可；
（3）根据二次函数的性质求出y的最大值即可．
【详解】（1）解：∵，，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
即：，
解得：；
（2）解：∵，，
∴，
∵四边形为矩形，
∴，
∵为的高，
∴，
∴四边形为矩形，
∴，
∴，
∵且，
∴，
∴．
（3）解：∵，
又∵，
∴当时，y有最大值，且最大值为6．
【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定和性质，二次函数的应用，求二次函数的最值，矩形的判定和性质，三角形面积计算，解题的关键是熟练掌握相关的判定和性质．
35．（2022·浙江宁波·二模）如图1是一架菱形风筝，它的骨架由如图2的4条竹棒AC，BD，EF，GH组成，其中E，F，G，H分别是菱形四边的中点，现有一根长为的竹棒，正好锯成风筝的四条骨架，设菱形的面积为.
(1)写出关于的函数关系式：
(2)为了使风筝在空中有较好的稳定性，要求，那么当骨架的长为多少时，这风筝即菱形的面积最大？此时最大面积为多少？
【答案】(1)；
(2)；最大面积为
【分析】（1）E，F，G，H分别是菱形ABCD四边的中点，得出，根据菱形面积公式求出y关于x的函数关系式；
（2）求出x的取值范围，整理，函数图象开口向下，自变量x的取值在对称轴左侧，所以x取最大值时，面积有最大值；
【详解】（1）解：∵E、F为AB、AD中点，
∴，
同理：，
∵EF＋BD＋GH＋AC＝80，
∴，
∵四边形ABCD是菱形，
∴；
（2）∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
又∵，
∴当即AC为32cm时面积最大，此时最大面积为．
【点睛】本题考查二次函数的实际应用，主要用菱形面积公式（菱形的面积等于对角线乘积的一半）列出函数关系式，解题关键是判断取值范围与对称轴的关系，得出最值对应的自变量的取值．
题型10 动点问题
36．（2024·吉林·二模）如图，在等腰直角三角形中，，．动点E，F分别从点A，B同时出发，点E沿折线A→C→B向终点B运动，在AC上的速度为2cm/s，在CB上的速度为cm/s，点F以1cm/s的速度沿线段向终点A运动，连接，．设运动时间为x（s），的面积为y（cm2）（）．
(1)的长为______cm（用含x的代数式表示）．
(2)求y关于x的函数解析式，并写出x的取值范围．
(3)当为钝角三角形时，直接写出x的取值范围．
【答案】(1)或
(2)当时，；当时，
(3)或
【分析】本题考查动点的函数，等腰直角三角形的性质，三角形的面积公式，解直角三角形，恰当分类是解题的关键．
（1）分两种情况：和，根据动点运动的路程、速度和时间的关系，结合勾股定理求解即可；
（2）分两种情况：和，根据等腰直角三角形的性质和勾股定理求解即可；
（3）先画出是直角三角形的图形，求出此时的值，再结合的取值范围求解即可．
【详解】（1）当时， 点E运动的路程就是的长，即：=，
当时，作于点，如图所示，
在中，，，
在中，，。
故答案为：或；
（2）点F运动的路程就是线段的长，即，
当时，，即；
当时，作于点，如图所示，
∴，
∵，
∴，
综上可得，求y关于x的函数解析式为：；
（3）当时，是直角三角形，如图所示，
在中，，，，
∴，
解得：，
当时，是直角三角形，如图所示，
在中，，，，
∴，
解得：，
∴当为钝角三角形时，x的取值范围是：或．
37．（2024·四川资阳·二模）如图，在中，，，点P、Q分别在射线、上（点P不与C，B重合），且保持．
(1)若P在线段上，求证：；
(2)设、，求y与x之间的函数关系式，并写出x的取值范围．
【答案】(1)见解析
(2)或
【分析】本题主要考查相似三角形的判定和性质，动点的函数关系式，注意分情况讨论是解题的关键．
（1）利用两组对角相等可证；
（2）分点P在线段上、在的延长线上两种情况，根据相似三角形对应边成比例即可求解．
【详解】（1）解：如图，
∵ ，，
∴，
∵ ，
∴，
∴ ．
（2）解：当点P在线段上时，
∵，，，、，
∴，，
∴，
解得；
当点P在的延长线上时，如图2，
∵，，，、，
∴，，
∴，
解得．
38．（2024·天津红桥·二模）在平面直角坐标系中，为原点，矩形的顶点，，等边三角形的顶点，顶点在第二象限．
(1)填空：如图①，点的坐标为______________，点的坐标为______________；
(2)将沿轴向右平移，得，点，，的对应点分别为．设，与矩形重叠部分的面积为．
①如图②，当与矩形重叠部分为五边形时，边与相交于点，边与相交于点，试用含有的式子表示，并直接写出的取值范围；
②当时，求的取值范围（直接写出结果即可）．
【答案】(1)，
(2)①；②
【分析】（1）根据矩形的性质求得，进而过点作轴于点，根据等边三角形的性质得出，，，进而求得的坐标；
（2）①由平移可得，则，根据得出函数关系，即可求解．
②分三种情况讨论，当，，时，分别结合图形列出函数关系式，求得最值，即可求解．
【详解】（1）解：∵矩形的顶点，，
∴，
∴，
∵等边三角形的顶点，顶点在第二象限，则
过点作轴于点，
∴，，
∴
∴
（2）①∵， ，
∴
∵是等边三角形，
∴
由平移可得
∴
∴，
∵
∴
∴
又
∴
∵与矩形重叠部分为五边形
∴
即
解得：，
∴
②当时，如图所示，重叠面积为
时取得最小值为，
如图所示，当时，同①可得
重叠面积为
当时最小值为，当时，最大值为
由①可得当时，
∴当时，最大值为，
综上所述，当时，
【点睛】本题考查了矩形的性质，坐标与图形，等边三角形的性质，解直角三角形，二次函数的性质，熟练掌握以上知识是解题的关键．
39．（23-24九年级上·重庆江津·期末）如图，在四边形中，，于点E，，，．动点P从点A出发，沿方向以每秒2个单位长度的速度运动，同时动点Q从点E出发，沿折线方向以每秒1个单位长度的速度运动．当点Q到达点D时，P、Q两点都停止运动．设动点P运动的时间为x秒，的面积为y．
(1)请直接写出y关于x的函数关系式并注明自变量x的取值范围；
(2)在给定的平面直角坐标系中，画出这个函数的图象，并写出该函数的一条性质；
(3)结合函数图象，直接写出的面积为4时x的值．
【答案】(1)或
(2)图见详解，函数值的最大值为
(3)或
【分析】本题是动点下的图象的面积问题，考查了三角形的面积公式、函数的图象与性质，写出函数表达式并画出函数图象是解题的关键．
（1）由速度与时间的关系表示出各线段，根据三角形面积公式即可得出答案；
（2）根据函数表达式画线即可画出图象，由图象的变化趋势即可得出性质；
（3）由函数图象的趋势即可得出答案．
【详解】（1）解：由题意可得，
当时，点在点左侧，点在上，则，
即
当时，点到达点，点到达点，此时
当时，点在点的右侧，点在上，，
则，，
，
即
综上所述：当时，
当时，
（2）如图，函数的性质：函数值的最大值为
（3）如图可知，当或时，的面积为．
1．（2024·山东潍坊·中考真题）【问题提出】
在绿化公园时，需要安装一定数量的自动喷洒装置，定时喷水养护，某公司准备在一块边长为的正方形草坪（如图1）中安装自动喷洒装置，为了既节约安装成本，又尽可能提高喷洒覆盖率，需要设计合适的安装方案．
说明：一个自动喷洒装置的喷洒范围是半径为的圆面．喷洒覆盖率，为待喷洒区域面积，为待喷洒区域中的实际喷洒面积．
【数学建模】
这个问题可以转化为用圆面覆盖正方形面积的数学问题．
【探索发现】
（1）如图2，在该草坪中心位置设计安装1个喷洒半径为的自动喷洒装置，该方案的喷洒覆盖率______．
（2）如图3，在该草坪内设计安装4个喷洒半径均为的自动喷洒装置；如图4，设计安装9个喷洒半径均为3m的自动喷洒装置；，以此类推，如图5，设计安装个喷洒半径均为的自动喷洒装置．与（1）中的方案相比，采用这种增加装置个数且减小喷洒半径的方案，能否提高喷洒覆盖率？请判断并给出理由．
（3）如图6所示，该公司设计了用4个相同的自动喷洒装置喷洒的方案，且使得该草坪的喷洒覆盖率．已知正方形各边上依次取点F，G，H，E，使得，设，的面积为，求关于的函数表达式，并求当取得最小值时的值．
【问题解决】
（4）该公司现有喷洒半径为的自动喷洒装置若干个，至少安装几个这样的喷洒装置可使该草坪的喷洒覆盖率？（直接写出结果即可）
【答案】（1）；（2）不能，理由见解析；（3）；当取得最小值时；（4）
【分析】（1）根据定义，分别计算圆的面积与正方形的面积，即可求解；
（2）根据（1）的方法求得喷洒覆盖率即可求解；
（3）根据勾股定理求得的关系，进而根据圆的面积公式得出函数关系式，根据二次函数的性质，即可求解；
（4）根据（3）的结论可得当圆为正方形的外接圆时，面积最小，则求得半径为的圆的内接正方形的边长为，进而将草坪分为个正方形，即可求解．
【详解】（1）当喷洒半径为时，喷洒的圆面积．
正方形草坪的面积．
故喷洒覆盖率．
（2）对于任意的，喷洒面积，而草坪面积始终为．
因此，无论取何值，喷洒覆盖率始终为．
这说明增加装置个数同时减小喷洒半径，对提高喷洒覆盖率不起作用．
（3）如图所示，连接，
要使喷洒覆盖率，即要求，其中为草坪面积，为喷洒面积．
∴都经过正方形的中心点，
在中，，，
∵
∴，
在中，
∴
∴
∴当时，取得最小值，此时
解得：
（4）由（3）可得，当的面积最小时，此时圆为边长为的正方形的外接圆，
则当时，圆的内接正方形的边长为
而草坪的边长为，，即将草坪分为个正方形，将半径为的自动喷洒装置放置于9个正方形的中心，此时所用装置个数最少，
∴至少安装个这样的喷洒装置可使该草坪的喷洒覆盖率
【点睛】本题考查了正方形与圆综合问题，二次函数的应用；本题要求我们先理解和计算喷洒覆盖率，然后通过调整喷洒装置的数量和喷洒半径来分析喷洒覆盖率的变化，最后在一个特定的条件下找出喷洒面积和喷洒半径之间的函数关系．解决此类问题的关键在于将实际问题转化为数学问题，即如何将喷洒覆盖率的计算问题转化为面积计算和函数求解问题．同时，在解决具体问题时，需要灵活运用已知的数学知识，如圆的面积公式，正方形面积公式，以及函数解析式求解等．最后，还需要注意将数学计算结果还原为实际问题的解决方案．
2．（2024·内蒙古赤峰·中考真题）如图，是某公园的一种水上娱乐项目．数学兴趣小组对该项目中的数学问题进行了深入研究．下面是该小组绘制的水滑道截面图，如图1，人从点A处沿水滑道下滑至点B处腾空飞出后落入水池．以地面所在的水平线为x轴，过腾空点B与x轴垂直的直线为y轴，O为坐标原点，建立平面直角坐标系．他们把水滑道和人腾空飞出后经过的路径都近似看作是抛物线的一部分．根据测量和调查得到的数据和信息，设计了以下三个问题，请你解决．
(1)如图1，点B与地面的距离为2米，水滑道最低点C与地面的距离为米，点C到点B的水平距离为3米，则水滑道所在抛物线的解析式为______；
(2)如图1，腾空点B与对面水池边缘的水平距离米，人腾空后的落点D与水池边缘的安全距离不少于3米．若某人腾空后的路径形成的抛物线恰好与抛物线关于点B成中心对称．
①请直接写出此人腾空后的最大高度和抛物线的解析式；
②此人腾空飞出后的落点D是否在安全范围内？请说明理由（水面与地面之间的高度差忽略不计）；
(3)为消除安全隐患，公园计划对水滑道进行加固．如图2，水滑道已经有两条加固钢架，一条是水滑道距地面4米的点M处竖直支撑的钢架，另一条是点M与点B之间连接支撑的钢架．现在需要在水滑道下方加固一条支撑钢架，为了美观，要求这条钢架与平行，且与水滑道有唯一公共点，一端固定在钢架上，另一端固定在地面上．请你计算出这条钢架的长度（结果保留根号）．
【答案】(1)
(2)①此人腾空后的最大高度是米，解析式为；②此人腾空飞出后的落点D在安全范围内，理由见解析
(3)这条钢架的长度为米
【分析】（1）根据题意得到水滑道所在抛物线的顶点坐标为，且过点，设水滑道所在抛物线的解析式为，将代入，计算求出a的值即可；
（2）①根据题意可设人腾空后的路径形成的抛物线的解析式为，由抛物线的顶点为，即可得出结果；②由①知人腾空后的路径形成的抛物线的解析式为：，令，求出的值，即点的坐标，即可得出结论；
（3）根据题意可得点的纵坐标为4，令中，求出符合实际的x值，得到点M的坐标，求出所在直线的解析式为，设这条钢架为，与交于点G，与地面交于H，根据这条钢架与平行，设该钢架所在直线的解析式为，由该钢架与水滑道有唯一公共点，联立，根据方程组有唯一解，求出，即该钢架所在直线的解析式为，点H与点O重合，根据，，，利用勾股定理即可求解．
【详解】（1）解：根据题意得到水滑道所在抛物线的顶点坐标为，且过点，
设水滑道所在抛物线的解析式为，
将代入，得：，即，
，
水滑道所在抛物线的解析式为；
（2）解：①人腾空后的路径形成的抛物线恰好与抛物线关于点B成中心对称，
则设人腾空后的路径形成的抛物线的解析式为，
人腾空后的路径形成的抛物线的顶点坐标与抛物线的顶点坐标关于点成中心对称，
，
人腾空后的路径形成的抛物线的顶点坐标为，即，
∴此人腾空后的最大高度是米，人腾空后的路径形成的抛物线的解析式为：；
由①知人腾空后的路径形成的抛物线的解析式为：，
令，则，即
或（舍去，不符合题意），
点，
，
，
，
此人腾空飞出后的落点D在安全范围内；
（3）解：根据题意可得点的纵坐标为4，
令，即，
（舍去，不符合题意）或，
，
设所在直线的解析式为，
将代入得：，
解得：，
所在直线的解析式为，
如图，设这条钢架为，与交于点G，与地面交于H，
这条钢架与平行，
设该钢架所在直线的解析式为，
联立，即，
整理得：，
该钢架与水滑道有唯一公共点，
，
即该钢架所在直线的解析式为，
点H与点O重合，
，，，
，
这条钢架的长度为米．
【点睛】本题主要考查了二次函数的综合应用，其中涉及点的坐标的求法，二次函数的实际应用，一次函数与二次函数交点问题，勾股定理，借助二次函数解决实际问题，体现了数学建模思想．
3．（2024·山西·中考真题）大棚经济“金钥匙”，激活乡村产业振兴新引擎．刘叔叔计划在自家菜地修建一个蔬菜大棚，图是其横截面的示意图，其中，为两段垂直于地面的墙体，两段墙体之间的水平距离为米，大棚的顶部用抛物线形铝合金骨架作支撑．已知骨架的一端固定在离地面米的墙体处，另一端固定在墙体处，骨架最高点到墙体的水平距离为米，且点离地面的高度为米．

数学建模
（1）在图中，以为原点，水平直线为轴，所在直线为轴，建立平面直角坐标系．设大棚顶部骨架上某处离地面的高度为（米），该处离墙体的水平距离为（米），求与之间的函数关系式；
问题解决
（2）为了大棚顶部更加稳固，刘叔叔计划在棚顶安装“丁”字形铝合金支架，如图2所示，支架可以看成是由线段，组成，其中点，在顶棚抛物线形骨架上，于点．为不影响耕作，将点E到地面的距离定为米．
点的坐标为______，的长为______；
请你计算做一个“丁”字形支架所需铝合金材料的最大长度．（结果精确到米．参考数据：）
【答案】（）；（） ，；米．
【分析】（）根据题意得，抛物线的顶点的坐标为，设与之间的函数关系式为，然后用待定系数法即可求解；
（）当时，，解得：即可求出，再用两点之间的距离公式求出；
②过点作于点，过点作于点，交于点，求出所在直线的函数表达式，设点的横坐标为，则，当时，最大，再根据，得出，最后根据线段和差即可求解；
本题考查了二次函数的图象及性质，一次函数的图象及性质，解直角三角形，熟练掌握知识点的应用是解题的关键．
【详解】解：（）根据题意得，抛物线的顶点的坐标为，
设与之间的函数关系式为，
由题意得，点的坐标为，
将代入，
得，解，得，
，
即与之间的函数关系式为，
（）由（）得，
当时，，解得：或（舍去），
∴，
∵，
∴，
故答案为：，；
②过点作于点，过点作于点，交于点，

设所在直线的函数表达式为，
将分别代入，
得解，得，
∴所在直线的函数表达式为，
设点的横坐标为，
点在拋物线的图象上，
，，
，
，且，
有最大值，当时，最大，
轴，
，
又，，，
，
，
当时，有最大值，
当时，有最大值，
此时，米．
∴需要铝合金材料的最大长度约为米．
4．（2023·江苏泰州·中考真题）某公司的化工产品成本为元/千克．销售部门规定：一次性销售千克以内时，以元/千克的价格销售；一次性销售不低于千克时，每增加千克降价元．考虑到降价对利润的影响，一次性销售不低于千克时，均以某一固定价格销售．一次性销售利润（元）与一次性销售量（千克）的函数关系如图所示．

(1)当一次性销售千克时利润为多少元？
(2)求一次性销售量在之间时的最大利润；
(3)当一次性销售多少千克时利润为元？
【答案】(1)当一次性销售千克时，利润为元；
(2)一次性销售量在之间时的最大利润为元；
(3)当一次性销售为或或千克时，利润为元．
【分析】（）用销售量利润计算即可；
（）根据一次性销售不低于千克时，每增加千克降价元求出每千克利润，再乘以销售量即可列出函数解析式，再根据函数的性质求最值；
（）分一次性销售量在之间和一次性销售不低于千克两种情况列方程求解即可；
本题考查了二次函数和一次函数的应用，根据等量关系列出函数解析式是解题的关键．
【详解】（1）解：根据题意，
当时，，
∴当一次性销售千克时，利润为元；
（2）解：设一次性销售量在之间时，
每千克利润为，
∴，
，
，
，
∵，，
∴当时，有最大值，最大值为，
∴一次性销售量在之间时的最大利润为元；
（3）解：当时，
，
∴，
当一次性销售量在之间时，
由题意得，，
解得；
当一次性销售不低于千克时，
每千克利润为元，
由题意得，，
解得；
∴当一次性销售为或或千克时，利润为元．
5．（2023·广东深圳·中考真题）蔬菜大棚是一种具有出色的保温性能的框架覆膜结构，它出现使得人们可以吃到反季节蔬菜．一般蔬菜大棚使用竹结构或者钢结构的骨架，上面覆上一层或多层保温塑料膜，这样就形成了一个温室空间．如图，某个温室大棚的横截面可以看作矩形和抛物线构成，其中，，取中点O，过点O作线段的垂直平分线交抛物线于点E，若以O点为原点，所在直线为x轴，为y轴建立如图所示平面直角坐标系．
请回答下列问题：
(1)如图，抛物线的顶点，求抛物线的解析式；

(2)如图，为了保证蔬菜大棚的通风性，该大棚要安装两个正方形孔的排气装置，，若，求两个正方形装置的间距的长；

(3)如图，在某一时刻，太阳光线透过A点恰好照射到C点，此时大棚截面的阴影为，求的长．

【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）根据顶点坐标，设函数解析式为，求出点坐标，待定系数法求出函数解析式即可；
（2）求出时对应的自变量的值，得到的长，再减去两个正方形的边长即可得解；
（3）求出直线的解析式，进而设出过点的光线解析式为，利用光线与抛物线相切，求出的值，进而求出点坐标，即可得出的长．
【详解】（1）解：∵抛物线的顶点，
设抛物线的解析式为，
∵四边形为矩形，为的中垂线，
∴，，
∵，
∴点，代入，得：
，
∴，
∴抛物线的解析式为；
（2）∵四边形，四边形均为正方形，，
∴，
延长交于点，延长交于点，则四边形，四边形均为矩形，

∴，
∴，
∵，当时，，解得：，
∴，，
∴，
∴；
（3）∵，垂直平分，
∴，
∴，
设直线的解析式为，
则：，解得：，
∴，
∵太阳光为平行光，
设过点平行于的光线的解析式为，
由题意，得：与抛物线相切，
联立，整理得：，
则：，解得：；
∴，当时，，
∴，
∵，
∴．
【点睛】本题考查二次函数的实际应用．读懂题意，正确的求出二次函数解析式，利用数形结合的思想，进行求解，是解题的关键．
6．（2023·湖北武汉·中考真题）某课外科技活动小组研制了一种航模飞机．通过实验，收集了飞机相对于出发点的飞行水平距离（单位：）以、飞行高度（单位：）随飞行时间（单位：）变化的数据如下表．
飞行时间 0 2 4 6 8 …
飞行水平距离 0 10 20 30 40 …
飞行高度 0 22 40 54 64 …
探究发现：与，与之间的数量关系可以用我们已学过的函数来描述．直接写出关于的函数解析式和关于的函数解析式（不要求写出自变量的取值范围）．
问题解决：如图，活动小组在水平安全线上处设置一个高度可以变化的发射平台试飞该航模飞机．根据上面的探究发现解决下列问题．

（1）若发射平台相对于安全线的高度为0m，求飞机落到安全线时飞行的水平距离；
（2）在安全线上设置回收区域．若飞机落到内（不包括端点），求发射平台相对于安全线的高度的变化范围．
【答案】探索发现：；问题解决：（1）；（2）大于且小于
【分析】探究发现：根据待定系数法求解即可；
问题解决：（1）令二次函数代入函数解析式即可求解；
（2）设发射平台相对于安全线的高度为，则飞机相对于安全线的飞行高度．结合，即可求解.
【详解】探究发现：x与t是一次函数关系，y与t是二次函数关系，
设，，
由题意得：，，
解得：，
∴．
问题解决（1） 解：依题总，得．
解得，（舍），，
当时，．
答：飞机落到安全线时飞行的水平距离为．
（2）解：设发射平台相对于安全线的高度为，飞机相对于安全线的飞行高度．
，
，
，
在中，
当时，；
当时，．
．
答：发射平台相对于安全线的高度的变化范围是大于且小于．
【点睛】本题考查了一次函数与二次函数的应用，利用待定系数法求函数的解析式，关键是把实际问题分析转变成数学模型．
1．（2024·天津·中考真题）从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度（单位：）与小球的运动时间（单位：）之间的关系式是．有下列结论：
①小球从抛出到落地需要；
②小球运动中的高度可以是；
③小球运动时的高度小于运动时的高度．
其中，正确结论的个数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】C
【分析】本题考查二次函数的图像和性质，令解方程即可判断①；配方成顶点式即可判断②；把和代入计算即可判断③．
【详解】解：令，则，解得：，，
∴小球从抛出到落地需要，故①正确；
∵，
∴最大高度为，
∴小球运动中的高度可以是，故②正确；
当时，；当时，；
∴小球运动时的高度大于运动时的高度，故③错误；
故选C．
2．（2024·山东烟台·中考真题）如图，水平放置的矩形中，，，菱形的顶点，在同一水平线上，点与的中点重合，，，现将菱形以的速度沿方向匀速运动，当点运动到上时停止，在这个运动过程中，菱形与矩形重叠部分的面积与运动时间之间的函数关系图象大致是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了解直角三角形的应用，菱形的性质，动点问题的函数图象，二次函数的图象的性质，先求得菱形的面积为，进而分三种情形讨论，重合部分为三角形，重合部分为五边形，重合部分为菱形，分别求得面积与运动时间的函数关系式，结合选项，即可求解．
【详解】解：如图所示，设交于点，
∵菱形，，
∴
又∵，
∴是等边三角形，
∵，，
∴
∴
∴
当时，重合部分为，
如图所示，
依题意，为等边三角形，
运动时间为，则，
∴
当时，如图所示，
依题意，，则
∴
∴
∵
∴当时，
当时，同理可得，
当时，同理可得，
综上所述，当时，函数图象为开口向上的一段抛物线，当时，函数图象为开口向下的一段抛物线，当时，函数图象为一条线段，当时，函数图象为开口向下的一段抛物线，当时，函数图象为开口向上的一段抛物线；
故选：D．
3．（2024·黑龙江齐齐哈尔·中考真题）如图，在等腰中，，，动点E，F同时从点A出发，分别沿射线和射线的方向匀速运动，且速度大小相同，当点E停止运动时，点F也随之停止运动，连接，以为边向下做正方形，设点E运动的路程为，正方形和等腰重合部分的面积为y，下列图像能反映y与x之间函数关系的是（ ）
A． B． C．D．
【答案】A
【分析】本题考查动态问题与函数图象，能够明确y与x分别表示的意义，并找到几何图形与函数图象之间的关系，以及对应点是解题的关键，根据题意并结合选项分析当与重合时，及当时图象的走势，和当时图象的走势即可得到答案．
【详解】解：当与重合时，设，由题可得：
∴，，
在中，由勾股定理可得：，
∴，
∴，
∴当时，，
∵，
∴图象为开口向上的抛物线的一部分，
当在下方时，设，由题可得：
∴，，
∵，,
∴，
∴，
∴，
∴，
∴当时，，
∵，
∴图象为开口向下的抛物线的一部分，
综上所述：A正确，
故选：A．
4．（2023·天津·中考真题）如图，要围一个矩形菜园，共中一边是墙，且的长不能超过，其余的三边用篱笆，且这三边的和为．有下列结论：
①的长可以为；
②的长有两个不同的值满足菜园面积为；
③菜园面积的最大值为．
其中，正确结论的个数是（ ）

A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】C
【分析】设的长为，矩形的面积为，则的长为，根据矩形的面积公式列二次函数解析式，再分别根据的长不能超过，二次函数的最值，解一元二次方程求解即可．
【详解】设的长为，矩形的面积为，则的长为，由题意得
，
其中，即，
①的长不可以为，原说法错误；
③菜园面积的最大值为，原说法正确；
②当时，解得或，
∴的长有两个不同的值满足菜园面积为，说法正确；
综上，正确结论的个数是2个，
故选：C．
【点睛】本题考查了二次函数的应用，解一元二次方程，准确理解题意，列出二次函数解析式是解题的关键．
5．（2023·黑龙江齐齐哈尔·中考真题）如图，在正方形中，，动点M，N分别从点A，B同时出发，沿射线，射线的方向匀速运动，且速度的大小相等，连接，，．设点M运动的路程为，的面积为，下列图像中能反映与之间函数关系的是（ ）

A． B． C． D．
【答案】A
【分析】先根据，求出与之间函数关系式，再判断即可得出结论．
【详解】解：，
，
，
，
故与之间函数关系为二次函数，图像开口向上，时，函数有最小值6，
故选：A．
【点睛】本题考查了正方形的性质，二次函数的图像与性质，本题的关键是求出与之间函数关系式，再判断与之间函数类型．
6．（2024·广西·中考真题）如图，壮壮同学投掷实心球，出手（点P处）的高度是，出手后实心球沿一段抛物线运行，到达最高点时，水平距离是，高度是．若实心球落地点为M，则 ．
【答案】
【分析】本题考查的是二次函数的实际应用，设抛物线为，把点，代入即可求出解析式；当时，求得x的值，即为实心球被推出的水平距离．
【详解】解：以点O为坐标原点，射线方向为x轴正半轴，射线方向为y轴正半轴，建立平面直角坐标系，
∵出手后实心球沿一段抛物线运行，到达最高点时，水平距离是，高度是．
设抛物线解析式为：，
把点代入得：，
解得：，
∴抛物线解析式为：；
当时，，
解得，（舍去），，
即此次实心球被推出的水平距离为．
故答案为：
7．（2024·甘肃·中考真题）如图1为一汽车停车棚，其棚顶的横截面可以看作是抛物线的一部分，如图2是棚顶的竖直高度y（单位：）与距离停车棚支柱的水平距离x（单位：）近似满足函数关系的图象，点在图象上．若一辆箱式货车需在停车棚下避雨，货车截面看作长，高的矩形，则可判定货车 完全停到车棚内（填“能”或“不能”）．
【答案】能
【分析】本题主要考查了二次函数的实际应用，根据题意求出当时，y的值，若此时y的值大于，则货车能完全停到车棚内，反之，不能，据此求解即可．
【详解】解：∵，，
∴，
在中，当时，，
∵，
∴可判定货车能完全停到车棚内，
故答案为：能．
8．（2024·四川自贡·中考真题）九（1）班劳动实践基地内有一块面积足够大的平整空地．地上两段围墙于点O（如图），其中上的段围墙空缺．同学们测得m，m，m，m，m．班长买来可切断的围栏m，准备利用已有围墙，围出一块封闭的矩形菜地，则该菜地最大面积是 ．
【答案】
【分析】本题考查了二次函数的应用．要利用围墙和围栏围成一个面积最大的封闭的矩形菜地，那就必须尽量使用原来的围墙，观察图形，利用和才能使该矩形菜地

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