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第三章 函数
微专题03 利用函数解决实际问题
（13种题型汇总+专题训练）
【题型汇总】
【专项训练】
题型01 最大利润问题
1．（2024·内蒙古呼伦贝尔·中考真题）某超市从某水果种植基地购进甲、乙两种优质水果，经调查，这两种水果的进价和售价如表所示：
水果种类 进价（元/千克） 售价（元/千克）
甲 22
乙 25
该超市购进甲种水果18千克和乙种水果6千克需366元：购进甲种水果30千克和乙种水果15千克需705元．
(1)求的值；
(2)该超市决定每天购进甲、乙两种水果共150千克进行销售，其中甲种水果的数量不少于50千克，且不大于120千克．实际销售时，若甲种水果超过80千克，则超过部分按每千克降价5元销售．求超市当天销售完这两种水果获得的利润（元）与购进甲种水果的数量（千克）之间的函数关系式（写出自变量的取值范围），并求出在获得最大利润时，超市的进货方案以及最大利润．
2．（2024·黑龙江大兴安岭地·中考真题）为了增强学生的体质，某学校倡导学生在大课间开展踢毽子活动，需购买甲、乙两种品牌毽子．已知购买甲种品牌毽子10个和乙种品牌毽子5个共需200元；购买甲种品牌毽子15个和乙种品牌毽子10个共需325元．
(1)购买一个甲种品牌毽子和一个乙种品牌毽子各需要多少元？
(2)若购买甲乙两种品牌毽子共花费1000元，甲种品牌毽子数量不低于乙种品牌毽子数量的5倍且不超过乙种品牌毽子数量的16倍，则有几种购买方案？
(3)若商家每售出一个甲种品牌毽子利润是5元，每售出一个乙种品牌毽子利润是4元，在（2）的条件下，学校如何购买毽子商家获得利润最大？最大利润是多少元？
3．（2024·四川达州·中考真题）为拓宽销售渠道，助力乡村振兴，某乡镇帮助农户将、两个品种的柑橘加工包装成礼盒再出售．已知每件品种柑橘礼盒比品种柑橘礼盒的售价少元．且出售件品种柑橘礼盒和件品种柑橘礼盒的总价共元．
(1)求、两种柑橘礼盒每件的售价分别为多少元？
(2)已知加工、两种柑橘礼盒每件的成本分别为元、元、该乡镇计划在某农产品展销活动中售出、两种柑橘礼盒共盒，且品种柑橘礼盒售出的数量不超过品种柑橘礼盒数量的倍．总成本不超过元．要使农户收益最大，该乡镇应怎样安排、两种柑橘礼盒的销售方案，并求出农户在这次农产品展销活动中的最大收益为多少元？
4．（2024·山东青岛·中考真题）5月中旬，樱桃相继成熟，果农们迎来了繁忙的采摘销售季．为了解樱桃的收益情况，从第1天销售开始，小明对自己家的两处樱桃园连续15天的销售情况进行了统计与分析：
A樱桃园 第x天的单价、销售量与x的关系如下表： 单价（元/盒）销售量（盒）第1天5020第2天4830第3天4640第4天4450………第x天10x+10
第x天的单价与x近似地满足一次函数关系，已知每天的固定成本为745元． B樱桃园 第x天的利润（元）与x的关系可以近似地用二次函数刻画，其图象如图：
(1)A樱桃园第x天的单价是______元/盒（用含x的代数式表示）；
(2)求A樱桃园第x天的利润（元）与x的函数关系式；（利润单价销售量固定成本）
(3)①与x的函数关系式是______；
②求第几天两处樱桃园的利润之和（即）最大，最大是多少元？
(4)这15天中，共有______天B樱桃园的利润比A樱桃园的利润大．
5．（2024·山东济宁·中考真题）某商场以每件80元的价格购进一种商品，在一段时间内，销售量y（单位：件）与销售单价x（单位：元/件）之间是一次函数关系，其部分图象如图所示．
(1)求这段时间内y与x之间的函数解析式；
(2)在这段时间内，若销售单价不低于100元，且商场还要完成不少于220件的销售任务，当销售单价为多少时，商场获得利润最大？最大利润是多少？
6．（2024新疆真题）某公司销售一批产品，经市场调研发现，当销售量在0.4吨至3.5吨之间时，销售额（万元）与销售量x（吨）的函数解析式为；成本（万元）与销售量x（吨）的函数图象是如图所示的抛物线的一部分，其中是其顶点．
(1)求出成本关于销售量x的函数解析式；
(2)当成本最低时，销售产品所获利润是多少？
(3)当销售量是多少吨时，可获得最大利润？最大利润是多少？（注：利润=销售额成本）
题型02 行程问题
7．（2024·陕西咸阳·模拟预测）已知A，B两地相距，甲、乙二人分别从A，B两地同时出发，相向而行．设甲、乙二人离A地的距离为y（），行驶时间为x（），则y与x的函数图象如图所示．
(1)求乙到达A地所用的时间；
(2)已知甲、乙两人早上八点同时出发，那么行驶过程中甲、乙二人何时相距？
8．（2024·陕西咸阳·模拟预测）周末，爱好骑行的许一一同学和爸爸从家出发，骑行去渭河运动公园锻炼．许一一先出发，并且匀速骑行完全程，爸爸随后出发并且出发一段时间后速度提高为原来的2倍．如图所示是许一一和爸爸骑行离家的距离s（米）与许一一骑行时间t（分）之间的函数图象，根据图象解答下列问题：
(1)许一一骑行的速度为_______米/分．
(2)求爸爸骑行过程中段对应的函数表达式，并写出自变量的取值范围．
(3)求许一一出发多长时间后爸爸追上她．
9．（2024·黑龙江大兴安岭地·中考真题）甲、乙两货车分别从相距的A、B两地同时出发，甲货车从A地出发途经配货站时，停下来卸货，半小时后继续驶往B地，乙货车沿同一条公路从B地驶往A地，但乙货车到达配货站时接到紧急任务立即原路原速返回B地，结果比甲货车晚半小时到达B地．如图是甲、乙两货车距A地的距离与行驶时间之间的函数图象，结合图象回答下列问题：
(1)甲货车到达配货站之前的速度是　　　　，乙货车的速度是　　　　；
(2)求甲货车在配货站卸货后驶往B地的过程中，甲货车距A地的距离与行驶时间之间的函数解析式；
(3)直接写出甲、乙两货车在行驶的过程中，出发多长时间甲、乙两货车与配货站的距离相等．
10．（2024·天津·中考真题）已知张华的家、画社、文化广场依次在同一条直线上，画社离家，文化广场离家．张华从家出发，先匀速骑行了到画社，在画社停留了，之后匀速骑行了到文化广场，在文化广场停留后，再匀速步行了返回家．下面图中表示时间，表示离家的距离．图象反映了这个过程中张华离家的距离与时间之间的对应关系．
请根据相关信息，回答下列问题：
(1)①填表：
张华离开家的时间 1 4 13 30
张华离家的距离
②填空：张华从文化广场返回家的速度为______；
③当时，请直接写出张华离家的距离关于时间的函数解析式；
(2)当张华离开家时，他的爸爸也从家出发匀速步行了直接到达了文化广场，那么从画社到文化广场的途中两人相遇时离家的距离是多少？（直接写出结果即可）
题型03 阶梯计费问题
11．（2023·上海浦东新·二模）某市全面实施居民“阶梯水价”．当累计水量超过年度阶梯水量分档基数临界点后，即开始实施阶梯价格计价，分档水量和单价见下表：
分档 户年用水量 （立方米） 自来水单价 （元/立方米） 污水处理单价 （元/立方米）
第一阶梯 0~220（含220） 2.25 1.8
第二阶梯 220~300（含300） 4
第三阶梯 300以上 6.99
注：应缴的水费＝户年用水量×（自来水单价＋污水处理单价）
仔细阅读上述材料，请解答下面的问题：
(1)如果小叶家全年用水量是220立方米，那么她家全年应缴纳水费多少元？
(2)居民应缴纳水费y（元）关于户年用水量x（立方米）的函数关系如图所示，求第二阶梯（线段）的表达式；
(3)如果小明家全年缴纳的水费共计1181元，那么他家全年用水量是多少立方米？
12．（2024·福建南平·二模）北方某市对城市居民该冬季的采暖收费标准如下表：（以户为单位）
阶梯 采暖用气 销售价格
第一阶梯 （含1500）的部分 2.67元
第二阶梯 （含2500）的部分 3.15元
第三阶梯 以上的部分
根据表中所给的数据回答以下问题：
(1)某户用气量为，求此户需缴纳的燃气费用：
(2)设某户这个冬季用气量为，缴纳燃气费用为元，求与的函数表达式：
(3)已知某户该冬季缴纳燃气费用为8970元，求该户用多少立方米的燃气？
13．（2023·河北石家庄·模拟预测）为了倡导绿色低碳的生活方式，鼓励居民节约用电，某地采取表1的计费方式已知嘉淇家7月份用电量为280度，缴纳电费为164元．
表1 某地居民用电计费方式
第一档电量 第二档电量 第三档电量
月用电量180度（含180度），以下每度价格0.55元 月用电量180度至300度（含300度）的部分，每度比第一档提价a元 月用电量300度以上的部分，每度比第一档提价0.30元
(1)求出表1中a的值；
(2)设某用户每月用电量为x度，应缴纳电费为y元，求y与x的函数关系式；
(3)嘉淇在暑期社会实践活动中随机调查了20户家庭7月份的用电量，如表2所示试通过计算求出这20户家庭缴纳电费的中位数和众数．
表2 20户家庭7月份用电量统计表
用电量（度） 120 160 200 260 320
户数 2 3 6 7 2
14．（2023·浙江温州·二模）某地移动公司提供的流量套餐有三种，如表所示，表示每月上网流量（单位：），表示每月的流量费用（单位：元），三种套餐对应的关于的关系如图所示：
套餐 套餐 套餐
每月基本流量服务费（元）
包月流量（）
超出后每收费（元）

(1)当时，求套餐费用的函数表达式．
(2)当每月消耗流量在哪个范围内时，选择套餐较为划算．
(3)小红爸妈各选一种套餐，计划人每月流量总费用控制在元以内（包括元），请为他们设计一种方案使总流量达到最并完成下表，
小红爸爸： 套餐 （填、、） 小红妈妈： 套餐 （填、、） 总流量
消耗流量
题型04 图形面积
15．（2024·湖北·中考真题）如图，某校劳动实践基地用总长为80m的栅栏，围成一块一边靠墙的矩形实验田，墙长为42m．栅栏在安装过程中不重叠、无损耗，设矩形实验田与墙垂直的一边长为x(单位：m)，与墙平行的一边长为y(单位：m)，面积为S(单位：)．
(1)直接写出y与x，S与x之间的函数解析式(不要求写x的取值范围)；
(2)矩形实验田的面积S能达到吗？如果能，求x的值；如果不能，请说明理由．
(3)当x的值是多少时，矩形实验田的面积S最大？最大面积是多少？
16．（2023·江苏徐州·中考真题）如图，正方形纸片的边长为4，将它剪去4个全等的直角三角形，得到四边形．设的长为，四边形的面积为．

(1)求关于的函数表达式；
(2)当取何值时，四边形的面积为10？
(3)四边形的面积是否存在最小值？若存在，求出最小值；若不存在，请说明理由．
17．（2023·黑龙江大庆·中考真题）某建筑物的窗户如图所示，上半部分是等腰三角形，，，点、、分别是边、、的中点；下半部分四边形是矩形，，制造窗户框的材料总长为16米（图中所有黑线的长度和），设米，米．

(1)求与之间的函数关系式，并求出自变量的取值范围；
(2)当为多少时，窗户透过的光线最多（窗户的面积最大），并计算窗户的最大面积．
题型05 拱桥类问题
18．（2024·河南信阳·一模）信阳位于中国南北地理分界线，地处淮河中上游，素有“北国江南，江南北国”美誉，自古雨水充沛，河流众多，降雨量和人均水资源量久居河南第一，素以“水广桥多”著称，被誉为“千湖之市”．其中一座桥的桥洞形状符合抛物线形状，如图1所示，桥墩高3米，拱顶A与起拱线相距4米，桥孔宽6米．
(1)若以起拱点B为坐标原点建立平面坐标系，求抛物线的函数表达式，并求其顶点坐标．
(2)河面的平均水位2米，信阳游客服务部门打算建造河上观赏船，故应考虑船下水后的吃水线问题．额定载客后，观赏船吃水线上面部分的截面图为矩形（如图2），当船宽为3米时．①求吃水线上船高约多少米时，可以恰好通过此桥；②若考虑涝季水面会再往上升1米，则求此时吃水线上船高的设计范围．
19．（2024·宁夏银川·二模）如图，某条河流上桥的钢拱圈截面形状类似于抛物线，钢拱圈与桥面两接触点M，N之间的距离为20米，A，B两点为钢拱圈的钢丝固定点且距离桥面高度均为30米，C，D为桥面钢丝的固定点，C，D两点相距90米且，已知．
(1)以M为坐标原点，所在直线为x轴，垂直于的直线为y轴构建平面直角坐标系，求抛物线的函数表达式；
(2)现要在钢拱圈上挂一幅公益宣传海报，海报为正方形，海报顶边的两个顶点恰好在钢拱圈上的A，B两点，求海报底边与桥面的距离．
20．（2024·陕西·中考真题）一条河上横跨着一座宏伟壮观的悬索桥．桥梁的缆索与缆索均呈抛物线型，桥塔与桥塔均垂直于桥面，如图所示，以O为原点，以直线为x轴，以桥塔所在直线为y轴，建立平面直角坐标系．

已知：缆索所在抛物线与缆索所在抛物线关于y轴对称，桥塔与桥塔之间的距离，，缆索的最低点P到的距离（桥塔的粗细忽略不计）
(1)求缆索所在抛物线的函数表达式；
(2)点E在缆索上，，且，，求的长．
21．（2024·广东·模拟预测）素材一：秦、汉时期是中国古代桥梁的创建发展时期，此时期创造了以砖石为材料主体的拱券结构，为后来拱桥的出现创造了先决条件．如图（1）是位于某市中心的一座大桥，已知该桥的桥拱呈抛物线形．在正常水位时测得桥拱处水面宽度为40米，桥拱最高点到水面的距离为10米．
素材二：在正常水位时，一艘货船在水面上航行，已知货船的宽为16米，露出水面的高为7米．四边形为矩形，．现以点O为原点，以所在直线为x轴建立如图（2）所示的平面直角坐标系，将桥拱抽象为一条抛物线．
(1)求此抛物线的解析式．
(2)这艘货船能否安全过桥？
(3)受天气影响，水位上升0.5米，若货船露出水面的高度不变，此时该货船能否安全过桥？
22．（2024·湖南·模拟预测）某校组织九年级学生前往某蔬菜基地参观学习，该蔬菜基地欲修建一顶大棚．如图，大棚跨度，拱高．
同学们讨论出两种设计方案：
方案一，设计成圆弧型，如图1，已知圆心O，过点O作于点D交圆弧于点C．连接．
方案二，设计成抛物线型，如图2，以所在直线为x轴，线段的垂直平分线为y轴建立平面直角坐标系．
(1)求方案一中圆的半径；
(2)求方案二中抛物线的函数表达式；
(3)为扩大大概的空间，将大棚用1米高的垂直支架支撑起来，即．在大棚内需搭建高的植物攀爬竿，即，于点P，于点Q，与交于点K．请问哪种设计的种植宽度要大些 （不考虑种植间距等其他问题，且四边形是矩形）
题型06 投球问题
23．（2024·甘肃兰州·中考真题）在校园科技节期间，科普员为同学们进行了水火箭的发射表演，图1是某型号水火箭的实物图，水火箭发射后的运动路线可以看作是一条抛物线．为了解水火箭的相关性能，同学们进一步展开研究．如图2建立直角坐标系，水火箭发射后落在水平地面A处．科普员提供了该型号水火箭与地面成一定角度时，从发射到着陆过程中，水火箭距离地面的竖直高度与离发射点O的水平距离的几组关系数据如下：
水平距离 0 3 4 10 15 20 22 27
竖直高度 0 3.24 4.16 8 9 8 7.04 3.24
(1)根据上表，请确定抛物线的表达式；
(2)请计算当水火箭飞行至离发射点O的水平距离为时，水火箭距离地面的竖直高度．
24．（2024·河南·中考真题）从地面竖直向上发射的物体离地面的高度满足关系式，其中是物体运动的时间，是物体被发射时的速度．社团活动时，科学小组在实验楼前从地面竖直向上发射小球．
(1)小球被发射后_________时离地面的高度最大（用含的式子表示）．
(2)若小球离地面的最大高度为，求小球被发射时的速度．
(3)按（2）中的速度发射小球，小球离地面的高度有两次与实验楼的高度相同．小明说：“这两次间隔的时间为．”已知实验楼高，请判断他的说法是否正确，并说明理由．
25．（2024·江西·中考真题）如图，一小球从斜坡O点以一定的方向弹出球的飞行路线可以用二次函数刻画，斜坡可以用一次函数刻画，小球飞行的水平距离x（米）与小球飞行的高度y（米）的变化规律如下表：
x 0 1 2 m 4 5 6 7 …
y 0 6 8 n …
(1)①______，______；
②小球的落点是A，求点A的坐标．
(2)小球飞行高度y（米）与飞行时间t（秒）满足关系．
①小球飞行的最大高度为______米；
②求v的值．
26．（2023·河南·中考真题）小林同学不仅是一名羽毛球运动爱好者，还喜欢运用数学知识对羽毛球比赛进行技术分析，下面是他对击球线路的分析．
如图，在平面直角坐标系中，点A，C在x轴上，球网与y轴的水平距离，，击球点P在y轴上．若选择扣球，羽毛球的飞行高度与水平距离近似满足一次函数关系；若选择吊球，羽毛球的飞行高度与水平距离近似满足二次函数关系．

(1)求点P的坐标和a的值．
(2)小林分析发现，上面两种击球方式均能使球过网．要使球的落地点到C点的距离更近，请通过计算判断应选择哪种击球方式．
27．（2023·河北·中考真题）嘉嘉和淇淇在玩沙包游戏．某同学借此情境编制了一道数学题，请解答这道题．
如图，在平面直角坐标系中，一个单位长度代表1m长．嘉嘉在点处将沙包（看成点）抛出，并运动路线为抛物线的一部分，淇淇恰在点处接住，然后跳起将沙包回传，其运动路线为抛物线的一部分．

(1)写出的最高点坐标，并求a，c的值；
(2)若嘉嘉在x轴上方的高度上，且到点A水平距离不超过的范围内可以接到沙包，求符合条件的n的整数值．
28．（2023·浙江温州·中考真题）一次足球训练中，小明从球门正前方的A处射门，球射向球门的路线呈抛物线．当球飞行的水平距离为时，球达到最高点，此时球离地面．已知球门高为2.44m，现以O为原点建立如图所示直角坐标系．

(1)求抛物线的函数表达式，并通过计算判断球能否射进球门（忽略其他因素）．
(2)对本次训练进行分析，若射门路线的形状、最大高度均保持不变，则当时他应该带球向正后方移动多少米射门，才能让足球经过点O正上方2.25m处？
题型07 喷水问题
29．（2023·甘肃兰州·中考真题）一名运动员在高的跳台进行跳水，身体（看成一点）在空中的运动轨迹是一条抛物线，运动员离水面的高度与离起跳点A的水平距离之间的函数关系如图所示，运动员离起跳点A的水平距离为时达到最高点，当运动员离起跳点A的水平距离为时离水面的距离为．

(1)求y关于x的函数表达式；
(2)求运动员从起跳点到入水点的水平距离的长．
30．（2023·安徽·一模）某公园要在小广场建造一个喷泉景观．在小广场中央O处垂直于地面安装一个高为1.25米的花形柱子，安置在柱子顶端A处的喷头向外喷水，水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下，且在过的任一平面上抛物线路径如图1所示，为使水流形状较为美观，设计成水流在距的水平距离为1米时达到最大高度，此时离地面2.25米．
(1)以点O为原点建立如图2所示的平面直角坐标系，水流到水平距离为x米，水流喷出的高度为y米，求出在第一象限内的抛物线解析式（不要求写出自变量的取值范围）；
(2)张师傅正在喷泉景观内维修设备期间，喷水管意外喷水，但是身高1.76米的张师傅却没有被水淋到，此时他离花形柱子的距离为d米，求d的取值范围；
(3)为了美观，在离花形柱子4米处的地面B、C处安装射灯，射灯射出的光线与地面成角，如图3所示，光线交汇点P在花形柱子的正上方，其中光线所在的直线解析式为，求光线与抛物线水流之间的最小垂直距离．
31．（2024·湖北武汉·模拟预测）某广场有一圆形喷泉池的中央安装了一个喷水装置，水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下，通过调节喷水装置的高度，从而实现喷出水柱竖直方向的升降，但不改变水柱的形状．为了美观，在半径为米的喷泉池四周种植了一圈宽度均相等的花卉．设水流离池底的高度为（单位：米），距喷水装置的水平距离为（单位：米）．如图所示，以喷水装置所在直线为轴，以池底水平线为轴建立平面直角坐标系．如表是喷水口最低时水流高度和水平距离之间的几组数据：
/米
/米
(1)根据上述数据，水流喷出的最大高度为______米，并求出关于x的函数关系式，不要求写出自变量的范围；
(2)为了提高对水资源的利用率，在欣赏喷泉之余也能喷灌四周的花卉，求喷水口升高的最小值；
(3)喷泉口升高的最大值为米，为能充分喷灌四周花卉，花卉的种植宽度至少要为多少米，才能使喷出的水流不至于落在花卉外？
题型08 一次函数与反比例函数综合
32．（2024·宁夏银川·三模）某水果生产基地在气温较低时，用装有恒温系统的大棚栽培一种新品种水果，如图是试验阶段的某天恒温系统从开启到关闭后，大棚内的温度与时间之间的函数关系，其中线段、表示恒温系统开启后阶段，双曲线的一部分表示恒温系统关闭阶段．
请根据图中信息解答下列问题：
(1)这个恒温系统设定的恒定温度为多少；
(2)若大棚内的温度低于时，水果会受到伤害，问：这天内有多长时间水果生长不受伤害？
33．（2024·江苏南京·一模）某公司成功研制出一种产品，经市场调研，年销售量y(万件)与销售单价x(元)之间的关系如图所示，其中曲线为反比例函数图像的一部分，为一次函数图像的一部分．
(1)求y与x之间的函数表达式；
(2)已知每年该产品的研发费用为40万元，该产品成本价为4元/件，设销售产品年利润为w(万元)，当销售单价为多少元时，年利润最大 最大年利润是多少 (说明：年利润年销售利润研发费用)
34．（2024·安徽·模拟预测）人工智能饮水机在接通电源后开始自动加热，加热过程中，水温与通电的时间成一次函数关系，水温每分钟上升，加热到时，饮水机自动停止加热．在水温开始下降时，水温与通电的时间成反比例函数关系．当水温降至室温时，饮水机再次自动加热，重复上述过程．设某天水温和室温均为，接通电源后，水温与通电时间x（min）之间的关系如图所示．
(1)求a的值；
(2)求加热一次，水温不低于的时间有多长？
题型09 新考法：新考法问题
35．（2024·广东广州·中考真题）一个人的脚印信息往往对应着这个人某些方面的基本特征．某数学兴趣小组收集了大量不同人群的身高和脚长数据，通过对数据的整理和分析，发现身高和脚长之间近似存在一个函数关系，部分数据如下表：
脚长 … …
身高 … …
(1)在图1中描出表中数据对应的点；
(2)根据表中数据，从和中选择一个函数模型，使它能近似地反映身高和脚长的函数关系，并求出这个函数的解析式（不要求写出的取值范围）；
(3)如图2，某场所发现了一个人的脚印，脚长约为，请根据（2）中求出的函数解析式，估计这个人的身高．
36．（2024·吉林·中考真题）综合与实践
某班同学分三个小组进行“板凳中的数学”的项目式学习研究，第一小组负责调查板凳的历史及结构特点；第二小组负责研究板凳中蕴含的数学知识：第三小组负责汇报和交流，下面是第三小组汇报的部分内容，请你阅读相关信息，并解答“建立模型”中的问题．
【背景调查】
图①中的板凳又叫“四脚八叉凳”，是中国传统家具，其榫卯结构体现了古人含蓄内敛的审美观．榫眼的设计很有讲究，木工一般用铅笔画出凳面的对称轴，以对称轴为基准向两边各取相同的长度，确定榫眼的位置，如图②所示．板凳的结构设计体现了数学的对称美．
【收集数据】
小组收集了一些板凳并进行了测量．设以对称轴为基准向两边各取相同的长度为，凳面的宽度为，记录如下：
以对称轴为基准向两边各取相同的长度 16.5 19.8 23.1 26.4 29.7
凳面的宽度 115.5 132 148.5 165 181.5
【分析数据】
如图③，小组根据表中x，y的数值，在平面直角坐标系中描出了各点．
【建立模型】
请你帮助小组解决下列问题：
(1)观察上述各点的分布规律，它们是否在同一条直线上？如果在同一条直线上，求出这条直线所对应的函数解析式；如果不在同一条直线上，说明理由．
(2)当凳面宽度为时，以对称轴为基准向两边各取相同的长度是多少？
37．（2023·浙江台州·中考真题）【问题背景】
“刻漏”是我国古代的一种利用水流计时的工具．综合实践小组准备用甲、乙两个透明的竖直放置的容器和一根带节流阀（控制水的流速大小）的软管制作简易计时装置．
【实验操作】
综合实践小组设计了如下的实验：先在甲容器里加满水，此时水面高度为30cm，开始放水后每隔10min观察一次甲容器中的水面高度，获得的数据如下表：
流水时间t/min 0 10 20 30 40
水面高度h/cm（观察值） 30 29 28.1 27 25.8
任务1 分别计算表中每隔10min水面高度观察值的变化量．
【建立模型】
小组讨论发现：“，”是初始状态下的准确数据，水面高度值的变化不均匀，但可以用一次函数近似地刻画水面高度h与流水时间t的关系．

任务2 利用时，；时，这两组数据求水面高度h与流水时间t的函数解析式．
【反思优化】
经检验，发现有两组表中观察值不满足任务2中求出的函数解析式，存在偏差．小组决定优化函数解析式，减少偏差．通过查阅资料后知道：t为表中数据时，根据解析式求出所对应的函数值，计算这些函数值与对应h的观察值之差的平方和，记为w；w越小，偏差越小．
任务3 （1）计算任务2得到的函数解析式的w值．
（2）请确定经过的一次函数解析式，使得w的值最小．
【设计刻度】
得到优化的函数解析式后，综合实践小组决定在甲容器外壁设计刻度，通过刻度直接读取时间．
任务4 请你简要写出时间刻度的设计方案．
38．（2023·山东济南·中考真题）综合与实践
如图1，某兴趣小组计划开垦一个面积为的矩形地块种植农作物，地块一边靠墙，另外三边用木栏围住，木栏总长为．
【问题提出】
小组同学提出这样一个问题：若，能否围出矩形地块？
【问题探究】
小颖尝试从“函数图象”的角度解决这个问题：
设为，为．由矩形地块面积为，得到，满足条件的可看成是反比例函数的图象在第一象限内点的坐标；木栏总长为，得到，满足条件的可看成一次函数的图象在第一象限内点的坐标，同时满足这两个条件的就可以看成两个函数图象交点的坐标．
如图2，反比例函数的图象与直线：的交点坐标为和_________，因此，木栏总长为时，能围出矩形地块，分别为：，；或___________m，__________m．
（1）根据小颖的分析思路，完成上面的填空．
【类比探究】
（2）若，能否围出矩形地块？请仿照小颖的方法，在图2中画出一次函数图象并说明理由．
【问题延伸】
当木栏总长为时，小颖建立了一次函数．发现直线可以看成是直线通过平移得到的，在平移过程中，当过点时，直线与反比例函数的图象有唯一交点．
（3）请在图2中画出直线过点时的图象，并求出的值．
【拓展应用】
小颖从以上探究中发现“能否围成矩形地块问题”可以转化为“与图象在第一象限内交点的存在问题”．
（4）若要围出满足条件的矩形地块，且和的长均不小于，请直接写出的取值范围．
39．（2023·广西·中考真题）【综合与实践】
有言道：“杆秤一头称起人间生计，一头称起天地良心”．某兴趣小组将利用物理学中杠杆原理制作简易杆秤.小组先设计方案，然后动手制作，再结合实际进行调试，请完成下列方案设计中的任务．
【知识背景】如图，称重物时，移动秤砣可使杆秤平衡，根据杠杆原理推导得：.其中秤盘质量克，重物质量m克，秤砣质量M克，秤纽与秤盘的水平距离为l厘米，秤纽与零刻线的水平距离为a厘米，秤砣与零刻线的水平距离为y厘米．

【方案设计】
目标：设计简易杆秤．设定，，最大可称重物质量为1000克，零刻线与末刻线的距离定为50厘米．
任务一：确定l和a的值．
(1)当秤盘不放重物，秤砣在零刻线时，杆秤平衡，请列出关于l，a的方程；
(2)当秤盘放入质量为1000克的重物，秤砣从零刻线移至末刻线时，杆秤平衡，请列出关于l，a的方程；
(3)根据（1）和（2）所列方程，求出l和a的值．
任务二：确定刻线的位置．
(4)根据任务一，求y关于m的函数解析式；
(5)从零刻线开始，每隔100克在秤杆上找到对应刻线，请写出相邻刻线间的距离．
40．（2024·山西·模拟预测）项目式学习
项目主题：合理设计 智慧泉源
项目背景：洒水车是城市绿化的生力军，清扫道路，美化市容，降温除尘，方便出行．
如图1，一辆洒水车正在沿着公路行驶（平行于绿化带），为绿化带浇水．数学小组成员想了解洒水车要如何把控行驶路线与绿化带之间的距离，才能保证喷出的水能浇灌到整个绿化带．围绕这个问题，该小组开展了“合理设计 智慧泉源”为主题的项目式学习．
任务一 测量建模
建立如图2所示的平面直角坐标系，可以把洒水车喷出水的上、下边缘抽象为两条抛物线的部分图象，喷水口H离地面竖直高度h为1.2米．上边缘抛物线最高点A离喷水口的水平距离为2米，高出喷水口0.4米．
（1）求上边缘抛物线的函数解析式；
任务二 推理分析
小组成员通过进一步分析发现：当喷头竖直高度调整时，喷头喷出的水柱抛物线形状不发生改变，即下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移得到的，把绿化带横截面抽象为矩形，其水平宽度米，竖直高度米，洒水车到绿化带的距离OD为d米．
（2）求下边缘抛物线与x轴交点B的坐标；
（3）若米，则洒水车行驶时喷出的水能否浇灌到整个绿化带？请说明理由．
41．（2024·湖北武汉·模拟预测）现安装一台可旋转灌溉的喷水器以灌溉某花田．如图1，其中点P为原装喷头的喷水口，点N处是喷头与支架的接口，喷水口的高度可以通过连杆进行调整（点P到地面的距离最大可达2米），已知点P、N、M在同一直线上．喷水口喷出的水柱最外层的形状可近似看作是抛物线的一部分，且通过上下高度调整后，喷出的水柱形状仍与原来相同．（接头处的间隙忽略不计）如图2，在初始高度下，测得喷水口点P到水平地面的距离为1米，喷射距离为10米，并发现喷头在旋转过程中，喷出的水柱外端恰好碰到距离连杆所在直线5米处一片树叶的最低处，并测得该树叶的最低处距离水平地面2米．现将原来的花田改造成一块由6块全等的等边三角形与1个正六边形组成的多边形花田（如图3），已知AB＝m．同时，这款喷水器还有一款“S”型号的喷头可供更换（如图4），并且．已知的边，，其中与地面平行，与地面垂直．更换喷头后，喷出的水柱形状仍与原来相同．
(1)在图2中建立合适的直角坐标系，求喷出水柱最外层抛物线的函数表达式；
(2)若使用原装喷头的喷水器，要求通过旋转后，洒水区域能覆盖整块多边形花田，那么喷水口P至少需要升高多少米？
(3)园艺师计划分别在的中点处种植一棵高为米的树．通过计算，判断种植后是否会影响任务2中的灌溉要求．若有影响，利用计算分析，设计出通过调节喷水器的高度、更换喷头等方式，能够达到多边形花田灌溉要求的方案．
题型10 新考法：新情景问题
42．（2024·四川南充·中考真题）2024年“五一”假期期间，阆中古城景区某特产店销售A，B两类特产．A类特产进价50元/件，B类特产进价60元/件．已知购买1件A类特产和1件B类特产需132元，购买3件A类特产和5件B类特产需540元．
(1)求A类特产和B类特产每件的售价各是多少元？
(2)A类特产供货充足，按原价销售每天可售出60件．市场调查反映，若每降价1元，每天可多售出10件（每件售价不低于进价）．设每件A类特产降价x元，每天的销售量为y件，求y与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围．
(3)在（2）的条件下，由于B类特产供货紧张，每天只能购进100件且能按原价售完．设该店每天销售这两类特产的总利润为w元，求w与x的函数关系式，并求出每件A类特产降价多少元时总利润w最大，最大利润是多少元？（利润＝售价－进价）
43．（2024·广东潮州·一模）“买新能源车到底划不划算？”是消费者关心的话题，某校数学小组对市场上配置相近的某款燃油车和某款新能源车做对比调查，发现：总费用（以使用6年为例）购车费用预计6年后的车价购置税保养费用保险费用油费或电费．具体数据如题21表所示：
车型 购车费用 购置税 年均保养费用 年均保险费用 预计6年后的车价
某款燃油车 17万元 17000元 1000元 4000元 69000元
某款新能源车 20万元 0元 500元 5000元 49000元
此外，每公里燃油车的油费比新能源车的电费多元．当油费和电费均为100元时，新能源车的行驶路程是燃油车的4倍．
(1)燃油车每公里油费与新能源车每公里电费分别是多少元？
(2)设平均每年的行驶路程为公里，使用燃油车6年的总费用为元，使用新能源车6年的总费用为元，分别写出和关于的表达式，并说明怎样选择更划算．
44．（2024·山东潍坊·中考真题）2024年6月，某商场为了减少夏季降温和冬季供暖的能源消耗，计划在商场的屋顶和外墙建造隔热层，其建造成本（万元）与隔热层厚度满足函数表达式：．预计该商场每年的能源消耗费用（万元）与隔热层厚度满足函数表达式：，其中．设该商场的隔热层建造费用与未来8年能源消耗费用之和为（万元）．
(1)若万元，求该商场建造的隔热层厚度；
(2)已知该商场未来8年的相关规划费用为（万元），且，当时，求隔热层厚度的取值范围．
45．（2024·河南漯河·一模）某二手车管理站，用一种一氧化碳（）检测仪测量二手家用汽油小轿车尾气中一氧化碳的含量，这种检测仪的电路图如图1所示，其工作原理为：当尾气中一氧化碳的浓度增加，气敏电阻的阻值变小，电流随之增大，即所显示的一氧化碳含量就越高．已知气敏电阻（）的阻值随着尾气中一氧化碳的含量（）变化的关系图象如图2所示，（）为定值电阻，电源电压恒定不变．
(1)请根据图2，判断气敏电阻（）与尾气中一氧化碳的含量（）之间成________函数，它的函数解析式为________；
(2)已知该管理站对家用汽油小轿车尾气中一氧化碳检测数据的标准要求为不高于．若某辆小轿车的尾气检测阻值为，则该小轿车尾气中一氧化碳的含量是否达到标准；
(3)该管理站对（2）中的小汽车进行维修，其尾气中一氧化碳的含量降至，此时气敏电阻的阻值与维修前相比会如何变化？升高或降低多少？
题型11 新考法：跨学科问题
46．（2021·浙江台州·中考真题）电子体重科读数直观又便于携带，为人们带来了方便．某综合实践活动小组设计了简易电子体重秤：制作一个装有踏板（踏板质量忽略不计）的可变电阻R1， R1与踏板上人的质量m之间的函数关系式为R1＝km＋b（其中k，b为常数，0≤m≤120），其图象如图1所示；图2的电路中，电源电压恒为8伏，定值电阻R0的阻值为30欧，接通开关，人站上踏板，电压表显示的读数为U0 ，该读数可以换算为人的质量m，
温馨提示：
①导体两端的电压U，导体的电阻R，通过导体的电流I，满足关系式I＝；
②串联电路中电流处处相等，各电阻两端的电压之和等于总电压．
（1）求k，b的值；
（2）求R1关于U0的函数解析式；
（3）用含U0的代数式表示m；
（4）若电压表量程为0~6伏，为保护电压表，请确定该电子体重秤可称的最大质量．
47．（2024·湖南·模拟预测）物理实验课上，小明为探究电流与接入电路的滑动变阻器之间的关 系，设计如图所示的电路图．已知电源的电压保持不变，小灯泡的电阻为．改变接入电路的滑动变阻器的电阻， 电流表的读数即电流发生改变．当接入电路的滑动变阻器的电阻为时，电流表的读数为．
(1)求电路中的电阻关于接入电路的滑动变阻器的电阻之间的函数关系，
(2)求电流关于电路中的电阻的函数关系；
(3)如果电流表的读数为，则接入电路的滑动变阻器的电阻为多少？
48．（2023·四川达州·中考真题）【背景】在一次物理实验中，小冉同学用一固定电压为的蓄电池，通过调节滑动变阻器来改变电流大小，完成控制灯泡（灯丝的阻值）亮度的实验（如图），已知串联电路中，电流与电阻之间关系为，通过实验得出如下数据：
… 1 3 4 6 …
… 4 3 2.4 2 …

(1)_______，_______；
(2)【探究】根据以上实验，构建出函数，结合表格信息，探究函数的图象与性质．
①在平面直角坐标系中画出对应函数的图象；

②随着自变量的不断增大，函数值的变化趋势是_________．
(3)【拓展】结合（2）中函数图象分析，当时，的解集为________．
49．（2024·河南漯河·二模）综合与实践：如何称量一个空矿泉水瓶的质量？
如图是一架自制天平，支点O固定不变，左侧托盘固定在点A处，右侧托盘（点P）可以在横梁段滑动（点P不与B，C重合）．已知，，砝码的质量为．根据杠杆原理，平衡时：左盘砝码质量右盘物体质量（不计托盘与横梁质量）．
(1)设右侧托盘中放置物体的质量为，的长为，求y关于x的函数表达式．
(2)由于一个空的矿泉水瓶太轻无法称量，小组进行如下操作：左侧托盘放置砝码，右侧托盘的点P由点C向点B滑动，向空瓶中加入的水后，发现点P移动到的长为时，天平平衡．求这个空矿泉水瓶的质量．
题型12 新考法：与现实有关的热考问题
50．（2024·黑龙江大庆·中考真题）“尔滨”火了，带动了黑龙江省的经济发展，农副产品也随之畅销全国．某村民在网上直播推销某种农副产品，在试销售的天中，第天且为整数)的售价为(元千克)．当时，；当时，．销量(千克)与的函数关系式为，已知该产品第天的售价为元千克，第天的售价为元千克，设第天的销售额为(元)．
(1) ，_____；
(2)写出第天的销售额与之间的函数关系式；
(3)求在试销售的天中，共有多少天销售额超过元？
51．（2024·陕西·中考真题）我国新能源汽车快速健康发展，续航里程不断提升，王师傅驾驶一辆纯电动汽车从A市前往B市，他驾车从A市一高速公路入口驶入时，该车的剩余电量是，行驶了后，从B市一高速公路出口驶出，已知该车在高速公路上行驶的过程中，剩余电量与行驶路程之间的关系如图所示．
(1)求y与x之间的关系式；
(2)已知这辆车的“满电量”为，求王师傅驾车从B市这一高速公路出口驶出时，该车的剩余电量占“满电量”的百分之多少．
52．（2024·吉林长春·中考真题）区间测速是指在某一路段前后设置两个监控点，根据车辆通过两个监控点的时间来计算车辆在该路段上的平均行驶速度．小春驾驶一辆小型汽车在高速公路上行驶，其间经过一段长度为20千米的区间测速路段，从该路段起点开始，他先匀速行驶小时，再立即减速以另一速度匀速行驶（减速时间忽略不计），当他到达该路段终点时，测速装置测得该辆汽车在整个路段行驶的平均速度为100千米/时．汽车在区间测速路段行驶的路程（千米）与在此路段行驶的时间（时）之间的函数图象如图所示．
(1)的值为________；
(2)当时，求与之间的函数关系式；
(3)通过计算说明在此区间测速路段内，该辆汽车减速前是否超速．（此路段要求小型汽车行驶速度不得超过120千米/时）
53．（2024·四川·中考真题）端午节是我国的传统节日，有吃粽子的习俗．节日前夕，某商场购进A，B两种粽子共200盒进行销售．经了解，进价与标价如下表所示（单位：元/盒）：
种类 进价 标价
A 90 120
B 50 60
(1)设该商场购进A种粽子x盒，销售两种粽子所得的总利润为y元，求y关于x的函数解析式（不必写出自变量x的取值范围）；
(2)若购进的200盒粽子销售完毕，总利润不低于3000元，请问至少需要购进A种粽子多少盒？
54．（2024·河南·中考真题）为响应“全民植树增绿，共建美丽中国”的号召，学校组织学生到郊外参加义务植树活动，并准备了A，B两种食品作为午餐．这两种食品每包质量均为，营养成分表如下．

(1)若要从这两种食品中摄入热量和蛋白质，应选用A，B两种食品各多少包？
(2)运动量大的人或青少年对蛋白质的摄入量应更多．若每份午餐选用这两种食品共7包，要使每份午餐中的蛋白质含量不低于，且热量最低，应如何选用这两种食品？
55．（2023·湖北黄冈·中考真题）加强劳动教育，落实五育并举．孝礼中学在当地政府的支持下，建成了一处劳动实践基地．2023年计划将其中的土地全部种植甲乙两种蔬菜．经调查发现：甲种蔬菜种植成本y（单位；元/）与其种植面积x（单位：）的函数关系如图所示，其中；乙种蔬菜的种植成本为50元/．

(1)当___________时，元/；
(2)设2023年甲乙两种蔬菜总种植成本为W元，如何分配两种蔬菜的种植面积，使W最小？
(3)学校计划今后每年在这土地上，均按（2）中方案种植蔬菜，因技术改进，预计种植成本逐年下降，若甲种蔬菜种植成本平均每年下降，乙种蔬菜种植成本平均每年下降，当a为何值时，2025年的总种植成本为元？
56．（2023·江苏连云港·中考真题）目前，我市对市区居民用气户的燃气收费，以户为基础、年为计算周期设定了如下表的三个气量阶梯：
阶梯 年用气量 销售价格 备注
第一阶梯 （含400）的部分 2.67元 若家庭人口超过4人的，每增加1人，第一、二阶梯年用气量的上限分别增加．
第二阶梯 （含1200）的部分 3.15元
第三阶梯 以上的部分 3.63元
(1)一户家庭人口为3人，年用气量为，则该年此户需缴纳燃气费用为__________元；
(2)一户家庭人口不超过4人，年用气量为，该年此户需缴纳燃气费用为元，求与的函数表达式；
(3)甲户家庭人口为3人，乙户家庭人口为5人，某年甲户、乙户缴纳的燃气费用均为3855元，求该年乙户比甲户多用多少立方米的燃气？（结果精确到）
57．（2024·山西·模拟预测）学科实践
【驱动任务】为喜迎“母亲节”的到来，各个花店的鲜花礼品进入了销售旺季，某校综合实践小组以探究“鲜花最佳销售方案”为主题开展了项目式学习．
【研究步骤】
数据收集：综合实践小组以某款每束进价30元的鲜花礼品为研究对据象展开调查，收集到附近五家花店近期销售相关信息，记录如下表：
花店 售价（元/束） 日销售量（束）
（1）数据整理：请将以上调查数据按照一定顺序重新整理，填写在下表中：
售价/（元/束）
日销售量/（束）
（2）数据分析：分析数据的变化规律，将每组对应值描在下图中，并确定日销售量与售价之间的关系；
【问题解决】
（3）根据以上信息，在销售该款花卉时，
①要想每天获得2000元的利润，应该如何定价？
②当售价为多少时，每天获得利润最大？最大利润是多少？
售价/（元/束） 40 45 50 55 60
日销售量/（束） 140 120 100 80 60
题型13 新考法：中考预测题
58．（2024·湖北武汉·中考真题）16世纪中叶，我国发明了一种新式火箭“火龙出水”，它是二级火箭的始祖．火箭第一级运行路径形如抛物线，当火箭运行一定水平距离时，自动引发火箭第二级，火箭第二级沿直线运行．某科技小组运用信息技术模拟火箭运行过程．如图，以发射点为原点，地平线为x轴，垂直于地面的直线为y轴，建立平面直角坐标系，分别得到抛物线和直线．其中，当火箭运行的水平距离为时，自动引发火箭的第二级．
(1)若火箭第二级的引发点的高度为．
①直接写出a，b的值；
②火箭在运行过程中，有两个位置的高度比火箭运行的最高点低，求这两个位置之间的距离．
(2)直接写出a满足什么条件时，火箭落地点与发射点的水平距离超过．
59．（23-24九年级下·北京·开学考试）如图，某校的饮水机有温水、开水两个按钮，温水和开水共用一个出水口．温水的温度为，流速为；开水的温度为，流速为．某学生先接了一会儿温水，又接了一会儿开水，得到一杯温度为的水（不计热损失），求该学生分别接温水和开水的时间．
物理常识
开水和温水混合时会发生热传递，开水放出的热量等于温水吸收的热量，可以转化为开水的体积×开水降低的温度=温水的体积×温水升高的温度．
60．（2024·北京东城·一模）小明是一位羽毛球爱好者，在一次单打训练中，小明对“挑球”这种击球方式进行路线分析，球被击出后的飞行路线可以看作是抛物线的一部分．建立如图所示的平面直角坐标系，击球点到球网的水平距离．
小明在同一击球点练习两次，球均过网，且落在界内．
第一次练习时，小明击出的羽毛球的飞行高度（单位：与水平距离（单位：近似满足函数关系．
第二次练习时，小明击出的羽毛球的飞行高度（单位：与水平距离（单位：的几组数据如下：
水平距离 0 1 2 3 4
飞行高度 1.1 1.6 1.9 2 1.9
根据上述信息，回答下列问题：
(1)直接写出击球点的高度；
(2)求小明第二次练习时，羽毛球的飞行高度与水平距离满足的函数关系式；
(3)设第一次、第二次练习时，羽毛球落地点与球网的距离分别为，，则　　（填“”，“ ”或“” ．
61．（2024·福建龙岩·模拟预测）上杭县东门大桥改建工程项目，于2023年列入上杭县“为民办实事”的16个重点工程项目之一，该项目全长米，桥梁全长290米，从稳定性角度考虑．通过桥梁专家设计论证，桥梁部分按“中承式飞燕提蓝拱桥双向6车道”桥型方案设计．如下图，该“飞燕提蓝拱桥”设计数据为，中间提篮拱桥部分形如抛物线，两桥墩间距（跨径）为180米，桥墩与桥头间距为55米，桥面上方的桥拱与桥面用竖直的吊杆连接，吊杆间距5米，正常水位时（水刚好淹没桥墩），桥面距离水面15米，拱顶距离水面60米．
(1)建立恰当的直角坐标系，求拱桥抛物线的解析式；
(2)请问每侧桥拱需要几条吊杆？（参考数据：）
62．（2024·陕西咸阳·模拟预测）晓飞在一次课题研究中，要对科技小组研制出的一款航模飞机的性能进行测试．
【课题研究】调节起始高度，观察飞机降落点．
【素材1】航模飞机每次飞行的线路均是抛物线形．
【素材2】第一次试飞起始高度为（即起飞点为点O），飞行的线路为抛物线C，降落点A到点O的距离为，以点O为原点，为x轴，过点O垂直于的直线为y轴建立如图所示的平面直角坐标系，抛物线C的函数表达式为．
【素材3】第二次从E处开始试飞，起始高度为（点E在y轴上），飞行的线路抛物线可由抛物线C向上平移得到，…
【任务解决】
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）晓飞猜测第二次试飞的降落点（降落点在x轴上）到点A的距离不超过，请通过计算说明晓飞的猜测是否正确．
63．（2024·贵州遵义·三模）如图，是小明在自家院子里晾晒衣服的示意图，他发现此时晾衣绳的形状可以近似的看作一条抛物线．经过测量，他发现立柱，均与地面垂直，且，、之间的水平距离．绳子最低点与地面的距离为．
(1)按如图（1）建立的平面直角坐标系，求抛物线的解析式.
(2)由于晾晒的衣服比较多，为了防止衣服碰到地面，小明用一根垂直于地面的立柱撑起绳子，如图（2）的高度为，通过调整的位置，使左边抛物线对应的函数关系式为，且最低点离地面1.4米，求水平距离.
(3)在（2）的条件下，小明测得右边抛物线对应的函数关系式为，将图（2）中，两条抛物线组成的新函数图象整体向右平移个单位长度，平移后的函数图象在时，y的值随x值的增大而减小，结合函数图象，直接写出m的取值范围．
64．（2024·全国·模拟预测）两个加工区A和B均从甲，乙两个公司购买原材料，两公司到A，B加工区的路程和每吨每千米的运费如表所示：
路程(千米) 运费(元/吨·千米)
甲公司 乙公司 甲公司 乙公司
A加工区 20 15 1.2 1.2
B加工区 25 20 1 0.8
(1)现A加工区从甲，乙两公司购买原材料总计70吨，运费总额为1380元，则A加工区从甲，乙两公司购买原材料各多少吨？
(2)现甲，乙两个公司共有180吨原材料，恰好满足A，B两个加工区所需原材料的总和，其中甲公司有100吨，若A加工区需要70吨原材料不变，当A，B两个加工区从甲，乙两公司各购买多少吨原材料时，总运费最少？
65．（2024·湖北武汉·模拟预测）有一种玩具叫“不倒翁”．有的“不倒翁”造型分为上下两个部分，如图，其下半部分的纵截面边缘近似形成一条抛物线的一部分．将“不倒翁”立在矩形桌面上，如图（2），最低点A距离矩形桌面左边缘，此时，粘在玩具上的标签点距桌面的铅直距离和距桌面左边缘的水平距离均为．已知“不倒翁”的下半部分的最高点距桌面的铅直距离为．
(1)设“不倒翁”玩具下半部纵截面边缘上的点与桌面左边缘的水平距离为，与桌面的铅直距离为，建立的平面直角坐标系，使点的坐标为，直接在图中画出平面直角坐标系，并求出与 的函数关系式；
(2)通过计算说明“不倒翁”左右摇动时，是否有一部分会超出桌子左边缘？
(3)如图，现要在“不倒翁”玩偶的下半部分画一些平行于桌面的装饰带，且每两条相邻装饰带的长度之差为，请直接写出最多可画出几条装饰带（不计装饰带的宽度）．第三章 函数
微专题03 利用函数解决实际问题
（13种题型汇总+专题训练）
【题型汇总】
【专项训练】
题型01 最大利润问题
1．（2024·内蒙古呼伦贝尔·中考真题）某超市从某水果种植基地购进甲、乙两种优质水果，经调查，这两种水果的进价和售价如表所示：
水果种类 进价（元/千克） 售价（元/千克）
甲 22
乙 25
该超市购进甲种水果18千克和乙种水果6千克需366元：购进甲种水果30千克和乙种水果15千克需705元．
(1)求的值；
(2)该超市决定每天购进甲、乙两种水果共150千克进行销售，其中甲种水果的数量不少于50千克，且不大于120千克．实际销售时，若甲种水果超过80千克，则超过部分按每千克降价5元销售．求超市当天销售完这两种水果获得的利润（元）与购进甲种水果的数量（千克）之间的函数关系式（写出自变量的取值范围），并求出在获得最大利润时，超市的进货方案以及最大利润．
【答案】(1)，
(2)，购进甲种水果80千克，乙种水果70千克，最大利润为1060元
【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，一次函数的应用，解题的关键是∶
（1）根据“购进甲种水果18千克和乙种水果6千克需366元：购进甲种水果30千克和乙种水果15千克需705元”列方程求解即可；
（2）分，两种情况讨论，根据总利润等于甲的利润与乙的利润列出函数关系式，然后利用一次函数的性质求解即可．
【详解】（1）解：根据题意，得，
解得；
（2）解：当时，
根据题意，得，
∵，
∴随的增大而增大，
∴当时，有最大值，最大值为，
即购进甲种水果80千克，乙种水果70千克，最大利润为1060元；
当时，
根据题意，得，
∵，
∴随的增大而减小，
∴时，有最大值，最大值为，
即购进甲种水果80千克，乙种水果70千克，最大利润为1060元；
综上，，购进甲种水果80千克，乙种水果70千克，最大利润为1060元．
2．（2024·黑龙江大兴安岭地·中考真题）为了增强学生的体质，某学校倡导学生在大课间开展踢毽子活动，需购买甲、乙两种品牌毽子．已知购买甲种品牌毽子10个和乙种品牌毽子5个共需200元；购买甲种品牌毽子15个和乙种品牌毽子10个共需325元．
(1)购买一个甲种品牌毽子和一个乙种品牌毽子各需要多少元？
(2)若购买甲乙两种品牌毽子共花费1000元，甲种品牌毽子数量不低于乙种品牌毽子数量的5倍且不超过乙种品牌毽子数量的16倍，则有几种购买方案？
(3)若商家每售出一个甲种品牌毽子利润是5元，每售出一个乙种品牌毽子利润是4元，在（2）的条件下，学校如何购买毽子商家获得利润最大？最大利润是多少元？
【答案】(1)购买一个甲种品牌毽子需15元，购买一个乙种品牌毽子需10元
(2)共有3种购买方案
(3)学校购买甲种品牌毽子60个，购买乙种品牌毽子10个，商家获得利润最大，最大利润是340元
【分析】本题考查了二元一次方程组、一元一次不等式组以及一次函数的应用，
（1）设购买一个甲种品牌毽子需a元，购买一个乙种品牌毽子需b元，根据题意列出二元一次方程组，问题得解；
（2）设购买甲种品牌毽子x个，购买乙种品牌毽子个，根据题意列出一元一次不等式组，解不等式组即可求解；
（3）设商家获得总利润为y元，即有一次函数，根据一次函数的性质即可求解．
【详解】（1）解：设购买一个甲种品牌毽子需a元，购买一个乙种品牌毽子需b元．由题意得：，
解得：，
答：购买一个甲种品牌毽子需15元，购买一个乙种品牌毽子需10元；
（2）解：设购买甲种品牌毽子x个，购买乙种品牌毽子个．
由题意得：，
解得：，
和均为正整数，
，62，64，
，7，4，
共有3种购买方案．
（3）设商家获得总利润为y元，
，
，
，
随x的增大而减小，
当时，，
答：学校购买甲种品牌毽子60个，购买乙种品牌毽子10个，商家获得利润最大，最大利润是340元．
3．（2024·四川达州·中考真题）为拓宽销售渠道，助力乡村振兴，某乡镇帮助农户将、两个品种的柑橘加工包装成礼盒再出售．已知每件品种柑橘礼盒比品种柑橘礼盒的售价少元．且出售件品种柑橘礼盒和件品种柑橘礼盒的总价共元．
(1)求、两种柑橘礼盒每件的售价分别为多少元？
(2)已知加工、两种柑橘礼盒每件的成本分别为元、元、该乡镇计划在某农产品展销活动中售出、两种柑橘礼盒共盒，且品种柑橘礼盒售出的数量不超过品种柑橘礼盒数量的倍．总成本不超过元．要使农户收益最大，该乡镇应怎样安排、两种柑橘礼盒的销售方案，并求出农户在这次农产品展销活动中的最大收益为多少元？
【答案】(1)、两种柑橘礼盒每件的售价分别为元
(2)要使农户收益最大，销售方案为售出种柑橘礼盒盒，售出种柑橘礼盒盒，最大收益为元
【分析】本题考查了二元一次方程组的应用；一元一次不等式的应用，一次函数的应用；
（1）设、两种柑橘礼盒每件的售价分别为a元，b元，根据题意列出二元一次方程组，即可求解；
（2）设售出种柑橘礼盒盒，则售出种柑橘礼盒盒，根据题意列出不等式组，得出，设收益为元，根据题意列出函数关系式，进而根据一次函数的性质，即可求解．
【详解】（1）解：设、两种柑橘礼盒每件的售价分别为元，b元，根据题意得，
解得：
答：、两种柑橘礼盒每件的售价分别为元；
（2）解：设售出种柑橘礼盒盒，则售出种柑橘礼盒盒，根据题意得，
解得：
设收益为元，根据题意得，
∵
∴随的增大而减小，
∴当时，取得最大值，最大值为（元）
∴售出种柑橘礼盒（盒）
答：要使农户收益最大，销售方案为售出种柑橘礼盒盒，售出种柑橘礼盒盒，最大收益为元．
4．（2024·山东青岛·中考真题）5月中旬，樱桃相继成熟，果农们迎来了繁忙的采摘销售季．为了解樱桃的收益情况，从第1天销售开始，小明对自己家的两处樱桃园连续15天的销售情况进行了统计与分析：
A樱桃园 第x天的单价、销售量与x的关系如下表： 单价（元/盒）销售量（盒）第1天5020第2天4830第3天4640第4天4450………第x天10x+10
第x天的单价与x近似地满足一次函数关系，已知每天的固定成本为745元． B樱桃园 第x天的利润（元）与x的关系可以近似地用二次函数刻画，其图象如图：
(1)A樱桃园第x天的单价是______元/盒（用含x的代数式表示）；
(2)求A樱桃园第x天的利润（元）与x的函数关系式；（利润单价销售量固定成本）
(3)①与x的函数关系式是______；
②求第几天两处樱桃园的利润之和（即）最大，最大是多少元？
(4)这15天中，共有______天B樱桃园的利润比A樱桃园的利润大．
【答案】(1)
(2)
(3)①；②第10天两处樱桃园的利润之和（即）最大，最大是4800元；
(4)4
【分析】本题主要考查了二次函数的实际应用，一次函数的实际应用：
（1）设出对应的函数解析式，利用待定系数法求解即可；
（2）根据（1）所求结合利润单价销售量固定成本进行求解即可；
（3）①利用待定系数法求解即可；②根据前面所求求出的结果，再利用二次函数的性质求解即可；
（4）根据题意建立不等式，求出不等式的正整数解即可得到答案．
【详解】（1）解：第天的单价与满足的一次函数关系式为，
把代入中得，
∴，
∴第天的单价与满足的一次函数关系式为，
∴A樱桃园第x天的单价是元/盒，
故答案为：；
（2）解：由题意得，
（3）解：①把代入中得：，
解得，
∴；
②∵，，
∴
，
∵，且（x为正整数），
∴当时，有最大值，最大值为4800，
∴第10天两处樱桃园的利润之和（即）最大，最大是4800元；
（4）解：当时，则，
∴，
∴，
∴，
∵x的正整数解有4个，
∴这15天中，共有4天B樱桃园的利润比A樱桃园的利润大．
5．（2024·山东济宁·中考真题）某商场以每件80元的价格购进一种商品，在一段时间内，销售量y（单位：件）与销售单价x（单位：元/件）之间是一次函数关系，其部分图象如图所示．
(1)求这段时间内y与x之间的函数解析式；
(2)在这段时间内，若销售单价不低于100元，且商场还要完成不少于220件的销售任务，当销售单价为多少时，商场获得利润最大？最大利润是多少？
【答案】(1)这段时间内y与x之间的函数解析式为
(2)当销售单价为元时，商场获得利润最大，最大利润是元
【分析】（1）设这段时间内y与x之间的函数解析式为，函数经过，，可以利用待定系数法建立二元一次方程组，即可求出解析式；
（2）根据销售单价不低于100元，且商场还要完成不少于220件，建立一元一次不等式组，即可求出销售单价的取值范围，要求最大利润，首先设获得利润为，写出关于的二次函数解析式，根据二次函数的增减性和的取值范围，即可求出获得利润的最大值
【详解】（1）解：设这段时间内y与x之间的函数解析式为，
由图象可知，函数经过，，
可得，解得，
这段时间内y与x之间的函数解析式为；
（2）解：销售单价不低于100元，且商场还要完成不少于220件，
，，
即，解得，
设获得利润为，即，
对称轴，
，即二次函数开口向下，的取值范围是，
在范围内，随着的增大而增大，
即当销售单价时，获得利润有最大值，
最大利润元．
【点睛】本题考查了求一次函数的解析式，二次函数的性质，解二元一次方程组，解一元一次不等式组，解题的关键是用待定系数法求函数的解析式，掌握二次函数的性质以及二次函数最大值的求解．
6．（2024新疆真题）某公司销售一批产品，经市场调研发现，当销售量在0.4吨至3.5吨之间时，销售额（万元）与销售量x（吨）的函数解析式为；成本（万元）与销售量x（吨）的函数图象是如图所示的抛物线的一部分，其中是其顶点．
(1)求出成本关于销售量x的函数解析式；
(2)当成本最低时，销售产品所获利润是多少？
(3)当销售量是多少吨时，可获得最大利润？最大利润是多少？（注：利润=销售额成本）
【答案】(1)
(2)销售产品所获利润是万元；
(3)当销售量吨时，获得最大利润，最大利润为：万元；
【分析】（1）设抛物线为：，再利用待定系数法求解即可；
（2）先求解当时，成本的最小值为，再计算销售额，从而可得答案；
（3）设销售利润为万元，可得，再利用二次函数的性质解题即可；
【详解】（1）解：∵成本（万元）与销售量x（吨）的函数图象是如图所示的抛物线的一部分，其中是其顶点．
∴设抛物线为：，
把代入可得：，
解得：，
∴抛物线为；
（2）解：∵，
∴当时，成本最小值为，
∴，
∴销售产品所获利润是（万元）；
（3）解：设销售利润为万元，
∴
，
当时，获得最大利润，
最大利润为：（万元）；
【点睛】本题考查的是二次函数的实际应用，一次函数的应用，二次函数的性质，待定系数法的含义，熟练的建立二次函数的关系式是解本题的关键．
题型02 行程问题
7．（2024·陕西咸阳·模拟预测）已知A，B两地相距，甲、乙二人分别从A，B两地同时出发，相向而行．设甲、乙二人离A地的距离为y（），行驶时间为x（），则y与x的函数图象如图所示．
(1)求乙到达A地所用的时间；
(2)已知甲、乙两人早上八点同时出发，那么行驶过程中甲、乙二人何时相距？
【答案】(1)
(2)11时或13时
【分析】本题考查了一次函数的应用，正确读取信息，熟练掌握待定系数法是解题的关键．
（1）利用待定系数法解答即可．
（2）根据两人相遇前，相遇后两种情形，解方程即可．
【详解】（1）解：设，根据题意，
得，
解得，
故；
当时，，
故图象交点的坐标为，
设，根据题意，
得，
解得，
∴，
∴，
解得，
故乙到达A地所用的时间．
（2）解：设经过，甲、乙相距90千米，
根据题意，得则，
解得（小时），此时为11时．
根据题意，得则，
解得（小时），此时为13时．
8．（2024·陕西咸阳·模拟预测）周末，爱好骑行的许一一同学和爸爸从家出发，骑行去渭河运动公园锻炼．许一一先出发，并且匀速骑行完全程，爸爸随后出发并且出发一段时间后速度提高为原来的2倍．如图所示是许一一和爸爸骑行离家的距离s（米）与许一一骑行时间t（分）之间的函数图象，根据图象解答下列问题：
(1)许一一骑行的速度为_______米/分．
(2)求爸爸骑行过程中段对应的函数表达式，并写出自变量的取值范围．
(3)求许一一出发多长时间后爸爸追上她．
【答案】(1)350
(2)
(3)许一一出发分钟后爸爸追上她
【分析】本题主要考查了从函数图象获取信息，列函数关系式，求自变量的值：
（1）根据速度等于路程除以时间进行求解即可；
（2）先求出段爸爸骑行速度为米/分，再根据路程等于速度乘以时间列出函数关系式，再求出自变量的取值范围即可；
（3）根据（1）（2）所求列出方程求解即可．
【详解】（1）解：由函数图象可知，许一一骑行的速度为米/分；
（2）解：米/分，
∴段爸爸骑行速度为米/分，
∴爸爸骑行过程中段对应的函数表达式为，
∵，
∴；
∴；
（3）解：由题意得，，
解得，
∴许一一出发分钟后爸爸追上她．
9．（2024·黑龙江大兴安岭地·中考真题）甲、乙两货车分别从相距的A、B两地同时出发，甲货车从A地出发途经配货站时，停下来卸货，半小时后继续驶往B地，乙货车沿同一条公路从B地驶往A地，但乙货车到达配货站时接到紧急任务立即原路原速返回B地，结果比甲货车晚半小时到达B地．如图是甲、乙两货车距A地的距离与行驶时间之间的函数图象，结合图象回答下列问题：
(1)甲货车到达配货站之前的速度是　　　　，乙货车的速度是　　　　；
(2)求甲货车在配货站卸货后驶往B地的过程中，甲货车距A地的距离与行驶时间之间的函数解析式；
(3)直接写出甲、乙两货车在行驶的过程中，出发多长时间甲、乙两货车与配货站的距离相等．
【答案】(1)30，40
(2)的函数解析式是
(3)经过1.5h或或5h甲、乙两货车与配货站的距离相等
【分析】本题考查一次函数的应用，待定系数法求一次函数解析式的运用，认真分析函数图象，读懂函数图象表示的意义是解题关键．
（1）由图象可知甲货车到达配货站路程为，所用时间为，乙货车到达配货站路程为，到达后返回，所用时间为，根据速度=距离÷时间即可得；
（2）甲货车从A地出发途经配货站时，停下来卸货，半小时后继续驶往B地，由图象结合已知条件可知和点，再利用待定系数法求出y与x的关系式即可得答案；
（3）分两车到达配货站之前和乙货车到达配货站时接到紧急任务立即原路原速返回B地后、甲货车卸货，半小时后继续驶往B地，三种情况与配货站的距离相等，分别列方程求出x的值即可得答案．
【详解】（1）解：由图象可知甲货车到达配货站路程为105km，所用时间为3.5h，所以甲货车到达配货站之前的速度是（）
∴乙货车到达配货站路程为，到达配货站时接到紧急任务立即原路原速返回B地，总路程为240km，总时间是6h，
∴乙货车速度，
故答案为：30；40
（2）甲货车从A地出发途经配货站时，停下来卸货，半小时后继续驶往B地，由图象可知和点
设
∴
解得：，
∴甲货车距A地的距离与行驶时间之间的函数解析式
（3）设甲货车出发，甲、乙两货车与配货站的距离相等，
①两车到达配货站之前：，
解得：,
②乙货车到达配货站时开始返回，甲货车未到达配货站：，
解得：，
③甲货车在配货站卸货后驶往B地时：，
解得：，
答：经过或或甲、乙两货车与配货站的距离相等．
10．（2024·天津·中考真题）已知张华的家、画社、文化广场依次在同一条直线上，画社离家，文化广场离家．张华从家出发，先匀速骑行了到画社，在画社停留了，之后匀速骑行了到文化广场，在文化广场停留后，再匀速步行了返回家．下面图中表示时间，表示离家的距离．图象反映了这个过程中张华离家的距离与时间之间的对应关系．
请根据相关信息，回答下列问题：
(1)①填表：
张华离开家的时间 1 4 13 30
张华离家的距离
②填空：张华从文化广场返回家的速度为______；
③当时，请直接写出张华离家的距离关于时间的函数解析式；
(2)当张华离开家时，他的爸爸也从家出发匀速步行了直接到达了文化广场，那么从画社到文化广场的途中两人相遇时离家的距离是多少？（直接写出结果即可）
【答案】(1)①；②0.075；③当时，；当时，；当时，
(2)
【分析】本题考查了从函数图象获取信息，求函数的解析式，列一元一次方程解决实际问题，准确理解题意，熟练掌握知识点是解题的关键．
（1）①根据图象作答即可；
②根据图象，由张华从文化广场返回家的距离除以时间求解即可；
③分段求解，，可得出，当时，；当时，设一次函数解析式为：，把，代入，用待定系数法求解即可.
（2）先求出张华爸爸的速度，设张华爸爸距家，则，当两人相遇时有，列一元一次方程求解即可进一步得出答案．
【详解】（1）解：①画社离家，张华从家出发，先匀速骑行了到画社，
∴张华的骑行速度为，
∴张华离家时，张华离家，
张华离家时，还在画社，故此时张华离家还是，
张华离家时，在文化广场，故此时张华离家还是．
故答案为：.
②,
故答案为：．
③当时，张华的匀速骑行速度为，
∴；
当时，；
当时，设一次函数解析式为：，
把，代入，可得出：
，
解得：，
∴，
综上：当时，，当时，，当时，．
（2）张华爸爸的速度为：，
设张华爸爸距家，则，
当两人从画社到文化广场的途中两人相遇时，有，
解得：，
∴，
故从画社到文化广场的途中两人相遇时离家的距离是．
题型03 阶梯计费问题
11．（2023·上海浦东新·二模）某市全面实施居民“阶梯水价”．当累计水量超过年度阶梯水量分档基数临界点后，即开始实施阶梯价格计价，分档水量和单价见下表：
分档 户年用水量 （立方米） 自来水单价 （元/立方米） 污水处理单价 （元/立方米）
第一阶梯 0~220（含220） 2.25 1.8
第二阶梯 220~300（含300） 4
第三阶梯 300以上 6.99
注：应缴的水费＝户年用水量×（自来水单价＋污水处理单价）
仔细阅读上述材料，请解答下面的问题：
(1)如果小叶家全年用水量是220立方米，那么她家全年应缴纳水费多少元？
(2)居民应缴纳水费y（元）关于户年用水量x（立方米）的函数关系如图所示，求第二阶梯（线段）的表达式；
(3)如果小明家全年缴纳的水费共计1181元，那么他家全年用水量是多少立方米？
【答案】(1)她家全年应缴纳水费891元
(2)
(3)他家全年用水量是270立方米
【分析】（1）根据题意列出算式计算即可；
（2）利用待定系数法求出函数解析式即可；
（3）根据缴纳的水费1181元得出用水量在第二阶梯范围内，然后将代入（2）中求出的函数解析式进行解答即可．
【详解】（1）解：根据题意得：（元），
答：她家全年应缴纳水费891元．
（2）解：设线段的表达式为，把，代入得：
，
解得：，
∴线段的表达式为．
（3）解：∵，
∴小明家全年用水量处于第二阶梯，
把代入得：，
解得：，
答：他家全年用水量是270立方米．
【点睛】本题主要考查了一次函数的实际应用，解题的关键是理解题意，熟练掌握待定系数法，数形结合．
12．（2024·福建南平·二模）北方某市对城市居民该冬季的采暖收费标准如下表：（以户为单位）
阶梯 采暖用气 销售价格
第一阶梯 （含1500）的部分 2.67元
第二阶梯 （含2500）的部分 3.15元
第三阶梯 以上的部分
根据表中所给的数据回答以下问题：
(1)某户用气量为，求此户需缴纳的燃气费用：
(2)设某户这个冬季用气量为，缴纳燃气费用为元，求与的函数表达式：
(3)已知某户该冬季缴纳燃气费用为8970元，求该户用多少立方米的燃气？
【答案】(1)元
(2)
(3)3000立方米
【分析】本题考查一次函数的应用，关键是写出函数解析式．
（1）用1000乘以第一阶梯的电价即可；
（2）根据题意按第一、二阶梯电价写出函数解析式即可；
（3）先根据用户缴纳的燃气费用为8970元，判断用户的燃气量的范围，再计算出燃气量即可．
【详解】（1）解：元．
答：此户需缴纳的燃气费用为2670元，
（2）解： 当时
当时
，
所以与的函数解析式为
，
（3）解：当时，
，
∵
∴当时
当时
解得
答：该用户用了3000立方米的燃气．
13．（2023·河北石家庄·模拟预测）为了倡导绿色低碳的生活方式，鼓励居民节约用电，某地采取表1的计费方式已知嘉淇家7月份用电量为280度，缴纳电费为164元．
表1 某地居民用电计费方式
第一档电量 第二档电量 第三档电量
月用电量180度（含180度），以下每度价格0.55元 月用电量180度至300度（含300度）的部分，每度比第一档提价a元 月用电量300度以上的部分，每度比第一档提价0.30元
(1)求出表1中a的值；
(2)设某用户每月用电量为x度，应缴纳电费为y元，求y与x的函数关系式；
(3)嘉淇在暑期社会实践活动中随机调查了20户家庭7月份的用电量，如表2所示试通过计算求出这20户家庭缴纳电费的中位数和众数．
表2 20户家庭7月份用电量统计表
用电量（度） 120 160 200 260 320
户数 2 3 6 7 2
【答案】(1)a的值为0.1
(2)
(3)中位数和众数分别是112元、151元
【分析】（1）根据梯度计费方式计算7月份电费可得到和a相关的方程，解方程即可；
（2）根据梯度计费方式分别列出三个档位电费的等量关系即可；
（3）先根据中位数计算方法算出中位数，然后根据数值代入对应函数关系式计算即可．
【详解】（1）由题意得，，解得，
即a的值为0.1；
（2）当，；
当，；
当 ，
综上，y与x的函数关系式为；
（3）根据表2可知，将20户家庭用电量由小到大排序，最中间两个数均为200度，
所以这20户家庭用电量的中位数为200度，
应缴纳电费为（元）；
20户家庭用电量的众数应为260度，所以应缴纳电费（元）．
【点睛】本题主要考查一次函数实际应用，根据表格计费方式列出等量关系式解题的关键．
14．（2023·浙江温州·二模）某地移动公司提供的流量套餐有三种，如表所示，表示每月上网流量（单位：），表示每月的流量费用（单位：元），三种套餐对应的关于的关系如图所示：
套餐 套餐 套餐
每月基本流量服务费（元）
包月流量（）
超出后每收费（元）

(1)当时，求套餐费用的函数表达式．
(2)当每月消耗流量在哪个范围内时，选择套餐较为划算．
(3)小红爸妈各选一种套餐，计划人每月流量总费用控制在元以内（包括元），请为他们设计一种方案使总流量达到最并完成下表，
小红爸爸： 套餐 （填、、） 小红妈妈： 套餐 （填、、） 总流量
消耗流量
【答案】(1)
(2)
(3)，；，；
【分析】（1）根据三种套餐对应的关于的关系图，列出套餐的函数关系式即可；
（2）根据三种套餐对应的关于的关系图，列出套餐的函数关系式，根据图可知，基本费用超过元时，套餐的费用划算，代入套餐的函数关系式，即可求出相应的流量；
（3）假设基本费用刚好是元，要是流量最多，要有一人选择套餐，并且超出基本费用的钱要购买套餐中的流量最合适，再分情况讨论第二种套餐种类，通过对比选择合适的套餐即可．
【详解】（1）解：由三种套餐对应的关于的关系图可知，
，
当时，套餐费用的函数表达式；
（2）由三种套餐对应的关于的关系图可知，
，
，
由图可知，当月基本费用超过元时，选择套餐合适，
，解得：，
当时，选择套餐较为划算；
（3）假设基本费用刚好是元，要是流量最多，要有一人选择套餐，并且超出基本费用的钱要购买套餐中的流量最合适，
假设，小红爸爸选择套餐，妈妈选择套餐流量为，两人的基本费用为元，超出的元在套餐中购买流量可以买的更多，即，
则费用为元，小红爸爸选择套餐，花费元，小红妈妈选择套餐流量为，花费元，总流量为；
假设，小红爸爸选择套餐，妈妈选择套餐流量为，基本费用为元，超出的元在套餐中购买流量可以买的更多，即，
则费用为元，小红爸爸选择套餐，花费元，小红妈妈选择套餐流量为，花费元，总流量为；
小红爸爸选择套餐，消耗流量，小红妈妈选择套餐消耗流量，总流量为．
【点睛】本题考查了一次函数的应用，解答本题的关键是结合关系图，明确题意，分情况讨论，利用数形结合的思想．
题型04 图形面积
15．（2024·湖北·中考真题）如图，某校劳动实践基地用总长为80m的栅栏，围成一块一边靠墙的矩形实验田，墙长为42m．栅栏在安装过程中不重叠、无损耗，设矩形实验田与墙垂直的一边长为x(单位：m)，与墙平行的一边长为y(单位：m)，面积为S(单位：)．
(1)直接写出y与x，S与x之间的函数解析式(不要求写x的取值范围)；
(2)矩形实验田的面积S能达到吗？如果能，求x的值；如果不能，请说明理由．
(3)当x的值是多少时，矩形实验田的面积S最大？最大面积是多少？
【答案】(1)，
(2)
(3)当时，实验田的面积S最大，最大面积是
【分析】本题考查了矩形的性质，二次函数的实际应用，计算的取值范围是解题的关键．
（1）根据，求出与的函数解析式，根据矩形面积公式求出与的函数解析式；
（2）先求出的取值范围，再将代入函数中，求出的值；
（3）将与的函数配成顶点式，求出的最大值．
【详解】（1）解：，
，
，
；
（2），
，
，
，
当时，，
，
，
，
当时，矩形实验田的面积能达到；
（3），
当时，有最大值．
16．（2023·江苏徐州·中考真题）如图，正方形纸片的边长为4，将它剪去4个全等的直角三角形，得到四边形．设的长为，四边形的面积为．

(1)求关于的函数表达式；
(2)当取何值时，四边形的面积为10？
(3)四边形的面积是否存在最小值？若存在，求出最小值；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)当取1或3时，四边形的面积为10；
(3)存在，最小值为8．
【分析】（1）先证出四边形为正方形，用未知数x表示其任一边长，根据正方形面积公式即可解决问题；
（2）代入y值，解一元二次方程即可；
（3）把二次函数配方化为顶点式，结合其性质即可求出最小值．
【详解】（1）解：在正方形纸片上剪去4个全等的直角三角形，
，
，四边形为正方形，
在中，，
，
正方形的面积；
不能为负，
，
故关于的函数表达式为
（2）解：令，得，
整理，得，
解得，
故当取1或3时，四边形的面积为10；
（3）解：存在．
正方形的面积；
当时，y有最小值8，即四边形的面积最小为8．
【点睛】本题考查二次函数的应用．解题的关键是找准数量关系，对于第三问，只需把二次函数表达式配方化为顶点式，即可求解．
17．（2023·黑龙江大庆·中考真题）某建筑物的窗户如图所示，上半部分是等腰三角形，，，点、、分别是边、、的中点；下半部分四边形是矩形，，制造窗户框的材料总长为16米（图中所有黑线的长度和），设米，米．

(1)求与之间的函数关系式，并求出自变量的取值范围；
(2)当为多少时，窗户透过的光线最多（窗户的面积最大），并计算窗户的最大面积．
【答案】(1)
(2)当时，窗户透过的光线最多（窗户的面积最大），最大面积为．
【分析】（1）由可表示出的长，由，可表示出，，，，，的长，进而可求出与之间的函数关系式；
（2）根据（1）中相关数据列出函数解析式，然后利用函数的性质解答．
【详解】（1）∵四边形是矩形，
∴，
∵，
∴．
∵，是边的中点，
∴，，
∵，
∴，
∴．
∵点、、分别是边、的中点，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴；
（2）设面积为S，
则
，
∴当时，窗户透过的光线最多（窗户的面积最大），最大面积为．
【点睛】本题考查了一次函数的应用，二次函数的应用，正确列出函数解析式是解答本题的关键．
题型05 拱桥类问题
18．（2024·河南信阳·一模）信阳位于中国南北地理分界线，地处淮河中上游，素有“北国江南，江南北国”美誉，自古雨水充沛，河流众多，降雨量和人均水资源量久居河南第一，素以“水广桥多”著称，被誉为“千湖之市”．其中一座桥的桥洞形状符合抛物线形状，如图1所示，桥墩高3米，拱顶A与起拱线相距4米，桥孔宽6米．
(1)若以起拱点B为坐标原点建立平面坐标系，求抛物线的函数表达式，并求其顶点坐标．
(2)河面的平均水位2米，信阳游客服务部门打算建造河上观赏船，故应考虑船下水后的吃水线问题．额定载客后，观赏船吃水线上面部分的截面图为矩形（如图2），当船宽为3米时．①求吃水线上船高约多少米时，可以恰好通过此桥；②若考虑涝季水面会再往上升1米，则求此时吃水线上船高的设计范围．
【答案】(1)抛物线的函数表达式，顶点坐标为，
(2)①米，②当船宽为3米时，要求吃水线上船高小于3米
【分析】本题考查了二次函数的实际应用，根据建立的平面直角坐标系求出函数的表达式是解题关键．
（1）以起拱点B为坐标原点建立平面坐标系，所在线为轴，过点作的垂线为轴，建立的平面直角坐标系如下：
因此，抛物线的顶点坐标为，可设抛物线的函数表达式为，再将点的坐标代入即可求解；
（2）①根据题（1）的结果，令求出值，从而可得吃水线上船高；②涝季水面会再往上升1米，即要求吃水线上船高在①的基础上减少1米.
【详解】（1）以起拱点B为坐标原点建立平面坐标系，所在线为轴，过点作的垂线为轴，建立的平面直角坐标系如下：

根据所建立的平面直角坐标系可知，点的坐标为，抛物线的顶点坐标为、点的坐标为，
因此设抛物线的函数表达式为，
将代入得：，
解得：，
则所求的抛物线的函数表达式为；
（2）①由题意，当船的中轴线与桥拱的对称轴重合时，而且恰好通过此桥，如图：
∵，则、的横坐标，
当得，即坐标为，
∵河面的平均水位2米，
故（米）
船高约4米时，可以恰好通过此桥，
②若考虑涝季水面会再往上升1米，则要求吃水线上船高的减少1米，
吃水线上船高，即若考虑涝季水面会再往上升1米，则要求吃水线上船高小于3米.
19．（2024·宁夏银川·二模）如图，某条河流上桥的钢拱圈截面形状类似于抛物线，钢拱圈与桥面两接触点M，N之间的距离为20米，A，B两点为钢拱圈的钢丝固定点且距离桥面高度均为30米，C，D为桥面钢丝的固定点，C，D两点相距90米且，已知．
(1)以M为坐标原点，所在直线为x轴，垂直于的直线为y轴构建平面直角坐标系，求抛物线的函数表达式；
(2)现要在钢拱圈上挂一幅公益宣传海报，海报为正方形，海报顶边的两个顶点恰好在钢拱圈上的A，B两点，求海报底边与桥面的距离．
【答案】(1)；
(2)20米．
【分析】本题考查的是二次函数的实际应用，建立正确的坐标系，掌握解直角三角形的知识和待定系数法是解本题的关键；
（1）如图，建立平面直角坐标系，过作于，求解，，，再利用待定系数法求解函数解析式即可；
（2）把代入可得，求解，，再结合正方形的性质可得答案．
【详解】（1）解：如图，建立平面直角坐标系，过作于，
则，，，，
∴，
∴，，
∵，
∴米，
∴，
∴，
设抛物线的解析式为，则有：
，
解得，
∴抛物线的函数表达式为；
（2）当时，，
解得：，，
∴，
∵海报为正方形，海报顶边的两个顶点恰好在钢拱圈上的A，B两点，
∴海报底边与桥面的距离为．
20．（2024·陕西·中考真题）一条河上横跨着一座宏伟壮观的悬索桥．桥梁的缆索与缆索均呈抛物线型，桥塔与桥塔均垂直于桥面，如图所示，以O为原点，以直线为x轴，以桥塔所在直线为y轴，建立平面直角坐标系．

已知：缆索所在抛物线与缆索所在抛物线关于y轴对称，桥塔与桥塔之间的距离，，缆索的最低点P到的距离（桥塔的粗细忽略不计）
(1)求缆索所在抛物线的函数表达式；
(2)点E在缆索上，，且，，求的长．
【答案】(1)；
(2)的长为．
【分析】本题考查了二次函数的应用，待定系数法求二次函数解析式，根据题意求得函数解析式是解题的关键．
（1）根据题意设缆索所在抛物线的函数表达式为，把代入求解即可；
（2）根据轴对称的性质得到缆索所在抛物线的函数表达式为，由，把代入求得，，据此求解即可．
【详解】（1）解：由题意得顶点P的坐标为，点A的坐标为，
设缆索所在抛物线的函数表达式为，
把代入得，
解得，
∴缆索所在抛物线的函数表达式为；
（2）解：∵缆索所在抛物线与缆索所在抛物线关于y轴对称，
∴缆索所在抛物线的函数表达式为，
∵，
∴把代入得，，
解得，，
∴或，
∵，
∴的长为．
21．（2024·广东·模拟预测）素材一：秦、汉时期是中国古代桥梁的创建发展时期，此时期创造了以砖石为材料主体的拱券结构，为后来拱桥的出现创造了先决条件．如图（1）是位于某市中心的一座大桥，已知该桥的桥拱呈抛物线形．在正常水位时测得桥拱处水面宽度为40米，桥拱最高点到水面的距离为10米．
素材二：在正常水位时，一艘货船在水面上航行，已知货船的宽为16米，露出水面的高为7米．四边形为矩形，．现以点O为原点，以所在直线为x轴建立如图（2）所示的平面直角坐标系，将桥拱抽象为一条抛物线．
(1)求此抛物线的解析式．
(2)这艘货船能否安全过桥？
(3)受天气影响，水位上升0.5米，若货船露出水面的高度不变，此时该货船能否安全过桥？
【答案】(1)
(2)该船能安全通过
(3)此时该货船能安全过桥
【分析】本题考查了二次函数的应用，平移的性质，待定系数法求二次函数的解析式，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
（1）先根据经过，设抛物线的解析式为，再把代入进行计算，即可作答．
（2）先求出点D的横坐标，再代入，得出，即可作答．
（3）依题意，得平移后抛物线的解析式为，把代入，进行计算，即可作答．
【详解】（1）由题易知，，抛物线的顶点为点
设抛物线的解析式为，
将分别代入，
得
解得
∴抛物线的解析式为；
（2）由题易知，点D的横坐标为，
把代入，
得
∵，
∴该船能安全通过．
（3）由题易知，水位上升米，相当于将抛物线向下平移个单位长度，
∴平移后抛物线的解析式为
把代入，
得．
∵，
∴此时该货船能安全过桥
22．（2024·湖南·模拟预测）某校组织九年级学生前往某蔬菜基地参观学习，该蔬菜基地欲修建一顶大棚．如图，大棚跨度，拱高．
同学们讨论出两种设计方案：
方案一，设计成圆弧型，如图1，已知圆心O，过点O作于点D交圆弧于点C．连接．
方案二，设计成抛物线型，如图2，以所在直线为x轴，线段的垂直平分线为y轴建立平面直角坐标系．
(1)求方案一中圆的半径；
(2)求方案二中抛物线的函数表达式；
(3)为扩大大概的空间，将大棚用1米高的垂直支架支撑起来，即．在大棚内需搭建高的植物攀爬竿，即，于点P，于点Q，与交于点K．请问哪种设计的种植宽度要大些 （不考虑种植间距等其他问题，且四边形是矩形）
【答案】(1)
(2)
(3)方案一中的种植宽度要大些
【分析】本题考查二次函数与圆的综合，涉及垂径定理、勾股定理、待定系数法求二次函数的解析式，求得抛物线的函数表达式是解答的关系．
（1）根据垂径定理和勾股定理求解即可；
（2）利用待定系数法求解抛物线的函数表达式即可；
（3）根据题意，分别求得两个方案中的长，然后比较大小可得结论．
【详解】（1）解：如图1，设圆的半径为，
∵，，
∴，
在中，，
由勾股定理得，解得，
即圆的半径为；
（2）解：根据题意，，，，
设该抛物线的函数表达式为，
将点代入中，得，解得，
∴该抛物线的函数表达式为；
（3）解：如图1，连接，
由题意，，，，，
在中，，，
由勾股定理得，
∴；
如图4，由题意，点H和点G的纵坐标均为1，
将代入得，解得，
∴，
∵，
∴方案一中的种植宽度要大些．
题型06 投球问题
23．（2024·甘肃兰州·中考真题）在校园科技节期间，科普员为同学们进行了水火箭的发射表演，图1是某型号水火箭的实物图，水火箭发射后的运动路线可以看作是一条抛物线．为了解水火箭的相关性能，同学们进一步展开研究．如图2建立直角坐标系，水火箭发射后落在水平地面A处．科普员提供了该型号水火箭与地面成一定角度时，从发射到着陆过程中，水火箭距离地面的竖直高度与离发射点O的水平距离的几组关系数据如下：
水平距离 0 3 4 10 15 20 22 27
竖直高度 0 3.24 4.16 8 9 8 7.04 3.24
(1)根据上表，请确定抛物线的表达式；
(2)请计算当水火箭飞行至离发射点O的水平距离为时，水火箭距离地面的竖直高度．
【答案】(1)抛物线的表达式
(2)水火箭距离地面的竖直高度米
【分析】本题主要考查二次函数的性质，
根据题意可设抛物线的表达式，结合体图标可知抛物线的顶点坐标为，代入求解即可；
由题意知，代入抛物线的表达式即可求得水火箭距离地面的竖直高度．
【详解】（1）解：根据题意可知抛物线过原点，设抛物线的表达式，
由表格得抛物线的顶点坐标为，则，解得，
则抛物线的表达式，
（2）解：由题意知，则，
那么，水火箭距离地面的竖直高度米．
24．（2024·河南·中考真题）从地面竖直向上发射的物体离地面的高度满足关系式，其中是物体运动的时间，是物体被发射时的速度．社团活动时，科学小组在实验楼前从地面竖直向上发射小球．
(1)小球被发射后_________时离地面的高度最大（用含的式子表示）．
(2)若小球离地面的最大高度为，求小球被发射时的速度．
(3)按（2）中的速度发射小球，小球离地面的高度有两次与实验楼的高度相同．小明说：“这两次间隔的时间为．”已知实验楼高，请判断他的说法是否正确，并说明理由．
【答案】(1)
(2)
(3)小明的说法不正确，理由见解析
【分析】本题考查了二次函数的应用，解题的关键是：
（1）把函数解析式化成顶点式，然后利用二次函数的性质求解即可；
（2）把，代入求解即可；
（3）由（2），得，把代入，求出t的值，即可作出判断.
【详解】（1）解：
，
∴当时，h最大，
故答案为：；
（2）解：根据题意，得
当时，，
∴，
∴（负值舍去）；
（3）解：小明的说法不正确．
理由如下：
由（2），得，
当时，，
解方程，得，，
∴两次间隔的时间为，
∴小明的说法不正确．
25．（2024·江西·中考真题）如图，一小球从斜坡O点以一定的方向弹出球的飞行路线可以用二次函数刻画，斜坡可以用一次函数刻画，小球飞行的水平距离x（米）与小球飞行的高度y（米）的变化规律如下表：
x 0 1 2 m 4 5 6 7 …
y 0 6 8 n …
(1)①______，______；
②小球的落点是A，求点A的坐标．
(2)小球飞行高度y（米）与飞行时间t（秒）满足关系．
①小球飞行的最大高度为______米；
②求v的值．
【答案】(1)①3，6；②；
(2)①8，②
【分析】本题主要考查二次函数的应用以及从图象和表格中获取数据，
（1）①由抛物线的顶点坐标为可建立过于a，b的二元一次方程组，求出a，b的值即可；②联立两函数解析式求解，可求出交点A的坐标；
（2）①根据第一问可知最大高度为8米；
②将小球飞行高度与飞行时间的函数关系式化简为顶点式即可求得v值．
【详解】（1）解：①根据小球飞行的水平距离x（米）与小球飞行的高度y（米）的变化规律表可知：抛物线顶点坐标为，
∴，
解得：，
∴二次函数解析式为，
当时，，
解得：或（舍去），
∴，
当时，，
故答案为：3，6．
②联立得：，
解得：或 ，
∴点A的坐标是，
（2）①由题干可知小球飞行最大高度为8米，
故答案为：8；
②，
则，
解得（负值舍去）．
26．（2023·河南·中考真题）小林同学不仅是一名羽毛球运动爱好者，还喜欢运用数学知识对羽毛球比赛进行技术分析，下面是他对击球线路的分析．
如图，在平面直角坐标系中，点A，C在x轴上，球网与y轴的水平距离，，击球点P在y轴上．若选择扣球，羽毛球的飞行高度与水平距离近似满足一次函数关系；若选择吊球，羽毛球的飞行高度与水平距离近似满足二次函数关系．

(1)求点P的坐标和a的值．
(2)小林分析发现，上面两种击球方式均能使球过网．要使球的落地点到C点的距离更近，请通过计算判断应选择哪种击球方式．
【答案】(1)，，
(2)选择吊球，使球的落地点到C点的距离更近
【分析】（1）在一次函数上，令，可求得，再代入即可求得的值；
（2）由题意可知，令，分别求得，，即可求得落地点到点的距离，即可判断谁更近．
【详解】（1）解：在一次函数，
令时，，
∴，
将代入中，可得：，
解得：；
（2）∵，，
∴，
选择扣球，则令，即：，解得：，
即：落地点距离点距离为，
∴落地点到C点的距离为，
选择吊球，则令，即：，解得：（负值舍去），
即：落地点距离点距离为，
∴落地点到C点的距离为，
∵，
∴选择吊球，使球的落地点到C点的距离更近．
【点睛】本题考查二次函数与一次函数的应用，理解题意，求得函数解析式是解决问题的关键．
27．（2023·河北·中考真题）嘉嘉和淇淇在玩沙包游戏．某同学借此情境编制了一道数学题，请解答这道题．
如图，在平面直角坐标系中，一个单位长度代表1m长．嘉嘉在点处将沙包（看成点）抛出，并运动路线为抛物线的一部分，淇淇恰在点处接住，然后跳起将沙包回传，其运动路线为抛物线的一部分．

(1)写出的最高点坐标，并求a，c的值；
(2)若嘉嘉在x轴上方的高度上，且到点A水平距离不超过的范围内可以接到沙包，求符合条件的n的整数值．
【答案】(1)的最高点坐标为，，；
(2)符合条件的n的整数值为4和5．
【分析】（1）利用顶点式即可得到最高点坐标；点在抛物线上，利用待定系数法即可求得a的值；令，即可求得c的值；
（2）求得点A的坐标范围为，求得n的取值范围，即可求解．
【详解】（1）解：∵抛物线，
∴的最高点坐标为，
∵点在抛物线上，
∴，解得：，
∴抛物线的解析式为，令，则；
（2）解：∵到点A水平距离不超过的范围内可以接到沙包，
∴点A的坐标范围为，
当经过时，，
解得；
当经过时，，
解得；
∴
∴符合条件的n的整数值为4和5．
【点睛】本题考查了二次函数的应用，联系实际，读懂题意，熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征是解题的关键．
28．（2023·浙江温州·中考真题）一次足球训练中，小明从球门正前方的A处射门，球射向球门的路线呈抛物线．当球飞行的水平距离为时，球达到最高点，此时球离地面．已知球门高为2.44m，现以O为原点建立如图所示直角坐标系．

(1)求抛物线的函数表达式，并通过计算判断球能否射进球门（忽略其他因素）．
(2)对本次训练进行分析，若射门路线的形状、最大高度均保持不变，则当时他应该带球向正后方移动多少米射门，才能让足球经过点O正上方2.25m处？
【答案】(1)，球不能射进球门
(2)当时他应该带球向正后方移动1米射门
【分析】（1）根据建立的平面直角三角坐标系设抛物线解析式为顶点式，代入A点坐标求出a的值即可得到函数表达式，再把代入函数解析式，求出函数值，与球门高度比较即可得到结论；
（2）根据二次函数平移的规律，设出平移后的解析式，然后将点代入即可求解．
【详解】（1）解：由题意得：抛物线的顶点坐标为，
设抛物线解析式为，
把点代入，得，
解得，
∴抛物线的函数表达式为，
当时，，
∴球不能射进球门；
（2）设小明带球向正后方移动米，则移动后的抛物线为，
把点代入得，
解得（舍去），，
∴当时他应该带球向正后方移动1米射门．
【点睛】此题考查了二次函数的应用，待定系数法求函数解析式、二次函数图象的平移等知识，读懂题意，熟练掌握待定系数法是解题的关键．
题型07 喷水问题
29．（2023·甘肃兰州·中考真题）一名运动员在高的跳台进行跳水，身体（看成一点）在空中的运动轨迹是一条抛物线，运动员离水面的高度与离起跳点A的水平距离之间的函数关系如图所示，运动员离起跳点A的水平距离为时达到最高点，当运动员离起跳点A的水平距离为时离水面的距离为．

(1)求y关于x的函数表达式；
(2)求运动员从起跳点到入水点的水平距离的长．
【答案】(1)y关于x的函数表达式为；
(2)运动员从起跳点到入水点的水平距离的长为．
【分析】（1）由题意得抛物线的对称轴为，经过点，，利用待定系数法即可求解；
（2）令，解方程即可求解．
【详解】（1）解：由题意得抛物线的对称轴为，经过点，，
设抛物线的表达式为，
∴，解得，
∴y关于x的函数表达式为；
（2）解：令，则，
解得（负值舍去），
∴运动员从起跳点到入水点的水平距离的长为．
【点睛】本题考查了二次函数在实际问题中的应用，数形结合并熟练掌握运用待定系数法求抛物线的解析式是解题的关键．
30．（2023·安徽·一模）某公园要在小广场建造一个喷泉景观．在小广场中央O处垂直于地面安装一个高为1.25米的花形柱子，安置在柱子顶端A处的喷头向外喷水，水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下，且在过的任一平面上抛物线路径如图1所示，为使水流形状较为美观，设计成水流在距的水平距离为1米时达到最大高度，此时离地面2.25米．
(1)以点O为原点建立如图2所示的平面直角坐标系，水流到水平距离为x米，水流喷出的高度为y米，求出在第一象限内的抛物线解析式（不要求写出自变量的取值范围）；
(2)张师傅正在喷泉景观内维修设备期间，喷水管意外喷水，但是身高1.76米的张师傅却没有被水淋到，此时他离花形柱子的距离为d米，求d的取值范围；
(3)为了美观，在离花形柱子4米处的地面B、C处安装射灯，射灯射出的光线与地面成角，如图3所示，光线交汇点P在花形柱子的正上方，其中光线所在的直线解析式为，求光线与抛物线水流之间的最小垂直距离．
【答案】(1)
(2)
(3)米
【分析】（1）根据题意得到第一象限内的抛物线的顶点坐标，将抛物线设成顶点式，再将点坐标代入即可求出第一象限内的抛物线解析式；
（2）直接令，解方程求出的值，再根据函数的图象和性质，求出时的取值范围即可；
（3）先作辅助线，作出直线的平行线，使它与抛物线相切于点，然后设出直线的解析式，联立直线与抛物线解析式，利用相切，方程只有一个解，解出直线的解析式，从而得到直线与轴交点，最后利用锐角三角函数求出直线与直线之间的距离．
【详解】（1）解：根据题意第一象限内的抛物线的顶点坐标为，，
设第一象限内的抛物线解析式为，
将点代入物线解析式，
，
解得，
第一象限内的抛物线解析式为；
（2）解：根据题意，令，
即，
解得，，
，抛物线开口向下，
当时，，
的取值范围为；
（3）解：作直线的平行线，使它与抛物线相切于点，分别交轴，轴于点，，过点，作，垂足为，如图所示，
，
设直线的解析式为，
联立直线与抛物线解析式，
，
整理得，
直线与抛物线相切，
方程只有一个根，
，
解得，
直线的解析式为，
令，则，
，
，
即，
射灯射出的光线与地面成角，
，
，
，
，
光线与抛物线水流之间的最小垂直距离为米．
【点睛】本题考查二次函数的应用，解直角三角形，一次函数的平移与性质，直线和抛物线相切等知识，关键是求抛物线解析式．
31．（2024·湖北武汉·模拟预测）某广场有一圆形喷泉池的中央安装了一个喷水装置，水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下，通过调节喷水装置的高度，从而实现喷出水柱竖直方向的升降，但不改变水柱的形状．为了美观，在半径为米的喷泉池四周种植了一圈宽度均相等的花卉．设水流离池底的高度为（单位：米），距喷水装置的水平距离为（单位：米）．如图所示，以喷水装置所在直线为轴，以池底水平线为轴建立平面直角坐标系．如表是喷水口最低时水流高度和水平距离之间的几组数据：
/米
/米
(1)根据上述数据，水流喷出的最大高度为______米，并求出关于x的函数关系式，不要求写出自变量的范围；
(2)为了提高对水资源的利用率，在欣赏喷泉之余也能喷灌四周的花卉，求喷水口升高的最小值；
(3)喷泉口升高的最大值为米，为能充分喷灌四周花卉，花卉的种植宽度至少要为多少米，才能使喷出的水流不至于落在花卉外？
【答案】(1)；
(2)米
(3)至少要为米
【分析】本题主要考查了二次函数的应用，解题时要能读懂题意，灵活运用二次函数的性质解题是关键．
（1）依据题意，根据表格数据可得抛物线的对称轴，得顶点为，可得最大高度；由题意可设抛物线的关系式为，结合过，即可求解；
（2）依据题意，设抛物线向上平移米恰好洒到花卉上，可得此时解析式为，又过点，求出后得出解析式，然后令即可；
（3）依据题意，设喷泉口升高的最大值为米时，解析式为，又过点，从而可得解析式，再令，求出，然后与喷水池半径比较即可得解．
【详解】（1）解：由题意，根据表格数据可得抛物线的对称轴是直线，
顶点为，
水流喷出的最大高度为2米，
故答案为：2；
由题意可设抛物线的关系式为：，
又抛物线过，
，
，
函数关系式为；
（2）解：由题意，设抛物线向上平移米恰好洒到花卉上，
此时解析式为，
由题意此时抛物线过点，
，
，
此时解析式为，
令，
，
喷水口升高的最小值为（米；
（3）解：由题意，喷泉口升高的最大值为米时，此时，
设抛物线解析式为，
又过点，
，
，
解析式为，
令，
，
或（不合题意，舍去），
花卉的种植宽度至少为：（米．
花卉的种植宽度至少要为米，才能使喷出的水流不至于落在花卉外．
题型08 一次函数与反比例函数综合
32．（2024·宁夏银川·三模）某水果生产基地在气温较低时，用装有恒温系统的大棚栽培一种新品种水果，如图是试验阶段的某天恒温系统从开启到关闭后，大棚内的温度与时间之间的函数关系，其中线段、表示恒温系统开启后阶段，双曲线的一部分表示恒温系统关闭阶段．
请根据图中信息解答下列问题：
(1)这个恒温系统设定的恒定温度为多少；
(2)若大棚内的温度低于时，水果会受到伤害，问：这天内有多长时间水果生长不受伤害？
【答案】(1)这个恒温系统设定的恒定温度为：．
(2)这天内有小时水果生长不受伤害．
【分析】本题考查了一次函数、反比例函数的应用，掌握待定系数法是关键．
（1）设线段解析式为，根据图象求出函数解析式，再求出恒定温度即可；
（2）根据图象可知整个图象由三部分组成：一次函数、反比例函数、恒温，根据题意设函数解析式，利用待定系数法即可求出反比例函数解析式；根据各时间段的函数解析式算出时的值，进而即可求解．
【详解】（1）解：设线段解析式为，
∵线段过点，，
∴，
解得，
∴线段的解析式为：
当时，，
∴这个恒温系统设定的恒定温度为：．
（2）解：根据解析（1）可知，线段的解析式为：
当时，，
∴B坐标为，
∴点C的坐标为，
∴线段的解析式为：，
设双曲线解析式为：
∵，
∴，
∴双曲线的解析式为：，
∵当时，，
∴，
∵当时，，
∴，
∴气温不低于的适宜温度是：．
答：这天内有小时水果生长不受伤害．
33．（2024·江苏南京·一模）某公司成功研制出一种产品，经市场调研，年销售量y(万件)与销售单价x(元)之间的关系如图所示，其中曲线为反比例函数图像的一部分，为一次函数图像的一部分．
(1)求y与x之间的函数表达式；
(2)已知每年该产品的研发费用为40万元，该产品成本价为4元/件，设销售产品年利润为w(万元)，当销售单价为多少元时，年利润最大 最大年利润是多少 (说明：年利润年销售利润研发费用)
【答案】(1)
(2)当销售单价为16元时，该产品利润最大，最大利润是104万元
【分析】本题主要考查了一次函数的实际应用，反比例函数的实际应用，二次函数的实际应用，理解题意是解决问题的关键．
（1）分两段：当时，当时，利用待定系数法解答，即可求解；
（2）设利润为w元，分两段：当时，当时，求出w关于x的函数解析式，再根据反比例函数以及二次函数的性质，即可求解．
【详解】（1）解：当时，设y与x的函数关系式为，
∵点在该函数图象上，
∴，
解得：，
∴当时，y与x的函数关系式为，
当时，设y与x的函数关系式为，
，
解得，
即当时，y与x的函数关系式为，
综上所述，y与x的函数关系式为；
（2）当时，，
∵，
∴y随x的增大而增大，
∴w随x的增大而增大，
∴当时，w取得最大值，此时，
当时，，
∴当时，w取得最大值，此时，
∵，
∴当销售单价为16时，该产品利润最大，最大利润是104万元，
答：当销售单价为16元时，该产品利润最大，最大利润是104万元．
34．（2024·安徽·模拟预测）人工智能饮水机在接通电源后开始自动加热，加热过程中，水温与通电的时间成一次函数关系，水温每分钟上升，加热到时，饮水机自动停止加热．在水温开始下降时，水温与通电的时间成反比例函数关系．当水温降至室温时，饮水机再次自动加热，重复上述过程．设某天水温和室温均为，接通电源后，水温与通电时间x（min）之间的关系如图所示．
(1)求a的值；
(2)求加热一次，水温不低于的时间有多长？
【答案】(1)
(2)9分钟
【分析】本题考查了反比例函数和一次函数的图象和性质，解题的关键是熟练掌握用待定系数法求函数解析式的方法和步骤．
（1）先用待定系数法求出反比例函数解析式，再把代入，即可求出a的值；
（2）先求出一次函数解析式，再分别求出时的x的值，即可解答．
【详解】（1）解：设反比函数解析式为，
把代入得：，
解得：，
∴反比例函数解析式为，
把代入得：，
解得：；
（2）解：设一次函数解析式为，
把代入得：
，
解得：，
∴一次函数解析式为，
把代入得：，
解得：，
把代入得：，
解得：，
∴水温不低于的时间有．
题型09 新考法：新考法问题
35．（2024·广东广州·中考真题）一个人的脚印信息往往对应着这个人某些方面的基本特征．某数学兴趣小组收集了大量不同人群的身高和脚长数据，通过对数据的整理和分析，发现身高和脚长之间近似存在一个函数关系，部分数据如下表：
脚长 … …
身高 … …
(1)在图1中描出表中数据对应的点；
(2)根据表中数据，从和中选择一个函数模型，使它能近似地反映身高和脚长的函数关系，并求出这个函数的解析式（不要求写出的取值范围）；
(3)如图2，某场所发现了一个人的脚印，脚长约为，请根据（2）中求出的函数解析式，估计这个人的身高．
【答案】(1)见解析
(2)
(3)
【分析】本题考查了函数的实际应用，正确理解题意，选择合适的函数模型是解题关键．
（1）根据表格数据即可描点；
（2）选择函数近似地反映身高和脚长的函数关系，将点代入即可求解；
（3）将代入代入即可求解；
【详解】（1）解：如图所示：

（2）解：由图可知：随着的增大而增大，
因此选择函数近似地反映身高和脚长的函数关系，
将点代入得：
，
解得：
∴
（3）解：将代入得：
∴估计这个人身高
36．（2024·吉林·中考真题）综合与实践
某班同学分三个小组进行“板凳中的数学”的项目式学习研究，第一小组负责调查板凳的历史及结构特点；第二小组负责研究板凳中蕴含的数学知识：第三小组负责汇报和交流，下面是第三小组汇报的部分内容，请你阅读相关信息，并解答“建立模型”中的问题．
【背景调查】
图①中的板凳又叫“四脚八叉凳”，是中国传统家具，其榫卯结构体现了古人含蓄内敛的审美观．榫眼的设计很有讲究，木工一般用铅笔画出凳面的对称轴，以对称轴为基准向两边各取相同的长度，确定榫眼的位置，如图②所示．板凳的结构设计体现了数学的对称美．
【收集数据】
小组收集了一些板凳并进行了测量．设以对称轴为基准向两边各取相同的长度为，凳面的宽度为，记录如下：
以对称轴为基准向两边各取相同的长度 16.5 19.8 23.1 26.4 29.7
凳面的宽度 115.5 132 148.5 165 181.5
【分析数据】
如图③，小组根据表中x，y的数值，在平面直角坐标系中描出了各点．
【建立模型】
请你帮助小组解决下列问题：
(1)观察上述各点的分布规律，它们是否在同一条直线上？如果在同一条直线上，求出这条直线所对应的函数解析式；如果不在同一条直线上，说明理由．
(2)当凳面宽度为时，以对称轴为基准向两边各取相同的长度是多少？
【答案】(1)在同一条直线上，函数解析式为：
(2)
【分析】本题考查了一次函数的实际应用，待定系数法求函数解析式，已知函数值求自变量，熟练掌握知识点，正确理解题意是解题的关键．
（1）用待定系数法求解即可；
（2）将代入函数解析式，解方程即可．
【详解】（1），
解：设函数解析式为：，
∵当，，
∴，
解得：，
∴函数解析式为：，
经检验其余点均在直线上，
∴函数解析式为，这些点在同一条直线上；
（2）解：把代入得：
，
解得：，
∴当凳面宽度为时，以对称轴为基准向两边各取相同的长度为．
37．（2023·浙江台州·中考真题）【问题背景】
“刻漏”是我国古代的一种利用水流计时的工具．综合实践小组准备用甲、乙两个透明的竖直放置的容器和一根带节流阀（控制水的流速大小）的软管制作简易计时装置．
【实验操作】
综合实践小组设计了如下的实验：先在甲容器里加满水，此时水面高度为30cm，开始放水后每隔10min观察一次甲容器中的水面高度，获得的数据如下表：
流水时间t/min 0 10 20 30 40
水面高度h/cm（观察值） 30 29 28.1 27 25.8
任务1 分别计算表中每隔10min水面高度观察值的变化量．
【建立模型】
小组讨论发现：“，”是初始状态下的准确数据，水面高度值的变化不均匀，但可以用一次函数近似地刻画水面高度h与流水时间t的关系．

任务2 利用时，；时，这两组数据求水面高度h与流水时间t的函数解析式．
【反思优化】
经检验，发现有两组表中观察值不满足任务2中求出的函数解析式，存在偏差．小组决定优化函数解析式，减少偏差．通过查阅资料后知道：t为表中数据时，根据解析式求出所对应的函数值，计算这些函数值与对应h的观察值之差的平方和，记为w；w越小，偏差越小．
任务3 （1）计算任务2得到的函数解析式的w值．
（2）请确定经过的一次函数解析式，使得w的值最小．
【设计刻度】
得到优化的函数解析式后，综合实践小组决定在甲容器外壁设计刻度，通过刻度直接读取时间．
任务4 请你简要写出时间刻度的设计方案．
【答案】任务1：见解析；任务2：；任务3：（1），（2）；任务4：见解析
【分析】任务1：根据表格每隔10min水面高度数据计算即可；
任务2：根据每隔10min水面高度观察值的变化量大约相等，得出水面高度h与流水时间t的是一次函数关系，由待定系数法求解；
任务3：（1）先求出对应时间的水面高度，再按要求求w值；
（2）设，然后根据表格中数据求出此时w的值是关于k的二次函数解析式；由此求出w的值最小时k值即可；
任务4：根据高度随时间变化规律，以相同时间刻画不同高度即可，类似如数轴三要素，有原点、正方向与单位长度．最大量程约为294min可以代替单位长度要素．
【详解】解：任务1：变化量分别为，；；
；；
任务2：设，
∵时，，时，；
∴
∴水面高度h与流水时间t的函数解析式为．
任务3：（1）当时，，
当时，，
当时，，
当时，，
当时，，
∴
．
（2）设，则
．
当时，w最小．
∴优化后的函数解析式为．
任务4：时间刻度方案要点：
①时间刻度的0刻度在水位最高处；
②刻度从上向下均匀变大；
③每0.102cm表示1min（1cm表示时间约为9.8min）．
【点睛】本题主要考查一次函数和二次函数的应用、方差的计算，熟练掌握待定系数法求解析式及一次函数的函数值、二次函数的最值是解题的关键．
38．（2023·山东济南·中考真题）综合与实践
如图1，某兴趣小组计划开垦一个面积为的矩形地块种植农作物，地块一边靠墙，另外三边用木栏围住，木栏总长为．
【问题提出】
小组同学提出这样一个问题：若，能否围出矩形地块？
【问题探究】
小颖尝试从“函数图象”的角度解决这个问题：
设为，为．由矩形地块面积为，得到，满足条件的可看成是反比例函数的图象在第一象限内点的坐标；木栏总长为，得到，满足条件的可看成一次函数的图象在第一象限内点的坐标，同时满足这两个条件的就可以看成两个函数图象交点的坐标．
如图2，反比例函数的图象与直线：的交点坐标为和_________，因此，木栏总长为时，能围出矩形地块，分别为：，；或___________m，__________m．
（1）根据小颖的分析思路，完成上面的填空．
【类比探究】
（2）若，能否围出矩形地块？请仿照小颖的方法，在图2中画出一次函数图象并说明理由．
【问题延伸】
当木栏总长为时，小颖建立了一次函数．发现直线可以看成是直线通过平移得到的，在平移过程中，当过点时，直线与反比例函数的图象有唯一交点．
（3）请在图2中画出直线过点时的图象，并求出的值．
【拓展应用】
小颖从以上探究中发现“能否围成矩形地块问题”可以转化为“与图象在第一象限内交点的存在问题”．
（4）若要围出满足条件的矩形地块，且和的长均不小于，请直接写出的取值范围．
【答案】（1）；4；2；（2）不能围出，理由见解析；（3）图见解析，；（4）
【分析】（1）联立反比例函数和一次函数表达式，求出交点坐标，即可解答；
（2）根据得出，，在图中画出的图象，观察是否与反比例函数图像有交点，若有交点，则能围成，否则，不能围成；
（3）过点作的平行线，即可作出直线的图象，将点代入，即可求出a的值；
（4）根据存在交点，得出方程有实数根，根据根的判别式得出，再得出反比例函数图象经过点，，则当与图象在点左边，点右边存在交点时，满足题意；根据图象，即可写出取值范围．
【详解】解：（1）∵反比例函数，直线：，
∴联立得：，
解得：，，
∴反比例函与直线：的交点坐标为和，
当木栏总长为时，能围出矩形地块，分别为：，；或，．
故答案为：4；2．
（2）不能围出．
∵木栏总长为，
∴，则，
画出直线的图象，如图中所示：
∵与函数图象没有交点，
∴不能围出面积为的矩形；
（3）如图中直线所示，即为图象，
将点代入，得：，
解得；

（4）根据题意可得∶ 若要围出满足条件的矩形地块， 与图象在第一象限内交点的存在问题，
即方程有实数根，
整理得：，
∴，
解得：，
把代入得：，
∴反比例函数图象经过点，
把代入得：，解得：，
∴反比例函数图象经过点，
令，，过点，分别作直线的平行线，
由图可知，当与图象在点A右边，点B左边存在交点时，满足题意；

把代入得：，
解得：，
∴．
【点睛】本题主要考查了反比例函数和一次函数综合，解题的关键是正确理解题意，根据题意得出等量关系，掌握待定系数法，会根据函数图形获取数据．
39．（2023·广西·中考真题）【综合与实践】
有言道：“杆秤一头称起人间生计，一头称起天地良心”．某兴趣小组将利用物理学中杠杆原理制作简易杆秤.小组先设计方案，然后动手制作，再结合实际进行调试，请完成下列方案设计中的任务．
【知识背景】如图，称重物时，移动秤砣可使杆秤平衡，根据杠杆原理推导得：.其中秤盘质量克，重物质量m克，秤砣质量M克，秤纽与秤盘的水平距离为l厘米，秤纽与零刻线的水平距离为a厘米，秤砣与零刻线的水平距离为y厘米．

【方案设计】
目标：设计简易杆秤．设定，，最大可称重物质量为1000克，零刻线与末刻线的距离定为50厘米．
任务一：确定l和a的值．
(1)当秤盘不放重物，秤砣在零刻线时，杆秤平衡，请列出关于l，a的方程；
(2)当秤盘放入质量为1000克的重物，秤砣从零刻线移至末刻线时，杆秤平衡，请列出关于l，a的方程；
(3)根据（1）和（2）所列方程，求出l和a的值．
任务二：确定刻线的位置．
(4)根据任务一，求y关于m的函数解析式；
(5)从零刻线开始，每隔100克在秤杆上找到对应刻线，请写出相邻刻线间的距离．
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)
(5)相邻刻线间的距离为5厘米
【分析】（1）根据题意可直接进行求解；
（2）根据题意可直接代值求解；
（3）由（1）（2）可建立二元一次方程组进行求解；
（4）根据（3）可进行求解；
（5）分别把，，，，，，，，，，代入求解，然后问题可求解．
【详解】（1）解：由题意得：，
∴，
∴；
（2）解：由题意得：，
∴，
∴；
（3）解：由（1）（2）可得：，
解得：；
（4）解：由任务一可知：，
∴，
∴；
（5）解：由（4）可知，
∴当时，则有；当时，则有；当时，则有；当时，则有；当时，则有；当时，则有；当时，则有；当时，则有；当时，则有；当时，则有；当时，则有；
∴相邻刻线间的距离为5厘米．
【点睛】本题主要考查一次函数的应用，解题的关键是理解题意．
40．（2024·山西·模拟预测）项目式学习
项目主题：合理设计 智慧泉源
项目背景：洒水车是城市绿化的生力军，清扫道路，美化市容，降温除尘，方便出行．
如图1，一辆洒水车正在沿着公路行驶（平行于绿化带），为绿化带浇水．数学小组成员想了解洒水车要如何把控行驶路线与绿化带之间的距离，才能保证喷出的水能浇灌到整个绿化带．围绕这个问题，该小组开展了“合理设计 智慧泉源”为主题的项目式学习．
任务一 测量建模
建立如图2所示的平面直角坐标系，可以把洒水车喷出水的上、下边缘抽象为两条抛物线的部分图象，喷水口H离地面竖直高度h为1.2米．上边缘抛物线最高点A离喷水口的水平距离为2米，高出喷水口0.4米．
（1）求上边缘抛物线的函数解析式；
任务二 推理分析
小组成员通过进一步分析发现：当喷头竖直高度调整时，喷头喷出的水柱抛物线形状不发生改变，即下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移得到的，把绿化带横截面抽象为矩形，其水平宽度米，竖直高度米，洒水车到绿化带的距离OD为d米．
（2）求下边缘抛物线与x轴交点B的坐标；
（3）若米，则洒水车行驶时喷出的水能否浇灌到整个绿化带？请说明理由．
【答案】（1）；（2）；（3）洒水车行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带，理由见解析
【分析】本题考查了二次函数的实际应用，矩形的性质，求二次函数的解析式，二次函数的图象性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
（1）结合为上边缘抛物线的顶点，设，再把代入计算，即可作答．
（2）结合二次函数的对称性得出点的对称点为，把代入，求出，因为下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移4米得到的，所以点B的坐标为；
（3）因为二次函数的性质以及矩形的性质得点F的坐标为，代入得，即可作答．
【详解】解：（1）由题意得：为上边缘抛物线的顶点，
设，
又∵抛物线过点，
，
解得：，
∴上边缘抛物线的函数解析式为．
（2）∵对称轴为直线，
∴点的对称点为，
∴下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移4米得到的，
当时，
解得，（舍去），
∴
∴点B的坐标为；
（3）∵矩形，其水平宽度米，竖直高度米，
∴米，
则（米）
∴点F的坐标为，
当时，，
当时，y随x的增大而减小，
∴洒水车行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带．
41．（2024·湖北武汉·模拟预测）现安装一台可旋转灌溉的喷水器以灌溉某花田．如图1，其中点P为原装喷头的喷水口，点N处是喷头与支架的接口，喷水口的高度可以通过连杆进行调整（点P到地面的距离最大可达2米），已知点P、N、M在同一直线上．喷水口喷出的水柱最外层的形状可近似看作是抛物线的一部分，且通过上下高度调整后，喷出的水柱形状仍与原来相同．（接头处的间隙忽略不计）如图2，在初始高度下，测得喷水口点P到水平地面的距离为1米，喷射距离为10米，并发现喷头在旋转过程中，喷出的水柱外端恰好碰到距离连杆所在直线5米处一片树叶的最低处，并测得该树叶的最低处距离水平地面2米．现将原来的花田改造成一块由6块全等的等边三角形与1个正六边形组成的多边形花田（如图3），已知AB＝m．同时，这款喷水器还有一款“S”型号的喷头可供更换（如图4），并且．已知的边，，其中与地面平行，与地面垂直．更换喷头后，喷出的水柱形状仍与原来相同．
(1)在图2中建立合适的直角坐标系，求喷出水柱最外层抛物线的函数表达式；
(2)若使用原装喷头的喷水器，要求通过旋转后，洒水区域能覆盖整块多边形花田，那么喷水口P至少需要升高多少米？
(3)园艺师计划分别在的中点处种植一棵高为米的树．通过计算，判断种植后是否会影响任务2中的灌溉要求．若有影响，利用计算分析，设计出通过调节喷水器的高度、更换喷头等方式，能够达到多边形花田灌溉要求的方案．
【答案】(1)
(2)喷水口P至少需要升高米；
(3)当时，使用“S”型号的喷头可达到多边形花田灌溉要求．
【分析】（1）以所在直线为y轴，以地平面所在直线为x轴，建立平面直角坐标系，如图，设抛物线解析式为代入， 解答即可；
（2）连接，交于O点，O为正六边形的中心，证得四边形为菱形， 米，米，米，同理可得米， 推导出喷水器应在O处， 且喷洒水平距离为11米， 设喷水口P至少需要升高m米，抛物线解析式变为过点， 代入解得即可得解；
（3）首先推导出种植后会影响任务2中的灌溉要求，更换喷头后的抛物线可看作原抛物线向右平移，向上平移设更换喷头后的抛物线解析式为 ，点P到地面的距离最大可达2米，当 时，即 ，解得进而得解．
本题考查了正多边形和圆，二次函数的应用，等边三角形的性质，中点四边形，坐标与图形变化—旋转，熟练掌握二次函数的性质，理解题意，确定喷枪放置的位置是解题的关键．
【详解】（1）解：以所在直线为y轴，以地平面所在直线为x轴，建立平面直角坐标系，如图，
设抛物线解析式为
根据题意可知抛物线过点，得：
解得：
∴抛物线解析式为
（2）解：连接，交于O点，O为正六边形的中心，如图：
为等边三角形，
为等边三角形，米，
米，
∴四边形为菱形，
米．
米，
米，
同理可得米，
∵使用原装喷头的喷水器，要求通过旋转后，洒水区域能覆盖整块多边形花田，
∴喷水器应在O处，且喷洒水平距离为11米，设喷水口P至少需要升高m米，
即抛物线解析式变为：
过点，
解得：
∴使用原装喷头的喷水器，要求通过：旋转后，洒水区域能覆盖整块多边形花田，那么喷水口P至少需要升高米；
（3）解：园艺师计划分别在的中点处种植一棵高为3.2米的树，
∵满足任务2的抛物线解析式为：
且米，
(米)，
∴种植后会影响任务2中的灌溉要求，
∵更换喷头后，喷出的水柱形状仍与原来相同，
∴更换喷头后的抛物线可看作原抛物线向右平移，向上平移
的边
∴设更换喷头后的抛物线解析式为：
∵点P到地面的距离最大可达2米，即
∴当时，即
，
解得：
即当时，使用“S”型号的喷头可达到多边形花田灌溉要求．
题型10 新考法：新情景问题
42．（2024·四川南充·中考真题）2024年“五一”假期期间，阆中古城景区某特产店销售A，B两类特产．A类特产进价50元/件，B类特产进价60元/件．已知购买1件A类特产和1件B类特产需132元，购买3件A类特产和5件B类特产需540元．
(1)求A类特产和B类特产每件的售价各是多少元？
(2)A类特产供货充足，按原价销售每天可售出60件．市场调查反映，若每降价1元，每天可多售出10件（每件售价不低于进价）．设每件A类特产降价x元，每天的销售量为y件，求y与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围．
(3)在（2）的条件下，由于B类特产供货紧张，每天只能购进100件且能按原价售完．设该店每天销售这两类特产的总利润为w元，求w与x的函数关系式，并求出每件A类特产降价多少元时总利润w最大，最大利润是多少元？（利润＝售价－进价）
【答案】(1)A类特产的售价为60元/件，B类特产的售价为72元/件
(2)（）
(3)A类特产每件售价降价2元时，每天销售利润最犬，最大利润为1840元
【分析】本题主要考查一元一次方程的应用、函数关系式和二次函数的性质，
根据题意设每件A类特产的售价为x元，则每件B类特产的售价为元，进一步得到关于x的一元一次方程求解即可；
根据降价1元，每天可多售出10件列出函数关系式，结合进价与售价，且每件售价不低于进价得到x得取值范围；
结合（2）中A类特产降价x元与每天的销售量y件，得到A类特产的利润，同时求得B类特产的利润，整理得到关于x的二次函数，利用二次函数的性质求解即可．
【详解】（1）解：设每件A类特产的售价为x元，则每件B类特产的售价为元．
根据题意得．
解得．
则每件B类特产的售价（元）．
答：A类特产的售价为60元/件，B类特产的售价为72元/件．
（2）由题意得
∵A类特产进价50元/件，售价为60元/件，且每件售价不低于进价
∴．
答：（）．
（3）
．
∴当时，w有最大值1840．
答：A类特产每件售价降价2元时，每天销售利润最大，最大利润为1840元．
43．（2024·广东潮州·一模）“买新能源车到底划不划算？”是消费者关心的话题，某校数学小组对市场上配置相近的某款燃油车和某款新能源车做对比调查，发现：总费用（以使用6年为例）购车费用预计6年后的车价购置税保养费用保险费用油费或电费．具体数据如题21表所示：
车型 购车费用 购置税 年均保养费用 年均保险费用 预计6年后的车价
某款燃油车 17万元 17000元 1000元 4000元 69000元
某款新能源车 20万元 0元 500元 5000元 49000元
此外，每公里燃油车的油费比新能源车的电费多元．当油费和电费均为100元时，新能源车的行驶路程是燃油车的4倍．
(1)燃油车每公里油费与新能源车每公里电费分别是多少元？
(2)设平均每年的行驶路程为公里，使用燃油车6年的总费用为元，使用新能源车6年的总费用为元，分别写出和关于的表达式，并说明怎样选择更划算．
【答案】(1)新能源车每公里电费为元，燃油车每公里油费为元
(2)，，当每年行驶路程大于10000公里时，选择新能源车更划算；当每年行驶路程等于10000公里时，两款车的总费用一样；当每年行驶路程小于10000公里时，选择燃油车更划算
【分析】本题考查了分式方程的应用，一次函数的应用等；
（1）等量关系式：每公里燃油车的油费每公里新能源车的电费 元，电费均为100元时，新能源车的行驶路程燃油车的行驶路程，据此列出方程，即可求解；
（2）等量关系式：使用燃油车6年的总费用购车费用购置税年均保养费用年均保险费用预计6年后的车价，使用新能源车6年的总费用购车费用购置税年均保养费用年均保险费用预计6年后的车价，据此列出来，进行比较运算，即可求解；
理解题意，找出等量关系式是解题的关键．
【详解】（1）解：设新能源车每公里电费为元，则燃油车每公里油费为元，
由题意得：，
解得，
经检验：是原分式方程的解，且符合题意，
；
答：新能源车每公里电费为元，燃油车每公里油费为元．
（2）解：由题意知
，
；
①当时，
，
解得，
此时，选择新能源车更划算；
②当时，
，
解得，
此时，两款车总费用一样；
③当时，
，
解得，
此时，选择燃油车更划算；
答：当每年行驶路程大于10000公里时，选择新能源车更划算；当每年行驶路程等于10000公里时，两款车的总费用一样；当每年行驶路程小于10000公里时，选择燃油车更划算．
44．（2024·山东潍坊·中考真题）2024年6月，某商场为了减少夏季降温和冬季供暖的能源消耗，计划在商场的屋顶和外墙建造隔热层，其建造成本（万元）与隔热层厚度满足函数表达式：．预计该商场每年的能源消耗费用（万元）与隔热层厚度满足函数表达式：，其中．设该商场的隔热层建造费用与未来8年能源消耗费用之和为（万元）．
(1)若万元，求该商场建造的隔热层厚度；
(2)已知该商场未来8年的相关规划费用为（万元），且，当时，求隔热层厚度的取值范围．
【答案】(1)该商场建造的隔热层厚度为
(2)
【分析】本题主要考查了一次函数的性质，二次函数的性质以及解一元二次方程，掌握一次函数的性质，二次函数的性质以及解一元二次方程，弄清楚题意是解题的关键．
（1）根据题意可以得出，再令，解一元二次方程求解即可；
（2）将（1）中代入，可得出与的关系式，然后利用一次函数的性质，即可求出的取值范围．
【详解】（1）由题意得：
整理得，
当时，则，
解得：．
，
不符合题意，舍去，
该商场建造的隔热层厚度为6．
（2）由（1）得，
，
．
，
随的增大而增大，
当时，，解得；
当时，，解得；
的取值范围为．
45．（2024·河南漯河·一模）某二手车管理站，用一种一氧化碳（）检测仪测量二手家用汽油小轿车尾气中一氧化碳的含量，这种检测仪的电路图如图1所示，其工作原理为：当尾气中一氧化碳的浓度增加，气敏电阻的阻值变小，电流随之增大，即所显示的一氧化碳含量就越高．已知气敏电阻（）的阻值随着尾气中一氧化碳的含量（）变化的关系图象如图2所示，（）为定值电阻，电源电压恒定不变．
(1)请根据图2，判断气敏电阻（）与尾气中一氧化碳的含量（）之间成________函数，它的函数解析式为________；
(2)已知该管理站对家用汽油小轿车尾气中一氧化碳检测数据的标准要求为不高于．若某辆小轿车的尾气检测阻值为，则该小轿车尾气中一氧化碳的含量是否达到标准；
(3)该管理站对（2）中的小汽车进行维修，其尾气中一氧化碳的含量降至，此时气敏电阻的阻值与维修前相比会如何变化？升高或降低多少？
【答案】(1)反比例；
(2)该小轿车尾气中一氧化碳的含量是不达到标准
(3)此时气敏电阻的阻值与维修前相比会升高，升高
【分析】本题主要考查了反比例函数的实际应用：
（1）观察函数图象可知是反比例函数，然后利用待定系数法求解即可；
（2）求出当时，，即可得到结论；
（3）求出当时，，即可得到结论．
【详解】（1）解：由函数图象可知，气敏电阻（）与尾气中一氧化碳的含量（）之间成反比例函数，
设，
把代入中得，
∴，
故答案为：反比例；；
（2）解：在中，当时，，解得，
∵，
∴该小轿车尾气中一氧化碳的含量是不达到标准；
（3）解：在中，当时，，
∴，
∴此时气敏电阻的阻值与维修前相比会升高，升高．
题型11 新考法：跨学科问题
46．（2021·浙江台州·中考真题）电子体重科读数直观又便于携带，为人们带来了方便．某综合实践活动小组设计了简易电子体重秤：制作一个装有踏板（踏板质量忽略不计）的可变电阻R1， R1与踏板上人的质量m之间的函数关系式为R1＝km＋b（其中k，b为常数，0≤m≤120），其图象如图1所示；图2的电路中，电源电压恒为8伏，定值电阻R0的阻值为30欧，接通开关，人站上踏板，电压表显示的读数为U0 ，该读数可以换算为人的质量m，
温馨提示：
①导体两端的电压U，导体的电阻R，通过导体的电流I，满足关系式I＝；
②串联电路中电流处处相等，各电阻两端的电压之和等于总电压．
（1）求k，b的值；
（2）求R1关于U0的函数解析式；
（3）用含U0的代数式表示m；
（4）若电压表量程为0~6伏，为保护电压表，请确定该电子体重秤可称的最大质量．
【答案】（1）；（2）；I（3）；（4）该电子体重秤可称的最大质量为115千克．
【分析】（1）根据待定系数法，即可求解；
（2）根据“串联电路中电流处处相等，各电阻两端的电压之和等于总电压”，列出等式，进而即可求解；
（3）由R1＝m＋240，，即可得到答案；
（4）把时，代入，进而即可得到答案．
【详解】解：（1）把（0，240），（120，0）代入R1＝km＋b，得，解得：；
（2）∵，
∴；
（3）由（1）可知：，
∴R1＝m＋240，
又∵，
∴=m＋240，即：；
（4）∵电压表量程为0~6伏，
∴当时，
答：该电子体重秤可称的最大质量为115千克．
【点睛】本题主要考查一次函数与反比例函数的实际应用，熟练掌握待定系数法，是解题的关键．
47．（2024·湖南·模拟预测）物理实验课上，小明为探究电流与接入电路的滑动变阻器之间的关 系，设计如图所示的电路图．已知电源的电压保持不变，小灯泡的电阻为．改变接入电路的滑动变阻器的电阻， 电流表的读数即电流发生改变．当接入电路的滑动变阻器的电阻为时，电流表的读数为．
(1)求电路中的电阻关于接入电路的滑动变阻器的电阻之间的函数关系，
(2)求电流关于电路中的电阻的函数关系；
(3)如果电流表的读数为，则接入电路的滑动变阻器的电阻为多少？
【答案】(1)
(2)
(3)接入电路的滑动变阻器的电阻为．
【分析】本题考查了反比例函数应用，掌握串联电路的特点以及欧姆定理是解题关键．
（1）根据串联电路的特点可知，灯泡与滑动变阻器串联接入电路，则电路中的总电阻等于各部分的电阻之和，即可求解；
（2）由欧姆定律可知，，进而得出电源的电压为，即可求解；
（3）将代入（2）所求解析式，即可求解．
【详解】（1）解：由题意可知，灯泡与滑动变阻器串联接入电路，则电路中的总电阻等于各部分的电阻之和，
电路中的电阻；
（2）解：由欧姆定律可知，，
由题意可知，小灯泡的电阻为，当接入电路的滑动变阻器的电阻为时，电流表的读数为，
，解得：，
即电源的电压为，
电流关于电路中的电阻的函数关系为；
（3）解：电流表的读数为，
，
解得：，
答：接入电路的滑动变阻器的电阻为．
48．（2023·四川达州·中考真题）【背景】在一次物理实验中，小冉同学用一固定电压为的蓄电池，通过调节滑动变阻器来改变电流大小，完成控制灯泡（灯丝的阻值）亮度的实验（如图），已知串联电路中，电流与电阻之间关系为，通过实验得出如下数据：
… 1 3 4 6 …
… 4 3 2.4 2 …

(1)_______，_______；
(2)【探究】根据以上实验，构建出函数，结合表格信息，探究函数的图象与性质．
①在平面直角坐标系中画出对应函数的图象；

②随着自变量的不断增大，函数值的变化趋势是_________．
(3)【拓展】结合（2）中函数图象分析，当时，的解集为________．
【答案】(1)2，
(2)①见解析；②函数值逐渐减小
(3)或
【分析】（1）根据解析式求解即可；
（2）①根据表格数据，描点连线画出函数图象；②根据图象可得出结论；
（3）求出第一象限的交点坐标，结合图象可得结论．
【详解】（1）解：由题意，，
当时，由得，
当时，，
故答案为：2，；
（2）解：①根据表格数据，描点、连线得到函数的图象如图：

②由图象可知，随着自变量的不断增大，函数值逐渐减小，
故答案为：函数值逐渐减小；
（3）解：当时，，当时，，
∴函数与函数的图象交点坐标为，，
在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，如图，

由图知，当或时，，
即当时，的解集为或，
故答案为：或．
【点睛】本题考查函数的图象与性质、描点法画函数图象、两个函数图象的交点问题，根据表格画出函数的图象，并利用数形结合思想探究函数性质是解答的关键．
49．（2024·河南漯河·二模）综合与实践：如何称量一个空矿泉水瓶的质量？
如图是一架自制天平，支点O固定不变，左侧托盘固定在点A处，右侧托盘（点P）可以在横梁段滑动（点P不与B，C重合）．已知，，砝码的质量为．根据杠杆原理，平衡时：左盘砝码质量右盘物体质量（不计托盘与横梁质量）．
(1)设右侧托盘中放置物体的质量为，的长为，求y关于x的函数表达式．
(2)由于一个空的矿泉水瓶太轻无法称量，小组进行如下操作：左侧托盘放置砝码，右侧托盘的点P由点C向点B滑动，向空瓶中加入的水后，发现点P移动到的长为时，天平平衡．求这个空矿泉水瓶的质量．
【答案】(1)
(2)这个空矿泉水瓶的质量为
【分析】本题考查反比例函数的应用．根据杠杆平衡的条件找到相等关系并合理使用是解决本题的关键．
（1）根据左盘砝码重量右盘物体重量，把相关数值代入后整理可得y与x的关系式；
（2）设空瓶的质量为，加水后的质量均为，根据左盘砝码重量右盘物体重量列出一元一次方程求解即可得到空瓶的质量．
【详解】（1）解：∵左盘砝码重量右盘物体重量，右侧托盘中放置物体的质量为，的长为，砝码的质量是，，
∴，
∴．
∵，
∴，
∵点P可以在横梁段滑动，
∴．
即．
答：y关于x的函数表达式为：；
（2）解：设空矿泉水瓶的质量为mg．
根据题意，得，
解得．
这个空矿泉水瓶的质量为．
题型12 新考法：与现实有关的热考问题
50．（2024·黑龙江大庆·中考真题）“尔滨”火了，带动了黑龙江省的经济发展，农副产品也随之畅销全国．某村民在网上直播推销某种农副产品，在试销售的天中，第天且为整数)的售价为(元千克)．当时，；当时，．销量(千克)与的函数关系式为，已知该产品第天的售价为元千克，第天的售价为元千克，设第天的销售额为(元)．
(1) ，_____；
(2)写出第天的销售额与之间的函数关系式；
(3)求在试销售的天中，共有多少天销售额超过元？
【答案】(1)，
(2)
(3)在试销售的天中，共有天销售额超过元
【分析】本题考查了一次函数与二次函数的综合应用；
（1）待定系数法求解析式，即可求解；
（2）根据销售额等于销量乘以售价，分段列出函数关系式，即可求解；
（3）根据题意，根据，列出方程，解方程，即可求解．
【详解】（1）解：依题意，将，代入，
∴
解得：
∴
故答案为：，．
（2）解：依题意，
当时，
当时，
∴

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