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第三章 函数
重难点03 二次函数的最值问题
（2种命题预测+19种题型汇总+专题训练+10种解题方法）
【题型汇总】
类型一 代数最值
题型01 定轴定区间最值问题
解题方法：对于二次函数在m≤x≤n上的最值问题(其中 a、b、c、m和n均为定值，表示y的最大值，表示y的最小值.
1）若自变量x为全体实数，如图①，函数在x=时，取到最小值，无最大值.
2）若m≤≤n，n时，如图②，当，当
3) 若m≤≤n，n时，如图③，当，当
4) 若m≤x≤n＜时，如图④，当，当
5) 若＜m≤x≤n时，如图⑤，当，当
1．（2023·辽宁大连·中考真题）已知抛物线，则当时，函数的最大值为（ ）
A． B． C．0 D．2
【答案】D
【分析】把抛物线化为顶点式，得到对称轴为，当时，函数的最小值为，再分别求出和时的函数值，即可得到答案．
【详解】解：∵，
∴对称轴为，当时，函数的最小值为，
当时，，当时，，
∴当时，函数的最大值为2，
故选：D
【点睛】此题考查了二次函数的最值，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
2．（2024·山东济宁·一模）已知二次函数，若当时，的最大值是3，则的值为 ．
【答案】3或/或3
【分析】本题考查二次函数的最值问题，分，两种情况，结合二次函数的性质，进行求解即可．
【详解】解：∵，
∴对称轴为直线，
当时，抛物线上的点离对称轴越远，函数值越大，
∵，
∴当时，函数值最大为：，
∴，
当时，抛物线上的点离对称轴越远，函数值越小，
∵，
∴当时，函数有最大值为：，
∴；
故答案为：3或．
3．（2023·江苏宿迁·模拟预测）已知二次函数，当时，y的最小值为，则a的值为 ．
【答案】
【分析】本题主要考查了二次函数的最值问题，根据函数解析式得到二次函数开口向下，对称轴为直线，则离对称轴越远函数值越小，即可得到当时，，据此代值计算即可得到答案．
【详解】解：∵二次函数解析式为，
∴二次函数开口向下，对称轴为直线，
∴离对称轴越远函数值越小，
∵当时，y的最小值为，
∴当时，，
∴，
解得，
故答案为：．
4．（2020·浙江杭州·模拟预测）已知二次函数的图象经过三点．
（1）求抛物线解析式；
（2）当时，求函数值y的范围；
【答案】（1）y=x2-2x-3；（2）-4≤y＜5
【分析】（1）把三点的坐标代入函数的解析式，得出方程组，求出方程组的解即可；
（2）先得出抛物线的开口方向，对称轴，再结合x的范围得到y的最值．
【详解】解：（1）∵二次函数y=ax2+bx+c的图象经过A（-1，0），B（3，0），C（4，5）三点，
∴，解得：，
∴二次函数的解析式是y=x2-2x-3；
（2）抛物线的对称轴为直线x==1，
1＞0，则开口向上，
又∵，
∴当x=1时，y取最小值，即ymin=-4；
当x=-2时，y取最大值，即ymax=5，
∴y的范围是-4≤y＜5．
【点睛】本题考查了二次函数的顶点，二次函数的性质和用待定系数法求二次函数的解析式等知识点，能熟记二次函数的性质是解此题的关键．
题型02 利用对称轴与图像解决图系关系问题
解题方法：开口方向不确定时，先讨论开口方向;
1）开口向上时，离对称轴越近，函数值越小，离对称轴越远，函数值越大;
2）开口向下时，离对称轴越近，函数值越大，离对称轴越远，函数值越小。
5．（2024·安徽淮南·三模）已知二次函数
（1）若则函数的最大值为 ．
（2）若当时，的最大值为5，则的值为 ．
【答案】 4 1或
【分析】本题考查二次函数的最值问题．熟练掌握二次函数的图象和性质是解题关键．
（1）由题意可知此时二次函数为，再将其变为顶点式即得出答案；
（2）将该抛物线一般式改为顶点式，即得出该抛物线对称轴为直线，再分类讨论当时和当时，结合二次函数的图象和性质求解即可．
【详解】解：（1）当时，该二次函数为，
∵，
∴当时，y有最大值，最大值为．
故答案为：；
（2）∵，
∴该二次函数的对称轴为直线．
当时，抛物线开口向上，
∴当时，y随x的增大而减小，当时，y随x的增大而增大．
∵x轴上到的距离比到的距离大，
∴当时，y有最大值，
∴，
解得：；
当时，抛物线开口向下，
∴当时，y有最大值，最大值为，
∴，
解得：．
综上可知a的值为或．
故答案为：1或．
6．（2024·浙江温州·三模）已知二次函数，当时，y的最小值为，则a的值为（ ）
A．或4 B．4或 C．或4 D．或
【答案】B
【分析】本题考查二次函数的性质、二次函数的最值，熟练掌握二次函数的图象及性质，根据二次函数的性质，在指定的范围内准确求出函数的最小值是解题的关键．
分两种情况讨论：当时，，解得；当时，在，，解得．
【详解】解：的对称轴为直线，
顶点坐标为，
当时，在，函数有最小值，
∵y的最小值为，
∴，
∴；
当时，在，当时，函数有最小值，
∴，
解得；
综上所述：a的值为4或，
故选：B．
7．（2022·广西贺州·中考真题）已知二次函数y=2x2 4x 1在0≤x≤a时，y取得的最大值为15，则a的值为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】D
【分析】先找到二次函数的对称轴和顶点坐标，求出y=15时，x的值，再根据二次函数的性质得出答案．
【详解】解：∵二次函数y=2x2-4x-1=2（x-1）2-3，
∴抛物线的对称轴为x=1，顶点（1，-3），
∵1>0，开口向上，
∴在对称轴x=1的右侧，y随x的增大而增大，
∵当0≤x≤a时，即在对称轴右侧，y取得最大值为15，
∴当x=a时，y=15，
∴2（a-1）2-3=15，
解得：a=4或a=-2（舍去），
故a的值为4．
故选：D．
【点睛】本题考查二次函数的性质、二次函数的最值，解答本题的关键是二次函数的增减性，利用二次函数的性质解答．
题型03 定轴动区间最值问题（区间有一端不确定）
解题方法：对于二次函数中含有参数，对称轴不确定，要求在定区间m≤x≤n条件下函数的最值，那么就需要分别讨论对称轴x=，相对于区间m≤x≤n的位置:
1）轴在区间左侧：如图①，当＜m，对称轴在区间的左侧，那么在区间内，y随着x的增大而增大，所以，当x=m时，y取值最小值；当x=n时，y取得最大值.
2）轴在区间中间：如图②③，当m≤≤n，对称轴在区间中间，那么在区间内，y值先随着x的增大而减小，又随着x的增大而增大，所以，当x=时，y取得最小值，m、n两个数谁离对称轴远，就在谁处取得最大值，或者把x=m时的y值和 x=n时的y值计算出来并进行比较，谁大谁就是最大值.
3）轴在区间右侧：如图④，当＞m，对称轴在区间的右侧，那么在区间内，y随着x的增大而减小，所以，当x=m时，y取值最大值；当x=n时，y取得最小值.
8．（2022·四川资阳·中考真题）如图是二次函数的图象，其对称轴为直线，且过点．有以下四个结论：①，②，③，④若顶点坐标为，当时，y有最大值为2、最小值为，此时m的取值范围是．其中正确结论的个数是( )
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【答案】A
【分析】①：根据二次函数的对称轴，，即可判断出；
②：结合图象发现，当时，函数值大于1，代入即可判断；
③：结合图象发现，当时，函数值小于0，代入即可判断；
④：运用待定系数法求出二次函数解析式，再利用二次函数的对称性即可判断．
【详解】解：∵二次函数的图象，其对称轴为直线，且过点，
∴，，
∴，∴，故①正确；
从图中可以看出，当时，函数值大于1，因此将代入得，，即，故②正确；
∵，∴，从图中可以看出，当时，函数值小于0，
∴，∴，故③正确；
∵二次函数的顶点坐标为，
∴设二次函数的解析式为，将代入得，，
解得，
∴二次函数的解析式为，
∴当时，；
∴根据二次函数的对称性，得到，故④正确；
综上所述，①②③④均正确，故有4个正确结论，
故选A．
【点睛】本题考查了二次函数的图象和性质，待定系数法求二次函数解析式等，熟练掌握二次函数的图象和性质是本题的关键．
9．（2023·吉林长春·模拟预测）已知二次函数，当时，函数值的最大值为，则的取值范围 ．
【答案】
【分析】本题考查二次函数的性质、二次函数的最值，先求出对称轴，再求出对称点，根据二次函数的性质求出的取值范围．
【详解】解：二次函数的对称轴，
令，，
点关于直线的对称点为，
如图：
，
开口向上，
当时，函数值的最大值为，
，
故答案为：．
10．（2022·吉林长春·中考真题）已知二次函数，当时，函数值y的最小值为1，则a的值为 ．
【答案】/
【分析】先把函数解析式化为顶点式可得当时，y随x的增大而增大，当时，y随x的增大而减小，然后分两种情况讨论：若；若，即可求解．
【详解】解：，
∴当时，y随x的增大而增大，当时，y随x的增大而减小，
若，当时，y随x的增大而减小，
此时当时，函数值y最小，最小值为，不合题意，
若，当时，函数值y最小，最小值为1，
∴，
解得：或（舍去）；
综上所述，a的值为．
故答案为：
【点睛】本题主要考查了二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质是解题的关键．
11．（2022·浙江绍兴·中考真题）已知函数（b，c为常数）的图象经过点（0，﹣3），（﹣6，﹣3）．
(1)求b，c的值．
(2)当﹣4≤x≤0时，求y的最大值．
(3)当m≤x≤0时，若y的最大值与最小值之和为2，求m的值．
【答案】(1)b＝-6，c=-3
(2)x＝－3时，y有最大值为6
(3)m＝－2或
【分析】（1）把（0，-3），（-6，-3）代入y＝，即可求解；
（2）先求出抛物线的顶点坐标为（-3，6），再由-4≤x≤0，可得当x＝-3时，y有最大值，即可求解；
（3）由（2）得当x＞-3时，y随x的增大而减小；当x≤-3时，y随x的增大而增大，然后分两种情况：当-3＜m≤0时，当m≤-3时，即可求解．
【详解】（1）解：把（0，-3），（-6，-3）代入y＝，得∶
，解得：；
（2）解：由（1）得：该函数解析式为y＝＝，
∴抛物线的顶点坐标为（-3，6），
∵-1＜0
∴抛物线开口向下，
又∵-4≤x≤0，
∴当x＝-3时，y有最大值为6．
（3）解：由（2）得：抛物线的对称轴为直线x=-3，
∴当x＞-3时，y随x的增大而减小；当x≤-3时，y随x的增大而增大，
①当-3＜m≤0时，
当x＝0时，y有最小值为-3，
当x＝m时，y有最大值为，
∴+（-3）＝2，
∴m＝-2或m＝-4（舍去）．
②当m≤-3时，
当x＝-3时，y有最大值为6，
∵y的最大值与最小值之和为2，
∴y最小值为-4，
∴=-4，
∴m＝或m＝（舍去）．
综上所述，m＝-2或．
【点睛】本题主要考查了二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质，并利用分类讨论思想解答是解题的关键．
题型04 定轴动区间最值问题（区间有两端不确定）
12．（2024·浙江温州·三模）已知二次函数，当时，函数的最大值是，则的取值范围是( )
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题主要考查二次函数的性质，依据题意，由，可得当时，取最大值是，又当时，函数的最大值是，故，进而计算可以得解．
【详解】解：由题意， ，
当时，取最大值是．
又当时，函数的最大值是，
．
．
故选：C．
13．（2021·浙江嘉兴·中考真题）已知二次函数．
（1）求二次函数图象的顶点坐标；
（2）当时，函数的最大值和最小值分别为多少？
（3）当时，函数的最大值为，最小值为，m-n=3求的值．
【答案】（1）；（2）函数的最大值为4，最小值为0；（3）或．
【分析】（1）把二次函数配成顶点式即可得出结论；
（2）利用二次函数的图象和性质确定函数的最大值和最小值．
（3）分t＜0；；三种情况，根据二次函数的性质和m-n=3列出关于t的方程，解之即可．
【详解】（1）∵，∴顶点坐标为．
（2）∵顶点坐标为，∴当时，，
∵当时，随着的增大而增大，∴当时，．
∵当时，随着的增大而减小，∴当时，．
∴当时，函数的最大值为4，最小值为0．
（3）当时，对进行分类讨论．
①当时，即，，随着的增大而增大．
当时，．
∴．
∴，解得（不合题意，舍去）．
②当时，顶点的横坐标在取值范围内，∴．
i）当时，在时，，
∴．
∴，解得，（不合题意，舍去）．
ii）当时在时，，
∴．
∴，解得，，（不合题意舍去）．
③当时，随着的增大而减小，
当时，，
当时，，
∴
∴，解得（不合题意，舍去）．
综上所述，或．
【点睛】本题是二次函数综合题，考查抛物线的性质以及最值问题，有难度，并学会利用参数解决问题是解题的关键，属于中考常考题型．
14．（2024·贵州六盘水·二模）已知二次函数图象的顶点坐标为，且图象经过点，．
(1)求二次函数的表达式
(2)将二次函数的图象向右平移个单位，图象经过点，求m 的值；
(3)在由（2）平移后的图象上，当时，函数的最小值为，求n的值．
【答案】(1)
(2)
(3)或
【分析】本题考查了二次函数图像性质，求二次函数解析式，二次函数图像平移性质，二次函数最值，解题的关键是熟练掌握并运用相关知识．
（1）根据题意设二次函数解析式为，再代入一个其图象经过点，求出的值即可求得二次函数的表达式；
（2）根据二次函数图像平移性质“左加右减，上加下减”，可得平移后二次函数解析式，再将其图象经过的点代入即可求得m 的值；
（3）由（2）可得平移后二次函数解析式，先求出函数取值为时，的值，根据二次函数图像性质，可知的取值在左侧或在右侧，根据分别讨论两种情况即可．
【详解】（1）解：二次函数图象的顶点坐标为，
设二次函数解析式为：，
二次函数图象经过点，，
，
解得：，
二次函数解析式为；
（2）解：将二次函数的图象向右平移个单位后，
二次函数解析式为，
平移后二次函数图象经过点，
，
解得：，（舍去），
的值为；
（3）解：由（2）可知：平移后二次函数解析式为，函数图像开口向上，对称轴为，
当函数取值为时，则有，
解得：，，
当时，函数的最小值为，
的取值为或，
①当的取值为时，
则有，
解得：，
②当的取值为时，
则有，
解得：，
的值为或．
15．（2024·云南昆明·一模）已知抛物线（实数a为常数）的对称轴为直线．
(1)求抛物线的函数关系式；
(2)记x在某个范围时，函数y的最大值为m，最小值为n，当时，则，求t的值．
【答案】(1)
(2)t的值为或3
【分析】本题考查了求二次函数关系式，二次函数的增减性和最值，解题的关键是熟练掌握相关知识点，具有分类讨论的思想．
（1）根据抛物线的对称轴为直线，得出，求出a的值即可；
（2）根据抛物线的性质得出当时，y随x的增大而增大，当时，y随x的增大而减小，再进行分类讨论：①当即时，y随x的增大而增大，
时，y有最小值n，时，y有最大值m，即可解答；②当时，时，y有最大值m，时，y有最小值n，即可解答；③当时，，时，y有最大值为5，则，当时：，当时：即可解答．
【详解】（1）解：∵抛物线的对称轴为直线，
∴，
解得：，
经检验，是分式方程的解，
∴抛物线的函数关系式为：；
（2）解：，
∴对称轴为，
∴当时，y随x的增大而增大，当时，y随x的增大而减小，
①当即时，y随x的增大而增大，
时，y有最小值n，时，y有最大值m，
∴，
又，
整理得，
解得，
又，
∴不符合题意，舍去；
②当时，
时，y有最大值m，时，y有最小值n，
∴，
又，
整理得，
解得，
又，
∴不符合题意，舍去；
③当时，，
∴时，y有最大值为5，
∴，
又，
∴，
当时：，
解得（舍去），，
当时：
解得：（舍去），，
∴t的值为或3．
综上，t的值为或3．
题型05 动轴定区间
16．（2024·安徽池州·模拟预测）已知关于x的函数．
（1）当时，该二次函数图象的顶点坐标为 ；
（2）当时，函数有最小值，则m的值为 ．
【答案】 0或2
【分析】（1）运用配方法得到二次函数的顶点式，写出顶点坐标；
（2）由于开口向下，根据对称轴位置分三种情况确定最小值的情况，分别代入计算即可解题．
本题考查二次函数的性质，掌握二次函数的配方法求顶点坐标和函数的最值求法是解题的关键．
【详解】（1）当时，，顶点坐标为．
（2）抛物线对称轴为直线，
①当时，且在时有最小值，
根据二次函数对称性，当或时，函数有最小值，不妨当时，最小值为，即可得到：，解得：或，不符合题意，舍去；
②当时，且在时有最小值，则时，最小值为，
即可得到：，解得：或，所以；
③当时，且在时有最小值，则时，最小值为，
即可得到：，解得：或6，所以；
综上所述：m的值为0或2．
17．（2024·陕西咸阳·模拟预测）已知二次函数（为常数，且），当时，函数的最大值与最小值的差为9，则的值为（ ）
A．－6 B．4 C．或0 D．0或
【答案】D
【分析】根据题意可知二次函数，故该函数的对称轴为直线 函数的最大值为2，然后根据对称轴所在的位置进行分类讨论计算即可．
本题考查了二次函数的图象与性质，准确了解当时，函数的最值会发生变化，从而结合方程解决问题是关键．
【详解】解：二次函数
∴该函数的对称轴为直线， 函数的最大值为2，
当时，
时， 函数有最大值，
时，函数有最小值，
∵当时，函数的最大值与最小值的差为9，
，
解得：(舍去)，
当 时，
时，函数有最大值，
时，函数有最小值，
∵当 时，函数的最大值与最小值的差为9，
，
解得：(舍去) ，
当时，时，函数有最小值，函数有最大值，
，
解得：或(舍去)，
当时，时，函数有最小值，函数有最大值，
，
解得或4(舍去)，
或，
故选：D．
18．（2024·浙江嘉兴·一模）已知二次函数（b，c为常数且，），当时，，则c的值为 ．
【答案】
【分析】本题考查了二次函数的性质、二次函数的最值，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．由题意可知，函数图象的对称轴为，求出，，时函数值，分两种情况：当时，此时，当时，随增大而增大；当时，即，此时，当时，随增大而减小，当时，随增大而增大，根据增减性判断函数值，结合，列方程求解是解决问题的关键．
【详解】解：∵二次函数（b，c为常数且，）
∴函数图象的对称轴为：，
当时，，当时，，当时，，
①当时，此时，当时，随增大而增大，
∴，与矛盾，不符合题意；
②当时，即，
此时，当时，随增大而减小，当时，随增大而增大，
∴，与矛盾，不符合题意；
或，则，整理得：，即：，
解得：或2，
当时，，不符合题意；
当时，，符合题意；
综上，的值为，
故答案为：．
题型06 动轴动区间的最值问题
19．（2024·云南昭通·二模）已知关于的二次函数（，为常数）．
(1)若，试说明该函数图象与轴必有两个不同的交点；
(2)若时，函数的最大值为，最小值为，且，求的值．
【答案】(1)证明见解析
(2)或
【分析】此题是二次函数的综合题，考查二次函数图象与x轴交点问题，二次函数的最值问题，正确掌握二次函数的知识是解题的关键．
（1）由得，代入得函数解析式为，求出判别式即可判断；
（2）确定抛物线的对称轴为直线，开口向下，最大值为，再分两种情况当时，当时，求出k的值．
【详解】（1）证明：，
，
，
该函数图像与轴必有两个不同的交点；
（2）二次函数（，为常数），
抛物线开口向下，对称轴为直线
把代入，得，
抛物线的顶点坐标为，
当时，函数的最大值为
若，则时函数有最小值，且函数最小值，，
，解得
若，则时函数有最小值，且函数最小值
，解得（舍去）或，
综上所述，或．
20．（21-22九年级下·吉林长春·阶段练习）在平面直角坐标系中，已知二次函数为常数，，若对于任意的满足，且此时所对应的函数值的最小值为，则 ．
【答案】/
【分析】将二次函数解析式化为顶点式，由抛物线对称轴与开口方向分类讨论顶点为图象最低点或直线与抛物线交点为最低点，进而求解．
【详解】解：，
抛物线开口向上，顶点坐标为，
当，即时，
，方程无解．
当，即时，
将代入得，
令，
解得（舍去）或，
故答案为：．
【点睛】本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数与方程的关系，能利用分类讨论思想解答．
题型07 动轴动区间参数取值范围问题
21．（24-25九年级上·北京丰台·期中）在平面直角坐标系中，点为抛物线上的两点．
(1)当时，求抛物线的对称轴；
(2)若对于，都有，求h的取值范围．
【答案】(1)直线
(2)当时，的取值范围为或；当时，的取值范围为
【分析】本题主要考查了二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征和抛物线的对称轴，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题关键．
（1）将代入解析式，然后将二次函数的解析式化为顶点式求解即可得；
（2）根据题意分两种情况讨论：和，利用二次函数的性质分别列出不等式（组）求解即可得．
【详解】（1）解：当时，抛物线的表达式为，
，
抛物线的对称轴为直线．
（2）解：∵抛物线的对称轴为直线，且点 在此抛物线上，
∴点一定在对称轴的右侧，时的函数值与时的函数值相等，时的函数值与时的函数值相等，
由题意，分以下两种情况：
①当时，若点在对称轴的右侧，
要使对于，都有，
则，
解得；
若点在对称轴的左侧，
要使对于，都有，
则，
解得；
②当时，
要使对于，都有，
则，
解得，
综上，当时，的取值范围为或；当时，的取值范围为．
22．（22-23九年级上·北京·期中）在平面直角坐标系中，已知抛物线．
(1)求抛物线的顶点坐标（用含的代数式表示）；
(2)点，在抛物线上，其中，．
①若的最大值是2，求的最小值；
②若对于，，都有，直接写出的取值范围．
【答案】(1)
(2)①的最小值是，②或者
【分析】（1）， 即可得抛物线的顶点坐标为；
（2）①，根据得抛物线开口向上，当，当时，有最大值2，即可得，所以，此时，，，即对称轴为，在时，y随x的增大而减小，所以当时，有最小值：；
②的对称轴为，即可得当时，y随x的增大而减小，当时，，当时，y随x的增大而增大，当时，，即，解得，，，解得，，即可得．
【详解】（1）解：，
则抛物线的顶点坐标为；
（2）解：①，
∵，
∴抛物线开口向上，
∵，
∴当时，有最大值2，
，
，
∴，
此时，，，
对称轴为，在时，y随x的增大而减小，
∴当时，有最小值：；
②∵的对称轴为，
∴当时，y随x的增大而减小，当时，，
当时，y随x的增大而增大，当时，，
即，解得，，
，解得，，
综上，n的取值范围：或．
【点睛】本题考查了二次函数的性质，解题的关键是理解题意，掌握二次函数的性质．
类型二 几何最值问题
题型01 二次函数中的线段最值问题
平行于坐标轴的线段的最值问题，常常用线段两端点的坐标差表示线段长对应的函数表达式，然后运用二次函数的性质求最值.解决这类问题的关键如下：
①确定线段长对应的函数表达式，当线段平行于y轴时，用上端点的纵坐标减去下端点的纵坐标；
当线段平行于x轴时，用右端点的横坐标减去左端点的横坐标；
②确定函数的最值，注意函数自变量的取值范围.
注意：单线段最值求解时一定要保证线段是非负的.
1）铅垂线段的求法-横坐标相同
23．（2024·内蒙古乌海·一模）如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点A，与y轴交于点C．抛物线经过A、C两点，且与x轴交于另一点B（点B在点A右侧）．
(1)求抛物线的解析式；
(2)设该抛物线的顶点为点H，求的面积；
(3)若点M是线段上一动点，过点M的直线平行y轴交x轴于点D，交抛物线于点E，求长的最大值及点M的坐标；
(4)在(3)的条件下：当取得最大值时，在x轴上是否存在这样的点P，使得以点M、点B、点P为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，请直接写出所有点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)3
(3)，
(4)存在，，，，
【分析】（1）由直线与轴交于点，与轴交于点，得、，将、代入，列方程组求、的值及点的坐标；
（2）设抛物线的对称轴交于点，求直线的解析式及抛物线的顶点坐标，再求出点的坐标，推导出，可求出的面积；
（3）设点的横坐标为，用含的代数式表示点、点的坐标及线段的长，再根据二次函数的性质求出线段的最大值及点的坐标；
（4）在轴上存在点，使以点、、为顶点的三角形是等腰三角形．由（3）得
，，由勾股定理求出，由等腰三角形的腰长为或求出的长即可得到点的坐标．
【详解】（1）解：直线与轴、轴分别交于点、，
，，
抛物线经过点，，
，
解得，
抛物线的解析式为．
（2）解：设抛物线的对称轴交于点，交轴于点．
设直线的解析式为，则，解得，
；
，
抛物线的顶点，
当时，，
，
，
．
（3）解：设， 则，
，
当时，，此时．
（4）
解：存在．
如图3，由（2）得，当最大时，则，，
；
，
．
点、、、在轴上，
当点与原点重合时，则，；
当时，则，
；
当点与点重合时，则，；
当时，则，
．
综上所述，，，，
【点睛】此题重点考查二次函数的图象与性质、等腰三角形的判定、用待定系数法求函数解析式、求抛物线的顶点坐标以及勾股定理、二次根式的化简等知识和方法，解最后一题时要注意分类讨论，求出所有符合条件的点的坐标．
24．（2024·山西·二模）如图，抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，连接．
(1)求A，B，C三点的坐标，并直接写出线段所在直线的函数表达式；
(2)点P是线段上方抛物线上的一个动点，过点P作轴于点M，交于点N求线段长的最大值．
【答案】(1)；线段所在直线的函数表达式
(2)3
【分析】（1）分别令，解方程即可得到A，B，C 三点的坐标，再利用待定系数法即可求出线段所在直线的函数表达式；
（2）根据题意，结合（1）线段所在直线的函数表达式，设点P的坐标为，点N的坐标为，由，利用二次函数的性质解答即可．
【详解】（1）解：在中，
令，则，
点C的坐标为，
令，则，
即，
解得：或，
点A在点B的左侧，
点A的坐标为，点B的坐标为，
设线段所在直线的函数表达式为，
将点代入，得，
解得：，
线段所在直线的函数表达式为；
（2）解：点P在抛物线上，
设点P的坐标为，
轴交于点N，
点N的坐标为，
点P在线段上方的抛物线上，
且，
，且，
当时，有最大值，线段长的最大值为．
【点睛】本题考查了二次函数的性质，二次函数的最值，一次函数的性质，解题的关键是熟练掌握二次函数的性质和一次函数的性质进行解题．
25．（2024·内蒙古呼伦贝尔·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图像经过原点和点．经过点的直线与该二次函数图象交于点，与轴交于点．
(1)求二次函数的解析式及点的坐标；
(2)点是二次函数图象上的一个动点，当点在直线上方时，过点作轴于点，与直线交于点，设点的横坐标为．
①为何值时线段的长度最大，并求出最大值；
②是否存在点，使得与相似．若存在，请求出点坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)，
(2)①当时，有最大值为；②当P的坐标为或时，与相似
【分析】（1）把，，代入求解即可，利用待定系数法求出直线解析式，然后令，求出y，即可求出C的坐标；
（2）①根据P、D的坐标求出，然后根据二次函数的性质求解即可；
②先利用等边对等角，平行线的判定与性质等求出，然后分，两种情况讨论过，利用相似三角形的性质、等腰三角形的判定与性质等求解即可．
【详解】（1）解：把，，代入，
得，
解得，
∴二次函数的解析式为，
设直线解析式为，
则，
解得，
∴直线解析式为，
当时，，
∴；
（2）解：①设，则，
∴
，
∴当时，有最大值为；
②∵，，
∴，
又，
∴，
又轴，
∴轴，
∴，
当时，如图，
∴，
∴轴，
∴P的纵坐标为3，
把代入，得，
解得，，
∴，
∴，
∴P的坐标为；
当时，如图，过B作于F，
则，，
又，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
解得，（舍去），
∴，
∴P的坐标为
综上，当P的坐标为或时，与相似．
【点睛】本题考查了二次函数的应用，待定系数法求二次函数、一次函数解析式，二次函数的性质，相似三角形的判定与性质，等腰直角三角形的判定与性质等知识，明确题意，添加合适辅助线，合理分类讨论是解题的关键．
2）水平相等的求法-纵坐标相同
26．（2024·江西九江·二模）已知一次函数与二次函数（m为常数）的图象在同一平面直角坐标系中．
(1)当 时，求两个函数图象的交点坐标．
(2)如果两个函数图象没有交点，求m的取值范围．
(3)如图，当 时，点P和点Q分别是两个函数图象上的任意一点．
①当轴时，求 的最小值；
②当轴时，求 的最小值．
【答案】(1)或
(2)
(3)①；②
【分析】本题考查了一次函数与二次函数交点问题；
（1）当时，一次函数为y= 二次函数为 ，联立解析式，解方程，即可求解．
（2）联立解析式，根据一元二次方程根的判别式的意义，即可求解；
（3）当 时，一次函数为y= 二次函数为
①设 ，表示出，进而根据二次函数的性质即可求解；
②设 ，表示出，进而根据二次函数的性质即可求解．
【详解】（1）解：（1）当时，一次函数为y= 二次函数为
联立方程组
解得 或
∴交点坐标为或；
（2）由
得
∵两个函数图象没有交点，
∴
得
（3）当 时，一次函数为二次函数为
①∵轴
设 ，
∴当 时，
②设
∵轴，
∴当 时，
27．（23-24九年级下·重庆·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线（）过点、，与轴交于点．

(1)求抛物线的表达式：
(2)点为第四象限内抛物线上一动点，过点作轴交直线于，为直线上一点，且，求的最大值及此时点的坐标：
(3)在（2）问的前提下，在抛物线对称轴上是否存在点，使的度数最大，若存在，请写出点的坐标，并做详细解答．
【答案】(1)
(2)的最大值为，
(3)
【分析】（1）用待定系数法，将点，点坐标代入，即可求解，
（2）先证明，得出，设，求出，则，然后证明是等腰直角三角形，得出，，则可求，然后根据二次函数的性质求解即可；
（3）利用圆周角定理判断出当的外接圆与对称轴相切时，的度数最大，然后设，，利用相等构造方程组求解即可．
【详解】（1）解：将点，点代入可得：
，解得：，
故抛物线的解析式为：；
（2）解：当时，，
∴，
∴，
∵，
∴， ，
设直线解析式为，
则，解得，
∴直线解析式为，
过点F作于H，

∴，
又，
∴，
∴，
设，
∵轴，
∴点E的纵坐标为，
代入，得，解得，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∵轴，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴当时，取最大值为，
此时，
∴的最大值为，；
（3）解：∵，
∴对称轴为，
作的外接圆，记为，

∵点M在对称轴上运动，
∴对称轴与相交或相切，
设与对称轴相切于M，在对称轴上另取一点，连接，，，，与相交于点N，
则，
由，
∴，
∴当与对称轴相切时，的度数最大，
此时，
设，，则
∵，
∴，
整理得，
解得（舍去），，
∴
【点睛】本题考查了二次函数的综合应用，待定系数法求二次函数解析式，二次函数的最值，解题的关键是：
（1）熟练掌握待定系数法求二次函数解析式，
（2）用含字母的式子表示点坐标和相关线段的长度，熟练掌握求二次函数最值，
（3）利用圆周角定理找到符合已知条件的点M的位置．
28．（2023·内蒙古·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴的交点分别为和（点在点的左侧），与轴交于点，点是直线上方抛物线上一动点．
(1)求抛物线的解析式；
(2)如图1，过点作轴平行线交于点，过点作轴平行线交轴于点，求的最大值及点的坐标；
(3)如图2，设点为抛物线对称轴上一动点，当点，点运动时，在坐标轴上确定点，使四边形为矩形，求出所有符合条件的点的坐标．
【答案】(1)
(2)的最大值为，点的坐标为
(3)符合条件的点坐标为：或
【分析】（1）利用待定系数法即可求解；
（2）先求得直线的解析式，设，则，，得到，利用二次函数的性质求解即可；
（3）先求得抛物线的顶点，对称轴为，分当点在轴上和点在轴负半轴上时，两种情况讨论，当点在轴负半轴上时，证明，求得，再证明，求得点的坐标为，由点在抛物线上，列式计算求解即可．
【详解】（1）解：∵抛物线与轴交于点，与轴交于点
解得
抛物线的解析式为：；
（2）解：当时，，
解得，，
∴，
设直线的解析式为：，
把，代入得：，
解得
∴直线的解析式为，
设，
∵轴，
∴点的纵坐标为，
又∵点在直线上，
∴，，
∴，
∴，
∵轴，
∴，
∴，
∵，，
∴当时，有最大值，最大值为，
当时，，
∴点的坐标为；
答：的最大值为，点的坐标为；
（3）解：，
则抛物线的顶点，对称轴为，
情况一：当点在轴上时，为抛物线的顶点，
∵四边形为矩形，
∴与纵坐标相同，
∴；
情况二：当点在轴负半轴上时，四边形为矩形，
过作轴的垂线，垂足为，过作轴的垂线，垂足为，
设，则，
∴，，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∵抛物线对称轴为，点在对称轴上，，
∴，，
∴，即，
∵，，
∴，
∴，
∴，，
∴，
∴点的坐标为，
∵点在抛物线上，
∴，
解得，（舍去），
∴，
综上所述：符合条件的点坐标为：或．
【点睛】本题考查二次函数的综合应用，涉及待定系数法，相似三角形的判定和性质，矩形的性质等知识，解题的关键是方程思想的应用．
3）斜线段的求法-化斜为直
29．（2024·安徽芜湖·三模）如图，抛物线与坐标轴分别交于点，连接，已知抛物线的对称轴为直线，．
(1)求的值．
(2)若点在线段上，过点作，交抛物线于点，求线段的最大值．
(3)若点在轴上，点在抛物线上，当为平行四边形的四个顶点时，求点的坐标．
【答案】(1)
(2)的最大值为
(3)点的坐标为或
【分析】（1）根据待定系数法求解析式即可；
（2）过点作轴，将的长度用二次函数表示，即可求出最大值，从而求得线段的最大值；
（3）分两种情况进行讨论，求出点的坐标．
【详解】（1）解：由题意可得点的坐标为，
∴，
解得；
（2）解：过点作轴于点，
当时，，
∴点的坐标为，，
当时，，，
∴点的坐标为，
∴，，
∵，
∴，
∴为等腰直角三角形，，
∵点在抛物线上，
∴设，
∴，
∵，
∴当时，的最大值为，
∴的最大值为；
（3）解：设，
情况一：当时，过点作轴于点，，
∵，，
∴，
解得（舍去），，
∴，，
∴，；
情况二：当时，过点作轴于点，，
∵，，
∴，
解得（舍去），，
∴，，
综上所述，点的坐标为或．
【点睛】本题考查了待定系数法求解析式，二次函数最值问题，二次函数与四边形结合，熟练掌握二次函数的性质是解此题的关键．
30．（2024·山东日照·二模）如图，抛物线与轴交于点，，与轴交于点，且，点是线段上一动点，过点作轴交直线于点，交抛物线于点，连接．
(1)求抛物线的解析式：
(2)过点作，垂足为，求出的最大值；
(3)试探究在点的运动过程中，是否存在点，使得为直角三角形，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)抛物线的解析式为
(2)存在最大值
(3)存在点，点的坐标为或
【分析】（1）利用线段的长度求得点A坐标，再利用待定系数法解答即可；
（2）求得直线的解析式，利用轴，，表示出点，，求得；利用等腰直角三角形的性质求出线段，再利用配方法和二次函数的性质解答即可得出结论；
（3）利用分类讨论的思想方法分两种情况讨论：①当时，过点E作轴于点F，利用等腰直角三角形的判定与性质求得，从而得到关于m的方程，解方程求得m值，则结论可得；②当时，此时轴，点P的纵坐标为，从而得到关于m的方程，解方程求得m值，则结论可得．
【详解】（1）解：对于，令，则，
，
，
，
，
．
抛物线与轴交于点，
，
解得：，
抛物线的解析式为；
（2）解：设直线的解析式为，
解得：
直线的解析式为．
轴，
，，
．
，
．
轴，
，
，
为等腰直角三角形，
，
当时，存在最大值；
（3）解：存在点，使得为直角三角形，或，理由如下：
由（2）知：，，，
．
分两种情况讨论：
①当时，过点作轴于点，如图，
，，
，
，
，
，
，
解得：（舍去）或．
；
②当时，此时轴，
点与点的纵坐标相同为，
，
解得：（舍去）或，
．
综上，存在点，点的坐标为或．
【点睛】本题主要考查了二次函数的图象与性质，抛物线上点的坐标的特征，待定系数法，配方法，一次函数的图象和性质，一次函数图象上点的坐标的特征，等腰直角三角形的判定与性质，函数的极值，利用点的坐标表示出相应线段的长度是解题的关键．
31．（2024·甘肃临夏·中考真题）在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，作直线．
(1)求抛物线的解析式．
(2)如图1，点是线段上方的抛物线上一动点，过点作，垂足为，请问线段是否存在最大值？若存在，请求出最大值及此时点的坐标；若不存在请说明理由．
(3)如图2，点是直线上一动点，过点作线段（点在直线下方），已知，若线段与抛物线有交点，请直接写出点的横坐标的取值范围．
【答案】(1)
(2)存在，最大值是，
(3)或
【分析】本题考查二次函数的综合应用，正确的求出函数解析式，利用数形结合和分类讨论的思想进行求解，是解题的关键．
（1）两点式直接求出函数解析式即可；
（2）过点作轴，交于点，设，根据三角函数得到，得到当最大时，的值最大，转化为二次函数求最值即可；
（3）设，得到，求出点恰好在抛物线上且时的值，即可得出结果．
【详解】（1）解：∵抛物线与轴交于，两点，
∴，
∴；
（2）存在；
∵，
∴当时，，
∴，
∵，
∴，
∴，
设直线的解析式为：，把代入，得：，
∴，
过点作轴，交于点，设，则：，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴当最大时，最大，
∵，
∴当时，的最大值为，此时最大，为，
∴；
（3）设，则：，
当点恰好在抛物线上时，则：，
∴，
当时，则：，
解得：或，
∵线段与抛物线有交点，
∴点M的横坐标的取值范围是或．
4）距离最值问题
32．（2024·湖南娄底·一模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过，两点，直线与轴交于点，与抛物线交于点．
(1)求抛物线的解析式；
(2)在线段上是否存在点，使得是直角？若存在，求出点的坐标，若不存在，请说明理由．
(3)点为抛物线上的动点，，过作轴的垂线交直线于点，求当点到直线的距离最大时的值．
【答案】(1)
(2)在线段上不存在点，使得是直角，见解析
(3)的值为．
【分析】（1）将A、B两点代入函数解析式，得到方程组，解方程组即可．
（2）设，则，由得出，代入数据，得到关于t的一元二次方程，发现，故该方程无解，因此不存在．
（3）过点P作于Q，由余弦的定义得，即，则，因此的最大值转化为求的最大值，设，则，用m的代数式表示出，再配方即可求出最大值．
【详解】（1）解：抛物线经过，两点，
∴
解得
抛物线的解析式为：．
（2）解：由题意得：，
若在线段上是存在点，使得是直角，
则
．
，
当时，，
．
设，则
方程无解，即在线段上不存在点，使得是直角．
（3）解：，
点为抛物线、之间运动，
过点作于，
∴，
∵轴，
∴，
∵，
∴，
在中，，，
∴ ，
∴即，
∴，
∴当的值最大时，点到直线的距离最大，
，
，
设直线的解析式为，由题意得：
解得
直线的解析式为
当时，，
当时，有最大值．
即：当点到直线的距离最大时，的值为．
【点睛】本题考查了二次函数待定系数法求解析式，相似三角形的判定与性质，勾股定理，余弦，二次函数求最值等问题，熟练利用转化思想和方程思想是解决函数综合题的关键．
33．（2024·山西晋中·二模）综合与探究
如图，直线与轴交于点，与轴交于点，抛物线经过、两点，与轴另一个交点为点．
(1)求抛物线的解析式；
(2)点为第一象限抛物线上一动点，请你确定一点，使点到直线的距离最大，求出点的坐标及点到直线的距离最大值；
(3)在（2）的结论下，此抛物线上是否存在点，使得以点、、为顶点的三角形与面积相等？若存在，请直接写出符合的点的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)点的坐标为，点到直线的距离最大值为
(3)或
【分析】此题属于二次函数的综合题，考查了待定系数求函数解析式的知识、二次函数中的线段最值、二次函数面积问题．
（1）由直线 、两点的坐标，再利用待定系数法求得函数的解析式；
（2）首先设，过点P作交于，轴交于点，交轴于点，即可表示出的长，根据当点到直线的距离最大时面积最大，计算最大值即可；
（3）作交轴于，作关于点的对称点，再作，则与抛物线的交点即为所求点．
【详解】（1）∵直线与轴交于点，与轴交于点，．
∴点，．
∵抛物线经过、两点，
∴，
解得：．
∴抛物线的解析式是；
（2）过点P作交于，轴交于点，交轴于点，
∵，，
∴，
设，则，
∴，
∵，
∴，
∴当时，最大，此时
∴点的坐标为，点到直线的距离最大值为；
（3）作交轴于，作关于点的对称点，再作，则直线到的距离等于直线到的距离，
∵以点、、为顶点的三角形与面积相等，
∴与抛物线的交点即为所求点，
∵直线解析式为，
∴设直线解析式为，
把代入得，解得，
∴，
∵，关于点的对称点，
∴，
∵，
∴直线解析式为，
联立，解得或，
∴或．
5）线段比最值问题
34．（2022·江苏宿迁·二模）如图1，在平面直角坐标系中，抛物线与轴分别交于、两点，与轴交于点，顶点为点，连接、，点为直线上方抛物线上一动点，连接交于点．
(1)求抛物线的函数表达式及顶点的坐标；
(2)当的值最大时，求点的坐标及的最大值；
(3)如图2，在（2）的条件下，是此抛物线对称轴上长为2的一条动线段（点在点上方），连接、，当四边形周长取最小值时，求点的坐标；在此条件下，以点、、、为顶点的四边形为平行四边形，直接写出点的坐标．
【答案】(1)；
(2)；最大值为
(3)、、
【分析】（1）由待定系数法求出抛物线的解析式，再求出顶点坐标即可；
（2）作交直线于点，作交直线于点，得：，得到，，待定系数法求出直线的表达式，点N的坐标是，求出，求的最大值，就是求的最大值，即的最大值，设，，得PQ＝，进而求出答案；
（3）先说明最小，就是最小；作，且，连接，如图4，则；作点关于对称轴的对称点，连接交对称轴于点，则点运动到点时，最小；待定系数法求出直线的表达式，得到，以点、、、为顶点的四边形为平行四边形，得出答案．
【详解】（1）解：由抛物线与轴分别交于、两点，与轴交于点得：
，
解得：，
∴；
对称轴：直线，
∴，
∴点G的坐标为．
（2）解：如图3，作交直线于点，作交直线于点，得：，
∴，
∴，
设直线的表达式为，
∴，
解得，
即；
∵，
∴把x＝﹣2代入得y＝，
∴点N的坐标是，
∴；
∴求的最大值，就是求的最大值，即求的最大值；
设，，
∴
；
当时，最大值时3，，
∴的最大值的最大值；
（3）解：∵在中，，
∴；
∴，
∴最小，就是最小；
作，且，连接，如图4，
∴四边形是；
∴，
∴；
作点关于对称轴的对称点，连接交对称轴于点，则点运动到点时，最小；
设直线的表达式为，
∴，
解得，
即；
∴；
以点、、、为顶点的四边形为平行四边形，
∴、、．
【点睛】此题是二次函数与几何综合题，考查了待定系数法求函数解析式、相似三角形的判定和性质、二次函数的图像和性质、勾股定理、平行四边形的性质等知识，作出正确的辅助线是解题的关键．
35．（2024·山东济宁·一模）已知抛物线与轴交于，两点，与轴交于点．
(1)求抛物线的表达式；
(2)如图1，在对称轴上是否存在点，使是以直角边的直角三角形？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
(3)如图2，点在直线下方的抛物线上，连接交于点，当最大时，请直接写出点的坐标．
【答案】(1)
(2)或
(3)
【分析】（1）利用待定系数法求解即可；
（2）设，则，，，再分当时，当当时，两种情况利用勾股定理建立方程求解即可；
（3）过点A作轴交直线于点E，过P作轴交直线于点F，由， 可得，，设，则，再建立关于t的二次函数即可；
【详解】（1）解：解：∵抛物线过、，，
∴，
解得：，
∴抛物线解析式为；
（2）解：∵抛物线解析式为
∴抛物线的对称轴为直线，
设，
∴，，，
当时，则，
∴，
解得：，
∴；
当时，则
，
解得，
∴；
综上所述：或；
（3）解：如图，过点A作轴交直线于点E，过P作轴交直线于点F，
∴，
∴，
∴ ，
设直线的解析式为，
∴，
解得 ，
∴直线的解析式为，
设，则，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴当时， 有最大值，
∴此时的坐标为．
【点睛】本题主要考查二次函数的图象及性质，涉及待定系数法确定函数关系式、勾股定理、相似三角形的判定和性质、二次函数最值，解题的关键是熟悉二次函数的性质以及分类讨论思想．
题型02 二次函数线段和、差最值
1）线段和最小问题
图形
条件 如图，A，B两定点分布在直线m两侧，点D为直线上一动点，求AD+BD的最小值. 如图，A，B两定点分布在直线m同侧，点D为直线上一动点，求AD+BD的最小值.
结论 当A，D，B三点共线时，AD+BD取得最小值，最小值为AB的长. 当A，D，B'三点共线时，AD+BD取得最小值，最小值为AB'的长.
36．（2024·江苏扬州·二模）如图，抛物线经过，两点，并交x轴于另一点B，点M是抛物线的顶点，直线与轴交于点D．
(1)求该抛物线的表达式；
(2)若点H是抛物线对称轴上一动点，分别连接，求的最小值．
【答案】(1)该抛物线的表达式为；
(2)的最小值为
【分析】本题考查待定系数法求解析式和利用轴对称求最小值；
（1）利用待定系数法求解抛物线表达式即可；
（2）利用轴对称求最小值即可，的最小值为即，通过勾股定理求解即可．
【详解】（1）把，代入得：
解得：
∴该抛物线的表达式为；
（2）由（1）得：抛物线的表达式为
∴对称轴，顶点
∴
设直线解析式为，
将，代入得：，解得
∴直线解析式为，
∴当时，
∴
∵点A关于对称轴的对称点为点
∴的最小值为即
∴
∴的最小值为
37．（2024·宁夏银川·一模）如图1，抛物线与轴交于两点，与轴交于点，顶点坐标为．
(1)求该抛物线的表达式；
(2)点是抛物线对称轴上一点，当的值最小时，求出点的坐标及的最小值；
(3)如图2，若点是直线下方抛物线上的一动点，过点作轴的平行线交于点，过点作轴的平行线交轴于点，求的最大值及此时点的坐标．
【答案】(1)
(2)，
(3)最大值为，此时点的坐标为
【分析】本题主要考查了二次函数综合，一次函数与几何综合，求二次函数解析式等等：
（1）先把解析式设为顶点式，再利用待定系数法求解即可；
（2）连接，由对称性可得，则，故当A，B，Q三点共线时，此时的值最小，即此时的值最小，最小值即为的长，由对称性求出，再求出点的坐标为，即可得到直线的表达式为，则点的坐标为，利用勾股定理得到，则的最小值为；
（3）设，则，，可得，，进而得到，据此求解即可．
【详解】（1）解：顶点坐标为，
设抛物线的表达式为，
将代入，得，
解得，
抛物线的表达式为；
（2）解：如图，连接，
点与点关于对称轴对称，
，
，
当A，B，Q三点共线时，此时的值最小，即此时的值最小，最小值即为的长，
顶点坐标的横坐标为1，
抛物线的对称轴为直线，
，
，
在中，当时，
∴点的坐标为，
设直线的表达式为，
将点，分别代入，得，
解得，
直线的表达式为，
将代入，得，
点的坐标为，
，，
，
的最小值为；
（3）解：由（2）知抛物线的对称轴为直线，，直线的函数表达式为，
设，
令，得，
，，
，，
．
，，
当时，的值最大，最大值为，此时点的坐标为．
38．（2023·山东枣庄·中考真题）如图，抛物线经过两点，并交x轴于另一点B，点M是抛物线的顶点，直线AM与y轴交于点D．

(1)求该抛物线的表达式；
(2)若点H是x轴上一动点，分别连接MH，DH，求的最小值；
(3)若点P是抛物线上一动点，问在对称轴上是否存在点Q，使得以D，M，P，Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出所有满足条件的点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)
(3)存在，或或
【分析】（1）待定系数法求出函数解析式即可；
（2）作点关于轴的对称点，连接，与轴的交点即为点，进而得到的最小值为的长，利用两点间距离公式进行求解即可；
（3）分，，分别为对角线，三种情况进行讨论求解即可．
【详解】（1）解：∵抛物线经过两点，
∴，解得：，
∴；
（2）∵，
∴，
设直线，
则：，解得：，
∴，
当时，，
∴；
作点关于轴的对称点，连接，
则：，，
∴当三点共线时，有最小值为的长，

∵，，
∴，
即：的最小值为：；
（3）解：存在；
∵，
∴对称轴为直线，
设，，
当以D，M，P，Q为顶点的四边形是平行四边形时：
①为对角线时：，

∴，
当时，，
∴，
∴；
②当为对角线时：，

∴，
当时，，
∴，
∴；
③当为对角线时：，

∴，
当时，，
∴，
∴；
综上：当以D，M，P，Q为顶点的四边形是平行四边形时，或或．
【点睛】本题考查二次函数的综合应用，是中考常见的压轴题．正确的求出函数解析式，熟练掌握二次函数的性质，利用数形结合和分类讨论的思想进行求解，是解题的关键．
2）线段差最大问题
图形
条件 如图，A，B两点分布在直线m同侧，点D为直线m 上一动点,求|AD-BD|的最大值. 如图，A，B两点分布在直线m两侧，点D为直线m 上一动点,求|AD-BD|的最大值.
结论 当A，B，D三点共线时，|AD-BD|取得最大值，最大值为AB的长 当A、B'、D三点共线时，|AD-BD|取得最大值，最大值为AB'的长
39．（2024·安徽滁州·二模）已知，在平面直角坐标系内，抛物线 交x 轴于A，B 两点，交 y轴于点C，且．
(1)求抛物线与直线的解析式；
(2)点 P在抛物线的对称轴上，且使得的值最大，过对称轴上的另一点Q任作与x轴不平行的直线l，交抛物线于点 M，N，若的内心始终在抛物线的对称轴上，求点Q的坐标；
(3)在（2）的条件下，已知点 D是线段上(不含端点A，C)的一个动点，过点 D 作直线，交直线l于点E，过点E作，垂足为点 F，求线段的最小值．
【答案】(1)抛物线的解析式为： ，直线的解析式为
(2)
(3)
【分析】（1）运用待定系数法求一次函数、二次函数解析式，即可作答．
（2）先作图，根据内心定义，得出直线或直线与对称轴的交点即为Q点，求出直线的解析式为，代入，即可作答．
（3）运用分类讨论，①当直线l经过点A，时，则根据勾股定理得在中，则有②当直线l经过点时，则根据勾股定理得在中，则有结合二次函数的图象性质，即可作答．
【详解】（1）解:∵抛物线 交x 轴于A，B 两点，交 y轴于点C，且．
∴
解得
∴抛物线的解析式为：
当时，
∴点C的坐标为，
设直线的解析式为，把点A，C的坐标代入，
得
解得
∴直线的解析式为，
（2）解：由可知：对称轴为直线，
连接并延长交于对称轴，交点即为点P，
此时的值最大，
把代入，解得
∴点P的坐标为，
设点C关于直线对称的点为，
要使得的内心始终在对称轴上，
根据对称性，直线l必经过或经过，
即直线或直线与对称轴的交点即为Q点，
设点直线的解析式为
把点和点C的坐标分别代入
得
解得
根据点和点C的坐标
可求出直线的解析式为，
当时，，
根据对称性，直线与对称轴的交点也为Q，坐标均为，
（3）解：由于直线l有两条，分两种情况分析：
①当直线l经过点A，时，
设直线的解析式
把和代入
得
解得
∴直线的解析式为，
设点D的纵坐标为a，把代入直线和直线
可得
又∵，
在中，则有
由题可知，，
∴此时不存在最小值，
②当直线l经过点时，
设点D的纵坐标为a，把代入直线和直线
可得
∴
在中，则有
令
∴当时，t有最小值，最小值为
即当点D的纵坐标为时，
则
有最小值为
【点睛】本题考查了二次函数的几何综合，涉及待定系数法求一次函数、二次函数解析式，轴对称性质，勾股定理，二次函数的图象性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
40．（2023·内蒙古兴安盟·一模）如图，已知直线与y轴交于点A，与x轴交于点D，抛物线与直线交于A、E两点，与x轴交于B、C两点，且线段．（注：抛物线的对称轴为）
(1)求该抛物线的解析式；
(2)动点P在x轴上移动，当是直角三角形时，求点P的坐标；
(3)在抛物线的对称轴上找一点M，使的值最大，求点M的坐标．
【答案】(1)抛物线的解析式为
(2)点P的坐标为或或或；
(3)
【分析】（1）首先得点，，那么把，坐标代入即可求得函数解析式；
（2）让直线解析式与抛物线的解析式结合即可求得点的坐标．是直角三角形，应分点为直角顶点，点是直角顶点，点是直角顶点三种情况探讨；
（3）首先得的值最大，应找到关于对称轴的对称点，连接交对称轴的一点就是．应让过的直线解析式和对称轴的解析式联立即可求得点坐标．
【详解】（1）直线与轴交于点，
令，则
点坐标为，
线段，直线与x轴交于B点，
，
∵抛物线与直线交于A点，与x轴交于B点，
将、坐标代入
得，解得，
抛物线的解析式为；
（2）设点的横坐标为，则它的纵坐标为，
即点的坐标，
又点在直线上，
解得（舍去），，
的坐标为．
（Ⅰ）当为直角顶点时，
过作交轴于点，设，
∵直线与x轴交于点D，
令，则
∴点坐标为，
∵，
∴
∵
∴，
∴，即，
，
．
（Ⅱ）同理，当为直角顶点时，过作交轴于点，过作轴于，
同理可证，
∴，
∵点坐标为，的坐标为
∴
即，
，
，
，
∴点坐标为．
（Ⅲ）当为直角顶点时，设，
由，得，
∴，
由得，
解得，，
此时的点的坐标为或，
综上所述，满足条件的点的坐标为或或或；
（3）抛物线的对称轴为，
、关于对称，
，
要使最大，即是使最大，
由三角形两边之差小于第三边得，当、、在同一直线上时的值最大．
∵，，
设直线的解析式为
∴，解得
∴直线的解析式为
由，得，
．
【点睛】此题主要考查了二次函数综合以及待定系数法求二次函数解析式和相似三角形的判定与性质等知识，根据一个三角形是直角三角形，应分不同顶点为直角等多种情况进行分析；求两条线段和或差的最值，都要考虑做其中一点关于所求的点在的直线的对称点得出是解题关键．
41．（2023·湖北恩施·二模）如图，已知直线分别交x轴、y轴于点B．抛物线过A，B两点． P是线段AB上一动点，过点P作PC⊥x轴于点C，交抛物线于点D．

(1)若抛物线的顶点M的坐标为，其对称轴交于点N．
①求抛物线的解析式．
②在抛物线的对称轴上找一点Q，使的值最大，试求出点Q的坐标．
③是否存在点P，使四边形MNPD为平行四边形？若存在，求出此时点P的坐标．
(2)当点P的横坐标为1时，是否存在这样的抛物线，使得以B，P，D为顶点的三角形与相似？若存在，直接写出满足条件的抛物线的解析式；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)①；②；③存在，
(2)存在，或
【分析】（1）①利用待定系数法求解即可；
②设抛物线与x轴左侧的交点为，则点A，R关于抛物线的对称轴对称，
根据题意得到当点R，B，Q三点共线时，的值最大，即，然后求出直线的解析式为，将代入求解即可；
③首先求出点M和点N的坐标，得到，然后设点P的坐标为，则点D的坐标为，得到，然后利用平行四边形的判定得到，解方程即可求解；
（2）根据题意分两种情况讨论：和，分别利用相似三角形的性质和待定系数法　即可．
【详解】（1）①将代入得，，
解得，
∴，
∵抛物线的顶点的坐标为，
∴设，
抛物线过点A，根据一次函数可得代入解析式得，，
∴抛物线解析式为；
②设抛物线与x轴左侧的交点为，则点A，R关于抛物线的对称轴对称，

∵点A，R关于抛物线的对称轴对称，
∴抛物线的对称轴垂直平分．所以．
∴，
连接并延长交抛物线的对称轴于点Q，连接，
∴当点R，B，Q三点共线时，的值最大，即，
∴设直线的解析式为，
将，代入得，，
∴解得，
∴直线的解析式为，
当时，，
∴所以点Q的坐标为；
③存在．
理由：将代人，得，
∴点，
由点，得，
设点P的坐标为，则点D的坐标为，
∴，
∵，
∴当时，四边形为平行四边形，
即．解得（舍去），，
∴点P的坐标为；
（2）当点P的横坐标为1时，则其坐标为，
由题意，得轴，
∴，
①如图1，当时，以B，P，D为顶点的三角形与相似，
∴，
∴轴，
∴点B，D关于抛物线的对称轴对称，
∴点，
∴设抛物线解析式为，
∴将，，代入得，，
∴解得，
∴拋物线的解析式为；
②如图2，当时，以B，P，D为顶点的三角形与相似．
由点A， B的坐标可得，

∴，
由点P的坐标可得，
同理可得，
∴，
由，得，
∴，
∴，
∴点D的坐标为，
∴同理利用待定系数法可求得抛物线的解析式为．
【点睛】本题考查了二次函数的综合题：熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征、二次函数的性质和菱形的判定，会利用待定系数法求函数解析式，理解坐标与图形性质，灵活运用相似比表示线段之间的关系，会运用分类讨论的思想解决数学问题．
题型03 二次函数周长最值问题
无论是线段和的最小值或是周长的最小值，还是两条线段差的最大值等，解决该类问题的最基本依据就是“两点之间，线段最短”,基本模型就是最短路径问题，即“将军饮马问题”.解题方法就是通过轴对称作出对称点加以解决，若需要三边和最小，则需过两定点(即已知定长线段的两顶点)分别作出关于x轴与y的对称点，从而将三边转化到同一条直线上.
42．（2024·安徽阜阳·一模）如图，抛物线与x轴交于，两点，与轴交于点C．
(1)求抛物线的解析式；
(2)在抛物线的对称轴上找一点 P，使的周长最小，求的周长的最小值及此时点P的坐标；
(3)若M为抛物线在第一象限内的一动点，求出四边形的面积的最大值及此时点M的坐标.
【答案】(1)；
(2)的周长的最小值为，点P的坐标为；
(3)的最大值为，此时．
【分析】题目主要考查二次函数的综合问题，包括待定系数法确定函数解析式，最短周长及最大面积问题，理解题意，熟练掌握二次函数的应用是解题关键．
（1）利用待定系数法求解即可；
（2）连接交对称轴于点，此时的周长最小，利用勾股定理以及待定系数法求得直线的解析式，据此求解即可；
（3）连接，设，根据列得二次函数的解析式，利用二次函数的性质求解即可．
【详解】（1）解：由题意得，
解得，
∴抛物线的解析式为；
（2）解：∵，
∴抛物线的对称轴为直线，
连接交对称轴于点，此时，取得最小值，最小值为的长，
令，则，
∴，
∵，，
∴，，
∴的周长的最小值为，
设直线的解析式为，
则，
解得,
∴直线的解析式为，
当时，，
∴点P的坐标为；
（3）解：连接，设，
依题意得
，
∵，
∴当时，有最大值，最大值为，此时．
43．（2024·安徽合肥·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，直线与抛物线交于，两点，点的横坐标为．
(1)求直线和抛物线的解析式；
(2)点是直线下方的抛物线上一动点（不与点重合），过点作轴的平行线，与直线交于点，连接，设点的横坐标为；
①若点在轴上方，当为何值时，是等腰三角形；
②若点在轴下方，设的周长为，求关于的函数关系式，当为何值时，的周长最大，最大值是多少？
【答案】(1)，；
(2)①；②，当时，的周长最大，最大值是．
【分析】（1）用待定系数法求出抛物线和直线解析式；
（2）①当是等腰三角形时，判断出只有，设出点P的坐标用建立方程组求解即可；
②先表示出，然后建立三角形的周长和m的函数关系式，确定出最大值．
【详解】（1）解：直线经过点，
，
，
直线解析式为，
点在此直线上，点的横坐标为，则，
点的纵坐标为，
，
抛物线交于、两点，
，
，
抛物线解析式为．
（2）解：∵点的横坐标为，则设，
∴，
过点作轴的平行线，与直线交于点，则点的纵坐标为，
∴，则，
点，
，
①当点在轴上方时，
，是钝角，
，，
是等腰三角形，
，
，
，
，
，
，
或舍，
当时，是等腰三角形；
②当点P在x轴下方时，，
，
，则，点，
，，
，，
∴的周长
，
∵，
当时，，
当时，的周长最大，最大值是．
【点睛】此题为二次函数综合题，主要考查了待定系数法，二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，等腰三角形的性质，三角形的周长，两点坐标距离公式等知识，熟练掌握相关知识是解题的关键．
44．（2024·宁夏银川·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与直线交于点，．
(1)求该抛物线的函数解析式；
(2)如图①，若点H是抛物线的顶点，在x轴上存在一点G，使的周长最小，求此时点G的坐标．
(3)如图②，点P为直线下方抛物线上的一动点，过点P作交于点M，过点P作y轴的平行线交x轴于点N，求的最大值及此时点P的坐标．
【答案】(1)
(2)
(3)最大值为，
【分析】利用待定系数法求解即可；
作点A关于x轴的对称点，连接交x轴于点G，结合轴对称的性质得此时的周长最小，得点，结合抛物线解析式求得点H，利用待定系数法求得的解析式为，令即可求得点G；
结合题意可得是等腰直角三角形，利用待定系数法求得直线的解析式为，设与交于点C，则和是等腰直角三角形，则有，设，则，即可求得和，利用二次函数的性质即可求得的最大值，即此时的点P．
【详解】（1）解：根据题得，，解得，
则抛物线的解析式为；
（2）作点A关于x轴的对称点，连接交x轴于点G，此时的周长最小，如下图：
则，
∵抛物线的解析式为，
∴，
∵，
设的直线解析式为，则，解得
则的解析式为，
当时，，解得，
∴；
（3）∵，，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，
设直线的解析式为，
，解得，
则直线的解析式为，
设与交于点C，如图，
∵轴于点N，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∴，
∵，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∴，
设，则，
∴，，
∴
∵，
∴当时，的最大值为，此时．
【点睛】本题主要考查二次函数和一次函数的结合，轴对称的性质以及二次函数的性质，解题的关键是熟悉二次函数的性质及其上对应点的几何意义．
45．（2024·甘肃天水·二模）如图，已知抛物线的对称轴为直线，与y轴交于点Q，过其顶点M的一条直线与该抛物线的另一个交点为．
(1)求抛物线的解析式．
(2)求的面积．
(3)在x轴上确定一点P，使的周长最小，并求出此时的面积．
【答案】(1)
(2)
(3)图见解析，
【分析】（1）运用待定系数法即可求解；
（2）分别求出点的坐标，根据即可求解；
（3）过点M作关于x轴对称的点，连接交x轴干点P，则，此时的周长最小，运用待定系数法求直线的解析式，分别求出点的坐标，根据即可求解．
【详解】（1）解：抛物线的对称轴为直线，点是抛物线上的一点，
，
解得，
该抛物线的解析式为．
（2）解：如图所示，设直线MN与y轴的交点为A．
，
．
当时，．
．
直线MN：（），
∴，
解得，
∴直线MN的解析式为．
当时，，即．
．
（3）解：如图所示，过点M作关于x轴对称的点，连接交x轴干点P，则，此时的周长最小．
设直线的解析式为，
∴，
解得，
∴该直线的解析式为．
当时，，即．
直线MN：与x轴的交点B的坐标为．
．
【点睛】本题主要考查二次函数与几何的综合，掌握待定系数法求解析式，二次函数以一次函数图象的交点的计算方法，二次函数图象中几何图形面积的计算方法，轴对称最短路径的计算方法等知识是解题的关键．
题型04 二次函数面积最值问题
解题思路：
1.设动点P的坐标为，过点P做辅助线；
2.利用水平宽铅锤高、割补法等，写出面积表达式(一般为二次函数的形式)；
3.写出表示面积的二次函数的顶点式,求出最值,即可得到三角形面积的最大值.
46．（2024·江苏徐州·中考真题）如图，A、B为一次函数的图像与二次函数的图像的公共点，点A、B的横坐标分别为0、4．P为二次函数的图像上的动点，且位于直线的下方，连接、．
(1)求b、c的值；
(2)求的面积的最大值．
【答案】(1)
(2)最大值为8
【分析】本题考查二次函数的综合，一次函数的性质，用割补法得出△PAB的面积是关键．
（1）先求出A，B的坐标，再用待定系数法求出b，c；
（2）由（1）可得：，设，作交于E，则，则，得出面积，即可解答．
【详解】（1）解：当时，；当时，，
则，，
则，
解得：；
（2）解：由（1）可得：，设，作交于E，
则，则，
∴，
当时，最大值为8．
47．（2024·海南·中考真题）如图1，抛物线经过点、，交y轴于点，点P是抛物线上一动点．
(1)求该抛物线的函数表达式；
(2)当点P的坐标为时，求四边形的面积；
(3)当时，求点P的坐标；
(4)过点A、O、C的圆交抛物线于点E、F，如图2．连接，判断的形状，并说明理由．
【答案】(1)
(2)16
(3)或
(4)是等边三角形，理由见解析
【分析】（1）利用待定系数法求解即可；
（2）过点P作于T，根据列式求解即可；
（3）取，连接，易证明，则线段与抛物线的交点即为所求；求出直线的解析式为，联立，解得或（舍去），则；如图所示，取，连接，同理可得，则直线与抛物线的交点即为所求；同理可得；则符合题意的点P的坐标为或；
（4）由90度的圆周角所对的弦是直径得到为过三点的圆的直径，如图所示，取中点R，连接，则，；设与抛物线交于，联立得，解得，则， 由勾股定理可得，则是等边三角形．
【详解】（1）解：将点代入，
得
解得
∴抛物线解析式为；
（2）解:如图所示，过点P作于T，
∵，，，
∴ ，
∴，
∴
；
（3）解：如图所示，取，连接，
∵、，，
∴，
∴，
∴线段与抛物线的交点即为所求；
设直线的解析式为，
∴，
∴，
∴直线的解析式为，
联立，解得或（舍去），
∴；
如图所示，取，连接，
同理可得，
∴直线与抛物线的交点即为所求；
同理可知直线的解析式为，
联立，解得或（舍去），
∴；
综上所述，符合题意的点P的坐标为或；
（4）解：是等边三角形，理由如下：
∵三点共圆，且，
∴为过三点的圆的直径，
如图所示，取中点R，连接，
∵，
∴，
∴；
设与抛物线交于，
联立得，
∴，
解得，
在中，当时，
当时，
∴，
∴，
，
，
∴，
∴是等边三角形．
【点睛】本题主要考查了二次函数综合，一次函数与几何综合，勾股定理，圆的相关知识，解题的关键在于正确作出辅助线并利用数形结合的思想求解．
48．（2024·黑龙江牡丹江·中考真题）如图，二次函数的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，点A的坐标为，点C的坐标为，连接．
(1)求该二次函数的解析式；
(2)点P是抛物线在第四象限图象上的任意一点，当的面积最大时，边上的高的值为______．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查待定系数法求函数解析式，二次函数与图形的面积，掌握待定系数法是解题的关键．
（1）直接利用待定系数法求函数解析式即可；
（2）先求出直线的解析式，然后过点P作轴交于点D，设点P的坐标为，则点D的坐标为，根据求出面积的最大值，然后求高即可．
【详解】（1）解：把和代入得：
，解得，
∴二次函数的解析式为；
（2）解：令，则，解得：，，
∴点B的坐标为，
∴，
设直线的解析式为，代入得：
，解得，
∴直线的解析式为，
过点P作轴交于点D，
设点P的坐标为，则点D的坐标为，
∴，
∴，
∴最大为，
∴．
49．（2022·天津滨海新·二模）已知：抛物线（b，c为常数），经过点A（－2，0），C（0，4），点B为抛物线与x轴的另一个交点．
(1)求抛物线的解析式；
(2)点P为直线BC上方抛物线上的一个动点，当△PBC的面积最大时，求点P的坐标；
(3)设点M，N是该抛物线对称轴上的两个动点，且，点M在点N下方，求四边形AMNC周长的最小值．
【答案】(1)
(2)（3，5）
(3)
【分析】(1)利用待定系数法即可求出抛物线的函数表达式；
(2)首先点B的坐标，再求出直线BC的解析式，过点P作PF⊥x轴于F，交于点Q，设点，,当时，有最大值,即可求出点P的坐标；
（3）由四边形AMNC的周长，得到当AM+CN最小时，四边形AMNC的周长最小，得出AM+CN=AM+DM，求出的最小值即可得到结论.
【详解】（1）解：∵抛物线经过点A（-2，0），C（0，4），
∴
解得
∴该抛物线的解析式：
（2）解：∵点B是抛物线与x轴的交点，
∴ ，
∴，
∴点B的坐标为（6，0），
设直线BC的解析式为y=kx+n，
∵点B（6，0），C(0，4)
∴
解得 ，
∴直线解析式为：，
如图，过点P作PF⊥x轴于F，交于点Q，
设点，
∴，
∴
∴当时，有最大值，
∴点P的坐标为（3，5）．
（3）解：∵A（-2，0），C（0，4），
∴，
∵四边形AMNC的周长，，
∴当AM+CN最小时，四边形AMNC的周长最小.
将CN向下平移2个单位长度，得到对应线段DM，
∴点C的对应点D的坐标为（0，2），
∴AM+CN=AM+DM，
可知抛物线的对称轴为直线，
如图，作点D关于对称轴的对称点，可求得（4，2），连接，
则，
过点作⊥x轴于点E，，，
∴的最小值为，
∴四边形周长的最小值为．
【点睛】本题为二次函数中考压轴题，考查了二次函数的图象与性质、待定系数法、最短路线问题等知识点，正确作出辅助线是解题的关键．
题型05 将军饮马最值问题
图示 如图，点D为直线上一动点，求AD+BD的最小值. 如图，点M，N分别为m1，m2上的动点，点P为定点，求PM+PN+MN的最小值. 如图，点C，D分别为OM，ON上的动点，点A，B为∠MON内的两个定点，求AC+CD+BD+AB的最小值.
解题策略 做B点关于直线m的对称点B'，连接DB',根据轴对称的性质，可知DB'=DB，所以，AD+BD=AD+DB'≥AB'，当且仅当A、D、B'三点共线时，AD+BD取得最小值，最小值为AB'的距离. 做点P关于m1，m2的对称点P',P''，那么当P'，M，N，P''四点共线时，PM+PN+MN取得最小值，最小值为的距离. 做A点关于OM的对称点A'，做B点关于ON的对称点B'，当A'，C，D，B'四点共线时，AC+CD+BD取得最小值，最小值为A'B'的长.所以，AC+CD+BD+AB的最小值就是A'B'+AB.
1）单对称
50．（22-23九年级上·全国·单元测试）如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与轴、轴分别交于、、三点，点是其顶点，若点是轴上一个动点，则的最小值为 ．

【答案】
【分析】本题主要考查了二次函数与几何综合，正确作出辅助线确定当、、三点共线时最小，即最小，最小值为是解题的关键．先求出，，如图所示，作点关于轴的对称点，连接、，则，然后证明当、、三点共线时最小，即最小，最小值为，利用勾股定理求出的长即可得到答案．
【详解】解：在中，当时，，
；
抛物线解析式为，
；
如图所示，作点关于轴的对称点，连接、，则，
，
，
当、、三点共线时最小，即最小，最小值为，
的最小值，
故答案为：．
51．（2023·四川泸州·二模）如图，抛物线与轴交于，两点（点在点的左侧），与轴交于点，若点为抛物线上一点且横坐标为，点为轴上一点，点在以点为圆心，为半径的圆上，则的最小值 ．
【答案】/
【分析】先求出点，点，作点关于轴对称的点，则点，连接交与轴于，交于，过点作轴于，连接，当点与点重合，点与点重合时，为最小，最小值为线段的长，然后可在中由勾股定理求出，进而可得，据此可得出答案．
【详解】解：对于，当时，，
解得：，，
点的坐标为，
对于，当时，，
点的坐标为，
作点关于轴对称的点，则点，
连接交与y轴于，交于，过点作轴于，连接，
当点与点重合，点与点重合时，为最小，最小值为线段的长．
理由如下：
当点与点不重合，点与点不重合时，
根据轴对称的性质可知：，
，
根据“两点之间线段最短”可知：，
即：，
，
，
即：，
当点与点重合，点与点重合时，为最小．
点，，
，，，
，
在中，，，
由勾股定理得：，
．
即为最小值为．
故答案为：．
【点睛】此题主要考查了二次函数与轴的交点，利用轴对称求最短路线，圆的性质，勾股定理等，解答此题的关键是准确的求出二次函数与轴的交点坐标，难点是确定当为最小时，点，的位置．
2）多对称
52．（2023·陕西西安·三模）如图，抛物线y＝﹣x2+2x+3交x轴于A，B两点，交y轴于点C，点D为抛物线的顶点，点C关于抛物线的对称轴的对称点为E，点G，F分别在x轴和y轴上，则四边形EDFG周长的最小值为 ．
【答案】 +
【分析】根据抛物线解析式求得点D（1，4）、点E（2，3），作点D关于y轴的对称点D′（-1，4）、作点E关于x轴的对称点E′（2，-3），从而得四边形EDFG的周长=DE+DF+FG+GE=DE+D′F+FG+GE′，当点D′、F、G、E′四点共线时，周长最短，据此根据两点间的距离公式可得答案．
【详解】解：如图，
在y＝﹣x2+2x+3中，当x＝0时，y＝3，即点C（0，3），
∵y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4，
∴对称轴为x＝1，顶点D（1，4），
则点C关于对称轴的对称点E的坐标为（2，3），
作点D关于y轴的对称点D′（﹣1，4），作点E关于x轴的对称点E′（2，﹣3），
连接D′、E′，D′E′与x轴的交点G、与y轴的交点F即为使四边形EDFG的周长最小的点，
四边形EDFG的周长＝DE+DF+FG+GE
＝DE+D′F+FG+GE′
＝DE+D′E′
＝.
∴四边形EDFG的周长的最小值为： +．
故答案是： +．
【点睛】本题主要考查抛物线与x轴的交点、轴对称-最短路线问题，根据轴对称的性质得出点F、G的位置是解题的关键．
53．（2021·黑龙江大庆·中考真题）如图，抛物线与轴交于除原点和点，且其顶点关于轴的对称点坐标为．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）抛物线的对称轴上存在定点，使得抛物线上的任意一点到定点的距离与点到直线的距离总相等．
①证明上述结论并求出点的坐标；
②过点的直线与抛物线交于两点．证明：当直线绕点旋转时，是定值，并求出该定值；
（3）点是该抛物线上的一点，在轴，轴上分别找点，使四边形周长最小，直接写出的坐标．
【答案】（1）；（2）；，证明见解析（3），
【分析】（1）先求出顶点的坐标为，在设抛物线的解析式为，根据抛物线过原点，即可求出其解析式；
（2）设点坐标为，点坐标为，利用两点间距离公式，结合题目已知列出等量关系；设直线的解析式为，直线与抛物线交于点，直线方程与抛物线联立得出，在结合的结论，分别表示出的值，即可求解；
（3）先求出点的坐标，分别作点关于轴的对称点，点关于轴的对称点，连接，交轴于点，交轴于点，则点即为所求
【详解】解：（1）点B关于轴对称点的坐标为
点的坐标为
设抛物线的解析式为
抛物点过原点
解得
抛物线解析式为：即
（2）设点坐标为，点坐标为
由题意可得：
整理得：
点的坐标为
设直线的解析式为，直线与抛物线交于点
整理得：
由得
整理得：
（3）点在抛物线上，
如图：作点关于轴的对称点，点关于轴的对称点
则点，点 ，连接，交轴于点，交轴于点，则此时四边形PQBC周长最小
设直线的解析式为
解得
直线的解析式为
点坐标为，点坐标为
【点睛】本题考查了待定系数法求抛物线解析式，点到直线的距离，两点间距离公式，以及线段最值问题，以及点的对称问题，综合性较强
3）将军遛马
54．（2024·吉林长春·三模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，与轴的一个交点为点，点在抛物线对称轴左侧，线段CD在对称轴上，，则四边形周长的最小值为 ．
【答案】
【分析】本题考查了二次函数的几何综合，平行四边形的判定与性质，勾股定理，两点之间线段最短，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先得点的坐标和再证明四边形是平行四边形，得出，结合两点之间线段最短，故四边形的周长是，运用两点距离公式列式计算，得出，代入计算即可作答．
【详解】解：∵抛物线与轴交于点，与轴的一个交点为点，
∴当时，
∴点的坐标是，
当时，则，
∴，
设抛物线与轴的另外一个交点为M，
∴
∴对称轴；
则
过点M作轴，且，
∵轴，线段CD在对称轴上，
∴
∵
∴四边形是平行四边形
∴
连接与对称轴相交于一点，即为点D的位置，再连接
∵对称轴，线段CD在对称轴上，
∴
∴
此时四边形周长有最小值
即
∵
∴
则
则
∴四边形周长的最小值为
故答案为：
55．（24-25九年级上·山东泰安·期中）如图所示，抛物线与轴交于点和点，与轴交于点，且，点、是直线上的两个动点，且（点在点的上方），则四边形的最小值是 ．

【答案】
【分析】本题主要考查了二次函数综合，平行四边形的性质与判定，已知两点坐标求两点距离等等，正确作出辅助线是解题的关键．
先求出点的坐标，求出求出点的坐标即可求出抛物线解析式，从而求出点的坐标，取 ，连接，，，可证四边形是平行四边形，得到，则四边形的周长，再由点，关于直线对称，得到，则，故当、、三点共线时，最小，最小为，即此时最小，据此求解即可．
【详解】解：点是抛物线与轴交点，
点的坐标为，
，
点的坐标为，
，
，
抛物线解析式为，
抛物线对称轴为直线，
令，则，
解得或，
点的坐标为，
取 ，连接，，，
，
又，
四边形是平行四边形，
，
点，关于直线对称，
，
，
当、、三点共线时，最小，最小为，即此时最小，
，
四边形的最小值为．
故答案为：．
56．（2021·新疆乌鲁木齐·三模）如图，抛物线经过点，与轴交于点和点（点在点的右边），且．
（1）求抛物线的解析式和顶点坐标；
（2）如图1，点、在直线上的两个动点，且，点在点的上方，求四边形的周长的最小值；
（3）如图2，点为抛物线上一点，连接，直线把四边形的面积分为3：5两部分，求点的坐标．
【答案】（1），顶点坐标为（1，4）； （2）四边形的周长的最小值为；（3）点的坐标为（4，－5）或（8，－45）.
【分析】（1）根据待定系数法求得a、b、c的值即可确定抛物线的解析式，再利用配方法得出顶点坐标．
（2）把向下移1个单位得点，再作关于抛物线的对称轴的对称点，连接，与对称轴交于点，再在对称轴上点上方取点，使得，连接，此时四边形的周长最小，根据勾股定理即可得出．
（3）分或两种情况讨论即可．
【详解】解：（1）∵点，，
∴,
把、、三点坐标代入，得
，解得，
∴抛物线的解析式为：，
∵，
∴顶点坐标为（1，4）；
（2）把向下移1个单位得点，再作关于抛物线的对称轴的对称点，连接，与对称轴交于点，再在对称轴上点上方取点，使得，连接，此时四边形的周长最小，
则,
∵,
∴,
∵对称轴是直线，
∴,
∵,
∴,
,
∴四边形的周长的最小值为；
（3）如图，设直线交轴于点，
直线把四边形的面积分为3：5两部分，
又∵，
则或5:3，
则或1.5，
即点的坐标为（1.5，0）或（0.5，0），
将点的坐标代入直线的表达式：，
解得：或－2，
故直线的表达式为：或，
联立方程组
解得：（不合题意值已舍去），
解，
解得：8（不合题意值已舍去），
故点的坐标为（4，－5）或（8，－45）.
【点睛】本题考查二次函数综合题、涉及待定系数法求一次函数和二次函数解析式，二次函数图象与性质，勾股定理、轴对称、一次函数等知识，灵活掌握相关知识是解题的关键第三章 函数
重难点03 二次函数的最值问题
（2种命题预测+19种题型汇总+专题训练+10种解题方法）
【题型汇总】
类型一 代数最值
题型01 定轴定区间最值问题
解题方法：对于二次函数在m≤x≤n上的最值问题(其中 a、b、c、m和n均为定值，表示y的最大值，表示y的最小值.
1）若自变量x为全体实数，如图①，函数在x=时，取到最小值，无最大值.
2）若m≤≤n，n时，如图②，当，当
3) 若m≤≤n，n时，如图③，当，当
4) 若m≤x≤n＜时，如图④，当，当
5) 若＜m≤x≤n时，如图⑤，当，当
1．（2023·辽宁大连·中考真题）已知抛物线，则当时，函数的最大值为（ ）
A． B． C．0 D．2
2．（2024·山东济宁·一模）已知二次函数，若当时，的最大值是3，则的值为 ．
3．（2023·江苏宿迁·模拟预测）已知二次函数，当时，y的最小值为，则a的值为 ．
4．（2020·浙江杭州·模拟预测）已知二次函数的图象经过三点．
（1）求抛物线解析式；
（2）当时，求函数值y的范围；
题型02 利用对称轴与图像解决图系关系问题
解题方法：开口方向不确定时，先讨论开口方向;
1）开口向上时，离对称轴越近，函数值越小，离对称轴越远，函数值越大;
2）开口向下时，离对称轴越近，函数值越大，离对称轴越远，函数值越小。
5．（2024·安徽淮南·三模）已知二次函数
（1）若则函数的最大值为 ．
（2）若当时，的最大值为5，则的值为 ．
6．（2024·浙江温州·三模）已知二次函数，当时，y的最小值为，则a的值为（ ）
A．或4 B．4或 C．或4 D．或
7．（2022·广西贺州·中考真题）已知二次函数y=2x2 4x 1在0≤x≤a时，y取得的最大值为15，则a的值为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
题型03 定轴动区间最值问题（区间有一端不确定）
解题方法：对于二次函数中含有参数，对称轴不确定，要求在定区间m≤x≤n条件下函数的最值，那么就需要分别讨论对称轴x=，相对于区间m≤x≤n的位置:
1）轴在区间左侧：如图①，当＜m，对称轴在区间的左侧，那么在区间内，y随着x的增大而增大，所以，当x=m时，y取值最小值；当x=n时，y取得最大值.
2）轴在区间中间：如图②③，当m≤≤n，对称轴在区间中间，那么在区间内，y值先随着x的增大而减小，又随着x的增大而增大，所以，当x=时，y取得最小值，m、n两个数谁离对称轴远，就在谁处取得最大值，或者把x=m时的y值和 x=n时的y值计算出来并进行比较，谁大谁就是最大值.
3）轴在区间右侧：如图④，当＞m，对称轴在区间的右侧，那么在区间内，y随着x的增大而减小，所以，当x=m时，y取值最大值；当x=n时，y取得最小值.
8．（2022·四川资阳·中考真题）如图是二次函数的图象，其对称轴为直线，且过点．有以下四个结论：①，②，③，④若顶点坐标为，当时，y有最大值为2、最小值为，此时m的取值范围是．其中正确结论的个数是( )
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
9．（2023·吉林长春·模拟预测）已知二次函数，当时，函数值的最大值为，则的取值范围 ．
10．（2022·吉林长春·中考真题）已知二次函数，当时，函数值y的最小值为1，则a的值为 ．
11．（2022·浙江绍兴·中考真题）已知函数（b，c为常数）的图象经过点（0，﹣3），（﹣6，﹣3）．
(1)求b，c的值．
(2)当﹣4≤x≤0时，求y的最大值．
(3)当m≤x≤0时，若y的最大值与最小值之和为2，求m的值．
题型04 定轴动区间最值问题（区间有两端不确定）
12．（2024·浙江温州·三模）已知二次函数，当时，函数的最大值是，则的取值范围是( )
A． B． C． D．
13．（2021·浙江嘉兴·中考真题）已知二次函数．
（1）求二次函数图象的顶点坐标；
（2）当时，函数的最大值和最小值分别为多少？
（3）当时，函数的最大值为，最小值为，m-n=3求的值．
14．（2024·贵州六盘水·二模）已知二次函数图象的顶点坐标为，且图象经过点，．
(1)求二次函数的表达式
(2)将二次函数的图象向右平移个单位，图象经过点，求m 的值；
(3)在由（2）平移后的图象上，当时，函数的最小值为，求n的值．
15．（2024·云南昆明·一模）已知抛物线（实数a为常数）的对称轴为直线．
(1)求抛物线的函数关系式；
(2)记x在某个范围时，函数y的最大值为m，最小值为n，当时，则，求t的值．
题型05 动轴定区间
16．（2024·安徽池州·模拟预测）已知关于x的函数．
（1）当时，该二次函数图象的顶点坐标为 ；
（2）当时，函数有最小值，则m的值为 ．
17．（2024·陕西咸阳·模拟预测）已知二次函数（为常数，且），当时，函数的最大值与最小值的差为9，则的值为（ ）
A．－6 B．4 C．或0 D．0或
18．（2024·浙江嘉兴·一模）已知二次函数（b，c为常数且，），当时，，则c的值为 ．
题型06 动轴动区间的最值问题
19．（2024·云南昭通·二模）已知关于的二次函数（，为常数）．
(1)若，试说明该函数图象与轴必有两个不同的交点；
(2)若时，函数的最大值为，最小值为，且，求的值．
20．（21-22九年级下·吉林长春·阶段练习）在平面直角坐标系中，已知二次函数为常数，，若对于任意的满足，且此时所对应的函数值的最小值为，则 ．
题型07 动轴动区间参数取值范围问题
21．（24-25九年级上·北京丰台·期中）在平面直角坐标系中，点为抛物线上的两点．
(1)当时，求抛物线的对称轴；
(2)若对于，都有，求h的取值范围．
22．（22-23九年级上·北京·期中）在平面直角坐标系中，已知抛物线．
(1)求抛物线的顶点坐标（用含的代数式表示）；
(2)点，在抛物线上，其中，．
①若的最大值是2，求的最小值；
②若对于，，都有，直接写出的取值范围．
类型二 几何最值问题
题型01 二次函数中的线段最值问题
平行于坐标轴的线段的最值问题，常常用线段两端点的坐标差表示线段长对应的函数表达式，然后运用二次函数的性质求最值.解决这类问题的关键如下：
①确定线段长对应的函数表达式，当线段平行于y轴时，用上端点的纵坐标减去下端点的纵坐标；
当线段平行于x轴时，用右端点的横坐标减去左端点的横坐标；
②确定函数的最值，注意函数自变量的取值范围.
注意：单线段最值求解时一定要保证线段是非负的.
1）铅垂线段的求法-横坐标相同
23．（2024·内蒙古乌海·一模）如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点A，与y轴交于点C．抛物线经过A、C两点，且与x轴交于另一点B（点B在点A右侧）．
(1)求抛物线的解析式；
(2)设该抛物线的顶点为点H，求的面积；
(3)若点M是线段上一动点，过点M的直线平行y轴交x轴于点D，交抛物线于点E，求长的最大值及点M的坐标；
(4)在(3)的条件下：当取得最大值时，在x轴上是否存在这样的点P，使得以点M、点B、点P为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，请直接写出所有点P的坐标；若不存在，请说明理由．
24．（2024·山西·二模）如图，抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，连接．
(1)求A，B，C三点的坐标，并直接写出线段所在直线的函数表达式；
(2)点P是线段上方抛物线上的一个动点，过点P作轴于点M，交于点N求线段长的最大值．
25．（2024·内蒙古呼伦贝尔·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图像经过原点和点．经过点的直线与该二次函数图象交于点，与轴交于点．
(1)求二次函数的解析式及点的坐标；
(2)点是二次函数图象上的一个动点，当点在直线上方时，过点作轴于点，与直线交于点，设点的横坐标为．
①为何值时线段的长度最大，并求出最大值；
②是否存在点，使得与相似．若存在，请求出点坐标；若不存在，请说明理由．
2）水平相等的求法-纵坐标相同
26．（2024·江西九江·二模）已知一次函数与二次函数（m为常数）的图象在同一平面直角坐标系中．
(1)当 时，求两个函数图象的交点坐标．
(2)如果两个函数图象没有交点，求m的取值范围．
(3)如图，当 时，点P和点Q分别是两个函数图象上的任意一点．
①当轴时，求 的最小值；
②当轴时，求 的最小值．
27．（23-24九年级下·重庆·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线（）过点、，与轴交于点．

(1)求抛物线的表达式：
(2)点为第四象限内抛物线上一动点，过点作轴交直线于，为直线上一点，且，求的最大值及此时点的坐标：
(3)在（2）问的前提下，在抛物线对称轴上是否存在点，使的度数最大，若存在，请写出点的坐标，并做详细解答．
28．（2023·内蒙古·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴的交点分别为和（点在点的左侧），与轴交于点，点是直线上方抛物线上一动点．
(1)求抛物线的解析式；
(2)如图1，过点作轴平行线交于点，过点作轴平行线交轴于点，求的最大值及点的坐标；
(3)如图2，设点为抛物线对称轴上一动点，当点，点运动时，在坐标轴上确定点，使四边形为矩形，求出所有符合条件的点的坐标．
3）斜线段的求法-化斜为直
29．（2024·安徽芜湖·三模）如图，抛物线与坐标轴分别交于点，连接，已知抛物线的对称轴为直线，．
(1)求的值．
(2)若点在线段上，过点作，交抛物线于点，求线段的最大值．
(3)若点在轴上，点在抛物线上，当为平行四边形的四个顶点时，求点的坐标．
30．（2024·山东日照·二模）如图，抛物线与轴交于点，，与轴交于点，且，点是线段上一动点，过点作轴交直线于点，交抛物线于点，连接．
(1)求抛物线的解析式：
(2)过点作，垂足为，求出的最大值；
(3)试探究在点的运动过程中，是否存在点，使得为直角三角形，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
31．（2024·甘肃临夏·中考真题）在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，作直线．
(1)求抛物线的解析式．
(2)如图1，点是线段上方的抛物线上一动点，过点作，垂足为，请问线段是否存在最大值？若存在，请求出最大值及此时点的坐标；若不存在请说明理由．
(3)如图2，点是直线上一动点，过点作线段（点在直线下方），已知，若线段与抛物线有交点，请直接写出点的横坐标的取值范围．
4）距离最值问题
32．（2024·湖南娄底·一模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过，两点，直线与轴交于点，与抛物线交于点．
(1)求抛物线的解析式；
(2)在线段上是否存在点，使得是直角？若存在，求出点的坐标，若不存在，请说明理由．
(3)点为抛物线上的动点，，过作轴的垂线交直线于点，求当点到直线的距离最大时的值．
33．（2024·山西晋中·二模）综合与探究
如图，直线与轴交于点，与轴交于点，抛物线经过、两点，与轴另一个交点为点．
(1)求抛物线的解析式；
(2)点为第一象限抛物线上一动点，请你确定一点，使点到直线的距离最大，求出点的坐标及点到直线的距离最大值；
(3)在（2）的结论下，此抛物线上是否存在点，使得以点、、为顶点的三角形与面积相等？若存在，请直接写出符合的点的坐标；若不存在，请说明理由．
5）线段比最值问题
34．（2022·江苏宿迁·二模）如图1，在平面直角坐标系中，抛物线与轴分别交于、两点，与轴交于点，顶点为点，连接、，点为直线上方抛物线上一动点，连接交于点．
(1)求抛物线的函数表达式及顶点的坐标；
(2)当的值最大时，求点的坐标及的最大值；
(3)如图2，在（2）的条件下，是此抛物线对称轴上长为2的一条动线段（点在点上方），连接、，当四边形周长取最小值时，求点的坐标；在此条件下，以点、、、为顶点的四边形为平行四边形，直接写出点的坐标．
35．（2024·山东济宁·一模）已知抛物线与轴交于，两点，与轴交于点．
(1)求抛物线的表达式；
(2)如图1，在对称轴上是否存在点，使是以直角边的直角三角形？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
(3)如图2，点在直线下方的抛物线上，连接交于点，当最大时，请直接写出点的坐标．
题型02 二次函数线段和、差最值
1）线段和最小问题
图形
条件 如图，A，B两定点分布在直线m两侧，点D为直线上一动点，求AD+BD的最小值. 如图，A，B两定点分布在直线m同侧，点D为直线上一动点，求AD+BD的最小值.
结论 当A，D，B三点共线时，AD+BD取得最小值，最小值为AB的长. 当A，D，B'三点共线时，AD+BD取得最小值，最小值为AB'的长.
36．（2024·江苏扬州·二模）如图，抛物线经过，两点，并交x轴于另一点B，点M是抛物线的顶点，直线与轴交于点D．
(1)求该抛物线的表达式；
(2)若点H是抛物线对称轴上一动点，分别连接，求的最小值．
37．（2024·宁夏银川·一模）如图1，抛物线与轴交于两点，与轴交于点，顶点坐标为．
(1)求该抛物线的表达式；
(2)点是抛物线对称轴上一点，当的值最小时，求出点的坐标及的最小值；
(3)如图2，若点是直线下方抛物线上的一动点，过点作轴的平行线交于点，过点作轴的平行线交轴于点，求的最大值及此时点的坐标．
38．（2023·山东枣庄·中考真题）如图，抛物线经过两点，并交x轴于另一点B，点M是抛物线的顶点，直线AM与y轴交于点D．

(1)求该抛物线的表达式；
(2)若点H是x轴上一动点，分别连接MH，DH，求的最小值；
(3)若点P是抛物线上一动点，问在对称轴上是否存在点Q，使得以D，M，P，Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出所有满足条件的点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
2）线段差最大问题
图形
条件 如图，A，B两点分布在直线m同侧，点D为直线m 上一动点,求|AD-BD|的最大值. 如图，A，B两点分布在直线m两侧，点D为直线m 上一动点,求|AD-BD|的最大值.
结论 当A，B，D三点共线时，|AD-BD|取得最大值，最大值为AB的长 当A、B'、D三点共线时，|AD-BD|取得最大值，最大值为AB'的长
39．（2024·安徽滁州·二模）已知，在平面直角坐标系内，抛物线 交x 轴于A，B 两点，交 y轴于点C，且．
(1)求抛物线与直线的解析式；
(2)点 P在抛物线的对称轴上，且使得的值最大，过对称轴上的另一点Q任作与x轴不平行的直线l，交抛物线于点 M，N，若的内心始终在抛物线的对称轴上，求点Q的坐标；
(3)在（2）的条件下，已知点 D是线段上(不含端点A，C)的一个动点，过点 D 作直线，交直线l于点E，过点E作，垂足为点 F，求线段的最小值．
40．（2023·内蒙古兴安盟·一模）如图，已知直线与y轴交于点A，与x轴交于点D，抛物线与直线交于A、E两点，与x轴交于B、C两点，且线段．（注：抛物线的对称轴为）
(1)求该抛物线的解析式；
(2)动点P在x轴上移动，当是直角三角形时，求点P的坐标；
(3)在抛物线的对称轴上找一点M，使的值最大，求点M的坐标．
41．（2023·湖北恩施·二模）如图，已知直线分别交x轴、y轴于点B．抛物线过A，B两点． P是线段AB上一动点，过点P作PC⊥x轴于点C，交抛物线于点D．

(1)若抛物线的顶点M的坐标为，其对称轴交于点N．
①求抛物线的解析式．
②在抛物线的对称轴上找一点Q，使的值最大，试求出点Q的坐标．
③是否存在点P，使四边形MNPD为平行四边形？若存在，求出此时点P的坐标．
(2)当点P的横坐标为1时，是否存在这样的抛物线，使得以B，P，D为顶点的三角形与相似？若存在，直接写出满足条件的抛物线的解析式；若不存在，请说明理由．
题型03 二次函数周长最值问题
无论是线段和的最小值或是周长的最小值，还是两条线段差的最大值等，解决该类问题的最基本依据就是“两点之间，线段最短”,基本模型就是最短路径问题，即“将军饮马问题”.解题方法就是通过轴对称作出对称点加以解决，若需要三边和最小，则需过两定点(即已知定长线段的两顶点)分别作出关于x轴与y的对称点，从而将三边转化到同一条直线上.
42．（2024·安徽阜阳·一模）如图，抛物线与x轴交于，两点，与轴交于点C．
(1)求抛物线的解析式；
(2)在抛物线的对称轴上找一点 P，使的周长最小，求的周长的最小值及此时点P的坐标；
(3)若M为抛物线在第一象限内的一动点，求出四边形的面积的最大值及此时点M的坐标.
43．（2024·安徽合肥·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，直线与抛物线交于，两点，点的横坐标为．
(1)求直线和抛物线的解析式；
(2)点是直线下方的抛物线上一动点（不与点重合），过点作轴的平行线，与直线交于点，连接，设点的横坐标为；
①若点在轴上方，当为何值时，是等腰三角形；
②若点在轴下方，设的周长为，求关于的函数关系式，当为何值时，的周长最大，最大值是多少？
44．（2024·宁夏银川·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与直线交于点，．
(1)求该抛物线的函数解析式；
(2)如图①，若点H是抛物线的顶点，在x轴上存在一点G，使的周长最小，求此时点G的坐标．
(3)如图②，点P为直线下方抛物线上的一动点，过点P作交于点M，过点P作y轴的平行线交x轴于点N，求的最大值及此时点P的坐标．
45．（2024·甘肃天水·二模）如图，已知抛物线的对称轴为直线，与y轴交于点Q，过其顶点M的一条直线与该抛物线的另一个交点为．
(1)求抛物线的解析式．
(2)求的面积．
(3)在x轴上确定一点P，使的周长最小，并求出此时的面积．
题型04 二次函数面积最值问题
解题思路：
1.设动点P的坐标为，过点P做辅助线；
2.利用水平宽铅锤高、割补法等，写出面积表达式(一般为二次函数的形式)；
3.写出表示面积的二次函数的顶点式,求出最值,即可得到三角形面积的最大值.
46．（2024·江苏徐州·中考真题）如图，A、B为一次函数的图像与二次函数的图像的公共点，点A、B的横坐标分别为0、4．P为二次函数的图像上的动点，且位于直线的下方，连接、．
(1)求b、c的值；
(2)求的面积的最大值．
47．（2024·海南·中考真题）如图1，抛物线经过点、，交y轴于点，点P是抛物线上一动点．
(1)求该抛物线的函数表达式；
(2)当点P的坐标为时，求四边形的面积；
(3)当时，求点P的坐标；
(4)过点A、O、C的圆交抛物线于点E、F，如图2．连接，判断的形状，并说明理由．
48．（2024·黑龙江牡丹江·中考真题）如图，二次函数的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，点A的坐标为，点C的坐标为，连接．
(1)求该二次函数的解析式；
(2)点P是抛物线在第四象限图象上的任意一点，当的面积最大时，边上的高的值为______．
49．（2022·天津滨海新·二模）已知：抛物线（b，c为常数），经过点A（－2，0），C（0，4），点B为抛物线与x轴的另一个交点．
(1)求抛物线的解析式；
(2)点P为直线BC上方抛物线上的一个动点，当△PBC的面积最大时，求点P的坐标；
(3)设点M，N是该抛物线对称轴上的两个动点，且，点M在点N下方，求四边形AMNC周长的最小值．
题型05 将军饮马最值问题
图示 如图，点D为直线上一动点，求AD+BD的最小值. 如图，点M，N分别为m1，m2上的动点，点P为定点，求PM+PN+MN的最小值. 如图，点C，D分别为OM，ON上的动点，点A，B为∠MON内的两个定点，求AC+CD+BD+AB的最小值.
解题策略 做B点关于直线m的对称点B'，连接DB',根据轴对称的性质，可知DB'=DB，所以，AD+BD=AD+DB'≥AB'，当且仅当A、D、B'三点共线时，AD+BD取得最小值，最小值为AB'的距离. 做点P关于m1，m2的对称点P',P''，那么当P'，M，N，P''四点共线时，PM+PN+MN取得最小值，最小值为的距离. 做A点关于OM的对称点A'，做B点关于ON的对称点B'，当A'，C，D，B'四点共线时，AC+CD+BD取得最小值，最小值为A'B'的长.所以，AC+CD+BD+AB的最小值就是A'B'+AB.
1）单对称
50．（22-23九年级上·全国·单元测试）如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与轴、轴分别交于、、三点，点是其顶点，若点是轴上一个动点，则的最小值为 ．

51．（2023·四川泸州·二模）如图，抛物线与轴交于，两点（点在点的左侧），与轴交于点，若点为抛物线上一点且横坐标为，点为轴上一点，点在以点为圆心，为半径的圆上，则的最小值 ．
2）多对称
52．（2023·陕西西安·三模）如图，抛物线y＝﹣x2+2x+3交x轴于A，B两点，交y轴于点C，点D为抛物线的顶点，点C关于抛物线的对称轴的对称点为E，点G，F分别在x轴和y轴上，则四边形EDFG周长的最小值为 ．
53．（2021·黑龙江大庆·中考真题）如图，抛物线与轴交于除原点和点，且其顶点关于轴的对称点坐标为．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）抛物线的对称轴上存在定点，使得抛物线上的任意一点到定点的距离与点到直线的距离总相等．
①证明上述结论并求出点的坐标；
②过点的直线与抛物线交于两点．证明：当直线绕点旋转时，是定值，并求出该定值；
（3）点是该抛物线上的一点，在轴，轴上分别找点，使四边形周长最小，直接写出的坐标．
3）将军遛马
54．（2024·吉林长春·三模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，与轴的一个交点为点，点在抛物线对称轴左侧，线段CD在对称轴上，，则四边形周长的最小值为 ．
55．（24-25九年级上·山东泰安·期中）如图所示，抛物线与轴交于点和点，与轴交于点，且，点、是直线上的两个动点，且（点在点的上方），则四边形的最小值是 ．

56．（2021·新疆乌鲁木齐·三模）如图，抛物线经过点，与轴交于点和点（点在点的右边），且．
（1）求抛物线的解析式和顶点坐标；
（2）如图1，点、在直线上的两个动点，且，点在点的上方，求四边形的周长的最小值；
（3）如图2，点为抛物线上一点，连接，直线把四边形的面积分为3：5两部分，求点的坐标．

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