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第三章 函数
重难点06 函数的整点，定点，定值问题
（2种命题预测+5种题型汇总+专题训练+3种解题方法）
【题型汇总】
类型一 函数的整点问题
【命题预测】若平面直角坐标系内的P点满足横、纵坐标都是整数，我们把这样的点P称为“整点”例如点(4,1)、(3,-4)都是整点. 在许多资料或考试中，有时也叫美点、好点或格点等. 一般来说，“整点问题”难度较大，涉及图像、函数、方程、不等式、分类讨论、数形结合等知识和方法，解这类题的关键是掌握通法!
题型01 一次函数的整点问题
函数已知，找整点个数 根据整点情况求未知参数
第一步 寻找已知函数图像上的整点作为边界点(线) 分类讨论，找临界状态时未知参数的取值
第二步 准确画图，确定区域 画临界状态时的图像找整点，再根据情况画参数取值在临界状态两侧时的图像的大致范围，看整点情况
第三步 关注是否包含边界上的整点 关注是否包含边界上的整点，确定未知参数的值或范围
注意事项 规范作图，防止画图错误导致点错位的情况发生. 找整点个数时的临界状态，若求无整点时的情况，可以找一个整点时的临界状态.
1．（2023年陕西省西安市高新一中中考六模数学试卷）已知一次函数，点A为其图象第一象限上一点，过点A作轴于点B，点B的横坐标为2018，若在线段AB上恰好有2018个整点包括端点，则b的取值范围是（　　）
A． B．
C． D．
2．（四川省内江市2020年中考数学试题）在平面直角坐标系中，横坐标和纵坐标都是整数的点叫做整点，已知直线（）与两坐标轴围成的三角形区域（不含边界）中有且只有四个整点，则t的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．且
3．（2023年湖北省武汉市青山区武钢实验学校中考5月模拟数学试题）若平面直角坐标系内的点满足横、纵坐标都为整数，则把点叫做“整点”，例如：、都是“整点”，四边形为正方形且点坐标为，有4条直线，其中，，，互不相等，则这4条直线在正方形内（包括边上）经过的整点的个数最多是（ ）
A．81个 B．80个 C．71个 D．70个
4．（2023年四川省达州市开江县永兴中学 中考数学模拟试卷6）在平面直角坐标系中，直线与直线分别交于点A，B．直线与交于点C．记线段，，围成的区域（不含边界）为W；横，纵坐标都是整数的点叫做整点．若区域W内没有整点，则k的取值范围是 ．
5．（2024年河北省邯郸市第十三中学中考模拟数学试题）如图，平面直角坐标系中，线段的端点为．
(1)求所在直线的解析式；
(2)设线段分别交轴，轴于两点，是平面直角坐标系中的一点．
①请判断点是否可能落在线段上 说明理由；
②当点在的内部（不含边界）时，求的取值范围；
(3)点在轴的正半轴上，连接．若直线使线段（包含端点）上的整点（横、纵坐标都是整数）分布在它的两侧，且个数相同，直接写出满足条件的整数的值．
题型02 反比例函数的整点问题
1．（2023年四川省乐山市犍为县九年级调研考试数学试题 ）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为，轴于点B，已知双曲线把分成、两部分，且与分别交于点C、D．
（1）连接，若则点D的坐标为 ；
（2）若内（不含边界）的整点（横、纵坐标均为整数的点）与内（不含边界）的整点个数比为，则k的取值范围是 ．
2．（2024年河北省邯郸市中考三模数学试题）如图，双曲线 （）经过点 和点 ，经过双曲线上的点且平行于的直线与轴交于点，点在点左上方，设为轴、直线、双曲线 （）及线段之间的部分 （阴影部分），解决下列关于 （不包括边界）内的整点（横、纵坐标都为整数）的问题：
（1）内整点的个数最多有 个；
（2）若内整点的个数为，则点的纵坐标的取值范围是 ．
3．（2024年河南省焦作市五城区中考联考数学试题）在平面直角坐标系中，正方形的边长为（为正整数），点在轴正半轴上，点在轴正半轴上．若点在正方形的边上，且，均为整数，定义点为正方形的“点”．
若某函数的图象与正方形只有两个交点，且交点均是正方形的“点”，定义该函数为正方形的“函数”．
例如：如图1，当时，某函数的图象经过点和，则该函数是正方形的“函数”．
图（1） 图（2） 图（3）
(1)当时，若一次函数是正方形的“函数”，则一次函数的表达式是______（写出一个即可）；
(2)如图2，当时，正方形的“整点函数的图象经过边上的点，与边相交于点，请直接写出的值______．
(3)当时，二次函数的图象经过点.若该函数是正方形的“函数”，求的取值范围；
4．（2024年湖北省荆州市中考二模数学试题）如图，直线与y轴交于点B，与直线交于点A，双曲线过点A．

(1)求反比例函数的解析式；
(2)①若将直线射线方向平移，当点A到点B时停止，则直线在平移过程中与x轴交点的横坐标的取值范围为_________；
②直接写出直线与双曲线围成的区域内（图中阴影部分，不含边界）整点（横坐标和纵坐标都是整数）的坐标．
5．（2024年广西南宁市第八中学六月初中毕业班适应性测试数学试题）生活中许多问题的解决既可以采用“代数”的方法解决．也可以从“图形”的角度来研究．某数学建模小组在综合实践课上探究面积为4，周长为m的矩形问题时，发现矩形的面积与周长存在一定的关系．小组成员进行了如下研究：
【问题探究】
（1）设矩形的长和宽分别为，，当时，这样的矩形存在吗？如果存在，请你求出矩形的长与宽；如果不存在，请你说明理由．
（2）从矩形的面积为4可得到y与x的函数关系式为，从矩形的周长为10可得到y与x的函数关系式为： ，将满足要求的可以看成这两个函数图象在第一象限内的交点坐标．观察图象可看出交点坐标为 ，即当矩形面积为4周长是10时，这样的矩形是存在的．
（3）根据上述方法请直接写出m的取值范围 ．
【拓展应用】
（4）我们把横、纵坐标都是整数的点叫做整点．如图2，函数的图象G经过点，直线l：与图象G交于点B，与y轴交于点C．记图象G在点A，B之间的部分与线段，，围成的区域（不含边界）为W．若区域W内恰好有4个整点，结合图象请直接写出b的取值范围 ．
题型03 二次函数的整点问题
1．（2024年河北省邯郸市馆陶县中考二模数学试题）我们把横、纵坐标都是整数的点称为整点，如图，抛物线：与（m是常数）围成的封闭区域（边界除外）内整点的个数不能是（ ）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
2．（2024年安徽省亳州市利辛县九年级中考二模数学试题）定义：在平面直角坐标系中，我们将横、纵坐标都是整数的点称为“整点”．
（1）抛物线与轴围成的区域内（不包括抛物线和轴上的点）整点有 个；
（2）若抛物线与轴围成的区域内（不包括抛物线和轴上的点）恰好有个“整点”，则的取值范围是 ．
3．（2021年江苏省扬州市江都区中考一模数学试题）在平面直角坐标系中，我们把横、纵坐标均为整数的点称为整点．若反比例函数与二次函数的图象在第一象限围成的封闭图形（不包括边界）内有且仅有2个整点，则实数的取值范围为 ．
4．（2024年河北省石家庄市第十七中学中考二模数学试题）在平面直角坐标系中，抛物线．我们将横、纵坐标都是整数的点叫做“整点”．
(1)当时，
①求该抛物线的顶点坐标；
②求该抛物线与轴围成的图形边界上的整点数
(2)若该抛物线与直线围成的区域内（不含边界）有4个整点，直接写出的取值范围．
5．（2024年河南省周口市沈丘县2校联考一模数学模拟试题）如图，抛物线的图象交轴于，两点，交轴于点，直线的图象经过点，交抛物线位于第四象限的图象于点．
(1)求抛物线的解析式；
(2)点为抛物线上一个动点，若点与点之间部分（含点与点）图象最高点和最低点纵坐标之差等于时，求点的坐标；
(3)连接，若内部（不含边）有个整点（横、纵坐标都是整数的点叫做整点），直接写出的取值范围．
6．（2023年安徽省合肥市庐江县中考二模数学试题）如图，直线和直线分别与轴交于点，点，顶点为的抛物线与轴的右交点为点．
(1)若，求的值和抛物线的对称轴；
(2)当点在下方时，求顶点与距离的最大值；
(3)在和所围成的封闭图形的边界上，把横、纵坐标都是整数的点称为“整点”，求出时“整点”的个数．
类型二 函数的定点问题
【命题预测】函数的解析式中除自变量外，还有待定的系数，此时函数的图像会随着待定的系数的变化而变化，图像变化过程中,有时始终会经过某个固定的点. 定点问题常出现在各地考试中，难度中上，掌握好定点问题的本质即可快速解决.
解题方法（以一次函数定点问题为例）：将一次函数化成即经过的顶点坐标为（a，b）.
1．（2023·黑龙江大庆·模拟预测）二次函数（为常数且）的图象始终经过第二象限内的定点．设点的纵坐标为，若该函数图象与在内没有交点，则的取值范围是 ．
2．（2024年云南省昆明市中考二模数学试题）如果一个点的横、纵坐标均为常数，那么我们把这样的点称为确定的点，简称定点．比如点就是一个定点．对于一次函数（是常数，），由于，当即时，无论为何值，一定等于，我们就说直线一定经过定点．设抛物线（是常数，）经过的定点为点，顶点为点．
(1)抛物线经过的定点的坐标是______；
(2)是否存在实数，使顶点在轴上？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由；
(3)当时，在的图像上存在点，使得这个点到点、点的距离的和最短．求的取值范围．
3．（湖北省十堰市实验中学名校教联体2024-2025学年九年级上学期10月月考数学试题）材料一：经过一点的直线解析式总可以表示为：比如过一点的直线解析式可以表示为：．
材料二：二次函数的图象若与直线有两点交点，，则此二次函数可表示为：，我们称此形式为“广义的二次函数交点式”；
(1)由材料一：直接写出直线经过的定点坐标；
(2)由材料二：若二次函数经过，，， 试求该二次函数的解析式．（结果写成一般式）
(3)若一次函数与（2）中的抛物线交于点，试用k表示出另一交点的横坐标．
4．（2024年云南省初中学业水平考试模拟数学模拟预测题（二））已知抛物线：，且．
(1)已知抛物线始终过定点，求定点的坐标；
(2)抛物线不经过第三象限，且经过点，若一元二次方程的两根分别是、，求证：．
5．（2022年山东省日照市中考数学试卷）在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y=-x2+2mx+3m，点A（3，0）．
(1)当抛物线过点A时，求抛物线的解析式；
(2)证明：无论m为何值，抛物线必过定点D，并求出点D的坐标；
(3)在（1）的条件下，抛物线与y轴交于点B，点P是抛物线上位于第一象限的点，连接AB，PD交于点M，PD与y轴交于点N．设S=S△PAM－S△BMN，问是否存在这样的点P，使得S有最大值？若存在，请求出点P的坐标，并求出S的最大值；若不存在，请说明理由．
6．（2022年四川省成都市中考数学真题）如图，在平面直角坐标系中，直线与抛物线相交于，两点（点在点的左侧），点关于轴的对称点为．
(1)当时，求，两点的坐标；
(2)连接，，，，若的面积与的面积相等，求的值；
(3)试探究直线是否经过某一定点．若是，请求出该定点的坐标；若不是，请说明理由．
7．（2024年福建省三明市大田县部分学校中考一模数学试题）如图1，抛物线的顶点为，与轴交于点，以点为顶点作，角两边分别与抛物线交于点，．
(1)求抛物线的解析式；
(2)如图2，若，求的长；
(3)判断直线是否经过定点，并说明理由．
8．（福建省福州市鼓楼区福州立志中学2023-2024学年九年级下学期中考模拟数学试题）已知抛物线 与x轴交于、B两点，顶点为P，与y轴交于C点，且的面积为6．
(1)求抛物线的对称轴和解析式；
(2)平移这条抛物线，平移后的抛物线交y轴于E，顶点Q在原抛物线上，当四边形是平行四边形时，求平移后抛物线的表达式；
(3)若过定点K的直线交抛物线于M、N两点（N在M点右侧），过N点的直线 与抛物线交于点 G， 求证： 直线必过定点．
9．（2023年湖北省武汉市江汉区中考三模数学试题）如图，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点．
(1)求抛物线的解析式；
(2)如图，点在抛物线上，若，求点的坐标；

(3)如图，直线与抛物线交于，两点，在抛物线上存在定点，使得任意实数，都有，求出点的坐标．

类型三 二次函数的定值问题
【解题方法】二次函数中的定值问题常与几何知识综合考查，常见的有线段和(差)面积，比值等.利用二次函数求解这些几何线段所代表的代数式定值问题属于定量问题，一般采用参数计算法，即在图形运动中，选取其中的变量(如线段长，点坐标)，设出参数，将要求的代数式用含参数的形式表示出来，消去参数后即得定值.
1．（2024·湖南·中考真题）已知二次函数的图像经过点，点，是此二次函数的图像上的两个动点．
(1)求此二次函数的表达式；
(2)如图1，此二次函数的图像与x轴的正半轴交于点B，点P在直线的上方，过点P作轴于点C，交AB于点D，连接．若，求证的值为定值；
(3)如图2，点P在第二象限，，若点M在直线上，且横坐标为，过点M作轴于点N，求线段长度的最大值．
2．（2023·四川绵阳·中考真题）如图，抛物线经过的三个顶点，其中O为原点，，，点F在线段上运动，点G在直线上方的抛物线上，，于点E，交于点I，平分，，于点H，连接．
(1)求抛物线的解析式及的面积；
(2)当点F运动至抛物线的对称轴上时，求的面积；
(3)试探究的值是否为定值？如果为定值，求出该定值；不为定值，请说明理由．
3．（2022·四川巴中·中考真题）如图1，抛物线，交轴于A、B两点，交轴于点，为抛物线顶点，直线垂直于轴于点，当时，．
(1)求抛物线的表达式；
(2)点是线段上的动点（除、外），过点作轴的垂线交抛物线于点．
①当点的横坐标为2时，求四边形的面积；
②如图2，直线，分别与抛物线对称轴交于、两点．试问，是否为定值？如果是，请求出这个定值；如果不是，请说明理由．
4．（2024·黑龙江大庆·二模）已知抛物线与x轴交于点和点，与y轴负半轴交于点A．
(1)求该抛物线的函数表达式；
(2)如图，若直线下方的抛物线上有一动点P，过点P作y轴平行线交于点F，过点P作的垂线，垂足为E，求周长的最大值；
(3)将抛物线向左平移1个单位，再向上平移4个单位，得到一个新的抛物线，问在y轴正半轴上是否存在一点M，使得当经过点M的任意一条直线与新抛物线交于S，T两点时，总有为定值？若存在，直接写出出点M坐标及定值，若不存在，说明理由．
5．（2024·江苏盐城·三模）抛物线与x轴交于A、B两点（A点在B点的左侧），与y轴交于点C，直线l是抛物线的对称轴，
(1)直接写出A、B、C三点坐标；
(2)如图1，若一次函数的图像与抛物线相交与M、N两点，
①若时，点E是直线MN上方抛物线上的一个动点，过点E作轴交MN于点D，连接ME，NE；当的面积最大时，试求面积的最大值；
②取MN的中点P，过点P作轴交抛物线于点Q，试判断是否为一个定值，若是，求出这一定值；若不是，说明理由．第三章 函数
重难点06 函数的整点，定点，定值问题
（2种命题预测+5种题型汇总+专题训练+3种解题方法）
【题型汇总】
类型一 函数的整点问题
【命题预测】若平面直角坐标系内的P点满足横、纵坐标都是整数，我们把这样的点P称为“整点”例如点(4,1)、(3,-4)都是整点. 在许多资料或考试中，有时也叫美点、好点或格点等. 一般来说，“整点问题”难度较大，涉及图像、函数、方程、不等式、分类讨论、数形结合等知识和方法，解这类题的关键是掌握通法!
题型01 一次函数的整点问题
函数已知，找整点个数 根据整点情况求未知参数
第一步 寻找已知函数图像上的整点作为边界点(线) 分类讨论，找临界状态时未知参数的取值
第二步 准确画图，确定区域 画临界状态时的图像找整点，再根据情况画参数取值在临界状态两侧时的图像的大致范围，看整点情况
第三步 关注是否包含边界上的整点 关注是否包含边界上的整点，确定未知参数的值或范围
注意事项 规范作图，防止画图错误导致点错位的情况发生. 找整点个数时的临界状态，若求无整点时的情况，可以找一个整点时的临界状态.
1．（2023年陕西省西安市高新一中中考六模数学试卷）已知一次函数，点A为其图象第一象限上一点，过点A作轴于点B，点B的横坐标为2018，若在线段AB上恰好有2018个整点包括端点，则b的取值范围是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】根据题意可以的关于b的不等式，然后根据题意即可求得b的取值范围．
【详解】解：由题意可得，
点A的横坐标为2018，
在线段AB上恰好有2018个整点包括端点，
，
解得，，
故选：D．
【点睛】本题考查一次函数图象与系数的关系，解答本题的关键是明确题意，利用函数的思想和不等式的性质解答．
2．（四川省内江市2020年中考数学试题）在平面直角坐标系中，横坐标和纵坐标都是整数的点叫做整点，已知直线（）与两坐标轴围成的三角形区域（不含边界）中有且只有四个整点，则t的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．且
【答案】D
【分析】画出函数图象，利用图象可得t的取值范围.
【详解】∵，
∴当y=0时，x=；当x=0时，y=2t+2，
∴直线与x轴的交点坐标为（，0），与y轴的交点坐标为（0，2t+2），
∵t>0，
∴2t+2>2，
当t=时，2t+2=3，此时=-6，由图象知：直线（）与两坐标轴围成的三角形区域（不含边界）中有且只有四个整点，如图1，
当t=2时，2t+2=6，此时=-3，由图象知：直线（）与两坐标轴围成的三角形区域（不含边界）中有且只有四个整点，如图2，
当t=1时，2t+2=4，=-4，由图象知：直线（）与两坐标轴围成的三角形区域（不含边界）中有且只有三个整点，如图3，
∴且，
故选：D.
【点睛】此题考查一次函数的图象的性质，一次函数图象与坐标轴交点坐标，根据t的值正确画出图象理解题意是解题的关键.
3．（2023年湖北省武汉市青山区武钢实验学校中考5月模拟数学试题）若平面直角坐标系内的点满足横、纵坐标都为整数，则把点叫做“整点”，例如：、都是“整点”，四边形为正方形且点坐标为，有4条直线，其中，，，互不相等，则这4条直线在正方形内（包括边上）经过的整点的个数最多是（ ）
A．81个 B．80个 C．71个 D．70个
【答案】C
【分析】根据“整点”的定义可知，在正方形内（包括边上）的整点横坐标的取值范围是0到20的自然数，直线在范时，当对应的整点最多可以是21个，其次当、对应的整点最多可以是11个由此解题．
【详解】解：由画图可知：

直线在正方形内（包括边上）经过的整点的个数有21个，
直线在正方形内（包括边上）经过的整点的个数有21个，
直线在正方形内（包括边上）经过的整点的个数有21个，
直线在正方形内（包括边上）经过的整点的个数有11个，
其中点是四条直线的交点，故经过的整点的个数最多是（个）
故选C．
【点睛】本题主要考查了一次函数图像的性质，解题关键是抓住，，，互不相等时那些直线上的整点多，注意整点的函数值与自变量的取值范围．
4．（2023年四川省达州市开江县永兴中学 中考数学模拟试卷6）在平面直角坐标系中，直线与直线分别交于点A，B．直线与交于点C．记线段，，围成的区域（不含边界）为W；横，纵坐标都是整数的点叫做整点．若区域W内没有整点，则k的取值范围是 ．
【答案】或
【分析】本题考查了一次函数图象的性质，一次函数中交点的计算，掌握一次函数图象的性质，数形结合，分类讨论思想是解题的关键．根据题意，分类讨论：当时，直线过第二、三、四象限，直线，；当，直线过第一、三、四象限，直线，；由题意作图分析即可求解．
【详解】解：当时，直线过第二、三、四象限，直线，，如图所示，
∴区域内必有原点，不符合题意，舍去；
当，直线过第一、三、四象限，直线，，如图所示，
∴当时，，即，
当时，，
解得，，即，
当时，，即在直线的图象上，不在区域内，
∵，，
∴区域内，横坐标的范围是从到，不存在整点，纵坐标的范围从到，不存在整点，符合题意；
当时，
∴，
同理，，，，
∴当时，，，，
当时，，，，
∴当时，存在整点，当，不存在整点；
当时，如图所示，
横坐标为的边界点为和，线段长为，
∴区域内有整点，不符合题意；
综上所述，或时，区域内没有整点，
故答案为：或 ．
5．（2024年河北省邯郸市第十三中学中考模拟数学试题）如图，平面直角坐标系中，线段的端点为．
(1)求所在直线的解析式；
(2)设线段分别交轴，轴于两点，是平面直角坐标系中的一点．
①请判断点是否可能落在线段上 说明理由；
②当点在的内部（不含边界）时，求的取值范围；
(3)点在轴的正半轴上，连接．若直线使线段（包含端点）上的整点（横、纵坐标都是整数）分布在它的两侧，且个数相同，直接写出满足条件的整数的值．
【答案】(1)
(2)①可能落在线段，理由见解析；②
(3)或
【分析】本题主要考查了在平面直角坐标系中一次函数与线段之间的联系；
（1）利用待定系数法即可求解；
（2）①把代入，计算即可求解；
②判断得出点P在直线上，画出图形，求得直线与坐标轴的交点即可求解；
（3）当x的值为3的整数倍时，该点为整点，则整点的横坐标为15，12，9，6，3，0，，，，共10个，与直线l的交点横坐标在之间（包括端点），设直线的解析式为，得到，再分类讨论，即可求解．
【详解】（1）解：∵线段的端点为，
∴
解得：
∴直线的解析式为；
（2）解：①把代入，得，
解得，则，
∴当时，点P是落在直线上；
②∵是平面直角坐标系中的一个动点，
∴点P在直线上，
当时，；
当时，；
∴直线与坐标轴的两个交点为，，

∵点P在的内部点P在线段上，
∴；
（3）解：对于直线，当的值为的整数倍时，该点为整点，
则在线段上，整点的横坐标为，，，，，，，，，共10个，
∵平分这10个整点，
∴与直线的交点横坐标在之间（不包括端点），
设直线的解析式为，
则，解得，
∴直线的解析式为，
解方程，
得，
∴，
当，即，则且54 36a<3a 33
∴且（舍去）；
当，即，则，
∴，
，
∴；
∵为整数，
∴可取或．
题型02 反比例函数的整点问题
1．（2023年四川省乐山市犍为县九年级调研考试数学试题 ）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为，轴于点B，已知双曲线把分成、两部分，且与分别交于点C、D．
（1）连接，若则点D的坐标为 ；
（2）若内（不含边界）的整点（横、纵坐标均为整数的点）与内（不含边界）的整点个数比为，则k的取值范围是 ．
【答案】
【分析】本题考查了反比例函数解析式、反比例函数与几何综合以及图象中的整点问题．解题的关键在于熟练掌握反比例函数的图象与性质以及数形结合的思想．
（1）由，可求的值，进而可得点坐标，然后将点坐标代入求得的值，然后可得反比例函数解析式，设直线的解析式为，将点坐标代入求得的值，然后可得直线的解析式，联立反比例函数与直线的解析式，求得合适的的值，然后代入反比例函数解析式求解可得点坐标；
（2）由题意知，中共有7个不含边界的整点，分别为，根据题意确定和内的点坐标，然后确定的取值范围即可．
【详解】解：（1）根据题意可得，
∴，
解得：，
∴，
，
将代入得，
解得：，
∴反比例函数解析式为，
设直线的解析式为，
将代入得，
解得：，
∴直线的解析式为，
联立两个解析式得，
解得：，
，
，
将代入得，
解得：，
，
故答案为：；
（2）解：由题意知，中共有7个不含边界的整点，分别为，
∵内（不含边界）的整点（横、纵坐标均为整数的点）与内（不含边界）的整点个数比为，
∴内点坐标为内点坐标为，
由第二象限的反比例函数图象越靠近原点越大可得，
故答案为：．
2．（2024年河北省邯郸市中考三模数学试题）如图，双曲线 （）经过点 和点 ，经过双曲线上的点且平行于的直线与轴交于点，点在点左上方，设为轴、直线、双曲线 （）及线段之间的部分 （阴影部分），解决下列关于 （不包括边界）内的整点（横、纵坐标都为整数）的问题：
（1）内整点的个数最多有 个；
（2）若内整点的个数为，则点的纵坐标的取值范围是 ．
【答案】 5
【分析】本题考查了一次函数与反比例函数交点问题；
（1）取点，观察函数图象，数出整点个数，即可求解；
（2）根据题意求得的解析式，根据平行于，设的解析式为，根据内整点的个数为，找到特殊点，，待定系数法的求得的值，即可求解．
【详解】解：（1）如图所示，取点，
∵双曲线 （）经过点 点 ，
∴，反比例函数解析式为，
∴，
当点在的左侧时，
内整点的个数最多有共5个点
故答案为：．
（2）∵，设直线的解析式为，则
∴，
∵平行于
设的解析式为
若内整点的个数为，则点在点的右侧，或与点重合，即
当经过点时，，解得：
当经过点时，，解得：
∵整点有4个，则不经过
∴
故答案为：．
3．（2024年河南省焦作市五城区中考联考数学试题）在平面直角坐标系中，正方形的边长为（为正整数），点在轴正半轴上，点在轴正半轴上．若点在正方形的边上，且，均为整数，定义点为正方形的“点”．
若某函数的图象与正方形只有两个交点，且交点均是正方形的“点”，定义该函数为正方形的“函数”．
例如：如图1，当时，某函数的图象经过点和，则该函数是正方形的“函数”．
图（1） 图（2） 图（3）
(1)当时，若一次函数是正方形的“函数”，则一次函数的表达式是______（写出一个即可）；
(2)如图2，当时，正方形的“整点函数的图象经过边上的点，与边相交于点，请直接写出的值______．
(3)当时，二次函数的图象经过点.若该函数是正方形的“函数”，求的取值范围；
【答案】(1)（或）
(2)的值为3或6
(3)或
【分析】（1）当时，，，，写出一个一次函数，其图象过，即可；
（2）求出，点的坐标为，可知函数的图象与正方形只有两个交点，且点，均是“点”，故函数 是正方形的“函数”； 求出，点的坐标为，可知函数的图象与正方形只有两个交点，且点，均是“点”，故函数 是正方形的“函数”；
（3）当时，把点代入二次函数 可得，故，该函数图象的顶点坐标为，可知点在函数 的图象上，①当时，抛物线顶点在轴上方，即可得，；②当时，函数 图象经过点，，一定是正方形的“函数”；从而可得的取值范围为；
【详解】（1）解：如图：
当时，，，，
当一次函数图象过，时，
，
解得：，
∴此时解析式为，且直线与正方形只有两个交点，
一次函数是正方形的“函数”；
当一次函数图象过，时，
，
解得：，
∴此时解析式为，且直线与正方形只有两个交点，
一次函数是正方形的“函数”；
故答案为：（或）；
（2）解：当点时，代入中得：，
解得，
，
把代入得，
点的坐标为，
函数的图象与正方形只有两个交点，且点，均是“点”，
函数是正方形的“函数”；
当点时，代入中得：，
解得，
，
把代入得，
点的坐标为，
函数的图象与正方形只有两个交点，且点，均是“点”，
函数是正方形的“函数”；
综上分析可知：或．
（3）解：当时，点的坐标为，点的坐标为，
把点代入二次函数 中得：，
，
，
该函数图象的顶点坐标为，
在中，令得，
点在函数的图象上，
函数 是正方形的“函数”，其图象经过点，，
①当时，抛物线顶点在轴上方，
，
解得，
；
②当时，函数 图象经过点，，则函数 一定是正方形的“函数”；
综上所述，的取值范围为或；
【点睛】本题考查二次函数综合应用，求反比例函数、一次函数解析式，涉及新定义，解题的关键是读懂题意，理解“函数”的定义．
4．（2024年湖北省荆州市中考二模数学试题）如图，直线与y轴交于点B，与直线交于点A，双曲线过点A．

(1)求反比例函数的解析式；
(2)①若将直线射线方向平移，当点A到点B时停止，则直线在平移过程中与x轴交点的横坐标的取值范围为_________；
②直接写出直线与双曲线围成的区域内（图中阴影部分，不含边界）整点（横坐标和纵坐标都是整数）的坐标．
【答案】(1)
(2)①； ②，
【分析】本题考查函数图象的交点，待定系数法，函数图象的平移．
（1）解由直线和组成的方程组，得到点A的坐标，代入反比例函数中，即可解答；
（2）①先求出直线平移前与x轴的交点的横坐标．设直线平移后的解析式为，把点B的坐标代入，求出平移到点B时停止的直线解析式，即可求出此时与x轴的交点的横坐标，即可解答；
②根据数形结合，求出满足要求的整点横坐标，即可解答．
【详解】（1）解：∵直线与直线交于点A，
∴解方程组得，
∴，
∵双曲线过点，
∴，解得，
∴反比例函数的解析式为；
（2）①对于直线，令，则，
∴直线与x轴的交点坐标为，即横坐标为0；
对于直线，令，则，
∴
设直线平移后的解析式为，
∵平移后的直线过点，
∴，
∴平移到点B时停止的直线解析式为，
令，则，解得，
此时与x轴的交点为，即交点的横坐标为，
∴直线在平移过程中与x轴交点的横坐标的取值范围为；
②如图，

解方程组，得，，
经检验，，均是方程组的解，
∴直线与双曲线的交点为，，
∴在点C与点A之间的整数点的横坐标为2，3，4，5，
当时，直线：上的点为，双曲线上的点为，
此时可得整点为；
当时，直线：上的点为，双曲线上的点为，
此时不能得到整点；
当时，直线：上的点为，双曲线上的点为，
此时可得整点为，
当时，直线：上的点为，双曲线上的点为，
此时不能得到整点．
综上，直线与双曲线围成的区域内（图中阴影部分，不含边界）整点的坐标为，．
5．（2024年广西南宁市第八中学六月初中毕业班适应性测试数学试题）生活中许多问题的解决既可以采用“代数”的方法解决．也可以从“图形”的角度来研究．某数学建模小组在综合实践课上探究面积为4，周长为m的矩形问题时，发现矩形的面积与周长存在一定的关系．小组成员进行了如下研究：
【问题探究】
（1）设矩形的长和宽分别为，，当时，这样的矩形存在吗？如果存在，请你求出矩形的长与宽；如果不存在，请你说明理由．
（2）从矩形的面积为4可得到y与x的函数关系式为，从矩形的周长为10可得到y与x的函数关系式为： ，将满足要求的可以看成这两个函数图象在第一象限内的交点坐标．观察图象可看出交点坐标为 ，即当矩形面积为4周长是10时，这样的矩形是存在的．
（3）根据上述方法请直接写出m的取值范围 ．
【拓展应用】
（4）我们把横、纵坐标都是整数的点叫做整点．如图2，函数的图象G经过点，直线l：与图象G交于点B，与y轴交于点C．记图象G在点A，B之间的部分与线段，，围成的区域（不含边界）为W．若区域W内恰好有4个整点，结合图象请直接写出b的取值范围 ．
【答案】（1）存在，矩形的长为4，宽为1；（2），或；（3）；（4）
【分析】本题是一次函数与反比例函数图象综合题，考查了一次函数、反比例函数的图象和性质，矩形的周长和面积等，画出图象并利用图象解决问题是解题关键．
（1）根据矩形的周长和面积可得，解方程即可求得答案；
（2）根据矩形的周长公式可得，画出反比例函数和一次函数的图象，观察图象即可得出答案；
（3）由题意得：函数和有交点，即方程有实数根，利用根的判别式即可求得答案；
（4）画出图象，结合图象即可得出答案．
【详解】解：（1）这样的矩形存在，长为4，宽为1；理由如下：
当矩形周长时，，
∴
矩形面积，
，
∴，
解得：或（舍，不符合题意），
∴，
矩形的长为4，宽为1；
（2）由矩形的周长为10，得：，
，
在同一坐标系中画出函数和的图象，如图1，
观察图象可知：函数和的图象有2个交点或，故这样的矩形存在．
故答案为：，或；
（3）当矩形的面积为4，周长为时，函数和有交点，
即有实数根，
，
∴，解得：
或，解得：
或（不符合题意，舍去），
故答案为：；
（4）如图2，
当直线经过时，区域内部有3个整数点、、，
此时，，
当直线经过时，区域内部有4个整数点、、，，
此时，，
，
当区域内恰好有4个整点时，；
故答案为：．
题型03 二次函数的整点问题
1．（2024年河北省邯郸市馆陶县中考二模数学试题）我们把横、纵坐标都是整数的点称为整点，如图，抛物线：与（m是常数）围成的封闭区域（边界除外）内整点的个数不能是（ ）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【分析】本题考查了二次函数图象与性质，图象的平移，运用数形结合思想是解题的关键．
先找出符合题意的整点共计10个，再依次以y轴上整点个数分类讨论，判断y轴右侧在区域内的整点个数即可．
【详解】解：∵，
∴顶点在x轴上，其余部分均在x轴上方，
而，
∴对称轴为直线，
则在x轴上方且与抛物线围成的整点有共10个，
当封闭区域在y轴上只有整点时，抛物线与y轴交于，如图：

此时，
∴，
则时，，
∴只有一个整点；
当封闭区域在y轴上只有整点，时，抛物线与y轴交于，如图：

此时，
∴，
则时，，
∴只有2个整点；
当封闭区域在y轴上只有整点，，时，抛物线与y轴交于，如图：

此时，
∴，
则时，，
就必定包括这个整点，
∴ 不能为3个，
故选：C．
2．（2024年安徽省亳州市利辛县九年级中考二模数学试题）定义：在平面直角坐标系中，我们将横、纵坐标都是整数的点称为“整点”．
（1）抛物线与轴围成的区域内（不包括抛物线和轴上的点）整点有 个；
（2）若抛物线与轴围成的区域内（不包括抛物线和轴上的点）恰好有个“整点”，则的取值范围是 ．
【答案】 ；
【分析】本题考查了二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质是解题的关键，
（）根据二次函数与坐标轴交点问题即可求解；
（）根据二次函数图象的性质即可求解．
【详解】（）如图，
当时，个“整点”，
当时，个“整点”，
当时，个“整点”，
一共有个“整点”，
故答案为：；
（）如图，
由得，根据图形可知，
当时，个“整点”，
当时，个“整点”，
当时，个“整点”，
若恰好有个“整点”，则抛物线经过时，，
抛物线经过时，，
抛物线经过时，，
的取值范围是，
故答案为：．
3．（2021年江苏省扬州市江都区中考一模数学试题）在平面直角坐标系中，我们把横、纵坐标均为整数的点称为整点．若反比例函数与二次函数的图象在第一象限围成的封闭图形（不包括边界）内有且仅有2个整点，则实数的取值范围为 ．
【答案】
【分析】先求出二次函数的顶点及与x轴的交点坐标，再求出其内部的整点为，，，再根据反比例函数与二次函数的图象在第一象限围成的封闭图形（不包括边界）内有且仅有2个整点，结合图象即可求解．
【详解】∵，
∴顶点为，
∵，
∴抛物线与轴的交点为，，
∴第一象限在内部的整点为，，，
∵反比例函数与二次函数的图象在第一象限围成的封闭图形（不包括边界）内有且仅有2个整点，即，，
∴在外面或者刚好在上，
∴，
故答案为．
【点睛】此题主要考查二次函数与反比例函数综合，解题的关键是根据函数图像的特点作图分析求解．
4．（2024年河北省石家庄市第十七中学中考二模数学试题）在平面直角坐标系中，抛物线．我们将横、纵坐标都是整数的点叫做“整点”．
(1)当时，
①求该抛物线的顶点坐标；
②求该抛物线与轴围成的图形边界上的整点数
(2)若该抛物线与直线围成的区域内（不含边界）有4个整点，直接写出的取值范围．
【答案】(1)①；②，，，，，，，
(2)
【分析】（1）①将二次函数配成顶点式，即可得到顶点坐标；②先求出该抛物线与轴的交点，确定x的范围后再进行计算即可求解；
（2）结合图象确定有4个整数点时m的最大和最小值，进而确定m的范围．
【详解】（1）①当时，
，
抛物线顶点坐标为，
②当时，
抛物线与轴交点为和，顶点坐标为，
此时抛物线与轴边界有，，，，，，，八个整点；
（2）
抛物线的对称轴为直线，顶点坐标为，
当抛物线顶点为，即时，
抛物线与直线所围成的区域内（不含边界）有，，，四个整点，如图：
当抛物线顶点为，即时，
抛物线与直线所围成的区域内（不含边界）有一个整点：
结合图象可知，．
【点睛】本题考查二次函数的图象与系数的关系，二次函数图象上点的特征，数形结合解题是解题的关键．
5．（2024年河南省周口市沈丘县2校联考一模数学模拟试题）如图，抛物线的图象交轴于，两点，交轴于点，直线的图象经过点，交抛物线位于第四象限的图象于点．
(1)求抛物线的解析式；
(2)点为抛物线上一个动点，若点与点之间部分（含点与点）图象最高点和最低点纵坐标之差等于时，求点的坐标；
(3)连接，若内部（不含边）有个整点（横、纵坐标都是整数的点叫做整点），直接写出的取值范围．
【答案】(1)；
(2)或；
(3)．
【分析】（）利用待定系数法即可求解；
（）分两种情况：点在对称轴的左侧和点在对称轴的右侧，根据抛物线在点与点之间部分（含点和点）最高点与最低点的纵坐标之差为，先求出点的纵坐标，再代入函数解析式求出点的横坐标即可求解；
（）由题意得：内部（不含边）有个整点，这个整点为，，，，，，，得到直线必经过点或经过与之间的点，不包括，据此求出的取值范围即可求解；
本题考查了用待定系数法求解析式，二次函数点的坐标特征，二次函数与一次函数的交点，解题的关键是准确理解二次函数的点的坐标特征，利用数形结合解决问题．
【详解】（1）解：（）∵抛物线的图象经过，两点，
∴，
解得
抛物线的解析式为；
（2）.
，
抛物线的顶点坐标为
当点在对称轴的左侧时，
此抛物线在点与点之间部分（含点和点）最高点与最低点的纵坐标之差为，
此时点是最低点，点是最高点，
点的纵坐标为，
令，则
解得（正数不合题意舍去），
；
当点在对称轴的右侧时，
此抛物线在点与点之间部分（含点和点）最高点与最低点的纵坐标之差为，
此时顶点是最低点，点是最高点，
点的纵坐标为，
令，则
解得（负数不合题意舍去），
；
综上，当此抛物线在点与点之间部分（含点和点C）最高点与最低点的纵坐标之差为时，或；
（3）解：的取值范围为．
由题意得：内部（不含边）有个整点，
如图，则这个整点为，，，，，，，
直线必经过点或经过与之间的点，不包括，
直线必经过点时，
，
解得
直线经过点时，
，
解得
；
综上，的取值范围为．
6．（2023年安徽省合肥市庐江县中考二模数学试题）如图，直线和直线分别与轴交于点，点，顶点为的抛物线与轴的右交点为点．
(1)若，求的值和抛物线的对称轴；
(2)当点在下方时，求顶点与距离的最大值；
(3)在和所围成的封闭图形的边界上，把横、纵坐标都是整数的点称为“整点”，求出时“整点”的个数．
【答案】(1)，对称轴
(2)1
(3)4048个
【分析】（1）先求得，根据即可得出，然后确定抛物线的对称轴即可；
（2）设点与的距离为，求出与的函数关系式，即可确定顶点与距离的最大值；
（3）求出抛物线与直线的交点，在其范围内，根据抛物线解析式和直线解析式的特点确定“整点”的个数．
【详解】（1）解：当时，可有，
∴，
∵，，
∴，解得，
∴，
∴抛物线的对称轴为；
（2）设点与的距离为，
∵抛物线，
∴的顶点，
∵点在下方，
∴与的距离为，
∴当时，点与距离的最大值为1；
（3）当时，抛物线解析式，
直线解析式，
联立上述两个解析式，得，，
∴抛物线与直线的交点为和，
∴每一个整数的值都对应一个整数值，且和2023之间（包括和2023）共有2025个整数，
∵所围成的封闭图形边界分两部分：线段和抛物线，
∴线段和抛物线上各有2025个整数点，
∴总计4050个点，
∵这两段图像交点有2个点重复，
∴ “整点”的个数：个．
【点睛】本题是二次函数综合题，主要考查了新定义“整点”、 坐标与图形、二次函数的图像与性质、二次函数与一次函数综合应用等知识，理解题意，运用数形结合的思想分析问题是解题关键．
类型二 函数的定点问题
【命题预测】函数的解析式中除自变量外，还有待定的系数，此时函数的图像会随着待定的系数的变化而变化，图像变化过程中,有时始终会经过某个固定的点. 定点问题常出现在各地考试中，难度中上，掌握好定点问题的本质即可快速解决.
解题方法（以一次函数定点问题为例）：将一次函数化成即经过的顶点坐标为（a，b）.
1．（2023·黑龙江大庆·模拟预测）二次函数（为常数且）的图象始终经过第二象限内的定点．设点的纵坐标为，若该函数图象与在内没有交点，则的取值范围是 ．
【答案】或
【分析】先计算二次函数过两个定点，确定，根据函数图象与在内没有交点，分和两种情况列不等式即可解答．
【详解】解： ，
，
，
当时，，
当时，，
二次函数（为常数且）的图象始终经过定点，
，
函数的图象与在内没有交点，
分两种情况：
①当时，时，，
即，
，
，
②当时，当时，，
即，
，
，
综上所述，的取值范围是或，
故答案为：或．
【点睛】本题主要考查了二次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是理解题意，计算定点的坐标．
2．（2024年云南省昆明市中考二模数学试题）如果一个点的横、纵坐标均为常数，那么我们把这样的点称为确定的点，简称定点．比如点就是一个定点．对于一次函数（是常数，），由于，当即时，无论为何值，一定等于，我们就说直线一定经过定点．设抛物线（是常数，）经过的定点为点，顶点为点．
(1)抛物线经过的定点的坐标是______；
(2)是否存在实数，使顶点在轴上？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由；
(3)当时，在的图像上存在点，使得这个点到点、点的距离的和最短．求的取值范围．
【答案】(1)
(2)不存在，理由见解析
(3)
【分析】本题主要考查了二次函数的图像与性质，含参数的二次函数问题的求解等知识点，结合二次函数的图像探究函数图像经过的定点以及定点对函数自变量取值范围是解题的关键．
（）将抛物线的解析式进行整理得，可得“定点”的坐标为；
（）根据判断即可；
（）先求出，再根据的图像上存在点，使得这个点到点、点的距离的和最短，得点、、三点共线，从而根据当过点和过点，即可求解的取值范围为．
．
【详解】（1）解： ，
当，即时，，
∴无论为何值一定等于，
∴抛物线一定过定点．
∴．
故答案为：．
（2）解：不存在，理由如下：
∵抛物线的顶点在轴上，
∴，
∴不存在实数，使顶点在轴上，
（3）解：∵当时，，
∴，
∵，在的图像上存在点，使得这个点到点、点的距离的和最短，
∴点、、三点共线，
∵在直线上，
∴当过点时得，
，
解得，
当过点时得，
，
解得，
∴的取值范围为．
3．（湖北省十堰市实验中学名校教联体2024-2025学年九年级上学期10月月考数学试题）材料一：经过一点的直线解析式总可以表示为：比如过一点的直线解析式可以表示为：．
材料二：二次函数的图象若与直线有两点交点，，则此二次函数可表示为：，我们称此形式为“广义的二次函数交点式”；
(1)由材料一：直接写出直线经过的定点坐标；
(2)由材料二：若二次函数经过，，， 试求该二次函数的解析式．（结果写成一般式）
(3)若一次函数与（2）中的抛物线交于点，试用k表示出另一交点的横坐标．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）根据材料一求解即可；
（2）根据材料二求解即可；
（3）首先联立一次函数和二次函数，然后根据根与系数的关系求解即可．
【详解】（1）由材料一得，直线
∴直线经过的定点坐标为；
（2）由材料二得，
∵二次函数与直线交于点和
∴该二次函数的解析式为
∴；
（3）联立一次函数和得
∴
整理得，
∵一次函数与（2）中的抛物线交于点，
∴设另一交点的横坐标为x
∴
∴
∴另一交点的横坐标为．
【点睛】此题考查了二次函数和一次函数的性质，求函数表达式，根于系数的关系等知识，解题的关键是掌握以上知识点．
4．（2024年云南省初中学业水平考试模拟数学模拟预测题（二））已知抛物线：，且．
(1)已知抛物线始终过定点，求定点的坐标；
(2)抛物线不经过第三象限，且经过点，若一元二次方程的两根分别是、，求证：．
【答案】(1)定点的坐标为
(2)详见解析
【分析】（1）抛物线始终过定点，与的取值无关，得到，解出此时的取值，代入抛物线解析式，即可求解，
（2）将点代入，求出的值，由根与系数关系，代入化简，即可求解，
本题考查了待定系数法求二次函数表达式，二次函数的图像与性质，根与系数关系，解题的关键是：熟练掌握相关知识点．
【详解】（1）解：抛物线 ，
若抛物线始终过定点，则此时与的取值无关，
，
解得：，
当时，，
故答案为：定点的坐标为，
（2）解：抛物线
不经过第三象限且经过定点，
抛物线开口向上即，解得：，
把代入，整理得：，
∵，
∴，解得：，（舍去），
一元二次方程为：，
∵一元二次方程的两根分别是、，
，，，
，，，
，
，
．
5．（2022年山东省日照市中考数学试卷）在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y=-x2+2mx+3m，点A（3，0）．
(1)当抛物线过点A时，求抛物线的解析式；
(2)证明：无论m为何值，抛物线必过定点D，并求出点D的坐标；
(3)在（1）的条件下，抛物线与y轴交于点B，点P是抛物线上位于第一象限的点，连接AB，PD交于点M，PD与y轴交于点N．设S=S△PAM－S△BMN，问是否存在这样的点P，使得S有最大值？若存在，请求出点P的坐标，并求出S的最大值；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)y=-x2+2x+3；
(2)证明见解析，；
(3)存在，点的坐标是（1，4），．过程见解析
【分析】（1）把x=3，y=0代入y=-x2+2mx+3m，从而求得m，进而求得抛物线的解析式；
（2）将抛物线的解析式变形为：y=－x2+m（2x+3），进而根据2x+3=0，求得x的值，进而求得结果；
（3）将S变形为：S=（S△PAM+S四边形AONM）－（S四边形AONM+S△BMN）=S四边形AONP－S△AOB，设P（m，-m2+2m+3），设PD的解析式为：y=kx+b，将点P和点D坐标代入，从而求得PD的解析式，进而求得点N的坐标，进而求得S关于m的解析式，进一步求得结果．
【详解】（1）解：把x=3，y=0代入y=-x2+2mx+3m得，
-9+6m+3m=0，
∴m=1，
∴y=-x2+2x+3；
（2）证明：∵y=-x2+m（2x+3），
∴当2x+3=0时，即时，，
∴无论m为何值，抛物线必过定点D，点D的坐标是；
（3）如图，
连接OP，
设点P（m，-m2+2m+3），
设PD的解析式为：y=kx+b，
∴，
∴，
∴PD的解析式为：y＝ ，
当x＝0时，y＝，
∴点N的坐标是（0，），
∴，
∵S=S△PAM-S△BMN，
∴S=（S△PAM+S四边形AONM）－（S四边形AONM+S△BMN）=S四边形AONP-S△AOB，
∵
，
当x＝0时，y=-x2+2x+3＝3，
∴点B的坐标是（0，3），OB＝3，
，
∴＝＝，
∴当时，，
当时，，
∴点的坐标是（1，4）．
【点睛】本题考查了一次函数的图象和性质、二次函数的图象和性质、待定系数法求函数解析式、二次函数求最值、三角形的面积等知识，解决问题的关键是数形结合和变形S，转化为常见的面积计算．
6．（2022年四川省成都市中考数学真题）如图，在平面直角坐标系中，直线与抛物线相交于，两点（点在点的左侧），点关于轴的对称点为．
(1)当时，求，两点的坐标；
(2)连接，，，，若的面积与的面积相等，求的值；
(3)试探究直线是否经过某一定点．若是，请求出该定点的坐标；若不是，请说明理由．
【答案】(1)点的坐标为，点的坐标为
(2)或
(3)是，
【分析】(1)解方程组，整理得到，解方程即可得到答案．
(2)分k＜0和k＞0，两种情形求解．
(3) 设直线A的解析式为y=px+q，根据题意求得p，q的值，结合方程组的意义，确定与y轴的交点即可．
【详解】（1）根据题意，得，
整理得到，
解方程，得，
当x=-3时，y=-9；当x=1时，y= -1；
∵点在点的左侧，
∴点的坐标为（-3，-9），点的坐标为（1，-1）．
（2）∵A，B是抛物线图像上的点，
设A（m，），B（n，），则（-n，），
当k＞0时，
根据题意，得，
整理得到，
∴m，n是的两个根，
∴，
设直线y=kx-3与y轴的交点为D，则点D（0，-3）
∴，，
∴==，
∴3==，
∴，
∵n≠0，
∴，，
∴，
解得k=或k= -(舍去)，
故k=；
当k＜0时，
根据题意，得，
整理得到，
∴m，n是的两个根，
∴，
设直线y=kx-3与y轴的交点为D，则点D（0，-3）
∴，，
∴==，
∴3==-，
∴-，
∵n≠0，
∴，，
∴，
解得k=-或k=(舍去)，
故k=-；
综上所述，k的值为或．
（3）直线A一定过定点（0，3）．理由如下：
∵A，B是抛物线图像上的点，
∴设A（m，），B（n，），则（-n，），
根据题意，得，
整理得到，
∴m，n是的两个根，
∴，
设直线A的解析式为y=px+q，根据题意，得
，
解得，
∴直线A的解析式为y=（n-m）x-mn，
∵mn=-3，
∴-mn=3，
∴直线A的解析式为y=（n-m）x+3，
故直线A一定过定点（0，3）．
【点睛】本题考查了抛物线与一次函数的交点问题，待定系数法，一元二次方程根与系数关系定理，对称性，熟练掌握抛物线与一次函数的交点，及其根与系数关系定理是解题的关键．
7．（2024年福建省三明市大田县部分学校中考一模数学试题）如图1，抛物线的顶点为，与轴交于点，以点为顶点作，角两边分别与抛物线交于点，．
(1)求抛物线的解析式；
(2)如图2，若，求的长；
(3)判断直线是否经过定点，并说明理由．
【答案】(1)
(2)4
(3)经过，理由见解析
【分析】（1）运用待定系数法即可求得答案；
（2）设直线交于，由题意得、关于直线对称，，设，则，建立方程求解即可得出答案；
（3）设直线的解析式为，，，，，可得，利用根与系数关系可得，，作轴于点，轴于点，根据，可得，即，再由，，推出，进而得出，即可求得定点坐标．
【详解】（1）解： 抛物线的顶点为，
设，把代入得：，
解得：，
，
抛物线的解析式为；
（2）解：，
抛物线的对称轴为直线，顶点，
如图1，设直线交于，
，，
、关于直线对称，，
设，则，
，，
，
解得：或（舍去），
；
（3）解：经过定点，理由如下：
设直线的解析式为，，，，，
由，整理得，
，，
作轴于点，轴于点，
，
，
，
，即，
，
，，
，
，
整理，得，
，
，
直线的解析式可表示为，
即，
当时，，
直线必经过定点．
【点睛】本题是二次函数综合题，考查了二次函数的图象与性质、解直角三角形、根与系数关系、用轨迹相交法求点的坐标等知识与方法，解题的关键是正确地作出所需要的辅助线，解题过程较为烦琐，涉及的知识与方法较多，难度较大，属于考试压轴题．
8．（福建省福州市鼓楼区福州立志中学2023-2024学年九年级下学期中考模拟数学试题）已知抛物线 与x轴交于、B两点，顶点为P，与y轴交于C点，且的面积为6．
(1)求抛物线的对称轴和解析式；
(2)平移这条抛物线，平移后的抛物线交y轴于E，顶点Q在原抛物线上，当四边形是平行四边形时，求平移后抛物线的表达式；
(3)若过定点K的直线交抛物线于M、N两点（N在M点右侧），过N点的直线 与抛物线交于点 G， 求证： 直线必过定点．
【答案】(1)直线,
(2)
(3)见解析
【分析】（1）抛物线的对称轴为直线，可得，根据的面积可得点的坐标，据此即可求解；
（2）设点，由平行四边形的性质可得，据此即可求解；
（3）设，可求出直线的解析式；根据直线过定点K可得；结合题意可求出点，即可进一步求出直线的解析式，即可求解；
【详解】（1）解：由题意得：抛物线的对称轴为直线
∵，
∴
令，则
∴
∵的面积为6．
∴，
解得：
∴，
将代入得：，
解得：，
∴
（2）解：∵，
∴
设点，
∵四边形是平行四边形，
∴且
∴，即：
∵顶点Q在原抛物线上，
∴，
解得：
∴
∴平移后抛物线的表达式为：
（3）解：设，设直线的解析式为：，
则，
解得：，
∴直线的解析式为：，
∵直线过定点
∴
得：
∵直线 过N点，
∴，，
∴
令，
解得：
∴
设直线的解析式为：，
则，
解得：，
∴直线的解析式为：，
∵，
∴直线的解析式为：，
当时，，
∴直线必过定点
【点睛】本题考查了二次函数与一次函数的综合问题，涉及了函数解析式的求解，平行四边形的性质，函数的平移等知识点，掌握待定系数法是解题关键．
9．（2023年湖北省武汉市江汉区中考三模数学试题）如图，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点．
(1)求抛物线的解析式；
(2)如图，点在抛物线上，若，求点的坐标；

(3)如图，直线与抛物线交于，两点，在抛物线上存在定点，使得任意实数，都有，求出点的坐标．

【答案】(1)
(2)，
(3)
【分析】（1）把A、C两点坐标代入，用待定系数法求解；
（2）设直线交轴点，则，进而求出点D的坐标，然后分情况讨论即可；
（3）过点作直线轴，分别过点，作的垂线，垂足分别为，，则，例用相似三角形的性质即可求解．
【详解】（1）解：∵抛物线经过，，
∴，，
解得，，，
∴抛物线的解析式为；
（2）解：设直线交轴点，如图所示，

则，
∵，
∴，
∴或，
当时，设直线的解析式为，
把，代入得，
解得，
∴直线的解析式为，
联立与，得，，解得，，，
当时，，
∴；
当时，同理可得直线的解析式为，
联立与，得，，解得，，，
当时，，
∴；
综上，符合条件的点的坐标为， ；
（3）解：由（1）得：抛物线的解析式为，
设，，，
将直线与抛物线联立，得，
则，是方程的两根，
∴， ，
∵，过点作直线轴，分别过点，作的垂线，垂足分别为，，则，

∴，
∴，
化简，得，
∴，
∴，
∴，
∵对于任意的都存在定点使等式成立，
∴，
当时，，
∴；
【点睛】本题考查二次函数的综合问题，涉及到待定系数法求解析式、锐角三角函数、相似三角形的判定及性质等，综合性较强，灵活运用所学知识和掌握解题技巧是关键．
类型三 二次函数的定值问题
【解题方法】二次函数中的定值问题常与几何知识综合考查，常见的有线段和(差)面积，比值等.利用二次函数求解这些几何线段所代表的代数式定值问题属于定量问题，一般采用参数计算法，即在图形运动中，选取其中的变量(如线段长，点坐标)，设出参数，将要求的代数式用含参数的形式表示出来，消去参数后即得定值.
1．（2024·湖南·中考真题）已知二次函数的图像经过点，点，是此二次函数的图像上的两个动点．
(1)求此二次函数的表达式；
(2)如图1，此二次函数的图像与x轴的正半轴交于点B，点P在直线的上方，过点P作轴于点C，交AB于点D，连接．若，求证的值为定值；
(3)如图2，点P在第二象限，，若点M在直线上，且横坐标为，过点M作轴于点N，求线段长度的最大值．
【答案】(1)
(2)为定值3，证明见解析
(3)
【分析】（1）用待定系数法求解即可；
（2）先求出直线的解析式，，则，，表示出，，代入即可求解；
（3）设，则，求出直线的解析式，把代入即可求出线段长度的最大值．
【详解】（1）∵二次函数的图像经过点，
∴，
∴，
∴；
（2）当时，，
∴，
∴，
设直线的解析式为，
∴，
∴，
∴，
设，则，，
∴，．
∴，
∴的值为定值；
（3）设，则，
设直线的解析式为，
∴，
∴，
∴，
当时，
，
∴当时，线段长度的最大值．
【点睛】本题考查了待定系数法求函数解析式，二次函数与几何综合，数形结合是解答本题的关键．
2．（2023·四川绵阳·中考真题）如图，抛物线经过的三个顶点，其中O为原点，，，点F在线段上运动，点G在直线上方的抛物线上，，于点E，交于点I，平分，，于点H，连接．
(1)求抛物线的解析式及的面积；
(2)当点F运动至抛物线的对称轴上时，求的面积；
(3)试探究的值是否为定值？如果为定值，求出该定值；不为定值，请说明理由．
【答案】(1)，的面积为12
(2)当点F运动至对称轴上时，的面积为3
(3)的值是定值，定值为
【分析】（1）运用待定系数法可得．设点到的距离为，点的纵坐标为，根据三角形面积公式即可求得；
（2）当点运动至对称轴上时，点的横坐标为3，可得．连接、，由点与点关于原点对称，可得点、、三点共线，且为的中点．推出，可得点到的距离为．再根据三角形面积公式即可求得答案；
（3）过点作于点，过点作于点．运用勾股定理可得．再证得为等腰直角三角形．设，则，再运用解直角三角形可求得，，即可求得答案．
【详解】（1）解：设抛物线解析式为，
将，代入上式，得，
整理得，
解得，
，
设点O到的距离为d，点A的纵坐标为，则，，
∴的面积；
（2）解：由（1）得抛物线的对称轴为，
当点F运动至对称轴上时，点F的横坐标为3，
，
即，
连接，，
∵，，
∴A与点C关于原点O对称，
∴点A，O，C三点共线，且O为的中点，
，
，
.
平分，
，
，
∴，
与间的距离为d，
∴点H到的距离为d，
，，
，
∴当点F运动至对称轴上时，的面积为3；
（3）解：过点A作于点L，过点F作于点K，
由题意得，，
，
，
∴在中，，
.
，
，即为等腰直角三角形，
设，则，
∵，
∴，
在和中，，
即，
，
解得，
，
又，
即，
，解得，
，
的值是定值，定值为.
【点睛】本题是二次函数综合题，考查了待定系数法求函数解析式，二次函数的图象和性质，等腰直角三角形的判定和性质，图形的面积计算，解直角三角形等，添加辅助线构造直角三角形是解题关键．
3．（2022·四川巴中·中考真题）如图1，抛物线，交轴于A、B两点，交轴于点，为抛物线顶点，直线垂直于轴于点，当时，．
(1)求抛物线的表达式；
(2)点是线段上的动点（除、外），过点作轴的垂线交抛物线于点．
①当点的横坐标为2时，求四边形的面积；
②如图2，直线，分别与抛物线对称轴交于、两点．试问，是否为定值？如果是，请求出这个定值；如果不是，请说明理由．
【答案】(1)
(2)①；②是，定值为，理由见解析
【分析】（1）由当时，，可知，是的两根，代入方程可得从而得解；
（2）①把代入抛物线解析式可得D点坐标，再代入抛物线解析式可得C点坐标，
从而得知线段轴，利用配方法可知点F坐标，从而利用求面积；
②设，用待定系数法求出直线与直线的解析式，再令得，，从而得出，的长，从而得到是定值8．
【详解】（1）解：∵当时，，
∴，是的两根，，
∴，
解得：，
抛物线的表达式为：；
（2）①把代入得：，
．
又当，，
，
线段轴．
，
，
；
②设，
直线，，
因此可得：
或，
解得：或，
直线，
．
令得，，
，，
．
【点睛】本题考查二次函数与一次函数综合，涉及四边形的面积求法，待定系数法等知识，掌握待定系数法和面积求法是解题的关键．
4．（2024·黑龙江大庆·二模）已知抛物线与x轴交于点和点，与y轴负半轴交于点A．
(1)求该抛物线的函数表达式；
(2)如图，若直线下方的抛物线上有一动点P，过点P作y轴平行线交于点F，过点P作的垂线，垂足为E，求周长的最大值；
(3)将抛物线向左平移1个单位，再向上平移4个单位，得到一个新的抛物线，问在y轴正半轴上是否存在一点M，使得当经过点M的任意一条直线与新抛物线交于S，T两点时，总有为定值？若存在，直接写出出点M坐标及定值，若不存在，说明理由．
【答案】(1)；
(2)；
(3)存在，为定值4．
【分析】（1）把点，点代入，得出关于、的二元一次方程组，解方程组求出、的值，即可得解；
（2）根据抛物线解析式求出点，利用待定系数法求出直线解析式为，根据轴，，以及，，得到为等腰直角三角形，继而得到，设，则，，根据动点P在直线下方的抛物线上得，求得，进而得到周长为，利用二次函数的性质求出最大值即可；
（3）根据平移规律得出新的抛物线解析式为，设直线的解析式为，点，点，则，联立新抛物线与直线的解析式得，利用一元二次方程根与系数的关系得到，，结合两点间的距离公式，进而得到，根据为定值，求出值及定值即可．
【详解】（1）解： 抛物线与x轴交于点和点，
，
解得，
该抛物线的函数表达式为．
（2）解：
抛物线的函数表达式为，
当，，
，
，又，
，
轴，
，
又，
为等腰直角三角形，
，
设直线解析式为，将，代入，则
，
解得，
直线解析式为，
设，由于动点P在直线下方的抛物线上，
，
轴，
，
在直线上，
，
，
周长为
，
当时，周长最大值为．
（3）解：将抛物线向左平移1个单位，再向上平移4个单位，得到一个新的抛物线为，即，
设直线的解析式为，点，点，则，
联立新抛物线与直线的解析式得：
，
，
，，
，
同理可得，，
，
为定值，
，
解得，
当时，，
存在点，使得当经过点M的任意一条直线与新抛物线交于S，T两点时，总有为定值4．
【点睛】本题考查二次函数的综合，待定系数法求函数解析式、二次函数图像的平移、求二次函数的最大值、一元二次方程根与系数的关系，勾股定理，等腰三角形的性质，两点间的距离公式，熟练掌握相关的性质及规律是解题关键．
5．（2024·江苏盐城·三模）抛物线与x轴交于A、B两点（A点在B点的左侧），与y轴交于点C，直线l是抛物线的对称轴，
(1)直接写出A、B、C三点坐标；
(2)如图1，若一次函数的图像与抛物线相交与M、N两点，
①若时，点E是直线MN上方抛物线上的一个动点，过点E作轴交MN于点D，连接ME，NE；当的面积最大时，试求面积的最大值；
②取MN的中点P，过点P作轴交抛物线于点Q，试判断是否为一个定值，若是，求出这一定值；若不是，说明理由．
【答案】(1)
(2)①；②是，
【分析】（1）对于，当时，，令，则或3，即可求解；
（2）①由的面积，即可求解；②求出点，则点，得到，由点M、N的坐标得， 即可得出结论．
【详解】（1） 解：对于，
当时，，
令，则或3，
即点A、B、C的坐标分别为：；
（2）①时，一次函数的表达式为：，
联立上式和抛物线的表达式得：，
解得：，则，
设点，则点，
则的面积，
即的面积最大值为；
②是定值，理由：
联立一次函数和抛物线的表达式得：，
则，
则，
则，即，点，
得到，
由点M、N的坐标得，，
则，则，为定值．
【点睛】主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养．要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系，解决相关问题．

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