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第三章 函数
第13讲 二次函数的图像与性质
题型01 根据二次函数解析式判断其性质
题型02 根据二次函数的图像与性质求解
题型03 求二次函数解析式
题型04 画二次函数的图像
题型05 以开放性试题的形式考查二次函数的解析式
题型06 二次函数的平移变换问题
题型07 二次函数的对称变换问题
题型08 根据二次函数的对称性求参数取值范围
题型09 二次函数的最值问题
题型10 根据二次函数的最值求参数/取值范围
题型11 根据二次函数的增减性求参数的取值范围
题型12 根据二次函数自变量/函数值的取值范围求函数值/自变量的取值范围
题型13 二次函数的图像与各项系数符号
题型14 根据二次函数的图像判断式子符号
题型15 函数图像综合
题型16 已知一元二次方程根的分布情况求参数
题型17 二次函数与坐标系交点问题
题型18 二次函数与方程、不等式
题型19 二次函数与三角形相结合的应用方法
题型01 根据二次函数解析式判断其性质
1．（2024·云南昆明·一模）关于二次函数的图象与性质，下列说法正确的是( )
A．对称轴是直线，最小值是
B．对称轴是直线，最大值是
C．对称轴是直线，最小值是
D．对称轴是直线，最大值是
2．（2024·四川乐山·二模）如图，二次函数的图象与轴交于，，下列说法错误的是（　　）
A．抛物线的对称轴为直线 B．抛物线的顶点坐标为
C．两点之间的距离为 D．当时，的值随值的增大而增大
3．（2024·贵州·模拟预测）已知二次函数的图象如图所示，下列说法错误的是（ ）
A．二次函数图象关于直线对称
B．和3是方程的两个根
C．当时，随的增大而增大
D．二次函数图象与轴交点的纵坐标是
4．（2020·上海奉贤·一模）已知二次函数的图象上部分点的横坐标x与纵坐标y的对应值如下表：
x … 0 1 3 4 5 …
y … …
关于它的图象，下列判断正确的是（ ）
A．开口向上 B．对称轴是直线
C．一定经过点 D．在对称轴左侧部分自左至右是下降的
题型02 根据二次函数的图像与性质求解
5．（2024·安徽宣城·模拟预测）下列函数中，随增大而减小的是（ ）
A． B．
C． D．
6．（2024·云南昆明·一模）二次函数的图象如图所示，则一次函数的图象不经过（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
7．（2024·浙江·模拟预测）已知点和点均在函数的图像上，若且满足，则下列关系可能不正确的是（ ）
A． B． C． D．
8．（2024·河北邢台·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，平行于x轴的直线，与二次函数和分别交于A、B和C、D四个点，此时，，把直线向上平移个单位，则与之间的关系是（ ）
A． B．随着直线向上平移，
C．随着直线向上平移， D．无法判断
9．（2024·广东·模拟预测）已知二次函数 （）的图象过 ，四个点， 则大小关系为 ．
10．（2024·广东广州·一模）已知．化简；若点是抛物线上的一点，求的值．
题型03 求二次函数解析式
11．（2024·山东泰安·三模）将抛物线先向下平移3个单位再向右平移m个单位，所得新抛物线经过点，则新抛物线与y轴交点的坐标 ．
12．（2024·广东·二模）如图，已知抛物线过，两点，与y轴的正半轴交于点C，顶点为D，当时， ．
13．（23-24九年级上·吉林·期中）已知一条抛物线的形状、开口方向均与抛物线相同，且它的顶点坐标为，则这条抛物线的解析式为 ．
题型04 画二次函数的图像
14．（2022·江西赣州·模拟预测）已知抛物线的顶点为M．
(1)当时，抛物线的对称轴是 ；顶点M坐标是 ；当函数值y随x的增大而减小时，自变量x的取值范围为 ；
(2)若抛物线关于直线轴对称后得到新的抛物线，其顶点．
①当时，请在图中画出相应的，图象；
②求顶点的纵坐标y与横坐标x之间的关系式；
③直接写出当k为何值时，顶点恰好落在x轴上．
15．（2024·河南安阳·模拟预测）操作与探究：已知点P是抛物线上的一个动点．
(1)在如图的平面直角坐标系中画出函数的图象；
(2)仔细观察图象，结合所学知识解答下列问题：
①当函数值时，自变量x的取值范围是 ；
②方程的根是 （结果保留一位小数）；
③当时，y随x的增大而增大，则m的取值范围是 ；
④当时，函数值，直接写出n的取值范围 ．
16．（2020·北京·中考真题）小云在学习过程中遇到一个函数．下面是小云对其探究的过程，请补充完整：
（1）当时，对于函数，即，当时，随的增大而 ，且；对于函数，当时，随的增大而 ，且；结合上述分析，进一步探究发现，对于函数，当时，随的增大而 ．
（2）当时，对于函数，当时，与的几组对应值如下表：
0 1 2 3
0 1
综合上表，进一步探究发现，当时，随的增大而增大．在平面直角坐标系中，画出当时的函数的图象．
（3）过点(0，m)（）作平行于轴的直线，结合（1）（2）的分析，解决问题：若直线与函数的图象有两个交点，则的最大值是 ．
题型05 以开放性试题的形式考查二次函数的解析式
17．（2024·上海·模拟预测）请写出一个二次函数，符合顶点在第二象限，对称轴左侧上升，交y轴于正半轴
18．（2024·江苏无锡·模拟预测）某个函数同时满足两个条件：①图象过点、；②当时，随的增大而减小．这个函数表达式可以是 ．（只要写出一个符合愿意的答案即可）
19．（2024·江苏泰州·三模）若y是x的函数，其图象过点、，写出一个符合此条件的函数表达式： ．
20．（2024·广东江门·二模）若一个二次函数的二次项系数为2，且经过点，请写出一个符合上述条件的二次函数表达式： ．
题型06 二次函数的平移变换问题
21．（2024·四川遂宁·模拟预测）将解析式为 的抛物线先向右平移 4 个单位，再向下平移 5 个单位，则平移后的新抛物线的解析式为 ．
22．（2024·贵州贵阳·一模）二次函数 的图象经过平移，其顶点恰好为坐标原点，则平移的最短距离为 ．
23．（2024·山西大同·模拟预测）已知抛物线上的部分点的横坐标x与纵坐标y的对应值如下表：
x … 0 1 2 3 …
y … 3 0 m 3 …
若将此抛物线向右平移1个单位长度，向上平移1个单位长度后的抛物线表达式为（ ）
A． B．
C． D．
24．（2024·陕西西安·模拟预测）如图，已知抛物线：与轴分别交于、两点，与轴交于点，分别连接、．
(1)求抛物线的函数表达式；
(2)将抛物线向右平移个单位得到抛物线，两条抛物线相交于点，分别连接、，若，求的值．
题型07 二次函数的对称变换问题
25．（2024·安徽·二模）若关于x的一元二次方程的两个实数根分别为，，则抛物线的对称轴为直线（ ）
A． B． C． D．
26．（23-24九年级上·安徽亳州·阶段练习）抛物线与x轴的一个交点坐标是，它与轴的另一个交点的坐标是（ ）
A． B． C． D．
27．（2024·江苏无锡·二模）已知二次函数的对称轴是直线，则的值为 ．
28．（2024·浙江宁波·模拟预测）设函数（，m，n是实数），当时，，时，．则（　　）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
29．（2024·江西景德镇·二模）二次函数与y轴交于点C，在点C右侧作轴，交抛物线于点D，且，则抛物线的对称轴为 .
题型08 根据二次函数的对称性求参数取值范围
30．（2024·江苏无锡·二模）已知二次函数，点均在该二次函数的图象上，且，则k的取值范围为 ．
31．（2024·福建三明·一模）已知抛物线过点，，，，，若，则的取值范围为 ．
32．（2024·北京延庆·模拟预测）在平面直角坐标系中，点，点在抛物线上．设抛物线的对称轴为直线．
(1)若，求t的值；
(2)点在该抛物线上，若对于都有，求t的取值范围．
33．（2024·广西钦州·一模）已知抛物线的对称轴为直线．
(1)当时，
①写出与满足的等量关系；
②当函数图象经过点，，时，求的最小值；
(2)已知点，，在该抛物线上，若对于，都有，直接写出的取值范围．
题型09 二次函数的最值问题
34．（2024·四川眉山·二模）若函数；当时，此时该函数的最小值是（ ）
A． B． C． D．
35．（2024·陕西西安·模拟预测）在平面直角坐标系中，二次函数（m为常数）的图象经过点，其对称轴在y轴右侧，则该二次函数有（ ）
A．最大值0 B．最小值0 C．最大值6 D．最小值6
36．（2024·陕西咸阳·模拟预测）已知二次函数（为常数，且），当时，函数的最大值与最小值的差为9，则的值为（ ）
A．－6 B．4 C．或0 D．0或
题型10 根据二次函数的最值求参数/取值范围
37．（23-24九年级下·江苏苏州·阶段练习）函数在有最小值，则实数的值是 ．
38．（2023·江苏南京·一模）已知函数（m为常数），当时，y的最小值记为a．a的值随m的值变化而变化，当 时，a取得最大值．
39．（2024·贵州黔东南·二模）已知二次函数 的图象经过点 ．
(1)求这个二次函数的表达式；
(2)当 时，求二次函数的最大值；
(3)当 时，二次函数的最大值与最小值的和为，求m的值．
40．（2024·浙江温州·三模）已知关于x的二次函数的图象过点，．
(1)求这个二次函数的解析式；
(2)求当时，y的最大值与最小值的差．
41．（2024·河北·模拟预测）如图，二次函数的图象与轴交于A，B两点（点A在点B左侧），与轴交于点C，且．
(1)求二次函数的解析式．
(2)平移该二次函数的图象，使平移后的二次函数图象的顶点坐标为 ，若当时函数的最大值为7，求的值．
题型11 根据二次函数的增减性求参数的取值范围
42．（2024·福建福州·二模）已知点、，是二次函数图象上的两个点，若当时，随的增大而减小，则 m的值可能是（ ）
A． B． C．1 D．2
43．（2024·江苏泰州·二模）已知二次函数，当时，y随x的增大而增大，则b的取值范围是 ．
44．（17-18九年级上·四川成都·期末）已知二次函数，当x >4时，函数值y随x的增大而减小，则m的取值范围是
45．（2024·上海·模拟预测）已知抛物线的对称轴在y轴右侧，当时，y随x增大而增大，若抛物线上的点纵坐标，则m的取值范围为
题型12 根据二次函数自变量/函数值的取值范围求函数值/自变量的取值范围
46．（2024·广西·一模）在二次函数的图象中，若y随x的增大而减小，则x的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
47．（2024·上海闵行·三模）如果二次函数的图象的一部分是下降的，那么的取值范围是 ．
48．（2024·浙江金华·二模）已知二次函数 (t为常数)，点、是其图象上两点，若，则的取值范围为 ．
49．（24-25九年级上·北京·开学考试）已知二次函数，当时，函数值y的取值范围为
50．（23-24九年级上·重庆铜梁·阶段练习）如图，抛物线交y轴于点，对称轴为直线，若，则x的取值范围是 ．
题型13 二次函数的图像与各项系数符号
51．（2024·河南信阳·模拟预测）二次函数的图象如图所示，则直线不经过的象限是（　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
52．（23-24九年级下·河南鹤壁·期中）二次函数的图象如图所示，则关于x的一元二次方程的根的情况是（ ）
A．只有一个实数根 B．没有实数根
C．有两个不相等的实数根 D．有两个相等的实数根
53．（2024·江西南昌·模拟预测）如图，这是一次函数的图象，则二次函数的图象大致为（ ）
A．B．C．D．
54．（2024·贵州六盘水·二模）二次函数的图象如图所示，则点在第 象限．
题型14 根据二次函数的图像判断式子符号
55．（2024·广东·模拟预测）如图，抛物线与x轴交于点和B，与y轴的正半轴交于点C．下列结论： ；；；，其中正确结论是 ．
56．（2024·湖北武汉·模拟预测）已知抛物线经过点，，其中，．下列四个结论：①；②；③；④，其中正确的结论是 （填写序号）．
57．（2024·广东惠州·模拟预测）如图是抛物线的部分图象，图象过点，对称轴为直线，下列五个结论：①；②；③；④ (m为任意实数)；⑤．其中，正确结论的序号是 ．
58．（2024·内蒙古通辽·模拟预测）二次函数（）的图象如图所示，则下列说法：
①；
②；
③；
④ 当时，；
⑤．
其中正确的有 ．（填序号）
59．（2024·湖北武汉·模拟预测）如图，已知二次函数的图象与x轴交于点，与y轴的交点B在和之间（不包括这两点），对称轴为直线．下列结论：①；②；③；④关于x的方程一定有两个不相等的实数根．其中正确的结论是 ．（填写序号）

题型15 函数图像综合
60．（2024·安徽合肥·模拟预测）在同一平面直角坐标系中，一次函数与二次函数的图象可能是（ ）
A． B．C． D．
61．（2024·湖北武汉·模拟预测）函数 （a、b为常数，且，）的大致图象是（ ）
A．B．C．D．
62．（2024·江苏淮安·一模）如图，抛物线与反比例函数的图象相交于点P，若点P横坐标为2，则关于不等式的解集为（ ）
A． B．
C． D．或
63．（2024·湖北武汉·二模）函数、在同一平面直角坐标系中的图象如图所示，则在该平面直角坐标系中，函数的大致图象是（ ）
A．B．C．D．
题型16 已知一元二次方程根的分布情况求参数
64．（2024·浙江·模拟预测）在平面直角坐标系中，设二次函数．
(1)若a为整数，二次函数图象过点（其中n是正整数），求抛物线的对称轴．
(2)若，为抛物线上两个不同的点．
①当时，，求a的值．
②若对于，都有，求a的取值范围．
65．（2024·云南德宏·一模）如图，抛物线与轴交于、两点，点在点的左侧，与轴交于点，且．
(1)求这条抛物线的解析式；
(2)若点与点在（1）中的抛物线上，且，．求的值．
66．（2024·河南·模拟预测）如图，二次函数的图像经过点，．
(1)求二次函数的表达式；
(2)若点，都在此抛物线上，且，，比较与的大小，并说明理由；
(3)点的坐标为，点的坐标为，若线段与该函数图象恰有一个交点，直接写出的取值范围．
67．（2023·浙江杭州·二模）在平面直角坐标系中，当和时，二次函数（a，b是常数，a≠0）的函数值相等．
(1)若该函数的最大值为1，求函数的表达式，并写出函数图象的顶点坐标．
(2)若该函数的图象与x轴有且只有一个交点，求a，b的值．
(3)记（2）中的抛物线为y1，将抛物线y1向上平移2个单位得到抛物线，当时，抛物线的最大值与最小值之差为8，求m的值．
题型17 二次函数与坐标系交点问题
68．（2024·河北邯郸·模拟预测）二次函数的图象的最高点在轴上，则的值为（ ）
A． B． C． D．
69．（2024·广东广州·二模）已知二次函数（a为常数）的图象经过和两点，则二次函数与y轴的交点坐标为（ ）
A． B． C． D．
70．（2024·黑龙江牡丹江·模拟预测）抛物线与轴的一个交点的坐标为，则此抛物线与轴的另一个交点的坐标是（ ）
A． B． C． D．
71．（2024·江苏南京·模拟预测）已知二次函数（，且为常数）
(1)若，求证：该二次函数图象与轴有两个公共点；
(2)该函数一定经过两个定点，分别是 ， ；
(3)若该二次函数的图象与函数有不少于两个交点，直接写出的取值范围．
题型18 二次函数与方程、不等式
72．（2024·湖北宜昌·模拟预测）如图，已知二次函数的图象关于直线对称，与x轴的一个交点在原点和之间，下列结论错误的是（ ）
A． B．
C． D．（m为任意实数）
73．（2024·河南周口·模拟预测）如图，抛物线交轴于，，则下列判断错误的是（ ）
A．抛物线的对称轴是直线
B．当时，随的增大而减小
C．一元二次方程的两个根分别是1和3
D．当时，
74．（2024·河南周口·模拟预测）如图，二次函数的图象与轴交于点，，与轴交于点，若直线的解析式为，则的解集为（ ）
A．或 B．或 C． D．或
75．（2023·陕西渭南·一模）若二次函数的图象经过点，，则关于x的方程的解为（　　）
A．， B．，
C．， D．，
76．（2024·内蒙古鄂尔多斯·二模）著名数学家华罗庚说过：“数缺形时少直觉，形缺数时难入微．数形结合百般好，隔离分家万事非．”寥窖数语，把图形之妙趣说的淋漓尽致．如图是函数的图象，那么无论x为何值，函数值y永远为负的条件是（ ）
A．， B．，
C．， D．，
题型19 二次函数与三角形相结合的应用方法
77．（23-24九年级上·辽宁鞍山·期中）如图，二次函数的图象与x轴交于点A，B（点A在点B左侧），与y轴交于点C．点P是此函数图象上在第一象限内的一动点，当时，点P的坐标为 ．
78．（2023·广西南宁·模拟预测）如图，二次函数的图象与轴交于点，与轴交于点，连接、．若点在线段上运动（不与点重合）．过点作，交于点，当面积最大时，点的坐标为 ．
79．（2023·吉林长春·二模）如图，抛物线与轴交于两点（点在的左边），与轴交于点，点为此抛物线上的一动点（点在第一象限），连接，则四边形面积的最大值为 ．

80．（2024·山东青岛·一模）如图，在平面直角坐标系中，二次函数交轴于点，，交轴于点，在轴上有一点，连接．
(1)求二次函数的表达式；
(2)若点为抛物线在轴负半轴上方的一个动点，求面积的最大值及此时点的坐标；
(3)抛物线对称轴上是否存在点，使为以为底的等腰三角形？若存在，请直接写出点的坐标即可；若不存在，请说明理由．
1．（2024·江苏无锡·中考真题）已知是的函数，若存在实数，当时，的取值范围是．我们将称为这个函数的“级关联范围”．例如：函数，存在，，当时，，即，所以是函数的“2级关联范围”．下列结论：
①是函数的“1级关联范围”；
②不是函数的“2级关联范围”；
③函数总存在“3级关联范围”；
④函数不存在“4级关联范围”．
其中正确的为（ ）
A．①③ B．①④ C．②③ D．②④
2．（2024·四川资阳·中考真题）已知二次函数与的图像均过点和坐标原点，这两个函数在时形成的封闭图像如图所示，为线段的中点，过点且与轴不重合的直线与封闭图像交于，两点．给出下列结论：
①；
②；
③以，，，为顶点的四边形可以为正方形；
④若点的横坐标为，点在轴上（，，三点不共线），则周长的最小值为．
其中，所有正确结论的个数是（ ）
A． B． C． D．
3．（2024·黑龙江齐齐哈尔·中考真题）如图，在等腰中，，，动点E，F同时从点A出发，分别沿射线和射线的方向匀速运动，且速度大小相同，当点E停止运动时，点F也随之停止运动，连接，以为边向下做正方形，设点E运动的路程为，正方形和等腰重合部分的面积为y，下列图像能反映y与x之间函数关系的是（ ）
A．B．C．D．
4．（2024·山东淄博·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，作直线与轴相交于点，与抛物线相交于点，连接，相交于点，得和，若将其面积之比记为，则 ．
5．（2024·山东淄博·中考真题）在综合与实践活动课上，小明以“圆”为主题开展研究性学习．
【操作发现】
小明作出了的内接等腰三角形，．并在边上任取一点（不与点，重合），连接，然后将绕点逆时针旋转得到．如图①
小明发现：与的位置关系是__________，请说明理由：
【实践探究】
连接，与相交于点．如图②，小明又发现：当确定时，线段的长存在最大值．
请求出当．时，长的最大值；
【问题解决】
在图②中，小明进一步发现：点分线段所成的比与点分线段所成的比始终相等．请予以证明．
1．（2024·山东德州·中考真题）已知，是某函数图象上的两点，当时，．该函数的解析式可能是（ ）
A． B．
C． D．
2．（2024·江苏南通·中考真题）将抛物线向右平移3个单位后得到新抛物线的顶点坐标为（ ）
A． B． C． D．
3．（2024·甘肃兰州·中考真题）如图1，在菱形中，，连接，点M从B出发沿方向以的速度运动至D，同时点N从B出发沿方向以的速度运动至C，设运动时间为，的面积为，y与x的函数图象如图2所示，则菱形的边长为（ ）

A． B． C． D．
4．（2024·四川广元·中考真题）如图，已知抛物线过点与x轴交点的横坐标分别为，，且，，则下列结论：
①；
②方程有两个不相等的实数根；
③；
④；
⑤．其中正确的结论有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
5．（2024·内蒙古赤峰·中考真题）如图，正方形的顶点，在抛物线上，点在轴上．若两点的横坐标分别为（），下列结论正确的是（　　）
A． B． C． D．
6．（2024·陕西·中考真题）已知一个二次函数的自变量x与函数y的几组对应值如下表，
x … 0 3 5 …
y … 0 …
则下列关于这个二次函数的结论正确的是（ 　　 ）
A．图象的开口向上 B．当时，y的值随x的值增大而增大
C．图象经过第二、三、四象限 D．图象的对称轴是直线
92．（2024·四川乐山·中考真题）已知二次函数，当时，函数取得最大值；当时，函数取得最小值，则t的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
7．（2024·湖北武汉·中考真题）抛物线（a，b，c是常数，）经过，两点，且．下列四个结论：
①；
②若，则；
③若，则关于x的一元二次方程 无实数解；
④点，在抛物线上，若，，总有，则．
其中正确的是 （填写序号）．
8．（2024·新疆·中考真题）如图，抛物线与y轴交于点A，与x轴交于点B，线段在抛物线的对称轴上移动（点C在点D下方），且．当的值最小时，点C的坐标为 ．

9．（2024·四川成都·中考真题）在平面直角坐标系中，，，是二次函数图象上三点．若，，则 （填“”或“”）；若对于，，，存在，则的取值范围是 ．
10．（2024·江苏镇江·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，二次函数的图像与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），顶点为C．
(1)求A、B、C三点的坐标；
(2)一个二次函数的图像经过B、C、三点，其中，该函数图像与x轴交于另一点D，点D在线段上（与点O、B不重合）．
①若D点的坐标为，则_________；
②求t的取值范围：
③求的最大值．
11．（2024·内蒙古通辽·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，直线与轴，轴分别交于点，，抛物线为常数）经过点且交轴于两点．
(1)求抛物线表示的函数解析式；
(2)若点为抛物线的顶点，连接，，．求四边形的面积．
12．（2024·浙江·中考真题）已知二次函数（b，c为常数）的图象经过点，对称轴为直线．
(1)求二次函数的表达式；
(2)若点向上平移2个单位长度，向左平移m（）个单位长度后，恰好落在的图象上，求m的值；
(3)当时，二次函数的最大值与最小值的差为，求n的取值范围．
13．（2024·广西·中考真题）课堂上，数学老师组织同学们围绕关于x的二次函数的最值问题展开探究．
【经典回顾】二次函数求最值的方法．
（1）老师给出，求二次函数的最小值．
①请你写出对应的函数解析式；
②求当x取何值时，函数y有最小值，并写出此时的y值；
【举一反三】老师给出更多a的值，同学们即求出对应的函数在x取何值时，y的最小值．记录结果，并整理成下表：
a … 0 2 4 …
x … * 2 0 …
y的最小值 … * …
注：*为②的计算结果．
【探究发现】老师：“请同学们结合学过的函数知识，观察表格，谈谈你的发现．”
甲同学：“我发现，老师给了a值后，我们只要取，就能得到y的最小值．”
乙同学：“我发现，y的最小值随a值的变化而变化，当a由小变大时，y的最小值先增大后减小，所以我猜想y的最小值中存在最大值．”
（2）请结合函数解析式，解释甲同学的说法是否合理？
（3）你认为乙同学的猜想是否正确？若正确，请求出此最大值；若不正确，说明理由．第三章 函数
第13讲 二次函数的图像与性质
题型01 根据二次函数解析式判断其性质
题型02 根据二次函数的图像与性质求解
题型03 求二次函数解析式
题型04 画二次函数的图像
题型05 以开放性试题的形式考查二次函数的解析式
题型06 二次函数的平移变换问题
题型07 二次函数的对称变换问题
题型08 根据二次函数的对称性求参数取值范围
题型09 二次函数的最值问题
题型10 根据二次函数的最值求参数/取值范围
题型11 根据二次函数的增减性求参数的取值范围
题型12 根据二次函数自变量/函数值的取值范围求函数值/自变量的取值范围
题型13 二次函数的图像与各项系数符号
题型14 根据二次函数的图像判断式子符号
题型15 函数图像综合
题型16 已知一元二次方程根的分布情况求参数
题型17 二次函数与坐标系交点问题
题型18 二次函数与方程、不等式
题型19 二次函数与三角形相结合的应用方法
题型01 根据二次函数解析式判断其性质
1．（2024·云南昆明·一模）关于二次函数的图象与性质，下列说法正确的是( )
A．对称轴是直线，最小值是
B．对称轴是直线，最大值是
C．对称轴是直线，最小值是
D．对称轴是直线，最大值是
【答案】D
【分析】此题考查了二次函数的性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．根据二次函数的性质解答．
【详解】解：二次函数，
对称轴为直线，开口向下，最大值为，
故选：D．
2．（2024·四川乐山·二模）如图，二次函数的图象与轴交于，，下列说法错误的是（　　）
A．抛物线的对称轴为直线 B．抛物线的顶点坐标为
C．两点之间的距离为 D．当时，的值随值的增大而增大
【答案】B
【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，把代入函数解析式可得，据此可得抛物线开口向上，对称轴为直线，顶点坐标为，即可判断；把代入函数解析式求出点坐标即可判断；掌握二次函数的图象和性质是解题的关键．
【详解】解：∵二次函数的图象与轴交于，
∴，
∴，
∴，
∴抛物线开口向上，对称轴为直线，顶点坐标为，
∴当时，的值随值的增大而增大，
故正确，错误；
令，则，
解得，，
∴，
∴两点之间的距离为，
故正确，不合题意；
故选：．
3．（2024·贵州·模拟预测）已知二次函数的图象如图所示，下列说法错误的是（ ）
A．二次函数图象关于直线对称
B．和3是方程的两个根
C．当时，随的增大而增大
D．二次函数图象与轴交点的纵坐标是
【答案】C
【分析】本题主要查了二次函数的图象和性质，根据二次函数的图象逐一进行判断即可．
【详解】解：观察图象得：二次函数的图象的对称轴为直线，开口向上，故A选项正确，不符合题意；
观察图象得：二次函数图象与x轴交于点，
∵二次函数的图象的对称轴为直线，
∴二次函数图象与x轴的另一个交点为，
∴和3是方程的两个根，故B选项正确，不符合题意；
观察图象得：二次函数的图象的对称轴为直线，开口向上，
∴当时，y随x的增大而减小，故C选项错误，符合题意；
∵抛物线经过点
∴，
解得，，
∴，
当时，，
∴二次函数图象与轴交点的纵坐标是，故D选项正确，不符合题意；
故选：C．
4．（2020·上海奉贤·一模）已知二次函数的图象上部分点的横坐标x与纵坐标y的对应值如下表：
x … 0 1 3 4 5 …
y … …
关于它的图象，下列判断正确的是（ ）
A．开口向上 B．对称轴是直线
C．一定经过点 D．在对称轴左侧部分自左至右是下降的
【答案】C
【分析】本题考查的是二次函数的性质，求解二次函数的解析式，由表格中点，，可知抛物线的对称轴为直线．设抛物线的解析式为，将，分别代入，可解得，再进一步解答即可．
【详解】解：∵点，在抛物线上，
∴抛物线的对称轴为直线．
设抛物线的解析式为，将，分别代入，
，
可解得，
∴抛物线的解析式为，
∴抛物线开口向下，抛物线在对称轴左侧部分自左至右是上升的．
将代入，得．
故选C．
题型02 根据二次函数的图像与性质求解
5．（2024·安徽宣城·模拟预测）下列函数中，随增大而减小的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】本题考查一次函数、反比例函数以及二次函数的性质，熟知相关函数的性质是解答的关键．根据一次函数、反比例函数以及二次函数的性质逐项判断即可．
【详解】解：A、∵，∴y随x的增大而增大，故该选项不符合题意；
B、∵，对称轴为y轴，
∴当时，y随x的增大而减小，当时，y随x的增大而增大，故该选项不符合题意；
C、∵，∴当时，y随x的增大而减小，故该选项符合题意；
D、∵，∴y随x的增大而增大，故该选项不符合题意；
故选：C．
6．（2024·云南昆明·一模）二次函数的图象如图所示，则一次函数的图象不经过（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】D
【分析】此题考查了二次函数与一次函数图象与系数的关系，熟练掌握二次函数及一次函数的图象与性质是解本题的关键．由二次函数解析式表示出顶点坐标，根据图形得到顶点在第四象限，求出m与n的正负，即可作出判断．
【详解】解：根据题意得：抛物线的顶点坐标为，且在第四象限，
∴，
∴，
则一次函数经过一、二、三象限，不经过第四象限．
故选：D．
7．（2024·浙江·模拟预测）已知点和点均在函数的图像上，若且满足，则下列关系可能不正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查二次函数图象上点的坐标特征及二次函数的性质，解答本题的关键是明确二次函数图象上点的坐标特征及二次函数的性质，首先得出函数的图像开口向上，再分为点B在点A的左侧或点B在点A的右侧且，两种情况讨论并进行判断，本题得以解决．
【详解】解：，
函数的图像开口向上，
若且满足，
点B在点A的左侧或点B在点A的右侧且，
当点B在点A的左侧时，，，，
当点B在点A的右侧且时，，，，
综上所述，选项D不正确，
故选：D
8．（2024·河北邢台·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，平行于x轴的直线，与二次函数和分别交于A、B和C、D四个点，此时，，把直线向上平移个单位，则与之间的关系是（ ）
A． B．随着直线向上平移，
C．随着直线向上平移， D．无法判断
【答案】A
【分析】本题考查了二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，表示出A、B、C、D的横坐标是解题的关键．
将分别代入和，即可得出求出，长度，根据得出，从而得出a的值，然后得到表达式为，然后求出与的值进而求解即可．
【详解】解：把代入中得，，
∴
∴A的横坐标为，B横坐标为
∴
把代入得，，
∴
∴C的横坐标为，D横坐标为
∴
∵，
∴
∴（负值舍去）
∴表达式为，
∵把直线向上平移个单位，得到直线
∴把代入中得，，
∴
∴
把代入得，，
∴
∴
∴．
故选：A．
9．（2024·广东·模拟预测）已知二次函数 （）的图象过 ，四个点， 则大小关系为 ．
【答案】
【分析】
本题考查了二次函数图象上点的坐标特征．先求函数对称轴，则、、、的横坐标离对称轴越近，则纵坐标越小，由此判断的大小．
【详解】解∵二次函数 ，
∴二次函数开口向上，对称轴为直线，
∴各个点到对称轴的距离越近越小，
∵，且，
∴，
故答案为：．
10．（2024·广东广州·一模）已知．化简；若点是抛物线上的一点，求的值．
【答案】，
【分析】此题考查了分式的化简求值、抛物线上的点的特征，准确掌握分式的混合运算顺序和二次函数的性质是解题的关键．先计算括号内的加法，再计算除法即可化简A；再把点代入得到，则，整体代入化简的A中计算即可．
【详解】解：
；
∵点是抛物线上的一点，
∴
∴
∴．
题型03 求二次函数解析式
11．（2024·山东泰安·三模）将抛物线先向下平移3个单位再向右平移m个单位，所得新抛物线经过点，则新抛物线与y轴交点的坐标 ．
【答案】或
【分析】本题主要考查了二次函数的平移，求二次函数解析式，熟练掌握二次函数的平移的规律是解题的关键．
设平移后新抛物线的表达式为，把点代入，即可确定函数关系式，再将代入函数关系式求解，即可．
【详解】设平移后新抛物线的表达式为，
∵新抛物线经过点，
∴，
解得：，，
∴新抛物线的表达式为：，或，
将代入，
得：；
将代入，
得：，
∴与y轴的交点坐标为，或．
故答案为：或．
12．（2024·广东·二模）如图，已知抛物线过，两点，与y轴的正半轴交于点C，顶点为D，当时， ．
【答案】
【分析】根据，两点可求出抛物线解析式，进而求得点C、点D的坐标，过点D作轴交有y轴于点M，过点D作轴交有x轴于点N，证得，进而计算即可．
【详解】解：过点D作轴交y轴于点M，过点D作轴交x轴于点N，如图
∵抛物线过，两点
∴
解得
∴
∴，
又∵，
∴
∵轴，轴
∴
∴
∴
∴
解得
∵抛物线图象开口向下
∴
故答案为：．
【点睛】本题考查二次函数的图像与性质，待定系数法求函数解析式，相似三角形的性质和判定，作辅助线构造相似三角形是解题的关键．
13．（23-24九年级上·吉林·期中）已知一条抛物线的形状、开口方向均与抛物线相同，且它的顶点坐标为，则这条抛物线的解析式为 ．
【答案】
【分析】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，先设顶点式，然后根据二次函数的性质确定a的值即可，根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式是解决此题的关键．
【详解】∵抛物线的顶点坐标为，
∴抛物线解析式可设为，
∵抛物线的形状、开口方向均与抛物线相同，
∴，
∴所求抛物线的解析式为．
故答案为：．
题型04 画二次函数的图像
14．（2022·江西赣州·模拟预测）已知抛物线的顶点为M．
(1)当时，抛物线的对称轴是 ；顶点M坐标是 ；当函数值y随x的增大而减小时，自变量x的取值范围为 ；
(2)若抛物线关于直线轴对称后得到新的抛物线，其顶点．
①当时，请在图中画出相应的，图象；
②求顶点的纵坐标y与横坐标x之间的关系式；
③直接写出当k为何值时，顶点恰好落在x轴上．
【答案】(1)直线；；
(2)①见解析；②；③或
【分析】（1）把代入，得出，然后写出对称轴和顶点坐标；根据函数的增减性，写出函数值y随x的增大而减小时，自变量x的取值范围即可；
（2）①当时，得出抛物线的解析式为，顶点坐标为，此时对称轴为直线，点M关于直线的对称点为，求出抛物线的解析式，然后列表，描点，连线画出抛物线的解析式即可；
②先求出抛物线的顶点坐标，然后求出点的坐标，即可得出答案；
③根据x轴上的点，纵坐标为0，列出关于k的方程，解方程即可．
【详解】（1）解：∵，
∴
，
∴抛物线的对称轴为直线，顶点为，
∵此时，
∴在抛物线的左侧函数值y随x的增大而减小，
∴当时，函数值y随x的增大而减小，
故答案为：直线；；．
（2）解：①当时，抛物线，
∴抛物线的顶点，
∵M点关于直线的对称点为，
∴抛物线，
列表为：
x … 1 …
… 2 2 …
… 0 3 4 3 0 …
抛物线，图象，如图所示：
②∵抛物线，
∴的顶点为，
∴M点关于直线对称的点，
∴顶点的纵坐标y与横坐标x之间的关系式为；
③当顶点M′恰好落在x轴上时，，
解得或．
【点睛】本题主要考查了求抛物线的顶点坐标，对称轴，画抛物线的图像，解题的关键是根据对称性求出抛物线的顶点坐标．
15．（2024·河南安阳·模拟预测）操作与探究：已知点P是抛物线上的一个动点．
(1)在如图的平面直角坐标系中画出函数的图象；
(2)仔细观察图象，结合所学知识解答下列问题：
①当函数值时，自变量x的取值范围是 ；
②方程的根是 （结果保留一位小数）；
③当时，y随x的增大而增大，则m的取值范围是 ；
④当时，函数值，直接写出n的取值范围 ．
【答案】(1)见解析
(2)①；②或；③；④
【分析】（）利用画函数图象的步骤即可求解；
（）根据二次函数的图象及性质逐一解答即可；
此题考查了二次函数的图象及性质和画二次函数图象，熟练掌握知识点的应用是解题的关键．
【详解】（1）列表：
描点，连线，如图，
（2）根据图象可知，当函数值时，自变量x的取值范围是，
故答案为：；
由得，，
方程的根可以看作是函数与x轴交点，
通过图象可知函数与x轴交点近似为，
或，
故答案为：或；
根据图象可知，当时，随的增大而增大，
当时，y随x的增大而增大，
则m的取值范围是，
故答案为：；
根据图象可知，
则的取值范围是．
16．（2020·北京·中考真题）小云在学习过程中遇到一个函数．下面是小云对其探究的过程，请补充完整：
（1）当时，对于函数，即，当时，随的增大而 ，且；对于函数，当时，随的增大而 ，且；结合上述分析，进一步探究发现，对于函数，当时，随的增大而 ．
（2）当时，对于函数，当时，与的几组对应值如下表：
0 1 2 3
0 1
综合上表，进一步探究发现，当时，随的增大而增大．在平面直角坐标系中，画出当时的函数的图象．
（3）过点(0，m)（）作平行于轴的直线，结合（1）（2）的分析，解决问题：若直线与函数的图象有两个交点，则的最大值是 ．
【答案】（1）减小，减小，减小；（2）见解析；（3）
【分析】（1）根据一次函数的性质，二次函数的性质分别进行判断，即可得到答案；
（2）根据表格的数据，进行描点，连线，即可画出函数的图像；
（3）根据函数图像和性质，当时，函数有最大值，代入计算即可得到答案．
【详解】解：（1）根据题意，在函数中，
∵,
∴函数在中，随的增大而减小；
∵，
∴对称轴为：，
∴在中，随的增大而减小；
综合上述，在中，随的增大而减小；
故答案为：减小，减小，减小；
（2）根据表格描点，连成平滑的曲线，如图：
（3）由（2）可知，当时，随的增大而增大，无最大值；
由（1）可知在中，随的增大而减小；
∴在中，有
当时，，
∴m的最大值为；
故答案为：．
【点睛】本题考查了二次函数的性质，一次函数的性质，以及函数的最值问题，解题的关键是熟练掌握题意，正确的作出函数图像，并求函数的最大值．
题型05 以开放性试题的形式考查二次函数的解析式
17．（2024·上海·模拟预测）请写出一个二次函数，符合顶点在第二象限，对称轴左侧上升，交y轴于正半轴
【答案】（答案不唯一）
【分析】此题主要考查了二次函数的性质，解题的关键是会利用函数的性质确定解析式的各项系数．
【详解】解：二次函数为，
故答案为：．
18．（2024·江苏无锡·模拟预测）某个函数同时满足两个条件：①图象过点、；②当时，随的增大而减小．这个函数表达式可以是 ．（只要写出一个符合愿意的答案即可）
【答案】
【分析】本题考查了待定系数法求函数的解析式．设此函数的解析式为，再把点，代入求出、的值即可．
【详解】解：设此函数的解析式为，
图象过点、，
，
解得，
这个函数表达式可以是，
故答案为：（答案不唯一）．
19．（2024·江苏泰州·三模）若y是x的函数，其图象过点、，写出一个符合此条件的函数表达式： ．
【答案】（答案不唯一）
【分析】本题考查用待定系数法求函数解析式，利用待定系数法求解即可．
【详解】解：当y是x的一次函数时，设函数解析式为，
得，，
解得，
∴该函数解析式为，
当y是x的反比例函数时，设函数解析式为，
得，，
∴该函数解析式为，
当y是x的二次函数，且顶点为时，设二次函数解析式为，
把代入得，，
解得，
∴该函数解析式为，
故答案为：或或（答案不唯一）．
20．（2024·广东江门·二模）若一个二次函数的二次项系数为2，且经过点，请写出一个符合上述条件的二次函数表达式： ．
【答案】（答案不唯一）
【分析】根据二次函数的二次项系数为2，设抛物线解析式为，结合抛物线经过点，得到，选择，得到解析式为．
本题考查了待定系数法求解析式，熟练掌握待定系数法，灵活选择数值计算即可．
【详解】∵二次函数的二次项系数为2，设抛物线解析式为，
∵抛物线经过点，
∴，
∴，
∴解析式为．
故答案为：．
题型06 二次函数的平移变换问题
21．（2024·四川遂宁·模拟预测）将解析式为 的抛物线先向右平移 4 个单位，再向下平移 5 个单位，则平移后的新抛物线的解析式为 ．
【答案】
【分析】此题主要考查了二次函数图象与几何变换．根据“左加右减、上加下减”的原则进行解答即可．
【详解】解：将解析式为的抛物线先向右平移4个单位，再向下平移5个单位，则平移后的新抛物线的解析式为．
故答案为：．
22．（2024·贵州贵阳·一模）二次函数 的图象经过平移，其顶点恰好为坐标原点，则平移的最短距离为 ．
【答案】5
【分析】本题考查了二次函数的图象性质以及勾股定理，先把的顶点坐标找出来，即，再结合经过平移，其顶点恰好为坐标原点，得出平移的最短距离为，即可作答．
【详解】∵，
∴二次函数图象的顶点坐标为
∵平移后图象的顶点恰好为坐标原点，
∴平移的最短距离为
故答案为：5
23．（2024·山西大同·模拟预测）已知抛物线上的部分点的横坐标x与纵坐标y的对应值如下表：
x … 0 1 2 3 …
y … 3 0 m 3 …
若将此抛物线向右平移1个单位长度，向上平移1个单位长度后的抛物线表达式为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了求二次函数的解析式，二次函数的平移规律，根据二次函数经过原点得，以及二次函数的对称性得出，再把代入，然后解出，最后根据平移规律，即可作答．
【详解】解：∵表格的对应的
∴的
∵表格的对应的
∴对称轴
∴
把代入
∴
∴
∴
∴
∵将此抛物线向右平移1个单位长度，向上平移1个单位长度
∴
故选：D
24．（2024·陕西西安·模拟预测）如图，已知抛物线：与轴分别交于、两点，与轴交于点，分别连接、．
(1)求抛物线的函数表达式；
(2)将抛物线向右平移个单位得到抛物线，两条抛物线相交于点，分别连接、，若，求的值．
【答案】(1)
(2)或
【分析】本题考查二次函数的图象，掌握待定系数法和平移的性质是解题的关键．
（1）利用待定系数法求函数解析式即可；
（2）先计算出，然后根据面积，得到，然后计算出和时的自变量x的值，然后计算平移距离即可．
【详解】（1）解：∵抛物线经过和，
，解得： ，
∴抛物线的表达式为 ；
（2）解：当时，，
∴点C的坐标为，
∴，
又∵，
∴，
∴，
当时，，解得：或，
∴平移距离为；
当时，，或，
平移距离为；，
故平移距离为或．
题型07 二次函数的对称变换问题
25．（2024·安徽·二模）若关于x的一元二次方程的两个实数根分别为，，则抛物线的对称轴为直线（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查二次函数与一元二次方程，利用对称性求对称轴，根据题意，得到抛物线与轴的两个交点坐标为，对称性得到对称轴为，即可．
【详解】解：∵的两个实数根分别为，，
∴抛物线与轴的两个交点坐标为，
∴对称轴为；
故选A．
26．（23-24九年级上·安徽亳州·阶段练习）抛物线与x轴的一个交点坐标是，它与轴的另一个交点的坐标是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题主要考查了抛物线的性质，先求出抛物线对称轴为． 直线，再根据抛物线的对称轴进行求解即可．
【详解】解：∵抛物线解析式为，
∴抛物线对称轴为直线，
∵抛物线与x轴的一个交点坐标是，
∴抛物线与轴的另一个交点的坐标是，
故选B．
27．（2024·江苏无锡·二模）已知二次函数的对称轴是直线，则的值为 ．
【答案】
【分析】本题考查了二次函数的对称性，求出二次函数图象与x轴的两个交点坐标，利用抛物线的对称性即这两个交点关于对称轴对称，即可求得．
【详解】解：令，解得：，
即抛物线与x轴的两个交点坐标为，
由于抛物线的对称轴是直线，即，
解得：
故答案为：．
28．（2024·浙江宁波·模拟预测）设函数（，m，n是实数），当时，，时，．则（　　）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
【答案】C
【分析】本题考查二次函数的图象和性质，能根据m的取值及抛物线上两点的坐标分析出抛物线的开口方向是解题的关键．根据所给解析式得出抛物线的对称轴为直线，再根据选项中所给出的m的值都a的正负依次进行判断即可．
【详解】解：由所给函数解析式可知，
抛物线的对称轴为直线．
当时，抛物线的对称轴为直线，
因为和在抛物线上，
则点关于直线的对称点为，
因为，，
所以在对称轴的右侧y随x的增大而增大，
则抛物线的开口向上，即．故A不符合题意．
当时，抛物线的对称轴为直线，
所以点关于直线的对称点为，
因为，
所以在对称轴的右侧y随x的增大而减小，
则抛物线的开口向下，即．故B选项不符合题意．
当时，抛物线的对称轴为直线，
所以点关于直线的对称点为，
因为，
所以在对称轴的右侧y随x的增大而减小，
则抛物线的开口向下，即．
故C选项符合题意．
当时，抛物线的对称轴为直线，
因为，
所以顶点的纵坐标为抛物线上所有点纵坐标中最大的，
则抛物线的开口向下，即．故D选项不符合题意．
故选：C．
29．（2024·江西景德镇·二模）二次函数与y轴交于点C，在点C右侧作轴，交抛物线于点D，且，则抛物线的对称轴为 .
【答案】
【分析】本题主要考查二次函数图象的对称性，二次函数的性质，根据抛物线的对称性找出线段之间的等量关系是解题的关键所在．由题意得出点D与点C是抛物线上的对称点，根据，即可得出结果．
【详解】解：由题意得出点D与点C是抛物线上的对称点，
二次函数与y轴交于点C，
则当时，，
，在点C右侧作轴，，
，
抛物线的对称轴为：；
故答案为：．
题型08 根据二次函数的对称性求参数取值范围
30．（2024·江苏无锡·二模）已知二次函数，点均在该二次函数的图象上，且，则k的取值范围为 ．
【答案】或
【分析】本题主要考查了二次函数的图象和性质．根据点，可得二次函数图象的对称轴，从而得到点关于对称轴的对称点为，再分两种情况：当点在对称轴的左侧时；当点在对称轴的右侧时，即可求解．
【详解】解：∵点均在该二次函数的图象上，且关于对称轴对称，
∴二次函数图象的对称轴为直线，
∴点关于对称轴的对称点为，
当时，，
∴二次函数的图象与y轴的交点为，
∵，
当点在对称轴的左侧时，；
当点在对称轴的右侧时，，且，
解得：；
综上所述，k的取值范围为或．
故答案为：或．
31．（2024·福建三明·一模）已知抛物线过点，，，，，若，则的取值范围为 ．
【答案】
【分析】根据，两点坐标可得出抛物线的对称轴，再根据，结合抛物线的对称性即可解决问题．本题考查二次函数图象上点的坐标特征，熟知二次函数的图象和性质是解题的关键．
【详解】解：，两点坐标为和，
抛物线的对称轴为直线．
又，，且，，
抛物线对称轴右侧的部分，随的增大而减小，
抛物线的开口向下．
又，且，
点在抛物线上的和之间，
．
故答案为：．
32．（2024·北京延庆·模拟预测）在平面直角坐标系中，点，点在抛物线上．设抛物线的对称轴为直线．
(1)若，求t的值；
(2)点在该抛物线上，若对于都有，求t的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查了二次函数性质，熟悉相关结论是解题关键．
（1）由题意得，据此即可求解；
（2）分类讨论①当时，②当时，两种情况即可求解；
【详解】（1）解：点，点在抛物线上，
且，抛物线的对称轴为，
，
．
（2）解：点，点，点在抛物线上，
，，．
且．
①当时，有，
②当时，有，
．
．
．
．
综上：．
33．（2024·广西钦州·一模）已知抛物线的对称轴为直线．
(1)当时，
①写出与满足的等量关系；
②当函数图象经过点，，时，求的最小值；
(2)已知点，，在该抛物线上，若对于，都有，直接写出的取值范围．
【答案】(1)①；②6
(2)
【分析】本题考查了二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是掌握二次函数的性质．
（1）①利用对称轴公式求得即可；②利用二次函数的性质判断即可；
（2）由题意可知点在对称轴的左侧，点，在对称轴的右侧，点到A对称轴的距离大于点C到对称轴的距离，由此列不等式组，解不等式组即可得出答案．
【详解】（1）解：①当时，对称轴为直线．
，
；
②由二次函数的性质可知，当，关于对称轴对称时取最小值，
对称轴为直线，点关于对称轴的对称点为，
与点重合，与点重合时，取最小值，
最小值为：．
（2）解： ，
抛物线开口下上，
，，
点在对称轴的左侧，点在对称轴上或对称轴的右侧，在对称轴的右侧，点到A对称轴的距离大于点C到对称轴的距离，
，
解得，
，
，
．
题型09 二次函数的最值问题
34．（2024·四川眉山·二模）若函数；当时，此时该函数的最小值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题主要考查了二次函数的性质等知识点，根据函数的取值范围确定函数最小值出现在哪个函数上，然后再根据二次函数的性质即可得解，熟练掌握二次函数的性质是解决此题的关键．
【详解】解：∵函数，
∴当时，函数的最小值在函数上，
∴当时，该函数的最小值是3，
故选：A．
35．（2024·陕西西安·模拟预测）在平面直角坐标系中，二次函数（m为常数）的图象经过点，其对称轴在y轴右侧，则该二次函数有（ ）
A．最大值0 B．最小值0 C．最大值6 D．最小值6
【答案】B
【分析】本题考查二次函数的图象与性质，根据题意得到且，进而求得m值和函数关系式，再求得最小值即可．
【详解】解：由题意，二次函数的图象开口向上，有最小值，
∵图象经过点，其对称轴在轴右侧，
∴，
∴且，
∴或（舍去），
∴，
∴该二次函数有最小值0，
故选：B．
36．（2024·陕西咸阳·模拟预测）已知二次函数（为常数，且），当时，函数的最大值与最小值的差为9，则的值为（ ）
A．－6 B．4 C．或0 D．0或
【答案】D
【分析】根据题意可知二次函数，故该函数的对称轴为直线 函数的最大值为2，然后根据对称轴所在的位置进行分类讨论计算即可．
本题考查了二次函数的图象与性质，准确了解当时，函数的最值会发生变化，从而结合方程解决问题是关键．
【详解】解：二次函数
∴该函数的对称轴为直线， 函数的最大值为2，
当时，
时， 函数有最大值，
时，函数有最小值，
∵当时，函数的最大值与最小值的差为9，
，
解得：(舍去)，
当 时，
时，函数有最大值，
时，函数有最小值，
∵当 时，函数的最大值与最小值的差为9，
，
解得：(舍去) ，
当时，时，函数有最小值，函数有最大值，
，
解得：或(舍去)，
当时，时，函数有最小值，函数有最大值，
，
解得或4(舍去)，
或，
故选：D．
题型10 根据二次函数的最值求参数/取值范围
37．（23-24九年级下·江苏苏州·阶段练习）函数在有最小值，则实数的值是 ．
【答案】或
【分析】本题主要考查了二次函数的最值问题，先求出对称轴为直线，再根据函数开口向上，离对称轴越远函数值越大，讨论对称轴的位置进行求解即可．
【详解】解：，
抛物线开口向上，对称轴为直线，
当时，则时，函数有最小值，
此时，解得；
当时，则时，函数有最小值，
此时，解得不合题意，舍去；
当时，则时，函数有最小值，
此时，解得舍去，
综上，实数的值是或，
故答案为：或．
38．（2023·江苏南京·一模）已知函数（m为常数），当时，y的最小值记为a．a的值随m的值变化而变化，当 时，a取得最大值．
【答案】2
【分析】先求出顶点坐标，再根据，，，进行分类讨论求出a的取值范围，即可得出结果．
【详解】解：∵函数的顶点坐标为：，
①当，即时，y在处取最小值，
即，
∴，
②当，即时，y在处取最小值，
即，
∵当时，，
∴，即，
③当，即时，y在处取最小值，
即，
∴，
综上所述，a的最大值为0，此时，
故答案为：2．
【点睛】本题考查二次函数顶点式的图象与性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
39．（2024·贵州黔东南·二模）已知二次函数 的图象经过点 ．
(1)求这个二次函数的表达式；
(2)当 时，求二次函数的最大值；
(3)当 时，二次函数的最大值与最小值的和为，求m的值．
【答案】(1)
(2)2
(3)或1或
【分析】本题主要考查二次函数的性质和解一元二次方程，
利用待定系数法求解即可；
根据二次函数求得的对称轴为，结合，当时，随的增大而减小，依据取值范围即可求得其最大值；
根据对称轴将m分为三种情况求解：①当时，随的增大而减小，则当时，二次函数有最大值，当时，二次函数有最小值，结合题意求解即可；②当时，分别求得最大值和最小值即可；③当时，当时，二次函数有最大值，当时，二次函数有最小值求解．
【详解】（1）解：∵经过点．
∴ ，
∴这个二次函数的表达式为：；
（2）解：∵二次函数图象的对称轴为直线，
又∵，
∴当时，随的增大而减小，
∴，
当时，二次函数的最大值为：；
（3）解：①当时，随的增大而减小．
当时，二次函数有最大值为：，
当时，二次函数有最小值为：，
由，得：，
解得：（不符合题意，舍去），．
②当时．
当时，二次函数有最大值为：，
当时，二次函数有最小值为：，
由，得：，
解得：．
③当时．
当时，二次函数有最大值为：，
当时，二次函数有最小值为：，
由，得：，
解得：（不符合题意，舍去），．
综上，的值为：或1或．
40．（2024·浙江温州·三模）已知关于x的二次函数的图象过点，．
(1)求这个二次函数的解析式；
(2)求当时，y的最大值与最小值的差．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查了二次函数的性质，待定系数法求二次函数的解析式，解题关键是掌握二次函数的图象和性质．
（1）将、代入求解．
（2）根据抛物线开口方向，将函数解析式化为顶点式可得时，y取最小值，时y取最大值，进而求解．
【详解】（1）解：将、代入得，
∴，
∴；
（2）解：∵，
∴抛物线开口向上，顶点坐标为，
∴时，y最小值为，
∵，
∴时，为最大值，
∴当时，y的最大值与最小值的差为．
41．（2024·河北·模拟预测）如图，二次函数的图象与轴交于A，B两点（点A在点B左侧），与轴交于点C，且．
(1)求二次函数的解析式．
(2)平移该二次函数的图象，使平移后的二次函数图象的顶点坐标为 ，若当时函数的最大值为7，求的值．
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）解∶当时，
即，解得，，
∴点A的坐标为，点B的坐标为．
当时，．
∵，
∴，解得，
∴二次函数的解析式为．
（2）由题意可知， ，
∵将函数图象平移后，顶点坐标为，
∴平移后的函数解析式为，
∴平移后的函数的对称轴为直线．
当，时函数取得最大值，
即，解得或，均不符合题意，舍去；
当，时函数取得最大值，
即，解得，符合题意．
综上所述，的值为．
题型11 根据二次函数的增减性求参数的取值范围
42．（2024·福建福州·二模）已知点、，是二次函数图象上的两个点，若当时，随的增大而减小，则 m的值可能是（ ）
A． B． C．1 D．2
【答案】D
【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，得到该二次函数图象的对称轴为直线或在其右侧是解决本题的关键．
首先根据点、是该二次函数图象上的两点且纵坐标相等，可得对称轴为直线，再根据开口向上，时，随的增大而减小，可得 ，据此即可求解．
【详解】解：∵点、，是二次函数图象上的两个点，
∴对称轴为直线，开口向上，
∵当时，随的增大而减小，
∴该二次函数图象的对称轴为直线或在其右侧，
∴
解得：，
只有2符合题意，
故选：D．
43．（2024·江苏泰州·二模）已知二次函数，当时，y随x的增大而增大，则b的取值范围是 ．
【答案】
【分析】本题考查了二次函数的性质，主要利用了二次函数的增减性，熟记性质并列出不等式是解题的关键．先利用二次函数的性质求出抛物线的对称轴为直线，则当时，的值随值的增大而增大，由于时，的值随值的增大而增大，于是得到．
【详解】解：抛物线的对称轴为直线，
因为，
所以抛物线开口向下，
所以当时，的值随值的增大而增大，
而时，的值随值的增大而增大，
所以，
解得．
故答案为：．
44．（17-18九年级上·四川成都·期末）已知二次函数，当x >4时，函数值y随x的增大而减小，则m的取值范围是
【答案】m≤4

【详解】∵二次函数y=x2﹣mx﹣1中，a=﹣1＜0，∴此函数开口向下，∵当x＞4时，函数值y随x的增大而减小，∴二次函数的对称轴x= ≥4，即m≤4，故答案为m≤4．
45．（2024·上海·模拟预测）已知抛物线的对称轴在y轴右侧，当时，y随x增大而增大，若抛物线上的点纵坐标，则m的取值范围为
【答案】
【分析】题目主要考查二次函数的性质，化为顶点式等，根据题意将二次函数化为顶点式，得出，顶点坐标为，最小值为，确定，再由，得出，然后求不等式解集即可，熟练掌握二次函数的性质是解题关键．
【详解】解：∵
，
∴对称轴为，
∵对称轴在y轴右侧，当时，y随x增大而增大，开口向上，
∴，顶点坐标为，最小值为，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
题型12 根据二次函数自变量/函数值的取值范围求函数值/自变量的取值范围
46．（2024·广西·一模）在二次函数的图象中，若y随x的增大而减小，则x的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查二次函数的图象性质，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．
根据题目中的函数解析式和二次函数的性质，可以直接得到当时，随的增大而减小，当时，随的增大而增大，从而可以解答本题．
【详解】解：二次函数，
当时，随的增大而减小，当时，随的增大而增大，
故选：B．
47．（2024·上海闵行·三模）如果二次函数的图象的一部分是下降的，那么的取值范围是 ．
【答案】
【分析】本题主要考查二次函数的性质，掌握二次函数的性质是解题的关键．根据函数解析式可得抛物线开口向上，则当在对称轴左侧时，函数图象下降，所以求出函数的对称轴即可求解．
【详解】解： ，又抛物线开口向上，
当时，随的增大而减小，图像下降；当时，随的增大而增大，图像上升；
二次函数的图像的一部分是下降的，
，
故答案为：．
48．（2024·浙江金华·二模）已知二次函数 (t为常数)，点、是其图象上两点，若，则的取值范围为 ．
【答案】
【分析】本题考查了二次函数值的大小比较，将点的坐标代入解析式求差是最直接有效的一种方法．将点坐标代入解析式后求差，然后分解因式，由积判断每一个因式的正负性即可．
【详解】解：∵，
∴，
∴
，
∴
∴，
∵，，
∴，
∴
故答案为：．
49．（24-25九年级上·北京·开学考试）已知二次函数，当时，函数值y的取值范围为
【答案】/
【分析】本题考查二次函数的图象与性质，根据题意得当时，y随x的增大而增大，求得当时，；时，，即可求解．
【详解】解：由题意得，，对称轴，
∴当时，y随x的增大而增大，
∵当时，；时，，
∴当时，函数值y的取值范围为，
故答案为：．
50．（23-24九年级上·重庆铜梁·阶段练习）如图，抛物线交y轴于点，对称轴为直线，若，则x的取值范围是 ．
【答案】
【分析】本题考查的是二次函数的图象与性质，先根据抛物线的对称轴可得抛物线过，再结合图象可得答案．
【详解】解：∵抛物线交y轴于点，对称轴为直线，
∴图象过点，
∵图象开口向下，
∴当时，x的取值范围是．
故答案为：．
题型13 二次函数的图像与各项系数符号
51．（2024·河南信阳·模拟预测）二次函数的图象如图所示，则直线不经过的象限是（　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】D
【分析】本题考查了二次函数图象与系数的关系，一次函数的图象，在直线中，当，时，图象经过的象限是第一、第二、第三象限；当，时，图象经过的象限是第一、第三、第四象限；当，时，图象经过的象限是第一、第二、第四象限；当，时，图象经过的象限是第二、第三、第四象限．
首先根据二次函数图象的开口向上且对称轴在轴的右侧确定、的符号，然后确定直线经过的象限．
【详解】解：二次函数图象的开口向上且对称轴在轴的右侧，
，
∴，
直线经过的象限是第一、第二、第三象限，不经过第四象限，
故选：D．
52．（23-24九年级下·河南鹤壁·期中）二次函数的图象如图所示，则关于x的一元二次方程的根的情况是（ ）
A．只有一个实数根 B．没有实数根
C．有两个不相等的实数根 D．有两个相等的实数根
【答案】C
【分析】此题考查了二次函数的图象和性质，一元二次方程的判别式，
首先根据二次函数的图象得到，，然后判断一元二次方程的判别式求解即可．
【详解】∵二次函数图象开口向下，对称轴大于零，
∴，
∴
∴方程的判别式
∴关于x的一元二次方程的根的情况是有两个不相等的实数根．
故选：C．
53．（2024·江西南昌·模拟预测）如图，这是一次函数的图象，则二次函数的图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】本题主要考查了一次函数与二次函数图象的综合，根据函数图象可得，再由当时，，得到，则二次函数与y轴交于，再求出，即可得到答案．
【详解】解：∵一次函数的函数图象经过第一、三、四象限，且与y轴交于，
∴，
∵当时，，
∴，
∴二次函数与y轴交于，
∵，
∴二次函数与x轴有两个不同的交点，
∴只有B选项的函数图象符合题意，
故选：B．
54．（2024·贵州六盘水·二模）二次函数的图象如图所示，则点在第 象限．
【答案】三
【分析】本题考查二次函数图像与系数的关系，以及象限内点的坐标特征，根据图像可知，，，即可判断点所在象限，即可解题．
【详解】解：由图知，，，，
点在第三象限．
故答案为：三．
题型14 根据二次函数的图像判断式子符号
55．（2024·广东·模拟预测）如图，抛物线与x轴交于点和B，与y轴的正半轴交于点C．下列结论： ；；；，其中正确结论是 ．
【答案】①②④
【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，根据抛物线的开口方向、对称轴、顶点坐标以及过特殊点时系数a、b、c所满足的关系，结合不等式的性质逐个进行判断即可．
【详解】解：①∵由抛物线的开口向下，
，
∵对称轴位于y轴的左侧，
∴a、b同号，即．
，
∵抛物线与y轴交于正半轴，
，
，
∴①正确；
②如图，当时，，
∴②正确；
③对称轴为，即，
，
，即，
∴③错误；
④当时，，
又，
，即．
∴④正确，
综上所述，正确的结论是①②④，
故答案为：①②④．
56．（2024·湖北武汉·模拟预测）已知抛物线经过点，，其中，．下列四个结论：①；②；③；④，其中正确的结论是 （填写序号）．
【答案】②③④
【分析】本题考查了二次函数图象与系数的关系，二次函数图象上点的坐标特征．根据对称轴的位置以及与轴的交点即可判断①；由抛物线经过，得到，由抛物线的对称轴为直线，即可得到，进而得到，即可得到，即可判断②；由抛物线经过点，可知，则变形为，根据，即可判断③；，则，由，即可求得，即可判断④．
【详解】解：抛物线经过点，，其中，．
抛物线与轴交点在轴上方，
，
当时，，则，
，①错误；
抛物线经过，
，
，
抛物线经过，，
对称轴为直线，
，
，
，
，
，②正确；
，
，
抛物线经过点，，
，
，
，．
，
，③正确；
，
，
，
，
，
，④正确；
故答案为：②③④．
57．（2024·广东惠州·模拟预测）如图是抛物线的部分图象，图象过点，对称轴为直线，下列五个结论：①；②；③；④ (m为任意实数)；⑤．其中，正确结论的序号是 ．
【答案】②④⑤
【分析】根据开口向下，对称轴为直线，图象与y轴正半轴相交，判定， ，，即可判定①；根据抛物线与x轴有两个交点，得，即可判定②；求出抛物线与x轴另一交点为，再代入得，则，即可判定③；根据抛物线的最值为，即可判定④；把代入代入抛物线解析式得，则，则
，即可判定⑤．
【详解】解：由函数图象可知，抛物线开口向下，对称轴为直线，图象与y轴正半轴相交，
∴， ，，
∴
∴．故①错误．
由函数图象可知，抛物线与x轴有两个交点，
∴，
∴．故②正确．
∵抛物线对称轴为直线，与x轴交点，
∴抛物线与x轴另一交点为，
把代入抛物线解析式得，
∴，故③错误；
∵抛物线对称轴为直线，抛物线开口向下，
∴当时，y有最大值，最大值为，
∵当 （m为任意实数）时，，
∴，
∴，故④正确；
把代入代入抛物线解析式得，
∵
∴
∴
∴
∴，故⑤正确；
∴正确的有②④⑤．
故答案为：②④⑤．
【点睛】本题考查抛物线的图象性质，抛物线图象与系数的关系，抛物线与坐标轴的交点，抛物线与一元二次方程的关系，从抛物线图象获取信息是解题的关键．
58．（2024·内蒙古通辽·模拟预测）二次函数（）的图象如图所示，则下列说法：
①；
②；
③；
④ 当时，；
⑤．
其中正确的有 ．（填序号）
【答案】②③④
【分析】根据顶点坐标，数形结合思想，抛物线的性质计算判断即可．
本题考查了抛物线的性质，抛物线与不等式的关系，熟练掌握性质是解题的关键．
【详解】解：∵抛物线开口向下，
∴；
∵对称轴在原点的右边，，
∴，，
∴，
∴②正确；
∵抛物线与y轴交点位于y轴正半轴上，
∴，
∴；
故①错误；
根据函数图象，得；
故③正确；
∵抛物线 的对称轴为直线，
∴，
∴抛物线与x轴的另一个交点为，
∴当时，；
故④正确；
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴⑤错误；
故答案为：②③④．
59．（2024·湖北武汉·模拟预测）如图，已知二次函数的图象与x轴交于点，与y轴的交点B在和之间（不包括这两点），对称轴为直线．下列结论：①；②；③；④关于x的方程一定有两个不相等的实数根．其中正确的结论是 ．（填写序号）

【答案】①②③
【分析】本题考查二次函数的图象和性质，掌握、、的值决定抛物线的位置以及二次函数与一元二次方程的关系，是正确判断的前提．根据二次函数图象的开口方向、对称轴位置、与轴的交点坐标、顶点坐标等知识，逐个判断即可．
【详解】解：抛物线轴交于点，对称轴为直线，
与轴的另一个交点为，
抛物线开口向上，对称轴为直线，
，，
，
当时，，
，所以①正确；
抛物线与轴的交点在和之间，
，
，
，
，
，
，所以②正确；
由题意可得，方程的两个根为，，
，即，
，
，
，故③正确，
当，时，
方程没有实数根或有两个相等的实数根，所以④不正确，
综上所述，正确的结论有3个：①②③，
故答案为：①②③．
题型15 函数图像综合
60．（2024·安徽合肥·模拟预测）在同一平面直角坐标系中，一次函数与二次函数的图象可能是（ ）
A． B．C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了二次函数与一次函数的图象，熟练掌握二次函数与一次函数的性质，采用数形结合的思想解题，是解此题的关键．分别讨论a的情况，再根据一次函数与二次函数的图象分布，比较看是否一致即可得到答案．
【详解】解：根据题意得：，
当时，则，，
一次函数的图象过一、二、三象限，
二次函数的图象开口向上，与y轴交于负半轴，且关于y轴对称，
当时，则，，
一次函数的图象过二、三、四象限，
二次函数的图象开口向下，与y轴交于正半轴，且关于y轴对称，
只有A选项符合题意，
故选：A．
61．（2024·湖北武汉·模拟预测）函数 （a、b为常数，且，）的大致图象是（ ）
A．B．C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，根据解析式对图象正确分析是解题关键．令，求出，即函数图象与轴的正半轴有一个交点，排除A、C选项，再根据时，，函数图象在第三象限，排除D选项，即可得出答案．
【详解】解：令，则，
，
，
，
，
，，
，即函数图象与轴的正半轴有一个交点，
A、C选项不符合；
当时，，
函数图象在第三象限，
D选项不符合，
故选：B
62．（2024·江苏淮安·一模）如图，抛物线与反比例函数的图象相交于点P，若点P横坐标为2，则关于不等式的解集为（ ）
A． B．
C． D．或
【答案】C
【分析】本题考查了二次函数与反比例函数的综合问题．根据两函数图象的上下关系结合点P的坐标，即可得出不等式的解集．
【详解】解：从图象得出当时，二次函数的图象在双曲线的上方，
∴不等式的解集为．
故选：C．
63．（2024·湖北武汉·二模）函数、在同一平面直角坐标系中的图象如图所示，则在该平面直角坐标系中，函数的大致图象是（ ）
A．B．C． D．
【答案】B
【分析】本题主要考查了二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的识别是解答本题的关键．根据函数图象的开口方向、与y轴的交点位置以及对称轴的位置进行判断即可．
【详解】解：由图象知，函数和函数的开口都向上，所以函数的开口一定向上，故C选项不符合题意；
由图象知，函数的对称轴在y轴的右侧，函数的对称轴也在y轴的右侧，
所以，函数的图象的对称轴也在y轴的右侧，故选项D不符合题意；
函数的图象与y轴的交点在y轴的正半轴上，函数的图象与y轴的交点在y轴的负半轴上，且前者的绝对值小于后者的绝对值，所以，函数的图象与y轴的负半轴相交，故选项A不符合题意，选项B符合题意．
故选：B．
题型16 已知一元二次方程根的分布情况求参数
64．（2024·浙江·模拟预测）在平面直角坐标系中，设二次函数．
(1)若a为整数，二次函数图象过点（其中n是正整数），求抛物线的对称轴．
(2)若，为抛物线上两个不同的点．
①当时，，求a的值．
②若对于，都有，求a的取值范围．
【答案】(1)对称轴为直线
(2)①；②
【分析】本题考查二次函数的图象与性质、二次函数与一元二次方程、二次函数的对称轴公式，
（1）把代入 ，求得，，从而可得，再代入对称轴公式求解即可；
（2）①根据对称轴为直线，进行求解即可；
②根据二次函数的图象与性质可得，即可求解．
【详解】（1）解：把代入 ，得，
解得，，．
∵n是正整数，a为整数，
（舍去），．则，
∴对称轴为直线．
（2）解：①时，，
，两点关于抛物线的对称轴对称，
则对称轴为直线，
．
②由题意可知，对于任意的，y随x的增大而增大，
可得，
解得．
65．（2024·云南德宏·一模）如图，抛物线与轴交于、两点，点在点的左侧，与轴交于点，且．
(1)求这条抛物线的解析式；
(2)若点与点在（1）中的抛物线上，且，．求的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查了二次函数的综合应用，涉及了待定系数法求函数解析式、与坐标轴的交点问题；
（1）先确定点的坐标，根据，在点的左侧，可得出点的坐标，将点坐标代入可得出抛物线解析式；
（2）由抛物线可知对称轴为，因为点与点纵坐标相等，可得出两点关于抛物线对称轴对称，从而可得出的表达式，变形后代入即可得出答案；
【详解】（1）解：当 时， ，
∴与y轴交于点，
∵抛物线与轴交于、两点，，
∵点在点的左侧，，
∴抛物线经过点，
∴，
解得：，
∴抛物线的解析式为 ；
（2） ，
抛物线的对称轴为直线 ，
在中的抛物线上，
，
轴
，
解得
∴
答：的值为4
66．（2024·河南·模拟预测）如图，二次函数的图像经过点，．
(1)求二次函数的表达式；
(2)若点，都在此抛物线上，且，，比较与的大小，并说明理由；
(3)点的坐标为，点的坐标为，若线段与该函数图象恰有一个交点，直接写出的取值范围．
【答案】(1)；
(2)，理由见解析；
(3)或
【分析】（）利用待定系数法即可求解；
（）结合函数的图象，根据二次函数的增减性可得结论；
（）由，可得，轴，再求出直线与抛物线两个交点之间的距离，结合图象即可得出答案；
本题考查了二次函数的图形和性质，待定系数法求二次函数的关系式，二次函数图象上点的坐标特征，掌握二次函数的图象和性质是解题的关键．
【详解】（1）解：∵二次函数的图象经过点，，
∴，
解得，
∴二次函数的解析式为；
（2）解：，理由如下：
∵，且，
∴当时，随的增大而增大，当时，随的增大而减小，
∵，，
∴，，
结合函数图象可知，当抛物线开口向上时，距离对称轴越远，值越大，
∴；
（3）解：∵点的坐标为，点的坐标为，
∴轴，
当时，即，
解得，，
∵直线与抛物线的两个交点分别为，,
∴这两个交点之间的距离为，
∵，
由直线与抛物线图象可知，
当或时，线段与抛物线恰有一个交点．
67．（2023·浙江杭州·二模）在平面直角坐标系中，当和时，二次函数（a，b是常数，a≠0）的函数值相等．
(1)若该函数的最大值为1，求函数的表达式，并写出函数图象的顶点坐标．
(2)若该函数的图象与x轴有且只有一个交点，求a，b的值．
(3)记（2）中的抛物线为y1，将抛物线y1向上平移2个单位得到抛物线，当时，抛物线的最大值与最小值之差为8，求m的值．
【答案】(1)函数表达式为：，顶点坐标为
(2)，
(3)
【分析】（1）根据当和时，二次函数的函数值相等，求出抛物线对称轴，再根据该函数的最大值为1，可写出抛物线的顶点式和顶点坐标，即可解答；
（2）根据该函数的图象与x轴有且只有一个交点，得出的判别式，以及，可求出a，b的值；
（3）根据（2）中抛物线的解析式，再根据二次函数的平移规律求出平移后的解析式，利用二次函数的性质即可解答．
【详解】（1）解：∵当和时，二次函数（a，b是常数，）的函数值相等，
∴二次函数的对称轴为直线，
∵该函数的最大值为1，
∴该函数的顶点坐标为，
设函数的解析式为，即，
∴，
解得，
∴函数表达式为：，
∴该函数的顶点坐标为；
（2）∵该函数的图象与x轴有且只有一个交点，
∴一元二次方程，该函数的顶点坐标为，
∴，
∵对称轴为，
∴，
将代入中，
解得（舍去），，
∴，
∴，；
（3）由（2）可得的解析式为：，
∵将抛物线向上平移2个单位得到抛物线，
∴，
即
∴当时，，
∵的顶点坐标为，且当时，抛物线的最大值与最小值之差为8，
且，
∴，随x的增大而增大，
∴当时，，
，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴．
【点睛】本题考查了二次函数的性质，二次函数的顶点坐标，二次函数的最值，二次函数与x轴的交点坐标，掌握二次函数的性质是解题的关键．
题型17 二次函数与坐标系交点问题
68．（2024·河北邯郸·模拟预测）二次函数的图象的最高点在轴上，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查二次函数图象与性质，由二次函数有最高点得到，求出抛物线顶点坐标为，由题意得方程求解即可得到答案，熟记二次函数图象与性质是解决问题的关键．
【详解】解：二次函数的图象有最高点，
二次函数图象开口向下，即，
二次函数的顶点坐标为，
当二次函数的图象的最高点在轴上时，，即，解得或（正值舍去），
故选：B．
69．（2024·广东广州·二模）已知二次函数（a为常数）的图象经过和两点，则二次函数与y轴的交点坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了二次函数图象上的坐标特征，二次函数的对称性，关键是利用对称轴公式解题；
由抛物线的对称性求得对称轴为直线，即可得到，求得，即可求得，从而求得二次函数与y轴的交点坐标为．
【详解】解： 和两点关于抛物线对称轴对称，
抛物线对称轴为直线，
，
解得，
，
二次函数与y轴的交点坐标为．
故选：B．
70．（2024·黑龙江牡丹江·模拟预测）抛物线与轴的一个交点的坐标为，则此抛物线与轴的另一个交点的坐标是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查二次函数的图象与轴的交点问题，熟练掌握二次函数图象及性质是解题的关键．
本题现将点代入，得到和的关系，于是解析式变为：，令，由于，于是，解方程即可．
【详解】把点代入得，，
∴解析式变为：，
令，由于，
∴，
解得：，，
此抛物线与轴的另一个交点的坐标是，
故选：．
71．（2024·江苏南京·模拟预测）已知二次函数（，且为常数）
(1)若，求证：该二次函数图象与轴有两个公共点；
(2)该函数一定经过两个定点，分别是 ， ；
(3)若该二次函数的图象与函数有不少于两个交点，直接写出的取值范围．
【答案】(1)证明见解析；
(2)，；
(3)的取值范围为或．
【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键．
（）根据二次函数与一元二次方程的联系即可求解；
（）先令，然后解一元二次方程即可；
（）根据图象分情况即可；
【详解】（1）证明：由，
∵，
∴，
∴该二次函数图像与轴有两个公共点；
（2）解：，
当时，都有，
∵，
∴或，
该函数一定经过两个定点，分别是，，
故答案为：，；
（3）解：如图，时，不少于两个交点，
如图，
当经过时，，
解得：，
∴当时，不少于两个交点，
综上可知：的取值范围为或．
题型18 二次函数与方程、不等式
72．（2024·湖北宜昌·模拟预测）如图，已知二次函数的图象关于直线对称，与x轴的一个交点在原点和之间，下列结论错误的是（ ）
A． B．
C． D．（m为任意实数）
【答案】C
【分析】本题考查二次函数的图象与性质，数形结合是解题的关键．根据抛物线开口向上，对称轴，与y轴交点位置，即可判断选项A；根据抛物线对称轴即可判断选项B；根据“对称轴为直线，”可判断选项C； 当时，为最小值，据此可判断选项D．
【详解】解：A．∵抛物线开口向上，
∴，
∵对称轴为直线，
∴，
∴，
∵抛物线与轴交于负半轴，
∴，
∴，
原题结论正确，故此选项不符合题意；
B．∵对称轴为直线，
∴，
∴，
故选项正确，不符合题意；
C．∵对称轴为直线，，
∴，
∴当时，
原题结论错误，故此选项符合题意；
D．当时，为最小值，
∴，
∴，
∴，
原题结论正确，故此选项不符合题意．
故选：C．
73．（2024·河南周口·模拟预测）如图，抛物线交轴于，，则下列判断错误的是（ ）
A．抛物线的对称轴是直线
B．当时，随的增大而减小
C．一元二次方程的两个根分别是1和3
D．当时，
【答案】D
【分析】本题考查二次函数的图象和性质，从图象中有效的获取信息，利用对称性，增减性和二次函数与一元二次方程的关系，逐一进行判断即可．
【详解】解：∵抛物线交轴于，，
∴抛物线的对称轴是直线，故A选项正确；
一元二次方程的两个根分别是1和3，故C选项正确；
由图象可知：当时，随的增大而减小，故B选项正确；
当时，或，故D选项错误；
故选D．
74．（2024·河南周口·模拟预测）如图，二次函数的图象与轴交于点，，与轴交于点，若直线的解析式为，则的解集为（ ）
A．或 B．或 C． D．或
【答案】D
【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，一次函数图象与性质，待定系数法求一次函数参数，熟练掌握函数图象与不等式的关系是解题的关键．先由二次函数可求得点坐标，代入即可得到，然后由变形为，观察图象即可得到答案．
【详解】解： 与轴交于点，即时，，
又点在直线：上，
将代入，得
直线的解析式为
观察图象可知，当时，直线在抛物线的上面，当时，直线在抛物线的下面，当时，直线在抛物线的上面，
，即
观察图象可知，该不等式的解集为：或．
故选：D．
75．（2023·陕西渭南·一模）若二次函数的图象经过点，，则关于x的方程的解为（　　）
A．， B．，
C．， D．，
【答案】A
【分析】根据一元二次方程的根为二次函数与x轴的交点即可解答．
【详解】解： 的图象经过点，，
方程的解为，．
故选：A．
【点睛】此题考查了二次函数与一元二次方程的关系，解题的关键是正确应用两者的关系．
76．（2024·内蒙古鄂尔多斯·二模）著名数学家华罗庚说过：“数缺形时少直觉，形缺数时难入微．数形结合百般好，隔离分家万事非．”寥窖数语，把图形之妙趣说的淋漓尽致．如图是函数的图象，那么无论x为何值，函数值y永远为负的条件是（ ）
A．， B．，
C．， D．，
【答案】D
【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，解题的关键是掌握二次函数的图象与性质，根据二次函数的图象在轴的下方，可得抛物线开口向下，与轴无交点，即可判断．
【详解】解：二次函教的图象在轴的下方，
抛物线开口向下，与轴无交点，
即，，
故选：D．
题型19 二次函数与三角形相结合的应用方法
77．（23-24九年级上·辽宁鞍山·期中）如图，二次函数的图象与x轴交于点A，B（点A在点B左侧），与y轴交于点C．点P是此函数图象上在第一象限内的一动点，当时，点P的坐标为 ．
【答案】或/或
【分析】分别求出点A，B，C的坐标，进而求出直线的解析式，作轴于点E，交于点G，设，则，再表示，然后根据，
得出关于t的关系式求出解即可．
【详解】令，则，
解得，，
∴，．
令，则，
∴．
设直线的解析式为，
将和代入得：，
解得：，
∴直线的解析式为，
过点P作轴于点E，交于点G，
设，则，
∴．
∵，
∴，
即，
解得：，，
∴点P的坐标为或．
故答案为：或．
【点睛】本题主要考查了求二次函数与坐标轴的交点，求一次函数解析式，解一元二次方程，求三角形的面积等，将三角形的面积适当的分割是解题的关键．
78．（2023·广西南宁·模拟预测）如图，二次函数的图象与轴交于点，与轴交于点，连接、．若点在线段上运动（不与点重合）．过点作，交于点，当面积最大时，点的坐标为 ．
【答案】
【分析】本题考查了二次函数的图象与性质、平行线分线段成比例定理，先求出，，设，则，，则，由平行线分线段成比例定理，得出，从而得出，再由二次函数的性质即可得解，熟练掌握二次函数的图象与性质是解此题的关键．
【详解】解：在中，令，则，
解得：，，
，，
，
当时，，
，
，
设，则，，
，
，
，
，
，
，
当时，即时，的面积最大，
故答案为：．
79．（2023·吉林长春·二模）如图，抛物线与轴交于两点（点在的左边），与轴交于点，点为此抛物线上的一动点（点在第一象限），连接，则四边形面积的最大值为 ．

【答案】
【分析】过作于，如图所示，根据抛物线图像与性质求出的坐标，再由 ，利用二次函数最值性质求出四边形面积最大值即可得到答案．
【详解】解：过作于，如图所示：

设，则，
抛物线与轴交于两点（点在的左边），与轴交于点，
当时，，即；当时，，解得或，即、，
，
，
抛物线开口向下，有最大值，即当时，四边形面积有最大值为，
故答案为：．
【点睛】本题考查二次函数综合的面积最值问题，熟练掌握二次函数综合面积问题解法，灵活运用二次函数图像与性质是解决问题的关键．
80．（2024·山东青岛·一模）如图，在平面直角坐标系中，二次函数交轴于点，，交轴于点，在轴上有一点，连接．
(1)求二次函数的表达式；
(2)若点为抛物线在轴负半轴上方的一个动点，求面积的最大值及此时点的坐标；
(3)抛物线对称轴上是否存在点，使为以为底的等腰三角形？若存在，请直接写出点的坐标即可；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)抛物线的表达式为
(2)面积的最大值为，此时D点坐标为
(3)存在，点P的坐标为
【分析】此题考查二次函数的图象与性质，用待定系数法求函数表达式，等腰三角形的判定等知识，数形结合与分类讨论数学思想是解题的关键．
（1）直接用待定系数法求解即可；
（2）可求得直线的表达式为过点D作 轴于点G， 交于点F， 设则所以，则 ，即可求得面积的最大值是；
（3）先求得抛物线的对称轴为直线设，再根据为等腰三角形，且以为底边，利用坐标两点距离公式列出方程求解即可．
【详解】（1）解：∵抛物线经过点， ，
，
解得
∴二次函数的表达式为．
（2）解：设直线的表达式为则
解得
∴直线的表达式为
如图1，过点D作轴于点G，交于点F，
设则
，
，
，
∴当时， ，
此时，，
面积的最大值是，此时D点坐标为；
（3）解：存在，理由如下：
，
∴抛物线的对称轴为直线，
设，
为等腰三角形，且以为底边，
，
，，
解得，
．
1．（2024·江苏无锡·中考真题）已知是的函数，若存在实数，当时，的取值范围是．我们将称为这个函数的“级关联范围”．例如：函数，存在，，当时，，即，所以是函数的“2级关联范围”．下列结论：
①是函数的“1级关联范围”；
②不是函数的“2级关联范围”；
③函数总存在“3级关联范围”；
④函数不存在“4级关联范围”．
其中正确的为（ ）
A．①③ B．①④ C．②③ D．②④
【答案】A
【分析】本题考查了新定义，一次函数的性质，反比例函数的性质，二次函数的性质．
推出在时，，即，即可判断①；推出在时，，即，即可判断②；③设当，则，
当函数存在“3级关联范围”时，整理得，即可判断③；设，则，当函数存在“4级关联范围”时，，求出m和n的值，即可判断④．
【详解】解：①当时，，当时，，
∵，
∴y随x的增大而减小，
∴在时，，即，
∴是函数的“1级关联范围”；故①正确，符合题意；
②当时，，当时，，
∵对称轴为y轴，，
∴当时，y随x的增大而增大，
∴在时，，即，
∴是函数的“2级关联范围”，故②不正确，不符合题意；
③∵，
∴该反比例函数图象位于第一象限，且在第一象限内，y随x的增大而减小．
设当，则，
当函数存在“3级关联范围”时，
整理得：，
∵，，
∴总存在，
∴函数总存在“3级关联范围”；故③正确，符合题意；
④函数的对称轴为，
∵，
∴当时，y随x的增大而增大，
设，则，
当函数存在“4级关联范围”时，，
解得：，
∴是函数的“4级关联范围”，
∴函数存在“4级关联范围”，故④不正确，不符合题意；
综上：正确的有①③，
故选：A．
2．（2024·四川资阳·中考真题）已知二次函数与的图像均过点和坐标原点，这两个函数在时形成的封闭图像如图所示，为线段的中点，过点且与轴不重合的直线与封闭图像交于，两点．给出下列结论：
①；
②；
③以，，，为顶点的四边形可以为正方形；
④若点的横坐标为，点在轴上（，，三点不共线），则周长的最小值为．
其中，所有正确结论的个数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据题意可得两个函数的对称轴均为直线，根据对称轴公式即可求出，可判断①正确；过点作交轴于点，过点作交轴于点，证明，可得，可判断②正确；当点、分别在两个函数的顶点上时，，点、的横坐标均为，求出的长度，得到，可判断③正确；作点关于轴的对称点，连接交轴于点，此时周长的最小，小值为，即可判断④．
【详解】解：①二次函数与的图像均过点和坐标原点，为线段的中点，
，两个函数的对称轴均为直线，
即，
解得：，故①正确；
②如图，过点作交轴于点，过点作交轴于点，
，
由函数的对称性可知，
在和中，
，
，
，故正确②；
③当点、分别在两个函数的顶点上时，，点、的横坐标均为，
由①可知两个函数的解析式分别为，，
，，
，
点，
，
，
由 ，
此时以，，，为顶点的四边形为正方形，故③正确；
④作点关于轴的对称点，连接交轴于点，此时周长的最小，最小值为，
点的横坐标为，
，点的横坐标为，
，，
，，
周长的最小值为，故正确④；
故选：D．
【点睛】本题是二次函数的综合题，涉及二次函数的图像与性质，全等三角形的判定与性质，正方形的判定，对称中的最值问题等知识，解题的关键是灵活运用这些知识．
3．（2024·黑龙江齐齐哈尔·中考真题）如图，在等腰中，，，动点E，F同时从点A出发，分别沿射线和射线的方向匀速运动，且速度大小相同，当点E停止运动时，点F也随之停止运动，连接，以为边向下做正方形，设点E运动的路程为，正方形和等腰重合部分的面积为y，下列图像能反映y与x之间函数关系的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】本题考查动态问题与函数图象，能够明确y与x分别表示的意义，并找到几何图形与函数图象之间的关系，以及对应点是解题的关键，根据题意并结合选项分析当与重合时，及当时图象的走势，和当时图象的走势即可得到答案．
【详解】解：当与重合时，设，由题可得：
∴，，
在中，由勾股定理可得：，
∴，
∴，
∴当时，，
∵，
∴图象为开口向上的抛物线的一部分，
当在下方时，设，由题可得：
∴，，
∵，,
∴，
∴，
∴，
∴，
∴当时，，
∵，
∴图象为开口向下的抛物线的一部分，
综上所述：A正确，
故选：A．
4．（2024·山东淄博·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，作直线与轴相交于点，与抛物线相交于点，连接，相交于点，得和，若将其面积之比记为，则 ．
【答案】
【分析】本题考查相似三角形的判定和性质，二次函数的图象和性质，根据题意，易证，得到，进行求解即可．
【详解】解：∵作直线与轴相交于点，与抛物线相交于点，
∴轴，且，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
故答案为：．
5．（2024·山东淄博·中考真题）在综合与实践活动课上，小明以“圆”为主题开展研究性学习．
【操作发现】
小明作出了的内接等腰三角形，．并在边上任取一点（不与点，重合），连接，然后将绕点逆时针旋转得到．如图①
小明发现：与的位置关系是__________，请说明理由：
【实践探究】
连接，与相交于点．如图②，小明又发现：当确定时，线段的长存在最大值．
请求出当．时，长的最大值；
【问题解决】
在图②中，小明进一步发现：点分线段所成的比与点分线段所成的比始终相等．请予以证明．
【答案】操作发现：与相切；实践探究：；问题解决：见解析
【分析】操作发现：连接并延长交于点M，连接，根据直径所对圆周角为直角得到，根据旋转的性质得到，由圆周角定理推出，等量代换得到，利用直角三角形的性质即可证明，即可得出结论；
实践探究：证明，得到，结合三角形外角的性质得到，易证，得到，设，则，得到，利用二次函是的性质即可求解；
问题解决：过点E作交于点N，由旋转的性质知：，证明，推出，由旋转的性质得：，
得到，根据，易证，得到，即可证明结论．
【详解】操作发现：
解：连接并延长交于点M，连接，
是直径，
，
，
由旋转的性质得，
，
，
，
是的半径，
与相切；
实践探究：
解： 由旋转的性质得：，
即，
，
，
，
，
，
，
，
，
设，则，
，
，
，
当时，有最大值为；
问题解决：
证明：过点E作交于点N，
由旋转的性质知：，
，
，
，
，
由旋转的性质得：，
，
，
，
，
，
，
．
【点睛】本题考查圆周角定理，切线的证明，旋转的性质，三角形相似的判定与性质，二次函数最值的应用，正确作出辅助线，构造三角形相似是解题的关键．
1．（2024·山东德州·中考真题）已知，是某函数图象上的两点，当时，．该函数的解析式可能是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】本题考查一次函数、反比例函数、二次函数的增减性．
由题意可得当时，y随x的增大而增大，逐个选项判断函数的增减性，即可额解答．
【详解】解：∵当时，，即，
∴当时，y随x的增大而增大．
A、对于函数，y随x的增大而减小，故该函数不合题意；
B、对于，当时，y随x的增大而减小，故该函数不合题意；
C、函数的图象开口向上，对称轴为，
则当，y随x的增大而增大，故该函数符合题意；
D、函数的图象开口向下，对称轴为，
则当，y随x的增大而减小，故该函数不合题意．
故选：C
2．（2024·江苏南通·中考真题）将抛物线向右平移3个单位后得到新抛物线的顶点坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了二次函数图象的平移，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减．根据平移规律，上加下减，左加右减，可得顶点式解析式．
【详解】解∶ 抛物线向右平移3个单位后得到新抛物为，
∴新抛物线的顶点坐标为，
故选∶D．
3．（2024·甘肃兰州·中考真题）如图1，在菱形中，，连接，点M从B出发沿方向以的速度运动至D，同时点N从B出发沿方向以的速度运动至C，设运动时间为，的面积为，y与x的函数图象如图2所示，则菱形的边长为（ ）

A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题主要考查菱形的性质和二次函数的性质，根据题意可知，，结合菱形的性质得，过点M作于点H，则，那么，设菱形的边长为a，则，那么点M和点N同时到达点D和点C，此时的面积达到最大值为，利用最大值即可求得运动时间，即可知菱形边长．
【详解】解：根据题意知，，，
∵四边形为菱形，，
∴，
过点M作于点H，连接交于点O，如图，

则，
那么，的面积为，
设菱形的边长为a，
∴，
∴点M和点N同时到达点D和点C，此时的面积达到最大值为，
∴，解得，（负值舍去），
∴．
故选：C．
4．（2024·四川广元·中考真题）如图，已知抛物线过点与x轴交点的横坐标分别为，，且，，则下列结论：
①；
②方程有两个不相等的实数根；
③；
④；
⑤．其中正确的结论有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【分析】本题考查的是二次函数的图象与性质，熟练的利用数形结合的方法解题是关键；由当时，，可判断①，由函数的最小值，可判断②，由抛物线的对称轴为直线，且，可判断③，由时，，当时，，可判断④，由根与系数的关系可判断⑤；
【详解】解：①抛物线开口向上，，，
∴当时，，故①不符合题意；
②∵抛物线过点，
∴函数的最小值，
∴有两个不相等的实数根；
∴方程有两个不相等的实数根；故②符合题意；
③∵，，
∴抛物线的对称轴为直线，且，
∴，而，
∴，
∴，故③不符合题意；
④∵抛物线过点，
∴，
∵时，，
即，
当时，，
∴，
∴，
∴，故④符合题意；
⑤∵，，
∴，
由根与系数的关系可得：，，
∴
∴，
∴，故⑤符合题意；
故选：C．
5．（2024·内蒙古赤峰·中考真题）如图，正方形的顶点，在抛物线上，点在轴上．若两点的横坐标分别为（），下列结论正确的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题主要考查了二次函数的图象与性质、正方形的性质、全等三角形的判定与性质，解题时要熟练掌握并能灵活运用是关键．依据题意，连接、交于点，过点作轴于点，过点作于点，先证明．可得，．点、的横坐标分别为、，可得，．，，，设，则，，，，，．再由，进而可以求解判断即可．
【详解】解：如图，连接、交于点，过点作轴于点，过点作于点，
四边形是正方形，
、互相平分，，，
，，
．
，，
．
，．
点、的横坐标分别为、，
，．
，，，
设，则，，
，，，．
又，，
，．
．
．
．
点、在轴的同侧，且点在点的右侧，
．
．
故选：B．
6．（2024·陕西·中考真题）已知一个二次函数的自变量x与函数y的几组对应值如下表，
x … 0 3 5 …
y … 0 …
则下列关于这个二次函数的结论正确的是（ 　　 ）
A．图象的开口向上 B．当时，y的值随x的值增大而增大
C．图象经过第二、三、四象限 D．图象的对称轴是直线
【答案】D
【分析】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数的性质．先利用待定系数法求得二次函数解析式，再根据二次函数的性质逐一判断即可．
【详解】解：由题意得，解得，
∴二次函数的解析式为，
∵，
∴图象的开口向下，故选项A不符合题意；
图象的对称轴是直线，故选项D符合题意；
当时，y的值随x的值增大而增大，当时，y的值随x的值增大而减小，故选项B不符合题意；
∵顶点坐标为且经过原点，图象的开口向下，
∴图象经过第一、三、四象限，故选项C不符合题意；
故选：D．
92．（2024·四川乐山·中考真题）已知二次函数，当时，函数取得最大值；当时，函数取得最小值，则t的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，二次函数的最值等知识．熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键．
由，可知图象开口向上，对称轴为直线，顶点坐标为，当时，，即关于对称轴对称的点坐标为，由当时，函数取得最大值；当时，函数取得最小值，可得，计算求解，然后作答即可．
【详解】解：∵，
∴图象开口向上，对称轴为直线，顶点坐标为，
当时，，
∴关于对称轴对称的点坐标为，
∵当时，函数取得最大值；当时，函数取得最小值，
∴，
解得，，
故选：C．
7．（2024·湖北武汉·中考真题）抛物线（a，b，c是常数，）经过，两点，且．下列四个结论：
①；
②若，则；
③若，则关于x的一元二次方程 无实数解；
④点，在抛物线上，若，，总有，则．
其中正确的是 （填写序号）．
【答案】②③④
【分析】本题考查了二次函数的性质，根据题意可得抛物线对称轴，即可判断①，根据，两点之间的距离大于，即可判断②，根据抛物线经过得出，代入顶点纵坐标，求得纵坐标的最大值即可判断③，根据④可得抛物线的对称轴，解不等式，即可求解．
【详解】解：∵（a，b，c是常数，）经过，两点，且．
∴对称轴为直线， ，
∵，
∴，故①错误，
∵
∴，即，两点之间的距离大于
又∵
∴时，
∴若，则，故②正确；
③由①可得，
∴，即，
当时，抛物线解析式为
设顶点纵坐标为
∵抛物线（a，b，c是常数，）经过，
∴
∴
∴
∵，，对称轴为直线，
∴当时，取得最大值为，而，
∴关于x的一元二次方程 无解，故③正确；
④∵，抛物线开口向下，点，在抛物线上， ，，总有，
又，
∴点离较远，
∴对称轴
解得：，故④正确．
故答案为：②③④．
8．（2024·新疆·中考真题）如图，抛物线与y轴交于点A，与x轴交于点B，线段在抛物线的对称轴上移动（点C在点D下方），且．当的值最小时，点C的坐标为 ．

【答案】
【分析】在y轴上取点，证明四边形是平行四边形，得出，利用抛物线的对称性得出，则，当E、C、F三点共线时，最小，利用待定系数法求出直线解析式，然后把代入，即可求出C的坐标．
【详解】解：，
∴对称轴为，
如图，设抛物线与x轴另一个交点为F，

当时，，
∴，
当时，，
解得，，
∴，，
在y轴上取点，连接，，，
∴，
∵，
∴四边形是平行四边形，
∴，
∵抛物线对称轴为，
∴，
∴，
当E、C、F三点共线时，最小，
设直线解析式为，
∴，
解得，
∴，
当时，，
∴当最小时，C的坐标为，
故答案为：．
【点睛】本题考查了二次函数的性质，平行四边形的判定与性质，待定系数法求一次函数解析式，两点之间线段最短等知识，明确题意，添加合适辅助线，构造平行四边形是解题的关键．
9．（2024·四川成都·中考真题）在平面直角坐标系中，，，是二次函数图象上三点．若，，则 （填“”或“”）；若对于，，，存在，则的取值范围是 ．
【答案】
【分析】本题考查二次函数的性质、不等式的性质以及解不等式组，熟练掌握二次函数的性质是解答的关键．先求得二次函数的对称轴，再根据二次函数的性质求解即可．
【详解】解：由得抛物线的对称轴为直线，开口向下，
∵，，
∴，
∴；
∵，，，，
∴，
∵存在，
∴，，且离对称轴最远，离对称轴最近，
∴，即，且，
∵，，
∴且，
解得，
故答案为：；．
10．（2024·江苏镇江·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，二次函数的图像与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），顶点为C．
(1)求A、B、C三点的坐标；
(2)一个二次函数的图像经过B、C、三点，其中，该函数图像与x轴交于另一点D，点D在线段上（与点O、B不重合）．
①若D点的坐标为，则_________；
②求t的取值范围：
③求的最大值．
【答案】(1)，，
(2)①6；②且；③4
【分析】本题主要考查待定系数法求函数解析式，二次函数的对称性，二次函数的最值问题等相关知识，熟练掌握相关知识是解题基础．
（1）根据顶点式可直接得出点的坐标；令，解方程，可得出点，的坐标；
（2）①根据函数的对称性，可得出对称轴为直线，再根据点，的坐标可得出，关于对称轴对称，由此可得出的值；
②由对称轴的性质可知，二次函数图象的对称轴与轴的交点坐标为，，再由对称性可知，，由点在线段上，且与端点不重合，可得，即，而当时，过点，，三点的二次函数不存在，由此可得且；
③，根据二次函数的性质可得结论．
【详解】（1）解：二次函数的图象的顶点为，
；
令，解得或，
，；
（2）解：①由题知，该函数过点，，，
函数的解析式为：，
函数的对称轴为直线，
，，
点，关于对称轴对称，
，
，
故答案为：6；
②设二次函数的解析式为：，
将，，两点代入，得，
，
，
，
二次函数图象的对称轴与轴的交点坐标为，，
，两点关于对称轴对称，点，
，
点在线段上，且与端点不重合，
，即，
时，过点，，三点的二次函数不存在，
且；
③，，
．
，
且，
时，有最大值，最大值为4．
11．（2024·内蒙古通辽·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，直线与轴，轴分别交于点，，抛物线为常数）经过点且交轴于两点．
(1)求抛物线表示的函数解析式；
(2)若点为抛物线的顶点，连接，，．求四边形的面积．
【答案】(1)
(2)10
【分析】本题考查函数图象与坐标轴的交点，待定系数法求解析式，三角形的面积
（1）分别把，代入函数中，可求得点，，将点D坐标代入函数，求出k的值，即可解答；
（2）由抛物线的函数解析式可得顶点P的坐标为，因此轴，，过点D作于点E，则，根据三角形的面积公式可求出；把代入函数中，求得，因此，再根据即可解答．
【详解】（1）解：把代入函数中，得，
解得，
∴，
把代入函数中，得，
∴，
∵抛物线为常数）经过点，
∴，解得，
∴抛物线表示的函数解析式为；
（2）解：∵抛物线的函数解析式为，
∴顶点P的坐标为，
∵，
∴轴，，
过点D作于点E，则，
∴；
把代入函数中，得，
解得，，
∴，，
∴，
∵，
∴
∴
∴．
12．（2024·浙江·中考真题）已知二次函数（b，c为常数）的图象经过点，对称轴为直线．
(1)求二次函数的表达式；
(2)若点向上平移2个单位长度，向左平移m（）个单位长度后，恰好落在的图象上，求m的值；
(3)当时，二次函数的最大值与最小值的差为，求n的取值范围．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】本题主要考查了待定系数法，二次函数的图象与性质，
（1）采用待定系数法即可求解二次函数关系式；
（2）先求出平移后点B的坐标，然后把坐标代入解析式即可；
（3）分为，时，时，建立方程解题即可．
【详解】（1）解：设二次函数的解析式为，把代入得，
解得，
∴；
（2）解：点B平移后的点的坐标为，
则，解得或（舍），
∴m的值为；
（3）解：当时，
∴最大值与最小值的差为，解得：不符合题意，舍去；
当时，
∴最大值与最小值的差为，符合题意；
当时，
最大值与最小值的差为，解得或，不符合题意；
综上所述，n的取值范围为．
13．（2024·广西·中考真题）课堂上，数学老师组织同学们围绕关于x的二次函数的最值问题展开探究．
【经典回顾】二次函数求最值的方法．
（1）老师给出，求二次函数的最小值．
①请你写出对应的函数解析式；
②求当x取何值时，函数y有最小值，并写出此时的y值；
【举一反三】老师给出更多a的值，同学们即求出对应的函数在x取何值时，y的最小值．记录结果，并整理成下表：
a … 0 2 4 …
x … * 2 0 …
y的最小值 … * …
注：*为②的计算结果．
【探究发现】老师：“请同学们结合学过的函数知识，观察表格，谈谈你的发现．”
甲同学：“我发现，老师给了a值后，我们只要取，就能得到y的最小值．”
乙同学：“我发现，y的最小值随a值的变化而变化，当a由小变大时，y的最小值先增大后减小，所以我猜想y的最小值中存在最大值．”
（2）请结合函数解析式，解释甲同学的说法是否合理？
（3）你认为乙同学的猜想是否正确？若正确，请求出此最大值；若不正确，说明理由．
【答案】（1）①；②当时，有最小值为（2）见解析（3）正确，
【分析】本题考查二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质，是解题的关键：
（1）①把代入解析式，写出函数解析式即可；②将一般式转化为顶点式，进行求解即可；
（2）将一般式转化为顶点式，根据二次函数的性质进行解释即可；
（3）将一般式转化为顶点式，表示出的最大值，再利用二次函数求最值即可．
【详解】解：（1）①把代入，得：
；
∴；
②∵，
∴当时，有最小值为；
（2）∵，
∵抛物线的开口向上，
∴当时，有最小值；
∴甲的说法合理；
（3）正确；
∵，
∴当时，有最小值为，
即：，
∴当时，有最大值，为．

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