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辽宁省凌源市2024-2025学年高一下学期春季教育局抽测考试数学试卷
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．已知集合，集合，则（ ）
A． B． C． D．
2．半径为，圆心角为210°的扇形的弧长为（ ）
A． B． C． D．
3．已知向量，且，则的值为（ ）
A． B．2 C．4 D．或4
4．已知，，，则（ ）
A． B． C． D．
5．若正实数a，b满足，则的最小值为（ ）
A．1 B．16 C．9 D．18
6．小张某一周的总开支分布如图①所示，该星期的食品开支如图②所示，则以下说法正确的是（ ）
A．储蓄比通信开支多50元 B．日常开支比食品中的其他开支少150元
C．娱乐支出为100元 D．肉类开支占总开支的
7．已知函数，在上单调递增，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
8．若定义在上的偶函数在区间上单调递增，且，则满足的的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
二、多选题
9．下列说法不正确的是（ ）
A．若，，则
B．若A，B，C，D四点不共线且，则四边形ABCD是平行四边形
C．若，则
D．若，，则
10．在某市初三年级举行的一次体育统考考试中，共有500人参加考试．为了解考生的成绩情况，抽取了样本容量为n的部分考生成绩，已知所有考生成绩均在，按照，，，，的分组作出如图所示的频率分布直方图．若在样本中，成绩落在区间的人数为32，则由样本估计总体可知下列结论正确的为（ ）

A． B．考生成绩的众数为72
C．考生成绩的第70百分位数为75 D．估计该市考生成绩的平均分为70.6
11．已知函数，有4个零点，，，，则（ ）
A．实数的取值范围是 B．函数的图象关于原点对称
C． D．的取值范围是
三、填空题
12．函数（且）恒过定点 ．
13．设：，：，若是的充分条件，则实数的取值范围是 ．
14．已知，，则实数的值构成的集合为 ．
四、解答题
15．已知角的终边上有一点，且．
（1）求实数m的值；
（2）求，的值．
16．已知幂函数在上单调递增，函数.
(1)求的值；
(2)记集合，集合，若，求实数的取值范围.
17．在2022年北京冬奥会志愿服务开始前，北京市团委调查了北京师范大学某院50名志愿者参加志愿服务礼仪培训和赛会应急救援培训的情况，数据（单位：人）如下表：
参加志愿服务礼仪培训 未参加志愿服务礼仪培训
参加赛会应急救援培训 6 10
未参加赛会应急救援培训 6 28
(1)从50名志愿者中随机选1名同学，求该同学至少参加上述一个培训的概率；
(2)在既参加志愿服务礼仪培训又参加赛会应急救援培训的6名同学中，有4名男同学名女同学，现从这4名男同学和2名女同学中各随机选1人，求未被选中且被选中的概率.
18．如图，、、分别是三边、、上的点，且满足，设，．

(1)用、表示；
(2)已知点是的重心，用、表示．
19．已知函数.
(1)求函数的值域；
(2)是否存在常数，使得对于任意的，只要，就有.若存在，写出一个满足要求的实数的值，若不存在，请说明理由.
辽宁省凌源市2024-2025学年高一下学期春季教育局抽测考试数学试卷参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 D D A A B C A A AC AD
题号 11
答案 ACD
1．D
【详解】因为，
又，所以.
故选：D.
2．D
【详解】圆心角化为弧度为，则弧长为.
故选：D
3．A
【详解】因为，所以，
又因为，所以,所以.
故选：A.
4．A
【详解】,
由函数 在上单调递增，则
所以
又，所以
故选：A
5．B
【详解】∵，
∴.
又，
∴，当且仅当时取等号，
∴.
故选：B
6．C
【详解】由食品开支图，可知食品开支为（元），所以一星期的总开支为（元），其中娱乐支出为（元），故C正确；
储蓄比通信开支多（元），故A错误；
日常开支为（元），故日常开支比食品中的其他开支多150元，故B不正确；
肉类开支占总开支的故D错误.
故答案为：C.
7．A
【详解】由题意可得，，解得，即，
所以实数的取值范围为.
故选：A
8．A
【详解】因为定义在上的偶函数在区间上单调递增，且.
所以或，即或，
解得或，
综上，满足原不等式的的取值范围是.
故选：A
9．AC
【详解】若，则与就不一定平行了，所以选项A不正确；
因为，所以且，故四边形ABCD是平行四边形，所以选项B正确；
根据向量相等的定义，要保证两向量相等，不仅模相等，而且方向相同，所以选项C不正确；
由向量相等的定义知，选项D正确，
故选：AC.
10．AD
【详解】由频率分布直方图可知，
∴，故A正确；
由频率分布直方图可知众数落在区间上，则考生成绩的众数为75，故B错误；
同时可知考生成绩的第70百分位数为：，故C错误；
由频率分布直方图可知样本中，
考生成绩的平均分为，
可估计整体学生的平均分为70.6，故D正确．
故选：AD．
11．ACD
【详解】解：由题可知，当时，有2个零点，故，解得，
当时，此时，而，易知，也有2个零点，故，A正确；
，B错误；
的4个零点满足：，则，是方程的两个根，
则有，且，，
于是得，C正确；
由C选项知，，
由，得：，
而函数在上单调递减，从而得，D正确.
故选：ACD.
12．
【详解】因为当且时，，所以函数（且）的图象恒过定点.
故答案为：
13．
【详解】不等式可化为，
所以，
所以：，
因为是的充分条件，：，
所以，
所以，
所以，
所以的取值范围是
故答案为：.
14．.
【详解】已知，，由可得：
方程两边同时乘以去分母得：
展开，移项、合并同类项，整理得：，解得或.
当时，，，满足三角函数的取值范围.
当时，，，也满足三角函数的取值范围.
故实数的值构成的集合为.
故答案为：.
15．（1）；（2）见解析.
【详解】（1）由三角函数的定义有，，
解得．
故实数m的值为．
（2）①当时，，，
②当时，，．
16．(1)
(2)
【详解】（1）为幂函数且在上单调递增，
解得；
（2）由（1）知，，在上单调递增，
当时，，即；
在R上单调递增，
当时，，即，
，
解得，即实数的取值范围为.
17．(1)
(2)
【详解】（1）由调查数据可知，既未参加志愿服务礼仪培训又未参加赛会应急救援培训的有28人，
故至少参加上述一个培训的共有（人）.
因此从50名志愿者中随机选1名同学，该同学至少参加上述一个培训的概率为；
（2）从这4名男同学和2名女同学中各随机选1人，
其一切可能的结果组成的基本事件有，共8个，
根据题意，这些基本事件的出现是等可能的，
事件“未被选中且被选中”所包含的基本事件有，共3个，
所以可得未被选中且被选中的概率为.
18．(1)；
(2).
【详解】（1）因为，，，
所以，，
所以，
（2）由已知，
连接，其中点为线段的中点，点为线段的中点，
由已知，与的交点为重心，
由重心性质可得，故
所以，
又，
所以.

19．(1)
(2)不存在，理由见解析
【详解】（1）因为.
故的值域为；
（2）当时，记，则只要，就有，则即可，
①当时，在上单调递增，
，
；
②当时，在上单调递减，在上单调递增，，，
当时，有
，解得
时，，
时，，
则，
当时，，，
即在上的值域为，所以无最大值，
综上所述，无最大值，不存在常数.

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