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2025 年湖北省十堰市房县一中高考数学模拟试卷（4 月份）
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1 = { | 4.已知集合 5 ≤ 0}，集合 = { || 4| ≤ 1}，则 ∩ =( )
A. (3,5) B. [3,5) C. [4,5] D. [4,5)
2.已知 ， ∈ ，下列选项中，使 > 0 成立的一个充分不必要条件是( )
A. > 0 或 > 0 B. > 10 且 > 2
C. ， 同号且不为 0 D. + > 0 或 > 0
3.已知数列{ }为递增数列，前 项和 2 = + + ，则实数 的取值范围是( )
A. ( ∞,2] B. ( ∞,2) C. ( ∞,0] D. ( ∞,0)
4.已知 = 2 55 ,
1
为钝角，tan( ) = 3，则 =( )
A. 57 B.
5
7 C. 7 D. 7
, > 0
5.已知函数 ( ) = + 3 , ≤ 0，若关于 的方程 ( ) = 0 有两个不同的实数根，则实数 的取值范围2
为( )
A. ( 32 , + ∞) B. ( ∞,
3
2 ] ∪ (
5
2 , + ∞)
C. ( 32 ,
5
2 ] D. ( ∞,
3
2 )
6 + 2 = 1 2 + 4 + .已知 ， 均为正数，且 ，则 的最小值为( )
A. 11 B. 13 C. 10 D. 12
7.已知正方体 1 1 1 1的棱长为 4， ， 分别为 1和 1 1的中点， 为线段 1上的动点， 为
上底面 1 1 1 1内的动点，下列判断正确的是( )
①三棱锥 1 的体积是定值，
②若 ⊥ 恒成立，则线段 的最大值为 2 2
③当 与 1所成的角为 45°时，点 的轨迹为双曲线的一部分
A.①② B.②③ C.①③ D.①②③
8
2 2
.已知椭圆 ： 2 + 2 = 1( > > 0)的左右焦点为 1， 2，过 1的直线与 交于 ， 两点，若满足| 2|，
| |，| 2|成等差数列，且∠

2 = 3，则 的离心率为( )
A. 3 3 3 24 B. 3 C. 2 D. 2
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二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。

9.设 ， 分别为随机事件 ， 的对立事件，已知 0 < ( ) < 1，0 < ( ) < 1，则下列说法正确的是( )

A. ( | ) + ( | ) = 1

B. ( | ) + ( | ) = 0
C.若 ， 是相互独立事件，则 ( | ) = ( )
D.若 ， 是互斥事件，则 ( | ) = ( )
10.已知 (1, 4)， ， 是抛物线 ： 2 = 2 上三个不同的点， 的焦点 是△ 的重心，则( )
A. 的准线方程是 = 4 B.过 的焦点的最短弦长为 8
C.以 为直径的圆与准线相离 D.线段 的长为 19
11.如果一个人爬楼梯的方式只有两种，一次上一级台阶或一次上两级台阶，设爬上 级台阶的方法数为 ，
则下列结论正确的有( )
A. 6 = 13 B. +2 = + +1
C. 2 2 21 + 2 + 7 = 51 D. 1 + 2 + + = +1 1
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12.已知( 12 2 )
的二项展开式中只有第 5 项的二项式系数最大，则展开式中 1
的系数为______．
13.设 = 是函数 ( ) = 3 的一个极值点，则 2 + 2 2 =______．
14.如图，一块边长为 10 的正方形铁片上有四块阴影部分，将这些阴影部分裁下
来，然后用余下的四个全等的等腰三角形加工成一个正四棱锥容器，则该容器的最
大容积为______ 3．
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题 13 分)
已知正项数列{ }，其前 项和 满足 (2 ) = , ∈ ．
(1)求{ }的通项公式；
(2) 1证明： + 1 + … + 1 < 2．
2 21 2
2
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16.(本小题 15 分)
如图，在四棱锥 1中，底面 为矩形， ⊥底面 ， = = 2 = 1， 为线段 的中
点， 为线段 上的动点．
(1)求证：平面 ⊥平面 ；
(2)试求 的长，使平面 与平面 所成的锐二面角为 45°．
17.(本小题 15 分)
甲、乙两个盒子中都装有大小、形状、质地相同的 2 个黑球和 1 个白球，现从甲、乙两个盒子中各任取一
个球交换放入另一个盒子中，重复 ( ∈ )次这样的操作后，记甲盒子中黑球的个数为 ，甲盒中恰有 2
个黑球的概率为 ，恰有 3 个黑球的概率为 ．
(1)求 1， 1；
(2)设 = + 2 ，证明：
1 2
+1 = 3 + 3；
(3)求 的数学期望 ( )的值．
18.(本小题 17 分)
已知函数 ( ) = 2 + (2 2 ) (2 + 1)， ∈ ．
(1)讨论 ( )的单调性；
(2)设 ( ) = + 1，若 = 1，且对任意 1 ∈ ， 2 ∈ (0, + ∞)， 2 ( 1) + ( 2) > 0 恒成立，求实
数 的取值范围．
19.(本小题 17 分)
2 2
已知双曲线 ： 2 2 = 1 的离心率为 2，过 上的动点 作曲线 的两渐近线的垂线，垂足分别为 和 ，
△ 3 3的面积为 16 ．
(1)求曲线 的方程；
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(2)如图，曲线 的左顶点为 ，点 位于原点与右顶点之间，过点 的直线与曲线 交于 、 两点，直线 过
且垂直于 轴，直线 、 分别与 交于 、 两点，若 、 、 、 四点共圆，求点 的坐标．
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参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12. 7
13. 25
14.1000 327
15.(1)解：正项数列{ }，其前 项和 满足 (2 ) = , ∈ ．
= 1可得 2 ( +

)，
当 = 1 1时， 1 = 2 ( +
1
1 )，1
∵ 1 > 0，∴ 1 = 1；
当 ≥ 2 时， = 1，
∴ =
1
2 (

1 + )， 1
∴ 2 2 1 = ，
∴ 2 = ( 2 2 2 2 2 2 2
( +1)
1) + ( 1 2) + … + ( 2 1) + 1 = + ( 1) + … + 2 + 1 = 2 ，
∵ > 0， > 0，
∴ =
( +1)
2 ；
(2) 1 2 1 1证明：∵ 2 = ( +1)
= 2( +1 )
∴ 1 + 1 + … + 1 = 2[(1 1 ) + ( 1 12 2 2 2 2 3 ) + … + (
1 1 1
1 2 +1
)] = 2(1 +1 ) < 2．
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16.解(1)证明：
∵ ⊥平面 ， 平面 ，
∴ ⊥ ，
∵ 为矩形，∴ ⊥ ，
又 ∩ = ， ， 平面 ，
∴ ⊥平面 ，
∵ 平面 ，
∴ ⊥ ，∵ = ， 为线段 的中点，
∴ ⊥ ，又 ∩ = ， ， 平面 ，
∴ ⊥平面 ，又 平面 ，
所以平面 ⊥平面 ．
(2)以 为坐标原点， ， ， 分别为 轴， 轴， 轴，
建立如图所示的空间直角坐标系 ，
则 (0,0,0)， (1,0,0)， (1,2,0)， (0,2,0)， (0,0,1)， ( 1 12 , 0, 2 )
∴ = ( 12 , 0,
1
2 )，
= (1,2, 1)， = (0,2, 1)，
设 (1, , 0)(0 ≤ ≤ 2)，∴ = (1, , 0)，
设平面 的一个法向量为 = ( 1, 1, 1)，
则 = 0
+
，∴ 1 1
= 0
= 0 1 + 1 = 0
，
令
1 =
1 = 1，则 ，1 =
∴ = ( , 1, )，
设平面 的一个法向量为 = ( 2, 2, 2)，
则 = 0
2 + 2 2 2 = 0∴

，
= 0 2 2 2 = 0
，
令 2 = 1
2 = 0，则 = 2，2
∴ = (0,1,2)，
∵平面 与平面 所成的锐二面角为 45°，
| 45°| = | | = |1+2 | 2| || | = ，5× 2 2+1 2
10
解得 = 2 ± 2 ，
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∵ 0 ≤ ≤ 2 <，
= 2 102 ，即 = 2
10
2 ，
∴ = 2 10当 2 时，平面 与平面 所成的锐二面角为 45°．
17. (1) 2 2 1 1 5 1 2 2解： 由题可知： 1 = 3 3 + 3 3 = 9， 1 = 3 3 = 9；
证明：(2) 次操作后，甲盒有一个黑球的概率 ( = 1) = 1 ，由全概率公式知：
( +1 = 2) = ( = 1) ( +1 = 2| = 1) + ( = 2) ( +1 = 2| = 2) + ( = 3) ( +1 =
2| = 3)，
∴ +1 =
2
3 1 (1
5 2
) + 9 + 1 3 ，
∴ 2 1 +1 = 3 9 ，
( +1 = 3) = ( = 2) ( +1 = 3| = 2) + ( = 3) ( +1 = 3| = 3)，
∴ 1 +1 = 3
2
3 + 1
1
3 ，
∴ 2 1 +1 = 9 + 3 ，
∴ 2 1 2 1 2 +1 + 2 +1 = 3 + 3 + 3 = 3 ( + 2 ) + 3，
= 1 2即 +1 3 + 3；
解：(3) ∵ 1 2 1 +1 = 3 + 3，∴ +1 1 = 3 ( 1)，
5
又∵ 1 = 1 + 2 1 = 9 + 2
2
9 = 1，
∴ 1 = 1 1 = = 0 即 = + 2 = 1，
∴ ( ) = 1 (1 ) + 2 + 3 = 1 + + 2 = 2．
18.解：(1) ′( ) = 2 2 + (2 2 ) 2 = 2( + 1)( )，
①当 ≤ 0 时，因为 > 0，所以 ′( ) > 0 在 上恒成立，所以 ( )在 上单调递增；
②当 > 0 时，令 ′( ) = 0，得 = ，
由 ′( ) > 0 ∈ ( , + ∞)，即 ( )在( , + ∞)上单调递增，
由 ′( ) < 0 ∈ ( ∞, )，即 ( )在( ∞, )上单调递减，
综上，当 ≤ 0 时， ( )在 上单调递增，
当 > 0 时， ( )在( ∞, )上单调递减，在( , + ∞)上单调递增．
(2)当 = 1 时，由(1)知： ( ) = (0) = 0，
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∵ 2 > 0，
∴ 2 ( 1) + ( 2) > 0 ( ) +
1
1 ( 2) > 0 对 1 ∈ 成立，2
只要 ( ) 1 1 + ( 2) > 0，即 ( 2) > 0 对 2 ∈ (0, + ∞)恒成立，2 2
∴ ( ) =
1
> 0 >
1
对 ∈ (0, + ∞)恒成立，
( ) = 1 ( ) = 2 令 2 ，则 ′ 2 > 0 > ，
且 ( )在(0, 2)上单调递增，( 2, + ∞)上单调递减，
∴ ( ) = ( 2 1 ) = 2，
∴ > ( ) 1 = 2，
∴ 1的取值范围为[ 2 , + ∞)．
19. 解：(1)由 = 2 得 = 2，又
2 = 2 + 2，得到 = 3 ，
2 2∴渐近线方程为 =± 3 ，则双曲线方程为 2 2 2 2 3 2 = 1，即 3 = 3 ，
( , ) | 3 | | 3 + |设 ，则 到渐近线的距离分别为| | = 2 ，| | = 2 ，
两渐近线的夹角为 60°，∵ ， ， ， 四点共圆，∴ ∠ = 60°或 120°，
∴△ 1 | || |sin∠ = 3 |3
2 2|
的面积为 = 3 3 2 3 32 4 4 16 = 16
2 2 = 1 2 3 = 1，
2
∴曲线 的方程为： 2 3 = 1．
(2)如图，∵ ， ， ， 四点共圆，
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∴ ∠ + ∠ = ∠ + ∠ = ∠ = ∠ tan∠ = tan∠
1
tan∠ = tan∠ = 1，
设 ( 1, 1)， ( 2, 2)， ( , 0)， ∈ (0,1)．
∵ ( 1,0)，∴ ： = 2 +1 ( + 1)，令 = 得 ( ,
2( +1)
+1 )，2 2
当 的斜率为 0 时不符合题意；
当 的斜率不为 0 时，设 ： = + ，
= + 2 2
3 2 2 = 3 (3 1) + 6 + 3(
2 1) = 0，
2
+ = 6 = 3( 1)1 2 3 2 1， 1 2 3 2 1，
∴ 1 2( +1) +1 ( 1+1)( 2+1) = 1+1
( 2+1)
= 1，即 = ，1 2
( +1)2
∵ ( 1+1)( 2+1)
2 1 2+ ( +1)( 1+ 2 22)+( +1) 3 2 1 ( +1)
1
= =
2 1 2 3( 2
=
1) 3( 2 1)，
3 2 1
∴ +1
2
=
( +1)
3( 2 1) =
3
4 ∈ (0,1)
3
，符合，∴ ( 4 , 0)．
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