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河南省洛阳市洛龙区2024-2025学年八年级下学期期中数学试卷
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．下列式子中，是最简二次根式的是（　　）
A． B． C． D．
2．下列运算正确的是（ ）
A． B． C． D．
3．是整数，则正整数n的最小值是（ ）
A．1 B．2 C．4 D．6
4．如图，在四边形中，，添加下列一个条件后，一定能判定四边形是平行四边形的是（ ）
A． B． C． D．
5．如图，小逸同学利用刻度直尺（单位：）测量三角形纸片的尺寸，点，分别对应刻度尺上的刻度2和8，为的中点，若，则的长为（ ）
A． B． C． D．
6．若的三边长分别是a，b，c，则下列条件：①；②；③；④中不能判定是直角三角形的个数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
7．如图，在菱形中，对角线与相交于点，于点，若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
8．如图，洛阳地铁公安监控区域的警示图标中，摄像头的支架是由水平、竖直方向的、两段构成，若段长度为，点A，C之间的距离比段长，则段的长度为（ ）
A． B． C． D．
9．如图，矩形OABC的顶点B的坐标为，则AC长为（ ）
A． B． C．5 D．4
10．如图，分别以的三边为边长向外侧作正方形，面积分别记为，，．若，则图中阴影部分的面积为（ ）
A．5 B．10 C．15 D．20
二、填空题
11．若二次根式有意义，则x的取值范围是 ．
12．如图，在边长为1的正方形网格中，点A，B，D均在格点（网格线的交点）上，以点A为圆心，的长为半径作弧，交线段于点C，则的长为 ．
13．如图，在中，．以点为圆心，适当长为半径画弧，分别交边于两点；分别以点为圆心，大于的一半长为半径画弧，两弧交于点；画射线交于点，则的长为 ．
14．如图，在矩形中，，点P和点Q分别从点B和点D出发，按逆时针方向沿矩形的边运动，点P和点Q的速度分别为和，则最快 s后，四边形成为矩形．
15．在中，，，点O为对角线的中点，连接．当是直角三角形时，的长为 ．
三、解答题
16．计算：
(1)
(2)
17．已知，，求代数式的值．
18．如图，E，F是的对角线上的两点．有如下三个关系：①，②，③．请你从中选择一个合适的关系作为条件，作为结论，得到一个真命题，然后再证明．
(1)你选择________（填序号）作为条件；
(2)请你完成证明．
19．如图，在中，分别是的中点，连接，过点作于点，连接．若，求的长．
20．周末，数学兴趣小组来到广场做活动课题，并制作如下实践报告：
活动课题 风筝高地面垂直高度探究
问题背景 风筝由中国古代劳动人民发明于东周春秋时期，距今已2000多年，相传墨翟以木头制成木鸟，研制三年而成，是人类最早的风筝起源．兴趣小组在放风筝时想测量风筝离地面的垂直高度．
测量数据抽象模型 假设风筝放飞时风筝线在空中被拉直（线段）．小组成员测量了相关数据，并画如下示意图，测得水平距离的长为80米，且线圈里的100米风筝线已全部放出，牵线放风筝的手到地面的距离为1.5米．
问题产生 经过讨论，兴趣小组提出以下问题： （1）根据测量所得数据，计算出风筝离地面的垂直高度； （2）若通过操控手中风筝线使风筝距离放风筝人的水平距离缩短20米，且手中仍无余线，此时风筝上升了多少米？
问题解决 ……
请你根据报告单内容完成问题解决，并写出完整的解答过程．
21．我们知道两个数的和为2，这两个数的平均数为1，按照这样简单的数学知识，我们给出一个新的数学概念：若，则a与b的平均数是1，我们称a与b是关于1的平衡数．例如，3与是关于1的平衡数．
(1)5与________是关于1的平衡数；与________是关于1的平衡数．
(2)若，试判断与是不是关于1的“平衡数”，并说明理由．
22．如图，，平分，且交于点C，平分，且交于点D，连接．
(1)求证：四边形是菱形；
(2)请用无刻度的直尺和圆规作直线，使，交于点H（要求：不写作法，保留作图痕迹，写出结论）；
(3)连接，若，，则的长为________．
23．在综合实践课上，老师让同学们以“正方形的折叠”为主题开展数学活动．
【操作判断】
（1）操作一：对折正方形纸片，使与重合，得到折痕，把纸片展平；
操作二：在 上选一点H，沿折叠，使点B落在上的点 G处，得到折痕，把纸片展平．根据以上操作，直接写出图①中的度数为 ；
【拓展应用】
（2）小华在以上操作的基础上，继续探究，如图②，延长交于点M，连接交于点N，试判断的形状，并说明理由；
【迁移探究】
（3）如图③，已知正方形的边长为3，当点 H是边的三等分点时，把沿翻折得，延长交于点M，求线段的长．
《 河南省洛阳市洛龙区2024-2025学年八年级下学期期中数学试卷 》参考答案
1．D
解：A、，被开方数含有能开得尽方的因数4，不是最简二次根式，故选项不符合题意；
B、，被开方数含有分母，不是最简二次根式，故选项不符合题意；
C、，被开方数含有能开得尽方的因数4，不是最简二次根式，故选项不符合题意；
D、，是最简二次根式，故选项符合题意；
故选：．
2．C
解：A、，故原选项计算错误，不符合题意；
B、和不是同类二次根式，不能直接相加，故原选项计算错误，不符合题意；
C、，故原选项计算正确，符合题意；
D、，故原选项计算错误，不符合题意；
故选：C．
3．D
解：，
是整数，则正整数n的最小值是6，
故选：D．
4．A
解：∵，
∴当时，四边形是平行四边形，A正确，符合题意；
当，无法判定四边形是平行四边形，B不正确，不符合题意；
当，无法判定四边形是平行四边形，C不正确，不符合题意；
当，可得，无法判定四边形是平行四边形，D不正确，不符合题意；
故选：A．
5．A
解：根据题意得：，
∵D为的中点，，
∴，
故选：A．
6．A
解：∵，
∴，
∴为直角三角形，
故①不符合题意；
∵，
设，则，
∴，
∴为直角三角形，
故②不符合题意；
∵，
设，则、，
∴，
∴，
∴，，，
∴不是直角三角形，
故③符合题意；
∵，
∴，
∴为直角三角形，
故④不符合题意，
故选A．
7．B
解：∵四边形是菱形，
∴，，
∴
∵，
∴
∴
故选：B．
8．C
解：∵，，，
∴，
∴，
∴，
故选：C．
9．A
解：如图：连接OB
点B的坐标为，
，
又四边形OABC是矩形，
，
故选：A．
10．A
解：是以为斜边的直角三角形，
，
，
，
，
∴阴影部分的面积为，
故选：A．
11．/
解：∵二次根式有意义，
∴，
解得：，
故答案为：．
12．
解：根据题意，，
∵以点A为圆心，的长为半径作弧，交线段于点C，
∴，
∴，
故答案为： ．
13．
解：由作图可知平分，
，
，
，
，
，
，
．
14．4
解：∵四边形是矩形
∴
∴当时，四边形为矩形
由题意得：
∴
∴
解得：
故答案为：4．
15．或
分两种情况讨论：
①当时，如图（1），垂直平分，
，
又∵
是等边三角形，
；
②当时，如图（2），
则；
故答案为：或．
16．(1)
(2)
（1）原式
（2）原式
【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的运算法则是解答本题的关键．
17．
解：∵，，
∴，，
∴
．
18．(1)①或③
(2)见解析
（1）解：选①或③均可，
故答案为：①或③；
（2）解：选①时，证明过程如下：
∵四边形是平行四边形，
．
．
，
．
．
选③时，证明过程如下：
∵四边形是平行四边形，
．
．
．
．
．
．
．
．
19．
解：分别是的中点，
是的中位线，
，．
．
，
，
，
在中，，
．
20．（1）61.5米；（2）20米
解：（1）在中，，米，米，
由勾股定理，可得米，
∴（米），
答：风筝离地面的垂直高度为米；
（2）如图，由题意，米，米，
在中，，由勾股定理，可得米，
则应该再放出（米），
答：风筝上升了米．
21．(1)，
(2)与不是关于1的“平衡数”，见解析
（1）解：∵，
∴5与是关于1的“平衡数”，
∵，
∴与是关于1的“平衡数”，
故依次填：，；
（2）解：不是．
∵，
∴．
∴．
∴．
∴
．
∴与不是关于1的“平衡数”．
22．(1)见解析
(2)见详解
(3)4
（1）解：，
，
平分，平分，
，
，
，
又，
∴四边形是菱形．
（2）解：如图即为所求；
（3）解：根据（2）中作图可得，
根据（1）可得四边形是菱形，
∴，
∴，
∴．
23．（1）
（2）是等边三角形，理由见解析
（3）或
解：（1）∵四边形为正方形，
∴，，
根据折叠的性质可得，，，，
∴，
∴；
故答案为：；
（2）解：为等边三角形．理由如下：
∵四边形是正方形，
∴，，
由折叠可得，，
∴，，
又∵，
∴，
∴，
由折叠得，
∴，
∴，
由（1）知，
∴，
∴，
∴，
∴为等边三角形；
故答案为：等边三角形；
（3）连接；
∵点H是边的三等分点，
∴或，
①当时，，，
∵，，，
∴，
∴，
设，
则，，
∵在正方形中，，
∴在中，，
∴，
解得：，
∴；
②当时，，，
∵，，，
∴，
∴，
设，
则，，
∵在正方形中，，
∴在中，，
∴，
解得：，
∴；
综上所述，的长为或．
故答案为：或．

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