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高一数学试卷
注意事项：
1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上．
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
4．本试卷主要考试内容：人教B版必修第一册至必修第三册第八章8．1．
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的
1．已知全集，集合满足，则（ ）
A． B．
C． D．
2．“函数的最小正周期为”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
3．函数的定义域为（ ）
A． B．
C． D．
4．已知正数x，y满足，则的最小值为（ ）
A．36 B．24 C．18 D．12
5．在下列三角函数值中，为负数的是（ ）
A． B． C． D．
6．已知，，，则（ ）
A． B．
C． D．
7．已知，，且向量在向量上的投影的数量为，则（ ）
A． B． C． D．
8．已知函数是定义在上的奇函数，且当时，，则不等式的解集为（ ）
A． B．
C． D．
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．已知是平面向量的一组基底，能组成平面向量的一组基底的有（）
A． B．
C． D．
10．已知样本A和B分别取自两个不同的总体，它们的6个样本如图所示，甲绘制折线图时忘记标注样本数据，则（ ）
A．样本A的极差小于样本B的极差
B．样本A的70%分位数小于样本B的30%分位数
C．样本A的平均数小于样本B的平均数
D．样本A的方差小于样本B的方差
11．已知函数的部分图象如图所示，则（ ）
A． B．
C． D．的图象关于直线对称
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．一个扇形的周长数值是半径数值的3倍，则这个扇形的圆心角为__________．
13．已知事件A，B相互独立，且，，则当__________时，取得最大值，最大值为__________．
14．在中，，，，，则__________
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步驟．
15．（13分）
已知．
（1）求的值；
（2）求的值．
16．（15分）
从2，3，4，8，9中任取两个不同的数，分别记为a，b．
（1）求为偶数的概率；
（2）求为整数的概率．
17．（15分）
如图，在直角梯形ABCD中，，，，，，．
（1）求；
（2）若为边AB上一点，且，求．
18．（17分）
将余弦曲线上所有点的横坐标变为原来的，纵坐标不变，再将所得曲线向左平移个单位长度，进一步将所得曲线上所有点的纵坐标扩大为原来的6倍，橫坐标不变，得到函数的图像．
（1）求的解析式；
（2）求的单调递减区间；
（3）若函数在上有且仅有4个零点，求的取值范围．
19．（17分）
已知定义在上的函数的图象是连续不断的，，且存在，使得，则称是定义在上的缺陷周期函数，是的缺陷点．
（1）若是定义在上的缺陥周期函数，且1是的缺陷点，求．
（2）判断函数是否是定义在上的缺陷周期函数．若是，求出的缺陷点；若不是，请说明理由．
（3）已知定义在上的函数的图象是连续不断的，且，证明：是定义在上的缺陷周期函数．
高一数学试卷参考答案
1．A 由题意得．
2．B 由函数的最小正周期为，得，得，所以“函数的最小正周期为”是“”的必要不充分条件．
3．D 由题意得得且．
4．B 由题意得，当且仅当，即，时，等号成立．
5．C ，，，．
6．D 由题意得，，则，所以．
7．A 由题意得，得，所以．
8．B 由题可知，在上单调递增，且．因为是定义在上的奇函数，所以在上单调递增，且．由，可得或，解得或．
9．BC 由，得，共线，由，得，共线，所以，，不能组成平面向量的一组基底．B，C符合题意．
10．ACD由图可知样本A的最高点与最低点的高度差小于样本B的最高点与最低点的高度差，所以样本A的极差小于样本B的极差，A正确．因为，，所以样本A的70%分位数是A中最大的数据，样本B的30%分位数是B中最小的数据，则样本A的70%分位数大于样本B的30%分位数，B不正确．由图可知样本A每个样本的数据均小于样本B的对应数据，所以样本A的平均数小于样本B的平均数，C正确．样本A的离散程度小于样本B的离散程度，所以样本A的方差小于样本B的方差，D正确．
11．ABD 由图可知，由得结合正弦曲线的图象可得，两式相减得，得，B正确．
由，得，因为，所以，C错误．
因为，所以，A正确．
因为，所以的图象关于直线对称，D正确．
12．1 设扇形的圆心角为，半径为，则，得．
13．； 由得，则，当时，取得最大值，最大值为．
14．（或120°） 由题意得，得，即，得．因为，所以．
15．解：（1）
．
（2）
．
16．解：样本空间可记为，共包含20个样本点．
（1）设事件“为偶数”，，包含8个样本点，则．
（2）设事件“为整数”，
因为，，，所以，包含3个样本点，
则．
17．解：（1）如图，以A为原点，AB，AD所在直线分别为x轴，y轴建立平面直角坐标系，
则，，，，．
因为，，
所以
（2）如图，设，则，，
因为，所以，得或6．
故或．
18．解：（1）由题意得．
（2）由，得，
所以的单调递减区间为．
（3）令，得，得，
则函数在上的图象与直线有且仅有4个公共点．
由，得，
所以，得，即的取值范围为．
19．（1）解：由题意得，
由，得，得．
由，得，所以．
（2）解：是定义在上的缺陷周期函数．
理由如下：由题意得．
设，令，得．
因为，所以或，
得或．故是定义在上的缺陷周期函数，且，是的缺陷点．
（3）证明：（方法一）设函数，
则，，，，，得．
①当，，…，中有一个为0时，设，，
则，即．
②当，，…，均不为0时，其中必然存在正数和负数．
不妨设，，，k，，
当时，至少存在一个，使得，即．
当时，至少存在一个，使得，即．
故是定义在上的缺陷周期函数．
（方法二）因为，所以要证明是定义在上的缺陷周期函数，只需证明方程在上有解．
由函数的图象向左平移个单位长度得到函数的图象．
因为，且函数的图象在上是连续不断的，所以与的图象在内必有交点，则方程在上有解．
故是定义在上的缺陷周期函数．

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