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第四章 三角形
第三节 探索三角形全等的条件
第三课时 SAS
数学北师大版（2024）七年级下册
1.理解并掌握判定两个三角形全等“边角边”判定定理.
2.在探究“边角边”判定定理的过程中，能进行有条理的思考.
3.通过学习以上内容，培养严谨的分析能力，体会几何学的应用价值．
4.通过探究对给定的两边及一角来确定三角形的形状和大小是否唯一这一过程，培养学生分析问题、解决问题的能力.
到目前为止，我们学习了哪些判定两个三角形全等的方法？
A
B
C
A'
B'
C'
3
AAS
A
B
C
A'
B'
C'
1
SSS
A
B
C
A'
B'
C'
2
ASA
还有其他方法吗？
三个角
两角一边
三条边
两边一角

SSS
如果已知一个三角形的两边及一角，那么有几种可能的情况呢？
ASA、AAS
A
B
C
两边及两边所夹的角
A
B
C
两边及其中一边的对角
思考：如果给出3个条件画三角形，有4种可能的情况：
尝试思考：如果“两边及一角”条件中的角是两边的夹角,情况会怎样呢？小组合作，选择两条线段和一个角作为三角形的两边及其夹角，并用尺规作出这个三角形.
比如：三角形两条边分别为2.5cm,3.5cm,它们所夹的角为40°,用尺规作出这个三角形.你作的三角形与同伴作的一定全等吗
所作的三角形都全等.
40°
3.5 cm
A
B
C
△ABC即为所求
40°
2.5 cm
3.5 cm
2.5 cm
结论
两边及其夹角分别相等的两个三角形全等．
边角边
SAS
几何语言：
如图，在△ABC与△A'B'C'中：
∴△ABC≌△A'B'C'(SAS).
AB=A'B'，
∠B=∠B'，
BC=B'C' ，
B′
A′
C′
B
A
C
归纳
回顾上述作图过程，请你总结“已知三角形的两边及其夹角，用尺规作这个三角形”的方法和步骤.
回顾总结
如图，已知线段a，c，∠α，用尺规作△ABC，使BC=a，AB=c，∠ABC=∠α．
a
c
α
（1）作一条线段BC=a.
B
C
（2）以点B为顶点，以BC为一边，作角∠DBC=∠α.
B
C
D
作法：
回顾总结
（3）在射线BD上截取线段BA=c；
B
C
D
A
（4）连接AC.
△ABC就是所要作的三角形．
B
C
D
A
作法：
回顾总结
思考交流：如果“两边及一角”条件中的角是其中一边的对角，你能画出这个三角形吗？
如图，已知△ABC的AB边和边长为 l 的AC边，以及AC边的对角∠B，你能用尺规确定顶点C的位置吗 把你作的三角形与同伴作的进行比较，由此你发现了什么？与同伴进行交流.
l
B
A
C1
A1
B1
C
B
A
两边分别相等且其中一组等边的对角相等的两个三角形不一定全等.
△ABC与△A1B1C1均符合条件，但不全等.
l
l
尝试思考 如图，在△ABC与△DEF中，已知∠A=∠D，AB=DE，增加一个什么条件就可以判定这两个三角形全等？
C
A
B
F
D
E
角
边
∠A=∠D
AB=DE
AC=DF
∠B=∠E
∠C=∠F
SAS
ASA
AAS
如果增加条件BC=EF，能判定这两个三角形全等吗？为什么？
SSA不能判定两个三角形全等．
例1：如图，已知AB与CD相交于点O，OA=OB，OD=OC．△AOD与△BOC全等吗？请说明理由．
分析
△AOC≌△BOD
OA=OB
∠AOD=∠BOC
OD=OC
AB与CD相交于点O
解：△AOD≌△BOC．理由如下：在△AOD与△BOC中，
因为∠AOD与∠BOC是对顶角，所以∠AOD=∠BOC．
又因为OA=OB，OD=OC．
根据SAS，所以△AOD≌△BOC．
隐含条件
A
B
D
C
O
例2：如图，已知△ABC≌△A1B1C1，D与D1分别是BC，B1C1上的一点，且BD=B1D1．AD与A1D1相等吗？为什么？
分析
△ABD≌△A1B1D1
AB=A1B1
∠B=∠B1
BD=B1D1
△ABC≌△A1B1C1
已知
B
C
A
D
B1
C1
A1
D1
AD=A1D1
解：AD=A1D1．理由如下：在△ABD与△A1B1D1中，
因为△ABC≌△A1B1C1，所以AB=A1B1，∠B=∠B1．
又因为BD=B1D1．
根据SAS，所以△ABD≌△A1B1D1．
所以AD=A1D1．
例2：如图，已知△ABC≌△A1B1C1，D与D1分别是BC，B1C1上的一点，且BD=B1D1．AD与A1D1相等吗？为什么？
B
C
A
D
B1
C1
A1
D1
1.如图，已知：AC=AD，且AB平分∠CAD，则利用( )可证明△ABC和△ABD全等.
A.SAS
B.ASA
C.SSA
A
A
B
C
D
D.SSS
分析：
△ABC≌△ABD
∠BAC＝∠BAD
AB＝AB
角
公共边
AC=AD
边
(SAS)
2.如图，已知AB AD，要使△ABC与△ADC全等，还需要增加一个什么条件？
分析：
A
B
C
D
1
AB AD， AC AC，
BC=DC
2
AB AD， AC AC，
∠BAC=∠DAC
△ABC≌△ADC (SSS)
△ABC≌△ADC (SAS)
3.如图，△EFG的三条边相等，三个内角也相等，且EH=FI=GJ，找出图中的一组全等三角形，并说明理由．
证明：△EHJ≌△FIH，理由如下：
∵△EFG的三条边相等，三个内角也相等，
∴EF=FG=GE，∠E=∠F=∠G=60°．
又∵EH=FI=GJ，
∴FH=GI=EJ．
在△EHJ和△FIH中
EH=FI，∠E=∠F，EJ = FH，
∴△EHJ≌△FIH(SAS)
△EHJ，△FIH，△GJI都全等．
E
F
H
G
J
I
两边和其中一边的对角分别相等的两个三角形不一定全等.
注意：
两边及其夹角分别相等的两个三角形全等.
三角形全等的判定-SAS：
判定两个三角形全等的方法总结：
ASA
AAS
SAS
SSS
三
角
形
全
等
的
判
定
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SAS

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