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2025 年辽宁省丹东市高考数学质检试卷（一）
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合 = { | 2 2 3 = 0}， = { || | ≤ 3}，则 ∩ =( )
A. { 1, 3} B. {1, 3} C. {1,3} D. { 1,3}
2.已知向量 = ( 3, 3), = (1, 3)，则 与 的夹角为( )
A. 6 B.

3 C.
2
3 D.
5
6
3.圆 ： 2 + 2 + 2 4 = 0 关于 轴对称的圆的圆心坐标为( )
A. ( 1, 2) B. (1,2) C. ( 1,2) D. (1, 2)
4.已知随机变量 ～ (4, )，且 ( ≥ 1) = 1516，则 ( = 3) =( )
A. 1 B. 1 C. 12 4 8 D.
3
4
2 5 ( ) = , < 1.已知函数 + , ≥ 1在 上单调递增，且 (2 1) < ( + 3)，则实数 的取值范围为( )3
A. ( ∞,4) B. [1,4) C. [2,4) D. (1,4)
6.已知 1， 2是双曲线 的两个焦点， 为 上一点，且∠ 1 2 = 90°，| 1| = 3| 2|，则 的离心率为( )
A. 3 + 1 B. 2 3 2 C. 2 3 D. 2
7.已知 sin( + ) = 19， = 2 ，则 sin( ) =( )
A. 127 B.
1 1 1
27 C. 9 D. 9
8.已知圆台的上，下底面的直径分别为 2 和 6，母线与下底面所成角为 60°，则圆台的外接球表面积为( )
A. 208 B. 112 3 3 C.
56
3 D.
28
3
二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知复数 ，则下列说法正确的是( )
A.若| | = 1，则 =± 1 B.若 2 > 0，则 ∈
C.若 ∈ ，则 的虚部为 D.若| | = 1，则 1 ≤ | + 2 | ≤ 3
10.已知函数 ( ) = 2 ( + )( > 0, | | < 2 )，其中相邻的两条对称轴间的距离为2，且经过点(0, 3)，
则( )
A. = 6 B. ( )

在区间(0, 3 )上单调递增
C. ( ) = ( 5 6 + ) D. ( ) = 在[0,2 ]上有 4 个解
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11.设正实数 ， 满足 + = 2，则( )
A. 有最大值为 1 B. 2 + 2有最小值为 4
C. 4 2 + 有最小值为 5 D. + 3 + + 4有最大值为 3 2
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12.已知实数 ， 满足4 = 3，3 = 2，则 2 = ______．
13.将 5 个 1 和 2 个 0 随机排成一行，则 2 个 0 不相邻的排法有______种. (用数字作答)
2 2
14.已知 1， 2为椭圆 ： 2 +

2 = 1( > > 0)的左右焦点，直线 ： + = 与 相切于点 (点 在第一
象限)，过 1， 2作 1 1 ⊥ ， 2 2 ⊥ ，垂足分别为 1， 2， 为坐标原点，| 1| = | 1 2| = 2，则| 1 2| =
______， 的方程为______．
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题 13 分)
为调查居民购车倾向与性别的关系，对某地区随机抽查了 200 名居民进行调查，得到如下表格：
购买倾向
合计
新能源车燃油车
男 64 36 100
女性 46 54
合计 90 200
(1)求 ， ；
(2)根据小概率值 = 0.050 的独立性检验，能否认为居民的购车倾向与性别有关？
(3)从倾向燃油车的 90 人中按性别分层抽样抽取 5 人，再从这 5 人中任选 2 人，求选中男性的人数的分布
列和期望．
2 = ( )
2
附： ( + )( + )( + )( + )，
( 2 ≥ 0) 0.05 0.010 0.001
0 3.841 6.635 10.828
16.(本小题 15 分)
已知函数 ( ) = ( + 2)2 ln( + 1)．
(1)求 ( )在 = 1 处的切线方程；
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(2) 证明：当 > 1 时，2 +1 + 4 > 0；
(3)若 ( )在[ 1 , + ∞)上单调递增，求整数 的最大值．
17.(本小题 15 分)
{ 1记 为数列 }的前 项和， = 2 , 2 = 6．
(1)求 1；
(2)求证：数列{ ( + 1) }是常数列；

(3)设 =
2
，求数列{ }的前 项和 ．
18.(本小题 17 分)
如图，在三棱锥 ，点 是边长为 2 3的等边△ 的重心， = = 3， = 3，点 在棱
上，且 = 2 ， 是 的中点．
(1)求证： //平面 ；
(2)设过点 ， ， 的平面为 ， 与此三棱锥的面相交，交线围成一个多边形．
( )请在图中画出这个多边形(不必说出画法和理由)，并求出 将三棱锥分成两部分的几何体体积之比；
( )求 与平面 所成角的正弦值．
19.(本小题 17 分)
记 为坐标原点，点 在抛物线 2 = 2 ( > 0)上， 在第一象限， ， 两点位于 轴上，已知圆 ：( )2 +
2 = 4 经过点 ，且圆 内切于△ ．
(1)求抛物线的准线方程；
(2)若∠ = 120°，求点 的坐标及 的长；
(3)求△ 面积的最小值．
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参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.1
13.15
2
14.2 2 +
2
4 2 = 1
15.解：(1)由表格数据可算得 = 64 + 46 = 110， = 46 + 54 = 100；
(2)零假设 0：居民的购车倾向与性别无关联，
2 = 200×(64×54 36×46)
2
计算可得 110×90×100×100 ≈ 6.545 > 3.841，
根据小概率值 = 0.050 的独立性检验，可知零假设不成立，
即可以认为居民的购车倾向与性别有关；
(3) 36从倾向燃油车的 90 人中按性别分层抽样抽取 5 人，则男性有 5 × 90 = 2 人，
女性有 5 × 5490 = 3 人，设选中男性的人数为 ，则 的所有可能取值为 0，1，2，
2 1 1 2
所以 ( = 0) = 3 32 = 10， ( = 1) =
2 3 = 32 5， ( = 2) =
2
2 =
1
10， 5 5 5
则随机变量 的分布列如下表所示：
0 1 2
3 3 1
10 5 10
所以 ( ) = 0 × 310 + 1 ×
3
5+ 2 ×
1 = 410 5．
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16.解：(1)因为 ( ) = ( + 2)2 ln( + 1)，
则 ′( ) = 2( +2) 1 +1，
所以 ( )在 = 1 7处的切线的斜率为 ′(1) = 2，且 (1) = 4 2，
7
则 ( )在 = 1 处的切线方程为 4 + 2 = 2 ( 1)，即 7 2 + 1 2 2 = 0；
(2) 证明：因为 2 +1+ 4 = 2 +
1
+1 + 3( > 1)，
令 ( ) = 2 + 1 +1 + 3( > 1)，
2 2( +3 2 7
′( ) = 2 1 = 2 +3 +2 = 4
) +8
2 2 2 > 0 在(1, + ∞)上恒成立， ( +1) ( +1) ( +1)
即 ( )在(1, + ∞)上单调递增，所以 ( ) > (1) = 72 > 0，
即 > 1 时，2

+1+ 4 > 0 成立；
(3) 1由 ′( ) = [2( + 2)

+1 ] =
1
(2 +
1
+1 + 3)，
由(2)可知，当 ∈ (0, + ∞)时， ′( ) > 0，则 ( )在(0, + ∞)上单调递增，
2
( 1 ) = 1 + 1 ， +1 > 0, ( 2 ) = 2+1 1 < 0
1 1
由零点存在定理可知 0 ∈ ( 2 , )，使得 ′( 0) = 0，
则 ( )在(0, 0)上单调递减，在( 0, + ∞)上单调递增，
∈ 1因为 ，满足 ≥
1
，即 ≤ 1，所以整数 的最大值为 1．
17.解：(1) 1因为 为数列{ }的前 项和， = 2 , 2 = 6，
1
所以当 = 2 时， 2 = 4 2 = 1 + 2, 2 = 6，所以 1 =
1
2；
(2) 1证明：因为 为数列{ }的前 项和， = 2 , 2 = 6，
所以当 ≥ 2 时， 2 = 1 = ( 1)2 1，
所以( 2 1) = ( 1)2 1，
所以( + 1) = ( 1) 1，
所以 ( + 1) = ( 1) 1，
所以 ( + 1) = ( 1) 1 = = 2 × 1 × 1 = 1，
所以数列{ ( + 1) }是常数列；
(3)由(2)知 ( + 1) = 1，
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1
所以 = ( +1)，所以 = ( + 1)2
，
所以 = 2 × 21 + 3 × 22 + 4 × 23 + + ( + 1) × 2 ①，
所以 2 = 2 × 22 + 3 × 23 + + × 2 + ( + 1) × 2 +1②，
= 2 × 21 + 22 + 23 + + 2 ( + 1) × 2 +1 = 2 + 2×(1 2
)
① ②可得 +1 1 2 ( + 1) × 2 ，
所以 = × 2 +1．
18.解：(1)证明：因为点 是等边△ 的重心，连接 并延长交 于点 ，
所以 是 的中点，连接 ，
△ 在 中， = 2,

= 2，
所以 // ，
平面 ， 平面 ，
所以 //平面 ．
(2)(ⅰ) △ 是等边三角形， 为重心， 是 的中点，
所以 ， ， 三点共线，连接 ，
所以△ 的三边是 与三棱锥的面的交线，
则两部分的几何体分别为三棱锥 和四棱锥 ，
设 1 = ， = ，三棱锥 的高为 ，
= 1 1 1 2 1则 1 3 × △ × = 3 × 2 × 3 × 2 × sin∠ × =
1
18 × × sin∠ × ，
= 1 × × = 1 13 △ 3 × 2 × × × =
1
6 × × ，
1 = 1所以 3，
1
即 1 = ，1 2
所以三棱锥 的体积与四棱锥 的体积之比为 1：2．
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(ⅱ)取 的中点 ，连接 ， ， ⊥ ， ⊥ ， ∩ = ， ， 平面 ，
所以 ⊥平面 ， 平面 ，则平面 ⊥平面 ，
以 为坐标原点， 的方向为 轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系 ，
可知 轴在平面 内．
(0, 3, 0), (0, 3, 0), (3,0,0), (1,0,0)，设 ( , 0, )，
2 = ( 3)2 + 2 = 3 = 2
2 = 2 + 2
，解得
= 6 = 2
，
所以 (2,0, 2)，
由 = 1 3 ，得 (
4 3
3 , 3 ,
2 2 ，
3 )
因为 = ( 4 , 4 3 , 2 2 ), 3 3 3
= (1, 3, 0), = (0,2 3, 0), = (2, 3, 2)，
设平面 的法向量 = ( 1, 1, 1)，
⊥
4
= 0 3
4 3 2 2
则 ，由 ，可得 1
+ 3 1 + 3 1 = 0，
⊥ = 0 1 + 3 1 = 0
可取 = ( 3, 1,0)，
设平面 的法向量 = ( 2, 2, 2)，
⊥ 则 ，由 = 0
2 3 = 0
，可得 2 ，
⊥ = 0 2 2 + 3 2 + 2 2 = 0
可取 = (1,0, 2)，
所以 cos < , >= 3 1| ，|| | = 2 3 = 2
设平面 与平面 所成角为 ，
则 = 1 cos2 < , > = 3，2
所以 与平面 所成角的正弦值为 3．
2
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19.解：(1)圆 经过 (0,0)，有 2 = 4( > 0)，则 = 2，所以抛物线的准线方程为 = 1．
(2)
因为∠ = 120°，由题意可知，点 位于点 的上方，则直线 的倾斜角为 30°，
设 与圆 切于点 ，所以由直角三角形中 30°角所对直角边等于斜边的一半可得 与 轴的交点为( 2,0)，
设 ： = 3 2 联立 2 = 4 ，得 2 4 3 + 8 = 0，则 = 2 3 + 2 或 = 2 3 2(舍)，
所以点 的坐标为(4 + 2 3, 2 3 + 2)，
过点 作 ⊥ 轴，垂足为 ，| | = 2，所以△ 是等腰直角三角形，
则∠ = 45°，所以∠ = 15°，所以∠ = 30°，且有| | = 3| | = 3| |，
1 1△ = 2 × | | × | | × sin∠ = 2 × (| | + | | + | |) × 2，
所以 3| | = 4(2 + 3)，即| | = 8 + 4 3．
(3)设 ( 0, 0)( 0 > 4)， (0, )， (0, )，不妨设 > 0，
|2( 0 )+ |
直线 ： = 0 +

，圆心 (2,0)到直线 的距离为 2， 0 = 2，整理得( 4) 20 + 4 0
0
( 0 )
2+1
0
4 0 = 0，
同理直线 ： = 0 2 + ，得( 0 4) + 4 0 4 0 = 0，0
所以 ， 是方程( 4) 20 + 4 4 = 0
4 4
0 0 的两个根，则有 + = 0 0 0 4
, = 0 4
，
( )2 = ( + )2 4 = ( 4 0 )2 + 16 0 = 16
2
0 = 4 则 0 0 4 0 4 ( 0 4)2
，所以 ，0 4
2
所以△ 面积 = 12 × ( ) × =
2 0
0 0 4
，
令 0 4 = ( > 0)， 0 = + 4，
= 2( +4)
2
所以 = 2( +
16
+ 8) ≥ 2(2 ×
16
+ 8) = 32，
16
当且仅当 = ，即 = 4， 0 = 8 时，等号成立，
所以当 0 = 8 时，△ 面积的最小值为 32．
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