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章综合复习
第四章 三角形
数学北师大版（2024）七年级下册
三角形
分类
按边分
按角分
三角形的高
有关线段
三角形的中线
三角形的角平分线
角与角
性质
边与边
定义
定义和性质
全等三角形
应用
三角形全等的条件
用尺规作三角形
①三角形任意两边之和大于第三边；
②三角形任意两边之差小于第三边.
边与边
角与角
性质
①三角形三个内角的和等于180°；
②直角三角形两个锐角互余.
作用：①判断三条线段能否组成三角形；②当已知两边时，可以求出第三边长的取值范围.③证明线段不等关系.
三角形的第三边大于两边之差，小于两边之和.
任意三角形
分类
按角分
按边分
用符号“Rt△ABC”表示.
三角形
锐角三角形
直角三角形
钝角三角形
最大内角为锐角
最大内角为直角
最大内角为钝角
三角形
三边都不相等的三角形
底边和腰不相等的等腰三角形
等边三角形
等腰三角形
根据三角形中的最大角进行判断
三角形的高：从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足之间的线段叫作三角形的高线，简称三角形的高.
概念
要点
三角形的高
①三角形的高是一条垂线段，而垂线是一条直线；
②锐角三角形的三条高都在三角形的内部，直角三角形有两条高是三角形的边，钝角三角形有两条高在三角形外部；
③作钝角三角形中钝角所在两边上的高，要先把这两条边延长再作高.
交点位置：三角形的三条高所在的直线交于一点.
概念
要点
三角形的中线
三角形中线：连接三角形的一个顶点和它对边中点的线段，叫做三角形的中线.
(1)一个三角形有三条中线，无论三角形的形状如何，三条中线的交点都在三角形的内部；
(2)三角形的一条中线平分三角形的一条边及三角形的面积.
三角形重心：三角形的三条中线相交于一点，这个交点叫做三角形的重心.
三角形的角平分线：在三角形中，一个内角的角平分线与它的对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段叫做三角形的角平分线.
概念
要点
三角形的角平分线
区别：三角形的角平分线是线段，而角的平分线是射线.
(1)三角形的三条角平分线交于一点；
(2)三角形的三条角平分线都在三角形的内部.
概念
性质
全等三角形
全等三角形：能够完全重合的两个三角形叫作全等三角形.
(1)全等三角形的对应边相等，对应角相等；
(2)对应边上的高线、中线，对应角的平分线分别对应相等，周长和面积相等；
(3)具有传递性.
表示方法：记两个三角形全等时，通常把表示对应顶点的字母写在对应的位置上，用符合“≌”连接，读作“全等于”.
判定
注意
全等三角形
(1)三边分别相等的两个三角形全等(SSS)；
(2)两角及其夹边分别相等的两个三角形全等(ASA)；
(3)两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等(AAS)；
(4)两边及其夹角分别相等的两个三角形全等(SAS).
(1)三角形全等的判定条件中必须是三个元素，并且一定有一组边对应相等；
(2)两边及其中一边的对角对应相等不能判定两三角形全等.
原理
注意
利用三角形全等测距离
利用三角形全等可以得到难以直接测量或不能直接测量的两点之间的距离.其关键是构造两个全等三角形，根据全等三角形的对应边相等得到两点之间的距离.
(1)构造两边及其夹角分别相等的两个全等三角形；
(2)构造两角及其夹边分别相等的两个全等三角形；
(3)构造三边分别相等的两个全等三角形.
如图，小华为了估计池塘两岸间的距离(即AB的长)，在池塘的一侧选取一点P，测得PA= 10m，PB=6m，则池塘两岸间的距离可能是( )
A.18m B. 17m C.16m D.15m
解：设AB=x m，
因为PA=10m，PB=6m
所以由三角形三边关系定理得：10-6D
将一个含30°角的直角三角板和直尺按如图所示的方式放置，若 1=40°，则 2的度数是( )
A.30° B.40° C.50° D.60°
解：如图所示， B=90°，
根据题意， 1= BED=40°
在△BDE中，∠BDE=90°-40°=50°
所以 2= BDE=50°
故选：C.
C
一个三角形的三个内角的度数比是1:1:2，其中最大的一个角是( )度，按角分，这是一个( )三角形，按边分，这是一个( )三角形.
90
直角
等腰
如图，在△ABC中，D，E分别是BC，AD的中点，则S△ABE=S△BED，S△ABD= ，若S△ABC=4 cm2，则S△ABE= cm2.
S△ACD
1
如图，△ABC的角平分线AD，中线BE交于点O，则：
结论I：AO是 △ABE的角平分线；
结论Ⅱ：BO是△ABD的中线；
对于结论I和Ⅱ，下列判断正确的是( )
A.I和Ⅱ都对 B.I和Ⅱ都不对 C.I对Ⅱ不对 D.I不对Ⅱ对
解：因为AD是 △ABC的角平分线，
所以AD平分 BAC，即AO平分 BAE.所以结论I正确；
因为BE是△ABC的中线，所以点E是AC的中点，
而点O不一定是AD的中点，所以结论Ⅱ错误；故选:C.
C
如图，AC BC，CD AB，DE BC，垂足分别为C，D，E，则下列说法不正确的是( )
A.AC是△ABC的高 B.DE是△BCD的高
C.DE是△ABE的高 D.AD是△ACD的高
解：DE BC，DE不是 △ABE的高，原说法错误，符合题意;
故选：C.
C
如图，已知 1= 2， B= D，△ABC和△EAD全等，则下列表示正确的是( )
A. △ABC≌△AED B.△ABC≌△EAD
C.△ABC≌△DEA D.△ABC≌△ADE
解：因为 1= 2，所以E与C相对应，
因为 B= D，所以B与D相对应，
所以△ABC≌△ADE
故选:D.
D
如图，△ABE≌△BCD，点E在边BC上，AE与BD交于点F， BAE= CBD，BD=AE.下列角中，与 BDC互补的是( )
A. C B. ABC C. AEC D. DFE
解：因为△ABE≌△BCD，
所以 AEB= BDC，
因为 AEB与 AEC互补，
所以 BDC与 AEC互补.故选:C
C
如图，在四边形ABCD中，AD// BC，连接AC， BAC=90°，AC=8，AB=6，O是AC的中点，连接DO并延长，交BC于点E，则图中阴影部分的面积为 .
分析：先证明△ADO≌△CEO，得出S△ADO=S△CEO，根据S阴影=S四边形ABEO+S△ADO=S四边形ABEO+S△CEO=S△ABC求出结果即可.
24
如图，AD、BC表示两根长度相同的木条，若O是AD、BC的中点，经测量，AB=9cm，则容器的内径CD为 cm.
分析：由题意知OA=OD， AOB= DOC，OB=OC，可证明△AOB≌△DOC，得出CD=AB，即可求出结果.
9
已知a，b，c为△ABC的三边长，化简：|a+b-c|-|a-b-c|+|a-b+c|.
解：因为a，b，c为△ABC的三边长；
所以a+b>c，b+c>a，a+c>b，
所以a+b-c>0，a-b-c=a-(b+c)<0，
a-b+c>0，
所以|a+b-c|-|a-b-c|+|a-b+c|
=a+b-c+a-b-c+a-b+c=3a-b-c
分析：根据三角形任意两边之和大于第三边进行化简即可.
化简涉及三角形三边的绝对值时，要先运用三角形的三边关系判断绝对值符号内式子的正负，然后去绝对值符号，化简.
方法总结
如图，AD，CE分别是△ABC的中线和角平分线.若AB=AC， CAD=20°，则 ACE的度数是( )
A. 20° B. 35° C.40° D. 70°
B
如图，在△ABC中，点D、E分别在边BC、AB上，连接AD、CE交于点F，且△ABD≌ △CFD.
(1)求证： △ADC是等腰直角三角形；
(2)若S△BCE=15，S△AEF=3，求四边形BEFD的面积.
(1)证明：因为△ABD≌ △CFD，
所以 ADB= FDC，AD=CD，
因为 ADB+ FDC=180°，所以 ADB=90°
所以△ADC是等腰直角三角形.
如图，在△ABC中，点D、E分别在边BC、AB上，连接AD、CE交于点F，且△ABD≌ △CFD.
(1)求证： △ADC是等腰直角三角形；
(2)若S△BCE=15，S△AEF=3，求四边形BEFD的面积.
如图，△ABC中，点E在BC边上，AE=AB，将线段AC绕A点旋转到AF的位置，使得 CAF= BAE，连接EF，EF与AC交于点G.
(1)求证：EF=BC；
(2)若 ABC=65°， ACB=28°，求 FGC的度数.
(2)解：因为AB=AE， ABC=65°
所以 BAE=180°-65°×2=50°，
所以 FAG= BAE=50°
因为△ABC≌△AEF，所以 F= C=28°
因为 AGF+ FGC= AGF+ F+ FAG=180°
所以 FGC= FAG+ F=50°+28°=78°
如图，△ABC中，点E在BC边上，AE=AB，将线段AC绕A点旋转到AF的位置，使得 CAF= BAE，连接EF，EF与AC交于点G.
(2)若 ABC=65°， ACB=28°，求 FGC的度数.
方法总结
找等边的方法：
(1)中点(或三角形中线)；
(2)公共边；
(3)一部分相等，另一部分是公共的，可以利用等边加(或减)等边，其和(或差)仍相等；
(4)全等三角形对应边相等.
方法总结
找等角的方法：
(1)公共角相等；
(2)对顶角相等；
(3)等角加(或减)等角，其和(或差)仍相等；
(4)同角或等角的余(或补)角相等；
(5)由角平分线的定义得出角相等；
(6)由平行线得到同位角或内错角相等；
(7)全等三角形对应角相等.

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