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2025 年贵州省遵义市高考数学三模试卷
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合 = { | 1 ≤ 3 ≤ 1}， = { 2, 1,0,1,2}，则 ∩ =( )
A. { 1,0} B. {1,2} C. { 2, 1,0} D. { 1,0,1}
2.某班 6 名学生的物理成绩按从小到大的顺序排列如下：55，63，72，78，85，93，则这组数据的 50%
分位数是( )
A. 72 B. 75 C. 78 D. 85
3 1.已知角 的顶点与坐标原点重合，始边与 轴的非负半轴重合，终边与直线 = 2 位于第三象限的图象重
合，则 =( )
A. 2 5 5 2 5 55 B. 5 C. 5 D. 5
4.航天器的轨道校准任务中，在二维定位平面内，控制中心需要将坐标是(0,0)的卫星进行三次平移(单位：
千米)：第一次沿向量 1 = ( , 1)补偿平移；第二次沿向量 2 = ( 1, )修正平移；第三次沿向量 3 = (2,1)
校准平移.若卫星最终精准到达坐标是(3,4)的同步轨道点，则实数 =( )
A. 4 B. 3 C. 2 D. 1
5.已知随机变量 服从正态分布 (3, 2)，且 ( > 2) = 0.7，则 (3 < < 4) =( )
A. 0.1 B. 0.2 C. 0.3 D. 0.4
6.已知函数 ( ) = 和 ( ) = log (其中 > 0 且 ≠ 1)，若 ( )与 ( )的图象有一个交点的横坐标为 2，
则实数 =( )
A. 2 B. 2 C. 12 D. 4
7.已知△ 的周长为 12， = 4，当△ 的面积最大时，则△ 的内切圆半径为( )
A. 33 B.
2 3 4 3
3 C. 3 D. 3
8.已知正方体 1 1 1 1的棱长为 2， 在线段 1上运动， 是棱 1的中点，则下列选项正确的
是( )
A.直线 1 与直线 1 是异面直线
B. 3直线 1 与平面 1 1所成角为 ，则 的最大值是 3
C.动点 在正方体的表面上运动，若 1 ⊥ ，则点 的轨迹长度是 6
D.以点 为球心，2 为半径的球面与侧面 1 1的交线长度是 2
二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
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9.已知复数 = 3 + ( , ∈ , 为虚数单位)，则下列选项正确的是( )
A.若 = 0， ≠ 0，则 为纯虚数
B.若 = = 1，则| | = 10

C.若 = 0，则 =
D.若 < 0 且 > 0，则 在复平面内对应的点位于第四象限
2 210.已知曲线 ： +8 + 4 2 = 1，则下列选项正确的是( )
A.若 = 0 2，则曲线 的离心率为 2
B.若 8 < < 2，则曲线 为椭圆
C.若 = 4，则曲线 的实轴长为 4 3
D.若曲线 是焦点在 轴上的双曲线，则焦点到渐近线的距离为 2 4
11.六艺是中国古代君子的六门必修课，即礼、乐、射、御、书、数.《礼记 射义》：“射者，仁之道也.射
求正诸己，已正而后发；发而不中，则不怨胜己者，反求诸己而已矣”.若甲、乙两人玩射箭游戏，规则如
下：每次由其中一人射箭，若中靶，则此人继续射箭；若未中靶，则换对方射箭.已知甲每次射箭命中的概
3 1
率均为4，乙每次射箭命中的概率均为2，由抽签确定第 1 次射箭的人，甲、乙抽中的机会均等，则下列选
项正确的是( )
A. 21第 3 次射箭的人是甲的概率为32
B.在第 3 5次射箭的人是甲的条件下，第 1 次射箭的人是乙的概率为14
C. 5在前 4 次射箭中，甲只射箭 1 次的概率为32
D. 58 1 1若第 次射箭的人是甲的概率为 ，则
10 19
=1 = 9 + 9 ( 2 )
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12.已知点 (1, )在抛物线 ： 2 = 4 上， 的焦点为 ，则| | = ______．
13.某市举行数学“ ”节竞赛活动，某学校有 7 名数学成绩优秀的学生，其中 4 名男生 3 名女生，该学校
需从中选派 3 人组成代表队参赛，其中男生甲和女生乙至少有一人入选，不同的选派方法共有______种(数
字作答)．
14.蝴蝶曲线是一种优美的数学曲线，因其形状宛如一只蝴蝶而得名，由美国南密西西比大学的坎普尔 费伊
于 1989 年发现.它不仅是数学与美学结合的经典案例，也是非线性动力学系统的典型案例，更在计算机编
程、艺术设计、科学研究和工程领域，展现了跨学科的应用潜力.其核心价值在于将抽象的数学方程转化为
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可视化的动态图形，成为连接理性与感性的桥梁.已知某种蝴蝶曲线 ，如图 1 所示，在平面直角坐标系中，
曲线 的方程为：( 2 + 2)2 (13 2 + 2) = 0.若点 在 上运动， 为坐标原点，则| |的最大值为______．
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题 13 分)
已知函数 ( ) = 2 ．
(1)求函数 ( )在点 = 1 处的切线方程；
(2)若 ∈ [ 12 , ]，求 ( )的最小值和最大值．
16.(本小题 15 分)
为进一步满足居民“五一”假期的消费需求，营造欢乐的节日氛围，某商场计划 5 月 1 日发起“2025 年欢
乐购普惠消费券”活动.据悉，本次消费券分别为“满 200 元减 50 元”和“满 100 元减 20 元”两种类型.
节日期间每位进该商场的顾客可抽取两种不同类型的消费券各 1 次，已知抽中消费券“满 200 元减 50 元”
1 1
的概率为5，抽中消费券“满 100 元减 20 元”的概率为2，且各次是否抽中消费券互不影响．
(1)求某天某顾客至少抽中一次消费券的概率；
(2)设某天某顾客获得的消费券奖金(如：满 200 元减 50 元，记消费券奖金为 50 元)为随机变量 ，求 的分
布列及数学期望．
17.(本小题 15 分)
在多面体 中，已知四边形 2 = = 1是边长为 的正方形， 2 ， // ， ⊥ ，平
面 ⊥平面 ， 为线段 的中点．
(1)若平面 ∩平面 = ，求证： // ；
(2) 在线段 上是否存在一点 ，使得平面 ⊥平面 ？若存在，求 的值；若不存在，说明理由．
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18.(本小题 17 分)
在数列{ }中，若以相邻三项 ， +1， +2为线段长度能构成一个三角形，则记这个三角形为△ +1 +2
且这三边所对的角分别为 ， +1， +2．
(1)在△ +1 +2中，以 ， +1， +2为线段长度，能否构成一个三角形？并说明理由；
(2)在△ +1 +2中， ， +1， +2成等差数列，且{ }是等比数列.判断△ +1 +2的形状，并证明；
(3) { } = 1 > 0 ∈ △ 2 若 是等差数列， 1 ，公差 ，且存在 ，使得 +1 +2的最大内角为 3，求公差
的值．
19.(本小题 17 分)
在复平面上，复数 对应的点为 ，且复数 满足的方程为| 2| + | + 2| = 2 5．
(1)判断点 的轨迹是什么曲线？并说明理由；
(2)记点 的轨迹为曲线 ， ( )是 上任意一点，定义变换 ： = 2，变换后的点 ( )形成曲线 1，再将
曲线 1沿向量 = ( 1,0)平移得到曲线 2．
( )求曲线 2在平面直角坐标系下的方程；
( )已知 ( 4,0)， (1,0)，设过点 (1,0)的直线 与曲线 2交于 ， 两点(异于点 )，△ 的外心为 .设
直线 的斜率为 1，直线 的斜率为 2，求 1 2的值．
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参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.2
13.25
14.13 139
15.解：(1) 1函数 ( ) = 2 ，则 ′( ) = 2 ，
则 ′(1) = 1，又 (1) = 1，
所以函数 ( )在点 = 1 处的切线方程为 1 = 1 × ( 1)，即 = ；
2 2( + 2)( 2
(2) ′( ) = 2 1 = 2 1 = 2 2
)
， ∈ [
1
2 , ]，
令 ′( ) = 0 2，可得 = 2 ，
当 ∈ ( 1 , 22 2 )时， ′( ) < 0， ( )单调递减，
2
当 ∈ ( 2 , )时， ′( ) > 0， ( )单调递增，
所以 ( ) 2的极小值也是最小值为 ( 2 ) =
1
2 ln
2
2 ，
( 1又 2 ) =
1
4 ln
1
2 =
1
4 + 2，
( ) = 2 = 2 1 > 14 + 2，
所以 ( ) 1 2的最大值为 2 1，最小值为2 ln 2 ．
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16.解：(1)设事件 =“某天某顾客至少抽中一次消费卷”，
事件 =“某天某顾客抽中满 200 元减 50 元消费卷”，
事件 =“某天某顾客抽中满 100 元减 20 元消费卷”，

则 ( ) = 1 ( ) = 1 ( ) ( ) = 1 (1 1 ) × (1 15 2 ) = 1
4
5 ×
1 = 32 5，
3
所以某天某顾客至少抽中一次消费券的概率为5；
(2) 的可能取值为：0，20，50，70，
( = 0) = (1 15 ) × (1
1
2 ) =
4
10 =
2
5 , ( = 20) = (1
1 1
5 ) × 2 =
4 = 210 5，
( = 50) = 1 × (1 1 ) = 1 , ( = 70) = 1 × 1 = 15 2 10 5 2 10，
随机变量 的分布列为：
0 20 50 70
2 2 1 15 5 10 10
( ) = 0 × 25+ 20 ×
2+ 50 × 15 10 + 70 ×
1
10 = 20，
所以 的数学期望为 20．
17.(1)证明：连接 ，与 交于点 ，连接 ，
因为正方形 ，所以 是 的中点，
又 为线段 的中点，所以 // ，
因为 平面 ， 平面 ，
所以 //平面 ，
又 平面 ，平面 ∩平面 = ，
所以 // ．
(2) 3解：存在， = 4，理由如下：
由题意知， ⊥ ，
因为平面 ⊥平面 ，平面 ∩平面 = ， 平面 ，
所以 ⊥平面 ，
又 // ， ⊥ ，所以 ⊥ ，
故以 为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，
则 (2,0,0)， (0,0,2)， (0,2,0)，
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设 = ， ∈ [0,1]，则 (0,4 , 2 2 )，
所以 = ( 2,2,0)， = ( 2,0,2)， = (0,4 2,2 2 )，
= ( , , )
= 2 + 2 = 0
设平面 的法向量为 ，则 ，
= 2 + 2 = 0
取 = 1，则 = = 1，所以 = (1,1,1)，

设平面 的法向量为 = ( , , ) = 2 + 2 = 0，则 ，
= (4 2) + (2 2 ) = 0
取 = = 1 ，则 = 1 2 ，所以 = (1 , 1 , 1 2 )，
因为平面 ⊥平面 ，
所以 = 1 + 1 + 1 2 = 0 3，解得 = 4，
3
即 = 4．
18.解：(1) 能．由正弦定理，可得 +1 +2 = = ， +1 +2
所以 ： +1： +2 = ： +1： +2，
因为 ， +1， +2是 +1 +2的三边，
所以 ， +1， +2为边长的三角形与 +1 +2相似．
故以 ， +1， +2为线段长度，能构成一个三角形．
(2)证明：经判断， +1 +2是等边三角形．
证明如下：由题意可得 2 +1 = + +2，又 + +1 + +2 = ，
所以 +1 = 3，又因为{ }是等比数列，
2 2 2 2 2
所以 2 +1 = .
+ + 1
+2 由余弦定理，可得 cos = +2 +1 +2
+2
3 2
=
+2 2
= ，
+2 2
即 2 +2 + 2 2 +2 = 0.即( 2 +2 ) = 0，
所以 +2 = .

又因为 +1 = 3，所以三角形 +1 +2是等边三角形．
(3) 2 因为 = 1 + ( 1) ， > 0， < +1 < +2， +2 = 3，
由余弦定理得 2 = 2 + 2 +2 +1 + +1，
即[1 + ( + 1) ]2 = [1 + ( 1) ]2 + (1 + )2 + [1 + ( 1) ](1 + )化简得(2 2 5 ) 2 + (4
5) + 2 = 0，
即( + 1)[(2 5) + 2] = 0. 2因为 > 0， ∈ ，故解得 = 5 2 ，
当 = 1 2时， = 3；当 = 2 时， = 2；当 ≥ 3 时， < 0，舍去．
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验证：当 = 2 5 73时，三边为 1, 3 , 3，符合题意．当 = 2 时，三边为 3，5，7，符合题意．
2
综上， 的值为3或 2．
19.解：(1)设 = + ，则| 2| + | + 2| = 2 5，
表示点 ( , )到 1( 2, 0), 2( 2, 0)距离之和为 2 5，
所以点 的轨迹为 1( 2, 0), 2( 2, 0)，长轴为 2 = 2 5的椭圆．
2
(2)( ) (1) = 2 = 2 2 = 3 +
2
由 ， ， ，则 ： 5 3 = 1，
因为 ( )是 上任意一点，
所以设 = 5 + 3 ，
由题 = 2 = 5 2 3 2 + 2 15
5(1+ 2 ) 3(1 2 )
= 2 2 + 15 2
= 4 2 + 1 + 15 2 ，
设点 在实平面内的坐标为( , )， = + ( , ∈ )，
则 = 4 2 + 1, = 15 2 ，
( 1)2 2
所以 16 + 15 = 1．
又 1沿向量 = ( 1,0)平移得到曲线 2，
2 2
2在平面直角坐标系下的方程为：16+ 15 = 1．
( )由题，设 ( 1, 1)， ( 2, 2)，
由已知直线 的斜率 1存在，且显然不为零，
可设直线 方程为： = + 1( ≠ 0)，
= + 1
由 2 2 ，
16 + 15 = 1
消去 并化简可得：(15 2 + 16) 2 + 30 225 = 0，
判别式 = 900 2 + 860(15 2 + 16) > 0，
30 2251 + 2 = 15 2+16， 1 2 = 15 2+16，
设过 ， ， 三点的圆 方程为： 2 + 2 + + + = 0( 2 + 2 4 > 0)，
又 ( 4,0)，
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16 4 + = 0
2 + 2所以 1 1 + 1 + 1 + = 0，
22 + 22 + 2 + 2 + = 0
2 21 + 1 + ( 1 + 4) + 1 16 = 0所以 2 ， 2 + 22 + ( 2 + 4) + 2 16 = 0
因为 ， 在椭圆 2上，
2 2
所以 2 + 21 1 = 16
1
15，
2
2 + 2 22 = 16 15，
2( 11 + 4) + 1 =
所以 152，
( 2 + 4) + 2 =
2
15
所以(( 1 + 4) 22 ( 22 + 4) 1) + ( 1 22 22 1) = 0，
( 1 + 4) 22 ( 2 + 4) 21 = ( 1 + 5) 22 ( 2 + 5) 21
= [ 1 2 + 5( 1 + 2)]( 2 1) =
375
15 2+16 ( 1 2)，
21 2 22 1 = 1 2( 2 1) =
225
15 2+16 ( 1 2)，
因为 ≠ 0，所以 2 1 ≠ 0，
375 + 225所以15 2+16 15 2+16 = 0，
化简得 5 = 3 ，

由圆的一般方程可知三角形 的外接圆的圆心为 ( 2 , 2 )，

则 2 = =
5 1
3，又 1 = ，
= 5所以 2 1 3．
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