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2025 年浙江省嘉兴市高考数学模拟试卷（4 月份）
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1 1 2 .复数 1+ 的虚部是( )
A. 12 B.
1
2 C.
3 3
2 D. 2
2.关于 的不等式 2 > 1 的解集为( )
A. (0, 12 ) B. (0,1) C. (
1
2 , + ∞) D. (1, + ∞)
3.在△ 所在平面内，点 满足 = 3 ，记 = ， = ，则 =( )
A. 1 + 2 3 3 B.
2 1 1 4 4 1
3 + 3 C. 3 + 3 D. 3 3
4.“ ≥ 0”是“圆 ： 2 + 2 4 6 + = 0 不经过第三象限”的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
5.若某正四面体的内切球的表面积为 4 ，则该正四面体的外接球的体积为( )
A. 9 B. 27 C. 36 D. 64
6.已知抛物线 ： 2 = 4 ，其准线为 ，焦点为 ，过 (3,0)的直线 与 和 从左到右依次相交于 ， ，
三点，且| | = 10，则△ 和△ 的面积之比为( )
A. 1 B. 1 C. 14 5 6 D.
1
7
7.已知函数 ( )的定义域为 ，且 (1) = 1， ( ) = (3 )， ( ) + ( + 3) = (2025)，则2025 =1 ( ) =( )
A. 1 B. 0 C. 1 D. 2
8.甲、乙、丙三人玩传球游戏，每次传球时，传球者都等可能地将球传给另外两个人中的任何一人，若第
一次由甲传出，则经过 6 次传球后，球恰在乙手中的概率为( )
A. 31 11 21 2396 B. 32 C. 64 D. 64
二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列说法正确的是( )
A.残差越小，模型的拟合效果越好
B.若随机变量 ～ (3, 2 ) ( + 13 ，则 3 ) = 1
C.数据 2，3，5，8，13，21，34 的第 80 百分位数是 21
D.一组数 1， 2，…， ( ∈ )的平均数为 ，若再插入一个数 ，则这 + 1 个数的方差不变
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10.已知 ( ) = sin(2 + 3 )，则下列说法正确的是( )
A. ( )在区间[ 5 12 , +

12 ]( ∈ )上单调递增
B.将函数 ( ) 的图象向右平移3个单位长度后得到曲线 ，则曲线 关于原点对称
C.若 ( + )是偶函数，则 = 2 +

12 ( ∈ )
D.若 ( )( > 0)在区间[0, ] 4 11上恰有 3 个零点，则 ∈ [ 3 , 6 )
11.用笔从空间多面体的一个顶点出发，沿棱画线，不间断、不重复，最终回到起点或到达另一个顶点的过
程称为“1 笔”.现定义：如果遍历一个空间多面体所有的顶点和棱至少需要 笔，则该多面体称为 笔画多
面体.那么下列说法正确的是( )
A.五棱锥是 3 笔画多面体 B.正方体是 4 笔画多面体
C. 棱锥是 2 笔画多面体 D. 棱柱是 笔画多面体
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12.( 2 )5 的展开式中 的系数为______．
13.记△ 的内角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，已知 + = + ，则 = ______．
14.设函数 ( ) = + ( > 0)，若方程 ( ( )) = 在区间[2,4]上有解，则实数 的取值范围为______．
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题 13 分)
已知函数 ( ) = 2 5 + 2 ．
(1)求曲线 = ( )在点(1, (1))处的切线方程；
(2) 1求函数 ( )在区间[ 4 , 4]上的最大值．
16.(本小题 15 分)
如图，在边长为 2 的正三角形 中， ， 分别为 ， 的中点，将△ 沿 翻折至△ ，使得 ⊥ ．
(1)证明：平面 ⊥平面 ；
(2)求直线 与平面 所成角的正弦值．
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17.(本小题 15 分)
, 为奇数,
记 为数列{ }的前 项和，已知 > 0，4 = 2 + 2 3，数列{ } =
+1
满足
+ +1, 为偶数.
(1)求数列{ }的通项公式；
(2)记数列{ }的前 项和为 ，若对任意 ∈ ， ≥ 10 + ，求实数 的取值范围．
18.(本小题 17 分)
2 2
已知双曲线 ： 2 2 = 1( > 0, > 0)的左、右焦点分别为 1， 2，离心率为 .过点 1的直线 分别交 的
左、右两支于 ( 1, 1)， ( 2, 2)两点，且| | | 21 1| = | | ．
(1) 求 1 的值；2
(2)求 的取值范围；
(3)若 = 3，证明：| 2| = | 2|.
19.(本小题 17 分)
记集合 ， 为集合 = {1,2,3, …, }( ∈ )的两个子集，且满足 ∪ = ， ∩ = .定义： ( , ) =
| ∈ ∈ |( ∈ , ∈ 分别表示集合 ， 中所有元素的和)．
(1)当 = 4 时，求 ( , )的所有可能的值；
(2)求 ( , )的最小值；
(3)设 ( +1) ( +1)为不超过 2 的自然数，且 与 2 的奇偶性相同，证明：存在 ， ，使得 ( , ) = ．
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参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.40
13. 2
14.[1 1 , 1
2
2 ]
15.解：(1) 2由题意可得 ′( ) = 2 5 + ，所以 ′(1) = 1，又 (1) = 4，
由直线的点斜式方程可得在 = 1 处的切线方程为 ( 4) = ( 1)，即 = 3；
(2)因为 ( ) = 2 5 + 2 的定义域为(0, + ∞)，
2 2 2令 ( ) = 2 5 + = 5 +2 = (2 1)( 2)
1
′ = 0，得 = 2或 = 2，
1
所以当 ∈ (0, 2 ) ∪ (2, + ∞)时， ′( ) > 0 ∈ (
1
；当 2 , 2)时， ′( ) < 0，
则 ( )在(0, 1 ) 12 上单调递增，在( 2 , 2)上单调递减，在(2, + ∞)上单调递增，
( 1又 2 ) =
9
4 2 2， (4) = 4 2 4
1 7 7 7
， (4) ( 2 ) = 6 2 4 > 6 4 = 3 4 > 0，
1
所以 ( )在区间[ 4 , 4]的最大值为 (4) = 4 2 4．
16.(1)证明：连接 ，∵△ 为等边三角形， 为 中点，则 ⊥ ，
又∵ ⊥ ，且 平面 ， 平面 ， ∩ = ，∴ ⊥平面 ，
又 平面 ，∴平面 ⊥平面 ．
(2)解：过点 作 ⊥ ，垂足为 ，∵平面 ⊥平面 ，且平面 ∩平面 = ，∴ ⊥平面
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，
又∵ ， 分别为 ， 中点，
翻折后， = 1， = 12 + 12 = 2，由对称性可知 = 2，
又 = 3 1× 2 6，∴ ∠ = 90°，由△ 等面积得 = = ，3 3
设直线 和平面 所成角为 ，点 到面 的距离为 ，
1
由 = ，得3 △ =
1
3 △ ，
又 1 1 1 3 1 3△ = 4 △ = ，4 × 2 × 2 × 2 × 60° = 4 △ = △ = ，4 4
∴ = 6， = = 3，故直线 与平面 所成角的正弦值为 3．3 3 3
17.解：(1)由 > 0，4 = 2 2 + 2 3，可得 4 1 = 4 1 = 1 + 2 1 3，
解得 1 = 3( 1 舍去)，
当 ≥ 2 时，4 = 4 4 2 2 1 = + 2 3 1 2 1 + 3，
化为( 1)( + 1) = 2( + 1)，
由 > 0，可得 1 = 2，
即有数列{ }是首项为 3，公差为 2 的等差数列，则 = 3 + 2( 1) = 2 + 1；
+1, 为奇数, 2(2 1) + 1 4 1 = 2, = 2 1(2)数列{ }满足 = =
+ , 为偶数. 4 + 1 + 2(2 + 1) + 1 = 8 + 4, = 2
， ∈ ，
+1
则当 为偶数时， = ( 2 2 . . . 2) + (12 + 20 + . . . + 4 + 4) = 2 ×
1
2 + 2 × 2 (12 + 4 + 4) =
2 +
3 ，
由任意 ∈ ， ≥ 10 + ，可得 ≤ 2 7 恒成立，由 2 7 在 = 4 时取得最小值 12，
可得 ≤ 12；
当 为奇数时， = + = ( 1)2 + 3( 1) 2 = 2 1 + 4，
由任意 ∈ ， 2 2 ≥ 10 + ，可得 ≤ 9 4 恒成立，由 9 4 在 = 5 时取得最小值 24，
可得 ≤ 24；
综上，可得 ≤ 28，即 的取值范围是( ∞, 24]．
18.解：(1)如图，
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设直线 与 轴所成锐角为 ，
| 1| = | | = | 1| | | = | 2| , | | = | 1 |则 2| | 1 sin ，同理得出1 2 sin sin ，
因为| | | | = | |2 | 1|| 2| = | 1 2|
2
1 1 ，即 2 2 ，即| 1||
2
sin sin 2
| = | 1 2| ，

因为 1，
1
2同号且 0 < < 1，得( 1 2)
2 =
2 1
2，
( 1所以 )
2 3 1 + 1 = 0

，则 1 =
3 5
；
2 2 2 2
=
(2)设直线 为 = ，联立 2 2 ，得( 2 2 = 1
2) 2 2 2 + 4 = 0，
2 2
2 4
则 > 0， 1 + =
2
2 2 2
，
2 1 2 =

2 2 2
；

因为直线 交 的左、右两支于 ( 1, 1)、 ( 2, 2)两点，
所以 1 2 > 0，则 2 2 2 > 0，
2 4
由(1)知( 1 + 2)2 = 5
2 5
1 2，即( 2 2 2 2 ) = 2 2 2，
2 = 5
2 1 2
化简得
5 2 4 2 , 2 = 5 1，
由 2 2 2 > 0 1，所以 0 < 2 <
2 1，
2
即 0 < 5 1 <
2 1，则 ∈ ( 5, + ∞)；
(3) 5
2 5
证明：当 = 3 时，则 = 3 ， = 2 2 ，由(2)得 2 = 5 2 ， 4 2 = 4
设 ( 1, 1)、 ( 2, 2)的中点为 ( 0, 0)，
+
则 1 20 = 2 = 3， =
1+ 2 = 8 0 2 3 ，
0又 2(3 , 0)，所以
0
2 = 0 3
= ，
那么 2 = 1，所以 2 ⊥ ，根据三线合一可知，| 2| = | 2|.
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19.解：(1)若 = {1,2,3,4}，由于 ， 的对称性，
只需考虑以下情况： = ， = ， ( , ) = 10； = {1}， = {2,3,4}， ( , ) = 8；
= {2}， = {1,3,4}， ( , ) = 6； = {3}， = {1,2,4}， ( , ) = 4；
= {4}， = {1,2,3}， ( , ) = 2； = {1,2}， = {3,4}， ( , ) = 4；
= {1,3}， = {2,4}， ( , ) = 2； = {1,4}， = {2,3}， ( , ) = 0．
所以 ( , )的所有可能值为：0，2，4，6，8，10．
(2)首先计算 = 4 时：令 = {1,3,5, …2 1,2 + 2,2 + 4, …, 4 }， = {2,4,6, …, 2 , 2 + 1,2 + 3, …, 4
1}，
观察可知 ∪ = ， ∩ = 0，且集合 ， 均有 2 项，且这 2 首尾相加为 4 + 1，
所以 ∈ = ∈ = (4 + 1)，所以 ( , ) = 0，即此时 ( , )的最小值为 0.对于其它情况：当 = 4 + 1
时，
( +1) = (4 +1)(4 +2)由 2 2 = (4 + 1)(2 + 1)为奇数，
由(1)知 ( , )为奇数，考虑 的子集 1 = {2,3,4, , 4 + 1}， 1中有 4 项，
那么参照上面证明存在 1， 1满足 ( 1, 1) = 0，
( +1) (4 +1)(4 +2)
对于其它情况：当 = 4 + 1 时，由 2 = 2 = (4 + 1)(2 + 1)为奇数，
由(1)知 ( , )为奇数，考虑 的子集 1 = {2,3,4, , 4 + 1}， 1中有 4 项，
那么参照上面证明存在 1， 1满足 ( 1, 1) = 0，现令 = 1 ∪ {1}， = 1，可知 ( , ) = 1，
( +1) (4 +2)(4 +3)
即此时 ( , )最小值为 1；当 = 4 + 2 时， 2 = 2 = (2 + 1)(4 + 3)为奇数， ( , )为奇
数．
考虑 的子集 1 = {3,4,5, , 4 + 2} 1中有 4 项，那么参照上面证明存在 1， 1满足 ( 1, 1) = 0，
现令 = 1 ∪ {1}， = 1 ∪ {2}，可知 ( , ) = 1，即此时 ( , )最小值为 1；
当 = 4 + 3 ( +1) (4 +3)(4 +4)时， 2 = 2 = (4 + 3)(2 + 2)为偶数， ( , )为偶数，
考虑 的子集 1 = {4,5,6, , 4 + 3}， 1中有 4 项，
那么参照上面证明存在 1， 1满足 ( 1, 1) = 0，现令 = 1 ∪ {1,2}， = 1 ∪ {3}，
可知 ( , ) = 0，即此时 ( , )最小值为 0．
综上所述可知当 = 4 或 = 4 + 3 时， ( , ) = 0， = 4 + 1 或 = 4 + 2 时， ( , ) = 1．
(3) ( +1)证明：首先证明 ( , )与 2 的奇偶性相同：由题意知 ∈ + =
( +1)
∈ 2 ，
所以 ( , ) = | ( +1)2 2 ∈ |，因为 2
( +1)
∈ 是偶数，所以对于任意的 ， ， ( , )与 2 的奇偶性
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相同．
( +1) ( +1)
下面用数归法证明：当 与 2 奇偶性相同且 < 2 时，
存在 ， 满足 ( , ) = .当 = 0 或 = 1 时，由(2)可知存在 ， 满足 ( , ) = ，
假设 = ( +1)时成立( 为小于 2 2 且与其奇偶性相同自然数)，
即此时存在 ， 满足 ( , ) = ，由于 ∪ = {1,2,3, …, }，
不妨令 ∈ > ∈ 若此时 1 ∈ ，则可令 1 = ∪ {1}，那么 ( 1, 1) = + 2，
即说明 = + 2 时命题成立，若此时 1 ∈ ，必存在正整数 满足 ∈ 且 + 1 ∈ (否则有 = ， = )，
( , ) = ( +1)此时有 2 )，令 1 = ( { }) ∪ { + 1}， 1 = ( { + 1}) ∪ { }，
此时 1， 1满足： ( 1, 1) = + 2，即 = + 2 时命题立，由归纳法可知命题成立．
= ( +1)当 2 时，令 = ， = ， ( , ) = ，综上所述命题成立．
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