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2025 年陕西省名校教育联盟高考数学模拟试卷
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1 .将复数 1 + 3 对应的向量 绕原点按顺时针方向旋转2，得到的向量为
1，那么 1对应的复数是( )
A. 3 B. 3 + C. 3 D. 3 +
2.已知甲船位于灯塔 的北偏东 70°方向，且与 相距 3 的 处.乙船位于灯塔 的北偏西 50°方向上的 处.
若两船相距 19 ，则乙船与灯塔 之间的距离(单位： )为( )
A. 1 B. 3 C. 2 D. 2 3
3.现有 4 名男生和 3 名女生计划利用假期到某地景区旅游，由于是旅游的旺季，他们在景区附近订购了一
家酒店的 5 间风格不同的房间，并约定每个房间都要住人，但最多住 2 人，男女不同住一个房间，则女生
甲和女生乙恰好住在同一间房的概率是( )
A. 14 B.
1 C. 2 36 7 D. 10
2 24.若( )6 的展开式中常数项为 160
+ +2
，则 的最小值为( )
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
5.若 0 ≥ 1 + ，则正实数 的取值范围为( )
A. (0, 1 ) B. (0, ] C. (
1
, + ∞) D. ( , + ∞)
6.圆锥曲线具有丰富的光学性质，在人教版 版选择性必修第一册的阅读与思考中提到了椭圆的光学性质：
从椭圆的一个焦点发出的光线，经过椭圆反射后，反射光线交于椭圆的另一个焦点上，(如图(1)).如图(2)，
2 2
已知 1为椭圆 ： 2 + 2 = 1( > > 0)的左焦点， 为坐标原点，直线 为椭圆 的任一条切线， 为 在 1
上的射影，则点 的轨迹是( )
A.圆 B.椭圆 C.双曲性 D.抛物线
7.已知数列{ }满足 = 3,
2 12 62 45 35
1 +1 = + 1，记数列{| 2|}的前 项和为 ，设集合 = { 5 , 25 , 17 , 12 }，
= { ∈ | > 对 ∈ 恒成立}，则集合 的元素个数是( )
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
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8.设 = (1, 1 )，2 = (0,1)，则满足条件 0 ≤
≤ 1，0 ≤ ≤ 1 的动点 的变化范围(图中
阴影部分含边界)是( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9 .若不等式 + 1 ≥ 0 恒成立，其中 为自然对数的底数，则 的值可能为( )
A. 1 B. 2 C. 1 D. 2
10.已知直四棱柱 1 1
2
1 1，底面 是菱形，∠ = 3，且 1 = = 4， 为 的中点，
动点 满足 = 1 + ，且 ， ∈ [0,1]，则下列说法正确( )
A.当 / / 1平面 1 1时， = 2
B.当 + = 1 时， 的最小值为 2 2
C.若 ⊥ 1，则 的轨迹长度为 2
D.当 = 2 ( ≠ 0)时，若点 为三棱锥 的外接球的球心，则 的取值范围为[2,2 5)
11.从出生之日起，人的体力、情绪、智力呈周期性变化，在前 30 天内，它们的变化规律如图所示(均为可
向右无限延伸的正弦型曲线模型)：
记智力曲线为 ，情绪曲线为 ，体力曲线为 ，且三条曲线的起点位于坐标系的同一点处，则( )
A.体力曲线 的最小正周期是三个曲线中最小的
B.第 462 天时，智力曲线 与情绪曲线 都处于上升期
C.智力、情绪、体力三条曲线存在无数个公共点
D.不存在正整数 ，使得第 天时，智力、情绪、体力三条曲线同时处于最高点或最低点
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12.数列{ }满足 1 + 2 2 + 3 3 + … + = ( + 1)( + 2)，则 = ．
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13.激活函数是神经网络模型的重要组成部分，是一种添加到人工神经网络中的函数. 函数是常用的激
活函数之一、其解析式为 ( ) = 21+ 2 1.则对于任意实数 ，函数 = | ( )| 1 至少有一个零点
______．
14.已知平面向量 ， ， ， 满足| | = 3，| | = 1，| | = 1，< , >= 2 3，且对任意的实数 ，均有| | ≥
| 2 |，则| |的最小值为______．
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题 13 分)
为了检测某种抗病毒疫苗的免疫效果，需要进行动物与人体试验.研究人员将疫苗注射到 200 只小白鼠体内，
一段时间后测量小白鼠的某项指标值，按[0,20)，[20,40)，[40,60)，[60,80)，[80,100]分组，绘制频率分布
直方图如图所示.试验发现小白鼠体内产生抗体的共有 160 只，其中该项指标值不小于 60 的有 110 只.假设
小白鼠注射疫苗后是否产生抗体相互独立．
(1)填写下面的 2 × 2 列联表，并根据列联表及 = 0.05 的独立性检验，判断能否认为注射疫苗后小白鼠产
生抗体与指标值不小于 60 有关.单位：只
指标值
抗体 合计
小于 60 不小于 60
有抗体
没有抗体
合计
(2)为检验疫苗二次接种的免疫抗体性，对第一次注射疫苗后没有产生抗体的 40 只小白鼠进行第二次注射
疫苗，结果又有 30 只小白鼠产生抗体．
( )用频率估计概率，求一只小白鼠注射 3 次疫苗后产生抗体的概率 ；
( )以( )中确定的概率 作为人体注射 3 次疫苗后产生抗体的概率，进行人体接种试验，记 个人注射 2 次
疫苗后产生抗体的数量为随机变量 .试验后统计数据显示，当 = 90 时， ( )取最大值，求 ．
( )2
参考公式： 2 = ( + )( + )( + )( + ) (其中 = + + + 为样本容量).参考数据：
( 2 ≥ 0) 0.50 0.40 0.25 0.15 0.100 0.050 0.025
0 0.455 0.708 1.323 2.072 2.706 3.841 5.024
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16.(本小题 15 分)
如图，圆柱 1的底面半径和母线长均为 4， 是底面直径，点 在圆 上且 ⊥ ，点 在母线 上， =
3，点 是上底面上的一个动点(若建系，请以 ， ， 1为坐标轴建系)
(1)求平面 与平面 的夹角的余弦值；
(2)若 ⊥ ，求动点 的轨迹形状和长度；
(3)若点 只在上底面上的圆周上运动，求当△ 的面积取得最大值时，点 的位置. (可用坐标表示)
17.(本小题 15 分)
函数与圆锥曲线是我们高中最常见的只是板块，现进行探究：
(1)化简 2 + ( + 3)2 + 2 + ( 3)2 = 10，并求方程| | + | | = 1 表示的曲线所围成的图形的周长．
(2)已知曲线 ：| | + = 1，试研究曲线 的范围．
(3)已知抛物线 ： 2 = ( > 0) ( , 1上一点 2 )到焦点 的距离为 2 ，抛物线上一点 的纵坐标为 1，过点 (
4,2)的直线与抛物线 交于 ， 两个不同的点(均与点 不重合)，连接 ， ，若 ， 所成角为直角，
求 关于直线 对称点 ．
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18.(本小题 17 分)
教育储蓄是指个人按国家有关规定在指定银行开户、存入规定数额资金，用于教育目的的专项储蓄，是一
种专门为学生支付非义务教育所需教育金的专项储蓄，储蓄存款享受免征利息税的政策.若你的父母在你 12
岁生日当天向你的银行教育储蓄账户存入 1000 元，并且每年在你生日当天存入 2500 元，连续存 6 年，在
你十八岁生日当天一次性取出，假设教育储蓄存款的年利率为 5%．
(1)在你十八岁生日当天时，一次性取出的金额总数为多少？(参考数据：1.055 ≈ 1.28)
(2)为了鼓励学生参与社会实践，银行与某企业合作，为参与勤工俭学的学生提供以下三种薪资调整方案(每
月按 30 天计算)：
方案甲：每天工资固定为 60 元.方案乙：第 1 天工资 10 元，从第 2 天起每天比前一天多 4 元.方案丙：第 1
天工资(0.5)元，以后每天工资是前一天的 2 倍.学生小张计划勤工俭学 个月，试分析小张应如何根据 的
值选择薪资方案．
19.(本小题 17 分)
函数同样也是高中数学的一大板块，现进行探究：
(1)已知函数 ( ) = + 1 2 1，若 ( ) = [ ( ) + 1 ] + ，则函数 ( )是否存在零点？
(2) ( ) ∈ ∈ 1+ ( 2)已知函数 的定义域为 ，若存在实数 ，使得对于任意 1 都存在 2 满足 2 = 则称函数
( )为“自均值函数”，其中 称为 ( )的“自均值数”
( )试判断函数 ( ) = 2 是否为“自均值函数”．
( )若函数 ( ) = 2 + 2 + 3， ∈ [0,2]有且仅有 1 个“自均值数”，求实数 的值．
(3)若函数 ( ) = sin( + )( > 0,0 < < ) 的周期为 ，图像的一个对称中心为( 4 , 0)，将函数 ( )图

像上所有点的横坐标伸长为原来的 2 倍(纵坐标不变)，再将所得图像向右平移2个单位长度后得到函数 ( )
的图像；
( )试判断函数 ( )是否为“自均值函数”并说明理由．
( ) 是否存在 0 ∈ ( 6 , 4 )，使得 ( 0)， ( 0)， ( 0) ( 0)按照某种顺序成等差数列？若存在，请求出该数列
公差绝对值的取值范围；若不存在，请说明理由．
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参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.3( + 1)
13.×
14.52
15.解：(1)由题意可得：该项指标值不小于 60 的有 200(0.025 × 20 + 0.0075 × 20) = 130 只，所以 2 × 2
列联表为：
指标值
抗体 合计
小于 60不小于 60
有抗体 50 110 160
没有抗体 20 20 40
合计 70 130 200
零假设 0注射疫苗后小白鼠产生抗体与指标值不小于 60 无关，
2
根据表中数据可得 2 = 200(50×20 110×20) 450160×40×70×130 = 91 ≈ 4.954 > 3.841 = ，
依据小概率值 = 0.05 的独立性检验，推断 0不成立，即认为注射疫苗后小白鼠产生抗体与指标值不小于
60 有关．
(2) 160+20由题意可得： = 200 = 0.9，因为随机变量 ～ (100,0.9)，
则 ( ) = 100 × 0.9 × (1 0.9) = 9，即随机变量 的方差为 9．
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16.解：(1)由题意得 ⊥ ， 1 ⊥ ， 1 ⊥ ，
如图，以 为原点建立空间直角坐标系，
因为圆柱 1的底面半径和母线长均为 4， = 3，
所以 (4,0,0)， (0,4,0)， ( 4,0,3)，
则 = ( 4,4,0)， = ( 8,0,3)，
设平面 的法向量为 = ( , , )，
则 ⊥
= 4 + 4 = 0

，则 ，
⊥ = 8 + 3 = 0
令 = 3，解得 = 3， = 8，
故平面 的法向量为 = (3,3,8)，
易知平面 的法向量为 = (0,0,1)，
设平面 与平面 的夹角为 ，
= | | 8 4 82则 | | | | = =2 ．1× 3 +32+82 41
(2)设 ( , , 4)，则 = ( 4, , 4)， = ( 4 , , 1)，
因为 ⊥ ，所以 = 0，则( 4)( 4 ) 2 4 = 0，
化简得 2 + 16 2 4 = 0，即 2 + 2 = 12，
即动点 的轨迹是圆心在原点，半径为 2 3的圆，轨迹长度为 2 × 2 3 = 4 3 ．
(3)由已知得 (4,0,0)， = ( 8,0,3)，
由模长公式得| | = = ( 8)2 + 32 = 73，
由题意得圆 1的方程为 2 + 2 = 16，
故设 (4 , 4 , 4)，
设 到 的距离为 ，而 1△ = × × =
73 ，2 2
故当 △ 最大时，只需要保证 最大即可，而 = (4 4,4 , 4)，
则| |2 = 16 2 32 + 16 + 16 2 + 16 = 48 32 ，
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= 8(4 4) + 12 = 32 + 44，
故( )2 = ( 32 + 44)2 = 1936 2816 + 1024 2 ，
由点到直线的距离公式得 = |
|2 ( 2，
|
)
|
= 48 32 1936 2816 +1024
2 ，
73
= 1024
2 +480 +1568，
73
令 = ∈ [ 1,1]，
则 ( ) = 1024 2 + 480 + 1568，
15 15
由二次函数性质得 ( )在[ 1, 64 ]上单调递增，在( 64 , 1]上单调递减，
则当 = 15 1564时， ( )取得最大值，则 值最大，△ 的面积最大，此时 = 64，
由同角三角函数的基本关系得 =± 7 79，64
故 ( 15 7 79 ．16 , ± 16 , 4)
17.解：(1) 2 + ( + 3)2 + 2 + ( 3)2 = 10 表示( , )到(0, 3)和(0,3)的距离之和为 10，
那么这是以(0, 3)和(0,3)为焦点，长轴长度为 10 的椭圆，
那么焦距 2 = 6，2 = 10，所以 = 3， = 5，所以 2 = 2 2 = 16，
2 2
所以 2 + ( + 3)2 + 2 + ( 3)2 = 10 可化简为 ．25 + 16 = 1
≥ 0 ≥ 0 ≤ 0 ≤ 0
根据| | + | | = 1 得： ≥ 0 或 ≤ 0 或 ≤ 0 或 ≥ 0 ，
+ = 1 = 1 + = 1 + = 1
因此方程表示(1,0)、( 1,0)、(0,1)、(0, 1)为顶点的正方形，如下图所示，
那么正方形边长为 2，周长为：4 × 2 = 4 2．
(2)当 ≤ 0 时，方程为 + = 1 = + 1，
当 ≥ 0 时，方程为 + = 1 = 1 ，
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所以 由两条射线 = 1 ( ≥ 0)和 = + 1( ≤ 0)组成，如下图所示，
所以 = 1，无最小值，所以 的范围为 ∈ ， ∈ ( ∞,1]．
(3)因为点 ( , 1 12 )到焦点 的距离为 2 ，所以 + 4 = 2 ，解得 = 4，所以点 ( 4 , 2 )，
( 1所以 )22 = ×

4，又因为 > 0，所以 = 1，所以 (1,1)，抛物线方程为
2 = ，
根据题意知：过点 ( 4,2)的直线斜率不为 0，
那么可设直线 ： = + ， ( 2, 2)， ( 1, 1)，
因为 ∈直线 ，所以 4 = 2 + ，所以 = 2 4；
= +
根据 2 2 = 得： = 0，
所以根的判别式 = 2 + 4 > 0，根据韦达定理可得 1 2 = = 2 + 4， 1 + 2 = ，
因为 ⊥ ，所以 = ( 11 4 ,
1
1 2 ) (
1
2 4 ,
1
2 2 ) = 0，
1
所以 1 2 4 ( 1 + 2) +
1
16 +
1 1
1 2 2 ( 1 + 2) + 4
2 1 1 1 1= ( 1 2) 4 ( 1 + + 2 + ) + 16 + 1 2 2 ( 1 + 2) + 4
= ( )2 +21 2 4 ( 1 + 2) +
1 5
1 2 2 + 16 = 0，
所以(2 + 4)2 ( +2)4 + 2 + 4
1
2 ( 2 4) +
5
16 = 0
化简得：60 2 + 296 + 357 = 0，所以(10 + 21)(6 + 17) = 0，
= 21 17解得： 10或 = 6；
= 21 = ( 2) × ( 21 ) 4 = 1 = 21当 10时， 10 5，所以 ： 10 +
1
5；
0 1 ( 10 ) = 1 = 390
设 ( 0, 0)
0 1 21 541 39 677，则 0+1 = 21 +1 1
，解得：
0 + = 677
，所以 ( 541 , 541 )；
2 10 2 5 0 541
当 = 17 176时， = ( 2) × ( 6 ) 4 =
5
3，所以 ： =
17
6 +
5
3，满足 直线 ；
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0 1 6 13
( , ) 1
( ) = 1 =
设 ，那么 0
17 0 25 13 9
0 0 0+1 = 17 +1 5
，解得： ，所以 ( , )．
0 + 0 =
9 25 25
2 6 2 3 25
( 13 , 9 ) ( 39 , 677综上所述： 25 25 或 541 541 )．
18.解：(1)根据题目：若你的父母在你 12 岁生日当天向你的银行教育储蓄账户存入 1000 元，并且每年在
你生日当天存入 2500 元，
连续存 6 年，在你十八岁生日当天一次性取出，假设教育储蓄存款的年利率为 5%．
得 1000 × (1 + 0.05)6 + 2500 × (1 + 0.05)5 + + 2500 × (1 + 0.05)
5
= 1000 × 1.055 × 1.05 + 2500 × 1.05×(1 1.05 )1 1.05 = 1344 + 14700 = 16044，
即在你十八岁生日当天时，一次性取出的金额总数为 16044 元．
(2)设小张参与勤工俭学的天数为 ， ∈ ，
方案甲领取的报酬为 = 60 ；
方案乙每天的报酬与天数成首项为 10，公差为 4 的等差数列，
( 1)
由等差数列的求和公式可得领取的报酬为 = 10 + 2 × 4 = 2
2 + 8 ；
方案丙每天报酬与天数成首项为 0.5，公比为 2 的等比数列，
0.5×(1 2 ) 1
由等比数列的求和公式可得领取的报酬为 = 1 2 = 2 (2 1)．
先令 = ，即 60 = 2 2 + 8 ，解得 = 0(舍去)或 26，
所以当 < 26 时， > ；当 > 26 时， < ；
再比较 和 ，当 = 10 时， = 600， =
1 10 1
2 × (2 1) = 2 × 1023 = 511.5， > ；
1 1
当 = 11 时， = 660， = 11 2 × (2 1) = 2 × 2047 = 1023.5， < ；
1 1最后比较 和 ，由函数的增长快慢可得当 = 8 时， = 2 × 64 + 48 = 176， 8 = 2 × (2 1) = 2 ×
255 = 127.5， > ；
当 = 9 时， = 2 × 81 + 72 = 234， =
1
2 × (2
9 1) = 12 × 511 = 255.5， < ．
综上，当 ≤ 10 1天时，即 < 3个月时选择方案甲；
当 > 10 1天时，选择方案丙，即 > 3个月时选择方案丙．
19.解：(1) ( ) = 2[ ( ) + 1 ] + = 2( + 2 )， > 0，
( ) = + 令 2 ， > 0，则 ( ) =
2 ( )．
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因为 ( ) = 2 ( )的定义域为(0, + ∞)，故 = ( )的零点与 = ( )的零点相同，
所以下面研究函数 = ( )在(0, + ∞)上的零点个数．
( ) = + 1 2
2 2
由 2 ， > 0，得 ′( ) = 3 = 3 ．
当 ≤ 0 时， ′( ) > 0 在 ∈ (0, + ∞)上恒成立，
所以 ( )在 ∈ (0, + ∞)上单调递增，
又 (1) = 0，故此时 ( )有唯一零点；
2
当 > 0 ( ) = 2 ( 2 )( + 2 )时， ′ 3 = 3 ( > 0)，
令 ′( ) < 0( > 0)，得 0 < < 2 ，令 ′( ) > 0( > 0)，得 > 2 ．
所以 ( )在(0, 2 )上单调递减，在( 2 , + ∞)上单调递增，
所以 ( ) = ( 2 ) = ln 2 +
1
2，
令 2 = > 0 1，则 = 22 ，
令 ( ) = 12
2 + 12，则 ′( ) =
1 = (1+ )(1 ) ( > 0)，
易得 ( )在(0,1)上单调递增，在(1, + ∞)上单调递减，
又 (1) = 0，所以当 ∈ (0,1) ∪ (1, + ∞)时， ( ) < 0，
①当 2 = 1 1，即 = 2时， ( ) = (1) = 0，
此时 ( )有唯一零点 = 2 = 1；
②当 0 < 2 < 1 1，即 0 < < 2时，则 ( 2 ) < 0．
因为 (1) = 0，所以 ( )在( 2 , + ∞)上有唯一的零点 = 1．
( ) = ln 11 + 2，
= ( < 1) = 令1 ，则 1+ ，
所以 ( ) = + 1 1 = ( )，由(1)知， ( ) > 0，又 ( 2 ) < 0，
( ) [ 所以 在 1 , 2 )上存在唯一零点，不妨设 = 1，
所以 ( )在(0, 2 )上有唯一的零点 = 1，
故 ( )在(0, + ∞)上有两个零点；
1
③当 2 > 1 1，即 > 2时，且 ( 2 ) < 0, (1) = 0,
> 2 > 1, ( ) = 2 > 0，
由函数零点存在定理可得 = ( )在( 2 , )上有唯一零点，
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故 ( )在(0, 2 ), ( 2 , + ∞)上各有一个唯一零点．
综上所述，函数 ( )存在零点．
(2)( )假定函数 ( ) = 2 是“自均值函数”，显然 ( ) = 2 定义域为 ，
+2 2
则存在 ∈ ，对于 1 ∈ ，存在 2 ∈ ，有 1 2 = ，
即2 2 = 2 1，依题意，函数 ( 2) = 2 2在 上的值域应包含函数 = 2 1在 上的值域，
而当 2 ∈ 时， ( 2)值域是(0, + ∞)，当 1 ∈ 时， = 2 1的值域是 ，显然(0, + ∞)不包含 ，
所以函数 ( ) = 2 不是“自均值函数”．
( )依题意，存在 ∈ ，对于 1 ∈ [0,2] ∈ [0,2]
1+ ( 2)，存在 2 ，有 2 = ，
即 22 + 2 2 + 3 = 2 1，
当 1 ∈ [0,2]时， = 2 1的值域是[2 2,2 ]，
因此 ( 22) = 2 + 2 2 + 3 在 2 ∈ [0,2]的值域包含[2 2,2 ]，并且有唯一的 值，
当 ≥ 0 时， ( 2)在[0,2]单调递增， ( 2)在 2 ∈ [0,2]的值域是[3,4 + 7]，
由[2 2,2 ] [3,4 + 7] 2 2 ≥ 3，得 2 ≤ 4 + 7，
5 7
解得2 ≤ ≤ 2 + 2，此时 的值不唯一，不符合要求，
当 < 0 时，函数 ( ) = 22 2 + 2 2 + 3
1
的对称轴为 2 = ，
1 1
当 ≥ 2，即 2 ≤ < 0 时， ( 2)在[0,2]单调递增， ( 2)在 2 ∈ [0,2]的值域是[3,4 + 7]，
由[2 2,2 ] [3,4 + 7] 2 2 ≥ 3，得 2 ≤ 4 + 7，
5
解得2 ≤ ≤ 2 +
7
2，要 的值唯一，
5 7 1 5 1
当且仅当2 = 2 + 2，即 = 2 , = 2，则 = 2，
当 0 < 1 < 2 1 1 1 ，即 < 2时， ( 2) = ( ) = 3 ， ( 2) = { (0), (2)}，
(0) = 3， (2) = 4 + 7，
[2 2,2 ] [3,3 1 ] 1 ≤ < 1 5 ≤ ≤ 3 1由 且 2得：2 2 2 ，此时 的值不唯一，不符合要求，
由[2 2,2 ] [4 + 7,3 1 ]且 < 1 得，2 +
9
2 ≤ ≤
3 1 9 3 12 2 ，要 的值唯一，当且仅当 2 + 2 = 2 2 ，
= 3 5解得 4 ，此时 =
6 5
2 ．
1 3 5
综上得： = 2或 = 4 ，
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( ) = 2 + 2 + 3 ∈ [0,2] 1 1 3 5所以函数 ， 有且仅有 个“自均值数”，实数 的值是 2或 4 ．
(3)( )因为 ( ) = sin( + )的周期 = 2 = ，所以 = 2，
又( 4 , 0)是 ( )的一个对称中心，所以 2 ×

4 + = ， ∈ ，
= 解得 2， ∈ ，因为 0 < <

，所以 = 2，
从而 ( ) = sin(2 + 2 ) = 2 ，
函数 ( )图像上所有点的横坐标伸长为原来的 2 倍(纵坐标不变)后的解析式为： = ，

从而再将所得图像向右平移2个单位长度后得到函数 ( ) = cos( 2 ) = ．
函数 ( ) = 不是“自均值函数”，理由如下：
假定函数 ( ) = 是“自均值函数”，显然 ( ) = 定义域为 ，
则存在 ∈ + ，对于 1 21 ∈ ，存在 2 ∈ ，有 2 = ，
即 2 = 2 1，依题意，函数 ( 2) = 2在 上的值域应包含函数 = 2 1在 上的值域，
而当 2 ∈ 时， ( 2)值域是[ 1,1]，当 1 ∈ 时， = 2 1的值域是 ，显然[ 1,1]不包含 ，
所以函数 ( ) = 不是“自均值函数”；
( )由( )知， ( ) = 2 ， ( ) = ，
假设存在 0 ∈ (
, 6 4 )，使得 ( 0)、 ( 0)、 ( 0) ( 0)按照某种顺序成等差数列，
∈ ( , 当 0 6 4 )时，2 0 ∈ (
1 1 2
3 , 2 )，则 2 0 ∈ (0, 2 )， 0 ∈ ( 2 , 2 )，
所以 0 > 2 0 > 0 2 0，
故 2 ( 0) = ( 0) + ( 0) ( 0)，即 2 2 0 = 0 + 0 2 0，
令 ( ) = + 2 2 2 ∈ ( , ， 6 4 )，
则 ′( ) = + 2 2 2 + 4 2 = (1 + 2 ) + 2 2 (2 ) > 0，
故 ( )在( 6 , 4 )上单调递增，且 ( )在( 6 , 4 )上连续，
故存在唯一的 0 ∈ (

6 ,

4 )，使得 ( 0) = 0，即 2 2 0 = 0 + 0 2 0成立，

即存在 0 ∈ ( 6 ,

4 )，使得 ( 0) ( 0)， ( 0)， ( 0)或 ( 0)， ( 0)， ( 0) ( 0)成等差数列，
所以公差的绝对值| | = 2 ( + 1 )2 90 4 8；
又 ∈ ( 1 , 2 20 2 2 )，所以| | ∈ (0, 2 )，
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2
即该等差数列公差的绝对值的取值范围为(0, 2 )．
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