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2024-2025 学年内蒙古呼和浩特二中高三（下）质检数学试卷
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.集合 = { | 1 ≤ ≤ 1}， = { | 1 ≤ ≤ 2 1}，若 ，则实数 的取值范围是( )
A. ≤ 1 B. < 1 C. 0 ≤ ≤ 1 D. 0 < < 1
2.已知复数 满足(1 )( 2 ) = 2 ，则 的虚部为( )
A. 1 B. C. 3 D. 3
3.函数 ( ) = ( 1 ) 的部分图象大致为( )
A. B.
C. D.
4.已知 ， ， ， ∈ ，且数列{ }是等比数列，则“ = ”是“ + = + ”的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分又不必要条件
5 1.已知定义在 上的函数 ( )满足 ( + 2) = ( )，当 ∈ (2,4)时， ( ) = 1 + log3 ，则 (99) =( )
A. 1 B. 2 C. 12 D. 2
6.已知函数 ( ) = 3 3 2 2 +1 + 2，且 ( ) + (3 4) > 2，则实数 的取值范围是( )
A. ( 4,1) B. ( ∞, 4) ∪ (1, + ∞)
C. ( ∞, 1) ∪ (4, + ∞) D. ( 1,4)
7.在正三棱台 1 1 1中， = 4， 1 1 = 2， 1 与平面

所成角为4，则该三棱台的体积为( )
A. 52 B. 283 3 C.
14
3 D.
7
3
8 1.已知定义在[ , ]上的函数 ( )满足 ( ) = (
1 1
)，且当 ∈ [ , 1]时， ( ) = + 1
1
，若方程 ( ) 2
= 0 有三个不同的实数根，则实数 的取值范围是( )
A. ( 1
1 1
3 , 1
1
] B. (
1
3 , 1
3
2 ] C. (1
, 1 1 32 2 ] D. (1 , 1 2 ]
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二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知 > 0， > 0， + = 1，则下列不等式正确的是( )
A. ≤ 14 B.
2 + 2 ≥ 12 C.
1
+
1
+1 > 2 D. + ≤ 1
10.设函数 ( ) = 3 2 + 1，则( )
A.当 = 1 时， ( )的极大值大于 0
B.当 ≥ 13时， ( )无极值点
C. ∈ ，使 ( )在 上是减函数
D. ∈ ，曲线 = ( )的对称中心的横坐标为定值
11.已知函数 ( )及其导函数 ′( )的定义域均为 ，记 ( ) = ′( )，且 ( ) ( ) = 2 ， ( ) + (2
) = 0，则( )
A. (0) = 1 B. = ( ) 的图象关于点(0,1)对称
C. ( ) + (2 ) = 0 D. ( ) =
2

=1 2 ( ∈ )
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12.已知向量 ， 的模相等且夹角为 60°，若向量 与向量 垂直，则实数 = ______．
13.若曲线 1： = 2与曲线 2： = ( > 0)存在公共切线，则 的取值范围是______．
14 ( ) = +1
2
.已知函数 有两个零点 、 ，且存在唯一的整数 0 ∈ ( , )，则实数 的取值范围是______．
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题 13 分)
在△ 中，内角 ， ， 所对的边分别为 ， ， .已知 ( + ) = ( 6 )．
(1)求角 的大小；
(2)若∠ 6 3的角平分线 与边 相交于点 ， = 5 ， = 7，求△ 的周长．
16.(本小题 15 分)
如图，在四棱锥 中，平面 ⊥平面 ， ⊥ ， // ，且 = 2 = 2 = 2 =
2 = 2．
(1)证明：平面 ⊥平面 ；
(2)求平面 与平面 夹角的正弦值．
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17.(本小题 15 分)
已知数列{ }满足： +2 + ( 1) = 3， 1 = 1， 2 = 2．
(1)记 = 2 1，求数列{ }的通项公式；
(2)记数列{ }的前 项和为 ，求 30．
18.(本小题 17 分)
2 2
已知双曲线 ： 2 2 = 1( > 0, > 0)的右顶点 (1,0)，斜率为 1 的直线交 于 、 两点，且 中点 (1,3)．
(1)求双曲线 的方程；
(2)证明：△ 为直角三角形；
(3)经过点 (0,2)且斜率不为零的直线 与双曲线 的两支分别交于点 ， .若点 是点 关于 轴的对称点，试
问，不论直线 的斜率如何变化，直线 是否过定点？若过定点，求出定点的坐标；若不过定点，说明理由．
19.(本小题 17 分)

已知函数 ( ) = ln 2 + ( 1)．
(1)判断曲线 = ( )是否具有对称性，若是，求出相应的对称轴或对称中心，并加以说明；
(2)若 ( )在定义域内单调递增，求 的取值范围；
2
(3) 2 +1若函数 ( ) = ( 2 +1 ) + +1有两个零点 1， 2，证明： 1 2 > ．
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参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.2
13.(0, 4 2 ]
14.[ 2 4 , 1)
15.解：(1)由 ( + ) = ( 6 )及正弦定理，
可得 ( + ) = ( 6 )，由 + + = ，
可得 ( + ) = = ( 6 )，
又因为 ∈ (0, )，所以 ≠ 0，
3 1
所以 = cos( 6 ) = 2 + 2，
整理得 = 3，
又 ∈ (0, )，所以 = 3；
(2)因为 △ = △ + △ ，
1 1
所以有2 = 2 sin
+ 1 6 2 sin 6，
由 = 6 3 63， = 5 ，可得 = 5 ( + )，
1 2+ 2 7 ( + )2 2 7
由余弦定理，有 cos 3 = 2 = 2 = 2 ，
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结合 = 65 ( + )，可得 + = 5(舍负)，
则△ 的周长为 5 + 7．
16.解：(1)证明：由题意 = 2 = 2 = 2 = 2，
则∠ = 60°，
因为 = 1， = 2，
所以∠ = 90°， ⊥ ，
因为平面 ⊥平面 ，平面 ∩平面 = ，
且 ⊥ ， 平面 ，
所以 ⊥平面 ，因为 平面 ，
所以 ⊥ ，且 ∩ = ， ， 平面 ，
所以 ⊥平面 ，又 平面 ，
所以平面 ⊥平面 ；
(2)如图，以 为原点， ， 所在直线分别为 轴， 轴，在平面 内过点 作平面 的垂线为轴，建
立空间直角坐标系，
则 (1,0,0)， (0,2,0)， (0, 1 , 3 )， 3 3 ，2 2 (0, 2 , 2 )
所以 = (1,0,0)， = (0, 1 , 3 ， 1 3 ，2 2 ) = (0, 2 , 2 )
= ( 1,2,0)，
设平面 的一个法向量 1 = ( , , )，
1 = = 0
则 ，令 = 1，得 = (0, 3, 1)，
1 =

2 +
3
2 = 0
1
设平面 的法向量 2 = ( , , )，
2 = + 2 = 0
则 3 ，令 = 1，得 2 = (2 3, 3, 1)， 2 = 2 + 2 = 0
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设平面 与平面 的夹角为 ，
= | 1 则 2| 2 1| 1| |
=
2| 2×4
= 4，
所以平面 与平面 夹角的正弦值为 1 cos2 = 15．4
17.解：(1)因为 +2 + ( 1) = 3，
所以当 = 1 时，有 3 1 = 3；当 = 3 时，有 5 3 = 3，……，
即 2 1 2 3 = 3，
因为 = 2 1，所以 1 = 3，
故数列{ }是首项为 1，公差为 3 的等差数列，
所以数列{ }的通项公式为 = 1 + ( 1) = 3 2．
(2)因为 +2 + ( 1) = 3，
所以当 = 4 时，有 6 + 4 = 3；当 = 8 时，有 10 + 8 = 3，……，
所以 30 = ( 1 + 3 + … + 29) + ( 2 + 4 + … + 30)
= ( 1 + 2 + … + 15) + [ 2 + ( 4 + 6) + … + ( 28 + 30)]
( 1 + 15) × 15= 2 + 2 + 3 × 7
= (1+43)×152 + 2 + 21 = 353．
18.解：(1)设 ( 1, 1)， ( 2, 2)，斜率为 1 的直线交 于 、 两点，且 中点 (1,3)．
则 1 + 2 = 2， 1 + 2 = 6，
∵ ， 两点在双曲线 上，
2 21
2
1
∴
2 = 1① 2 2
，由① ②得 1 2
2 2
1 2
2 2 2 2 = 0， 2 2 2 2 = 1

②
2 2 2 2
即 1 22 2 = 2，∴
( 1+ 2)( 1 2)
1 2 ( 1+ 2)( 1 2)
= 2，
2 2
∴ = ，即 2 1 3 =
2
2，∴ = 3
2，

又∵ = 1，∴ 2 = 3，
2
∴双曲线 的方程为： 2 ．3 = 1
(2)由已知可得，直线 的方程为： 3 = 1 ( 1)，即 = + 2，
= + 2
联立 23 2 2 3 = 0 2 4 7 = 0， = 16 + 56 = 72 > 0，
则 1 + 2 = 2，
7
1 2 = 2，
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∵ = ( 1 1, 1) ( 2 1, 2) = ( 1 1)( 2 1) + 1 2
= ( 1 1)( 2 1) + ( 1 + 2)( 2 + 2) = 2 1 2 + ( 1 + 2) + 5
= 2 × ( 72 ) + 2 + 5 = 0，
∴ ⊥ ，∴△ 为直角三角形；
(3)经过点 (0,2)且斜率不为零的直线 与双曲线 的两支分别交于点 ， .设 方程为 = + 2， ≠ 0，
联立直线 与 的方程，消去 得(3 2) 2 4 7 = 0，
因为直线 与 的两支分别交于点 ， ，
设 ( 1, 1)， ( 2, 2)，
3 2 > 0
所以 2 = 4(21 3 2) > 0，得 0 < < 3，
则 ( 2, 2)，
4
1 + 2 = 3 2， 1 2 =
7
3 2，
= 1 2因为 ，所以直线 的方程为 1 =
1 2
1+ 2 +
( 1)，
1 2
由对称性可知，若直线 过定点，则定点在 轴上，
在直线 的方程中，令 = 0，
= 1 2 1 1+ 2 1 1 1 1 2得 1 1 1+
=
2 1+ 2 1+ 2
= 1 2+ 2 1 1( 2+2)+ 2( 1+2) 1+
=
2 1+ 2
7
= 2 1 2+2( 1+ 2) 2

= 1 2 + 2 = 2 3 2 + + 4 + 2 =
3
2，1 2 1 2
3 2
直线 3过定点，定点坐标为(0, 2 )．
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19. 解：(1)令2 > 0，
此时 (2 ) > 0，
解得 0 < < 2，
所以 ( )的定义域为(0,2)，
因为 ( ) + (2 ) = ln 2 2 + ( 1) + ln + (1 ) = 0，
所以 ( )具有中心对称，对称中心为点(1,0)，
显然 ( )不为常函数，
所以 ( )不具有轴对称，
所以 = ( )具有中心对称，对称中心为点(1,0)；
(2) 因为 ( ) = ln 2 + ( 1) = ln(2 ) + ( 1)，
可得 ′( ) = 1 +
1 2
2 + = 2 2 + ，
若 ( )在定义域内单调递增，
此时 ′( ) ≥ 0 在(0,2)上恒成立，
当 ∈ (0,2)时，0 < 2 2 ≤ 1，当且仅当 = 1 时，等号成立，
所以 ′( ) = 22 2 + ≥ 2 + ≥ 0，
解得 ≥ 2，
则 的取值范围为[ 2, + ∞)；
2 2 2
(3) 2 +1 2 证明：易知 ( ) = ( +1 ) +
+1
+1 = ln 2 + ( +1 1) +
+1 = + ，
2 +1 +1
0 < 2 令 +1 < 2，
解得 > 0，
此时 ( ) = + ，函数定义域为(0, + ∞)，
令 ( ) = 0，
= 解得 ，

设 ( ) = ，函数定义域为(0, + ∞)，
1
可得 ′( ) = 2 ，
当 0 < < 时， ′( ) > 0， ( )单调递增；
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当 > 时， ′( ) < 0， ( )单调递减，
所以 ( ) ≤ ( ) = 1 ，
当 → 0 时， ( ) → ∞；当 →+∞时， ( ) → 0，
若函数 ( )有两个零点 1， 2，
此时直线 = 与函数 = ( )的图象有两个交点，
则 0 < < 1 ，
即 1 < < 0，
+ = 0
又因为 1 1 2 + = 0
，
2
= 2 两式相减得 1 2
，
1
( 2+1)ln 2
两式相加得 + = ( + ) = ( 1+ 2)( 2 1) 1 11 2 1 2 2
= ，
1 2 11
设 0 < 1 < 2，
= 令 2 > 1，1
此时 1 + 2 =
( +1)
1 ，
因为 21 2 > ，
+ = ( +1) 所以 1 2 1 > 2，
即( + 1) 2( 1) > 0， > 1，
设 ( ) = ( + 1) 2( 1)，函数定义域为(1, + ∞)，
可得 ′( ) = + +1 2 = +
1
1，
设 ( ) = ′( )，函数定义域为(1, + ∞)，
( ) = 1 1 = 1可得 ′ 2 2 > 0，
所以 ( )在(1, + ∞)上单调递增，
此时 ( ) > (1) = 0，
即 ′( ) > 0， ( )单调递增，
所以 ( ) > (1) = 0，
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即( + 1) 2( 1) > 0， > 1．
故 21 2 > ．
第 10页，共 10页

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