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专题十二二次函数-2025届中考数学一轮复习收官测试卷
【满分120分 考试时间120分钟】
一、选择题(本大题共12小题，每小题4分，共48分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1.二次函数的顶点坐标是( )
A. B. C. D.
2.将先向上平移2个单位，再向左平移3个单位，则所得解析式是( )
A. B. C. D.
3.已知抛物线过点,,,则,,的大小关系是( )
A. B. C. D.
4.共享单车为市民出行带来了方便,某单车公司第一个月投放a辆单车,计划第三个月投放单车y辆,设该公司第二、三两个月投放单车数量的月平均增长率为x,那么y与x的函数关系是( )
A. B.
C. D.
5.一次函数与二次函数在同一平面直角坐标系的图象可能是( )
A. B.
C. D.
6.将抛物线绕原点O旋转,则旋转后的抛物线的解析式为( )
A. B. C. D.
7.如图1,这是某公园一座抛物线型拱桥,按图2所示建立平面直角坐标系,得到函数,在正常水位时,水面宽为30米,当水位上升7米时,水面宽为( )
A.5米 B.米 C.10米 D.米
8.在平面直角坐标系中,二次函数(m为常数)的图像经过点,其对称轴在y轴左侧,则该二次函数有( )
A.最大值5 B.最大值 C.最小值5 D.最小值
9.二次函数的部分图象如图所示,下列说法正确的是( )
A. B. C. D.
10.如图,是等腰直角三角形,,,点P是边上一动点,沿的路径移动,过点P作于点D,设,的面积为y,则下列能大致反映y与x函数关系的图象是( )
A. B. C. D.
11.如图，经过的直线与抛物线交于B，C两点，且，则直线的解析式是( )
A. B. C. D.
12.将抛物线中轴上方的部分沿轴翻折到轴下方,图像的其余部分不变,得到的新图像与直线有4个交点,则m的取值范围是( )
A. B. C. D.
二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分.请把答案填在题中横线上）
13.二次函数的最小值是______.
14.抛物线的部分图象如图所示,则当时,x的取值范围是______.
15.如图,水池中心点O处竖直安装一水管,水管喷头喷出抛物线形水柱,喷头上下移动时,抛物线形水柱随之竖直上下平移,水柱落点与点O在同一水平面.安装师傅调试发现,喷头高2.5m时,水柱落点距O点2.5m；喷头高4m时,水柱落点距O点3m.那么喷头高_______________m时,水柱落点距O点4m.
16.二次函数的部分图象如图所示,图象过点,对称轴为直线,下列结论：①,②,③,④,⑤若点、点、点在该函数图象上,则.其中正确的结论是______.
17.如图,已知抛物线,线段,若抛物线a和线段b有两个交点,且两个交点均为整点(横、纵坐标均为整数的点),则整数m的值为______.
三、解答题（本大题共6小题，共52分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤）
18.（6分）为了丰富大庆市民冬季业余生活,12月28日大庆冰河世纪猛犸乐园欢乐开园.园区发行一批打卡纪念册,每本进价为20元,在试销售过程中发现当销售单价为25元时,每日可销售30本,单价每提高1元,日销售量就减少2本.出于合理营销,要求每本纪念册的销售单价不低于25元且不高于30元,解答下列问题：
(1)若设每本纪念册提价x元,则每本利润( )元,每天可售出( )本；(用含x代数式表示)
(2)若每天售出纪念册的利润为y元,将单价定为多少元时,才能使销售该纪念册所获利润最大？最大利润是多少？
19.（6分）如图，抛物线与x轴交于网点，
(1)求该抛物线的解析式；
(2)设抛物线上有一个动点P，当点P满足时，请直接写出此时点的坐标.

20.（8分）如图,抛物线与直线的交点为点和点B.
(1)求a、b的值及点B的坐标；
(2)连接、,求的面积是多少？
(3)直接写出x为何值时,.
21.（10分）每年5月的第三个星期日为全国助残日,今年的主题是“科技助残,共享美好生活”,康宁公司新研发了一批便携式轮椅计划在该月销售,根据市场调查,每辆轮椅盈利200元时,每天可售出60辆；单价每降低10元,每天可多售出4辆.公司决定在成本不变的情况下降价销售,但每辆轮椅的利润不低于180元,设每辆轮椅降价x元,每天的销售利润为y元.
(1)求y与x的函数关系式；每辆轮椅降价多少元时,每天的销售利润最大？最大利润为多少元？
(2)全国助残日当天,公司共获得销售利润12160元,请问这天售出了多少辆轮椅？
22.（10分）如图,已知抛物线,与x轴交于A,B两点(点A在点B的左侧),与y轴交于点C,且,点.
(1)求抛物线L的函数表达式；
(2)若抛物线L的顶点为D,抛物线的对称轴交直线于点E,点P为直线右侧抛物线上一点,点Q在直线上,是否存在以点D,E,P,Q为顶点的四边形是平行四边形,若存在,求出点Q的坐标,若不存在,请说明理由.
23.（12分）在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于，B两点，与y轴交于点C，对称轴为.
(1)求抛物线的函数表达式；
(2)如图1，连接，点D在直线上方的抛物线上，过点D作的垂线交于点E，作y轴的平行线交于点F.若，求线段的长；
(3)直线与抛物线交于P，Q两点（点P在点Q左侧），直线与直线的交点为S，的面积是否为定值？若是，请求出此定值；若不是，请说明理由.
答案以及解析
1.答案：A
解析：∵二次函数顶点式的顶点坐标为,∴的顶点坐标是,故选：A.
2.答案：B
解析:将先向上平移2个单位，再向左平移3个单位，则所得解析式是：，
故选：B.
3.答案：B
解析：由二次函数,得它的对称轴为直线,开口向上,
∴图象上的点离对称轴越远则y的值越大,
∵,,,
∴,
∴,
故选：B.
4.答案：B
解析：∵该公司第二、三两个月投放共享单车数量的月平均增长率为x,
∴第二个月投放共享单车辆,第三个月投放共享单车辆,
∴y与x之间的函数表达式是.
故选：B.
5.答案：A
解析：A、由二次函数知、,由一次函数知、,故该选项正确；
B、由二次函数知、,由一次函数知、,故该选项错误；
C、由二次函数知、,由一次函数知、,故该选项错误；
D、由二次函数知、,由一次函数知、,故该选项错误；
故选：A.
6.答案：D
解析：∵抛物线绕原点O旋转,
∴旋转后的抛物线与原抛物线关于原点对称,
∴旋转后的抛物线：,
即.
故选：D.
7.答案：D
解析：∵米,∴当时,.
当水位上升7米时,,把代入得,,
解得,
此时水面宽米.
故选：D.
8.答案：D
解析：将代入二次函数解析式得：,
解得：,,
∵二次函数,对称轴在轴左侧,即,
∴,
∴,
∴,
∴当时,二次函数有最小值,最小值为,
故选：D.
9.答案：D
解析：由图象得,,,
,故选项A错误；
∵二次函数图象与x轴有两个交点,
,故选项B错误；
∵抛物线的对称轴为直线,
∴当时,,
,故选项C错误：
∵抛物线的对称轴为直线,
∴,
,
,故选项D正确,
故选：D.
10.答案：B
解析：过A点作于H,
∵是等腰直角三角形,
∴,,
当时,如图1,∵,
∴,
∴；
当时,如图2,∵,
∴,
∴,
故选B.
11.答案：D
解析：设直线的解析式为，
把代入得，
，
直线的解析式为，
联立得，
整理得，
由根与系数的关系得，，
，
，即，
，，
整理得，
解得或（舍去），
，
直线的解析式是，
故选：D.
12.答案：C
解析：对抛物线,
当时,得：,
解得：或,
∴抛物线与轴的交点为、,
∵将抛物线中轴上方的部分沿轴翻折到轴下方,图像的其余部分不变,
∴新图像中当时,解析式为,即,如图,
当直线经过点时,此时直线与新函数图像有3个交点,
把代入直线,解得：,
将直线向下平移时,有4个交点,
当与直线有一个交点时,此时直线与新函数图像有3个交点,
整理得：,
∴,
解得：,
综上所述,新图像与直线有4个交点时,m的取值范围是.
故选：C.
13.答案：1
解析：∵,
∴当时,函数有最小值,为.
故答案为：1.
14.答案：/
解析：抛物线与x轴的一个交点坐标为,对称轴是直线,
抛物线与x轴的另一个交点坐标为,
抛物线开口向下,
当时,.
故答案为：.
15.答案：8
解析：由题意可知,在调整喷头高度的过程中,水柱的形状不发生变化,
当喷头高2.5m时,可设,
将代入解析式得出①,
喷头高4m时,可设,
将(3,0)代入解析式得②,
联立可求出,,
设喷头高为h时,水柱落点距O点4m,
∴此时的解析式为,
将代入可得,
解得.
故答案为：8.
16.答案：①②/②①
解析：①由二次函数的部分图象可知,抛物线开口向下,
∴；故①正确,符合题意；
②抛物线与y轴交于正半轴,
∴；故②正确,符合题意；
③∵对称轴为直线,
,即,
∴,故③错误,不符合题意；
④∵图象过点,对称轴为直线,
∴当时,,
即,故④错误,不符合题意；
⑤∵点、点、点在该函数图象上,对称轴为直线,且开口向下,
∴A、B、C到对称轴的距离分别为5,,,
,故⑤错误,不符合题意,
综上所述,符合题意的有：①②.
故答案为：①②.
17.答案：2或4
解析：抛物线a和线段b有两个交点,
联立可得,,
,
当时,有一个交点,解得；当时,解得；
线段,
当时,,
若抛物线过时,将代入抛物线解析式得；若时,抛物线沿着y轴向上平移,与线段只有一个交点,
满足题意的m取值范围是,
为整数,
的值为2或3或4.
当时,抛物线与线段的交点坐标为,,符合要求；
当时,抛物线与线段的交点不是整点,不符合要求；
当时,抛物线与线段的交点坐标为,,符合要求；
的值为2或4,
故答案为：2或4.
18.答案：(1),
(2)单价定为30元时,销售该纪念册所获利润最大,最大利润是200元
解析：(1)根据题意：每本利润元,每天可售出本；
(2)根据题意：,
∵,且,
当时,y最大,此时,
此时,单价定为(元)
答：单价定为30元时,销售该纪念册所获利润最大,最大利润是200元.
19.答案：(1)；(2)点P的坐标为或或..
解析:(1)∵抛物线与轴交于两点，
∴，解得：，
∴二次函数解析式是；
设点P的坐标为，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
把代入解析式，得，
解得：，
把代入解析式，得，
解得：，
∴点P的坐标为或或.
20.答案：(1),,
(2)3
(3)或
解析：(1)将代入得：,
∴,
将代入得：,
解得：,
∴直线解析式为,
联立,
解得：或,
∴；
(2)如图：令直线交y轴于C,
在中,令,则,即,
∴,
∴；
(3)由(1)可得：,,
由图象可得：当或时,.
21.答案：(1),每辆轮椅降价20元时,每天的利润最大,为元
(2)这天售出了64辆轮椅
解析：(1)由题意,得：；
∵每辆轮椅的利润不低于180元,
∴,
∴,
∵,
∴当时,y随x的增大而增大,
∴当时,每天的利润最大,为元；
答：每辆轮椅降价20元时,每天的利润最大,为元；
(2)当时,,
解得：,(不合题意,舍去)；
∴(辆)；
答：这天售出了64辆轮椅.
22.答案：(1)抛物线L的函数表达式为
(2)存在,点Q的坐标为或或
解析：(1)∵,
∴,
∵,
∴,
∴,,
∵抛物线,与x轴交于A,B两点与y轴交于点C,
∴,解得：,
∴抛物线L的函数表达式为；
(2)存在点Q,理由如下,
∵,,
∴设直线解析式为,
∴,解得：,
∴直线解析式为,
∵点Q在直线上,
∴设,
∵点P为直线右侧抛物线上一点,
设,
由抛物线L的函数表达式为,
∴,
∴当时,,
∴,
当为边时,四边形为平行四边形时,如图,
由中点坐标可得：,
解得：或(舍去),
∴点；
当为边时,四边形为平行四边形时,如图,
由中点坐标可得：,
解得：或(舍去),
∴点；
当为对角线时,四边形为平行四边形时,如图,
由中点坐标可得：,
解得：或(舍去),
∴点,此时与点Q重合；
综上可知：点Q的坐标为或或.
23.答案：(1)
(2)
(3)的面积是定值，的面积为4
解析：(1)由题意得： ，
解得： ，
则抛物线的表达式为：；
(2)由抛物线的表达式知，点，
设直线的表达式为，代入得：
，解得
则直线的表达式为：
设点 则点 ，
则 ，
由题意知，为等腰直角三角形，
∴，则，
由直线的表达式知，其和轴的夹角为，
则 ，
同理可得：，
，
则
解得： (舍去)或3，
当 时，则 ；
(3)的面积是定值， 理由：
设点的坐标分别为： ，
由点的坐标得，直线的表达式中的值为：
则
由点的坐标得，直线的表达式为：，
同理可得，的表达式为：，
联立上述两式得：，
解得： ，
，
则，
则的面积为定值.

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