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专题五一次方程（组）-2025届中考数学一轮复习收官测试卷
【满分120分 考试时间120分钟】
一、选择题(本大题共12小题，每小题4分，共48分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1.若是关于x、y的二元一次方程的解,则a的值为( )
A.0 B.1 C.2 D.无法确定
2.已知是方程的解,则m的值是( )
A.3 B.1 C. D.
3.下列运用等式的基本性质变形错误的是( )
A.如果,那么 B.如果,那么
C.如果,那么 D.如果,,那么
4.在平面直角坐标系中,已知,则点位于( )
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
5.已知关于x,y的二元一次方程组的解满足,则k的值为( )
A.1 B.5 C.7 D.8
6.某种仪器由2个A部件和1个B部件配套构成，每个工人每天可以加工A部件60个或者加工B部件50个，现有工人72名，应怎样安排人力，才能使每天生产的A部件和B部件配套？设安排x个人生产A部件，y个人生产B部件，则可列方程组为( )
A. B.
C. D.
7.我国古代数学名著《九章算术》中有这样一道题：今有善田一亩,价三百；恶田七亩,价五百.今并买一顷,价钱一万.问善、恶各几何？意思是：今有好田1亩价值钱,坏田7亩价值钱.今用钱购入好、坏田共1顷(1顷亩).问好田、坏田各有多少亩？如果设好田为x亩,坏田为y亩,那么可列方程组为( )
A. B.
C. D.
8.若不论k取什么数，关于x的方程（a、b是常数）的解总是，则的值是( )
A. B. C. D.
9.甲、乙两人完成一项工作，甲先做了3天，然后乙加入，合作完成剩下的工作.设工作总量为1，工作进度如下表，则完成这项工作共需( )
天数 第3天 第5天
工作进度
A.9天 B.10天 C.11天 D.12天
10.关于x的方程的解是非负整数,且关于y的多项式是四次多项式,则所有满足条件的正整数a的和是( )
A.3 B.4 C.5 D.6
11.宋代数学家杨辉称“幻方”为“纵横图”,传说最早出现的幻方是夏禹时代的“洛书”,杨辉的著作《续古摘奇算法》中总结了“洛书”的构造.在如图所示的三阶幻方中,每行、每列、每条对角线上的三个数之和都相等,则“■”位置的数是( )
A.4 B.5 C.6 D.7
12.已知关于x，y的方程组，以下结论：
①当时，方程组的解也是方程的解；
②存在实数k，使得；
③不论k取什么实数，的值始终不变；
④若则.
其中正确的是( )
A.①②③ B.①②④ C.①③④ D.①④
二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分.请把答案填在题中横线上）
13.已知方程组和方程组有相同的解，则m的值是__________.
14.已知关于x，y的二元一次方程组的解满足，则m可取的最大整数值为__________.
15.我国古代数学著作《九章算术》中有这样一个问题：“今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四，问人数、物价各几何？”意思是“几个人一起去购买某物品，每人出8钱，则多出3钱；每人出7钱，则还差4钱.问人数、物品的价格分别是多少？”该问题中的人数为__________.
16.我国古代天文学和数学著作《周髀算经》中记录的二十四节气如图所示,从夏至到冬至“晷长”逐渐变大,相邻两个节气“晷长”变化的量均相同.若秋分的“晷长”是7.5尺,霜降的“晷长”是9.5尺,则小雪的“晷长”是______尺.
17.定义，如：.若，，且关于x的方程无解，则实数k的值为____________.
三、解答题（本大题共6小题，共52分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤）
18.（6分）解方程：
(1)；
(2).
19.（6分）解方程组：
(1)；
(2).
20.（8分）春节期间,电影《哪吒之魔童闹海》在某影院推出了、和三种放映版式.小颖调查了解到多数人选择版或版,在该影院购买某时段的《哪吒之魔童闹海》电影票,5张电影票的费用和4张电影票的费用一样；2张电影票和1张电影票共需130元.请你帮助小颖求出该影院《哪吒之魔童闹海》该时段的版和版的电影票单价.
21.（10分）已知A，B两市之间开通了“复兴号”与“和谐号”高铁列车.某日，“和谐号”列车以的速度匀速从A市驶向B市，后“复兴号”列车以的速度也匀速从A市驶向B市.
（1）“复兴号”列车出发多少小时时，两列车的车头相距？
（2）若“复兴号”与“和谐号”列车的车长都为，从“复兴号”列车的车头追上“和谐号”列车的车尾开始计时，直到“复兴号”列车刚好完全超过“和谐号”列车为止，共持续了多长时间？
22.（10分）某公司后勤部准备去超市购买牛奶和咖啡若干箱，现有两种不同的购买方案，如下表：
牛奶（箱） 咖啡（箱） 金额（元）
方案一 20 10 1100
方案二 25 20 1750
（1）求牛奶与咖啡每箱的价格分别为多少元.
（2）超市中该款咖啡和牛奶有部分因保质期临近，进行打六折的促销活动，后勤部根据需要选择原价或打折的咖啡和牛奶，此次购买共花费了1200元，其中购买打折的牛奶箱数是所有牛奶、咖啡的总箱数的，则此次按原价购买的咖啡有_________箱.
23.（12分）已知关于x，y的方程组（n是常数）.
（1）当时，方程组可化为.
①请直接写出方程的所有非负整数解.
②若该方程组的解也满足方程，求m的值.
（2）当时，如果方程组有整数解，求整数m的值.
答案以及解析
1.答案：B
解析：把代入方程,得,
解得：.
故选：B.
2.答案：D
解析：把代入得：,解得：,
故选：D.
3.答案：C
解析：根据等式的基本性质1,将的两边同时加c,得,正确,不符合题意；
根据等式的基本性质2,将的两边同时乘c,得,正确,不符合题意；
根据等式的基本性质2,当时,将的两边同时除以c,得,不正确,符合题意；
如果,,根据等量代换得,,正确,不符合题意；故选：C.
4.答案：B
解析：,,
,
解得：,
位于第二象限,
故选：B.
5.答案：C
解析：,
①+②得：,
∴,
∵,
∴,
∴,
故选：C.
6.答案：D
解析：设安排x个人生产A部件，y个人生产B部件，
由题意可得：.
故选：D.
7.答案：D
解析：设好田为x亩,坏田为y亩,
由题意可得,,
故选：D.
8.答案：C
解析：不论k取什么数，关于x的方程（a、b是常数）的解总是，
，
，
，
，
，
，
故选：C.
9.答案：A
解析：从题表中可见甲做3天完成，所以每天完成，所以甲做5天完成的工作量为，乙做2天完成的工作量为，所以乙每天完成的工作量为.设完成这项工作共需要x天，则甲做了x天，乙做了天.
依题意，得，解得.
10.答案：A
解析：,
,
,
,
,
∵关于x的方程的解是非负整数,
∴,∴,
∵关于y的多项式是四次多项式,
∴所有满足条件的正整数a的值为1和2,
∴所有满足条件的正整数a的和是,
故选：A.
11.答案：D
解析：如图,标记幻方中的相关数字,
a 3
1 m 17
b x
由题意得：,,
解得,,
由,得：,
解得,
即“■”位置的数是7,
故选D.
12.答案：A
解析：①当时，原方程组可整理得：，
解得：，
把代入得：
，故①正确，
②解方程组，得：，
若，
则，
解得：，
即存在实数k，使得，故②正确；
③解方程组，得：，
，
不论k取什么实数，的值始终不变，故③正确；
④解方程组，得：，
若，
则，
解得：，故④错误；
综上分析可知，正确的是①②③，故A正确.
故选：A.
13.答案：5
解析：由题意得解得代入，得.
14.答案：
解析：由得.
，，，可取的最大整数值为.故答案为.
15.答案：7
解析：设该问题中的人数为x，物品的价格为y钱.根据题意得
解得该问题中的人数为7.故答案为7.
16.答案：
解析：设小雪的“晷长”是x尺,
相邻两个节气“晷长”变化的量均相同,
,解得：,
小雪的“晷长”是尺,
故答案为：.
17.答案：2或4/4或2
解析：根据题意得，
，
解得，
，
，
，
整理得：，
整理得：，
关于x的方程无解，
当时，原方程无解，
即，
当，时是增根，原方程无解，
即或，
即，
综上实数k的值为2或4.
故答案为：2或4.
18.答案：(1)
(2)
解析：(1),
去括号得：,
移项得：,
合并同类项得：,
系数化1得：；
(2),
去分母得：,
去括号得：,
移项得：,
合并同类项得：,
系数化1得：.
19.答案：(1)
(2)
解析：(1),
将①代入②得,,
解得：,
将代入①得：,
原方程组的解为：；
(2),
,可得,
解得,
把代入①,可得：,
解得,
原方程组的解是.
20.答案：3D版电影票单价为40元,IMAX版电影票单价为50元
解析：根据题意,得：
解得：
答：设该影院《哪吒之魔童闹海》该时段版电影票单价为40元,版电影票单价为50元.
21.答案：（1）或
（2）
解析：（1）设“复兴号”列车出发时，两列车的车头相距.
①当“复兴号”追上“和谐号”前，两列车的车头相距时，
由题意，得，解得；
②当“复兴号”追上“和谐号”后，两列车的车头相距时，
由题意，得，解得.
答：“复兴号”列车出发或时，两列车的车头相距.
（2）设共持续了.
由题意，得，解得.
答：共持续了.
22.答案：（1）牛奶与咖啡每箱的价格分别为30元、50元
（2）6
解析：（1）设牛奶每箱的价格为m元，咖啡每箱的价格为n元.
由题意得解得
答：牛奶与咖啡每箱的价格分别为30元、50元.
（2）设购买的牛奶与咖啡总箱数为a，则购买打折的牛奶箱数为，
打折的每箱牛奶价格为（元），
打折的每箱咖啡价格为（元），
即打折的每箱咖啡价格与每箱牛奶原价相同.
设购买原价咖啡b箱，则购买打折的咖啡与原价牛奶共箱.
由题意得，
整理得，.
a，b均为正整数，或
，，，
即此次按原价购买的咖啡有6箱，故答案为6.
23.答案：（1）①和
②
（2）或0
解析：（1）①方程的所有非负整数解为和
②根据题意得得，
把代入②得，方程组的解是
将代入中，得.
（2）当时，方程组可化为得，③
得，整理得.
方程组有整数解，且m为整数，或.
当时，，此时方程组的解是
当时，，此时方程组的解是（舍去）；
当时，，此时方程组的解是
当时，，此时方程组的解是（舍去）.
综上，整数m的值为或0.

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