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2024-2025 学年甘肃省武威六中高三（下）模拟考试
数学试卷
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合 = { 2, 1,0,1,2}， = { | 2 6 0}，则 ∩ =( )
A. { 2, 1,0,1} B. {0,1,2} C. { 2} D. {2}
2 2
2 .椭圆18+ 16 = 1 的离心率为( )
A. 2 23 B. 4 C.
1
3 D.
1
4
3. ：一元二次方程 2 + + = 0 有实数根， ： 2 4 ≥ 0( ≠ 0)， 是 的( )条件
A.充分不必要 B.必要不充分 C.充分必要 D.既不充分也不必要
4.已知 2 = 3，2 = 1，则 cos(2 2 ) =( )
A. 1 B. 7 1 158 8 C. 4 D. 4
5.若正数 1 1， 满足 4 + = 4，则 + 的最小值为( )
A. 2 B. 94 C. 3 D.
8
3
6.箕舌线是平面曲线的一种，因其状如舌而得名.若箕舌线 = ( )的部分图象如图所示，则 ( )的解析式
可能为( )
A. ( ) = 4 8| |+2 B. ( ) = 2+4
C. ( ) = 4 2 D. ( ) = 2 3+1
7 .已知等差数列{ }的前 项和为 ，对任意的 ∈ ，均有 5 ≤ 成立，则 8 的值的取值范围是( )6
A. (3, + ∞) B. [3, + ∞)
C. ( ∞, 3) ∪ [3，+∞) D. ( ∞, 3] ∪ [3, + ∞)
8.在三棱锥 中， = = ， ， ， 两两垂直，且该三棱锥外接球的表面积为 9 ，则该
三棱锥的体积为( )
A. 24 B.
3
2 C. 3 D.
3 3
2
二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9 1.已知 <
1
< 0，则下列不等式正确的是( )
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A. 1 1 + < B. | | + > 0 C.
2 > 2 D. 1 1 >
10.如图，正三棱柱 1 1 1的各棱长均为 1，点 是棱 的中点，点 满足
1 = 1 1( ∈ [0,1])，点 为 的中点，点 是棱 上靠近点 的四等分点，则( )
A.三棱锥 1 的体积为定值
B. 1 + 的最小值为 3 + 1
C. //平面
D. = 1当 2时，过点 ， ， 的平面截正三棱柱 1 1
3
1所得图形的面积为 6
11.已知函数 ( )的定义域为( ∞,2) ∪ (2, + ∞)，其导函数为 ′( )，且 ( + 1) = ( + 3)， (4) = 2 4，
当 ∈ (2, + ∞)时，( 2) ′( ) ( ) = ( 2)3 ，则( )
A. ( )的图象关于直线 = 2 对称 B. ( )在(2, + ∞)上单调递增
C. 5 52 是 ( )的一个极小值点 D. (| | + 4) > (1)
三、填空题：本题共 3 小题，共 15 分。
12.复数| 5 2 | + 2 的实部与虚部之和为______．
13.我国古代名著《张邱建算经》中记载：“今有方锥，下广二丈，高三丈.欲斩末为方亭，令上方六尺.问：
斩高几何？”大致意思是：“有一个正四棱锥的下底面边长为二丈，高为三丈，现从上面截去一段，使之
成为正四棱台，且正四棱台的上底面边长为六尺，则截去的正四棱锥的高是多少？”按照上述方法，截得
的该正四棱台的体积为______立方尺(注：1 丈= 10 尺)．
14.在平面图形中，与某点连接的线段的数量，称为该点的度数.在平面内有 ， ， ， ， ， ， 共 7 个
点(任意三点均不共线)，若将这 7 个点用 21 条线段两两相连，则 的度数为______；若将这 7 个点用 17
条线段两两相连，且这 7 个点的度数均大于 2，则不同的图形的数量为______．
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题 13 分)
在△ 中，内角 ， ， 对应的边分别是 ， ， ，且 + = 3 ．
(1)求 ；
(2)若△ 的面积是 2， = 2，求△ 的周长．
16.(本小题 15 分)
随着 技术的不断发展，人工智能科技在越来越多的领域发挥着重要的作用.某校在寒假里给学生推荐了一
套智能辅导系统，学生可自愿选择是否使用该系统完成假期的作业.开学时进行了入学测试，随机抽取了 100
名学生统计得到如下列联表：
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使用智能辅导系统 未使用智能辅导系统 合计
入学测试成绩优秀 20 20 40
入学测试成绩不优秀 40 20 60
合计 60 40 100
(1)判断是否有 95%的把握认为入学测试成绩优秀与使用智能辅导系统相关；
(2)若把这 100 名学生按照入学测试成绩是否优秀进行分层随机抽样，从中抽取 5 人，再从这 5 人中随机抽
取 2 人，记抽取的 2 人中入学测试成绩优秀的人数为 ，求 的分布列及数学期望 ( )．
2 = ( )
2
附： ( + )( + )( + )( + )，其中 = + + + ．
( 2 ≥ 0) 0.10 0.05 0.025 0.010
0 2.706 3.841 5.024 6.635
17.(本小题 15 分)
如图，在三棱锥 中， ⊥平面 ， = = 2， = = 5．
(1)求点 到平面 的距离；
(2)设点 为线段 的中点，求二面角 的正弦值．
18.(本小题 17 分)
已知函数 ( ) = 2 2 1．
(1)若曲线 = ( )在 = 2 处的切线的斜率为 3，求 ．
(2)已知 ( )恰有两个零点 1， 2( 1 < 2).
①求 的取值范围；
1 + 2 2 ②证明： 2 2
<
1
．
19.(本小题 17 分)
设数列{ }的前 项和为 ，已知 1 = 1, +1 2 = 1( ∈ )．
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(1)求数列{ }的通项公式；
(2)若数列{ } 4 4 满足 = 2 ( +1 1)( 1)
，数列{ }的前 项和为 , ∈ ，都有 < ，求 的取
+2 3
值范围．
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参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.5
13.3892
14.6 5880
15.解：(1)因为 + = 3 ，
由正弦定理得： + = 3 ，
所以 sin( + ) = 3 ，
因为 + = ，所以 sin( + ) = ≠ 0，
所以 = 13；
(2)由(1) 1 2 2知， = 3，且 ∈ (0, )，所以 = 3 ，
因为 1 1△ = 2 ，所以 2 = 2 ，则 = 3，
由余弦定理得： 2 = 2 + 2 2 4 = 2 + 2 2，即 3 = ( + )
2 83 ，
所以 + = 2 3，
所以△ 的周长是 + + = 2 3 + 2．
2
16.解：(1) ∵ 2 = 100×(20×20 20×40)40×60×40×60
= 259 ≈ 2.778 < 3.841，
∴没有 95%的把握认为入学测试成绩优秀与使用智能辅导系统相关；
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(2)由题意可知，运用分层抽样抽取 5 人，
40
则成绩优秀的人数为 5 × 40+60 = 2，
5 × 60成绩不优秀的人数为 40+60 = 3，
由题意可知， 所有可能取值为 0，1，2，
2
( = 0) = 3 = 3
25 10
，
1 1
( = 1) = 3 2 = 3
2
，
5 5
2
( = 2) = 2 = 1，
25 10
故 的分布列为：
0 1 2
3 3 1
10 5 10
∴ ( ) = 0 × 310 + 1 ×
3
5+ 2 ×
1 4
10 = 5．
17.解：(1)因为 ⊥平面 ，又 平面 ， 平面 ，
所以 ⊥ ， ⊥ ，
又 = 2, = 5，由勾股定理得 = 22 + ( 5)2 = 3，
又 = 2, = 5, = 3，
所以 2 + 2 = 2，故 BC⊥ ，
因为 ⊥ ， ⊥ ， ∩ = ， ， 平面 ，
所以 ⊥平面 ，则 为点 到平面 的距离，
故点 到平面 的距离为 2．
(2)在平面 内过点 作 的平行线 ，则 ⊥ ， ⊥ ， ⊥ ，
以 为坐标原点，以 所在直线为 轴， 所在直线为 轴， 所在直线为 轴建立空间直角坐标系，
由勾股定理得： = 2 2 = 5 4 = 1，
则 (1,0,0), (1,2,0), (0,0,2), ( 12 , 1,1)，
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= ( 1 , 1,1), 2
= (1,0,0), = (0,2,0)，
设平面 的法向量为 = ( 1, 1, 1)，
1
则 ⊥ + + = 0 ，即
= 0
，即
2 1 1 1 ，
⊥ = 0 1 = 0
取 1 = 1，则 1 = 1, = (0,1, 1)，
设平面 的法向量为 = ( 2, 2, 2)，

1
则 ⊥ = 0 + ，即 ，即 2 2 2 + 2 = 0 ⊥
，
= 0 2 = 0
取 2 = 2，则 2 = 1, = (2,0,1)，
所以 cos < , >= 1 10| || | = 2 ，× 5 = 10
记二面角 的大小为 ，
则 = 1 1 = 3 10，10 10
故二面角 的正弦值为3 10．
10
18.解：(1) 2由题意得 ′( ) = 2 ，
因为曲线 = ( )在 = 2 处的切线的斜率为 3，
所以 ′(2) = 4 1 = 3，得 = 1．
2
(2)①由题意得 ( ) = 2 2 1, 2( 1)′( ) = ，
若 ≤ 0，则 ′( ) < 0， ( )单调递减，所以 ( )在(0, + ∞)上不可能有两个零点，
若 > 0 1，则当 ∈ (0, )时， ′( ) < 0， ( )单调递减，
∈ ( 1当 , + ∞)时， ′( ) > 0， ( )单调递增，
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所以 ( ) 1 = ( ) = < 0，得 0 < < 1，
当 趋近 0 时， ( )趋近正无穷；当 趋近正无穷时， ( )趋近正无穷，
故 的取值范围为(0,1)．
1+2 1 = ,
2
②证明：由①可得 0 < < 1 < ，则 11 2 1+2 2
2 = , 2
两式相加得 ( 2 21 + 2) = 2(1 + 1 + 2)，

由 1 +
2 < 2 2 ，得 (
2
1 + 22) < 2 1 2(1 )，
2 1
2 2
要证 1 + 2 < ，只需证 1 + ln( 1 2) < 1 2 1 2 ，2 1
设 ( ) = 1 1，则 ′( ) = ，
当 ∈ (0,1)时， ′( ) < 0， ( )单调递减，
当 ∈ (1, + ∞)时， ′( ) > 0， ( )单调递增，则 ( ) ≥ (1) = 0，即 ≤ 1，
因为 1 2 > 0，所以 ln( 1 2) ≤ 1 2 1，即 1 + 1 2 ≤ 1 2，
又 0 < < 1，所以 1 2 > 0，
所以 1 + ln( 1 2) ≤ 1 2 < 1 2 1 2 ，
1 + 2 2 从而 2 < 得证．2 1
19.解：(1)一方面：因为 +1 2 = 1( ∈ )，
所以 +2 2 +1 = +1 2 = 1( ∈ )，
所以 +2 +1 = 2( +1 )( ∈ )，
即 +2 = 2 +1( ∈ )；
另一方面：又 = 1 时，有 2 2 1 = 1，
即 2 1 = 1，且 1 = 1，
所以此时 2 = 2 1；
结合以上两方面以及等比数列的概念可知数列{ }是首项为 1 = 1，公比为 = 2 的等比数列，
所以数列{ }的通项公式为 = 1 × 2 1 = 2 1；
(2)由(1)可知 1 = 2 ，
= 4 又由题意 ( +1 1)( +2 1)

= 2×2 1 1(2 1)(2 +1 1) = 2 × ( 2 1 2 +1 1 )，
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数列{ }的前 项和为
1 1 1 1 1 1
= 2 × ( 1 2 + 2 3 + + 2 1 +1 )2 1 2 1 2 1 2 1 2 1
= 2 × (1 12 +1 1 )，
又 ∈ ，都有 2 43 < ，
故只需 2 43 < ( ) ，
而 1 = 2 +1 1 关于 单调递增，
1
所以 2 = 2 +1 1关于 单调递减，
= = 2 × (1 13 2 +1 1 )关于 单调递增，
所以当 = 1 时，
有( )
1 4
= 1 = 2 × (1 22 1 ) = 3，
因此 2 43 < (
4
) = 3，
即( + 2 23 )( 2) < 0，解得 3 < < 2，
综上所述： 2的取值范围为( 3 , 2)．
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