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江苏省新高考基地学校 2025 届高三第二次大联考
数学试卷
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合 = { | < 1}， = { | 2 + 2 8 < 0}，则 ∪ =( )
A. { | < 4} B. { | < 2} C. { | 4 < < 1} D. { | 2 < < 1}
2.在复平面内，若 对应的点在第二象限，则 对应的点位于( )
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
3.已知向量 = (2, 2)，向量 在 上的投影向量 = ( 1,1)，则 =( )
A. 4 B. 2 C. 0 D. 2
4.将数列{4 + }和{7 4}( ∈ )的公共项从小到大排列得到数列{ }，则下列所给 的值中，使得{ }
的前 100 项和最小的为( )
A. 7 B. 5 C. 1 D. 4
5.若 ( )是定义在 上的增函数，则“ ( ) > ”是“ ( ( )) > ”的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
6.已知(1 + )2 + (1 + )3 + + (1 + )9 = 0 + 1 + 22 + + 99 ，若 ≥ ， = 0，1，2， ，9，
则 =( )
A. 4 B. 5 C. 4 或 5 D. 5 或 6
7.设函数 ( ) = 2sin( + )( ∈ , | | < 2 )的周期为 ，将 ( )

的图象向左平移8个单位后关于原点对称，
且 ( )在区间(0, 2 )内的零点与极值点恰好共有 4 个，则 =( )
A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
28
2
.已知双曲线 : 2 2 = 1( > 0, > 0)的两个焦点为 1， 2， ， 是 的右支上两点.若 1 ⊥ 2， 2//
1，且| 1| = 3| 2|，则 的离心率为( )
A. 2 B. 2 C. 5 D. 10
二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.赋分是根据考生原始分数在全体考生中的排名比例进行转化的，在一次模拟考试中，某班 5 名同学的地
理科目的原始分与赋分如下表：
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学号 1 2 3 4 5
原始分 93 85 78 52
赋分 100 96 92 70 82
记这 5 名同学在这次模拟考试中的地理科目的原始分为数据甲，赋分为数据乙，则( )
A.甲的平均数小于乙的平均数 B.甲的中位数小于乙的中位数
C.甲的极差小于乙的极差 D.甲的方差小于乙的方差
10.在正四棱锥 中，侧棱 与底面边长相等， ， 分别是 和 的中点，则( )
A. // B. / /平面 C. ⊥ D. ⊥平面
11.在直角坐标系 中， ( 1,0)， (1,0)， 是曲线| + 1| + | 1| + 2| | = 4 上一点，则( )
A. | | ≥ 1 B. | | | | ≥ 4
C. | | + | | ≤ 4 D. | |2 + | |2 ≤ 10
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12.已知函数 ( ) = log (2 + 4 ) ( > 0 且 ≠ 1)是偶函数，则 (0) = ．
13.在正三棱台 1 1 1中， 1 1 = 2 ，经过三条侧棱中点的平面将正三棱台分成两部分.若两部分
的体积之差为 18，则该三棱台的体积为 ．
14.记△ 的内角 ， ， 的对边分别为 ， ， ， 为 的中点， 为 边上一点， = 2 .设∠ = ，
且 cos( ) = cos ，则∠ = ; 1 1tan + tan 的最小值为 ．
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题 13 分)
如图，在正三棱柱 1 1 1中， ， 分别是 1和 1的中点．
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(1)证明：平面 1 ⊥平面 1 1;
(2) 5若 = 1，平面 1 与平面 夹角的余弦值为 5 ，求该三棱柱的体积．
16.(本小题 15 分)
袋中装有 4 个红球和 2 个黑球，第一次随机取出 1 个小球，若是红球则放回，否则不放回．
(1)第二次随机取出 1 个小球，求两次取出的球颜色相同的概率;
(2)第二次随机取出 2 个小球，记两次取出红球的个数为 ，求 的概率分布列及数学期望．
17.(本小题 15 分)
已知抛物线 : 2 = 4 的焦点为 ，过点 ( 1,1)的直线 与 交于 ， 两点．
(1)若| |是| |，| |的等比中项，求直线 的方程;
(2)若 是 上一点，且直线 的斜率为 2，证明：直线 经过定点．
18.(本小题 17 分)

设 ( ) = ( 2) 2，曲线 = ( )在 = 2 处的切线方程为 = + ．
(1)求 ， 的值;
(2)证明： ( ) ≥ + ;
(3)若 ( ) = 存在两根 1， 2，且 1 < 2，证明： 1 + 2 2 < + 2．
19.(本小题 17 分)
在数列{ 1 }中， 1 = 2，记 = +1 ，且 = 2 +1 + ．
(1)证明：{ }是等差数列;
(2) 1求数列 的前 项和;
(3)数列{ }的前 3 ( ∈ )项组成集合 ，集合 ， 的元素个数记为| |.设 = { | = + , ∈ , ∈
}， = { | = | |, ∈ , ∈ }，若 ∩ = ，求| |的最大值．
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参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.23
13.56
14. 42； 3
15.(1)证明： ∵在正三棱柱 1 1 1中， ， 分别是 1和 1的中点．
∴△ 1 1 ≌△ = 1 △ 1是等腰三角形， 则 ⊥ 1．
1设 的中点为 ，则 // 1 // ， = 2 1 = ．
∴四边形 是平行四边形 // ．
∵ 是 的中点且 = ⊥ ．
∴ ⊥ ．
又 ∩ 1 = ， 平面 1 1， 1 平面 1 1，
∴ ⊥平面 1 1．
又 平面 1 ，
∴平面 1 ⊥平面 1 1．
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(2)以直线 ， ， 分别为 轴， 轴， 轴，建立空间直角坐标系，
则 ( 12 , 0,0), (
1
1 2 , 0, )( > 0), (0,
3
2 , 2 ), (0,
3
2 , 0), (
1 ，
2 , 0,0)
1 = (1,0, ), = (
1
2 ,
3 , ), 2 2 1
= (0,0, )，
设平面 1 的一个法向量为 = ( , , )，平面 一个法向量为 1，
1· = 0
+ = 0
则 1 + 3 + = 0，取 = 1 得 = ( ,0,1) · = 0 2 2 2
又平面 1 与平面 夹角的余弦值为
5，
5

∴ | 1· | 5 5
| 1
= = = 2，
|·| | 5 2+1 5
∴三棱柱的体积为1
2
2sin60°· = 12 × 1
2 × 32 × 2 =
3．
2
16. 4 2 2 2 2 4解：(1)第一次取红球概率6 = 3，放回后第二次取红球的概率仍为3，对应概率为3 × 3 = 9，
2 1 1 1 1 1
第一次取黑球概率6 = 3，不放回后第二次取黑球的概率为5，对应概率为3 × 5 = 15，
4 1 20 3 23
颜色相同的概率为9 + 15 = 45 + 45 = 45．
(2) = 0:不可能(第二次取 2 球至少 1 红)，故 ( = 0) = 0，
2
= 1: 2 2 1 2第一次取红放回，第二次取 0 红： 23 × 2 =6 3
× 15 = 45，
1 1
1 1
× 4 1 = 1 × 4 = 2第一次取黑不放回，第二次取 红：3 25 3 10 15
，
( = 1) = 2 + 2 8总概率 45 15 = 45，
1 1
= 2: 2 16第一次取红放回，第二次取 1 红 1 黑：3 ×
4 2
2 = 45， 6
1 2 1
第一次取黑不放回，第二次取 2 红：3 ×
4 = ，
25 5
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总概率 ( = 2) = 16 1 545 + 5 = 9，
= 3: 2
2 4
第一次取红放回，第二次取 2 红：3 ×
4
2 = 6 15
，
0 1 2 3
0 8 5 4
45 9 15
( ) = 0 × 0 + 1 × 8 + 2 × 5 + 3 × 4 = 8+50+36 9445 9 15 45 = 45．
17.解：(1)由题意 1,0 ，
设直线 的方程为 + 1 = 1 ，
代入 2 = 4 可得： 2 4 + 4 + 4 = 0，
设 1, 1 , 2, 2 ，
则 1 + 2 = 4 , 1· 22 = 4 + 4． = 16 16 + 1 > 0 <
1 5 1+ 5
，解得 2 或 > 2 ，
2 2
= 1 + 1 =
1
4 + 1， = 2 + 1 =
2
4 + 1，
2 2 2 + 2 2
= 1 + 1 2 1 2 1 2 1 24 4 + 1 = 16 + 4 + 1
= + 1 2 + 4 2 2 2 + 1 = 5 2，
因为 = 1 1 2 + 1 0 2 = 5，
因为| |是| |，| |的等比中项，所以 2 = ，
则 5 = 5 2，解得： =± 1， = 1 舍去，
故直线 的方程为 + = 0．
(2) 1
2
, , 2
2 2
设 04 1 4 , 2 , 4 , 0 ，
因为直线 的斜率为 2，
0 4所以 1 = 2 2 = + = 2，则 + 0 1 = 2．0 1 0 1
4 4
即 0 = 2 1．
4
直线 的斜率 0 2 = = ， 02 22 0+ 24 4
2
直线 4 的方程为： 22 = ，0+ 2 4
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4 2
22 = (2 1) +
( 4 ).2
4 3 2 1 = 2 6即得 (2 )+ ( 2 ) + 2 1 2 (2 )+
+
1 2 (2
1．
1)+ 2
2
化简得 1 = 4(2 )+ (
3 6 2+( 2 1)(2 1+ 2)
1 2 2
) + (2 1)+
．
2
而 6 22 + ( 2 1)(2 1 + 2) = 4 1 2 + 1 + 2
因为 1 + 2 = 4 ， 21 2 = 4 + 4，代入上式得 6 2 + ( 2 1)(2 1 + 2) = 4 1 2 + 1 + 2 = 0，
1 = 4所以 +(2 (
3 )，
2 1) 2
3
所以直线 经过定点( 2 , 1)．

18.解：(1)因为 ′( ) = 22 ，所以 ′(2) = ，即 = ，
因为 (2) = 0，所以点(2,0)在直线 上，
即 0 = 2 + ，所以 = 2 ．
(2)由(1)知，切线 的方程为 = 2 ，
所以要证 ( ) ≥ + ，即证 ( ) ≥ 2 ，

设 ( ) = ( 2) 2 ( 2 )，
( ) =

则 ′ 2 2 ，

当 ∈ (2, + ∞)时，2 2 > 2 > ， ′( ) > 0， ( )递增;

当 ∈ ( ∞,2)时，2 2 < 2 < ， ′( ) < 0， ( )递减，
所以 ( ) ≥ (2) = 0，当且仅当 = 2 时，等号成立，
所以 ( ) ≥ 2 ．

(3)因为 ′( ) = 22 ，当 < 0 时， ′( ) < 0， ( )递减;
当 > 0 时， ′( ) > 0， ( )递增;所以 ( ) 0 = 2,
又当 趋于负无穷时， ( ) < 0，
所以 ( ) = 存在两根 1， 2，
有 2 < < 0，且 1 < 0 < 2 < 2，
首先证明： 1 + 2 < 0，即证 1 < 2，
因为 ( )在( ∞,0)上递减，所以只要证 ( 1) > ( 2)，
即证 ( 2) > ( 2)，
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设 ( ) = ( ) ( )， > 0，

因为 ′( ) = ′( ) + ′( ) = 2 22 2 = 2 ( 2
2) > 0，
所以 ( )在(0, + ∞)上递增，所以 ( ) > (0) = 0，
所以 1 + 2 < 0，

其次证明： 2 < + 2，
因为 ( )在 = 2 处的切线为 = ( 2)，
由(2)知， ( ) ≥ ( 2)，当且仅当 = 2 时等号成立，
所以 ( 2) ( 2 2 ) > 0，
即 ( 2 2 ) > 0，所以 <

2 + 2，
综上， 1 + 2

2 < + 2．
19.解：(1)由 2 = +1 = 2 +1 + ，两边平方得 = 4( +1 + )，
因为 = ，同理 2 +1 +2 +1 +1 = 4( +2 + +1)，
两式相减： 2 2 +1 = 4( +2 ) = 4( +1 + )，
即( +1 )( +1 + ) = 4( +1 + )，
因为 > 0，约去 +1 + ，得 +1 = 4，
又 1 = 2 1 = 2，故{ }是以 2 为首项，4 为公差的等差数列．
(2)由(1)知 = 4 2，
累加法得： = 1 = 2( 1)2 1 =1 ，
3
所以 2 = 2 4 + 2，
1 2 1 1
则 = (2 1)(2 3) = 2 3 2 1，
前 1 1 1 2 项和： = =1 ( 2 3 2 1 ) = 1 2 1 = 2 1．
(3)数列{ }前 3 项为 2，6，10， ，12 2，
设 对应下标集合 {1,2, , 3 }，
需满足| | ≠ + 1(对应 ∩ = )，
取 = { + 1, + 2, , 3 }，此时| | ≤ 2 1，
而 + 1 ≥ 2 + 1，满足条件，
故| | = 3 = 2 ，即| |的最大值为 2 ．
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(3)设 = { 1, 2, , }， ≤ 3 ， ∈ ，且 1 < 2 < < ，
2 < + < + < < + + < + < < + <2
因为 1 1 2 1 3 1 < 2 3 1
项 1 项
都是 的元素，所以 至少 2 1 个元素．
因为 0 < 2 < 1 3 1 < < 1都为 的元素，所以 至少 个元素，所以 ∪ 至少 3 1
个元素．
因为 = {2,6, , 4 2}， ∪ 的最小元素为 0，最大元素为 2 ，且任意两个元素的差的绝对值

不小于 4，元素个数不超过 2 + 1，
所以 3 1 ≤ + 1 ≤ 3 12 2 + 1 = 6 ，所以 ≤ 2 + 3，即 ≤ 2 ．
取 = { +1, +2, +3, , 3 } = {4 + 2,4 + 6,4 + 10, , 12 2}，共 2 个元素，此时 = {8 +
4,8 + 8, , 24 4}， = {0,4,8, , 8 4}，满足 ∩ = ，所以 的最大值为 2 .综上，集合 的
元素个数的最大值为 2 ．
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