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微专题3　二面角的常见求法
第八章　立体几何初步
求二面角是常见题型，根据所求两面是否有公共棱可分为两类：有棱二面角、无棱二面角，对于有棱二面角通常采用找点、连线或平移等手段来找出二面角的平面角；而对于无棱二面角，一般通过构造图形如延展平面或找公垂面等方法使其“无棱”而“现棱”，进一步找二面角的平面角．
反思领悟　如图所示，以二面角的棱a上的任意一点O为端点，在两个面内分别作垂直于a的两条射线OA，OB，则∠AOB为此二面角的平面角．
√
反思领悟　在平面α内选一点A向另一个平面β作垂线AB，垂足为B，再过点B向棱a作垂线BO，垂足为O，连接AO，则∠AOB就是二面角的平面角．
[学以致用]　2．在四棱锥P-ABCD中，ABCD是平行四边形，PA⊥平面ABCD，PA＝AB＝a，∠ABC＝30°，求二面角P-BC-A的正切值．
探究3　垂面法求二面角
【例3】　如图，在三棱锥S-ABC中，SA⊥平面ABC，AB⊥BC，DE垂直平分SC且分别交AC，SC于点D，E，又SA＝AB，SB＝BC，求二面角E-BD-C的大小．
[解]　∵SB＝BC且E是SC的中点，∴BE⊥SC．
又SC⊥DE，BE∩DE＝E，BE，DE 平面BDE，
∴SC⊥平面BDE，∴SC⊥BD．
又SA⊥平面ABC，BD 平面ABC，
∴SA⊥BD．又SC∩SA＝S，SC，SA 平面SAC，
∴BD⊥平面SAC．
∴BD⊥DE，BD⊥DC，
∵平面SAC∩平面BDE＝DE，
平面SAC∩平面BDC＝DC，
∴∠EDC是所求二面角的平面角．
反思领悟　过二面角内一点A作AB⊥α于B，作AC⊥β于C，平面ABC交棱a于点O，则∠BOC就是二面角的平面角．
[学以致用]　3．在四棱锥P-ABCD中，四边形ABCD是正方形，PA⊥平面ABCD，PA＝AB＝a，求二面角B-PC-D的大小．
探究4　射影面积法求二面角
【例4】　如图，在正三棱柱ABC-A1B1C1中，AB＝2，AA1＝2，由顶点B沿棱柱侧面经过棱AA1到顶点C1的最短路线与棱AA1的交点记为M，求平面C1MB与平面ABC所成二面角(锐角)的大小．
[学以致用]　4．如图，三棱柱ABC-A1B1C1中，侧面BB1C1C为菱形，B1C的中点为O，且AO⊥平面BB1C1C，若AC⊥AB1，∠CBB1＝60°，BC＝1，求二面角B1-BC-A的余弦值．微专题3　二面角的常见求法
求二面角是常见题型，根据所求两面是否有公共棱可分为两类：有棱二面角、无棱二面角，对于有棱二面角通常采用找点、连线或平移等手段来找出二面角的平面角；而对于无棱二面角，一般通过构造图形如延展平面或找公垂面等方法使其“无棱”而“现棱”，进一步找二面角的平面角．
探究1　定义法求二面角
【例1】　如图，在三棱锥V-ABC中，VA＝VB＝AC＝BC＝2，AB＝2，VC＝1，求二面角V-AB-C的大小．
[解]　如图，取AB中点O，连接VO，CO．
∵在三棱锥V-ABC中，VA＝VB＝AC＝BC＝2，AB＝2，VC＝1，
∴VO⊥AB，CO⊥AB，
∴∠VOC是二面角V-AB-C的平面角．
∵VO＝＝＝1，
CO＝＝＝1，
∴VO＝CO＝VC＝1，△VOC为等边三角形，
∴∠VOC＝60°，
∴二面角V-AB-C的大小为60°．
　如图所示，以二面角的棱a上的任意一点O为端点，在两个面内分别作垂直于a的两条射线OA，OB，则∠AOB为此二面角的平面角．
[学以致用]　1．如图，边长为2的两个等边三角形ABC，DBC，若点A到平面BCD的距离为，则二面角A-BC-D的大小为(　　)
B．
C． D．
A　[如图，设BC的中点为E，连接AE，DE，过点A作AF⊥ED，垂足为F，
因为△ABC，△DBC均为等边三角形，故AE⊥BC，DE⊥BC，
故∠AED为二面角A-BC-D的平面角．
又AE∩DE＝E，AE，DE 平面AED，
故BC⊥平面AED，
而AF 平面AED，
故BC⊥AF，
又AF⊥ED，DE∩BC＝E，DE，BC 平面BCD，
故AF⊥平面BCD，则点A到平面BCD的距离为AF＝，
又△ABC为等边三角形，边长为2，故AE＝2×sin ＝，
故在Rt△AFE中，sin ∠AEF＝＝＝，
则∠AEF＝，
即∠AED＝，
故二面角A-BC-D的大小为．
故选A．]
探究2　三垂线法求二面角
【例2】　如图，二面角α-AB-β的棱AB上有一点C，线段CD α，CD＝100，∠BCD＝30°，点D到平面β的距离为25，求二面角α-AB-β的大小．
[解]　过D作DE⊥β于E，DF⊥AB于F，连接EF，如图所示，∵DF⊥AB，EF是DF在β内的射影，
∴AB⊥EF．
∴∠DFE为二面角α-AB-β的平面角．
在Rt△DEF中，DF＝CD＝50，DE＝25，
∴sin ∠DFE＝＝＝．
∴∠DFE＝60°，即二面角α-AB-β的大小为60°．
　在平面α内选一点A向另一个平面β作垂线AB，垂足为B，再过点B向棱a作垂线BO，垂足为O，连接AO，则∠AOB就是二面角的平面角．
[学以致用]　2．在四棱锥P-ABCD中，ABCD是平行四边形，PA⊥平面ABCD，PA＝AB＝a，∠ABC＝30°，求二面角P-BC-A的正切值．
[解]　如图，PA⊥平面ABCD，又BC 平面ABCD，故PA⊥BC．过A作AH⊥BC于H，连接PH．因为PA∩AH＝A，PA，AH 平面PAH，所以BC⊥平面PAH．又PH 平面PAH，则PH⊥BC．
故∠PHA是二面角P-BC-A的平面角．
在Rt△ABH中，AH＝AB sin ∠ABC＝asin 30°＝．
在Rt△PHA中，tan ∠PHA＝＝＝2．
探究3　垂面法求二面角
【例3】　如图，在三棱锥S-ABC中，SA⊥平面ABC，AB⊥BC，DE垂直平分SC且分别交AC，SC于点D，E，又SA＝AB，SB＝BC，求二面角E-BD-C的大小．
[解]　∵SB＝BC且E是SC的中点，∴BE⊥SC．
又SC⊥DE，BE∩DE＝E，BE，DE 平面BDE，
∴SC⊥平面BDE，∴SC⊥BD．
又SA⊥平面ABC，BD 平面ABC，
∴SA⊥BD．又SC∩SA＝S，SC，SA 平面SAC，
∴BD⊥平面SAC．
∴BD⊥DE，BD⊥DC，
∵平面SAC∩平面BDE＝DE，
平面SAC∩平面BDC＝DC，
∴∠EDC是所求二面角的平面角．
∵SA⊥平面ABC，∴SA⊥AB，SA⊥AC．
设SA＝2，则AB＝2，BC＝SB＝2．
∵AB⊥BC，∴AC＝2，∴∠ACS＝30°．
又已知DE⊥SC，∴∠EDC＝60°．
即所求的二面角等于60°．
　过二面角内一点A作AB⊥α于B，作AC⊥β于C，平面ABC交棱a于点O，则∠BOC就是二面角的平面角．
[学以致用]　3．在四棱锥P-ABCD中，四边形ABCD是正方形，PA⊥平面ABCD，PA＝AB＝a，求二面角B-PC-D的大小．
[解]　如图，过点B作BH⊥PC交PC于点H，连接DH．因为PB＝PD＝a，BC＝CD＝a，
所以△PBC≌△PDC，所以DH⊥PC，
所以∠BHD为二面角B-PC-D的平面角．
易证BC⊥PB，又PB＝a，BC＝a，所以PC＝a，
所以S△PBC＝PB·BC＝PC·BH，
则BH＝a＝DH．又BD＝a，在△BHD中，由余弦定理
得cos ∠BHD＝
＝＝－．
又0≤∠BHD≤π，则∠BHD＝，所以二面角B-PC-D的大小是．
探究4　射影面积法求二面角
【例4】　如图，在正三棱柱ABC-A1B1C1中，AB＝2，AA1＝2，由顶点B沿棱柱侧面经过棱AA1到顶点C1的最短路线与棱AA1的交点记为M，求平面C1MB与平面ABC所成二面角(锐角)的大小．
[解]　易知平面C1MB内的△C1MB在平面ABC内的投影为△ABC．
在△C1MB中，BM＝C1M＝，BC1＝2，
∴S△C1MB＝×2＝，
在△ABC中，AB＝BC＝CA＝2，
∴S△ABC＝×2×2sin 60°＝．
设平面C1MB与平面ABC所成二面角(锐角)为θ，则
cos θ＝＝＝，∴θ＝45°，
∴平面C1MB与平面ABC所成二面角(锐角)为45°．
　已知平面β内一个多边形的面积为S，它在平面α内的射影图形的面积为S射影，平面α和平面β所成的二面角的大小为θ，则cos θ＝．
这个方法对于无棱二面角的求解很简便．
以多边形射影为三角形为例证明，其他情形可自证．
证明：如图，平面β内的△ABC在平面α内的射影为△A′BC，作AD⊥BC于D，连接A′D．
∵AA′⊥α于A′，D∈α，
∴AD在α内的射影为A′D．
∵AA′⊥α，又BC α，∴AA′⊥BC，又AD⊥BC，AD∩A′A＝A，AD，A′A 平面AA′D，
∴BC⊥平面AA′D．又A′D 平面AA′D，
∴A′D⊥BC．
∴∠ADA′为二面角α-BC-β的平面角．
设△ABC和△A′BC的面积分别为S和S′，∠ADA′＝θ，则S＝BC·AD，S′＝BC·A′D．
∴cos θ＝＝＝．
[学以致用]　4．如图，三棱柱ABC-A1B1C1中，侧面BB1C1C为菱形，B1C的中点为O，且AO⊥平面BB1C1C，若AC⊥AB1，∠CBB1＝60°，BC＝1，求二面角B1-BC-A的余弦值．
[解]　连接BO(图略)，∵AO⊥平面BB1C1C，
∴△OBC为△ABC在平面BB1C1C内的射影．
设二面角B1-BC-A的平面角为θ，
∵侧面BB1C1C为菱形，且∠CBB1＝60°，BC＝1．
∴BB1＝BC＝B1C＝1．
又∵B1C的中点为O，
∴S△OBC＝＝×1×1×sin 60°＝．
∵AC⊥AB1，∴AO＝，
∴AB＝＝＝1．
AC＝＝，
在△ABC中，由余弦定理可得
cos ∠ABC＝，
∴sin ∠ABC＝，
∴S△ABC＝×1×1×＝，
∴cos θ＝＝＝．
∴二面角B1-BC-A的余弦值为．
【教用·备选题】　在正方体ABCD-A1B1C1D1中，K∈BB1，M∈CC1，且BK＝BB1，CM＝CC1，求平面AKM与平面ABCD所成二面角的余弦值．
[解]　连接AC，则△ABC是△AKM在平面ABCD内的射影．
设△AKM所在平面与平面ABCD所成二面角的平面角为θ，
正方体棱长为4．
因为AK＝
＝，
AM＝
＝，
KM＝＝2，
解三角形可得S△AKM＝2，
所以cos θ＝＝＝．
微专题强化练(三)　二面角的常见求法
一、选择题
1．在矩形ABCD中，AB＝3，AD＝4，PA⊥平面ABCD，PA＝，那么二面角A-BD-P的大小为(　　)
A．30°　 　B．45°　 　C．60°　 　D．75°
A　[如图，作AO⊥BD交BD于点O，连接PO．
∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥BD．
∵PA∩AO＝A，PA，AO 平面PAO，∴BD⊥平面PAO，
∴PO⊥BD，
∴∠AOP即为所求二面角A-BD-P的平面角．
∵AO＝＝，
∴tan ∠AOP＝＝，
故二面角A-BD-P的大小为30°．]
2．正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，则二面角A-B1D1-B的余弦值为(　　)
A． B．
C． D．
A　[如图，
取B1D1的中点E，O为底面ABCD中心，易得∠AEO是二面角A-B1D1-B的平面角．因为正方体的棱长为1，所以B1D1＝B1A＝AD1＝，所以AE＝．又OE＝BB1＝1，所以cos ∠AEO＝＝，即二面角A-B1D1-B的余弦值为．故选A．]
3．如图，已知正三棱柱的各棱长都相等，则二面角A1-BC-A的平面角的正切值为(　　)
A． B．
C．1 D．
D　[设正三棱柱的棱长为a，BC的中点为E，连接A1E，AE(图略)，由正三棱柱ABC-A1B1C1的各棱长都相等，可得A1E⊥BC，AE⊥BC，所以二面角A1-BC-A的平面角为∠A1EA，在等边三角形ABC中，AE＝a，
所以tan ∠A1EA＝＝＝，即二面角A1-BC-A的平面角的正切值为．]
4．如图所示，将等腰直角三角形ABC沿斜边BC上的高AD折成一个二面角，使得∠B′AC＝60°，则这个二面角的大小是(　　)
A．30° B．60°
C．90° D．120°
C　[因为AD是等腰直角三角形ABC斜边BC上的高，所以BD＝DC＝AC，即B′D＝DC＝AC且B′D⊥AD，CD⊥AD，因此∠B′DC是所求二面角的平面角．因为∠B′AC＝60°，AB′＝AC，连接B′C(图略)，则△B′AC是等边三角形，因此B′C＝AB′＝AC，所以在△B′DC中，B′D2＋DC2＝B′C2，所以∠B′DC＝90°．故选C．]
5．如图，在一个二面角的棱上有两个点A，B，线段AC，BD分别在这个二面角的两个面内，并且都垂直于棱AB，AB＝4 cm，AC＝6 cm，BD＝8 cm，CD＝2 cm，则这个二面角的大小为(　　)
A．30° B．60°
C．90° D．120°
B　[如图，
过点A作AE∥BD且AE＝BD，连接CE，DE，则AE⊥AB，即∠CAE为二面角的平面角，由题意，得AE＝BD＝8 cm，AC＝6 cm．
∵AB⊥AC，AB⊥AE，AC∩AE＝A，AC，AE 平面ACE，∴AB⊥平面ACE，∴AB⊥CE．又∵DE∥AB，
∴DE⊥CE，∴CE2＝CD2－ED2＝52．在△ACE中，由余弦定理，得cos ∠CAE＝
＝＝，则∠CAE＝60°，
即这个二面角的大小为60°．]
二、填空题
6．如图，在四棱锥V-ABCD中，底面ABCD是边长为2的正方形，其他四个侧面都是侧棱长为的等腰三角形，则二面角V-AB-C的大小是________．
60°　[如图，
取AB的中点E，CD的中点F，连接VE，EF，VF，由题意知，AB⊥VE，AB⊥EF，所以∠VEF为二面角V-AB-C的平面角．易知△VEF为正三角形，所以∠VEF＝60°．]
7．如图，三棱锥P-ABC中，PA＝PB＝PC且△ABC为正三角形，M，N分别是PB，PC的中点，若截面AMN⊥侧面PBC，则此棱锥侧面PBC与底面ABC夹角的余弦值为________．
　[如图，取MN和BC的中点分别为E，F，连接PF，AE，AF．
∵M，N分别是PB，PC的中点，∴MN∥BC，PE⊥MN，由于PA＝PB＝PC且△ABC为正三角形，
∴PC＝PB，PA＝PA，AC＝AB，故△APC≌△APB，
由于M，N分别是PB，PC的中点，因此AN＝AM，
故AE⊥MN，
由于截面AMN⊥侧面PBC，平面AMN∩平面PBC＝MN，AE⊥MN，AE 平面AMN，∴AE⊥平面PBC，∴AE⊥PF，∴∠PEA＝90°，进而可得PA＝AF,
由于PF⊥BC，AF⊥BC，
故∠AFP为侧面PBC与底面ABC的二面角的平面角，
设AB＝2a, ∴PA＝PB＝PC＝AF＝a，
∴PF＝＝a，
∴EF＝a，
在Rt△AEF中，cos ∠AFE＝＝．
所以侧面PBC与底面ABC夹角的余弦值为．]
8．在如图所示的圆台中，AC是下底面圆O的直径，EF是上底面圆O′的直径，FB是圆台的一条母线．已知EF＝FB＝AC＝2，AB＝BC，则二面角F-BC-A的余弦值为________．
　[如图，连接OO′，过点F作FM⊥OB，垂足为点M，则有FM∥OO′．
又OO′⊥平面ABC，所以FM⊥平面ABC，所以FM⊥BM，可得FM＝＝3．
过点M作MN⊥BC，垂足为点N，连接FN，可得FN⊥BC，从而∠FNM为二面角F-BC-A的平面角．
又AB＝BC，AC是圆O的直径，
所以MN＝BMsin 45°＝．
从而FN＝，可得cos ∠FNM＝．
所以二面角F-BC-A的余弦值为．]
三、解答题
9．如图，平面β内一条直线AC，AC与平面α所成的角为30°，AC与棱BD所成的角为45°，求二面角α-BD-β的大小．
[解]　如图，过A作AF⊥BD，F为垂足，作AE⊥平面α，E为垂足，连接EF，CE．
∵BD α，∴AE⊥BD，又AE∩AF＝A，AE，AF 平面AEF，∴BD⊥平面AEF，
∴BD⊥EF，∴∠AFE为二面角α-BD-β的平面角．
依题意∠ACF＝45°，∠ACE＝30°，设AC＝2，
∴AF＝CF＝，AE＝1，
∴sin ∠AFE＝＝＝，
∴∠AFE＝45°．
∴二面角α-BD-β的大小为45°．
10．如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，CC1⊥平面ABC，D，E，F分别为AA1，AC，A1C1的中点，AB＝BC＝，AC＝AA1＝2．
(1)求证：AC⊥平面BEF；
(2)求二面角B-CD-C1的余弦值．
[解]　(1)证明：在三棱柱ABC-A1B1C1中，
∵CC1⊥平面ABC，∴四边形A1ACC1为矩形．
又E，F分别为AC，A1C1的中点，∴AC⊥EF．
∵AB＝BC，∴AC⊥BE．又EF∩BE＝E，EF，BE 平面BEF，∴AC⊥平面BEF．
(2)如图，连接ED．
∵BE⊥AC，BE⊥CC1，CC1∩AC＝C，
∴BE⊥平面ACC1A1，
∴△BCD在平面ACD上的射影为△ECD．
∴S△ECD＝·EC·DA＝．
又∵在△BDC中，BC＝DC＝，BD＝，
∴S△BDC＝＝．
设平面BCD与平面ACD所成的二面角为θ，
则cos θ＝＝＝．
又∵二面角B-CD-C1的平面角是二面角
A-CD-B的平面角的补角，
∴二面角B-CD-C1的余弦值为－．
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