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(共15张PPT)
章末重构拓展
第十章　概率
巩固层·知识重构
类型1　随机事件与概率
1．随机事件与概率主要包含以下内容：样本空间、事件间的关系、频率与概率的关系及概率的性质，特别是互斥事件与对立事件的概念辨析及相应概率的求解是历年考试命题的重点，对于互斥事件的概率求法一般有两种方法：一是直接求解法，二是间接法．当题目涉及“至多”“至少”型问题时，多考虑间接法．
2．掌握随机事件概率的应用，提升数学抽象和数学运算素养．
提升层·题型探究
(2)①由(1)知红球、黄球、蓝球的个数分别为2，1，1，用1，2表示红球，用a表示黄球，用b表示蓝球，m表示第一次取出的球，n表示第二次取出的球，(m，n)表示试验的样本点，
则样本空间Ω＝{(1，1)，(1，2)，(1，a)，(1，b)，(2，1)，(2，2)，(2，a)，(2，b)，(a，1)，(a，2)，(a，a)，(a，b)，(b，1)，(b，2)，(b，a)，(b，b)}.
【例2】　袋中有形状、大小都相同的4个小球.
(1)若4个小球中有1个白球、1个红球、2个黄球，从中一次随机摸出2个球，求这2个球颜色不同的概率；
(2)若4个小球颜色相同，标号分别为1，2，3，4，从中一次取两球，求标号和为奇数的概率；
(3)若4个小球中有1个白球、1个红球、2个黄球，有放回地取球，取两次，求两次取得球的颜色相同的概率．
类型3　事件的相互独立性
1．相互独立事件的辨析及概率计算主要依据P(AB)＝P(A)P(B)．由于相互独立事件的概率通常和互斥事件的概率综合在一起考查，解题时先要判断事件的关系是互斥还是相互独立，再选择相应的公式计算求解．
2．掌握相互独立事件的概率公式的应用，提升数学建模和逻辑推理素养．类型1　随机事件与概率
1．随机事件与概率主要包含以下内容：样本空间、事件间的关系、频率与概率的关系及概率的性质，特别是互斥事件与对立事件的概念辨析及相应概率的求解是历年考试命题的重点，对于互斥事件的概率求法一般有两种方法：一是直接求解法，二是间接法．当题目涉及“至多”“至少”型问题时，多考虑间接法．
2．掌握随机事件概率的应用，提升数学抽象和数学运算素养．
【例1】　已知盒中有大小、质地相同的红球、黄球、蓝球共4个，从中任取一球，得到红球或黄球的概率是，得到黄球或蓝球的概率是.
(1)求盒中红球、黄球、蓝球的个数．
(2)随机试验：从盒中有放回地取球两次，每次任取一球记下颜色．
①写出该试验的样本空间Ω；
②设置游戏规则如下：若取到两个球颜色相同则甲胜，否则乙胜．从概率的角度，判断这个游戏是否公平，请说明理由．
[解]　(1)从中任取一球，分别记得到红球、黄球、蓝球为事件A，B，C，
因为A，B，C为两两互斥事件，
由已知得
解得
∴盒中红球、黄球、蓝球的个数分别是2，1，1.
(2)①由(1)知红球、黄球、蓝球的个数分别为2，1，1，用1，2表示红球，用a表示黄球，用b表示蓝球，m表示第一次取出的球，n表示第二次取出的球，(m，n)表示试验的样本点，
则样本空间Ω＝{(1，1)，(1，2)，(1，a)，(1，b)，(2，1)，(2，2)，(2，a)，(2，b)，(a，1)，(a，2)，(a，a)，(a，b)，(b，1)，(b，2)，(b，a)，(b，b)}.
②由①得n(Ω)＝16，记“取到两个球颜色相同”为事件M，“取到两个球颜色不相同”为事件N，则n(M)＝6，所以P(M)＝＝，所以P(N)＝1－P(M)＝1－＝，
因为≠，所以此游戏不公平．
类型2　古典概型
1．古典概型有两个基本特征，即有限性和等可能性．在应用公式P(A)＝时，关键在于正确理解试验的发生过程，求出试验的样本空间的样本点总数n和事件A的样本点个数k.
2．掌握古典概型的概率公式及其应用，提升数学建模素养．
【例2】　袋中有形状、大小都相同的4个小球.
(1)若4个小球中有1个白球、1个红球、2个黄球，从中一次随机摸出2个球，求这2个球颜色不同的概率；
(2)若4个小球颜色相同，标号分别为1，2，3，4，从中一次取两球，求标号和为奇数的概率；
(3)若4个小球中有1个白球、1个红球、2个黄球，有放回地取球，取两次，求两次取得球的颜色相同的概率．
[解]　(1)设取出的2个球颜色不同为事件A.
试验的样本空间Ω＝{(白，红)，(白，黄1)，(白，黄2)，(红，黄1)，(红，黄2)，(黄1，黄2)}，共6个样本点，事件A包含5个样本点，故P(A)＝.
(2)试验的样本空间Ω＝{(1，2)，(1，3)，(1，4)，(2，3)，(2，4)，(3，4)}，共6个样本点，设标号和为奇数为事件B，则B包含的样本点为(1，2)，(1，4)，(2，3)，(3，4)，共4个，所以P(B)＝＝.
(3)试验的样本空间Ω＝{(白，白)，(白，红)，(白，黄1)，(白，黄2)，(红，红)，(红，白)，(红，黄1)，(红，黄2)，(黄1，黄1)，(黄1，白)，(黄1，红)，(黄1，黄2)，(黄2，黄2)，(黄2，白)，(黄2，红)，(黄2，黄1)}，共16个样本点，其中颜色相同的有6个，故所求概率为P＝＝.
类型3　事件的相互独立性
1．相互独立事件的辨析及概率计算主要依据P(AB)＝P(A)P(B)．由于相互独立事件的概率通常和互斥事件的概率综合在一起考查，解题时先要判断事件的关系是互斥还是相互独立，再选择相应的公式计算求解．
2．掌握相互独立事件的概率公式的应用，提升数学建模和逻辑推理素养．
【例3】　甲、乙两位同学独立地参加某高校的入学面试，入学面试共有3道题目，答对2道题则通过面试(前2道题都答对或都答错，第3道题均不需要回答)．已知甲答对每道题目的概率均为，乙答对每道题目的概率依次为，且甲、乙两人对每道题能否答对相互独立．
(1)求乙3道题都回答且通过面试的概率；
(2)求甲没有通过面试的概率；
(3)求甲、乙两人恰有一人通过面试的概率．
[解]　(1)由题意得，乙3道题都回答且通过面试的概率为P＝＝.
(2)设事件A表示“甲最终通过面试”，
则P(A)＝＝，
∴甲没有通过面试的概率为1－P(A)＝1－＝.
(3)设事件B表示“乙最终通过面试”，
则P(B)＝＝，
设事件C表示“甲、乙两人恰有一人通过面试”，则C＝，
∵相互独立，
∴P(C)＝P()＝＝，
∴甲、乙两人恰有一人通过面试的概率为.
章末综合测评(五)　概率
(时间：120分钟　满分：150分)
一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．以下一些说法，其中正确的有(　　)
A．一年按365天计算，两名学生的生日相同的概率是
B．买彩票中奖的概率是0.001，那么买1 000张彩票一定能中奖
C．乒乓球比赛前，用抽签来决定谁先发球，抽签方法是从1～10共10个数中各抽取1个，再比较大小，这种抽签方法是公平的
D．昨天没有下雨，则说明关于气象局预报昨天“降水的概率为90%”是错误的
C　[根据概率的意义逐一判断可知C正确，A，B，D不正确．]
2．一个大箱子内放有5本科学杂志和7本文学杂志，小张先从箱内随机抽取1本(不放回)，小李再从箱内随机抽取1本，已知小张抽取的是文学杂志，则小李抽取的是科学杂志的概率为(　　)
A．　 　B．　 　C．　 　D．
C　[小张抽取文学杂志后，剩下5本科学杂志和6本文学杂志，则小李抽取的是科学杂志的概率为.故选C.]
3．已知A，B，C为随机事件，A与B互斥，B与C互为对立，且P(A)＝0.2，P(C)＝0.7，则P(A∪B)＝(　　)
A．0.2 B．0.5
C．0.6 D．0.9
B　[因为事件B与事件C互为对立，所以P(B)＝1－P(C)＝0.3，
因为事件A与事件B互斥，则P(A∪B)＝P(A)＋P(B)＝0.5.
故选B.]
4．甲、乙同时参加某次法语考试，甲、乙考试达到优秀的概率分别是0.6，0.7，两人考试相互独立，则甲、乙两人都未达到优秀的概率为(　　)
A．0.42 B．0.28
C．0.18 D．0.12
D　[∵甲、乙考试达到优秀的概率分别为0.6，0.7，两人考试相互独立，
∴甲、乙两人都未达到优秀的概率为P＝(1－0.6)(1－0.7)＝0.12.故选D.]
5．先后抛掷硬币三次，则至少一次正面向上的概率是(　　)
A． B．
C． D．
D　[由题意，先后抛掷硬币三次，构成的样本点为{正正正}，{正正反}，{正反正}，{反正正}，{正反反}，{反正反}，{反反正}，{反反反}，共8个，
其中，至少一次正面向上所包含的样本点为{正正正}，{正正反}，{正反正}，{反正正}，{正反反}，{反正反}，{反反正}，共7个，
所以至少一次正面向上的概率P＝.
故选D.]
6．(2022·全国甲卷)从分别写有1，2，3，4，5，6的6张卡片中无放回随机抽取2张，则抽到的2张卡片上的数字之积是4的倍数的概率为(　　)
A． B．
C． D．
C　[从6张卡片中无放回抽取2张，共有，(2，5)，(2，6)，，(4，6)，(5，6)，15种情况，
其中数字之积为4的倍数的有，6种情况，故概率为＝.故选C.]
7．如图，A，B，C表示某系统的3个开关，若在某段时间内它们正常工作的概率分别为0.85，0.8，0.75，那么系统可以正常工作的概率为(　　)
A．0.064 5 B．0.995 5
C．0.499 5 D．0.992 5
D　[因为A，B，C表示某系统的3个开关相互独立，三个中至少有一个正常工作即可，所以P＝1－(1－0.85)×(1－0.8)×(1－0.75)＝1－0.15×0.2×0.25＝0.992 5.]
8．排球比赛的规则是5局3胜制(无平局)，在某次排球比赛中，甲队在每局比赛中获胜的概率都相等，均为，前2局中乙队以2∶0领先，则最后乙队获胜的概率是(　　)
A． B．
C． D．
B　[最后乙队获胜包含3种情况：第三局乙胜；第三局甲胜，第四局乙胜；第三局和第四局都是甲胜，第五局乙胜．故最后乙队获胜的概率P＝＝.故选B.]
二、多项选择题(本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分)
9．某人连续掷两次骰子，A1表示事件“第一次掷出的点数是2”，A2表示事件“第二次掷出的点数是3”，A3表示事件“两次掷出的点数之和为5”，A4表示事件“两次掷出的点数之和为9”．则(　　)
A．A1与A2相互独立
B．A1与A3相互独立
C．A2与A3不相互独立
D．A2与A4不相互独立
ACD　[由题意知，P(A1)＝，P(A2)＝，
P(A3)＝＝，
P(A4)＝＝.
对A：∵P(A1∩A2)＝＝＝P(A1)P(A2)，
∴A1与A2相互独立，故A正确；
对B：∵P(A1∩A3)＝＝≠P(A1)P(A3)，
∴A1与A3不相互独立，故B错误；
对C：∵P(A2∩A3)＝＝≠P(A2)P(A3)，
∴A2与A3不相互独立，故C正确；
对D：∵P(A2∩A4)＝＝≠P(A2)P(A4)，
∴A2与A4不相互独立，故D正确．
故选ACD.]
10．一个不透明袋子中装有大小和质地完全相同的2个红球和3个白球，从袋中一次性随机摸出2个球，则(　　)
A．“摸到2个红球”与“摸到2个白球”是互斥事件
B．“至少摸到1个红球”与“摸到2个白球”是对立事件
C．“摸出的球颜色相同”的概率为
D．“摸出的球中有红球”与“摸出的球中有白球”相互独立
ABC　[记2个红球为A，B，3个白球为a，b，c，则任意摸出2个球，有AB，Aa，Ab，Ac，Ba，Bb，Bc，ab，ac，bc，共10种，
“摸到2个红球”有AB，“摸到2个白球”有ab，ac，bc，“至少摸到1个红球”有AB，Aa，Ab，Ac，Ba，Bb，Bc，
“摸出的球颜色相同”有AB，ab，ac，bc，“摸出的球中有白球” 有Aa，Ab，Ac，Ba，Bb，Bc，ab，ac，bc，
A：“摸到2个红球”与“摸到2个白球”不可能同时发生，故是互斥事件，故A正确；
B：“至少摸到1个红球”与“摸到2个白球”不可能同时发生，且必有一个发生，故是对立事件，故B正确；
C：“摸出的球颜色相同”包含4种结果，故其概率为，故C正确；
D：设M＝“摸出的球中有红球”，N＝“摸出的球中有白球”，用古典概型的方法计算可知
P(M)＝，P(N)＝，P(MN)＝，显然P(MN)≠P(M)P(N)，故M，N不相互独立，故D错误．
故选ABC.]
11．某社团开展学党史知识竞赛，甲、乙两人能得满分的概率分别为，两人能否获得满分相互独立，则下列说法错误的是(　　)
A．两人均获得满分的概率为
B．两人至少一人获得满分的概率为
C．两人恰好只有甲获得满分的概率为
D.两人至多一人获得满分的概率为
BCD　[∵甲、乙两人能得满分的概率分别为，两人能否获得满分相互独立，
分别记甲、乙得满分的事件为M，N，则P＝，P＝，M，N独立，
∴两人均获得满分的概率为
P＝PP＝＝，故A 正确；
两人至少一人获得满分的概率为
1－P＝1－＝1－＝，故B错误；
两人恰好只有甲获得满分的概率为
P＝P＝＝，故C错误；
两人至多一人获得满分的概率为
1－P＝1－＝，故D 错误．
故选BCD.]
三、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分)
12．从1，2，3，4，5中随机取三个不同的数，则其和为奇数这一事件包含的样本点个数为________．
4　[从1，2，3，4，5中随机取三个不同的数有(1，2，3)，(1，2，4)，(1，2，5)，(1，3，4)，(1，3，5)，(1，4，5)，(2，3，4)，(2，3，5)，(2，4，5)，(3，4，5)，共10种情况，其中(1，2，4)，(1，3，5)，(2，3，4)，(2，4，5)中三个数字之和为奇数，共有4种．]
13．假设P(A)＝0.5，P(B)＝0.6，且事件A与B相互独立，则P(A＋B)＝________．
0.8　[P(AB)＝P(A)P(B)＝0.3，
则P(A＋B)＝P(A)＋P(B)－P(AB)＝0.5＋0.6－0.3＝0.8.]
14．某市男子乒乓球队为备战下届市运会，在某训练基地进行封闭式训练，甲、乙两队队员进行对抗赛，每局依次轮流发球，连续赢两个球者获胜．通过分析甲、乙过去对抗赛的数据知，甲发球甲赢的概率为，乙发球甲赢的概率为，不同球的结果互不影响．已知某局甲先发球，该局打四个球，甲赢的概率是________.
　[由于连胜两局者赢，甲先发球可分为
该局：第一个球甲赢、第二个球乙赢、第三个球甲赢、第四个球甲赢，则所求概率为＝.]
四、解答题(本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
15．(本小题满分13分)从三名男生(记为A1，A2，A3)、两名女生(记为B1，B2)中任意选取两人．
(1)在有放回的选取中，写出样本空间，并计算选到两人都是男生的概率；
(2)在不放回的选取中，写出样本空间，并计算选到至少有一名女生的概率．
[解]　(1)样本空间Ω＝{(A1A1)，(A1A2)，(A1A3)，(A1B1)，(A1B2)，(A2A1)，(A2A2)，(A2A3)，(A2B1)，(A2B2)，(A3A1)，(A3A2)，(A3A3)，(A3B1)，(A3B2)，(B1A1)，(B1A2)，(B1A3)，(B1B1)，(B1B2)，(B2A1)，(B2A2)，(B2A3)，(B2B1)，(B2B2)}，
记抽到两人都是男生的事件为A，事件A包含的样本点有：(A1A1)，(A1A2)，(A1A3)，(A2A1)，(A2A2)，(A2A3)，(A3A1)，(A3A2)，(A3A3)，共9个，
则P(A)＝.
(2)样本空间Ω＝{(A1A2)，(A1A3)，(A1B1)，(A1B2)，(A2A3)，(A2B1)，(A2B2)，(A3B1)，(A3B2)，(B1B2)}，
记抽到至少有一名女生的事件为B，事件B包含的样本点有：(A1B1)，(A1B2)，(A2B1)，(A2B2)，(A3B1)，(A3B2)，(B1B2)，共7个，则P(B)＝.
16．(本小题满分15分)现有形状、大小完全相同的20个标记了数字1的红球、40个标记了数字2的红球、10个标记了数字1的白球、20个标记了数字2的白球，运用分层随机抽样方法从中抽取9个球后，放入一个不透明的布袋中．
(1)求不透明的布袋中4种球的个数；
(2)从布袋中不放回地随机取2个小球，每次取1个，记事件A＝{第一次取到是红球}，事件B＝{第一次取到了标记数字1的球}，事件C＝{第一次取到了标记数字2的球}，事件D＝{第二次取到了标记数字1的球}．
①求证：P(A)＝P(C)；
②判断：A与D是否相互独立？
请说明理由．
[解]　(1)由题意得，共有20＋40＋10＋20＝90个球，
因为用分层随机抽样方法从中抽取9个球后，放入一个不透明的布袋中，
其中标记数字1的红球有×9＝2个，
标记数字2的红球有×9＝4个，
标记数字1的白球有×9＝1个，
标记数字2的白球有×9＝2个，
所以标记数字1的红球有2个，标记数字2的红球有4个，标记数字1的白球有1个，标记数字2的白球有2个．
(2)从布袋中不放回地随机取2个小球，每次取1个，事件A＝{第一次取到是红球}，事件B＝{第一次取到了标记数字1的球}，
事件C＝{第一次取到了标记数字2的球}，事件D＝{第二次取到了标记数字1的球}，
①由相互独立事件的概率乘法公式，可得P(A)＝＝，P(C)＝＝，
所以P(A)＝P(C)．
②由相互独立事件的概率乘法公式，可得P(A)＝＝，
事件D可分为两种情况：第一次取到标记数字2的球，第二次取到了标记数字1的球和第一次取到标记数字1的球，第二次取到了标记数字1的球，且两种取法为互斥事件，
所以P(D)＝＝，
事件AD可分为：第一次取到了标记数字1的红球，第二次取到了标记数字1的球和第一次取到了标记数字2的红球，第二次取到了标记数字1的球，且两种取法为互斥事件，
所以P(AD)＝＝，
因为P(AD)＝P(A)P(D)，所以事件A与事件D相互独立．
17．(本小题满分15分)某校开展定点投篮项目测试，规则如下：共设定两个投篮点位，一个是三分线上的甲处，另一个是罚篮点位乙处，在甲处每投进一球得3分，在乙处每投进一球得2分．如果前两次得分之和超过3分即停止投篮并且通过测试，否则将进行第三次投篮，每人最多投篮3次，如果最终得分超过3分则通过测试，否则不通过．小明在甲处投篮命中率为，在乙处投篮命中率为，小明选择在甲处投一球，以后都在乙处投．
(1)求小明得3分的概率；
(2)试比较小明选择都在乙处投篮与选择上述方式投篮哪个通过率更大．
[解]　(1)设小明在甲处投进为事件A，在乙处投进为事件B，于是P(A)＝，P(B)＝，小明得3分的概率P＝P(A)＝＝.
(2)小明选择都在乙处投篮，测试通过的概率
P1＝P(BB)＋P(B)＝＝，
小明选择在甲处投一球，以后都在乙处投，测试通过的概率
P2＝P(AB)＋P(ABB)＝＝，
P1－P2＝＝>0，所以选择都在乙处投篮通过率更大．
18．(本小题满分17分)某超市计划按月订购一种酸奶，每天进货量相同，进货成本每瓶4元，售价每瓶6元，未售出的酸奶降价处理，以每瓶2元的价格当天全部处理完．根据往年销售经验，每天需求量与当天最高气温(单位：℃)有关．如果最高气温不低于25 ℃，需求量为500瓶；如果最高气温位于区间[20，25)(单位：℃)，需求量为300瓶；如果最高气温低于20 ℃，需求量为200瓶．为了确定六月份的订购计划，统计了前三年六月份各天的最高气温数据，得下面的频数分布表：
最高 气温 /℃ [10， 15) [15， 20) [20， 25) [25， 30) [30， 35) [35， 40]
天数 2 16 36 25 7 4
以最高气温位于各区间的频率估计最高气温位于该区间的概率．
(1)估计六月份这种酸奶一天的需求量不超过300瓶的概率；
(2)设六月份一天销售这种酸奶的利润为Y(单位：元)，当六月份这种酸奶一天的进货量为450瓶时，写出Y的所有可能值，并估计Y大于零的概率．
[解]　(1)这种酸奶一天的需求量不超过300瓶，当且仅当最高气温低于25 ℃，
由表中数据可知，最高气温低于25 ℃的频率为＝0.6.
所以这种酸奶一天的需求量不超过300瓶的概率的估计值为0.6.
(2)当这种酸奶一天的进货量为450瓶时，
若最高气温低于20 ℃，则Y＝200×6＋(450－200)×2－450×4＝－100；
若最高气温位于区间[20，25)，则Y＝300×6＋(450－300)×2－450×4＝300；
若最高气温不低于25 ℃，则Y＝450×(6－4)＝900，
所以，利润Y的所有可能值为－100，300，900.
Y大于零当且仅当最高气温不低于20 ℃，由表格数据知，最高气温不低于20 ℃的频率为＝0.8，因此Y大于零的概率的估计值为0.8.
19．(本小题满分17分)某地为了解居民可支配收入情况，随机抽取100人，经统计，这100人去年可支配收入(单位：万元)均在区间[4.5，10.5]内，按[4.5，5.5)，[5.5，6.5)，[6.5，7.5)，[7.5，8.5)，[8.5，9.5)，[9.5，10.5]分成6组，频率分布直方图如图所示，若上述居民可支配收入数据的第60百分位数为8.1.
(1)求a，b的值，并估计这100位居民可支配收入的平均值(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)；
(2)用样本的频率估计概率，从该地居民中抽取甲、乙、丙3人，若每次抽取的结果互不影响，求抽取的3人中至少有两人去年可支配收入在内的概率．
[解]　(1)由频率分布直方图，可得0.05＋0.12＋a＋b＋0.2＋0.08＝1，则a＋b＝0.55，①
因为居民可支配收入数据的第60百分位数为8.1，
所以0.05＋0.12＋a＋×b＝0.6，
则a＋0.6b＝0.43，②
将①与②联立，解得
所以平均值为0.05×5＋0.12×6＋0.25×7＋0.3×8＋0.2×9＋0.08×10＝7.72.
(2)根据题意，设事件A，B，C分别为甲、乙、丙可支配收入在[7.5，8.5)内，则P＝P＝P＝0.3.
①“抽取3人中有2人可支配收入在[7.5，8.5)内”＝ABCBC互斥，
P1＝P＝0.3×0.3×(1－0.3)＋0.3×(1－0.3)×0.3＋(1－0.3)×0.3×0.3＝0.189.
②“抽取3人中有3人可支配收入在[7.5，8.5)内”＝ABC，
P2＝P＝PPP＝0.3×0.3×0.3＝0.027.
所以抽取的3人中至少有两人去年可支配收入在[7.5，8.5)内的概率P＝P1＋P2＝0.189＋0.027＝0.216.
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