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(共27张PPT)
章末重构拓展
第六章　平面向量及其
巩固层·知识重构
类型1　平面向量的线性运算
1．向量的线性运算有平面向量及其坐标运算的加法、减法、数乘运算，以及平面向量的基本定理、共线定理，主要考查向量的线性运算和根据线性运算求参问题．
2．通过向量的线性运算，提升数学运算和逻辑推理素养．
提升层·题型探究
√
√
√

类型2　平面向量数量积的运算
1．平面向量的数量积是向量的核心内容，重点是数量积的运算，利用向量的数量积判断两向量平行、垂直，求两向量的夹角，计算向量的模等．
2．通过向量的数量积运算，提升逻辑推理和数学运算素养．
√
√
3
3
类型3　利用余弦、正弦定理解三角形
1．常以余弦定理和正弦定理的应用为背景，融合三角形面积公式、三角恒等变换等，体现了知识的交汇性．
2．借助解三角形，提升逻辑推理和数学运算素养．
类型4　余弦、正弦定理在实际问题中的应用
1．余弦定理和正弦定理在实际生活中的应用主要涉及距离、高度、角度以及平面图形的面积等很多方面．解决这类问题，关键是根据题意画出示意图，将问题抽象为三角形的模型，然后利用定理求解．要注意隐含条件，并最后将计算结果还原为实际问题的结果进行检验．
2．将生活中的实际问题转化为三角形模型，提升逻辑推理和数学建模素养．类型1　平面向量的线性运算
1．向量的线性运算有平面向量及其坐标运算的加法、减法、数乘运算，以及平面向量的基本定理、共线定理，主要考查向量的线性运算和根据线性运算求参问题．
2．通过向量的线性运算，提升数学运算和逻辑推理素养．
【例1】　(1)(多选)如图所示，D是△ABC的边AB上的中点，则向量＝(　　)
A．－＋
C．－ ＋
(2)已知向量a＝(1，2)，b＝(2，－2)，c＝(1，λ)．若c∥(2a＋b)，则λ＝ ．
(1)ABD　(2)　[(1)＝＝－＋＝＋＝＋＝＋＝＝．故选ABD．
(2)2a＋b＝(4，2)，因为c＝(1，λ)，且c∥(2a＋b)，所以1×2＝4λ，即λ＝．]
类型2　平面向量数量积的运算
1．平面向量的数量积是向量的核心内容，重点是数量积的运算，利用向量的数量积判断两向量平行、垂直，求两向量的夹角，计算向量的模等．
2．通过向量的数量积运算，提升逻辑推理和数学运算素养．
【例2】　(1)(多选)已知向量a＝(1，2)，b＝(m，1)(m<0)，且向量b满足b·(a＋b)＝3，则(　　)
A．|b|＝
B．(2a＋b)∥(a＋2b)
C．向量2a－b与a－2b的夹角为
D．向量a在向量b上的投影向量的模为
(2)已知向量a，b满足＝3，＝2，a与b的夹角为60°，则a·b＝ ，若⊥a，则实数m＝ ．
(1)AC　(2)3　3　[(1)将a＝(1，2)，b＝(m，1)代入b·(a＋b)＝3，得(m，1)·(1＋m，3)＝3，得m2＋m＝0，解得m＝－1或m＝0(舍去)，所以b＝(－1，1)，所以|b|＝＝，故A正确；
因为2a＋b＝(1，5)，a＋2b＝(－1，4)，1×4－(－1)×5＝9≠0，所以2a＋b与a＋2b不平行，故B错误；
设向量2a－b与a－2b的夹角为θ，因为2a－b＝(3，3)，a－2b＝(3，0)，所以cos θ＝＝，又θ∈[0，π]，所以θ＝，故C正确；
向量a在向量b上的投影向量的模为＝＝，故D错误．
(2)因为＝3，＝2，a与b的夹角为60°，
所以a·b＝cos 60°＝3×2×＝3；
因为⊥a，所以·a＝0，
即a2－ma·b＝0，
故9－3m＝0，得m＝3．]
类型3　利用余弦、正弦定理解三角形
1．常以余弦定理和正弦定理的应用为背景，融合三角形面积公式、三角恒等变换等，体现了知识的交汇性．
2．借助解三角形，提升逻辑推理和数学运算素养．
【例3】　在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，2b2＝(b2＋c2－a2)(1－tan A)．
(1)求角C；
(2)若c＝2，D为BC的中点，在下列两个条件中任选一个，求AD的长度．
条件①：△ABC的面积S＝4且B＞A；
条件②：cos B＝．
[解]　(1)由题意及余弦定理，得2b2＝2bc cos A·(1－tan A)．
∴b＝c(cos A－sin A)，
由正弦定理可得sin B＝sin C(cos A－sin A)，
∴sin (A＋C)＝sin Ccos A－sin Csin A，
∴sin Acos C＝－sin Csin A，
又sin A≠0，
∴tan C＝－1，又0解得C＝．
(2)若选择条件①，S＝4且B>A，
∵S＝4＝absin C＝absin ，
∴ab＝8．
由余弦定理，得c2＝(2)2＝40＝a2＋b2－2abcos ，
∴a2＋b2＋ab＝40．
由解得或
∵B>A，∴b>a，∴
∴CD＝．
在△ACD中，AD2＝CA2＋CD2－2CA·CDcos C＝16＋2－2×4×cos ＝26，
∴AD＝．
若选择条件②，cos B＝，
∴sin B＝．
∴sin A＝sin (B＋C)＝sin Bcos C＋cos Bsin C＝，
由正弦定理可得a＝＝2，∴BD＝．
在△ABD中，由余弦定理可得AD2＝AB2＋BD2－2AB·BD cos B，
解得AD＝．
【教用·备选题】　在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，其外接圆的半径为，且满足4sin B cos C＝2a－c．
(1)求角B；
(2)若AC边上的中线长为，求△ABC的面积．
[解]　(1)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，其外接圆的半径为，
则a＝2sin A，c＝2sin C，
又4sin B cos C＝2a－c，
则2sin B cos C＝2sin A－sin C，
Ｆ　则2sin B cos C＝2sin B cos C＋2cos B sin C－sin C，
又sin C＞0，即cos B＝，
又0＜B＜π，则B＝．
(2)由题意可得b＝2sin B＝2×＝3，
又AC边上的中线长为，
则||＝5，
即c2＋a2＋2×ac×＝25，
即a2＋c2＋ac＝25，①
又由余弦定理可得a2＋c2－2ac×＝9，
即a2＋c2－ac＝9，②
由①②可得ac＝8，
即△ABC的面积为ac sin B＝×8×＝2．
类型4　余弦、正弦定理在实际问题中的应用
1．余弦定理和正弦定理在实际生活中的应用主要涉及距离、高度、角度以及平面图形的面积等很多方面．解决这类问题，关键是根据题意画出示意图，将问题抽象为三角形的模型，然后利用定理求解．要注意隐含条件，并最后将计算结果还原为实际问题的结果进行检验．
2．将生活中的实际问题转化为三角形模型，提升逻辑推理和数学建模素养．
【例4】　在某海域A处的巡逻船发现南偏东60°方向，相距a海里的B处有一可疑船只，此可疑船只正沿射线y＝x(x≥0)(以B点为坐标原点，正东，正北方向分别为x轴，y轴正方向，1海里为单位长度，建立平面直角坐标系)方向匀速航行．巡逻船立即开始沿直线匀速追击拦截，巡逻船出发t小时后，可疑船只所在位置的横坐标为bt．若巡逻船以30海里/时的速度向正东方向追击，则恰好1小时与可疑船只相遇．
(1)求a，b的值；
(2)若巡逻船以5海里/时的速度进行追击拦截，能否拦截成功？若能，求出拦截时间；若不能，请说明理由．
[解]　(1)因为巡逻船以30海里/时的速度向正东方向追击，设1小时后两船相遇于点C，如图所示，则AC∥x轴，AC＝30，又可疑船只沿射线y＝x(x≥0)匀速航行，故∠CBx＝30°，因为∠CAB＝30°，所以△ABC关于y轴对称，所以AB＝BC＝a，所以a＝＝10，b＝10cos 30°＝15．
(2)若巡逻船以5海里/时的速度进行追击，设t小时后两船相遇于点D，如图所示，
则∠ABD＝120°，BD＝＝10t，AD＝5t，AB＝10，
因为AD2＝AB2＋BD2－2AB·BD cos ∠ABD，
可得(5t)2＝(10)2＋(10t)2－2×10×10t×，
整理得3t2－4t－4＝0，解得t＝2或t＝－(舍去)，所以能够拦截成功，拦截时间为2小时．
章末综合测评(一)　平面向量及其应用
(时间：120分钟　满分：150分)
一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．关于非零向量a，b，下列说法正确的是(　　)
A．若|a|>|b|，则a>b
B．若|a|＝|b|，则a＝b
C．若a＝b，则a∥b
D．若a≠b，则a，b不是共线向量
C　[向量不能比较大小，所以A不正确；a＝b需满足两个条件：a，b同向且|a|＝|b|，所以B不正确；C正确；若a，b是共线向量，则只需a，b方向相同或相反，D不正确．]
2．记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若sin A＝，a＝，b＝2，则sin B＝(　　)
A．　 　B．　 　C．　 　D．
B　[由正弦定理知，＝得sin B＝＝＝．故选B．]
3．a＝，b＝，则a在b上的投影向量为(　　)
A．
C．
A　[因为a＝，b＝，所以a·b＝－3＋10＝7，＝＝，
所以a在b上的投影向量为·b＝×＝．故选A．]
4．(2024·全国甲卷)已知向量a＝(x＋1，x)，b＝(x，2)，则(　　)
A．“x＝－3”是“a⊥b”的必要条件
B．“x＝－3”是“a∥b”的必要条件
C．“x＝0”是“a⊥b”的充分条件
D．“x＝－1＋”是“a∥b”的充分条件
C　[对A，当a⊥b时，则a·b＝0，
所以x·(x＋1)＋2x＝0，解得x＝0或x＝－3，即必要性不成立，故A错误；
对C，当x＝0时，a＝(1，0)，b＝(0，2)，故a·b＝0，
所以a⊥b，即充分性成立，故C正确；
对B，当a∥b时，则2(x＋1)＝x2，解得x＝1±，即必要性不成立，故B错误；
对D，当x＝－1＋时，不满足2(x＋1)＝x2，所以a∥b不成立，即充分性不成立，故D错误．故选C．]
5．某学生体重为m kg，处于如图所示的平衡状态，假设他每只胳膊的最大拉力大小均为mg N(重力加速度大小为g)，如果要使胳膊得到充分的锻炼，那么他两只胳膊的夹角最大为(　　)
A．
C．
B　[由题意，不妨设当该学生两只胳膊的拉力最大时，他两只胳膊的夹角最大为θ，θ∈(0，π)，
设此时两只胳膊的拉力为 ，
则|＝|＝mg N，
则|＝mg，即有|2＝(mg)2，
所以·F2＝(mg)2，
即(mg)2＋(mg)2＋2××(mg)2×cos θ＝(mg)2，故cos θ＝，故θ＝．故选B．]
6．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．若△ABC的面积为3，b－c＝2，cos A＝－，则△ABC的周长为(　　)
A．18 B．16
C．20 D．15
A　[在△ABC中，由cos A＝－，可得sin A＝，所以bc×＝3，即bc＝24．由余弦定理得a2＝b2＋c2＋2bc×＝b2＋c2＋bc，
联立得
则△ABC的周长为a＋b＋c＝18，故选A．]
7．在△ABC中，AB＝3，BC＝5，D为BC边上一点，且满足＝，此时∠ADC＝，则AC边长等于(　　)
A．
C．4 D．
D　[如图，结合题意绘出图象，
因为BC＝5，＝，
所以BD＝3，DC＝2，
因为∠ADC＝，所以∠ADB＝，
在△ABD中，
AD2＋BD2－AB2＝2AD·BD cos ∠ADB，
即AD2＋32－32＝2AD×3×，
解得AD＝3或0(舍去)，即AD＝3，
在△ADC中，AD2＋DC2－AC2＝2AD·DC cos ∠ADC，
即32＋22－AC2＝2×3×2×，
解得AC＝，
故选D．]
8．P是边长为2的正方形ABCD边界或内部一点，且＝，则·的最大值是(　　)
A．2 B．4
C．5 D．6
C　[法一：(坐标法)以B为坐标原点，以方向为x轴正方向，以方向为y轴正方向建立坐标系，
则A，B，C，D，设P(x，y)，0≤x≤2，0≤y≤2，则＝(x，y－2)，
因为＝，
则＝＝＝(2－x，－2－y)，
则·＝x(2－x)＋(y－2)(－2－y)
＝5－，
故当x＝1，y＝0时，·取得最大值为5．
法二：(极化恒等式)令＝＝2，则E为BC中点，E为PM中点，
所以·＝＝AE2－PE2≤AE2＝5，当P为BC中点时取等号．故选C．]
二、多项选择题(本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分)
9．如图，在平行四边形ABCD中，E，F分别是CD边上的两个三等分点，则下列选项正确的有(　　)
A．＝
B．＝
C．＝
D．＝＋
AB　[选项A，由题意知，E，F分别是CD边上的两个三等分点，且与方向相同，则＝，故A正确；
选项B，由题图可知，＝＝，所以＝，故B正确；
选项C，＝，所以C错误；
选项D，＝＝＋＝＋＝＋，故D错误．
故选AB．]
10．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且cos A＝a cos C，b＝2，若边BC的中线AD＝3，则下列结论正确的有(　　)
A．A＝ B．A＝
C．·＝6 D．△ABC的面积为3
ACD　[根据正弦定理，由cos A＝a cos C 2sin B cos A－sin C cos A＝sin A cos C 2sin B cos A＝sin A cos C＋sin C cos A＝sin (A＋C)＝sin (π－B)＝sin B，
因为B∈(0，π)，所以sin B≠0，因此2cos A＝1 cos A＝，因为A∈(0，π)，所以A＝，因此选项A正确，选项B错误；
因为AD是中线，所以由＝) 4＝＋＋2· 36＝c2＋12＋2×2×c c＝2，或c＝－4舍去，因此·＝2×2×＝6，所以选项C正确；
△ABC的面积为bc sin A＝×2×2×＝3，所以选项D正确．故选ACD．]
11．设点M是△ABC所在平面内一点，则下列说法中正确的是(　　)
A．若＝＋，则点M是边BC的中点
B．若＝2，则点M在线段BC的延长线上
C．若＝－，则点M是△ABC的重心
D．若＝x＋y，且x＋y＝，则△MBC的面积是△ABC面积的
ACD　[A项，＝＋ －＝－，即＝，则点M是边BC的中点，所以A正确；
B项，＝2 ＝，即＝，则点M在线段CB的延长线上，所以B错误；
C项，如图，设BC的中点为D，
则＝－＝＝2，由重心性质可知C正确；
D项，＝x＋y，
且x＋y＝ 2＝2x＋2y，2x＋2y＝1，设＝2，所以＝2x＋2y，2x＋2y＝1，可知B，C，D三点共线，所以△MBC的面积是△ABC面积的，所以D正确．]
三、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分)
12．若|a|＝1，|b|＝2，a与b的夹角为60°，若(3a＋5b)⊥(ma－b)，则m的值为 ．
　[由题意知(3a＋5b)·(ma－b)＝3ma2＋(5m－3)a·b－5b2＝0，即3m＋(5m－3)×2×cos 60°－5×4＝0，解得m＝．]
13．(2022·浙江高考) 我国南宋著名数学家秦九韶，发现了从三角形三边求面积的公式，他把这种方法称为“三斜求积”，它填补了我国传统数学的一个空白．如果把这个方法写成公式，就是S＝，其中a，b，c是三角形的三边，S是三角形的面积．设某三角形的三边a＝，b＝，c＝2，则该三角形的面积S＝ ．
　[法一：S＝＝＝．
法二：cos A＝＝＝，sin A＝，S＝×2×＝．]
14．如图所示，半圆的直径AB＝2，O为圆心，C是半圆上不同于A，B的任意一点，若P为半径OC上的动点，则()·的最小值是 ．
－　[因为点O是AB的中点，
所以＝2，
设||＝x，则||＝1－x(0≤x≤1)，
所以()·＝2·＝－2x(1－x)
＝2－．
所以当x＝时，()·取到最小值－．]
四、解答题(本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
15．(本小题满分13分)已知向量a与b的夹角为60°，|a|＝1，b＝．
(1)求|b|及a·b；
(2)求|a－2b|．
[解]　(1)由题设＝＝2，则a·b＝·cos θ＝1×2cos 60°＝1．
(2)由|a－2b|2＝＝a2－4a·b＋4b2 ＝12－4×1＋4×22＝13，
所以＝．
16．(本小题满分15分)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，已知(a＋c)·(a－c)＝b(b＋c)．
(1)求角A的大小；
(2)在下列三个条件中任选一个，补充在下面问题中的横线上，并解答．
若b＝3，c＝4，点D是BC边上的一点，且 ，求线段AD的长．
①AD是△ABC的中线；②AD是△ABC的角平分线；③BD＝2CD．
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
[解]　(1)由(a＋c)(a－c)＝b(b＋c)，得b2＋c2－a2＝－bc，
即cos A＝＝－，
因为0(2)选①，由b＝3，c＝4，A＝，
则||2＝＝||2＋||2＋·
＝c2＋b2＋bc·cos A
＝4＋＋6×＝，
所以AD＝．
选②，因为S△ABC＝S△ADC＋S△ABD，b＝3，c＝4，A＝，
所以bc sin A＝b·AD sin ＋c·AD sin ，
即×3×4·sin＝×3AD·sin＋×4AD·sin，
解得AD＝．
选③，依题意，得＝＋)＝＋，
由b＝3，c＝4，A＝，
则||2＝
＝||2＋||2＋·
＝c2＋b2＋bc·cos A
＝＋4＋×＝．
故AD＝．
17．(本小题满分15分)(2023·新高考Ⅰ卷)已知在△ABC中，A＋B＝3C，2sin (A－C)＝sin B．
(1)求sin A；
(2)设AB＝5，求AB边上的高．
[解]　法一：(1)在△ABC中，A＋B＝π－C，
因为A＋B＝3C，所以3C＝π－C，所以C＝．
因为2sin (A－C)＝sin B，
所以2sin ＝sin ，
展开并整理得(sin A－cos A)＝(cos A＋sin A)，
得sin A＝3cos A，
又sin2A＋cos2A＝1，且sinA＞0，所以sin A＝．
(2)由正弦定理＝，
得BC＝·sin A＝×＝3，
由余弦定理AB2＝AC2＋BC2－2AC·BC cos C，
得52＝AC2＋(3)2－2AC·3cos ，
整理得AC2－3AC＋20＝0，
解得AC＝或AC＝2．
由(1)得，tan A＝3＞，所以＜A＜，
又A＋B＝，所以B＞，
即C＜B，所以AB＜AC，所以AC＝2．
设AB边上的高为h，则×AB×h＝×AC×BC sin C，
即5h＝2×3×，解得h＝6，
所以AB边上的高为6．
法二：(1)在△ABC中，A＋B＝π－C，
因为A＋B＝3C，所以3C＝π－C，
所以C＝．
因为2sin (A－C)＝sin B，
所以2sin (A－C)＝sin [π－(A＋C)]＝sin (A＋C)，
所以2sin A cos C－2cos A sin C＝sin A cos C＋cos A sin C，
所以sin A cos C＝3cos A sin C，
易得cos A cos C≠0，
所以tan A＝3tan C＝3tan ＝3，
又sin A＞0，
所以sin A＝＝．
(2)由(1)知sin A＝，tan A＝3＞0，所以A为锐角，所以cos A＝，
所以sin B＝sin ＝(cos A＋sin A)＝×＝，
由正弦定理＝，
得AC＝＝＝2，
故AB边上的高为AC·sin A＝2×＝6．
18．(本小题满分17分)如图，在△OAB中，P为边AB上的一点，＝2，||＝6，||＝2，且与的夹角为60°．
(1)求的模；
(2)求·的值．
[解]　(1)因为＝2，
所以＝＝＋＝＋)＝＋，
因为||＝6，||＝2，与的夹角为60°，
所以＝＝＋·＋＝×36＋×6×2×＋×4＝，所以||＝．
(2)·＝·()＝＋·＋＝－×36＋×6×2×＋×4＝－．
19．(本小题满分17分)目前，中国已经建成全球最大的5G网络，无论是大山深处还是广袤平原，处处都能见到5G基站的身影．如图①，某同学在一条水平公路上观测对面山顶上的一座5G基站AB，已知基站高AB＝50 m，该同学眼高1.5 m(眼睛到地面的距离)，该同学在初始位置C处(眼睛所在位置)测得基站底部B的仰角为37°，测得基站顶端A的仰角为45°．
(1)求出山高BE(结果保留一位小数)；
(2)如图②，当该同学面向基站AB前行时(保持在同一铅垂面内)，记该同学所在位置M处(眼睛所在位置)到基站AB所在直线的距离MD＝x m，且记在M处观测基站底部B的仰角为α，观测基站顶端A的仰角为β．试问当x多大时，观测基站的视角∠AMB最大？
参考数据：sin 8°≈0.14，sin 37°≈0.6，sin 45°≈0.7，sin 127°≈0.8．
[解]　(1)由题知∠ACB＝8°，∠BAC＝45°，
在△ABC中，由正弦定理得＝，即＝，
所以BC≈＝250，
在Rt△BDC中，sin ∠BCD＝，
即sin 37°＝，所以BD≈250×0.6＝150，
所以山高BE＝BD＋DE≈150＋1.5＝151.5(m)．
(2)由题知∠AMD＝β，∠BMD＝α，
则在Rt△BMD中，tan α＝＝，
在Rt△AMD中，tan β＝＝，
由题知∠AMB＝β－α，
则tan ∠AMB＝tan (β－α)＝
＝＝
＝≤＝＝，
当且仅当x＝，即x＝100 m时，
tan ∠AMB取得最大值，即视角最大．
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