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(共38张PPT)
8.3.2　圆柱、圆锥、圆台、球的表面积和体积
第八章　立体几何初步
8.3　简单几何体的表面积与体积
整体感知
[学习目标]　1．了解圆柱、圆锥、圆台、球的表面积和体积的计算公式．
2．理解并掌握侧面展开图与几何体的表面积之间的关系，并能利用计算公式求几何体的表面积与体积．
[讨论交流]　预习教材P116－P119的内容，思考以下问题：
问题1．圆柱、圆锥、圆台、球的表面积如何计算？
问题2．圆柱、圆锥、圆台、球的体积公式分别是什么？
[自我感知]　经过认真预习，结合你对本节课的理解和认识，请画出本节课的知识逻辑体系．
探究建构
探究1　圆柱、圆锥、圆台的表面积
[新知生成]
图形 表面积公式
圆柱 底面积：S底＝________；
侧面积：S侧＝________；
表面积：S＝________________
2πr2
2πrl
2πr(r＋l)
图形 表面积公式
圆锥 底面积：S底＝______；
侧面积：S侧＝______；
表面积：S＝______________
圆台 上底面面积：S上底＝________；
下底面面积：S下底＝______；
侧面积：S侧＝__________________；
表面积：S＝_____________________
πr2
πrl
πr(r＋l)
πr′2
πr2
π(r′l＋rl)
π(r′2＋r2＋r′l＋rl)
[典例讲评]　1．(1)将一个边长分别为4π，8π的矩形卷成一个圆柱的侧面，则这个圆柱(包含上、下底面)的表面积是_________________
___．
(2)(源自北师大版教材)圆台的上、下底面半径分别是10 cm和20 cm，它的侧面展开图的扇环的圆心角是180°，那么圆台的侧面积是多少？(结果中保留π)
32π2＋8π或32π2＋
32π
(1)32π2＋8π或32π2＋32π　[当底面圆的周长为8π时，半径r＝4，
∴上、下底面面积和为2×π×42＝32π，侧面积为4π×8π＝32π2，
∴圆柱的表面积为32π2＋32π．
同理可得当底面圆的周长为4π时，圆柱的表面积为32π2＋8π．]
(2)[解]　如图，设圆台上底面周长为c cm．
因为圆环的圆心角是180°，所以c＝π·SA．
又因为c＝2π×10＝20π(cm)，所以SA＝20 cm．
同理SB＝40 cm．所以AB＝SB－SA＝20(cm)，
S圆台侧＝π(r1＋r2)·AB＝π(10＋20)×20＝600π(cm2)．
因此，圆台的侧面积为600π cm2．
反思领悟　解决圆柱、圆锥、圆台的表面积问题，要利用好旋转体的轴截面及侧面展开图，借助于平面几何知识，求得所需几何要素，代入公式求解即可．
[学以致用]　1．若圆锥的侧面展开图的扇形的圆心角为120°，则圆锥的表面积是底面积的(　　)
A．2倍　　B．3倍　　C．4倍　　D．5倍
√
√
224π
反思领悟　求圆柱、圆锥、圆台的体积的关键是求其底面面积和高，其中高一般利用几何体的轴截面求得，一般是在由母线、高、半径组成的直角三角形中列出方程并求解．
√
√
探究3　球的表面积和体积
[新知生成]
1．球的表面积公式S＝________(R为球的半径)．
2．球的体积公式V＝_______．
[典例讲评]　3．(1)已知球的表面积为64π，求它的体积；
(2)已知OA为球O的半径，过OA的中点M且垂直于OA的平面截球面得到圆M．若圆M的面积为3π，求球O的表面积．
4πR2
反思领悟　1．计算球的表面积和体积的关键是半径与球心．
2．有关球的截面问题，常画出截面圆，将问题转化为平面中圆的问题．解题时要注意借助球半径R、截面圆半径r、球心到截面的距离d构成的直角三角形，即R2＝d2＋r2．
[学以致用]　3．(1)将两个半径为1的小铁球熔化后铸成一个大球，则这个大球的半径R为________．
(2)已知半径为5的球的两个平行截面圆的周长分别为6π和8π，则这两个截面间的距离为________．

1或7
【链接·教材例题】
例3　如图8.3-4，某种浮标由两个半球和一个圆柱黏合而成，半球的直径是0.3 m，圆柱高0.6 m．如果在浮标表面涂一层防水漆，每平方米需要0.5 kg涂料，那么给1 000个这样的浮标涂防水漆需要多少涂料？(π取3.14)
[解]　一个浮标的表面积为
2π×0.15×0.6＋4π×0.152＝0.847 8(m2)，
所以给1 000个这样的浮标涂防水漆约需涂料
0.847 8×0.5×1 000＝423.9(kg)．
例4　如图8.3-6，圆柱的底面直径和高都等于球的直径，求球与圆柱的体积之比．
2
4
3
题号
1
应用迁移
√
1．已知圆锥的底面半径为4，母线长为5，则该圆锥的侧面积为
(　　)
A．16π　　 B．20π
C．36π D．40π
B　[由圆锥的底面半径为4，母线长为5，
则圆锥的侧面积为S侧＝π×4×5＝20π．故选B．]
2
3
题号
1
4
√
2．圆台的体积为7π，上、下底面的半径分别为1和2，则圆台的高为(　　)
A．3　　 B．4
C．5 D．6
2
3
题号
4
1
√
2
4
3
题号
1

1．知识链：(1)圆柱、圆锥、圆台的表面积．
(2)圆柱、圆锥、圆台的体积．
(3)球的表面积和体积．
2．方法链：公式法．
3．警示牌：注意掌握平面图形与立体图形的切换．
回顾本节知识，自主完成以下问题：
1．如图，圆锥的侧面展开图为一扇形，则扇形圆心角度数α，母线l、底面半径r存在怎样的等量关系？
2．你能描述一下圆柱、圆锥、圆台的体积公式间的内在联系吗？
[提示]　柱体可以看作上、下底面相同的台体，锥体可以看作有一个底面是一个点的台体，因此柱体、锥体可以看作“特殊”的台体．柱体、锥体的体积公式可以看作台体体积公式的“特殊”形式．具体如下：
3．球的表面积和体积公式是什么？
4．解决球的截面问题的关键是什么？
[提示]　解决球的截面问题的关键是建立球半径R、截面圆半径r、球心到截面的距离d三者之间的方程．
阅读材料
不过，我国魏晋时期的数学家刘徽在给《九章算术》作注时就发现，上述公式的近似效果并不好，于是想到了推算球体积的方法，他创造了一个称为“牟合方盖”的立体图形．如图①所示，在一个立方体内作两个互相垂直的内切圆柱，其相交的部分，就是牟合方盖，如图②所示．
刘徽所盼的“能言者”过了两百多年才出现，那就是祖冲之和他的儿子祖暅．祖氏父子继承了刘徽的思路，即从计算牟合方盖体积来突破．他们考虑了立方体切除牟合方盖之后的那部分的体积，取牟合方盖的八分之一，考虑它与其外切正方体所围成的立体，如图③甲所示．将它分成四个小立体，如图③乙、③丙、③丁、③戊．其中图③乙就是牟合方盖的八分之一．祖氏父子通过考察截面的面积发现，图③丙、丁、戊的立体体积之和等于如图③己所示的四棱锥体积，这个四棱锥的底面边长和高都等于如图③甲所示的正方体的棱长．8.3.2　圆柱、圆锥、圆台、球的表面积和体积
[学习目标]　1．了解圆柱、圆锥、圆台、球的表面积和体积的计算公式．
2．理解并掌握侧面展开图与几何体的表面积之间的关系，并能利用计算公式求几何体的表面积与体积．
[讨论交流]　预习教材P116－P119的内容，思考以下问题：
问题1．圆柱、圆锥、圆台、球的表面积如何计算？
问题2．圆柱、圆锥、圆台、球的体积公式分别是什么？
[自我感知]　经过认真预习，结合你对本节课的理解和认识，请画出本节课的知识逻辑体系．
探究1　圆柱、圆锥、圆台的表面积
[新知生成]
图形 表面积公式
圆柱 底面积：S底＝2πr2； 侧面积：S侧＝2πrl； 表面积：S＝2πr(r＋l)
圆锥 底面积：S底＝πr2； 侧面积：S侧＝πrl； 表面积：S＝πr(r＋l)
圆台 上底面面积：S上底＝πr′2； 下底面面积：S下底＝πr2； 侧面积：S侧＝π(r′l＋rl)； 表面积：S＝π(r′2＋r2＋r′l＋rl)
【教用·微提醒】　圆柱、圆锥、圆台的侧面积之间的关系：
S圆柱侧＝2πrlS圆台侧＝π(r′＋r)lS圆锥侧＝πrl．
[典例讲评]　1．(1)将一个边长分别为4π，8π的矩形卷成一个圆柱的侧面，则这个圆柱(包含上、下底面)的表面积是________．
(2)(源自北师大版教材)圆台的上、下底面半径分别是10 cm和20 cm，它的侧面展开图的扇环的圆心角是180°，那么圆台的侧面积是多少？(结果中保留π)
(1)32π2＋8π或32π2＋32π　[当底面圆的周长为8π时，半径r＝4，∴上、下底面面积和为2×π×42＝32π，侧面积为4π×8π＝32π2，
∴圆柱的表面积为32π2＋32π．
同理可得当底面圆的周长为4π时，圆柱的表面积为32π2＋8π．]
(2)[解]　如图，设圆台上底面周长为c cm．
因为圆环的圆心角是180°，所以c＝π·SA．
又因为c＝2π×10＝20π(cm)，所以SA＝20 cm．
同理SB＝40 cm．
所以AB＝SB－SA＝20(cm)，S圆台侧＝π(r1＋r2)·AB＝π(10＋20)×20＝600π(cm2)．
因此，圆台的侧面积为600π cm2．
　解决圆柱、圆锥、圆台的表面积问题，要利用好旋转体的轴截面及侧面展开图，借助于平面几何知识，求得所需几何要素，代入公式求解即可．
[学以致用]　1．若圆锥的侧面展开图的扇形的圆心角为120°，则圆锥的表面积是底面积的(　　)
A．2倍　　B．3倍　　C．4倍　　D．5倍
C　[设圆锥底面半径为r，母线长为R．
由圆锥底面周长为2πr＝×2πR，解得R＝3r，∴圆锥的表面积S表＝πr2＋πrR＝4πr2，圆锥的底面积S底＝πr2，
∴圆锥的表面积是底面积的4倍．]
【教用·备选题】　一个直角梯形上底、下底和高之比为2∶4∶，将此直角梯形以垂直于底的腰为轴旋转一周形成一个圆台，求这个圆台上底面积、下底面积和侧面积之比．
[解]　由题意可设直角梯形上底、下底和高分别为2x，4x，x，它们分别为圆台的上、下底面半径和高．如图所示，过点B作BC⊥OA于C，则在Rt△ABC中，AC＝OA－OC＝OA－O′B＝4x－2x＝2x，BC＝O′O＝x，
∴AB＝＝＝3x．
∴S上∶S下∶S侧＝∶∶＝2∶8∶9．
探究2　圆柱、圆锥、圆台的体积
[新知生成]　圆柱、圆锥、圆台的体积公式
(1)V圆柱＝πr2h(r是底面半径，h是高)．
(2)V圆锥＝πr2h(r是底面半径，h是高)．
(3)V圆台＝πh(r2＋r′r＋r′2)(r′，r分别是上、下底面半径，h是高)．
[典例讲评]　2．(1)已知等腰直角三角形的直角边的长为2，将该三角形绕其斜边所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为(　　)
A． B．
C．2π D．4π
(2)已知圆台的上、下底面半径和高的比为1∶4∶4，母线长为10，则圆台的体积为________．
(1)B　(2)224π　[(1)绕等腰直角三角形的斜边所在的直线旋转一周形成的曲面围成的几何体为两个底面重合、等体积的圆锥，每一个圆锥的底面半径和高都是，故所求几何体的体积V＝2××2π×＝．
(2)设上底面半径为r，则下底面半径R＝4r，高h＝4r，如图．
∵母线长为10，∴102＝(4r)2＋(4r－r)2，解得r＝2．
∴下底面半径R＝8，高h＝8，
∴V圆台＝π(r2＋rR＋R2)h＝224π．]
　求圆柱、圆锥、圆台的体积的关键是求其底面面积和高，其中高一般利用几何体的轴截面求得，一般是在由母线、高、半径组成的直角三角形中列出方程并求解．
[学以致用]　2．(多选)圆柱的侧面展开图是长12 cm，宽8 cm的矩形，则这个圆柱的体积可能是(　　)
A． cm3　　 B． cm3
C．288π cm3 D．192π cm3
AB　[当圆柱的高为8 cm时，V＝π××8＝(cm3)，当圆柱的高为12 cm时，V＝π××12＝(cm3)．]
探究3　球的表面积和体积
[新知生成]
1．球的表面积公式S＝4πR2(R为球的半径)．
2．球的体积公式V＝．
[典例讲评]　3．(1)已知球的表面积为64π，求它的体积；
(2)已知OA为球O的半径，过OA的中点M且垂直于OA的平面截球面得到圆M．若圆M的面积为3π，求球O的表面积．
[解]　(1)设球的半径为r，则由已知得4πr2＝64π，r＝4．
所以球的体积为V＝πr3＝π．
(2)如图，圆M的面积为3π，则圆M的半径MB为，设球O的半径为R，则R2＝R2＋3，得R＝2，
则球O的表面积等于4π×22＝16π．
　1．计算球的表面积和体积的关键是半径与球心．
2．有关球的截面问题，常画出截面圆，将问题转化为平面中圆的问题．解题时要注意借助球半径R、截面圆半径r、球心到截面的距离d构成的直角三角形，即R2＝d2＋r2．
[学以致用]　3．(1)将两个半径为1的小铁球熔化后铸成一个大球，则这个大球的半径R为________．
(2)已知半径为5的球的两个平行截面圆的周长分别为6π和8π，则这两个截面间的距离为________．
(1)　(2)1或7　[(1)V小球＝·π·13＝π，V大球＝πR3，依题意πR3＝π×2＝π，所以R3＝2，所以R＝．
(2)若两个平行截面在球心同侧，如图①，则两个截面间的距离为＝1；
若两个平行截面在球心异侧，如图②，则两个截面间的距离为＝7．
]
【链接·教材例题】
例3　如图8.3-4，某种浮标由两个半球和一个圆柱黏合而成，半球的直径是0.3 m，圆柱高0.6 m．如果在浮标表面涂一层防水漆，每平方米需要0.5 kg涂料，那么给1 000个这样的浮标涂防水漆需要多少涂料？(π取3.14)
[解]　一个浮标的表面积为
2π×0.15×0.6＋4π×0.152＝0.847 8(m2)，
所以给1 000个这样的浮标涂防水漆约需涂料
0．847 8×0.5×1 000＝423.9(kg)．
例4　如图8.3-6，圆柱的底面直径和高都等于球的直径，求球与圆柱的体积之比．
[解]　设球的半径为R，则圆柱的底面半径为R，高为2R．
∵V球＝πR3，V圆柱＝πR2·2R＝2πR3，
∴V球∶V圆柱＝πR3∶2πR3＝．
1．已知圆锥的底面半径为4，母线长为5，则该圆锥的侧面积为(　　)
A．16π　　 B．20π
C．36π D．40π
B　[由圆锥的底面半径为4，母线长为5，
则圆锥的侧面积为S侧＝π×4×5＝20π．故选B．]
2．圆台的体积为7π，上、下底面的半径分别为1和2，则圆台的高为(　　)
A．3　　 B．4
C．5 D．6
A　[设圆台的高为h，由题意知V＝π(12＋1×2＋22)h＝7π，故h＝3．故选A．]
3．(2024·新高考Ⅰ卷)已知圆柱和圆锥的底面半径相等，侧面积相等，且它们的高均为，则圆锥的体积为(　　)
A．2π　　 B．3π
C．6π D．9π
B　[设圆柱的底面半径为r，则圆锥的母线长为，而它们的侧面积相等，所以2πr×＝πr×，即2＝，故r＝3，
故圆锥的体积为π×9×＝3π．故选B．]
4．如图所示，一个底面半径为R的圆柱形量杯中，装有适量的水，若放入一个半径为r的实心铁球，水面高度恰好升高r，则＝________．
　[依题意πr3＝πR2·r，所以＝＝．]
1．知识链：(1)圆柱、圆锥、圆台的表面积．
(2)圆柱、圆锥、圆台的体积．
(3)球的表面积和体积．
2．方法链：公式法．
3．警示牌：注意掌握平面图形与立体图形的切换．
回顾本节知识，自主完成以下问题：
1．如图，圆锥的侧面展开图为一扇形，则扇形圆心角度数α，母线l、底面半径r存在怎样的等量关系？
[提示]　圆锥侧面展开图中扇形弧长为圆锥底面周长，而扇形弧长又是以l为半径的圆周长的，于是有·2πl＝2πr，即r＝l．
2．你能描述一下圆柱、圆锥、圆台的体积公式间的内在联系吗？
[提示]　柱体可以看作上、下底面相同的台体，锥体可以看作有一个底面是一个点的台体，因此柱体、锥体可以看作“特殊”的台体．柱体、锥体的体积公式可以看作台体体积公式的“特殊”形式．具体如下：
3．球的表面积和体积公式是什么？
[提示]　设球的半径为R，则球的表面积S＝4πR2，球的体积V＝πR3．
4．解决球的截面问题的关键是什么？
[提示]　解决球的截面问题的关键是建立球半径R、截面圆半径r、球心到截面的距离d三者之间的方程．
我国古代数学中球的体积公式
我国古代数学名著《九章算术》中的“开立圆术”相当于给出了已知球的体积V，求其直径d的一个近似公式d≈．实际上，“开立圆术”认为，球的体积V≈d3．
不过，我国魏晋时期的数学家刘徽在给《九章算术》作注时就发现，上述公式的近似效果并不好，于是想到了推算球体积的方法，他创造了一个称为“牟合方盖”的立体图形．如图①所示，在一个立方体内作两个互相垂直的内切圆柱，其相交的部分，就是牟合方盖，如图②所示．
牟合方盖恰好把立方体的内切球包含在内并且同球相切．如果用同一水平面去截它们，就得到一个圆(球的截面)和它的外切正方形(牟合方盖的截面)．刘徽指出，在每一高度的水平截面圆与其外切正方形的面积之比等于，因此球体积与牟合方盖体积之比也应该等于．因此，只要知道了牟合方盖的体积，就能得出球的体积．遗憾的是，刘徽当时并没有得出牟合方盖的体积，他说：“敢不阙疑，以候能言者．”
刘徽所盼的“能言者”过了两百多年才出现，那就是祖冲之和他的儿子祖暅．祖氏父子继承了刘徽的思路，即从计算牟合方盖体积来突破．他们考虑了立方体切除牟合方盖之后的那部分的体积，取牟合方盖的八分之一，考虑它与其外切正方体所围成的立体，如图③甲所示．将它分成四个小立体，如图③乙、③丙、③丁、③戊．其中图③乙就是牟合方盖的八分之一．祖氏父子通过考察截面的面积发现，图③丙、丁、戊的立体体积之和等于如图③己所示的四棱锥体积，这个四棱锥的底面边长和高都等于如图③甲所示的正方体的棱长．
因此，如果设球的半径为r，则图③甲中的正方体棱长也为r，从而可知八分之一牟合方盖的体积为r3－r3＝．因此牟合方盖的体积为r3．再结合刘徽所得到的结论，就可以知道球的体积为πr3．
上面的介绍中，多次使用了“祖暅原理”，所涉及的计算也都没有超出高中数学的范围，感兴趣的同学再仔细推敲一遍吧！
课时分层作业(二十五)　圆柱、圆锥、圆台、球的表面积和体积
一、选择题
1．若圆锥的底面半径为1，高为，则圆锥的表面积为(　　)
A．π　　 B．2π
C．3π D．4π
C　[设圆锥的母线长为l，则l＝＝2，所以圆锥的表面积为S＝π×1×(1＋2)＝3π．故选C．]
2．两个球的体积之比为8∶27，那么这两个球的表面积之比为(　　)
A．2∶3　　 B．4∶9
C．∶ D．∶
B　[设两个球的半径分别为r，R，则∶＝r3∶R3＝8∶27，所以r∶R＝2∶3，所以S1∶S2＝r2∶R2＝4∶9．]
3．某一灯罩呈圆台结构，上、下底皆挖空，上底半径为10 cm，下底半径为18 cm，母线长为17 cm，侧面计划选用丝绸材质布料制作，若不计做工布料的浪费，则更换两个灯罩需要的丝绸材质布料面积为(　　)
A．969π cm2　　 B．952π cm2
C．864π cm2 D．476π cm2
B　[由题意可得更换两个灯罩需要的丝绸材质布料面积S＝2π(10＋18)×17＝952π(cm2)．故选B．]
4．甲、乙两个圆锥的母线长相等，侧面展开图的圆心角之和为2π，侧面积分别为S甲和S乙，体积分别为V甲和V乙．若＝2，则＝(　　)
A．　　 B．2
C．
C　[设母线长为l，甲圆锥底面圆的半径为r1，乙圆锥底面圆的半径为r2，
则＝＝＝2，
所以r1＝2r2，
又＝2π，则＝1，
所以r1＝l，r2＝l，
所以甲圆锥的高h1＝＝l，
乙圆锥的高h2＝＝l，
所以＝＝＝．
故选C．]
5．(多选)如图，一个圆柱和一个圆锥的底面直径和它们的高都与一个球的直径2R相等，则下列结论正确的是(　　)
A．圆柱的侧面积为2πR2
B．圆锥的侧面积为2πR2
C．圆柱的侧面积与球面面积相等
D．圆柱、圆锥、球的体积之比为3∶1∶2
CD　[依题意得球的半径为R，则圆柱的侧面积为2πR×2R＝4πR2，所以A错误；圆锥的侧面积为πR×·R＝πR2，所以B错误；球面面积为4πR2，因为圆柱的侧面积为4πR2，所以C正确；因为V圆柱＝πR2·2R＝2πR3，V圆锥＝πR2·2R＝πR3，V球＝πR3，所以V圆柱∶V圆锥∶V球＝2πR3∶πR3∶πR3＝3∶1∶2，所以D正确．故选CD．]
二、填空题
6．我国古代数学名著《数书九章》中有“天池盆测雨”题：在下雨时，用一个圆台形的天池盆接雨水．天池盆盆口直径为二尺八寸，盆底直径为一尺二寸，盆深一尺八寸．若盆中积水深九寸，则平地降雨量是________寸．
(注：①平地降雨量等于盆中积水体积除以盆口面积；②一尺等于十寸)
3　[圆台的轴截面是下底长为12寸，上底长为28寸，高为18寸的等腰梯形，雨水线恰为中位线，故雨水线是20寸，所以降雨量为＝3(寸)．]
7．将一定量的水倒入底面半径为4 cm的圆柱形器皿中，量得水面高度为8 cm，若将这些水倒入轴截面是正三角形的倒圆锥形器皿中，则水面的高度是__________cm．
4　[设倒圆锥形器皿中水面的高度为h cm，则水面圆的半径为htan 30° cm，则由π×42×8＝×π××h，得h＝4．]
8．表面积相等的正方体和球中，体积较大的几何体是________；体积相等的正方体和球中，表面积较小的几何体是________．
球　球　[设正方体的棱长为a，球的半径为r．
当6a2＝4πr2，即r＝ a时，
V球＝πr3＝ a3>a3＝V正方体；
当a3＝πr3，即r＝ a时，
S球＝4πr2＝6a2<6a2＝S正方体．]
三、解答题9．某组合体的直观图如图所示，它的中间为圆柱形，左右两端均为半球形，若图中r＝1，l＝3，试求该组合体的表面积和体积．
[解]　该组合体的表面积S＝4πr2＋2πrl＝4π×12＋2π×1×3＝10π．
该组合体的体积V＝πr3＋πr2l＝π×13＋π×12×3＝．
10．如图，一个底面半径为2的圆柱被一平面所截，截得的几何体的最短和最长母线长分别为2和3，则该几何体的体积为(　　)
A．5π　　 B．6π
C．20π D．10π
D　[用一个完全相同的几何体把题中几何体补成一个圆柱，如图，则圆柱的体积为π×22×5＝20π，故所求几何体的体积为10π．
]
11．(2023·全国乙卷)已知圆锥PO的底面半径为，O为底面圆心，PA，PB为圆锥的母线，∠AOB＝，若△PAB的面积等于，则该圆锥的体积为(　　)
A．π　　 B．π
C．3π D．3π
B　[根据题意，设该圆锥的高为h，即PO＝h，取AB的中点E，连接PE，OE，
由于圆锥PO的底面半径为，即OA＝OB＝，
而∠AOB＝，
故AB＝＝＝3，
同时OE＝OA×sin 30°＝，
在△PAB中，PA＝PB，E为AB的中点，则有PE⊥AB，又由△PAB的面积等于，即PE·AB＝，变形可得PE＝，
而PE＝，则有h2＋＝，解可得h＝，
故该圆锥的体积V＝π×()2h＝π．故选B．]
12．唐朝的狩猎景象浮雕银杯如图①所示，其浮雕临摹了国画、漆绘和墓室壁画，体现了古人的智慧与工艺．它的盛酒部分可以近似地看作是半球与圆柱的组合体(假设内壁表面光滑，忽略杯壁厚度)，如图②所示．已知球的半径为R，酒杯内壁表面积为πR2，设酒杯上部分(圆柱)的体积为V1，下部分(半球)的体积为V2，则＝________．
　[设酒杯上部圆柱的高为h，依题意，
2πR2＋2πRh＝πR2，解得h＝R，
则V1＝πR2h＝R3，V2＝R3，所以＝．]
13．祖暅，祖冲之之子，南北朝时期伟大的科学家，于5世纪末提出下面的体积计算原理，即祖暅原理：幂势
既同，则积不容异．意思是如果两个等高的几何体在同高处截得两几何体的截面面积相等，那么这两个几何体的体积相等，现有如图的半椭球体与被挖去圆锥的圆柱等高，且平行于底面的平面在任意高度截两几何体所得截面面积相等，已知圆柱高为h，底面半径为r，则半椭球的体积是________．
πr2h　[依题意可得V＝V圆柱－V圆锥＝πr2·h－·πr2·h＝πr2h．]
14．如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝90°，AD＝a，BC＝2a，∠DCB＝60°，在平面ABCD内过点C作l⊥CB，以l为轴旋转一周，求旋转体的表面积和体积．
[解]　在梯形ABCD中，∠ABC＝90°，AD∥BC，AD＝a，BC＝2a，∠DCB＝60°，
∴CD＝＝2a，AB＝CDsin 60°＝a，
∴DD′＝AA′－2AD＝2BC－2AD＝2a，
∴DO＝DD′＝a．
由于以l为轴将梯形ABCD旋转一周后形成的几何体为圆柱中挖去一个倒放的与圆柱等高的圆锥．
由上述计算知，圆柱母线长为a，底面半径为2a，圆锥的母线长为2a，底面半径为a．
∴圆柱的侧面积S1＝2π·2a·a＝4πa2，
圆锥的侧面积S2＝π·a·2a＝2πa2，
圆柱的底面积S3＝π(2a)2＝4πa2，
圆锥的底面积S4＝πa2，
∴组合体上底面积S5＝S3－S4＝3πa2，
∴旋转体的表面积S＝S1＋S2＋S3＋S5＝(4＋9)πa2．
又由题意知形成的几何体的体积为一个圆柱的体积减去一个圆锥的体积．V柱＝S3h＝π·(2a)2·a＝4πa3，V锥＝S4h＝·π·a2·a＝πa3，
∴V＝V柱－V锥＝4πa3－πa3＝πa3．
15．某养路处建造圆锥形仓库用于贮藏食盐(供融化高速公路上的积雪用)．已建的仓库的底面直径为12 m，高为4 m．养路处拟建一个更大的圆锥形仓库，以存放更多食盐．现有两种方案：一是新建的仓库的底面直径比原来大4 m(高不变)；二是高度增加4 m(底面直径不变)．
(1)分别计算按这两种方案所建的仓库的体积；
(2)分别计算按这两种方案所建的仓库的表面积；
(3)哪种方案更经济？
[解]　(1)设两种方案所建的仓库的体积分别为V1，V2．
方案一：仓库的底面直径变成16 m，则其体积V1＝×π××4＝π(m3)；
方案二：仓库的高变成8 m，则其体积V2＝×π××8＝96π(m3)．
(2)设两种方案所建的仓库的表面积分别为S1，S2．
方案一：仓库的底面直径变成16 m，半径为8 m，
此时圆锥的母线长为l1＝＝4(m)，
则仓库的表面积S1＝π×8×(8＋4)＝(64＋32)π(m2)；
方案二：仓库的高变成8 m，此时圆锥的母线长为l2＝＝10(m)，
则仓库的表面积S2＝π×6×(6＋10)＝96π(m2)．
(3)因为V2>V1，S221世纪教育网(www.21cnjy.com)

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