资源简介

8.6.3　平面与平面垂直
第1课时　二面角及平面与平面垂直的判定定理
[学习目标]　1．理解二面角及其平面角的概念，会作二面角的平面角，会求简单的二面角的平面角．
2．了解面面垂直的定义，掌握面面垂直的判定定理，会用定理证明垂直关系．
[讨论交流]　预习教材P155－P158的内容，思考以下问题：
问题1．二面角的定义是什么？如何表示二面角？
问题2．二面角的平面角的定义是什么？二面角的范围是什么？面面垂直是怎样定义的？
问题3．面面垂直的判定定理的内容是什么？
[自我感知]　经过认真预习，结合你对本节课的理解和认识，请画出本节课的知识逻辑体系．
探究1　二面角的概念
探究问题1　如图所示，笔记本电脑在打开的过程中，会给人以面面“夹角”变大的感觉．你认为应该怎样刻画面面“夹角”呢？
[提示]　二面角．
[新知生成]　二面角
1．从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角，这条直线叫做二面角的棱，这两个半平面叫做二面角的面．
2．画法：
3．记法：二面角α-l-β或二面角α-AB-β或二面角P-l-Q或二面角P-AB-Q．
4．二面角的平面角：
(1)在二面角α-l-β的棱l上任取一点O，以点O为垂足，在半平面α和β内分别作垂直于棱l的射线OA和OB，则射线OA和OB构成的∠AOB叫做二面角的平面角，如图．
(2)二面角的平面角α的取值范围是0°≤α≤180°．平面角是直角的二面角叫做直二面角．
【教用·微提醒】　1．二面角的大小与垂足O在l上的位置无关．一个二面角的平面角有无数个，它们的大小是相等的．
2．构成二面角的平面角的三要素：“棱上”“面内”“垂直”，即二面角的平面角的顶点必须在棱上，角的两边必须分别在两个半平面内，角的两边必须都与棱垂直，这三个条件缺一不可．这三个要素决定了二面角的平面角的大小的唯一性和平面角所在的平面与棱垂直．
[典例讲评]　1．如图，四边形ABCD是正方形，PA⊥平面ABCD．
(1)求二面角B-PA-D的平面角的大小；
(2)求二面角B-PA-C的平面角的大小．
[解]　(1)∵PA⊥平面ABCD，
∴AB⊥PA，AD⊥PA，
∴∠BAD为二面角B-PA-D的平面角．
又由题意知∠BAD＝90°，
∴二面角B-PA-D的平面角为90°．
(2)∵PA⊥平面ABCD，∴AB⊥PA，AC⊥PA，
∴∠BAC为二面角B-PA-C的平面角．
又四边形ABCD为正方形，∴∠BAC＝45°，即二面角B-PA-C的平面角为45°．
　求二面角的平面角的大小的步骤
(1)作：作出平面角，一般在交线上找一特殊点，分别在两个半平面内向交线作垂线．
(2)证：证明所作的角满足定义，并指出二面角的平面角．
(3)求：将作出的角放到三角形中，利用解三角形求出角的大小．
(4)结论．
[学以致用]　1．在正方体ABCD-A1B1C1D1中，截面A1BD与底面ABCD所成锐二面角A1-BD-A的正切值为(　　)
A．　　 B．　　 C．　　 D．
C　[如图所示，
连接AC，交BD于点O，连接A1O，O为BD的中点．因为A1D＝A1B，所以在△A1BD中，A1O⊥BD．
又因为在正方形ABCD中，AC⊥BD，所以∠A1OA为二面角A1-BD-A的平面角．
设AA1＝1，则AO＝，所以tan ∠A1OA＝＝．]
【教用·备选题】如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，AC，BD交于点O，给出三个角∠B1AD1，∠B1OD1，∠B1CD1，其中能作为二面角B1-AC-D1的平面角的是________．
∠B1OD1　[连接B1D1(图略)，由正方体的性质知AC⊥BD，AC⊥BB1，BD∩BB1＝B，BD，BB1 平面BB1D1D，
∴AC⊥平面BB1D1D．
∵B1O，D1O 平面BB1D1D，
∴B1O⊥AC，D1O⊥AC，
∴∠B1OD1是二面角B1-AC-D1的平面角．]
探究2　平面与平面垂直的定义和判定
探究问题2　教室里的墙面所在的平面与地面所在的平面所构成的二面角是多大？墙面与地面所在的平面的位置关系是什么？
[提示]　90°；垂直．
探究问题3　如图，为什么教室的门转到任何位置时，门所在平面都与地面垂直？ 从数学的角度，这一现象能概括出什么结论？
[提示]　通过观察可以发现，门在转动的过程中，门轴始终与地面垂直．
一般地，我们可以归纳出平面与平面垂直的判定定理(简称为面面垂直的判定定理)，即如果一个平面过另一个平面的垂线，那么这两个平面垂直．
[新知生成]
1．平面与平面垂直的定义
(1)定义：一般地，两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直，记作α⊥β．
(2)画法：
2．面面垂直的判定定理
自然语言 图形语言 符号语言
如果一个平面过另一个平面的垂线，那么这两个平面垂直 b⊥α， b β β⊥α
该定理可简记为“若线面垂直，则面面垂直”
　定义法判定平面与平面垂直
[典例讲评]　2．如图，在四面体ABCD中，BD＝a，AB＝AD＝CB＝CD＝AC＝a．求证：平面ABD⊥平面BCD．
[证明]　因为△ABD与△BCD是全等的等腰直角三角形，所以取BD的中点E，连接AE，CE，
则AE⊥BD，BD⊥CE，则∠AEC是二面角A-BD-C的平面角．
在△ABD中，AB＝a，BE＝BD＝a，
所以AE＝ ＝a．同理CE＝a．
在△AEC中，AE＝CE＝a，AC＝a，
所以AC2＝AE2＋CE2，所以AE⊥CE，
即∠AEC＝90°，所以二面角A-BD-C为直二面角，
所以平面ABD⊥平面BCD．
　判定定理法判定平面与平面垂直
【链接·教材例题】
例7　如图8.6-27所示，在正方体ABCD-A′B′C′D′中，求证：平面A′BD⊥平面ACC′A′．
分析：要证平面A′BD⊥平面ACC′A′，根据两个平面垂直的判定定理，只需证明平面A′BD经过平面ACC′A′的一条垂线即可．这需要利用AC，BD是正方形ABCD的对角线．
[证明]　∵ABCD-A′B′C′D′是正方体，
∴AA′⊥平面ABCD，∴AA′⊥BD．
又BD⊥AC，AA′∩AC＝A，
∴BD⊥平面ACC′A′，
∴平面A′BD⊥平面ACC′A′．
例8　如图8.6-28，AB是⊙O的直径，PA垂直于⊙O所在的平面，C是圆周上不同于A，B的任意一点．求证：平面PAC⊥平面PBC．
分析：要证明两个平面垂直，根据两个平面垂直的判定定理，只需证明其中一个平面内的一条直线垂直于另一个平面．而由直线和平面垂直的判定定理，还需证明这条直线和另一个平面内的两条相交直线垂直．在本题中，由题意可知BC⊥AC，BC⊥PA，AC∩PA＝A，从而BC⊥平面PAC，进而平面PAC⊥平面PBC．
[证明]　∵PA⊥平面ABC，
BC 平面ABC，
∴PA⊥BC．
∵点C是圆周上不同于A，B的任意一点，AB是⊙O的直径，
∴∠BCA＝90°， 即BC⊥AC．
又PA∩AC＝A，PA 平面PAC，AC 平面PAC，
∴BC⊥平面PAC．
又BC 平面PBC，
∴平面PAC⊥平面PBC．
[典例讲评]　3．(源自湘教版教材)如图，已知△ABC中，AD是边BC上的高，以AD为折痕折叠△ABC，使∠BDC为直角．
求证：平面ABD⊥平面BDC，平面ADC⊥平面ABD．
[证明]　因为AD⊥BD，AD⊥DC，BD∩DC＝D，BD，DC 平面BDC，所以AD⊥平面BDC．
因为AD 平面ABD，
所以平面ABD⊥平面BDC．
已知∠BDC为直角，
所以BD⊥DC．
又AD∩DC＝D，AD，DC 平面ADC，因此BD⊥平面ADC．
因为BD 平面ABD，
所以平面ADC⊥平面ABD．
　证明面面垂直常用的方法
(1)定义法：说明两个半平面所成的二面角是直二面角．
(2)判定定理法：在其中一个平面内寻找一条直线与另一个平面垂直，即把问题转化为线面垂直．
(3)性质法：两个平行平面中的一个垂直于第三个平面，则另一个也垂直于此平面．
[学以致用]　2．如图所示，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB＝AD＝1，AA1＝2，M是棱CC1的中点．证明：平面ABM⊥平面A1B1M．
[证明]　由长方体的性质可知A1B1⊥平面BCC1B1，又BM 平面BCC1B1，所以A1B1⊥BM．
又CC1＝2，M为CC1的中点，所以C1M＝CM＝1．
在Rt△B1C1M中，B1M＝＝，同理BM＝＝，又B1B＝2，所以B1M2＋BM2＝B1B2，从而BM⊥B1M．
又A1B1∩B1M＝B1，A1B1，B1M 平面A1B1M，
所以BM⊥平面A1B1M．
因为BM 平面ABM，所以平面ABM⊥平面A1B1M．
【教用·备选题】　1．如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，AB⊥AC，B1C⊥平面ABC，E，F分别是AC，B1C的中点．
(1)求证：EF∥平面AB1C1；
(2)求证：平面AB1C⊥平面ABB1．
[证明]　(1)因为E，F分别是AC，B1C的中点，所以EF∥AB1．
又EF 平面AB1C1，AB1 平面AB1C1，
所以EF∥平面AB1C1．
(2)因为B1C⊥平面ABC，AB 平面ABC，
所以B1C⊥AB．
又AB⊥AC，B1C∩AC＝C，B1C 平面AB1C，
AC 平面AB1C，
所以AB⊥平面AB1C．
又因为AB 平面ABB1，
所以平面AB1C⊥平面ABB1．
2．在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E为A1A的中点，求证：平面EBD⊥平面C1BD．
[证明]　如图，连接AC，设AC与BD相交于点O，连接C1O，EO，EC1．
∵AE⊥平面ABCD，BD 平面ABCD，∴AE⊥BD．
又AO⊥BD，AE∩AO＝A，AE，AO 平面AEO，
∴BD⊥平面AEO，
又EO 平面AEO，∴BD⊥EO．同理C1O⊥BD．又∵C1O∩EO＝O，
∴∠EOC1为二面角E-BD-C1的平面角．
设正方体的棱长为a，
则OE2＝＋＝a2，
＝＋a2＝a2，
＝(a)2＋＝a2，
∴＝，∴∠EOC1＝90°．
∴平面EBD⊥平面C1BD．
1．在二面角棱l上任选一点O，若∠AOB是二面角α-l-β的平面角，则必须具有条件(　　)
A．AO⊥BO，AO α，BO β
B．AO⊥l，BO⊥l
C．AB⊥l，AO α，BO β
D．AO⊥l，BO⊥l，且AO α，BO β
[答案]　D
2．对于直线m，n和平面α，β，能得出α⊥β的一个条件是(　　)
A．m⊥n，m∥α，n∥β
B．m⊥n，α∩β＝m，n α
C．m∥n，n⊥β，m α
D．m∥n，m⊥α，n⊥β
C　[∵n⊥β，m∥n，∴m⊥β，又m α，由面面垂直的判定定理，得α⊥β．]
3．在三棱锥A-BCD中，AD⊥BC，AD⊥CD，则有(　　)
A．平面ABC⊥平面ADC
B．平面ADC⊥平面BCD
C．平面ABC⊥平面BDC
D．平面ABC⊥平面ADB
B　[如图，因为AD⊥BC，AD⊥CD，BC∩CD＝C，BC，CD 平面BCD，所以AD⊥平面BCD，
又AD 平面ADC，
所以平面ADC⊥平面BCD．]
4．在正方体ABCD-A1B1C1D1中，二面角A-BC-A1的平面角等于________．
45°　[如图，连接A1B，D1C，根据正方体中直线的位置关系可知，
AB⊥BC，A1B⊥BC，根据二面角的平面角的定义可知，
∠ABA1 即为二面角A-BC-A1的平面角．
又AB＝AA1，且AB⊥AA1，
所以∠ABA1 ＝45°．]
1．知识链：(1)二面角以及二面角的平面角．
(2)平面与平面垂直的定义和判定定理．
2．方法链：转化法．
3．警示牌：注意不要因对二面角的概念不清导致错误．
回顾本节知识，自主完成以下问题：
1．如何求二面角的平面角的大小？
[提示]　求二面角的平面角的大小的步骤
2．如何证明两个平面垂直？
[提示]　证明面面垂直主要有两种方法：
(1)面面垂直的定义；(2)面面垂直的判定定理．
课时分层作业(三十四)　二面角及平面与平面垂直的判定定理
一、选择题
1．从空间一点P向二面角α-l-β的两个面α，β所在平面分别作垂线PE，PF，E，F为垂足，若∠EPF＝60°，则二面角α-l-β的平面角的大小是(　　)
A．60°　　 B．120°
C．60°或120° D．不确定
C　[若点P在二面角α-l-β内，则二面角的平面角为120°；若点P在二面角α-l-β外，则二面角的平面角为60°．]
2．如图，在三棱锥P-ABC中，PA⊥平面ABC，∠BAC＝90°，则二面角B-PA-C的大小为(　　)
A．30°　　 B．45°
C．60° D．90°
D　[∵PA⊥平面ABC，BA，CA 平面ABC，∴BA⊥PA，CA⊥PA，
∴∠BAC为二面角B-PA-C的平面角．
∵∠BAC＝90°，∴二面角B-PA-C的大小为90°．]
3．设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，给出下列说法，其中正确的是(　　)
A．若m∥α，n⊥β，m⊥n，则α⊥β
B．若m∥α，m⊥β，则α⊥β
C．若m⊥n，m α，n β，则α⊥β
D．若m⊥α，n β，m⊥n，则α⊥β
B　[A中，α，β可能平行也可能相交，所以A错误；易知B正确；C中，若α∥β，仍然可以满足m⊥n，m α，n β，所以C错误；D中，α，β可能平行也可能相交，所以D错误．故选B．]
4．如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，底面是等边三角形，且AB＝，AA1＝，则二面角A1-BC-A的大小为(　　)
A．30°　　 B．45°
C．60° D．90°
B　[取BC的中点D，连接AD，A1D，如图所示，
由题知，A1B＝A1C＝＝．因为D为BC的中点，所以A1D⊥BC，且A1D＝＝．又因为AD⊥BC，所以∠ADA1为二面角A1-BC-A的平面角．在Rt△A1AD中，因为sin ∠ADA1＝＝＝，∠ADA1为锐角，所以∠ADA1＝45°．故选B．]
5．(多选)如图，已知PA⊥矩形ABCD所在的平面，则下列说法正确的有(　　)
A．平面PAD⊥平面PAB
B．平面PAD⊥平面PCD
C．平面PBC⊥平面PAB
D．平面PBC⊥平面PCD
ABC　[由题意可得CD⊥平面PAD，AB⊥平面PAD，BC⊥平面PAB，因为CD 平面PCD，AB 平面PAB，BC 平面PBC．
故平面PCD⊥平面PAD，平面PAB⊥平面PAD，平面PBC⊥平面PAB，故选ABC．]
二、填空题
6．自空间一点分别向大小为70°的二面角的两个半平面引垂线，则这两条垂线所成的角的大小是________．
70°　[如图，
PB⊥α，PC⊥β，易知∠BAC＝70°，由四边形PBAC的内角和为360°，可知∠BPC＝110°．由空间中两直线所成角的取值范围可知，这两条垂线所成的角的大小为70°．]
7．如图所示，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，且底面各边都相等，M是PC上的一动点，当点M满足________时，平面MBD⊥平面PCD．(只要填写一个你认为是正确的条件即可)
DM⊥PC(或BM⊥PC等)　[由题意得BD⊥AC，
∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥BD．
又PA∩AC＝A，PA，AC 平面PAC，
∴BD⊥平面PAC，∴BD⊥PC．
∴当DM⊥PC(或BM⊥PC)时，即有PC⊥平面MBD，
而PC 平面PCD，∴平面MBD⊥平面PCD．]
8．在正四面体P-ABC中，D，E，F分别是AB，BC，AC的中点，有下列四个命题：
①BC∥平面PDF；
②平面PDF⊥平面ABC；
③DF⊥平面PAE；
④平面PAE⊥平面ABC．
其中正确命题的序号是________．
①③④　[因为D，F分别是AB，AC的中点，所以DF∥BC，又DF 平面PDF，BC 平面PDF，
所以BC∥平面PDF，故①正确；
因为E是BC的中点，所以BC⊥AE，BC⊥PE．
因为AE∩PE＝E，所以BC⊥平面PAE．因为BC 平面ABC，所以平面PAE⊥平面ABC，故④正确；因为DF∥BC，所以DF⊥平面PAE，故③正确；若②成立，则P点在平面ABC上的射影在DF上，与题意不符，故只有②不正确．故正确的命题为①③④．]
三、解答题
9．如图所示，在四面体ABCS中，已知∠BSC＝90°，∠BSA＝∠CSA＝60°，又SA＝SB＝SC．
求证：平面ABC⊥平面SBC．
[证明]法一：(利用定义)
因为∠BSA＝∠CSA＝60°，SA＝SB＝SC，
所以△ASB和△ASC是等边三角形，
则有SA＝SB＝SC＝AB＝AC，
令其值为a，则△ABC和△SBC为共底边BC的等腰三角形．
取BC的中点D，如图所示，
连接AD，SD，则AD⊥BC，SD⊥BC，
所以∠ADS为二面角A-BC-S的平面角．
在Rt△BSC中，因为SB＝SC＝a，
所以SD＝a，BD＝＝a．
在Rt△ABD中，AD＝a，
在△ADS中，因为SD2＋AD2＝SA2，
所以∠ADS＝90°，即二面角A-BC-S为直二面角，故平面ABC⊥平面SBC．
法二：(利用判定定理)
因为SA＝SB＝SC，
且∠BSA＝∠CSA＝60°，
所以SA＝AB＝AC，
所以点A在平面SBC上的射影为△SBC的外心．
因为△SBC为等腰直角三角形，
所以点A在平面SBC上的射影D为斜边BC的中点，
所以AD⊥平面SBC．
又因为AD 平面ABC，所以平面ABC⊥平面SBC．
10．一个边长为10 cm的正方形铁片，把图中所示的阴影部分裁下，然后用余下的四个全等的等腰三角形加工成一个正四棱锥形容器，则这个容器侧面与底面夹角的正切值为(　　)
A． B． C． D．
B　[依题意，正四棱锥的底面正方形边长为6，斜高为h′＝5，则底面正方形边心距为r＝3，于是正四棱锥的高为h＝＝4，
所以这个容器侧面与底面夹角的正切值为＝．
故选B．]
11．将锐角A为60°，边长为a的菱形沿BD折成60°的二面角，则折叠后A与C之间的距离为(　　)
A．a　　 B．a
C．a D．a
C　[如图，设折叠后点A到A1的位置，取BD的中点E，连接A1E，CE．
则BD⊥CE，BD⊥A1E．
于是∠A1EC为二面角A1-BD-C的平面角．
故∠A1EC＝60°．
因为A1E＝CE，所以△A1EC是等边三角形．
所以A1C＝CE＝A1E＝a．]
12．已知三棱锥P-ABC中，△ABC为正三角形，PA>PB>PC，且P在底面ABC内的射影在△ABC的内部(不包括边界)，二面角P-AB-C，二面角P-BC-A，二面角P-AC-B的大小分别为α，β，γ，则(　　)
A．α>β>γ　　 B．γ>α>β
C．α<γ<β D．α<β<γ
C　[设P在底面ABC内的射影为O，过O分别作AB，BC，CA的垂线，垂足分别为D，E，F(图略)，则α＝∠PDO，β＝∠PEO，γ＝∠PFO，从而tan α＝，tan β＝，tan γ＝，因为PA>PB>PC，所以OA>OB>OC，OD>OF>OE，即tan α13．二面角α-l-β的大小为60°，异面直线a，b分别垂直于α，β，则a与b所成角的大小是________．
60°　[过直线a上一点作b的平行线b′，则根据二面角的定义和线面垂直的性质可知，
a与b′的夹角为60°，
所以a与b所成角的大小是60°．]
14．如图，四棱锥P-ABCD的底面ABCD是边长为1的菱形，∠BCD＝60°，E是CD的中点，PA⊥底面ABCD，PA＝．
(1)求证：平面PBE⊥平面PAB；
(2)求二面角A-BE-P的大小．
[解]　(1)证明：如图所示，
连接BD，由四边形ABCD是菱形且∠BCD＝60°知，△BCD是等边三角形．∵E是CD的中点，∴BE⊥CD．∵CD∥AB，∴BE⊥AB．
∵PA⊥平面ABCD，且BE 平面ABCD，∴PA⊥BE．∵PA∩AB＝A，PA，AB 平面PAB，
∴BE⊥平面PAB．
又∵BE 平面PBE，∴平面PBE⊥平面PAB．
(2)∵BE⊥平面PAB，PB 平面PAB，∴BE⊥PB，又AB⊥BE，∴∠ABP是二面角A-BE-P的平面角．
在Rt△PAB中，AB＝1，PA＝，tan ∠ABP＝，
∴∠ABP＝60°，∴二面角A-BE-P的大小是60°．
15．如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为菱形，∠BAD＝60°，侧面△PAD为等边三角形．
(1)求证：AD⊥PB；
(2)若E为BC边的中点，能否在棱PC上找到一点F，使平面DEF⊥平面ABCD？证明你的结论．
[解]　(1)证明：如图，设G为AD的中点，连接PG，BG．
因为△PAD为等边三角形，
所以PG⊥AD．
在菱形ABCD中，∠DAB＝60°，
G为AD的中点，所以BG⊥AD．
又因为BG∩PG＝G，BG，PG 平面PGB，
所以AD⊥平面PGB．
因为PB 平面PGB，所以AD⊥PB．
(2)当F为PC的中点时，满足平面DEF⊥平面ABCD．
证明如下：
设F为PC的中点，连接DF，EF，DE，
则在△PBC中，EF∥PB，PB 平面PGB，EF 平面PGB，从而EF∥平面PGB，
在菱形ABCD中，GB∥DE，GB 平面PGB，DE 平面PGB，从而DE∥平面PGB，而EF 平面DEF，DE 平面DEF，EF∩DE＝E，所以平面DEF∥平面PGB．
由(1)，得AD⊥平面PGB，而AD 平面ABCD，
所以平面PGB⊥平面ABCD，
所以平面DEF⊥平面ABCD．
21世纪教育网(www.21cnjy.com)(共41张PPT)
第1课时　二面角及平面与平面垂直的判定定理
第八章　立体几何初步
8.6　空间直线、平面的垂直
8.6.3　平面与平面垂直
整体感知
[学习目标]　1．理解二面角及其平面角的概念，会作二面角的平面角，会求简单的二面角的平面角．
2．了解面面垂直的定义，掌握面面垂直的判定定理，会用定理证明垂直关系．
[讨论交流]　预习教材P155－P158的内容，思考以下问题：
问题1．二面角的定义是什么？如何表示二面角？
问题2．二面角的平面角的定义是什么？二面角的范围是什么？面面垂直是怎样定义的？
问题3．面面垂直的判定定理的内容是什么？
[自我感知]　经过认真预习，结合你对本节课的理解和认识，请画出本节课的知识逻辑体系．
探究建构
探究1　二面角的概念
探究问题1　如图所示，笔记本电脑在打开的过程中，会给人以面面“夹角”变大的感觉．你认为应该怎样刻画面面“夹角”呢？
[提示]　二面角．
[新知生成]　二面角
1．从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角，这条直线叫做二面角的棱，这两个半平面叫做二面角的面．
2．画法：
3．记法：二面角α-l-β或二面角α-AB-β或二面角P-l-Q或二面角P-AB-Q．
4．二面角的平面角：
(1)在二面角α-l-β的棱l上任取一点O，
以点O为垂足，在半平面α和β内分别作垂直于棱l的射线OA和OB，则射线OA和OB构成的∠AOB叫做二面角的平面角，如图．
(2)二面角的平面角α的取值范围是0°≤α≤180°．平面角是直角的二面角叫做直二面角．
【教用·微提醒】　1．二面角的大小与垂足O在l上的位置无关．一个二面角的平面角有无数个，它们的大小是相等的．
2．构成二面角的平面角的三要素：“棱上”“面内”“垂直”，即二面角的平面角的顶点必须在棱上，角的两边必须分别在两个半平面内，角的两边必须都与棱垂直，这三个条件缺一不可．这三个要素决定了二面角的平面角的大小的唯一性和平面角所在的平面与棱垂直．
[典例讲评]　1．如图，四边形ABCD是正方形，PA⊥平面ABCD．
(1)求二面角B-PA-D的平面角的大小；
(2)求二面角B-PA-C的平面角的大小．
[解]　(1)∵PA⊥平面ABCD，
∴AB⊥PA，AD⊥PA，
∴∠BAD为二面角B-PA-D的平面角．
又由题意知∠BAD＝90°，
∴二面角B-PA-D的平面角为90°．
(2)∵PA⊥平面ABCD，∴AB⊥PA，AC⊥PA，
∴∠BAC为二面角B-PA-C的平面角．
又四边形ABCD为正方形，∴∠BAC＝45°，即二面角B-PA-C的平面角为45°．
反思领悟　求二面角的平面角的大小的步骤
(1)作：作出平面角，一般在交线上找一特殊点，分别在两个半平面内向交线作垂线．
(2)证：证明所作的角满足定义，并指出二面角的平面角．
(3)求：将作出的角放到三角形中，利用解三角形求出角的大小．
(4)结论．
√
【教用·备选题】如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，AC，BD交于点O，给出三个角∠B1AD1，∠B1OD1，∠B1CD1，其中能作为二面角B1-AC-D1的平面角的是________．
∠B1OD1　[连接B1D1(图略)，由正方体的性质知AC⊥BD，AC⊥BB1，BD∩BB1＝B，BD，BB1 平面BB1D1D，
∴AC⊥平面BB1D1D．
∵B1O，D1O 平面BB1D1D，
∴B1O⊥AC，D1O⊥AC，
∴∠B1OD1是二面角B1-AC-D1的平面角．]
∠B1OD1　
探究2　平面与平面垂直的定义和判定
探究问题2　教室里的墙面所在的平面与地面所在的平面所构成的二面角是多大？墙面与地面所在的平面的位置关系是什么？
[提示]　90°；垂直．
探究问题3　如图，为什么教室的门转到任何位置时，门所在平面都与地面垂直？ 从数学的角度，这一现象能概括出什么结论？
[提示]　通过观察可以发现，门在转动的过程中，
门轴始终与地面垂直．
一般地，我们可以归纳出平面与平面垂直的判定定理(简称为面面垂直的判定定理)，即如果一个平面过另一个平面的垂线，那么这两个平面垂直．
[新知生成]
1．平面与平面垂直的定义
(1)定义：一般地，两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直，记作α⊥β．
(2)画法：
2．面面垂直的判定定理
自然语言 图形语言 符号语言
如果一个平面过另一个平面的____，那么这两个平面垂直 ______，
b β β⊥α
该定理可简记为“若线面垂直，则面面垂直”
垂线
b⊥α
角度2　判定定理法判定平面与平面垂直
【链接·教材例题】
例7　如图8.6-27所示，在正方体ABCD-A′B′C′D′中，求证：平面A′BD⊥平面ACC′A′．
分析：要证平面A′BD⊥平面ACC′A′，根据两个
平面垂直的判定定理，只需证明平面A′BD经过
平面ACC′A′的一条垂线即可．这需要利用AC，
BD是正方形ABCD的对角线．
[证明]　∵ABCD-A′B′C′D′是正方体，
∴AA′⊥平面ABCD，∴AA′⊥BD．
又BD⊥AC，AA′∩AC＝A，
∴BD⊥平面ACC′A′，
∴平面A′BD⊥平面ACC′A′．
例8　如图8.6-28，AB是⊙O的直径，PA垂直于⊙O所在的平面，C是圆周上不同于A，B的任意一点．求证：平面PAC⊥平面PBC．
分析：要证明两个平面垂直，根据两个平面垂
直的判定定理，只需证明其中一个平面内的一
条直线垂直于另一个平面．而由直线和平面垂
直的判定定理，还需证明这条直线和另一个平
面内的两条相交直线垂直．在本题中，由题意可知BC⊥AC，BC⊥PA，AC∩PA＝A，从而BC⊥平面PAC，进而平面PAC⊥平面PBC．
[证明]　∵PA⊥平面ABC，
BC 平面ABC，
∴PA⊥BC．
∵点C是圆周上不同于A，B的任意一点，AB是⊙O的直径，
∴∠BCA＝90°， 即BC⊥AC．
又PA∩AC＝A，PA 平面PAC，AC 平面PAC，
∴BC⊥平面PAC．
又BC 平面PBC，
∴平面PAC⊥平面PBC．
[典例讲评]　3．(源自湘教版教材)如图，已知△ABC中，AD是边BC上的高，以AD为折痕折叠△ABC，使∠BDC为直角．
求证：平面ABD⊥平面BDC，平面ADC⊥平面ABD．
[证明]　因为AD⊥BD，AD⊥DC，BD∩DC＝D，BD，DC 平面BDC，所以AD⊥平面BDC．
因为AD 平面ABD，
所以平面ABD⊥平面BDC．
已知∠BDC为直角，
所以BD⊥DC．
又AD∩DC＝D，AD，DC 平面ADC，因此BD⊥平面ADC．
因为BD 平面ABD，
所以平面ADC⊥平面ABD．
反思领悟　证明面面垂直常用的方法
(1)定义法：说明两个半平面所成的二面角是直二面角．
(2)判定定理法：在其中一个平面内寻找一条直线与另一个平面垂直，即把问题转化为线面垂直．
(3)性质法：两个平行平面中的一个垂直于第三个平面，则另一个也垂直于此平面．
[学以致用]　2．如图所示，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB＝AD＝1，AA1＝2，M是棱CC1的中点．证明：平面ABM⊥平面A1B1M．
【教用·备选题】　1．如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，AB⊥AC，B1C⊥平面ABC，E，F分别是AC，B1C的中点．
(1)求证：EF∥平面AB1C1；
(2)求证：平面AB1C⊥平面ABB1．
[证明]　(1)因为E，F分别是AC，B1C的中点，所以EF∥AB1．
又EF 平面AB1C1，AB1 平面AB1C1，
所以EF∥平面AB1C1．
(2)因为B1C⊥平面ABC，AB 平面ABC，
所以B1C⊥AB．
又AB⊥AC，B1C∩AC＝C，B1C 平面AB1C，
AC 平面AB1C，
所以AB⊥平面AB1C．
又因为AB 平面ABB1，
所以平面AB1C⊥平面ABB1．
2．在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E为A1A的中点，求证：平面EBD⊥平面C1BD．
[证明]　如图，连接AC，设AC与BD相交于点O，连接C1O，EO，EC1．
∵AE⊥平面ABCD，BD 平面ABCD，∴AE⊥BD．
又AO⊥BD，AE∩AO＝A，AE，AO 平面AEO，
∴BD⊥平面AEO，
又EO 平面AEO，∴BD⊥EO．同理C1O⊥BD．又∵C1O∩EO＝O，
∴∠EOC1为二面角E-BD-C1的平面角．
设正方体的棱长为a，
2
4
3
题号
1
应用迁移
√
1．在二面角棱l上任选一点O，若∠AOB是二面角α-l-β的平面角，则必须具有条件(　　)
A．AO⊥BO，AO α，BO β
B．AO⊥l，BO⊥l
C．AB⊥l，AO α，BO β
D．AO⊥l，BO⊥l，且AO α，BO β
2
3
题号
1
4
√
2．对于直线m，n和平面α，β，能得出α⊥β的一个条件是(　　)
A．m⊥n，m∥α，n∥β
B．m⊥n，α∩β＝m，n α
C．m∥n，n⊥β，m α
D．m∥n，m⊥α，n⊥β
C　[∵n⊥β，m∥n，∴m⊥β，又m α，由面面垂直的判定定理，得α⊥β．]
2
3
题号
4
1
√
3．在三棱锥A-BCD中，AD⊥BC，AD⊥CD，则有(　　)
A．平面ABC⊥平面ADC
B．平面ADC⊥平面BCD
C．平面ABC⊥平面BDC
D．平面ABC⊥平面ADB
B　[如图，因为AD⊥BC，AD⊥CD，BC∩CD＝C，BC，CD 平面BCD，所以AD⊥平面BCD，又AD 平面ADC，所以平面ADC⊥平面BCD．]
2
4
3
题号
1
4．在正方体ABCD-A1B1C1D1中，二面角A-BC-A1的平面角等于________．
45°　[如图，连接A1B，D1C，根据正方体中直线的位置关系可知，
AB⊥BC，A1B⊥BC，根据二面角的平面角的定义可知，
∠ABA1 即为二面角A-BC-A1的平面角．
又AB＝AA1，且AB⊥AA1，
所以∠ABA1 ＝45°．]
45°
1．知识链：(1)二面角以及二面角的平面角．
(2)平面与平面垂直的定义和判定定理．
2．方法链：转化法．
3．警示牌：注意不要因对二面角的概念不清导致错误．
回顾本节知识，自主完成以下问题：
1．如何求二面角的平面角的大小？
[提示]　求二面角的平面角的大小的步骤
2．如何证明两个平面垂直？
[提示]　证明面面垂直主要有两种方法：
(1)面面垂直的定义；(2)面面垂直的判定定理．

展开更多......

收起↑