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第3课时　余弦定理、正弦定理的综合应用
[学习目标]　1．掌握三角形的面积公式的简单推导和应用．
2．能够运用正弦、余弦定理解决三角形中的一些综合问题．
[讨论交流]　预习教材P53和P54的内容，思考以下问题：
问题1．如何用三角形的边和角表示三角形的面积？
问题2．如何依据三角形所给的边角关系判断三角形解的个数？
问题3．三角形中有哪些三角恒等变换？
[自我感知]　经过认真预习，结合你对本节课的理解和认识，请画出本节课的知识逻辑体系．
探究1　三角形解的个数的判断
[典例讲评]　1．不解三角形，判断下列三角形解的个数．
(1)a＝5，b＝4，A＝120°；
(2)a＝9，b＝10，A＝60°；
(3)b＝72，c＝50，C＝135°．
[解]　(1)sin B＝sin 120°＝×<，所以三角形有一解．
(2)sin B＝sin 60°＝×＝，而<<1，所以当B为锐角时，满足sin B＝的角B的取值范围是60°当B为钝角时，满足sin B＝的角B的取值范围是90°(3)sin B＝＝sin C>sin C＝．
所以B>45°，所以B＋C>180°，故三角形无解，即三角形不存在．
　已知两边及其中一边的对角判断三角形解的个数的方法
(1)应用三角形中大边对大角的性质以及正弦函数的值域判断解的个数．
(2)在△ABC中，已知a，b和A，以点C为圆心，以边长a为半径画弧，此弧与除去顶点A的射线AB的公共点的个数即为三角形解的个数，解的个数见下表：
角A A为钝角 A为直角 A为锐角
a>b 一解 一解 一解
a＝b 无解 无解 一解
absin A 两解
a＝bsin A 一解
a[学以致用]　1．(1)(多选)根据下列条件，判断三角形解的情况，其中正确的是(　　)
A．a＝8，b＝16，A＝30°，有一解
B．b＝18，c＝20，B＝60°，有两解
C．a＝5，c＝2，A＝90°，无解
D．a＝30，b＝25，A＝150°，有一解
(2)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若满足B＝60°，c＝2的三角形有两解，则b的取值范围为 ．
(1)ABD　(2)(，2)　[(1)对于A，∵＝，∴sin B＝＝1，∴B＝90°，即只有一解；对于B，∵sin C＝＝，且c>b，
∴C>B，故有两解；对于C，∵A＝90°，a＝5，c＝2，
∴b＝＝＝，有解；对于D，∵＝，∴sin B＝＝，又b(2)在△ABC中，B＝60°，c＝2，由正弦定理＝，得c＝．若此三角形有两解，则必须满足的条件为c>b>csin B，即探究2　三角形面积公式
探究问题　已知△ABC的两边a，b和角C，如何求△ABC的面积？
[提示]　边b上的高h为asin C，故面积为S＝bh＝absin C．
[新知生成]
已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，则△ABC的面积公式为S＝ab sin C＝bcsin A＝casin B．
[典例讲评]　2．(1)在△ABC中，三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a＝，b＝7，c＝4，则△ABC的面积为(　　)
A．7　　B．　　C．　　D．21
(2)在△ABC中，已知a＝5，b＝7，B＝120°，则△ABC的面积为 ．
(1)A　(2)　[(1)a＝，b＝7，c＝4，
则cos A＝＝＝．
∵A∈(0，π), ∴sin A＝＝，
∴△ABC的面积为bc sinA＝7．故选A ．
(2)由余弦定理b2＝a2＋c2－2accos B得，
72＝52＋c2－2×5c×cos 120°，
即c2＋5c－24＝0，解得c＝3或c＝－8(舍去)．
所以S△ABC＝acsin B＝×5×3sin 120°＝．]
　求三角形的面积，要充分挖掘题目中的条件，将其转化为求两边及其夹角的正弦问题，要注意方程思想在解题中的应用．
[学以致用]　
2．(1)如图，在四边形ABCD中，∠B＝∠C＝120°，AB＝4，BC＝CD＝2，则该四边形的面积等于(　　)
A．　　B．5　　C．6　　D．7
(2)在△ABC中，A＝60°，a＝，b＝2，则AC边上的高为 ．
(1)B　(2)　[(1)连接BD(图略)，在△BCD中，由已知条件，知∠DBC＝30°，
∴∠ABD＝90°．在△BCD中，由余弦定理知，BD2＝BC2＋CD2－2BC·CD cos C＝22＋22－2×2×2×cos 120°＝12，∴BD＝2，∴S四边形ABCD＝S△ABD＋S△BCD＝×4×2＋×2×2×sin 120°＝5．
(2)在△ABC中，由余弦定理得，a2＝b2＋c2－2bc cos A，
代入得7＝4＋c2－2c，
即c2－2c－3＝0，所以c＝3或c＝－1(舍)，
设AC边上的高为h，则S△ABC＝bc sin A＝bh，
解得h＝c sin A＝3×＝．]
【教用·备选题】　(源自湘教版教材)设R是△ABC的外接圆的半径，S是△ABC的面积，求证：
(1)S＝；
(2)S＝2R2sin A sin B sin C．
[证明]　(1)由扩充的正弦定理得sin C＝，
所以S＝ab sin C＝．
(2)由a＝2R sin A，b＝2R sin B，得
S＝ab sin C＝2R2sin A sin B sin C．
探究3　余弦定理、正弦定理的综合应用
[典例讲评]　3．已知△ABC内角A，B，C的对边分别是a，b，c，设(sin B－sin C)2＝sin2A－sinB sin C．
(1)求A；
(2)若b＋c＝4，△ABC的面积为，求a的值．
[解]　(1)原式化简可得，sin2B－2sinB sin C＋sin2C＝sin2A－sinB sin C，
整理得，sin2B＋sin2C－sin2A＝sinB sin C，
由正弦定理，得b2＋c2－a2＝bc，
∴cos A＝＝，又A∈(0，π)，
∴A＝．
(2)∵S△ABC＝bc sin A＝bc×＝， ∴bc＝2，
∵a2＝b2＋c2－2bc cos A＝(b＋c)2－3bc＝16－6＝10，
∴a＝．
　应用正、余弦定理解决三角形问题，关键是根据已知条件对边和角进行相互转化，化简表达式，通过代数变形或三角恒等变换解决问题．
[学以致用]　3．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a＋b＝5，c＝，且c cos A＋a＝b．
(1)求C的大小；
(2)求△ABC的面积．
[解]　(1)由正弦定理，得sin Ccos A＋sin A＝sin B＝sin (A＋C)＝sin Acos C＋cos A sin C，
即sin A＝sin Acos C，
∵sin A≠0，∴cos C＝，又C∈(0，π)，∴C＝．
(2)由余弦定理，得c2＝a2＋b2－2abcos C，
即7＝a2＋b2－ab，
∴7＝(a＋b)2－3ab＝25－3ab，故ab＝6，
∴S△ABC＝absin C＝×6×＝，
故△ABC的面积为．
【教用·备选题】
[典例讲评]　1．如图所示，在四边形ABCD中，D＝2B，且AD＝1, CD＝3，cos B＝．
(1)求△ACD的面积；
(2)若BC＝2，求AB的长．
[解]　(1)因为D＝2B，cos B＝，
所以cos D＝cos 2B＝2cos2B－1＝－．
因为D∈(0，π)，
所以sin D＝＝．
因为AD＝1，CD＝3，
所以△ACD的面积为S＝AD·CD·sinD＝×1×3×＝．
(2)在△ACD中，AC2＝AD2＋DC2－2AD·DC·cos D＝12，所以AC＝2．
因为BC＝2，＝，
所以＝＝
＝，
所以AB＝4．
[典例讲评]　2．(2023·全国甲卷)记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知＝2．
(1)求bc；
(2)若－＝1，求△ABC面积．
[解]　(1)由余弦定理知cos A＝，
又＝2，所以2bc＝2，
故bc＝1．
(2)由正弦定理及－＝1，
得－＝1，
化简得－＝1．
∵A＋B＝π－C，∴sin (A＋B)＝sin C，
∴sin (A－B)－sin B＝sin C＝sin (A＋B)，
∴sin A cos B－cos A sin B－sin B＝sin A cos B＋cos A sin B，∴－2cos A sin B＝sin B．
∵B∈(0，π)，∴sin B≠0，∴cos A＝－．
∵A∈(0，π)，∴sin A＝＝．
由(1)知bc＝1，故△ABC的面积S＝bc sinA＝×1×＝．
1．已知△ABC的内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若a＝，b＝4，C＝，则△ABC的面积为(　　)
A．2　　B．　　C．　　D．
B　[由题意可知，a＝，b＝4，C＝，
所以S△ABC＝ab sin C＝×4×＝．]
2．已知在△ABC中，b＝4，c＝2，C＝30°，那么此三角形(　　)
A．有一解 B．有两解
C．无解 D．解的个数不确定
C　[由正弦定理和已知条件，得＝，
∴sin B＝>1，∴此三角形无解．]
3．(2023·北京高考)在△ABC中，(a＋c)·(sin A－sin C)＝b(sin A－sin B)，则∠C＝(　　)
A．
C．
B　[由正弦定理＝＝＝2R(R为三角形外接圆半径)可得，
sin A＝，sin B＝，sin C＝，
所以(a＋c)(sin A－sin C)＝b(sin A－sin B)可化为
(a＋c)·(a－c)＝b(a－b)，
即a2＋b2－c2＝ab，
所以cos C＝＝＝，
又C∈(0，π)，所以C＝．故选B．]
4．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若2cos A(bcos C＋ccos B)＝a＝，△ABC的面积为3，则A＝ ，b＋c＝ ．
　7　[由已知及正弦定理可得，
2cos A(sin Bcos C＋sin Ccos B)＝sin A，
可得2cos A sin (B＋C)＝sin A，
即2cos Asin A＝sin A，
又sin A≠0，∴cos A＝，
∵A∈(0，π)，∴A＝．
由三角形的面积公式可得，
3＝bcsin A＝bc，即bc＝12．
由余弦定理a2＝b2＋c2－2bc cos A，
得13＝(b＋c)2－3bc＝(b＋c)2－36，
解得b＋c＝7．]
1．知识链： (1)三角形的面积公式．
(2)判断三角形解的个数．
(3)正弦、余弦定理的综合应用．
2．方法链：化归转化、数形结合．
3．警示牌：利用正弦定理进行边和角的相互转化时注意不要出现不等价变形．
回顾本节知识，自主完成以下问题：
1．正弦定理有哪些常见变形？
[提示]　①sin A∶sin B∶sin C＝a∶b∶c．
②＝＝＝＝2R．
③a＝2Rsin A，b＝2R sin B，c＝2R sin C．
④sin A＝，sin B＝，sin C＝．(R为三角形外接圆半径)
2．三角形的面积公式有哪些？
[提示]　(1)S△ABC＝bcsin A＝ac sin B＝ab sin C，即任意三角形的面积等于任意两边与它们夹角的正弦的乘积的一半．
(2)S△ABC＝ah，其中a为△ABC的一边长，而h为该边上的高的长．
(3)S△ABC＝r(a＋b＋c)＝rl，其中r，l分别为△ABC的内切圆半径及△ABC的周长．
3．如何判断三角形解的个数？
[提示]　已知△ABC的两边a，b和角A解三角形时，有以下方法：
根据三角函数的性质来判断．由正弦定理，得sin B＝．
当>1时，则无解；当＝1时，则有一解；
当<1时，若a≥b，即A≥B，则B一定为锐角，则有一解；若a课时分层作业(十四)　余弦定理、正弦定理的综合应用
一、选择题
1．在△ABC中，若c＝2，A＝30°，B＝120°，则△ABC的面积为(　　)
A．
C．3 D．3
B　[∵C＝180°－30°－120°＝30°，∴a＝c＝2，
∴面积S＝ac sin B＝×2×2sin 120°＝．故选B．]
2．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若b＋c＝2a，3sin A＝5sin B，则C＝(　　)
A．
C．
C　[由＝和3sin A＝5sin B，得3a＝5b，即b＝a，又b＋c＝2a，所以c＝a，所以由余弦定理，得cos C＝＝－，所以C＝．
故选C．]
3．如图，在△ABC中，点D在BC边上，∠ADC＝60°，CD＝AD＝2，BD＝4，则sin B的值为(　　)
A．
C．
D　[由题意，得△ADC为等边三角形，则∠ADB＝120°，AC＝2，由余弦定理，得AB2＝BD2＋AD2－2BD·AD·cos∠ADB，即AB＝2，由正弦定理，得＝，则sin B＝＝．]
4．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知△ABC的面积S＝，则角C的大小是(　　)
A．
C．或 或
A　[∵△ABC的面积S＝，
∴ab sin C＝．
又cos C＝，∴ab sin C＝ab cos C，
∴tan C＝1．
∵C∈，∴C＝．
故选A．]
5．(多选)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a＝6，B＝30°，则使此三角形只有唯一解的b的值可以是(　　)
A．2 B．3
C．5 D．5
BD　[由正弦定理得，sin A＝＝，要使此三角形只有唯一解，则A只有一个，则＝1或<1且a≤b，
所以b＝3或b≥6，选项BD符合．故选BD．]
二、填空题
6．在△ABC中，sin B＝2sin A，a＋c＝3，且cos C＝，则a＝ ．
1　[因为sin B＝2sin A，所以b＝2a，又a＋c＝3，所以c＝3－a，所以cos C＝＝＝，整理，得a2＋2a－3＝0，解得a＝1(a＝－3舍去)．]
7．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若sin B＝2sin A，且△ABC的面积为a2sin B，则cos B＝ ．
　[由sin B＝2sin A，得b＝2a，由△ABC的面积为a2sin B，得ac sin B＝a2sin B，由sin B≠0，知c＝2a，∴cos B＝＝＝．]
8．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a＝3，B＝2A，cos A＝，则b＝ ．
2　[因为cos A＝，所以sin A＝，因为B＝2A，所以sin B＝sin 2A＝2sin Acos A＝，又＝，所以b＝2．]
三、解答题
9． (源自北师大版教材)在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，已知A是锐角，且cos 2A＝－．
(1)若mbc＝b2＋c2－a2，求实数m的值；
(2)若a＝，求△ABC面积的最大值．
[解]　由A是锐角，且cos 2A＝－，得2A＝，A＝．
(1)mbc＝b2＋c2－a2可变形为＝．
依据余弦定理，可知cos A＝＝，即＝．所以m＝1．
(2)因为sin A＝sin ＝，
所以bc＝b2＋c2－a2≥2bc－a2，即bc≤a2．
故S△ABC＝sin A≤·＝．
即所求△ABC面积的最大值是．
10．(2024·全国甲卷)在△ABC中，内角A，B，C所对边分别为a，b，c，若B＝，b2＝ac，则sin A＋sin C＝(　　)
A．
C．
C　[因为B＝，b2＝ac，
则由正弦定理得sin A sin C＝sin2B＝．
由余弦定理可得b2＝a2＋c2－ac＝ac，
即a2＋c2＝ac，根据正弦定理得sin2A＋sin2C＝sinA sin C＝，所以(sin A＋sin C)2＝sin2A＋sin2C＋2sinA sin C＝．
因为A，C为三角形内角，则sin A＋sin C>0，
则sin A＋sin C＝．故选C．]
11．在圆O的内接四边形ABCD中，AB＝2，BC＝6，CD＝AD＝4，则四边形ABCD的面积S为(　　)
A．4 B．6
C．8 D．10
C　[如图，连接BD，
在△ABD中，由余弦定理，得
BD2＝4＋16－2×2×4cos A＝20－16cos A，
在△CBD中，由余弦定理，得
BD2＝16＋36－2×4×6cos C
＝52－48cos C，
∵A＋C＝180°，∴20－16cos A＝52＋48cos A，
解得cos A＝－，∴A＝120°，C＝60°．
S＝S△ABD＋S△CBD＝×2×4×sin 120°＋×4×6×sin 60°＝8．]
12．(多选)三角形有一个角是60°，夹在这个角的两边长分别为8和5，则(　　)
A．三角形另一边长为6　
B．三角形的周长为20
C．三角形内切圆面积为3π　
D．三角形外接圆周长为π
BC　[可得另一边长为＝7，则A错误，B正确；
设内切圆半径为r，则(8＋7＋5)r＝×8×5sin 60°，则r＝，则内切圆面积为πr2＝3π，则C正确；
设外接圆半径为R，则2R＝，其周长为2πR＝＝，则D错误．故选BC．]
13．已知△ABC的面积为·＝－3，则A＝ ．
　[因为△ABC的面积为，所以||||sin A＝，即sin A＝，
因为·＝－3，所以cos (π－A)＝－cos A＝－3，得||||cos A＝3，所以＝，得tan A＝，
因为A∈，所以A＝．]
14．已知△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，设其面积为S，＝－．
(1)求角C；
(2)若c＝2，点D在边AB上，若CD是∠C的平分线，且CD＝1，求S．
[解]　(1)依题意＝＝＝－，
所以tan C＝－，因为C∈，所以C＝．
(2)在△ABC中，c2＝a2＋b2－2ab cos C，
∴a2＋b2＋ab＝56．①
又S△ACD＋S△BCD＝S△ABC，
∴×1×b×＋×1×a×＝ab×，
即a＋b＝ab，②
联立①②得a2b2－ab＝56，
∴ab＝8．∴S＝ab sin ＝2．
15．在△ABC中，已知＝，且cos (A－B)＋cos C＝1－cos 2C．
(1)试确定△ABC的形状；
(2)求的取值范围．
[解]　(1)在△ABC中，设其外接圆半径为R，
根据正弦定理得，sin A＝，sin B＝，sin C＝，代入＝，得＝，
所以b2－a2＝ab．①
因为cos (A－B)＋cos C＝1－cos 2C，
所以cos (A－B)－cos (A＋B)＝2sin2C，
所以sinAsin B＝sin2C．
由正弦定理，得·＝，
所以ab＝c2．②
把②代入①得，b2－a2＝c2，即a2＋c2＝b2．
所以△ABC是直角三角形．
(2)由(1)知B＝，所以A＋C＝，
所以C＝－A．
所以sinC＝sin ＝cos A．
根据正弦定理，得
＝＝sin A＋cos A
＝sin ．
因为ac所以0＜A＜，所以＜A＋＜．
所以＜sin <1，
所以1＜sin <，
即的取值范围是(1，)．
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第3课时　余弦定理、正弦定理的综合应用
第六章　平面向量及其
6.4　平面向量的应用
6.4.3　余弦定理、正弦定理
整体感知
[学习目标]　1．掌握三角形的面积公式的简单推导和应用．
2．能够运用正弦、余弦定理解决三角形中的一些综合问题．
[讨论交流]　预习教材P53和P54的内容，思考以下问题：
问题1．如何用三角形的边和角表示三角形的面积？
问题2．如何依据三角形所给的边角关系判断三角形解的个数？
问题3．三角形中有哪些三角恒等变换？
[自我感知]　经过认真预习，结合你对本节课的理解和认识，请画出本节课的知识逻辑体系．
探究建构
探究1　三角形解的个数的判断
[典例讲评]　1．不解三角形，判断下列三角形解的个数．
(1)a＝5，b＝4，A＝120°；
(2)a＝9，b＝10，A＝60°；
(3)b＝72，c＝50，C＝135°．
反思领悟　已知两边及其中一边的对角判断三角形解的个数的方法
(1)应用三角形中大边对大角的性质以及正弦函数的值域判断解的个数．
(2)在△ABC中，已知a，b和A，以点C为圆心，以边长a为半径画弧，此弧与除去顶点A的射线AB的公共点的个数即为三角形解的个数，解的个数见下表：
角A A为钝角 A为直角 A为锐角
a>b 一解 一解 一解
a＝b 无解 无解 一解
absin A 两解
a＝bsin A 一解
a[学以致用]　1．(1)(多选)根据下列条件，判断三角形解的情况，其中正确的是(　　)
A．a＝8，b＝16，A＝30°，有一解
B．b＝18，c＝20，B＝60°，有两解
C．a＝5，c＝2，A＝90°，无解
D．a＝30，b＝25，A＝150°，有一解
(2)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若满足B＝60°，c＝2的三角形有两解，则b的取值范围为________________．
√
√
√
探究2　三角形面积公式
探究问题　已知△ABC的两边a，b和角C，如何求△ABC的面积？
[新知生成]
已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，则△ABC的面积公式为S＝__________＝___________＝__________．
√

反思领悟　求三角形的面积，要充分挖掘题目中的条件，将其转化为求两边及其夹角的正弦问题，要注意方程思想在解题中的应用．
√

反思领悟　应用正、余弦定理解决三角形问题，关键是根据已知条件对边和角进行相互转化，化简表达式，通过代数变形或三角恒等变换解决问题．
2
4
3
题号
1
应用迁移
√
2
3
题号
1
4
√
2
3
题号
4
1
√
2
3
题号
4
1
2
4
3
题号
1
7　

2
4
3
题号
1
2
4
3
题号
1
1．知识链： (1)三角形的面积公式．
(2)判断三角形解的个数．
(3)正弦、余弦定理的综合应用．
2．方法链：化归转化、数形结合．
3．警示牌：利用正弦定理进行边和角的相互转化时注意不要出现不等价变形．
回顾本节知识，自主完成以下问题：
1．正弦定理有哪些常见变形？
2．三角形的面积公式有哪些？
3．如何判断三角形解的个数？

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