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7.2.1　复数的加、减运算及其几何意义
第七章　复数
7.2　复数的四则运算
整体感知
[学习目标]　1．熟练掌握复数的加、减运算法则．
2．理解复数加、减法的几何意义，能够利用“数形结合”的思想解题．
[讨论交流]　预习教材P75－P77的内容，思考以下问题：
问题1．复数的加、减法运算法则是什么？运算律有哪些？
问题2．复数的加、减法的几何意义是什么？
[自我感知]　经过认真预习，结合你对本节课的理解和认识，请画出本节课的知识逻辑体系．
探究建构
探究1　复数代数形式的加、减运算法则
探究问题1　类比向量坐标的加、减运算，若z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，你能得到复数 z1±z2吗？
[新知生成]
1．设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)是任意两个复数，则
(1)z1＋z2＝_______________；
(2)z1－z2＝_______________．
2．对任意z1，z2，z3∈C，有
(1)z1＋z2＝________；
(2)(z1＋z2)＋z3＝_____________．
(a＋c)＋(b＋d)i
(a－c)＋(b－d)i
z2＋z1
z1＋(z2＋z3)
【链接·教材例题】
例1　计算(5－6i)＋(－2－i)－(3＋4i)．
[解]　(5－6i)＋(－2－i)－(3＋4i)
＝(5－2－3)＋(－6－1－4)i
＝－11i．
[解]　(1)原式＝(2＋1－5)＋(－3－2＋4)i＝－2－i．
反思领悟　复数加、减运算的解题思路
两个复数相加(减)，就是把两个复数的实部相加(减)，虚部相加(减)．复数的减法是加法的逆运算．当多个复数相加(减)时，可将这些复数的所有实部相加(减)，所有虚部相加(减)．
[学以致用]　1．复数(1＋2i)＋(3－4i)－(－5－3i)对应的点在(　　)
A．第一象限　 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
A　[复数(1＋2i)＋(3－4i)－(－5－3i)＝(1＋3＋5)＋(2－4＋3)i＝9＋i，其对应的点为(9，1)，在第一象限．]
√
探究2　复数加、减法的几何意义
探究问题2　我们知道，复数与复平面内以原点为起点的向量一一对应，复数加法的坐标运算法则是什么？复数加法的几何意义是什么？
因此，复数的加法(减法)可以按照向量的加法
(减法)来进行，这就是复数加法(减法)的几何意义．
z1＋z2
z1－z2
【链接·教材例题】
例2　根据复数及其运算的几何意义，求复平面内的两点Z1(x1，y1)，Z2(x2，y2)之间的距离．

反思领悟　利用复数的几何意义解题的常用技巧
(1)形转化为数：利用几何意义可以把几何图形转化成复数，几何图形的变换转化成复数的运算进行解题．
(2)数转化为形：对于一些复数运算给予几何解释，将复数作为工具运用于几何之中．
[学以致用]　2．复数z1＝1＋2i，z2＝－2＋i，z3＝－1－2i，它们在复平面上的对应点是一个正方形的三个顶点，求这个正方形的第四个顶点对应的复数．
√
(1)A　[如图，设复数－i，i，－1－i在复平面内对应的点分别为Z1，Z2，Z3，因为|z＋i|＋|z－i|＝2，|Z1Z2|＝2，所以点Z的集合为线段Z1Z2．
问题转化为动点Z在线段Z1Z2上移动，则求|ZZ3|的
最小值．因为|Z1Z3|＝1，所以|z＋i＋1|min＝1．]
反思领悟　两个复数差的模的几何意义
(1)|z－z0|表示复数z，z0对应的点之间的距离，在应用时，要把绝对值符号内变为两复数差的形式．
(2)|z－z0|＝r表示以z0对应的点为圆心，r为半径的圆．
(3)涉及复数模的最值问题以及点的集合所表示的图形问题，均可从两点间距离公式的复数表达形式入手进行分析判断，然后通过几何方法进行求解．
[学以致用]　3．已知|z|＝1且z∈C，求|z－2－2i|(i为虚数单位)的最小值．
【教用·备选题】　(1)若|z－1|＝|z＋1|，则复数z对应的点在(　　)
A．实轴上 B．虚轴上
C．第一象限 D．第二象限
(2)设复数z＝a＋bi(a，b∈R)，1≤|z|≤2，则|z＋1|的取值范围是__________．
(1)B　(2)[0，3]　[(1)∵|z－1|＝|z＋1|，
∴点Z到(1，0)和(－1，0)的距离相等，即点Z在以(1，0)和(－1，0)为端点的线段的中垂线上，即在虚轴上．
√
[0，3]
(2)由复数的模及复数加、减运算的几何意义可知，1≤|z|≤2表示如图所示的圆环，而|z＋1|表示复数z的对应点A(a，b)与复数z1＝－1的对应点B(－1，0)之间的距离，即圆环内的点到点B的距离d．由图易知当A与B重合时，dmin＝0，当点A与点C(2，0)重合时，dmax＝3，所以0≤|z＋1|≤3．]
2
4
3
题号
1
应用迁移
1．已知复数z1＝3＋4i，z2＝3－4i，则z1＋z2＝(　　)
A．8i B．6
C．6＋8i D．6－8i
√
B　[z1＋z2＝3＋4i＋3－4i＝(3＋3)＋(4－4)i＝6．]
2
3
题号
1
4
2．设z1＝3－4i，z2＝－2＋3i，则z1－z2在复平面内对应的点位于
(　　)
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
√
D　[∵z1－z2＝(3－4i)－(－2＋3i)＝5－7i，
∴z1－z2在复平面内对应的点位于第四象限．]
2
3
题号
4
1
√
2
4
3
题号
1
6
1．知识链：(1)复数代数形式的加、减运算法则．
(2)复数加、减法的几何意义．
(3)复数模的综合问题．
2．方法链：类比、数形结合．
3．警示牌：注意不要忽略模的几何意义．
回顾本节知识，自主完成以下问题：
1．如何理解复数的加、减法？
[提示]　由于复数具有数与形的多重性，因此复数加、减法也应从数与形等方面领会，即从代数形式上领会，复数加、减法类似于多项式合并同类项；从几何形式上，复数加、减法等同于向量加、减法运算．
2．|z－z1|＝3表示的轨迹是什么？
[提示]　当|z－z1|＝3时，表示复数z对应的点的轨迹是以z1对应的点为圆心，以3为半径的圆．7.2　复数的四则运算
7.2.1　复数的加、减运算及其几何意义
[学习目标]　1．熟练掌握复数的加、减运算法则．
2．理解复数加、减法的几何意义，能够利用“数形结合”的思想解题．
[讨论交流]　预习教材P75－P77的内容，思考以下问题：
问题1．复数的加、减法运算法则是什么？运算律有哪些？
问题2．复数的加、减法的几何意义是什么？
[自我感知]　经过认真预习，结合你对本节课的理解和认识，请画出本节课的知识逻辑体系．
探究1　复数代数形式的加、减运算法则
探究问题1　类比向量坐标的加、减运算，若z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，你能得到复数 z1±z2吗？
[提示]　根据复数与向量的对应关系，设z1＝a＋bi与向量＝(a，b)对应，z2＝c＋di与向量＝(c，d)对应，所以z1＋z2＝a＋c＋(b＋d)i与向量＝(a＋c，b＋d)对应，同理，z1－z2与＝(a－c，b－d)对应．
[新知生成]
1．设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)是任意两个复数，则
(1)z1＋z2＝(a＋c)＋(b＋d)i；
(2)z1－z2＝(a－c)＋(b－d)i．
2．对任意z1，z2，z3∈C，有
(1)z1＋z2＝z2＋z1；
(2)(z1＋z2)＋z3＝z1＋(z2＋z3)．
【链接·教材例题】
例1　计算(5－6i)＋(－2－i)－(3＋4i)．
[解]　(5－6i)＋(－2－i)－(3＋4i)
＝(5－2－3)＋(－6－1－4)i
＝－11i．
[典例讲评]　1．(1)计算：(2－3i)＋(－2i＋1)－(5－4i)；
(2)设z1＝x＋2i，z2＝3－yi(x，y∈R)，且＝5－6i，求z1－z2．
[解]　(1)原式＝(2＋1－5)＋(－3－2＋4)i＝－2－i．
(2)因为z1＝x＋2i，z2＝3－yi，z1＋z2＝5－6i，
所以(3＋x)＋(2－y)i＝5－6i，
所以所以
所以z1－z2＝(2＋2i)－(3－8i)
＝(2－3)＋[2－(－8)]i＝－1＋10i．
　复数加、减运算的解题思路
两个复数相加(减)，就是把两个复数的实部相加(减)，虚部相加(减)．复数的减法是加法的逆运算．当多个复数相加(减)时，可将这些复数的所有实部相加(减)，所有虚部相加(减)．
[学以致用]　1．复数(1＋2i)＋(3－4i)－(－5－3i)对应的点在(　　)
A．第一象限　 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
A　[复数(1＋2i)＋(3－4i)－(－5－3i)＝(1＋3＋5)＋(2－4＋3)i＝9＋i，其对应的点为(9，1)，在第一象限．]
探究2　复数加、减法的几何意义
探究问题2　我们知道，复数与复平面内以原点为起点的向量一一对应，复数加法的坐标运算法则是什么？复数加法的几何意义是什么？
[提示]　设＝(a，b)，＝(c，d)，则＝(a，b)＋(c，d)＝(a＋c，b＋d)．几何意义是以为邻边作平行四边形OZ1ZZ2的对角线．
[新知生成]
如图，设复数z1＝a＋bi，z2＝c＋di对应的向量分别为，则＝(a，b)，＝(c，d)，四边形OZ1ZZ2为平行四边形，则向量＝(a＋c，b＋d)与复数z1＋z2对应，向量＝(a－c，b－d)与复数z1－z2对应．
因此，复数的加法(减法)可以按照向量的加法(减法)来进行，这就是复数加法(减法)的几何意义．
【链接·教材例题】
例2　根据复数及其运算的几何意义，求复平面内的两点Z1(x1，y1)，Z2(x2，y2)之间的距离．
分析：由于复平面内的点Z1(x1，y1)，Z2(x2，y2)对应的复数分别为z1＝x1＋y1i，z2＝x2＋y2i，由复数减法的几何意义知，复数z2－z1对应的向量为，从而点Z1，Z2之间的距离为||＝|z2－z1|．
[解]　因为复平面内的点Z1(x1，y1)，Z2(x2，y2)对应的复数分别为z1＝x1＋y1i，z2＝x2＋y2i，所以点Z1，Z2之间的距离为
|Z1Z2|＝||＝|z2－z1|
＝|(x2＋y2i)－(x1＋y1i)|
＝|(x2－x1)＋(y2－y1)i|
＝．
[典例讲评]　2．(1)复数z1，z2满足|z1|＝|z2|＝＝．则|z1－z2|＝ ．
(2)如图所示，平行四边形OABC的顶点O，A，C对应的复数分别为0，3＋2i，－2＋4i，试求：
①所表示的复数，所表示的复数；
②对角线所表示的复数；
③对角线所表示的复数及的长度．
(1)　[由|z1|＝|z2|＝1，|z1＋z2|＝，知z1，z2，z1＋z2对应的点是一个边长为1的正方形的三个顶点，所求|－z2|是这个正方形的一条对角线长，所以|z1－z2|＝．]
(2)[解]　①＝－，∴所表示的复数为－3－2i．
∵＝，
∴所表示的复数为－3－2i．
②∵＝，
∴所表示的复数为(3＋2i)－(－2＋4i)＝5－2i．
③对角线＝，它所对应的复数为(3＋2i)＋(－2＋4i)＝1＋6i，||＝＝．
　利用复数的几何意义解题的常用技巧
(1)形转化为数：利用几何意义可以把几何图形转化成复数，几何图形的变换转化成复数的运算进行解题．
(2)数转化为形：对于一些复数运算给予几何解释，将复数作为工具运用于几何之中．
[学以致用]　2．复数z1＝1＋2i，z2＝－2＋i，z3＝－1－2i，它们在复平面上的对应点是一个正方形的三个顶点，求这个正方形的第四个顶点对应的复数．
[解]　设复数z1，z2，z3在复平面内所对应的点分别为A，B，C，正方形的第四个顶点D对应的复数为x＋yi(x，y∈R)，如图．
则＝＝(x，y)－(1，2)＝(x－1，y－2)．
＝＝(－1，－2)－(－2，1)＝(1，－3)．
∵＝，
∴解得故点D对应的复数为2－i．
探究3　复数模的综合问题
[典例讲评]　3．(1)如果复数z满足|z＋i|＋|z－i|＝2，那么|z＋i＋1|的最小值是(　　)
A．1 B．
C．2 D．
(2)若复数z满足|z＋＋i|≤1，求|z|的最大值和最小值．
(1)A　[如图，设复数－i，i，－1－i在复平面内对应的点分别为Z1，Z2，Z3，因为|z＋i|＋|z－i|＝2，|Z1Z2|＝2，所以点Z的集合为线段Z1Z2．
问题转化为动点Z在线段Z1Z2上移动，则求|ZZ3|的最小值．因为|Z1Z3|＝1，所以|z＋i＋1|min＝1．]
(2)[解]　如图所示， 设对应的复数为－－i，则||＝＝2．
所以|z|max＝2＋1＝3，|z|min＝2－1＝1．
　两个复数差的模的几何意义
(1)|z－z0|表示复数z，z0对应的点之间的距离，在应用时，要把绝对值符号内变为两复数差的形式．
(2)|z－z0|＝r表示以z0对应的点为圆心，r为半径的圆．
(3)涉及复数模的最值问题以及点的集合所表示的图形问题，均可从两点间距离公式的复数表达形式入手进行分析判断，然后通过几何方法进行求解．
[学以致用]　3．已知|z|＝1且z∈C，求|z－2－2i|(i为虚数单位)的最小值．
[解]　因为|z|＝1且z∈C，作图如图，
所以|z－2－2i|的几何意义为单位圆上的点M到复平面上的点P(2，2)的距离，所以|z－2－2i|的最小值为|OP|－1＝2－1．
【教用·备选题】　(1)若|z－1|＝|z＋1|，则复数z对应的点在(　　)
A．实轴上 B．虚轴上
C．第一象限 D．第二象限
(2)设复数z＝a＋bi(a，b∈R)，1≤|z|≤2，则|z＋1|的取值范围是 ．
(1)B　(2)[0，3]　[(1)∵|z－1|＝|z＋1|，
∴点Z到(1，0)和(－1，0)的距离相等，即点Z在以(1，0)和(－1，0)为端点的线段的中垂线上，即在虚轴上．
(2)由复数的模及复数加、减运算的几何意义可知，1≤|z|≤2表示如图所示的圆环，而|z＋1|表示复数z的对应点A(a，b)与复数z1＝－1的对应点B(－1，0)之间的距离，即圆环内的点到点B的距离d．由图易知当A与B重合时，dmin＝0，当点A与点C(2，0)重合时，dmax＝3，所以0≤|z＋1|≤3．]
1．已知复数z1＝3＋4i，z2＝3－4i，则z1＋z2＝(　　)
A．8i B．6
C．6＋8i D．6－8i
B　[z1＋z2＝3＋4i＋3－4i＝(3＋3)＋(4－4)i＝6．]
2．设z1＝3－4i，z2＝－2＋3i，则z1－z2在复平面内对应的点位于(　　)
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
D　[∵z1－z2＝(3－4i)－(－2＋3i)＝5－7i，
∴z1－z2在复平面内对应的点位于第四象限．]
3．在平行四边形ABCD中，若A，C对应的复数分别为－1＋i和－4－3i，则该平行四边形的对角线AC的长度为(　　)
A． B．5
C．2 D．10
B　[依题意，对应的复数为(－4－3i)－(－1＋i)＝－3－4i，因此AC的长度为|－3－4i|＝5．]
4．已知复数z满足＝1，则(i为虚数单位)的最大值为 ．
6　[设z＝a＋bi(a，b为实数)，则复数z满足＝1的几何意义是以原点为圆心，以1为半径的圆上的点，则＝表示的几何意义是圆上的点到的距离，根据圆的性质可知，所求最大值为＋1＝5＋1＝6．]
1．知识链：(1)复数代数形式的加、减运算法则．
(2)复数加、减法的几何意义．
(3)复数模的综合问题．
2．方法链：类比、数形结合．
3．警示牌：注意不要忽略模的几何意义．
回顾本节知识，自主完成以下问题：
1．如何理解复数的加、减法？
[提示]　由于复数具有数与形的多重性，因此复数加、减法也应从数与形等方面领会，即从代数形式上领会，复数加、减法类似于多项式合并同类项；从几何形式上，复数加、减法等同于向量加、减法运算．
2．|z－z1|＝3表示的轨迹是什么？
[提示]　当|z－z1|＝3时，表示复数z对应的点的轨迹是以z1对应的点为圆心，以3为半径的圆．
课时分层作业(十八)　复数的加、减运算及其几何意义
一、选择题
1．已知复数z1＝i，z2＝2＋i，那么z1＋z2＝(　　)
A．1＋i B．2
C．2i D．2＋2i
D　[z1＋z2＝i＋2＋i＝2＋2i．故选D．]
2．设2(z＋)＋3(z－)＝4＋6i，则z＝(　　)
A．1－2i B．1＋2i
C．1＋i D．1－i
C　[设z＝a＋bi，则)＝4a＋6bi＝4＋6i，所以 解得a＝b＝1，因此z＝1＋i．故选C．]
3．若z1＝2＋i，z2＝3＋ai(a∈R)，且在复平面内z1＋z2所对应的点在实轴上，则a的值为(　　)
A．3 B．2
C．1 D．－1
D　[ z1＋z2＝2＋i＋3＋ai＝(2＋3)＋(1＋a)i＝5＋(1＋a)i．因为在复平面内z1＋z2所对应的点在实轴上，所以1＋a＝0，所以a＝－1．]
4．已知复数z对应的向量如图所示，则复数z＋1所对应的向量表示正确的是(　　)
A　　　B　　 　C　　 　　D
A　[由题图可知z＝－2＋i，所以z＋1＝－1＋i，则复数z＋1所对应的向量的坐标为(－1，1)．故选A．]
5．(多选)表示(　　)
A．点与点之间的距离
B．点与点之间的距离
C．点到原点的距离
D．坐标为的向量的模
ACD　[由复数的几何意义，知复数3＋2i，1＋i分别对应复平面内的点与点，所以|(3＋2i)－(1＋i)|表示点(3，2)与点(1，1)之间的距离，故A说法正确，B说法错误；|(3＋2i)－(1＋i)|＝|2＋i|，|2＋i|可表示点(2，1)到原点的距离，故C说法正确；|(3＋2i)－(1＋i)|＝|(1＋i)－(3＋2i)|＝|－2－i|，|－2－i|可表示点(－2，－1)到原点的距离，即坐标为(－2，－1)的向量的模，故D说法正确．故选ACD．]
二、填空题
6．已知z1＝(3x－4y)＋(y－2x)i，z2＝(－2x＋y)＋(x－3y)i，x，y为实数，若z1－z2＝5－3i，则|z1＋z2|＝ ．
　[z1－z2＝[(3x－4y)＋(y－2x)i]－[(－2x＋y)＋(x－3y)i]＝[(3x－4y)－(－2x＋y)]＋[(y－2x)－(x－3y)]i＝(5x－5y)＋(－3x＋4y)i＝5－3i，
所以解得
所以z1＝3－2i，z2＝－2＋i，则z1＋z2＝1－i，
所以|z1＋z2|＝．]
7．在复平面内，复数－3－i与5＋i对应的向量分别是与，其中O是原点，则向量＝ ，则对应的复数为 ，A，B两点间的距离为 ．
(2，0)　－8－2i　2　[∵向量对应的复数为(－3－i)＋(5＋i)＝2，∴＝(2，0)．
∵＝，
∴向量对应的复数为(－3－i)－(5＋i)＝－8－2i．
∴A，B两点间的距离为|－8－2i|＝＝2．]
8．已知|z|＝4，且z＋2i是实数，则复数z＝ ．
±2－2i　[因为z＋2i是实数，所以可设z＝a－2i(a∈R)，由|z|＝4得a2＋4＝16，
所以a2＝12，所以a＝±2，
所以z＝±2－2i．]
三、解答题
9．计算：
(1)＋；
(2)＋＋；
(3)－7i－；
(4)－＋；
(5)[(a－b)＋(a＋b)i]－[(a＋b)＋(a－b)i]．
[解]　(1)＋＝5－3＋4i－3i＝2＋i．
(2)＋＋
＝i－i＋i＝i．
(3)－7i－＝3－2＋2i－7i＋3i＝1－2i．
(4)－＋
＝0.5－1.2＋1＋1.3i－0.7i－0.4i＝0.3＋0.2i．
(5)－
＝－＋i－i＝－2b＋2bi．
10．△ABC的三个顶点所对应的复数分别为z1，z2，z3，复数z满足|z－z1|＝|z－z2|＝|z－z3|，则z对应的点P是△ABC的(　　)
A．外心 B．内心
C．重心 D．垂心
A　[由复数模及复数减法运算的几何意义，结合条件可知复数z对应的点P到△ABC的顶点A，B，C的距离相等，∴P为△ABC的外心．]
11．复数z1＝1＋icos θ，z2＝sin θ－i，则|z1－z2|的最大值为(　　)
A．3－2 －1
C．3＋2 ＋1
D　[|z1－z2|＝|(1－sin θ)＋(cos θ＋1)i|
＝
＝
＝．
∵－1≤cos ≤1，
∴|z1－z2|max＝＝＋1．]
12．若复数z＝a＋bi(a，b∈R)满足|z－2i|＝|z|，写出一个满足条件的复数z＝ ．
1＋i(答案不唯一)　[因为z＝a＋bi，故z－2i＝a＋(b－2)i．由|z－2i|＝|z|知， ＝，化简得b＝1，故只要b＝1，即z＝a＋i(a可为任意实数)均满足题意，可取z＝1＋i．]
13．在①z1＋z2＝＋i；②z1＋z2＝i；③z1＋z2＝1＋i这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解答该问题．
设复数z1，z2满足＝＝1．
(1)若 ，求z1，z2；
(2)若＝1，求．
[解]　(1)选①z1＋z2＝＋i，＝＝1．
设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，
所以
解得z1＝－＋i，z2＝1或z1＝1，z2＝－＋i．
选②z1＋z2＝i，＝＝1．
设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，
所以 解得z1＝－＋i，z2＝＋i，或z1＝＋i，z2＝－＋i．
选③z1＋z2＝1＋i，＝＝1．
设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，
所以
解得z1＝＋i，z2＝＋i．
(2)若＝1，＝＝1，不妨设z1＝1，z2＝c＋di(c，d∈R)，所以
解得z2＝－±i，|z1－z2|＝＝＝．
14．已知在复平面内有一平行四边形ABCD，点A对应的复数为2＋i，向量对应的复数为1＋2i，向量对应的复数为3－i，O为坐标原点．
(1)求点C，D对应的复数；
(2)求 ABCD的面积．
[解]　(1)因为向量对应的复数为1＋2i，向量对应的复数为3－i，＝，
所以向量对应的复数为(3－i)－(1＋2i)＝2－3i．
又＝，
所以点C对应的复数为(2＋i)＋(2－3i)＝4－2i．
因为＝，所以向量对应的复数为3－i，
因为＝，所以＝，
所以点D对应的复数为2＋i＋3－i＝5．
(2)因为＝(1，2)，＝(3，－1)，·＝||||cos B，
所以cos B＝＝＝＝，
所以sin B＝．
所以S ABCD＝||||sin B＝×＝7，故 ABCD的面积为7.
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