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7.3*　复数的三角表示
[学习目标]　1．了解复数的三角形式，了解复数的代数表示与三角表示之间的关系．
2．了解复数乘、除运算的三角表示及其几何意义．
[讨论交流]　预习教材P83－P88的内容，思考以下问题：
问题1．复数的三角形式是什么？辐角、辐角的主值是如何定义的？
问题2．复数乘法、除法的三角表示及其几何意义分别是什么？
[自我感知]　经过认真预习，结合你对本节课的理解和认识，请画出本节课的知识逻辑体系．
探究1　复数的三角表示式
探究问题1　回顾三角函数的定义，如图，角θ的终边上一点P(x，y)，设P到原点O的距离|OP|＝r，那么怎样用角θ和r表示x，y
[提示]　由三角函数的定义可知：sin θ＝，cos θ＝，所以y＝r sin θ，x＝r cos θ．
探究问题2　如图所示，复数与向量一一对应，复数由向量的坐标唯一确定．我们知道向量也可以由它的大小和方向唯一确定，那么
(1)向量的大小如何表示？
(2)向量的方向如何表示？
[提示]　(1)||＝；
(2)可以借助以x轴的非负半轴为始边，以向量所在射线(射线OZ)为终边的角θ来刻画的方向．
探究问题3　根据探究问题2，思考如何用复平面内向量的大小和方向去表示复数z＝a＋bi(a，b∈R)
[提示]　记向量的模||＝|a＋bi|＝r，由探究问题2中的图可知
所以a＋bi＝r cos θ＋ir sin θ＝r(cos θ＋isin θ)，其中r＝，cos θ＝，sin θ＝．这样，我们就用刻画向量大小的模r和刻画向量方向的角θ表示了复数z．
[新知生成]
1．定义：任何一个复数z＝a＋bi都可以表示成r(cos θ＋isin θ)的形式．其中，r是复数z的模；θ是以x轴的非负半轴为始边，向量所在射线(射线OZ)为终边的角，叫做复数z＝a＋bi的辐角．r(cos θ＋isin θ)叫做复数z＝a＋bi的三角表示式，简称三角形式．
2．辐角的主值：规定在0≤θ＜2π范围内的辐角θ的值为辐角的主值．通常记作arg z，即0≤arg z＜2π．
【教用·微提醒】　任何一个不为零的复数的辐角有无限多个值，这些值相差2π的整数倍．辐角的主值只有一个值，在0≤θ＜2π范围内．
【链接·教材例题】
例1　画出下列复数对应的向量，并把这些复数表示成三角形式：
(1)＋i；
(2)1－i．
分析　只要确定复数的模和一个辐角，就能将复数的代数形式转化为三角形式．
[解]　(1)复数＋i对应的向量如图7.3-2所示，则
r＝＝1，cos θ＝．
因为与＋i对应的点在第一象限，
所以arg＝．
于是＋i＝cos ＋isin．
(2)复数1－i对应的向量如图7.3-3所示，则
r＝＝，cos θ＝＝．
因为与1－i对应的点在第四象限，所以arg(1－i)＝．
于是1－i＝．
当然，把一个复数表示成三角形式时，辐角θ不一定取主值．
例如也是1－i的三角形式．
【链接·教材例题】
例2　分别指出下列复数的模和一个辐角，画出它们对应的向量，并把这些复数表示成代数形式：
(1)cos π＋isin π；
(2)6．
[解]　(1)复数cos π＋isin π的模r＝1，一个辐角θ＝π，对应的向量如图7.3-4所示．所以
cos π＋isin π＝－1＋0i＝－1．
(2)复数6的模r＝6，一个辐角θ＝，对应的向量如图7.3-5所示．所以
6＝6cos ＋i
＝6×＋6×i
＝3－3i．
[典例讲评]　1．(源自北师大版教材)请将以下复数表示为三角形式(辐角取主值)：
(1)＋i；(2)1－i；(3)－1．
[解]　(1)因为r＝＝2，cos θ＝，sin θ＝，所以θ＝，于是＋i＝2．
(2)因为r＝＝，cos θ＝，sin θ＝－，所以θ＝，于是1－i＝．
(3)因为r＝＝1，cos θ＝－1，sin θ＝0，所以θ＝π，于是－1＝cos π＋isin π．
　将复数代数形式化为三角形式的步骤
(1)先求复数的模．
(2)决定辐角所在的象限．
(3)根据象限求出辐角．
(4)求出复数的三角形式．
提醒：复数三角形式的四个要求：模非负、角相同、余弦前、加号连，缺一不可．任何一个不满足，就不是三角形式．
[学以致用]　1．下列是复数三角形式的是(　　)
A．2　　 B．2
C．－2 D．2
D　[复数的三角形式是r(cos θ＋isin θ)，其中，A，B，C均不是这种形式．
A．2中－isin不满足；
B．2中≠不满足；
C．－2中，－2＜0不满足；
D．2满足．]
探究2　复数三角形式乘法法则与几何意义
探究问题4　如果把复数z1，z2分别写成三角形式z1＝r1(cos θ1＋isin θ1)，z2＝r2(cos θ2＋isin θ2)，你能计算z1z2并将结果表示成三角形式吗？
[提示]　z1z2＝r1r2[cos (θ1＋θ2)＋isin(θ1＋θ2)]．
探究问题5　我们知道复数的加、减运算具有几何意义，那么复数乘法很可能也具有几何意义．思考讨论复数乘法运算的三角表示有什么几何意义呢？
[提示]　如图，两个复数z1，z2相乘时，先分别画出与z1，z2对应的向量，然后把向量绕点O按逆时针方向旋转角θ2(如果θ2＜0，就要把绕点O按顺时针方向旋转角|θ2|)，再把它的模变为原来的r2倍，得到向量表示的复数就是积z1z2．
[新知生成]
已知z1＝r1(cos θ1＋isin θ1)，z2＝r2(cos θ2＋isin θ2)，则z1z2＝r1r2[cos (θ1＋θ2)＋isin(θ1＋θ2)]．
这就是说，两个复数相乘，积的模等于各复数的模的积，积的辐角等于各复数的辐角的和．
【链接·教材例题】
例3　已知z1＝，z2＝2，求z1z2，请把结果化为代数形式，并作出几何解释．
[解]　z1z2＝×2
＝×2
＝3
＝3i．
首先作与z1，z2对应的向量，然后把向量绕点O按逆时针方向旋转，再将其长度伸长为原来的2倍，这样得到一个长度为3，辐角为的向量(图7.3-7)．即为积z1z2＝3i所对应的向量．
例4　如图7.3-8，向量对应的复数为1＋i，把绕点O按逆时针方向旋转120°，得到．求向量对应的复数(用代数形式表示)．
分析：根据复数乘法的几何意义，向量对应的复数是复数1＋i与z0的积，其中复数z0的模是1，辐角的主值是120°．
[解]　向量对应的复数为
(1＋i)(cos 120°＋isin 120°)
＝(1＋i)
＝＋i．
[典例讲评]　2．(源自北师大版教材)如图，向量与复数－1＋i对应，把按逆时针方向旋转120°，得到．求向量对应的复数(用代数形式表示)．
[解]　如图，将Z逆时针旋转到Z′，即是向量对应的复数．
＝(－1 ＋ i) ＝ －i ．
　(1)乘法法则：模相乘，辐角相加．
(2)逆时针方向旋转与复数的三角形式的乘法的几何意义相对应．
[学以致用]　2．计算：(1)3×2；
(2)．
[解]　(1)原式＝3×2×＝6＝6i．
(2)原式＝×＝3＝－3i．
探究3　复数三角形式除法法则与几
何意义
[新知生成]
已知z1＝r1(cos θ1＋isin θ1)，z2＝r2(cos θ2＋isin θ2)，且z2≠0，则＝＝[cos (θ1－θ2)＋isin(θ1－θ2)]．
这就是说，两个复数相除，商的模等于被除数的模除以除数的模所得的商，商的辐角等于被除数的辐角减去除数的辐角所得的差．
【链接·教材例题】
例5　计算4÷，并把结果化为代数形式．
[解]　原式＝2
＝2＝2(0＋i)＝2i．
[典例讲评]　3．计算：
(1)÷；
(2)÷．
[解]　(1)原式＝×＝5×＝5×＝＋i．
(2)原式＝×
＝×＝i．
　(1)除法法则：模相除，辐角相减；
(2)顺时针方向旋转与复数的三角形式的除法的几何意义相对应．
[学以致用]　3．(1)设π<θ<，则复数的辐角主值为(　　)
A．2π－3θ　　 B．3θ－2π
C．3θ D．3θ－π
(2)将复数1＋i在复平面上所对应的向量绕原点按顺时针方向旋转得到向量，那么对应的复数是 ．
(1)B　(2)－i　[(1) ＝ ＝ cos 3θ ＋ isin 3θ，
因为π<θ<，所以3π<3θ<，
所以π<3θ－2π<，
所以该复数的辐角主值为3θ－2π．故选B．
(2)∵复数1＋i的三角形式是2，
∴向量对应的复数是
＝2＝－i．]
【教用·备选题】　(源自苏教版教材)计算下列各式，并把结果化成代数形式：
(1)2×3；
(2)÷．
[解]　(1)原式＝6＝6＝6＝3＋3i．
(2)原式＝
＝＝
＝＋i．
1．复数－i的三角形式是(　　)
A．cos ＋isin
B．cos ＋isin
C．cos －isin
D．cos ＋isin
A　[由cos ＝，sin ＝－，则－i＝cos ＋isin ＝cos ＋isin ＝cos ＋isin ．故选A．]
2．复数z＝的代数形式为(　　)
A．1－i　　 B．1＋i　　
C．1　　　 D．i
B　[z＝
＝[cos(75°－30°)＋isin(75°－30°)]
＝(cos 45°＋isin 45°)＝1＋i．
故选B．]
3．(多选)关于复数z1＝2－3i，z2＝3＋2i，下列说法中正确的有(　　)
A．＝
B．复数z2是由z1顺时针旋转得到的
C．复数z1和z2的夹角为
D．复数z＝－4＋6i是由z2逆时针旋转，再拉伸为原来的2倍得到的
ACD　[选项A，∵＝＝，＝＝，∴＝，A正确；
选项B，复数z1＝2－3i＝＝，其中cos θ＝，sin θ＝－，z1顺时针旋转得到＝＝＝－3－2i≠z2，B错误；
选项C，复数z1＝2－3i对应的向量为＝，z2＝3＋2i对应的向量为＝，
∵·＝·＝6－6＝0，∴复数z1和z2的夹角为，C正确；
选项D，z2＝3＋2i＝＝·，其中cos φ＝，sin φ＝，z2逆时针旋转得到＝·＝＝－2＋3i，再拉伸为原来的2倍可得－4＋6i，D正确．故选ACD．]
4．把复数1＋i对应的向量绕原点按逆时针方向旋转，所得到的向量对应的复数是 ．
－1＋i　[复数1＋i对应的向量绕原点按逆时针方向旋转，所得到的向量对应的复数是(1＋i)＝(1＋i)i＝－1＋i．]
1．知识链：(1)复数的三角形式及相关概念．
(2)复数的三角形式的乘、除法运算．
(3)复数的三角形式的乘、除法的几何意义．
2．方法链：转化、化归．
3．警示牌：一是注意不要混淆辐角与辐角主值的概念；二是注意复数的乘、除法运算要化成复数的三角形式．
回顾本节知识，自主完成以下问题：
1．复数三角形式中的辐角和辐角主值有什么区别与联系？
[提示]　
区别 辐角有无数个，而辐角主值是指在0≤θ＜2π范围内的辐角，因而一个复数的辐角主值只有一个
联系 θ＝2kπ＋arg z，k∈Z
2．将复数z＝a＋bi(a，b∈R)化为三角形式z＝r(cos θ＋isin θ)时，要注意什么？
[提示]　将复数z＝a＋bi(a，b∈R)化为三角形式z＝r(cos θ＋isin θ)时，要注意：
(1)r＝．
(2)cos θ＝，sin θ＝，其中θ终边所在象限与点(a，b)所在象限相同．若tan θ＝(a≠0)，θ终边所在象限与点(a，b)所在象限一致．当a＝0，b>0时，arg z＝．
3．用复数的三角形式的乘、除法的几何意义解题时，关键把握哪些量的变化？
[提示]　运用复数的三角形式的乘、除法的几何意义解题，关键要明确模与辐角的变化，抓住向量与复数间的对应关系．
课时分层作业(二十)　复数的三角表示
一、选择题
1．复数z＝sin 15°＋icos 15°的三角形式是(　　)
A．cos 195°＋isin 195°
B．sin 75°＋icos 75°
C．cos 15°＋isin 15°
D．cos 75°＋isin 75°
D　[z＝sin 15°＋icos 15°＝cos 75°＋isin 75°，故选D．]
2．已知复数z＝i－，则arg z＝(　　)
A．
C．
D　[由z＝i－，设复数的辐角为θ，则tan θ＝＝－，又复数在复平面内对应的点为，在第二象限，所以θ＝，即arg z＝．故选D．]
3．复数z＝，将复数z对应的向量按逆时针方向旋转，所得向量对应的复数为(　　)
A． i
C．1 D．i
A　[z＝＝1－i，
将复数z对应的向量按逆时针方向旋转，
旋转后的向量对应的复数为(1－i)
＝(1－i)＝．]
4．棣莫弗公式＝cos ＋i·sin(其中i为虚数单位)是由法国数学家棣莫弗(1667－1754)发现的，根据棣莫弗公式可知，复数在复平面内所对应的点位于(　　)
A．第一象限 B．第二象限　
C．第三象限 D．第四象限
C　[由已知得＝cos ＋i·sin ＝－－i，
∴复数在复平面内所对应的点的坐标为，位于第三象限．故选C．]
5．(多选)已知复数z对应的向量为，复数z1＝(－1－i)z对应的向量为，复数z2＝z对应的向量为，则下列说法正确的是(　　)
A．将的模扩大为原来的2倍，再逆时针旋转可得到
B．将的模扩大为原来的2倍，再顺时针旋转可得到
C．将的模缩小为原来的，再逆时针旋转可得到
D．将的模缩小为原来的，再顺时针旋转可得到
AD　[因为(－1－i)z＝2z＝2z，z＝z＝z．
故选AD．]
二、填空题
6．复数－i的三角形式为 ．
cos ＋isin 　[因为z＝－i，所以z的三角形式可以写作z＝cos ＋isin ．]
7．设复数z1＝1＋i，z2＝＋i，则的一个辐角是 ．
(答案不唯一)　[由题意得z1＝1＋i＝2，
z2＝＋i＝2，
＝，
所以的辐角是－＝(答案不唯一)．]
8．设z1 ＝ 2，z2＝，则z1·z2的三角形式为 ．
　[因为z1 ＝ 2 ＝ 1 ＋ i，
z2＝＝＝＋i，
所以z1·z2＝(1＋i)
＝＋i＋i＋i2
＝－＋i＝
＝．]
三、解答题
9．在复平面内，把复数3－i对应的向量分别按逆时针和顺时针方向旋转，求所得向量对应的复数．
[解]　因为3－i＝2
＝2，
所以2×
＝2
＝2
＝2
＝3＋i，
2×
＝2
＝2＝－2i．
故把复数3－i对应的向量按逆时针方向旋转得到的向量对应的复数为3＋i，按顺时针方向旋转得到的向量对应的复数为－2i．
10．若复数z＝(a＋i)2的辐角的主值是，则实数a的值是(　　)
A．1 B．－1
C．－ D．－
B　[因为z＝(a＋i)2＝(a2－1)＋2ai，arg z＝，
所以所以a＝－1，故选B．]
11．“复数z1，z2的模与辐角分别相等”是“z1＝z2”的(　　)
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
A　[当复数z1，z2的模与辐角分别相等时，一定有z1＝z2，充分性成立；但当z1＝z2时，z1与z2的辐角可以相等，也可以相差2π的整数倍，必要性不成立．综上，“复数z1，z2的模与辐角分别相等”是“z1＝z2”的充分不必要条件．故选A．]
12．(多选)已知复数z＝1＋cos 2θ＋isin 2θ(其中i为虚数单位)，则(　　)
A．复数z在复平面上对应的点可能落在第二象限
B．z可能为实数
C．＝2cos θ
D．的实部为－
BC　[因为－<θ<，所以－π<2θ<π，所以－1当sin 2θ＝0，θ∈时，复数z是实数，故B选项正确；
＝＝
＝2cos θ，故C选项正确；
＝
＝
＝，
的实部是＝，故D不正确．故选BC．]
13．欧拉是18世纪伟大的数学家，他巧妙地把自然对数的底数e、虚数单位i、三角函数cos θ和sin θ联系在一起，得到公式eiθ＝cos θ＋isin θ，这个公式被誉为“数学的天桥”，若θ∈[0，2π)，则θ称为复数eiθ的辐角主值．根据该公式，可得e3iπ的辐角主值为 ．
π　[因为eiθ＝cos θ＋isin θ，所以e3iπ＝cos 3π＋isin 3π
＝cos π＋isin π，所以e3iπ的辐角主值为π．]
14．设复数z1＝＋i．
(1)写出z1的三角形式；
(2)复数z2满足＝2，且在复平面内对应的点在虚轴的负半轴上，arg z2∈，求z2的代数形式．
[解]　(1)由已知可得，＝2，
所以z1＝＋i＝2＝2．
(2)由已知可设z2＝2，
则＝4＝4cos 2α＋4isin 2α，
所以＝2(4cos 2α＋4isin 2α)
＝8cos ＋8isin．
由已知可得
所以2α＋＝＋2kπ，k∈Z，
所以α＝＋kπ，k∈Z．
又0<α<π，所以α＝．
所以z2＝2＝－1＋i．
15．已知复数z1＝i．
(1)求arg z1及；
(2)当复数z满足＝1，求的最大值．
[解]　(1)z1＝i＝2－2i，将z1化为三角形式，得z1＝2，
∴arg z1＝，＝2．
(2)由于复数z满足＝1，设z＝cos α＋isin α，则z－z1＝＋i，
＝＋
＝9＋4sin ，
当sin ＝1时，取得最大值9＋4，
所以的最大值为2＋1．
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7.3　复数的三角表示
第七章　复数
整体感知
[学习目标]　1．了解复数的三角形式，了解复数的代数表示与三角表示之间的关系．
2．了解复数乘、除运算的三角表示及其几何意义．
[讨论交流]　预习教材P83－P88的内容，思考以下问题：
问题1．复数的三角形式是什么？辐角、辐角的主值是如何定义的？
问题2．复数乘法、除法的三角表示及其几何意义分别是什么？
[自我感知]　经过认真预习，结合你对本节课的理解和认识，请画出本节课的知识逻辑体系．
探究建构
探究1　复数的三角表示式
探究问题1　回顾三角函数的定义，如图，角θ的终边上一点P(x，y)，设P到原点O的距离|OP|＝r，那么怎样用角θ和r表示x，y
探究问题2　如图所示，复数与向量一一对应，复数由向量的坐标唯一确定．我们知道向量也可以由它的大小和方向唯一确定，那么
(1)向量的大小如何表示？
(2)向量的方向如何表示？
探究问题3　根据探究问题2，思考如何用复平面内向量的大小和方向去表示复数z＝a＋bi(a，b∈R)
r(cos θ＋isin θ)
辐角
r(cos θ＋isin θ)
【教用·微提醒】　任何一个不为零的复数的辐角有无限多个值，这些值相差2π的整数倍．辐角的主值只有一个值，在0≤θ＜2π范围内．
分析　只要确定复数的模和一个辐角，就能将复数的代数形式转化为三角形式．
[解]　(1)复数cos π＋isin π的模r＝1，一个辐角θ＝π，对应的向量如图7.3-4所示．所以
cos π＋isin π＝－1＋0i＝－1．
发现规律　将复数代数形式化为三角形式的步骤
(1)先求复数的__．
(2)决定____所在的象限．
(3)根据象限求出____．
(4)求出复数的三角形式．
提醒：复数三角形式的四个要求：模非负、角相同、余弦前、加号连，缺一不可．任何一个不满足，就不是三角形式．
模
辐角
辐角
√
探究2　复数三角形式乘法法则与几何意义
探究问题4　如果把复数z1，z2分别写成三角形式z1＝r1(cos θ1＋isin θ1)，z2＝r2(cos θ2＋isin θ2)，你能计算z1z2并将结果表示成三角形式吗？
[提示]　z1z2＝r1r2[cos (θ1＋θ2)＋isin(θ1＋θ2)]．
探究问题5　我们知道复数的加、减运算具有几何意义，那么复数乘法很可能也具有几何意义．思考讨论复数乘法运算的三角表示有什么几何意义呢？
[新知生成]
已知z1＝r1(cos θ1＋isin θ1)，z2＝r2(cos θ2＋isin θ2)，则z1z2＝
____________________________．
这就是说，两个复数相乘，积的模等于各复数的______，积的辐角等于各复数的__________．
r1r2[cos (θ1＋θ2)＋isin(θ1＋θ2)]
模的积
辐角的和
反思领悟　(1)乘法法则：模相乘，辐角相加．
(2)逆时针方向旋转与复数的三角形式的乘法的几何意义相对应．
被除数的辐角
除数的辐角
反思领悟　(1)除法法则：模相除，辐角相减；
(2)顺时针方向旋转与复数的三角形式的除法的几何意义相对应．
√
2
4
3
题号
1
应用迁移
√
2
4
3
题号
1
2
3
题号
1
4
√
2
3
题号
4
1
√
√
√
2
3
题号
4
1
2
3
题号
4
1
2
3
题号
4
1
2
4
3
题号
1
－1＋i　
1．知识链：(1)复数的三角形式及相关概念．
(2)复数的三角形式的乘、除法运算．
(3)复数的三角形式的乘、除法的几何意义．
2．方法链：转化、化归．
3．警示牌：一是注意不要混淆辐角与辐角主值的概念；二是注意复数的乘、除法运算要化成复数的三角形式．
回顾本节知识，自主完成以下问题：
1．复数三角形式中的辐角和辐角主值有什么区别与联系？
[提示]　
区别 辐角有无数个，而辐角主值是指在0≤θ＜2π范围内的辐角，因而一个复数的辐角主值只有一个
联系 θ＝2kπ＋arg z，k∈Z
2．将复数z＝a＋bi(a，b∈R)化为三角形式z＝r(cos θ＋isin θ)时，要注意什么？
3．用复数的三角形式的乘、除法的几何意义解题时，关键把握哪些量的变化？
[提示]　运用复数的三角形式的乘、除法的几何意义解题，关键要明确模与辐角的变化，抓住向量与复数间的对应关系．

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