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10.3.1　频率的稳定性
第十章　概率
10.3　频率与概率
整体感知
[学习目标]　1．了解概率的意义以及频率与概率的区别．
2．结合实例，会用频率估计概率．
[讨论交流]　预习教材P254－P257的内容，思考以下问题：
问题1.什么是频率的稳定性？
问题2.频率与概率之间有什么关系？
[自我感知]　经过认真预习，结合你对本节课的理解和认识，请画出本节课的知识逻辑体系．
探究建构
探究1　频率的稳定性
历史上曾有人做过抛掷硬币的大量重复试验，结果如下表所示：
抛掷次数 正面向上的次数 正面向上的比例
2 048 1 061 0.518 1
4 040 2 048 0.506 9
12 000 6 019 0.501 6
24 000 12 012 0.500 5
30 000 14 984 0.499 5
72 088 36 124 0.501 1
探究问题　(1)在上述抛掷硬币的试验中，你会发现怎样的规律？
(2)在抛掷硬币试验中，把正面向上的比例称作正面向上的频率，你能给频率下个定义吗？
(3)抛掷硬币试验表明，正面朝上在每次试验中是否发生是不能预知的，但是在大量重复试验后，随着试验次数的增加，正面朝上发生的频率呈现出一定的规律性，这个规律性是如何体现出来的？
(4)在相同条件下，事件A在先后两次试验中发生的频率fn(A)是否一定相等？事件A在先后两次试验中发生的概率P(A)是否一定相等？
[新知生成]
1．一般地，随着试验次数n的增大，频率偏离概率的幅度会缩小，即事件A发生的频率fn(A)会逐渐____于事件A发生的概率P(A)．我们称频率的这个性质为频率的____性．因此，我们可以用频率fn(A)____概率P(A)．
2．概率是一个确定的数，与每次的试验无关．
稳定
稳定
估计
【链接·教材例题】
例1　新生婴儿性别比是每100名女婴对应的男婴数．通过抽样调查得知，我国2014年、2015年出生的婴儿性别比分别为115.88和113.51.
(1)分别估计我国2014年和2015年男婴的出生率(新生儿中男婴的比率，精确到0.001)；
(2)根据估计结果，你认为“生男孩和生女孩是等可能的”这个判断可靠吗？
分析：根据“性别比”的定义和抽样调查结果，可以计算男婴出生的频率； 由频率的稳定性，可以估计男婴的出生率．
(2)由于调查新生儿人数的样本非常大，根据频率的稳定性，上述对男婴出生率的估计具有较高的可信度．因此，我们有理由怀疑“生男孩和生女孩是等可能的”的结论．
[典例讲评]　1．(1)下列关于概率和频率的叙述中，正确的有________．(把符合条件的所有答案的序号填在横线上)
①随机事件的频率就是概率；
②随机事件的概率是一个确定的数值，而频率不是一个确定的数值；
③频率是客观存在的，与试验次数无关；
④概率是随机的，在试验前不能确定；
⑤概率可以看作频率在理论上的期望值，它从数量上反映了随机事件发生的可能性大小，而频率在大量重复试验的前提下可近似地看作这个事件的概率．
②⑤
(2)对某电视机厂生产的电视机进行抽样检测的数据如下：
抽取台数 50 100 200 300 500 1 000
优等品数 40 92 192 285 478 954
①根据表中数据分别计算6次试验中抽到优等品的频率；
②该厂生产的电视机为优等品的概率约是多少？
(1)②⑤　[随机事件的频率是概率的近似值，频率不是概率，故①错误；随机事件的频率不是一个确定的数值，而概率是一个确定的数值，故②正确；频率是随机的，它与试验条件、次数等有关，而概率是确定的值，与试验次数无关，故③④错误；由频率与概率的关系可知⑤正确．]
(2)[解]　①抽到优等品的频率分别为0.8，0.92，0.96，0.95，0.956，0.954.
②由表中数据可估计优等品的概率约为0.95.
反思领悟　频率与概率的关系
(1)频率是概率的近似值，随着试验次数的增加，频率会越来越接近概率．
(2)频率本身是随机的，在试验前不能确定．
(3)概率是一个确定的常数，是客观存在的，在试验前已经确定，与试验次数无关．
[学以致用]　1．某射击选手在同一条件下进行射击，结果如下表所示：
射击次数n 10 20 50 100 200 500
击中靶心次数m 8 19 44 92 178 455

(1)填写表中击中靶心的频率；
(2)这个射手射击一次，击中靶心的概率约为多少？
[解]　(1)表中依次填入的数据为0.80，0.95，0.88，0.92，0.89，0.91.
(2)由于频率稳定在常数0.9附近，所以这个射手射击一次，击中靶心的概率约是0.9.
探究2　用随机事件的频率估计其概率
[典例讲评]　2．为了解一个鱼塘中养殖的鱼的生长情况，从这个鱼塘中多个不同位置捕捞出100条鱼，称得每条鱼的质量(单位：kg)，并将所得数据分组(每组包含左端值，不包含右端值)，画出频率分布直方图，如图所示．
(1)根据频率分布直方图作频率分布表；
(2)估计数据落在[1.15，1.30]中的概率为多少；
(3)将上面捕捞的100条鱼分别作一记号后再放回鱼塘，几天后再从鱼塘的多处不同位置捕捞出120条鱼，其中带有记号的鱼有6条，请根据这一情况来估计该鱼塘中鱼的总条数．
分组 频率
[1.00，1.05) 0.05
[1.05，1.10) 0.20
[1.10，1.15) 0.28
[1.15，1.20) 0.30
[1.20，1.25) 0.15
[1.25，1.30] 0.02
反思领悟　解此类题目的步骤：先利用频率的计算公式依次计算频率，然后用频率估计概率．
[学以致用]　2．为了估计某自然保护区中天鹅的数量，可以使用以下方法：先从该保护区中捕出一定数量的天鹅，如200只，给每只天鹅作上记号且不影响其存活，然后放回保护区．经过适当的时间，让它们和保护区中其余的天鹅充分混合，再从保护区中捕出一定数量的天鹅，如150只．查看其中有记号的天鹅，设有20只，试根据上述数据，估计该自然保护区中天鹅的数量．
探究3　游戏公平性的判断
【链接·教材例题】
例2　一个游戏包含两个随机事件A和B，规定事件A发生则甲获胜，事件B发生则乙获胜．判断游戏是否公平的标准是事件A和B发生的概率是否相等．
在游戏过程中甲发现：玩了10次时，双方各胜5次；但玩到1 000次时，自己才胜300次，而乙却胜了700次．据此，甲认为游戏不公平，但乙认为游戏是公平的．你更支持谁的结论？为什么？
[解]　当游戏玩了10次时，甲、乙获胜的频率都为0.5；当游戏玩了
1 000次时，甲获胜的频率为0.3，乙获胜的频率为0.7.根据频率的稳定性，随着试验次数的增加，频率偏离概率很大的可能性会越来越小．相对10次游戏，1 000次游戏时的频率接近概率的可能性更大，因此我们更愿意相信1 000次时的频率离概率更近．而游戏玩到1 000次时，甲、乙获胜的频率分别是0.3和0.7，存在很大差距，所以有理由认为游戏是不公平的．因此，应该支持甲对游戏公平性的判断.
[典例讲评]　3．某校高二年级(1)、(2)班准备联合举行晚会，组织者欲使晚会气氛热烈、有趣，策划整场晚会以转盘游戏的方式进行，每个节目开始时，两班各派一人先进行转盘游戏，胜者获得一件奖品，负者表演一个节目．(1)班的文娱委员利用分别标有数字1，2，3，4，5，6，7的两个转盘(如图所示)，设计了一种游戏方案：两人同时各转动一个转盘一次，将转到的数字相加，和为偶数时(1)班代表获胜，否则(2)班代表获胜．该方案对双方是否公平？为什么？
[解]　该方案是公平的，理由如下：
各种情况如下表所示：
反思领悟　游戏规则公平的判断标准
在各类游戏中，如果每人获胜的概率相等，那么游戏就是公平的，这就是说游戏是否公平只要看获胜的概率是否相等．例如：体育比赛中决定发球权的方法应该保证比赛双方先发球的概率相等，这样才是公平的；每个人购买彩票中奖的概率应该是相等的，这样才是公平的；抽签决定某项事务时，任何一支签被抽到的概率也是相等的，这样才是公平的等等．
[学以致用]　3．在一个不透明的箱子里装有5个完全相同的小球，球上分别标有数字1，2，3，4，5，甲先从箱子中摸出一个小球，记下球上数字后，再将该小球放回箱子中摇匀，然后乙从该箱子中摸出一个小球．
(1)若甲、乙两人谁摸出的球上标的数字大谁就获胜(若数字相同则为平局)，求甲获胜的概率；
(2)若规定：两人摸到的球上所标数字之和小于6，则甲获胜，否则乙获胜，这样规定公平吗？
【教用·备选题】　设有外形完全相同的两个箱子，甲箱中有99个白球、1个黑球，乙箱中有1个白球、99个黑球．先随机地抽取一箱，再从取出的一箱中抽取一球，结果取得白球．推断这球是从哪一个箱子中取出的？
2
4
3
题号
1
应用迁移
√
2
3
题号
1
4
√
2
3
题号
4
1
√
3．(多选)“今天北京的降雨概率是80%，上海的降雨概率是20%”，下列说法正确的是(　　)
A．北京今天一定降雨，而上海一定不降雨
B．上海今天可能降雨，而北京可能没有降雨
C．北京和上海都可能没降雨
D．北京降雨的可能性比上海大
√
√
BCD　[北京的降雨概率80%大于上海的降雨概率20%，说明北京降雨的可能性比上海大，也可能都降雨，也可能都没有降雨，但是不能确定北京今天一定降雨，上海一定不降雨，故只有A不正确．故选BCD.]
2
4
3
题号
1
4．一个不透明的盒子中装有若干个红球和5个黑球，这些球除颜色外均相同．经多次摸球试验后发现，摸到黑球的频率稳定在0.25左右，则盒子中红球的个数约为________．
15
1．知识链：(1)概率与频率的关系．
(2)用频率估计概率．
2．方法链： 试验法．
3．警示牌：注意正确理解频率与概率的关系．
回顾本节知识，自主完成以下问题：
频率和概率有什么区别和联系？
[提示]　
名称 区别
频率 本身是随机的，在试验之前无法确定，大多会随着试验次数的改变而改变．做同样次数的重复试验，得到的频率值也可能会不同
概率 是一个[0，1]中的确定值，不随试验结果的改变而改变
联系
(1)频率是概率的近似值，随着试验次数的增加，频率会越来越接近概率．
(2)在实际问题中，事件的概率通常情况下是未知的，常用频率估计概率10.3　频率与概率
10.3.1　频率的稳定性
[学习目标]　1．了解概率的意义以及频率与概率的区别．
2．结合实例，会用频率估计概率．
[讨论交流]　预习教材P254－P257的内容，思考以下问题：
问题1.什么是频率的稳定性？
问题2.频率与概率之间有什么关系？
[自我感知]　经过认真预习，结合你对本节课的理解和认识，请画出本节课的知识逻辑体系．
探究1　频率的稳定性
历史上曾有人做过抛掷硬币的大量重复试验，结果如下表所示：
抛掷次数 正面向上的次数 正面向上的比例
2 048 1 061 0.518 1
4 040 2 048 0.506 9
12 000 6 019 0.501 6
24 000 12 012 0.500 5
30 000 14 984 0.499 5
72 088 36 124 0.501 1
探究问题　(1)在上述抛掷硬币的试验中，你会发现怎样的规律？
(2)在抛掷硬币试验中，把正面向上的比例称作正面向上的频率，你能给频率下个定义吗？
(3)抛掷硬币试验表明，正面朝上在每次试验中是否发生是不能预知的，但是在大量重复试验后，随着试验次数的增加，正面朝上发生的频率呈现出一定的规律性，这个规律性是如何体现出来的？
(4)在相同条件下，事件A在先后两次试验中发生的频率fn(A)是否一定相等？事件A在先后两次试验中发生的概率P(A)是否一定相等？
[提示]　(1)当试验次数很多时，出现正面的比例在0.5附近摆动．
(2)在相同的条件下重复n次试验，观察某一事件A是否出现，称n次试验中事件A出现的次数nA为事件A出现的频数，称事件A出现的比例fn(A)＝为事件A出现的频率．
(3)事件A发生的频率趋于稳定，在某个常数附近摆动．
(4)不一定；一定．
[新知生成]
1．一般地，随着试验次数n的增大，频率偏离概率的幅度会缩小，即事件A发生的频率fn(A)会逐渐稳定于事件A发生的概率P(A)．我们称频率的这个性质为频率的稳定性．因此，我们可以用频率fn(A)估计概率P(A)．
2．概率是一个确定的数，与每次的试验无关．
【链接·教材例题】
例1　新生婴儿性别比是每100名女婴对应的男婴数．通过抽样调查得知，我国2014年、2015年出生的婴儿性别比分别为115.88和113.51.
(1)分别估计我国2014年和2015年男婴的出生率(新生儿中男婴的比率，精确到0.001)；
(2)根据估计结果，你认为“生男孩和生女孩是等可能的”这个判断可靠吗？
分析：根据“性别比”的定义和抽样调查结果，可以计算男婴出生的频率； 由频率的稳定性，可以估计男婴的出生率．
[解]　(1)2014年男婴出生的频率为
≈0.537，
2015年男婴出生的频率为
≈0.532.
由此估计，我国2014年男婴出生率约为0.537，2015年男婴出生率约为0.532.
(2)由于调查新生儿人数的样本非常大，根据频率的稳定性，上述对男婴出生率的估计具有较高的可信度．因此，我们有理由怀疑“生男孩和生女孩是等可能的”的结论．
[典例讲评]　1．(1)下列关于概率和频率的叙述中，正确的有________．(把符合条件的所有答案的序号填在横线上)
①随机事件的频率就是概率；
②随机事件的概率是一个确定的数值，而频率不是一个确定的数值；
③频率是客观存在的，与试验次数无关；
④概率是随机的，在试验前不能确定；
⑤概率可以看作频率在理论上的期望值，它从数量上反映了随机事件发生的可能性大小，而频率在大量重复试验的前提下可近似地看作这个事件的概率．
(2)对某电视机厂生产的电视机进行抽样检测的数据如下：
抽取台数 50 100 200 300 500 1 000
优等品数 40 92 192 285 478 954
①根据表中数据分别计算6次试验中抽到优等品的频率；
②该厂生产的电视机为优等品的概率约是多少？
(1)②⑤　[随机事件的频率是概率的近似值，频率不是概率，故①错误；随机事件的频率不是一个确定的数值，而概率是一个确定的数值，故②正确；频率是随机的，它与试验条件、次数等有关，而概率是确定的值，与试验次数无关，故③④错误；由频率与概率的关系可知⑤正确．]
(2)[解]　①抽到优等品的频率分别为0.8，0.92，0.96，0.95，0.956，0.954.
②由表中数据可估计优等品的概率约为0.95.
　频率与概率的关系
(1)频率是概率的近似值，随着试验次数的增加，频率会越来越接近概率．
(2)频率本身是随机的，在试验前不能确定．
(3)概率是一个确定的常数，是客观存在的，在试验前已经确定，与试验次数无关．
[学以致用]　1．某射击选手在同一条件下进行射击，结果如下表所示：
射击次数n 10 20 50 100 200 500
击中靶心次数m 8 19 44 92 178 455
击中靶心的频率
(1)填写表中击中靶心的频率；
(2)这个射手射击一次，击中靶心的概率约为多少？
[解]　(1)表中依次填入的数据为0.80，0.95，0.88，0.92，0.89，0.91.
(2)由于频率稳定在常数0.9附近，所以这个射手射击一次，击中靶心的概率约是0.9.
探究2　用随机事件的频率估计其概率
[典例讲评]　2．为了解一个鱼塘中养殖的鱼的生长情况，从这个鱼塘中多个不同位置捕捞出100条鱼，称得每条鱼的质量(单位：kg)，并将所得数据分组(每组包含左端值，不包含右端值)，画出频率分布直方图，如图所示．
(1)根据频率分布直方图作频率分布表；
(2)估计数据落在[1.15，1.30]中的概率为多少；
(3)将上面捕捞的100条鱼分别作一记号后再放回鱼塘，几天后再从鱼塘的多处不同位置捕捞出120条鱼，其中带有记号的鱼有6条，请根据这一情况来估计该鱼塘中鱼的总条数．
[解]　(1)根据频率分布直方图可知，频率＝组距×，故可得下表：
分组 频率
[1.00，1.05) 0.05
[1.05，1.10) 0.20
[1.10，1.15) 0.28
[1.15，1.20) 0.30
[1.20，1.25) 0.15
[1.25，1.30] 0.02
(2)0.30＋0.15＋0.02＝0.47，所以数据落在[1.15，1.30]中的概率约为0.47.
(3)设鱼塘中鱼的总条数约为x条，则＝，
即x＝＝2 000，所以鱼塘中鱼的总条数约为2 000.
　解此类题目的步骤：先利用频率的计算公式依次计算频率，然后用频率估计概率．
[学以致用]　2．为了估计某自然保护区中天鹅的数量，可以使用以下方法：先从该保护区中捕出一定数量的天鹅，如200只，给每只天鹅作上记号且不影响其存活，然后放回保护区．经过适当的时间，让它们和保护区中其余的天鹅充分混合，再从保护区中捕出一定数量的天鹅，如150只．查看其中有记号的天鹅，设有20只，试根据上述数据，估计该自然保护区中天鹅的数量．
[解]　设保护区中天鹅的数量为n，假设每只天鹅被捕到的可能性是相等的，从保护区中任捕一只，设事件A＝{捕到带有记号的天鹅}，则P(A)＝.
从保护区中捕出150只天鹅，其中有20只带有记号，由概率的定义可知P(A)≈.
由≈，解得n≈1 500，
所以该自然保护区中天鹅的数量约为1 500只．
探究3　游戏公平性的判断
【链接·教材例题】
例2　一个游戏包含两个随机事件A和B，规定事件A发生则甲获胜，事件B发生则乙获胜．判断游戏是否公平的标准是事件A和B发生的概率是否相等．
在游戏过程中甲发现：玩了10次时，双方各胜5次；但玩到1 000次时，自己才胜300次，而乙却胜了700次．据此，甲认为游戏不公平，但乙认为游戏是公平的．你更支持谁的结论？为什么？
[解]　当游戏玩了10次时，甲、乙获胜的频率都为0.5；当游戏玩了1 000次时，甲获胜的频率为0.3，乙获胜的频率为0.7.根据频率的稳定性，随着试验次数的增加，频率偏离概率很大的可能性会越来越小．相对10次游戏，1 000次游戏时的频率接近概率的可能性更大，因此我们更愿意相信1 000次时的频率离概率更近．而游戏玩到1 000次时，甲、乙获胜的频率分别是0.3和0.7，存在很大差距，所以有理由认为游戏是不公平的．因此，应该支持甲对游戏公平性的判断.
[典例讲评]　3.某校高二年级(1)、(2)班准备联合举行晚会，组织者欲使晚会气氛热烈、有趣，策划整场晚会以转盘游戏的方式进行，每个节目开始时，两班各派一人先进行转盘游戏，胜者获得一件奖品，负者表演一个节目．(1)班的文娱委员利用分别标有数字1，2，3，4，5，6，7的两个转盘(如图所示)，设计了一种游戏方案：两人同时各转动一个转盘一次，将转到的数字相加，和为偶数时(1)班代表获胜，否则(2)班代表获胜．该方案对双方是否公平？为什么？
[解]　该方案是公平的，理由如下：
各种情况如下表所示：
由上表可知该游戏可能出现的情况共有12种，其中两数字之和为偶数的有6种，为奇数的也有6种，所以(1)班代表获胜的概率P1＝＝，(2)班代表获胜的概率P2＝＝，即P1＝P2，机会是均等的，所以该方案对双方是公平的．
　游戏规则公平的判断标准
在各类游戏中，如果每人获胜的概率相等，那么游戏就是公平的，这就是说游戏是否公平只要看获胜的概率是否相等．例如：体育比赛中决定发球权的方法应该保证比赛双方先发球的概率相等，这样才是公平的；每个人购买彩票中奖的概率应该是相等的，这样才是公平的；抽签决定某项事务时，任何一支签被抽到的概率也是相等的，这样才是公平的等等．
[学以致用]　3．在一个不透明的箱子里装有5个完全相同的小球，球上分别标有数字1，2，3，4，5，甲先从箱子中摸出一个小球，记下球上数字后，再将该小球放回箱子中摇匀，然后乙从该箱子中摸出一个小球．
(1)若甲、乙两人谁摸出的球上标的数字大谁就获胜(若数字相同则为平局)，求甲获胜的概率；
(2)若规定：两人摸到的球上所标数字之和小于6，则甲获胜，否则乙获胜，这样规定公平吗？
[解]　用(x，y)(x表示甲摸到的数字，y表示乙摸到的数字)表示甲、乙各摸一球构成的样本点，则样本点有(1，1)，(1，2)，(1，3)，(1，4)，(1，5)，(2，1)，(2，2)，(2，3)，(2，4)，(2，5)，(3，1)，(3，2)，(3，3)，(3，4)，(3，5)，(4，1)，(4，2)，(4，3)，(4，4)，(4，5)，(5，1)，(5，2)，(5，3)，(5，4)，(5，5)，共25个．
(1)设甲获胜的事件为A，则事件A包含的样本点有(2，1)，(3，1)，(3，2)，(4，1)，(4，2)，(4，3)，(5，1)，(5，2)，(5，3)，(5，4)，共10个．
则P(A)＝＝.
(2)设甲获胜的事件为B，乙获胜的事件为C.事件B所包含的样本点有(1，1)，(1，2)，(1，3)，(1，4)，(2，1)，(2，2)，(2，3)，(3，1)，(3，2)，(4，1)，共10个．
则P(B)＝＝，所以P(C)＝1－P(B)＝.
因为P(B)≠P(C)，所以这样规定不公平．
【教用·备选题】　设有外形完全相同的两个箱子，甲箱中有99个白球、1个黑球，乙箱中有1个白球、99个黑球．先随机地抽取一箱，再从取出的一箱中抽取一球，结果取得白球．推断这球是从哪一个箱子中取出的？
[解]　甲箱中有99个白球、1个黑球，故随机地取出一球，得到白球的可能性是.乙箱中有1个白球、99个黑球，从中任取一球，得到白球的可能性是.由此可见，这一白球从甲箱中取出的概率比从乙箱中取出的概率大得多．既然在一次抽样中取到白球，当然可以认为是从概率大的箱子中取出的．所以我们作出统计推断：该白球是从甲箱中取出的．
1．某人将一枚硬币连掷10次，正面朝上的情况出现了8次，若用A表示“正面朝上”这一事件，则A的(　　)
A．概率为 B．频率为
C．频率为8 D．概率接近于8
B　[做n次随机试验，事件A发生了m次，则事件A发生的频率为.如果多次进行试验，事件A发生的频率总在某个常数附近摆动，那么这个常数才是事件A的概率，故＝为事件A的频率．]
2．“某彩票的中奖概率为”意味着(　　)
A．买100张彩票就一定能中奖
B．买100张彩票能中一次奖
C．买100张彩票一次奖也不中
D．购买彩票中奖的可能性为
D　[某彩票的中奖率为，意味着中奖的可能性为，可能中奖，也可能不中奖．]
3．(多选)“今天北京的降雨概率是80%，上海的降雨概率是20%”，下列说法正确的是(　　)
A．北京今天一定降雨，而上海一定不降雨
B．上海今天可能降雨，而北京可能没有降雨
C．北京和上海都可能没降雨
D．北京降雨的可能性比上海大
BCD　[北京的降雨概率80%大于上海的降雨概率20%，说明北京降雨的可能性比上海大，也可能都降雨，也可能都没有降雨，但是不能确定北京今天一定降雨，上海一定不降雨，故只有A不正确．故选BCD.]
4．一个不透明的盒子中装有若干个红球和5个黑球，这些球除颜色外均相同．经多次摸球试验后发现，摸到黑球的频率稳定在0.25左右，则盒子中红球的个数约为________．
15　[设盒子中红球的个数为n，
由摸到黑球的频率稳定在0.25左右知，摸到黑球的概率为0.25，则＝0.25，解得n＝15，
即盒子中红球大约有15个．]
1．知识链：(1)概率与频率的关系．
(2)用频率估计概率．
2．方法链： 试验法．
3．警示牌：注意正确理解频率与概率的关系．
回顾本节知识，自主完成以下问题：
频率和概率有什么区别和联系？
[提示]　
名称 区别 联系
频率 本身是随机的，在试验之前无法确定，大多会随着试验次数的改变而改变．做同样次数的重复试验，得到的频率值也可能会不同 (1)频率是概率的近似值，随着试验次数的增加，频率会越来越接近概率． (2)在实际问题中，事件的概率通常情况下是未知的，常用频率估计概率
概率 是一个[0，1]中的确定值，不随试验结果的改变而改变
课时分层作业(四十九)　频率的稳定性
一、选择题
1．抛掷一枚质地均匀的硬币，设事件A＝“正面向上”，则下列说法正确的是(　　)
A．抛掷硬币10次，事件A必发生5次
B．抛掷硬币100次，事件A不可能发生50次
C．抛掷硬币1 000次，事件A发生的频率一定等于0.5
D．随着抛掷硬币次数的增多，事件A发生的频率逐渐稳定在0.5附近
D　[不管抛掷硬币多少次，事件A发生的次数是随机事件，故ABC错误；
随着抛掷硬币次数的增多，事件A发生的频率逐渐稳定在0.5附近．故选D.]
2．在n次重复进行的试验中，事件A发生的频率为，当n很大时，那么P(A)与的大小关系是(　　)
A．P(A)≈ B．P(A)<
C．P(A)> D．P(A)＝
A　[在n次重复进行的试验中，事件A发生的频率为，当n很大时，越来越接近P(A)，因此我们可以用近似地代替P(A)．故选A.]
3．我国古代数学名著《九章算术》有“米谷粒分”题：粮仓开仓收粮，有人送来米1 534石，验得米内夹谷，抽样取米一把，数得254粒内夹谷28粒，则这批米内夹谷约为(　　)
A．134石 B．169石
C．338石 D．1 365石
B　[设米内夹谷x石，则＝，
所以x＝≈169.1，
所以这批米内夹谷约为169石，
故选B.]
4．一个盒子中有若干白色围棋子，为了估计其中围棋子的数目，小明将100颗黑色围棋子放入其中，充分搅拌后随机抽出了20颗，数得其中有5颗黑色围棋子，根据这些信息可以估计白色围棋子的数目为(　　)
A．200颗 B．300颗
C．400颗 D．500颗
B　[设白色围棋子的数目为n，则由已知可得＝，解得n＝300，即白色围棋子的数目大约有300颗．]
5．(多选)某篮球运动员在最近几次参加的比赛中的投篮情况如下表：
投篮次数 投中两分球的次数 投中三分球的次数
100 55 18
记该篮球运动员在一次投篮中，投中两分球为事件A，投中三分球为事件B，没投中为事件C，用频率估计概率的方法，得到的下述结论中，正确的是(　　)
A．P＝0.55 B．P＝0.18
C．P＝0.27 D．P＝0.55
ABC　[依题意，P(A)＝＝0.55，P(B)＝＝0.18，
显然事件A，B互斥，P(C)＝1－P(A＋B)＝1－P(A)－P(B)＝0.27，
事件B，C互斥，则P(B＋C)＝P(B)＋P(C)＝0.45，
于是得选项A，B，C都正确，选项D错误．故选ABC.]
二、填空题
6．设某厂产品的次品率为2%，估算该厂8 000件产品中合格品的件数可能为________件．
7 840　[次品率为2%，故次品约8 000×2%＝160(件)，故合格品的件数可能为8 000－160＝7 840(件)．]
7．一家保险公司想了解汽车的挡风玻璃破碎的概率，公司收集了20 000辆汽车的数据，时间是从某年的5月1日到下一年的4月30日，共发现有600辆汽车的挡风玻璃破碎，则一辆汽车在一年内挡风玻璃破碎的概率近似是________．
0.03　[在一年内挡风玻璃破碎的频率为＝＝0.03，用频率来估计挡风玻璃破碎的概率，故概率近似为0.03.]
8．对某班一次测验成绩进行统计，如下表所示：
分数段 [40， 50) [50， 60) [60， 70) [70， 80) [80， 90) [90， 100]
概率 0.03 0.04 0.17 0.36 0.25 0.15
则该班成绩在[80，100]内的概率为________；该班成绩在[60，100]内的概率为________．
0.4　0.93　[记该班的测试成绩在[60，70)，[70，80)，[80，90)，[90，100]内依次为事件A，B，C，D，由题意知事件A，B，C，D是两两互斥的．该班成绩在[80，100]内的概率是P(C∪D)＝P(C)＋P(D)＝0.25＋0.15＝0.4.该班成绩在[60，100]内的概率是P(A∪B∪C∪D)＝P(A)＋P(B)＋P(C)＋P(D)＝0.17＋0.36＋0.25＋0.15＝0.93.]
三、解答题
9．某超市随机选取1 000位顾客，记录了他们购买甲、乙、丙、丁四种商品的情况，整理成如下统计表，其中“√”表示购买，“×”表示未购买．
顾客人数/人 甲 乙 丙 丁
100 √ × √ √
217 × √ × √
200 √ √ √ ×
300 √ × √ ×
85 √ × × ×
98 × √ × ×
(1)估计顾客同时购买乙和丙的概率；
(2)估计顾客在甲、乙、丙、丁中同时购买3种商品的概率；
(3)如果顾客购买了甲，则该顾客同时购买乙、丙、丁中哪种商品的可能性最大？
[解]　(1)从统计表可以看出，在这1 000位顾客中有200位顾客同时购买了乙和丙，所以顾客同时购买乙和丙的概率可以估计为＝0.2.
(2)从统计表可以看出，在这1 000位顾客中，有100位顾客同时购买了甲、丙、丁，另有200位顾客同时购买了甲、乙、丙，其他顾客最多购买了2种商品．
所以顾客在甲、乙、丙、丁中同时购买3种商品的概率可以估计为＝0.3.
(3)顾客同时购买甲和乙的概率可以估计为＝0.2，顾客同时购买甲和丙的概率可以估计为＝0.6，顾客同时购买甲和丁的概率可以估计为＝0.1.
所以如果顾客购买了甲，则该顾客同时购买丙的可能性最大．
10．某市交警部门在调查一起交通事故过程中，所有的目击证人都指证肇事车是一辆A款出租车，但由于天黑，均未看清该车的车牌号码及颜色，而该市有两家出租车公司，其中甲公司有100辆A款出租车，3 000辆B款出租车，乙公司有3 000辆A款出租车，100辆B款出租车，交警部门应先调查哪个公司的车辆较合理(　　)
A．甲公司　　　 B．乙公司
C．甲或乙公司均可 D．以上都对
B　[由于甲公司A款车的比例为＝，乙公司A款车的比例为＝，
可知肇事车在乙公司的可能性大些．]
11．(多选)甲、乙两人做游戏，下列游戏中公平的是(　　)
A．抛一枚骰子，向上的点数为奇数则甲胜，向上的点数为偶数则乙胜
B．同时抛两枚相同的骰子，向上的点数之和大于7则甲胜，否则乙胜
C．从一副不含大、小王的扑克牌中抽一张，扑克牌是红色则甲胜，是黑色则乙胜
D．甲、乙两人从1～10中各写一个整数，若是同奇或同偶则甲胜，否则乙胜
ACD　[对于A，C，D，甲胜、乙胜的概率都是，游戏是公平的；对于B，点数之和大于7和点数之和小于7的概率相等，但点数等于7时乙胜，所以甲胜的概率小，游戏不公平．]
12．(多选)某机构要调查某小区居民生活垃圾的投放情况(该小区居民的生活垃圾以厨余垃圾、可回收物、其他垃圾为主)，随机抽取了该小区“厨余垃圾”箱、“可回收物”箱、“其他垃圾”箱这三类垃圾箱，总计1 000千克的生活垃圾，数据(单位：千克)统计如下：
垃圾箱 “厨余垃圾”箱 “可回收物”箱 “其他垃圾”箱
厨余垃圾的 投放质量 400 200 100
可回收物的 投放质量 30 140 30
其他垃圾的 投放质量 20 20 60
根据样本数据估计该小区居民生活垃圾的投放情况，下列结论正确的是(　　)
A．“厨余垃圾”投放正确的概率约为
B．“可回收物”投放错误的概率约为
C．该小区这三类垃圾中，“厨余垃圾”投放正确的概率最低
D．该小区这三类垃圾中，“其他垃圾”投放错误的概率最高
AC　[A选项，“厨余垃圾”共有400＋200＋100＝700 kg，其中400 kg投放正确，概率为，所以A选项说法正确；
B选项，“可回收物”共有30＋140＋30＝200 kg，其中60 kg投放错误，概率为，所以B选项说法错误；
C选项，“厨余垃圾”“可回收物”“其他垃圾”投放正确的概率依次为，其中最小，所以C选项说法正确；
D选项，“厨余垃圾”“可回收物”“其他垃圾”投放错误的概率依次为，其中最大，所以D选项说法错误．故选AC.]
13．随着互联网的普及，网上购物已逐渐成为消费时尚，为了解消费者对网上购物的满意情况，某公司随机对4 500名网上购物消费者进行了调查(每名消费者限选一种情况回答)，统计结果如下表：
满意状况 不满意 比较满意 满意 非常满意
人数 200 n 2 100 1 000
根据表中数据，估计在网上购物的消费者群体中对网上购物“比较满意”或“满意”的概率是________．
　[由题意得，n＝4 500－200－2 100－1 000＝1 200，所以随机调查的消费者中对网上购物“比较满意”或“满意”的总人数为1 200＋2 100＝3 300，所以随机调查的消费者中对网上购物“比较满意”或“满意”的频率为＝.由此估计在网上购物的消费者群体中对网上购物“比较满意”或“满意”的概率为.]
14．某险种的基本保费为a(单位：元)，继续购买该险种的投保人称为续保人，续保人本年度的保费与其上年度出险次数的关联如下：
上年度出险次数 0 1 2 3 4 ≥5
保费 0.85a a 1.25a 1.5a 1.75a 2a
随机调查了该险种的200名续保人在一年内的出险情况，得到如下统计表：
出险次数 0 1 2 3 4 ≥5
频数 60 50 30 30 20 10
(1)记A为事件：“一续保人本年度的保费不高于基本保费”，求P(A)的估计值；
(2)记B为事件：“一续保人本年度的保费高于基本保费但不高于基本保费的160%”．求P(B)的估计值；
(3)求续保人本年度平均保费的估计值．
[解]　(1)事件A发生当且仅当一年内出险次数小于2.
由所给数据知，一年内出险次数小于2的频率为＝0.55，故P(A)的估计值为0.55.
(2)事件B发生当且仅当一年内出险次数大于1且小于4.
由所给数据知，一年内出险次数大于1且小于4的频率为＝0.3，故P(B)的估计值为0.3.
(3)由所给数据得
保费 0.85a a 1.25a 1.5a 1.75a 2a
频率 0.30 0.25 0.15 0.15 0.10 0.05
调查的200名续保人的平均保费为
0.85a×0.30＋a×0.25＋1.25a×0.15＋1.5a×0.15＋1.75a×0.10＋2a×0.05＝1.192 5a.
因此，续保人本年度平均保费的估计值为1.192 5a.
15．某花店每天以每枝5元的价格从农场购进若干枝玫瑰花，然后以每枝10元的价格出售．如果当天卖不完，剩下的玫瑰花作垃圾处理．
(1)若花店一天购进17枝玫瑰花，求当天的利润y(单位：元)关于当天需求量n(单位：枝，n∈N)的函数解析式；
(2)花店记录了100天玫瑰花的日需求量(单位：枝)，整理得下表：
日需求量n 14 15 16 17 18 19 20
频数 10 20 16 16 15 13 10
若花店一天购进17枝玫瑰花，以100天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率，求当天的利润不少于75元的概率．
[解]　(1)当n≥17时，y＝17×5＝85；
当n<17时，y＝5n＋(17－n)×(－5)＝10n－85，
则y＝ (n∈N)．
(2)由10n－85<75，解得n<16，即当日需求量为14枝或15枝时利润小于75元，
设当天利润不少于75元为事件A，则P(A)＝1－＝0.7.
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