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10．1.4　概率的基本性质
[学习目标]　1．理解概率的基本性质．
2．掌握利用互斥事件和对立事件的概率公式解决与古典概型有关的问题．
[讨论交流]　预习教材P241－P244的内容，思考以下问题：
问题1.概率的性质有哪些？
问题2.如果事件A与事件B互斥，则P(A∪B)与P(A)，P(B)有什么关系？
问题3.如果事件A与事件B为对立事件，则P(A)与P(B)有什么关系？
[自我感知]　经过认真预习，结合你对本节课的理解和认识，请画出本节课的知识逻辑体系．
探究　概率的基本性质
探究问题1　从以下试验你发现概率具有哪些特点？
试验1.一个星期有7天；
试验2.4月份有31天．
[提示]　一个星期有7天是必然事件，一定发生，故其概率为1；4月份有31天是不可能事件，一定不发生，故其概率为0.
探究问题2　抛掷一枚质地均匀的骰子，设事件A表示“掷出的点数为偶数”，事件B表示“掷出的点数为5”， 事件C表示“掷出的点数不为5”，事件D表示“掷出的点数为奇数”.
(1)试探究P(A)，P(B)与P(A∪B)的关系；
(2)试探究P(B)与P(C)的关系，以及P(B)，P(C)与P(B∪C) 的关系；
(3)试探究事件B与事件D的关系， P(B)＋P(D)＝P(B∪D) 成立吗？
[提示]　由古典概型可知
(1)P(A)＝，P(B)＝，P(A∪B)＝＝，
易知P(A)＋P(B)＝＝＝P(A∪B)．
(2)P(B)＝，P(C)＝， P(B)＝1－P(C)；
又P(B∪C)＝1，故 P(B)＋P(C)＝P(B∪C)．
(3)B D，P(B)＋P(D)≠P(B∪D)．
[新知生成]
一般地，概率有如下性质：
性质1　对任意的事件A，都有P(A)≥0.
性质2　必然事件的概率为1，不可能事件的概率为0，即P(Ω)＝1，P( )＝0．
性质3　如果事件A与事件B互斥，那么P(A∪B)＝P(A)＋P(B)．
性质4　如果事件A与事件B互为对立事件，那么P(B)＝1－P(A)，P(A)＝1－P(B)．
性质5　如果A B，那么P(A)≤P(B)．
性质6　设A，B是一个随机试验中的两个事件，我们有P(A∪B)＝P(A)＋P(B)－P(A∩B)．
【链接·教材例题】
例11　从一副不包含大小王牌的52张扑克牌中随机抽取一张，设事件A＝“抽到红桃”，事件B＝“抽到方块”，P(A)＝P(B)＝.那么
(1)C＝“抽到红花色”，求P(C)；
(2)D＝“抽到黑花色”，求P(D)．
[解]　(1)因为C＝A∪B，且A与B不会同时发生，所以A与B是互斥事件．根据互斥事件的概率加法公式，得
P(C)＝P(A)＋P(B)＝＝.
(2)因为C与D互斥，又因为C∪D是必然事件，所以C与D互为对立事件．因此
P(D)＝1－P(C)＝1－＝.
　互斥事件概率公式的应用
[典例讲评]　1．在某一时期内，一条河流某处的年最高水位在各个范围内的概率如下表：
年最高水位 /m [8， 10) [10， 12) [12， 14) [14， 16) [16， 18]
概率 0.1 0.28 0.38 0.16 0.08
计算在同一时期内，这条河流这一处的年最高水位(单位：m)在下列范围内的概率：
(1)[10，16)；(2)[8，12)；(3)[14，18].
[解]　记该河流这一处的年最高水位(单位：m)在[8，10)，[10，12)，[12，14)，[14，16)，[16，18]分别为事件A，B，C，D，E，且彼此互斥．
(1)P(B∪C∪D)＝P(B)＋P(C)＋P(D)＝0.28＋0.38＋0.16＝0.82.
(2)P(A∪B)＝P(A)＋P(B)＝0.1＋0.28＝0.38.
(3)P(D∪E)＝P(D)＋P(E)＝0.16＋0.08＝0.24.
　运用互斥事件的概率加法公式解题的步骤
(1)确定题中哪些事件彼此互斥．
(2)将待求事件拆分为几个互斥事件的和．
(3)先求各互斥事件分别发生的概率，再求和．
[学以致用]　1．(1)抛掷一枚骰子，观察出现的点，设事件A为“出现1点”，B为“出现2点”．已知P(A)＝P(B)＝，则出现1点或2点的概率为________．
(2)盒子里装有6个红球、4个白球，从中任取3个球．设事件A表示“3个球中有1个红球、2个白球”，事件B表示“3个球中有2个红球、1个白球”．已知P(A)＝，P(B)＝，则这3个球中既有红球又有白球的概率为________．
(1)　(2)　[(1)设事件C为“出现1点或2点”，因为事件A，B是互斥事件，由C＝A∪B可得P(C)＝P(A)＋P(B)＝＝，所以出现1点或2点的概率是.
(2)因为A，B是互斥事件，所以P(A∪B)＝P(A)＋P(B)＝＝，所以这3个球中既有红球又有白球的概率是.]
【教用·备选题】　甲、乙两人玩锤子、剪刀、布的猜拳游戏，假设两人都随机出拳，求：
(1)平局的概率；
(2)甲赢的概率；
(3)甲不输的概率．
[解]　因为甲有3种不同的出拳方法，乙同样也有3种不同的出拳方法，因此一次出拳共有9种不同的可能．
因为都是随机出拳，所以可以看成古典概型，而且样本空间中共包含9个样本点，
因为锤子赢剪刀，剪刀赢布，布赢锤子，分别以a表示出拳为锤子，b表示出拳为剪刀，c表示出拳为布，记事件A为“平局”，B为“甲赢”．
(1)事件A包含的样本点有：aa，bb，cc，共3个，因此P(A)＝＝.
(2)事件B包含的样本点有：ab，bc，ca，共3个，因此P(B)＝＝.
(3)因为A＋B表示“甲不输”，且A，B互斥，因此所求概率为P(A＋B)＝P(A)＋P(B)＝.
　对立事件的概率公式
[典例讲评]　2.甲、乙两人下棋，和棋的概率为，乙获胜的概率为，求：
(1)甲获胜的概率；
(2)甲不输的概率．
[解]　(1)“甲获胜”和“和棋或乙获胜”是对立事件，所以“甲获胜”的概率P＝1－＝，即甲获胜的概率是.
(2)法一：设事件A为“甲不输”，可看成是“甲获胜”“和棋”这两个互斥事件的并事件，所以P(A)＝＝.
法二：设事件A为“甲不输”，可看成是“乙获胜”的对立事件，所以P(A)＝1－＝，
即甲不输的概率是.
　利用对立事件的概率公式解题的思路
(1)当对立事件A，B中一个事件的概率易求，另一个事件的概率不易求时，直接计算符合条件的概率较烦琐，可先间接地计算其对立事件的概率，再由公式P(A)＋P(B)＝1，求出符合条件的事件的概率．
(2)应用对立事件的概率公式时，一定要分清事件和其对立事件到底是什么．该公式常用于“至多”“至少”型问题的求解．
[学以致用]　2．射击队的某一选手射击一次，其命中环数的概率如下表：
命中环数 10环 9环 8环 7环
概率 0.32 0.28 0.18 0.12
求该选手射击一次：
(1)命中9环或10环的概率；
(2)至少命中8环的概率；
(3)命中不足8环的概率．
[解]　记“射击一次，命中k环”为事件Ak(k＝7，8，9，10)．
(1)因为A9与A10互斥，所以P(A9∪A10)＝P(A9)＋P(A10)＝0.28＋0.32＝0.60.
(2)记“至少命中8环”为事件B，则B＝A8＋A9＋A10，又A8，A9，A10两两互斥，
所以P(B)＝P(A8)＋P(A9)＋P(A10)＝0.18＋0.28＋0.32＝0.78.
(3)记“命中不足8环”为事件C，则事件C与事件B是对立事件，所以P(C)＝1－P(B)＝1－0.78＝0.22.
【教用·备选题】　如图所示，靶子由一个中心圆面Ⅰ和两个同心圆环Ⅱ、Ⅲ构成，射手命中Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ的概率分别为0.35，0.30，0.25，则不命中靶的概率是________.
0.10　[“射手命中圆面Ⅰ”为事件A，“命中圆环Ⅱ”为事件B，“命中圆环Ⅲ”为事件C，“不中靶”为事件D，
则A，B，C彼此互斥，故射手中靶的概率为P(A∪B∪C)＝P(A)＋P(B)＋P(C)＝0.35＋0.30＋0.25＝0.90.
因为中靶和不中靶是对立事件，
故不命中靶的概率为P(D)＝1－P(A∪B∪C)＝1－0.90＝0.10.]
　非互斥事件概率加法公式的应用
[典例讲评]　3.从1～20这20个整数中随机选择一个数，设事件A表示“选到的数能被2整除”，事件B表示“选到的数能被3整除”，求下列事件的概率：
(1)这个数既能被2整除也能被3整除；
(2)这个数能被2整除或能被3整除；
(3)这个数既不能被2整除也不能被3整除．
[解]　从1～20这20个整数中随机选择一个数，样本点总数为20.其中这20个整数中能被2整除的有10个，能被3整除的有6个，所以P(A)＝＝，P(B)＝＝.
(1)“这个数既能被2整除也能被3整除”即事件AB，因为1～20这20个整数中既能被2整除也能被3整除的有3个，所以P(AB)＝.
(2)“这个数能被2整除或能被3整除”即事件A∪B，由分析得P(A∪B)＝P(A)＋P(B)－P(AB)＝＝.
(3)由于事件“这个数既不能被2整除也不能被3整除”(即事件)与事件“这个数能被2整除或能被3整除”(即事件A∪B)为对立事件，所以P()＝1－P(A∪B)＝1－＝.
　首先判断该事件是不是互斥事件，若不是互斥事件，需要考虑非互斥事件概率加法如何求解，借助公式P(A∪B)＝P(A)＋P(B)－P(A∩B)进行计算．
[学以致用]　3．甲、乙、丙、丁四人参加4×100米接力赛，他们跑每一棒的概率均为，求甲跑第一棒或乙跑第四棒的概率．
[解]　设事件A＝“甲跑第一棒”，事件B＝“乙跑第四棒”，则P(A)＝，P(B)＝.
记甲跑第x棒，乙跑第y棒为(x，y)，
则共有可能结果12种，样本空间Ω＝{(1，2)，(1，3)，(1，4)，(2，1)，(2，3)，(2，4)，(3，1)，(3，2)，(3，4)，(4，1)，(4，2)，(4，3)}．
甲跑第一棒，乙跑第四棒只有一种结果，即(1，4)，
故P(A∩B)＝.
所以，甲跑第一棒或乙跑第四棒的概率P(A∪B)＝P(A)＋P(B)－P(A∩B)＝＝.
【链接·教材例题】
例12　为了推广一种新饮料，某饮料生产企业开展了有奖促销活动：将6罐这种饮料装一箱，每箱中都放置2罐能够中奖的饮料．若从一箱中随机抽出2罐，能中奖的概率为多少？
分析：“中奖”包括第一罐中奖但第二罐不中奖、第一罐不中奖但第二罐中奖、两罐都中奖三种情况．如果设A＝“中奖”，A1＝“第一罐中奖”，A2＝“第二罐中奖”，那么就可以通过事件的运算构建相应事件，并利用概率的性质解决问题．
[解]　设事件A＝“中奖”，事件A1＝“第一罐中奖”，事件A2＝“第二罐中奖”，那么事件A1A2＝“两罐都中奖”，A1＝“第一罐中奖，第二罐不中奖”，A2＝“第一罐不中奖，第二罐中奖”，且
A＝A1A2∪A1A2.
因为A1A2，A1A2两两互斥，所以根据互斥事件的概率加法公式，可得
P(A)＝P(A1A2)＋P(A1)＋P(A2)．
我们借助树状图(图10.1-11)来求相应事件的样本点数．
可以得到，样本空间包含的样本点个数为n(Ω)＝6×5＝30，且每个样本点都是等可能的．因为n(A1A2)＝2, n(A1)＝8，n(A2)＝8, 所以
P(A)＝＝＝.
上述解法需要分若干种情况计算概率．注意到事件A的对立事件是“不中奖”，即“两罐都不中奖”，由于＝“两罐都不中奖”，而n()＝4×3＝12，所以
P()＝＝.
因此P(A)＝1－P()＝1－＝．
1．已知P(A)＝0.1，P(B)＝0.2，则P(A＋B)＝(　　)
A．0.3 B．0.2
C．0.1 D．不能确定
D　[由于不能确定A与B是否互斥，则P(A＋B)的值不能确定．故选D.]
2．已知事件A，B是互斥事件，P(A)＝，P()＝，则P(A∪B)＝(　　)
A． B．
C． D．
C　[∵P(B)＝1－P()＝，∴P(B)＝，
∵事件A，B是互斥事件，
∴P(A∪B)＝P(A)＋P(B)＝＝.故选C.]
3．某产品按质量分为甲、乙、丙三个级别，从这批产品中随机抽取一件进行检测，设“抽到甲级品”的概率为0.80，“抽到乙级品”的概率为0.15，则“抽到丙级品”的概率为(　　)
A．0.05 B．0.25
C．0.8 D．0.95
A　[“抽到甲级品”“抽到乙级品”“抽到丙级品”是互斥事件，
因为“抽到甲级品”的概率为0.80，“抽到乙级品”的概率为0.15，则“抽到丙级品”的概率为1－0.80－0.15＝0.05.
故选A.]
4．已知P(A)＝0.4，P(B)＝0.2.
(1)如果B A，则P(A∪B)＝__________，P(AB)＝________；
(2)如果A，B互斥，则P(A∪B)＝________，P(AB)＝________．
(1)0.4　0.2　(2)0.6　0　[(1)因为B A，所以P(A∪B)＝P(A)＝0.4，P(AB) ＝P(B)＝0.2.
(2)如果A，B互斥，则P(A∪B)＝P(A)＋P(B)＝0.4＋0.2＝0.6，P(AB)＝P( )＝0.]
1．知识链：(1)概率的基本性质．
(2)互斥事件概率公式的应用．
(3)对立事件概率公式的应用．
(4)概率性质的综合应用．
2．方法链：转化法、正难则反．
3．警示牌：将事件拆分成若干个互斥的事件时，注意不要重复或遗漏．
回顾本节知识，自主完成以下问题：
1．若事件A和事件B为互斥事件，那么P(A)，P(B)，P(A∪B)有什么关系？
[提示]　P(A∪B)＝P(A)＋P(B)．
2．若事件A和事件B不是互斥事件，那么P(A)，P(B)，P(A∪B)有什么关系？
[提示]　P(A∪B)＝ P(A)＋P(B)－P(A∩B)．
3．若事件A和事件B是对立事件，那么P(A)，P(B)有什么关系？
[提示]　P(A)＋P(B)＝1.
课时分层作业(四十七)　概率的基本性质
一、选择题
1．某学校高一年级派甲、乙两个班参加学校组织的拔河比赛，甲、乙两个班取得冠军的概率分别为和，则该年级在拔河比赛中取得冠军的概率为(　　)
A．　　　B．　　　C．　　　D．
A　[甲班取得冠军和乙班取得冠军是两个互斥事件，该校高一年级取得冠军是这两个互斥事件的和事件，其概率为两个互斥事件的概率之和，即为＝.故选A.]
2．若A，B是互斥事件，则(　　)
A．P(A∪B)<1 B．P(A∪B)＝1
C．P(A∪B)>1 D．P(A∪B)≤1
D　[∵A，B互斥，∴P(A∪B)＝P(A)＋P(B)≤1(当A，B对立时，P(A∪B)＝1)．]
3．抛掷一个质地均匀的骰子的试验，事件A表示“小于5的偶数点出现”，事件B表示“不小于5的点数出现”，则一次试验中，事件A或事件B至少有一个发生的概率为(　　)
A． B．
C． D．
B　[依题意P(A)＝＝，P(B)＝＝，A，B是互斥事件，则事件A或事件B至少有一个发生的概率为＝.故选B.]
4．从一批羽毛球产品中任取一个，其质量小于4.8 g的概率为0.3，质量小于4.85 g的概率为0.32，那么质量在4.8～4.85 g范围内的概率是(　　)
A．0.62 B．0.38
C．0.02 D．0.68
C　[设“质量小于4.8 g”为事件A，“质量小于4.85 g”为事件B，“质量在4.8～4.85 g”为事件C，则A∪C＝B，且A，C为互斥事件，所以P(B)＝P(A∪C)＝P(A)＋P(C)，则P(C)＝P(B)－P(A)＝0.32－0.3＝0.02.]
5．某学校组织参加兴趣小组，其中有82%的学生选择数学小组，60%的学生选择英语小组，96%的学生选择数学或英语小组，则该学校既选择数学小组又选择英语小组的学生数占该校学生总数的比例是(　　)
A．62% B．56%
C．46% D．42%
C　[设“选择数学小组”为事件A，“选择英语小组”为事件B，则“选择数学或英语小组”为事件A＋B，“既选择数学小组又选择英语小组”为事件AB，
依题意得P(A)＝82%，P(B)＝60%，P(A∪B)＝96%，
所以P(AB)＝P(A)＋P(B)－P(A∪B)＝82%＋60%－96%＝46%.
故该学校既选择数学小组又选择英语小组的学生数占该校学生总数的比例是46%.]
二、填空题
6．事件A，B互斥，它们都不发生的概率为，且P(A)＝2P(B)，则P(A)＝________．
　[因为事件A，B互斥，它们都不发生的概率为，所以P(A)＋P(B)＝1－＝.
又因为P(A)＝2P(B)，所以P(A)＋P(A)＝，
解得P(A)＝.]
7．已知盒子中有散落的黑白棋子若干粒，已知从中取出2粒都是黑子的概率是，从中取出2粒都是白子的概率是，现从中任意取出2粒恰好是同一色的概率是________．
　[从中取出2粒棋子，“都是黑棋子”记为事件A，“都是白棋子”记为事件B，则A，B为互斥事件．所求概率为P(A∪B)＝P(A)＋P(B)＝＝.]
8．一个电路板上装有甲、乙两根熔丝，甲熔断的概率为0.85，乙熔断的概率为0.74，两根同时熔断的概率为0.63，则至少有一根熔断的概率为________．
0.96　[设A＝“甲熔丝熔断”，B＝“乙熔丝熔断”，则“甲、乙两根熔丝至少有一根熔断”为事件A∪B.
P(A∪B)＝P(A)＋P(B)－P(A∩B)＝0.85＋0.74－0.63＝0.96.]
三、解答题
9．(源自湘教版教材)某企业有三个分厂，现将男女职工人数统计如下：
项目 第一分厂 第二分厂 第三分厂 总计
男 400人 350人 250人 1 000人
女 100人 50人 50人 200人
总计 500人 400人 300人 1 200人
若从中任意抽取一名职工，则该职工是女性或是第三分厂职工的概率是多少？
[解]　设A＝“抽到女工”，B＝“抽到第三分厂职工”，则
P(A)＝＝，P(B)＝＝，P(A∩B)＝＝，
因此，该职工是女性或是第三分厂职工的概率为
P(A∪B)＝P(A)＋P(B)－P(A∩B)＝＝.
10．在一次随机试验中，其中3个事件A1，A2，A3的概率分别为0.2，0.3，0.5，则下列说法中正确的是(　　)
A．A1＋A2与A3是互斥事件，也是对立事件
B.A1＋A2＋A3是必然事件
C．P(A2∪A3)＝0.8
D．P(A1＋A2)≤0.5
D　[三个事件A1，A2，A3不一定是互斥事件，故D正确．]
11．若随机事件A，B互斥，A，B发生的概率均不等于0，且P(A)＝2－a，P(B)＝4a－5，则实数a的取值范围是(　　)
A． B．
C． D．
D　[由题意可知
即
即
解得12．(多选)黄种人群中各种血型的人所占的比例如下表所示：
血型 A B AB O
该血型的人所占比例 0.28 0.29 0.08 0.35
已知同种血型的人可以输血，O型血可以给任何一种血型的人输血，任何血型的人都可以给AB血型的人输血，其他不同血型的人不能互相输血．下列结论正确的是(　　)
A．任找一个人，其血可以输给B型血的人的概率是0.64
B．任找一个人，B型血的人能为其输血的概率是0.29
C．任找一个人，其血可以输给O型血的人的概率为1
D．任找一个人，其血可以输给AB型血的人的概率为1
AD　[任找一个人，其血型为A，B，AB，O型血的事件分别为A′，B′，C′，D′，它们两两互斥．由已知，有P(A′)＝0.28，P(B′)＝0.29，P(C′)＝0.08，P(D′)＝0.35.因为B，O型血可以输给B型血的人，所以“可以输给B型血的人”为事件B′∪D′，根据概率的加法公式，得P(B′∪D′)＝P(B′)＋P(D′)＝0.29＋0.35＝0.64，A正确；B型血的人能为B型、AB型的人输血，其概率为0.29＋0.08＝0.37，B错误；由O型血只能接受O型血的人输血知，C错误；由任何血型的人都可以给AB血型的人输血，知D正确．]
13．抛掷一枚质地均匀的骰子，向上的一面出现任意一种点数的概率都是，记事件A为“向上的点数是奇数”，事件B为“向上的点数不超过3”，则概率P(A∪B)＝________．
　[抛掷一枚质地均匀的骰子，向上的一面出现任意一种点数的概率都是，
所以P(A)＝＝，P(B)＝＝，P(A∩B)＝＝，
所以P(A∪B)＝P(A)＋P(B)－P(A∩B)＝＝.]
14．袋中有外形、质量完全相同的红球、黑球、黄球、绿球共12个，从中任取一球，得到红球的概率是，得到黑球或黄球的概率是，得到黄球或绿球的概率也是.
(1)试分别求得到黑球、黄球、绿球的概率；
(2)从中任取一球，求得到的不是红球也不是绿球的概率．
[解]　(1)从袋中任取一球，记“得到红球”“得到黑球”“得到黄球”“得到绿球”分别为事件A，B，C，D，它们彼此互斥，
则P(A)＝，P(B∪C)＝P(B)＋P(C)＝，
P(C∪D)＝P(C)＋P(D)＝，P(B∪C∪D)＝P(B)＋P(C)＋P(D)＝1－P(A)＝1－＝.
则
解得P(B)＝，P(C)＝，P(D)＝，
故得到黑球、黄球、绿球的概率分别为.
(2)事件“得到红球或绿球”可表示为A∪D，由(1)及互斥事件的概率加法公式得P(A∪D)＝P(A)＋P(D)＝＝，
故得到的不是红球也不是绿球的概率
P＝1－P(A∪D)＝1－＝.
15．某校从高二年级800名男生中随机抽取50名测量其身高(单位：cm，被测学生的身高全部在155 cm到195 cm之间)，将测量结果按如下方式分成8组：第一组[155，160)，第二组[160，165)，…，第八组[190，195]，绘制成的频率分布直方图如图所示．若从身高位于第六组和第八组的男生中随机抽取2名，记他们的身高分别为x，y，求|x－y|≤5的概率．
[解]　由频率分布直方图，可知身高在[180，185)的人数为0.016×5×50＝4，分别记为a，b，c，d；身高在[190，195]的人数为0.008×5×50＝2，分别记为A，B.则可用数组(x，y)表示样本点，M＝“从身高位于第六组和第八组的男生中随机抽取2名”，若x，y∈[180，185)，则M＝{(a，b)，(a，c)，(a，d )，(b，c)，(b，d )，(c，d )}，共6种情况；若x，y∈[190，195]，则M＝{(A，B)}，共1种情况；若x∈[180，185)，y∈[190，195](或x∈[190，195]，y∈[180，185))，则M＝{(a，A)，(b，A)，(c，A)，(d，A)，(a，B)，(b，B)，(c，B)，(d，B)}，共8种情况．所以样本点的总数为6＋1＋8＝15，而事件“|x－y|≤5”所包含的样本点个数为6＋1＝7，故P(|x－y|≤5)＝.
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10.1.4　概率的基本性质
第十章　概率
10.1　随机事件与概率
整体感知
[学习目标]　1．理解概率的基本性质．
2．掌握利用互斥事件和对立事件的概率公式解决与古典概型有关的问题．
[讨论交流]　预习教材P241－P244的内容，思考以下问题：
问题1.概率的性质有哪些？
问题2.如果事件A与事件B互斥，则P(A∪B)与P(A)，P(B)有什么关系？
问题3.如果事件A与事件B为对立事件，则P(A)与P(B)有什么关系？
[自我感知]　经过认真预习，结合你对本节课的理解和认识，请画出本节课的知识逻辑体系．
探究建构
探究　概率的基本性质
探究问题1　从以下试验你发现概率具有哪些特点？
试验1．一个星期有7天；
试验2．4月份有31天．
[提示]　一个星期有7天是必然事件，一定发生，故其概率为1；4月份有31天是不可能事件，一定不发生，故其概率为0.
探究问题2　抛掷一枚质地均匀的骰子，设事件A表示“掷出的点数为偶数”，事件B表示“掷出的点数为5”， 事件C表示“掷出的点数不为5”，事件D表示“掷出的点数为奇数”.
(1)试探究P(A)，P(B)与P(A∪B)的关系；
(2)试探究P(B)与P(C )的关系，以及P(B)，P(C )与P(B∪C ) 的关系；
(3)试探究事件B与事件D的关系， P(B)＋P(D)＝P(B∪D) 成立吗？
[新知生成]
一般地，概率有如下性质：
性质1　对任意的事件A，都有P(A) ___0.
性质2　必然事件的概率为__，不可能事件的概率为_，即P(Ω)＝_，P( )＝__．
性质3　如果事件A与事件B互斥，那么P(A∪B)＝______________．
性质4　如果事件A与事件B互为对立事件，那么P(B)＝_________，P(A)＝_________．
≥
1
0
1
0
P(A)＋P(B)
1－P(A)
1－P(B)
性质5　如果A B，那么______________．
性质6　设A，B是一个随机试验中的两个事件，我们有P(A∪B)＝P(A)＋P(B)－P(A∩B)．
P(A)≤P(B)
(1)C＝“抽到红花色”，求P(C )；
(2)D＝“抽到黑花色”，求P(D)．
角度1　互斥事件概率公式的应用
[典例讲评]　1．在某一时期内，一条河流某处的年最高水位在各个范围内的概率如下表：
年最高水位/m [8，10) [10，12) [12，14) [14，16) [16，18]
概率 0.1 0.28 0.38 0.16 0.08
计算在同一时期内，这条河流这一处的年最高水位(单位：m)在下列范围内的概率：
(1)[10，16)；(2)[8，12)；(3)[14，18].
[解]　记该河流这一处的年最高水位(单位：m)在[8，10)，[10，12)，[12，14)，[14，16)，[16，18]分别为事件A，B，C，D，E，且彼此互斥．
(1)P(B∪C∪D)＝P(B)＋P(C)＋P(D)＝0.28＋0.38＋0.16＝0.82.
(2)P(A∪B)＝P(A)＋P(B)＝0.1＋0.28＝0.38.
(3)P(D∪E)＝P(D)＋P(E)＝0.16＋0.08＝0.24.
反思领悟　运用互斥事件的概率加法公式解题的步骤
(1)确定题中哪些事件彼此互斥．
(2)将待求事件拆分为几个互斥事件的和．
(3)先求各互斥事件分别发生的概率，再求和．


【教用·备选题】　甲、乙两人玩锤子、剪刀、布的猜拳游戏，假设两人都随机出拳，求：
(1)平局的概率；
(2)甲赢的概率；
(3)甲不输的概率．
[解]　因为甲有3种不同的出拳方法，乙同样也有3种不同的出拳方法，因此一次出拳共有9种不同的可能．
因为都是随机出拳，所以可以看成古典概型，而且样本空间中共包含9个样本点，
因为锤子赢剪刀，剪刀赢布，布赢锤子，分别以a表示出拳为锤子，b表示出拳为剪刀，c表示出拳为布，记事件A为“平局”，B为“甲赢”．
反思领悟　利用对立事件的概率公式解题的思路
(1)当对立事件A，B中一个事件的概率易求，另一个事件的概率不易求时，直接计算符合条件的概率较烦琐，可先间接地计算其对立事件的概率，再由公式P(A)＋P(B)＝1，求出符合条件的事件的概率．
(2)应用对立事件的概率公式时，一定要分清事件和其对立事件到底是什么．该公式常用于“至多”“至少”型问题的求解．
[学以致用]　2．射击队的某一选手射击一次，其命中环数的概率如下表：
命中环数 10环 9环 8环 7环
概率 0.32 0.28 0.18 0.12
求该选手射击一次：
(1)命中9环或10环的概率；
(2)至少命中8环的概率；
(3)命中不足8环的概率．
[解]　记“射击一次，命中k环”为事件Ak(k＝7，8，9，10)．
(1)因为A9与A10互斥，所以P(A9∪A10)＝P(A9)＋P(A10)＝0.28＋0.32＝0.60.
(2)记“至少命中8环”为事件B，则B＝A8＋A9＋A10，又A8，A9，A10两两互斥，
所以P(B)＝P(A8)＋P(A9)＋P(A10)＝0.18＋0.28＋0.32＝0.78.
(3)记“命中不足8环”为事件C，则事件C与事件B是对立事件，所以P(C )＝1－P(B)＝1－0.78＝0.22.
【教用·备选题】　如图所示，靶子由一个中心圆面Ⅰ和两个同心圆环Ⅱ、Ⅲ构成，射手命中Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ的概率分别为0.35，0.30，0.25，则不命中靶的概率是________.
0.10
0.10　[“射手命中圆面Ⅰ”为事件A，“命中圆环Ⅱ”为事件B，“命中圆环Ⅲ”为事件C，“不中靶”为事件D，
则A，B，C彼此互斥，故射手中靶的概率为P(A∪B∪C)＝P(A)＋P(B)＋P(C)＝0.35＋0.30＋0.25＝0.90.
因为中靶和不中靶是对立事件，
故不命中靶的概率为P(D)＝1－P(A∪B∪C)＝1－0.90＝0.10.]
角度3　非互斥事件概率加法公式的应用
[典例讲评]　3．从1～20这20个整数中随机选择一个数，设事件A表示“选到的数能被2整除”，事件B表示“选到的数能被3整除”，求下列事件的概率：
(1)这个数既能被2整除也能被3整除；
(2)这个数能被2整除或能被3整除；
(3)这个数既不能被2整除也不能被3整除．
反思领悟　首先判断该事件是不是互斥事件，若不是互斥事件，需要考虑非互斥事件概率加法如何求解，借助公式P(A∪B)＝P(A)＋P(B)－P(A∩B)进行计算．
【链接·教材例题】
例12　为了推广一种新饮料，某饮料生产企业开展了有奖促销活动：将6罐这种饮料装一箱，每箱中都放置2罐能够中奖的饮料．若从一箱中随机抽出2罐，能中奖的概率为多少？
分析：“中奖”包括第一罐中奖但第二罐不中奖、第一罐不中奖但第二罐中奖、两罐都中奖三种情况．如果设A＝“中奖”，A1＝“第一罐中奖”，A2＝“第二罐中奖”，那么就可以通过事件的运算构建相应事件，并利用概率的性质解决问题．
我们借助树状图(图10.1-11)来求相应事件的样本点数．
2
4
3
题号
1
应用迁移
√
1．已知P(A)＝0.1，P(B)＝0.2，则P(A＋B)＝(　　)
A．0.3 B．0.2
C．0.1 D．不能确定
D　[由于不能确定A与B是否互斥，则P(A＋B)的值不能确定．故选D.]
2
3
题号
1
4
√
2
3
题号
4
1
√
3．某产品按质量分为甲、乙、丙三个级别，从这批产品中随机抽取一件进行检测，设“抽到甲级品”的概率为0.80，“抽到乙级品”的概率为0.15，则“抽到丙级品”的概率为(　　)
A．0.05 B．0.25
C．0.8 D．0.95
A　[“抽到甲级品”“抽到乙级品”“抽到丙级品”是互斥事件，
因为“抽到甲级品”的概率为0.80，“抽到乙级品”的概率为0.15，则“抽到丙级品”的概率为1－0.80－0.15＝0.05.
故选A.]
2
4
3
题号
1
4．已知P(A)＝0.4，P(B)＝0.2.
(1)如果B A，则P(A∪B)＝__________，P(AB)＝________；
(2)如果A，B互斥，则P(A∪B)＝________，P(AB)＝________．
(1)0.4　0.2　(2)0.6　0　[(1)因为B A，所以P(A∪B)＝P(A)＝0.4，P(AB) ＝P(B)＝0.2.
(2)如果A，B互斥，则P(A∪B)＝P(A)＋P(B)＝0.4＋0.2＝0.6，P(AB)＝P( )＝0.]
0.4
0.2
0.6
0
1．知识链：(1)概率的基本性质．
(2)互斥事件概率公式的应用．
(3)对立事件概率公式的应用．
(4)概率性质的综合应用．
2．方法链：转化法、正难则反．
3．警示牌：将事件拆分成若干个互斥的事件时，注意不要重复或遗漏．
回顾本节知识，自主完成以下问题：
1．若事件A和事件B为互斥事件，那么P(A)，P(B)，P(A∪B)有什么关系？
[提示]　P(A∪B)＝P(A)＋P(B)．
2．若事件A和事件B不是互斥事件，那么P(A)，P(B)，P(A∪B)有什么关系？
[提示]　P(A∪B)＝ P(A)＋P(B)－P(A∩B)．
3．若事件A和事件B是对立事件，那么P(A)，P(B)有什么关系？
[提示]　P(A)＋P(B)＝1.

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