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山西省吕梁市孝义市2025年中考第一次模拟数学试卷
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．如图，太原市某天的气温是，则这天的温差（最高气温减最低气温）是（ ）
A． B． C． D．
2．近年来，我国大力开发新能源产业，下面是四张新能源图标，其文字上方的图案既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
3．下列运算正确的是（ ）
A． B． C． D．
4．月壤砖是一种未来可能用于月球盖房子的建筑材料，呈榫卯结构．2024年11月13日，我国设计的“月壤砖”搭乘“天舟八号”货用飞船飞往天宫空间站开展太空暴露试验．图2是一块月壤砖的示意图，则它的左视图为（ ）
A． B． C． D．
5．不等式组的解集是（ ）
A． B． C． D．
6．约公元820年，中亚细亚数学家阿尔—花拉子米写了一本代数书，重点论述怎样解方程．这本书的拉丁文译本取名为《对消与还原》，其中，“对消”指的是“合并同类项”，“还原”指的是“移项”．我国古代数学著作《九章算术》的“方程”章，更早使用了“对消”和“还原”的方法，体现的数学思想是（ ）
A．分类思想 B．数形结合思想 C．转化思想 D．公理化思想
7．已知点，，都在反比例函数的图象上，且，则，，的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
8．自行车尾灯内部的角反射器是由许多垂直的平面镜组成，其工作原理如图2所示，平面镜，当光线射向镜面时，经过两次反射后，光线沿平行于的方向射出，若，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
9．研究人员发现，在时蟋蟀每分钟鸣叫次数y（单位：次）是温度t（单位：℃）的一次函数，部分数据如下表所示，则y与t之间的关系式为（ ）
温度t（℃） 21 23 25
每分钟鸣叫次数y（次） 112 126 140
A． B． C． D．
10．如图，在矩形中，，，点E，F分别为，的中点，分别以点E，F为圆心，长为半径作半圆，两半圆交于点G，H，连接，，，，，则图中阴影部分的面积为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
11．化简：的结果是 ．
12．如图，四边形内接于，为的直径，点C为的中点，若，则的度数为 °．
13．为进一步激发家电市场活力，某市总工会携手家电商场共同举办“政企双补”家电以旧换新活动．活动期间，该工会会员小李购买一台原价为4200元的冰箱，除享受政府600元的以旧换新补贴外，还获得一定金额的厂商补贴，若小李实际支付金额不低于2970元，则厂家给予的补贴最多不超过原价的 %．
14．晋剧，作为山西的传统戏曲形式，承载着丰富的历史与文化底蕴．如图所示的两张图片正面印有晋剧经典剧目人物，它们除正面外完全相同，现将两张图片从中间剪断，再把得到的四张形状相同的小图片混合在一起，随机抽取两张小图片，则恰好合成一张完整图片的概率是 ．
15．如图，在中，，，，点D是的中点，点E在上，且，与交于点F，则线段的长为 ．
三、解答题
16．（1）计算：．
（2）解方程组：．
17．如图，，平分，交于点E．
(1)实践与操作：利用尺规作的平分线，交于点O，交于点F，连接（要求：尺规作图并保留作图痕迹，不写作法，标明字母）；
(2)猜想与证明：试猜想四边形的形状，并加以证明．
18．随着人工智能技术的快速发展，AI＋已成为推动全球创新和经济增长的重要力量．某校为了培养能够适应未来社会的创新人才，拟开设“AI交互设计”“AI工程实践”“AI综合技能”“AI创新挑战”“AI轨迹普及”五项人工智能社团课程．为了解学生对上述五项社团课程的兴趣情况，随机抽取部分学生进行问卷调查（调查问卷如图所示），并将调查结果绘制成如下所示的条形统计图和扇形统计图（均不完整）．
请根据统计图提供的信息，解答下列问题．
(1)请将条形统计图补充完整．
(2)在扇形统计图中，“AI轨迹普及”的百分比是 ，表示“AI创新挑战”的扇形的圆心角度数为 度．
(3)学校对有意向参加“AI创新挑战”社团课程的学生进行了现场测试（满分100分），并将成绩统计如下：
成绩/分 83 87 90 92 95 97
人数 2 4 6 8 3 1
则这组数据的平均数是 分，中位数是 分，众数是 分．
(4)若该校学生的总人数是1200人，请你估计最有意向参加“AI创新挑战”社团课程的学生有多少人？
19．保护森林资源是每个公民义不容辞的责任，加大废纸的回收再利用可以有效减少人类对森林资源的破坏．据统计，生产一吨优质纸张，所用木材的质量比废纸的质量多吨．已知用750吨废纸生产的优质纸张的质量是用700吨木材生产的优质纸张质量的倍，求生产一吨优质纸张需要的木材质量．
20．学科实践：南中环桥是连接太原南部汾河两岸的一条重要通道，其主桥桥型设计构思源于“太原古八景”之一的“蒙山晓月”，从桥的两端看，形如“展翅鸿雁”．某校“综合与实践”活动小组的同学对南中环桥的结构进行调查．
数据采集：图2是调查得到的南中环桥的截面示意图，整个示意图关于中央隔离带成轴对称，通过测量得知：中央隔离带的高度为5米，主吊杆与地面的倾角，底端C点到B点的距离为15米，斜拉杆与的夹角．
问题解决：请根据上述数据，计算主拱到地面的距离（即点E到地面的距离）．（参考数据：，，）
21．阅读与思考：
阅读下列材料，并完成相应的学习任务．
倍角三角形在三角形中，如果一个角是另一个角的二倍，那么这样的三角形叫做倍角三角形．如图1，在中，，，的对边分别为a，b，c．，是倍角三角形． 下面类比等腰三角形的研究思路，对图1所示的倍角三角形的性质进行探究． 角：根据三角形的内角和定理，在图1所示的中，的取值范围是______． 边：二倍角的对边与单倍角的对边的平方差，等于单倍角的对边与第三边的乘积．即． 如图2，延长到点H，使．连接．则，． 所以． 所以，即．所以． 特殊线段：过点B作边上的高， 若点F为的中点，则．理由如下： 如图3，取的中点P，连接，．
学习任务：
（1）材料中的取值范围是______．
（2）如图4，在中，，，则的长是______．
（3）请根据材料提供的方法，利用图3证明“”．
22．综合与实践
项目主题：图1所示是某学校植物园的一部分，现要对植物种植区域加装围栏，学校面向全体同学征集围栏设计方案．
方案设计：图2是小慧设计的围栏的一部分，说明如下：
①围栏下部是等腰三角形，且，，垂足为G；
②围栏上部由两段形状相同的抛物线和组成（点D在的延长线上），且抛物线和关于直线对称；
③米，米，米，米（，均与垂直）．
④抛物线的函数表达式为．…
解决问题：
请你根据小慧的设计方案，以所在直线为x轴，所在直线为y轴建立平面直角坐标系，解决下列问题：
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）如图3，小慧想在设计的围栏上加装一块社会主义核心价值观宣传展板，展板是扇形的一部分、展板整体关于对称．点P，Q分别在抛物线，上，点M，N分别在，上，线段，是所在圆的半径的一部分，且，．
①请求出线段的最大值；
②当线段取得最大值时，直接写出所在圆的半径长．
23．综合与探究
问题情境：在数学活动课上，老师提出如下问题：如图1，点E是矩形的边上一点，，垂足为点F，且．求证：．
数学思考：
（1）请你解答老师提出的问题；
拓展探究：
“兴趣小组”在图1的基础上，将以点C为中心顺时针旋转，得到（点D与对应），并提出新的问题，请你解决这两个问题：
（2）如图2，若点恰好落在边上，连接并延长交于点P．猜想线段与的数量关系，并说明理由；
（3）若，，当直线恰好经过点A时，直线与直线的交点为Q，请直接写出线段的长．
《山西省吕梁市孝义市2025年中考第一次模拟数学试卷》参考答案
1．C
解：∵太原市某天的气温是，
∴这天的温差：，
故选：C．
2．B
解：A、它是轴对称图形，不是中心对称图形；
B、它是轴对称图形，也是中心对称图形；
C、它既不是轴对称图形，也不是中心对称图形；
D、它既不是轴对称图形，也不是中心对称图形．
故选：B
3．D
解：，即A选项不对，
，即B选项不对，
，即C选项不对，
，即D选项对，
故选：D．
4．C
解：从左边看，看到的图形是一个长方形，中间有一条横着的虚线，即看到的图形如下：
故选：C．
5．B
解：，
解不等式①得：，
解不等式②得：，
∴不等式组的解集：，
故选：B．
6．C
解：约公元820年，中亚细亚数学家阿尔—花拉子米写了一本代数书，重点论述怎样解方程．这本书的拉丁文译本取名为《对消与还原》，其中，“对消”指的是“合并同类项”，“还原”指的是“移项”．我国古代数学著作《九章算术》的“方程”章，更早使用了“对消”和“还原”的方法，体现的数学思想是：转化思想．
故选：C．
7．A
解：∵反比例函数中，
∴函数图象的两个分支分别位于二、四象限，且在每一象限内，y随x的增大而增大．
∵
∴点A在第二象限，点B、C在第四象限，
∵，
∴．
故选：A
8．C
解：作，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
故选：C．
9．A
解：设y与t之间的关系式为，
代入和，得，
解得：，
y与t之间的关系式为．
故选：A．
10．D
解：作，
，
∵矩形中，，，点E，F分别为，的中点，
∴，
∴和为等边三角形，
∴，，
∴，
∴的面积为：，
∴扇形的面积：，
∵半圆面积为：，
∴下方两块阴影面积：，
∴总的阴影面积为：，
故选：D．
11．
解：
=
=
=
=m+3．
故答案为m+3．
12．70
解 ： 连接，
，
∵四边形内接于，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵点C为的中点，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
故答案为：70．
13．15
解：设厂家给予的补贴不超过原价的，
根据题意：
解得：，
则厂家给予的补贴最多不超过原价的，
故答案为：15
14．
解：四张形状相同的小图片分别用表示，其中和合成一张完整图片，和合成一张完整图片，画树状图如下：
，
共有种等可能结果，其中两张小图片恰好合成一张完整图片的结果为４，
∴两张小图片恰好合成一张完整图片的概率为：．
15．
解：延长至点使，连接，作，
∵，，，
∴，
∵点D是的中点，
∴，，
∵，
∴，即：，
∴，
∵，
∴，
∴，即：，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，，
∴，
∴，即：，
∴；
故答案为：．
16．（1）；（2）原方程组的解为
解：（1）计算：，
原式，
，
；
（2），
解：，得，
将代入①，得，
解，得．
∴原方程组的解为．
17．(1)见解析
(2)猜想：四边形是菱形，理由见解析
（1）解：以点为圆心，任意长为半径画弧，交于两点，再分别以为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于一点，连接点与这点交于点，即为的平分线，作图如下：
（2）解：猜想：四边形是菱形，证明如下：
∵，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴，
同理可得：，
∴，
又∵，
∴四边形是平行四边形，
∵，
∴四边形是菱形．
18．(1)见解析
(2)
(3)
(4)估计最有意向参加“AI创新挑战”社团课程的学生有480人
（1）解：∵总人数为：（人），
∵“AI综合技能”占比，
∴“AI综合技能”人数：（人），
∴条形图补全如下：
（2）解：∵根据条形图可知“AI轨迹普及”人数为：人，
由（1）知：总人数为人，
∴“AI轨迹普及”的百分比：，
∵“AI创新挑战”人数为人，
∴“AI创新挑战”的扇形的圆心角度数：，
故答案为：；
（3）解：∵根据图表可得：
平均数为：（分），
∵共有人数：，
∴中位数为第和分数的平均数，即：（分），
∵分人数最多，即分为众数，
故答案为：；
（4）解：∵该校学生的总人数是1200人，
∴参加“AI创新挑战”社团课程的学生：（人），
答：估计最有意向参加“AI创新挑战”社团课程的学生有480人．
19．生产一吨优质纸张需要的木材质量为吨
解：设生产一吨优质纸张需要的木材质量为x吨．
根据题意，得．
解，得．
经检验，是原分式方程的解．
答：生产一吨优质纸张需要的木材质量为吨．
20．主拱到地面的距离为40米
解：过点E作于点P，过点作于点Q，
则四边形为矩形．
∴，．
∵整个示意图关于中央隔离带成轴对称，且．
∴．
设，则．
在中，，，
∴．
∴．
∴，．
在中，，，
∵，
∴．
∴．
解，得．
∴，（米）．
答：主拱到地面的距离为40米．
21．（1）；（2）；（3）见详解
解：（1）根据倍角三角形定义，可知，
∴，即：，
∵，
∴，
∴的取值范围：，
故答案为：；
（2）∵，二倍角的对边与单倍角的对边的平方差，等于单倍角的对边与第三边的乘积，
∴，即：，解得：，
故答案为： ；
（3）取的中点，连接，
∵点是的中点，点是中点，
∴是的中位线，
∴，，
∴，
∵，点是的中点，
∴，
∴，
∴，
∵是的外角，
∴，
∴，
∴，
∴．
22．（1）抛物线的函数表达式为；（2）①的最大值为；②所在圆的半径长为米
（1）解：建立如图所示的平面直角坐标系，
，
由题意得：，
∴点的坐标为，
∵，，
∴点，
∵抛物线经过，，
∴，解得：，
∴抛物线的函数表达式为：；
（2）解：①过点作，垂足为点，交于，
，
∵，，
∴在中，，
∵，，
设直线的解析式为，
∵图象经过点，，
∴，解得：，
∴直线的解析式为：，
设点，点，
∴，
∵，
∴当时，有最大值，最大值为，
∵，，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，即：，
∴的最大值为：；
②过点作轴，轴，延长与轴交于即为圆心，此时即为所在圆的半径，
，
∵线段取得最大值时，，即，
∴，
∵，直线的解析式为：，
∴设所在直线解析式为：
将点代入得：，
∴，
∴，解得：，
∴，
∴，
设所在圆的半径为，则，
∵，
∴，
∴，即：，解得：，
∴所在圆的半径长为米．
23．（1）见解析；（2）猜想：，理由见解析；（3）或
（1）解：证明：∵四边形是矩形，
∴，，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴；
（2）解：猜想：，理由如下：
由旋转得：，，，
∴，，，
∴，，
∴，
∵是的外角，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴；
（3）根据题意画图如下：
∵，，，
∴由旋转性质及矩形性质得：，，
∴，
设，则，，
∵，，
∴，
∴，即：，
解得：或，
∴的长为：或．

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