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2025年陕西师大附中中考数学四模试卷
一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.下列四个实数中，是无理数的是( )
A. B. C. D.
2.下列图形中，是中心对称图形，但不是轴对称图形的是( )
A. B. C. D.
3.下列运算正确的是( )
A. B. C. D.
4.将等边三角形如图放置，，，则( )
A.
B.
C.
D.
5.如图，在 中，，，点、分别是、中点，若，则四边形的周长是( )
A.
B.
C.
D.
6.在平面直角坐标系中，已知一次函数的图象向右平移个单位长度后经过点，则的值为( )
A. B. C. D.
7.如图，内接于，连接、，作交于点，若，则的度数为( )
A.
B.
C.
D.
8.如图，已知抛物线、、为常数，且的对称轴为直线，且该抛物线与轴交于点，与轴的交点在，之间不含端点，则下列结论正确的有多少个( )
；
；
；
若方程两根为，，则．
A.
B.
C.
D.
二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。
9.式子在实数范围内有意义，则的取值范围是______．
10.截至月日，电影哪吒全球总票房突破亿元，亿用科学记数法表示为______．
11.铁艺花窗是园林设计中常见的装饰元素如图是一个花瓣造型的花窗示意图，由六条等弧连接而成，六条弧所对应的弦构成一个正六边形，中心为点，所在圆的圆心恰好是的内心，若，则花窗的周长图中实线部分的长度 ______结果保留
12.点，在反比例函数的常数的图象上，若，则的取值范围是______．
13.如图，在矩形中，，，点从点向点运动，点同时从点以相同的速度向点运动，当点到达点时，两个点同时停止运动在运动过程中，的最小值为______．
三、解答题：本题共13小题，共81分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
14.本小题分
计算：．
15.本小题分
解不等式组：，并写出它的所有负整数解．
16.本小题分
先化简，再从，，中选取一个适合的数代入求值．
17.本小题分
如图，在中，，请用尺规作图法，求作一个等边三角形，使得，两点在边上保留作图痕迹，不写作法
18.本小题分
如图，点是菱形的对角线上一点，连接，，求证：．
19.本小题分
秦腔，作为我国戏曲艺术宝库里一颗璀璨的明珠，承载着深厚的历史文化底蕴其脸谱色彩丰富多变，每一种颜色都精准地象征着特定的人物性格：红色寓意忠勇侠义，白色尽显阴险狡诈，黑色彰显刚正不阿在一场秦腔演出的紧张筹备阶段，工作人员精心准备了一个不透明的箱子，箱子内放有张红色脸谱、张白色脸谱以及张黑色脸谱这些脸谱除颜色外，质地、大小等方面完全相同．
从箱子中随机抽取一张脸谱，抽到代表忠勇脸谱的概率是______；
若从箱子中随机抽取两张脸谱，请用列表或画树状图的方式，求抽到一张代表忠勇的红色脸谱与一张代表奸诈的白色脸谱的概率．
20.本小题分
如图，已知，，．
将以原点为旋转中心旋转，画出旋转后对应的；
连接，，则四边形的面积为______．
21.本小题分
法门寺地处陕西省宝鸡市的法门镇，被誉为皇家寺庙，因安置释迦牟尼佛指骨舍利而成为举国仰望的佛教圣地小明想利用刚学过的测量知识来测量法门寺塔的高度一个阳光明媚的下午，他和数学应用实践小组的同学们带着测量工具来到这座塔前，但他们无法到达塔的底部如图，小明先在塔前方的点处用侧倾器测得塔顶端的仰角为；然后，他沿方向前进米至塔的影子顶端处此时，测得小明的影长为米已知小明的身高为米，测倾器的高度为米，且，，求这座宝塔的高度参考数据：，，
22.本小题分
脚印信息往往对应着一个人某些方面的基本特征某数学兴趣小组收集了大量不同人群的身高和脚长数据，通过对数据的整理和分析，发现身高和脚长之间近似存在一个函数关系，部分数据如表：
脚长
身高
根据表中数据，从和中选择一个函数模型，使它能近似地反映身高和脚长的函数关系，并求出这个函数的解析式不要求写出的取值范围；
小林在某月测量自己的脚长是，买了一双新鞋过了一段时间，小林明显感觉鞋子变小，已经不合脚了经测量，他此时的脚长达到了请根据中求出的函数解析式，估算一下这段时间小林身高增长了多少．
23.本小题分
某校九年级开展了“校园科技节”活动，每班选取名学生参赛，活动包含模型设计、科技小论文两个项目对九班、班的名参赛学生的模型设计分数进行整理、描述和分析，给出如下部分信息．
九班模型设计分数频数分布直方图．
九班、九班模型设计的平均数、众数、中位数如表所示：
班级 平均数 众数 中位数
九班
九班
其中这一组的数据为：
根据以上信息，回答下列问题：
补全九班模型设计的频数分布直方图；
表格中的值为______，的值为______；
九班这名学生的科技小论文平均分为分，九班科技小论文平均分为分若学校将模型设计和科技小论文两个项目的平均分按照：的比例确定最终成绩，请通过计算说明哪个班最终成绩更高．
24.本小题分
如图，是的直径，弦于点，是弧上一点，，的延长线交于点，连接，，．
求证：；
已知，，若点是的中点，求的长．
25.本小题分
如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象经过点和点与轴交于点．
求二次函数的解析式；
点是二次函数图象上的一个动点，当点在第一象限时，过点作轴于点，与线段交于点，是否存在点，使得与相似若存在，请求出点坐标；若不存在，请说明理由．
26.本小题分
问题探究：
如图，直线与相切于点，点，点为上两点，点为直线上异于点的任意一点，试探究与的大小关系，并证明你的结论．
问题解决：
某动物园要建造一个水鸟园供游客参观，如图，为水鸟园的建设用地，其中公里，公里，根据修建要求，内部为水鸟戏水区，在边上要修建一段长为公里的水岸在左，在右，供水鸟上岸休息；在，两边上各修建一个游客观赏点和，使游客在这两个点观赏水鸟上岸成群栖息的美景时感到最舒适研究发现，当我们观赏景色的视线张角最大时，观感最舒适是否存在满足条件的观测点、和水鸟休息区？如果存在，求此时和的长；如果不存在，请说明理由．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.解：原式
．
15.解：由得：，
由得：，
则不等式组的解集为，
所以负整数解为、．
16.解：原式
，
且，
可以取，
当时，原式．
17.解：如图，即为所求．
作线段的垂直平分线交于点，以为圆心，为半径作弧交于点，连接，即为所求．
18.证明：四边形为菱形，
，，
在和中，
，
≌，
．
19.解：由题意知，共有种等可能的结果，其中抽到代表忠勇脸谱的结果有种，
抽到代表忠勇脸谱的概率为．
故答案为：．
列表如下：
红色 红色 白色 黑色 黑色
红色 红色，红色 红色，白色 红色，黑色 红色，黑色
红色 红色，红色 红色，白色 红色，黑色 红色，黑色
白色 白色，红色 白色，红色 白色，黑色 白色，黑色
黑色 黑色，红色 黑色，红色 黑色，白色 黑色，黑色
黑色 黑色，红色 黑色，红色 黑色，白色 黑色，黑色
共有种等可能的结果，其中抽到一张代表忠勇的红色脸谱与一张代表奸诈的白色脸谱的结果有种，
抽到一张代表忠勇的红色脸谱与一张代表奸诈的白色脸谱的概率为．
20.解：如图，即为所求．
四边形的面积为．
故答案为：．
21.解：如图：
由题意得：米，，米，
设米，则米，
在中，，
米，
米，
由题意得：，
即，
解得：，
经检验：是原方程的根，
米，
这座宝塔的高度约为米．
22.解：设和之间的函数表达式为、为常数，且．
把，和，分别代入，
得，
解得，
这个函数的表达式为．
当时，，
当时，，
，
答：这段时间小林身高增长了．
23.解：有人，
有，
补全九班模型设计的频数分布直方图如下：
九班的名参赛学生的模型设计分数按照从小到大排列后，排在第个数据是；
，
九班的名参赛学生的模型设计分数出现的最多，
，故答案为：，；
九班最终成绩为：分；
九班最终成绩为：分；
，
九班最终成绩更高．
24.证明：如图所示，连接，
是直径，，
，，且，
≌，
，
，
，
，
，且，
∽，
，
；
解：如图所示，连接，设的半径为，
，则，
，，
，，
，即，
解得，，
，，
，
在中，，，
，
，，
，且，
∽，
，且，，
，
由可知，且点是的中点，
，，
，
负值舍去，
，则，
，整理得，，
解得负值舍去，
的长为．
25.解：由题意得：，
则，则，
则抛物线的表达式为：；
存在，理由：
，则为等腰直角三角形，
与相似，则为等腰直角三角形，则存在或为直角，
当为直角时，
，则，
为直角，则直线的表达式为：，
联立上式和抛物线的表达式得：，
解得：舍去或，即点；
当为直角时，
则点、关于抛物线对称轴对称，
则点，
综上，或．
26.问题探究：解：与的大小关系是：，证明如下：
设与相交于点，连接，如图所示：
根据圆周角定理得：，
根据三角形外角性质得：，
；
问题解决：解：存在．
作的外接圆，由【问题探究】可知：当同时与，相切，切点为，时
则点，即为符合题意的点，如图所示：
连接，，，，过点作于点，如图所示：
根据切线的性质得：，，
，
四边形是矩形，
又，
矩形是正方形，
设，
在中，公里，公里，
由勾股定理得：公里，
，
，
，
，
即，
，
，公里，
公里，
在中，由勾股定理得：，
，
整理得：，
解得：，不合题意，舍去，
，
设，则，
根据弦切角定理得：，
又，
∽，
，
，
，
整理得：，
解得：，不合题意，舍去．
，
的长为公里，的长为公里．
问题探究：设与相交于点，连接，根据圆周角定理得，再根据三角形外角性质得，由此可得出与的大小关系；
问题解决：作的外接圆，由“问题探究”可知：当同时与，相切，切点为，时则点，即为符合题意的点；连接，，，，过点作于点，先证明四边形是正方形，设，利用三角形的和面积公式求出，进而在中，由勾股定理可求出，进而可得的长设，则，证明和相似，再利用相似三角形的性质求出即可得出的长．
第1页，共1页

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