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专题 二元一次方程组72道计算题专训（9大题型）
题型一 解二元一次方程的简单解法题型
题型二 二元一次方程组的特殊解法
题型三 二元一次方程组的错解复原问题
题型四 已知二元一次方程组的解求参数
题型五 方程组同解问题
题型六 构造二元一次方程组求解
题型七 二元一次方程组的含参计算问题
题型八 三元一次方程计算
题型九 二元一次方程组的新定义问题
【经典计算题一 解二元一次方程的简单解法题型】
1．解方程组．
2．解方程组：
3．解下列方程组：
(1)
(2)
4．解方程组
(1)
(2)
5．按要求解下列方程组：
(1)（用代入法）
(2)（用加减法）
6．解下列方程组∶
(1)；
(2)．
7．解方程组
(1)
(2)
(3)
(4)
8．按要求的方法，解下列方程组：
(1)用代入法解方程组：．
(2)用加减法解方程组：．
【经典计算题二 二元一次方程组的特殊解法】
1．解方程组：
(1)
(2)
2．已知关于x，y的方程组的解满足，求k的值．
3．已知方程组的解是．请用简便方法求方程组的解．
4．若关于x，y二元一次方程组的解是，求关于a，b的二元一次方程组的解．
5．阅读以下材料：
解方程组，由①得③，把③代入②，得，解得，把代入③得．∴，这种解法称为“整体代入法”．
请你用这种方法解方程组：．
6．材料：解方程组
将①整体代入②，得，
解得，
把代入①，得，
所以
这种解法称为“整体代入法”，你若留心观察，有很多方程组可采用此方法解答，请解方程组
7．解方程组：
(1)
(2)
8．已知方程组，甲正确地解得，而乙粗心地把看错了，得，试求出，，的值．
【经典计算题三 二元一次方程组的错解复原问题】
1．在解方程组时，小刚正确解得，小莹因把c写错而解得，求的值．
2．甲、乙两人同解方程组时，甲看错了方程①中的a解得，乙看错了方程②中的b，解得，求的值．
3．甲、乙两人在解方程组时，甲因看错a，解得乙将其中一个方程的b写成了其相反数，解得，求的值．
4．甲、乙两人共同解方程组，由于甲看错了方程①中的a，得到方程组的解为，乙看错了方程②中的b，得到方程组解为，试计算：的值．
5．综合与实践
小李和小张共同解关于的二元一次方程组由于粗心，小李看错了方程①中的，得到方程组的解为小张看错了方程②中的，得到方程组的解为
(1)求正确的值．
(2)求原方程组的解．
6．小明、小文都到黑板上做同一道题：解二元一次方程组 ，小明得出的答案是，小文得出的答案是 ．老师讲评时指出，小明的答案是正确的，小文的错了．小文经检查后发现是把第二个方程中的c看错了，根据上述信息，你能把小明、小文他们做的那道题写出来吗？试试看．
7．阅读理解题．
解方程组：时，可以采用一种“整体代入”的解法：
将方程②变形为：，即：③
把①代入③得，所以，
把代入①得，
因此，原方程组的解是：．
请你根据上面的理解，运用“整体代入”法解方程组：．
8．如图，小红和小明两人共同解方程组
根据以上他们的对话内容，请你求出的正确值，并计算的值．
【经典计算题四 已知二元一次方程组的解求参数】
1．已知关于x，y的方程组的解也是方程的解，求的值．
2．已知方程组的解满足方程，求的值．
3．（1）已知关于x方程的解是非负数，求k的取值范围．
（2）若关于x、y的方程组的解满足，求m的最大整数值．
4．关于x，y的方程组的解满足，，
(1)求的值．
(2)化简
5．已知关于x、y的方程组的解满足，．
(1)求m的取值范围；
(2)在m的取值范围内，当m为何整数时，不等式的解为？
6．已知方程组，中，x，y的系数都已经模糊不清，但知道其中□表示同一个数，△也表示同一个数，是你这个方程组的解，你能求解原方程组吗？
7．已知关于x，y的方程组．
(1)请直接写出方程的所有正整数解；
(2)若方程组的解满足，求m的值；
(3)如果方程组有整数解，求整数m的值．
8．已知关于，的方程组．
(1)若方程组的解满足，求的值．
(2)当取不同实数时，的值是否发生变化，如果不变，求出的值，如果改变，请说明理由．
(3)，的自然数解是________．
【经典计算题五 方程组同解问题】
1．如果方程组与有相同的解，求a，b的值．
已知方程组和有相同的解，求的值．
3．如果关于x、y的方程组的解是二元一次方程的一个解，求m．
4．若方程组和方程组有相同的解，求方程组的解．
5．已知方程组与有相同的解，求的平方根．
6．若关于x、y的方程组与有相同的解．
(1)求这个相同的解；
(2)求m、n的值．
7．已知关于x，y的方程组和方程组的解相同．
(1)求m，n的值．
(2)求的值．
8．数学学霸甲、乙两人在一次解方程组比赛中，甲求关于的方程组的正确解与乙求关于的方程组的正确的解相同．则的值为多少？
【经典计算题六 构造二元一次方程组求解】
1．在代数式中，当，时，它的值是，当，时，它的值是17，求a，b的值．
2．我们定义一个关于非零常数m，n的新运算，规定：，例如：．若，，求x，y的值．
3．在的结果中，x的一次项系数为13，且二次项系数为1，求p，q的值．
4．甲、乙两人共同计算一道整式乘法题：(2x＋a)(3x＋b)．甲由于把第一个多项式中的“＋a”看成了“－a”，得到的结果为6x2－5x－6；乙由于漏抄了第二个多项式中x的系数，得到的结果为2x2＋7x＋6．求正确的a，b的值．
5．（23-24七年级下·福建厦门·期中）已知关于、的二元一次方程的解为和
(1)求、的值；
(2)当时，求的值．
6．对于任意的有理数a，b，c，d，我们规定如：，根据这一规定，解答下列问题
（1）化简
（2）若x，y同时满足=5，，求x+y的值
7．阅读材料：对于任何实数，我们规定符号的意义是．
例如：，．
(1)按照这个规定请你计算的值；
(2)有两个算式：，，求a、b的值．
8．阅读理解：对于某些数学问题，灵活运用整体思想，常可化难为易，使计算简便．在解二元一次方程组时，也要注意这种思想方法的应用．
比如解方程组,
解：把②代入①，得x＋2×1＝4，所以x＝2.
把x＝2代入②，得2＋2y＝1，解得y＝－.
所以方程组的解为.
尝试运用：你会用同样的方法解下面的方程组吗？试试看！
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【经典计算题七 二元一次方程组的含参计算问题】
1．已知关于，的方程组的解是，求的值．
2．已知是方程组的解，求k和m的值．
3．已知方程与方程有一个相同的解，你能求出的值吗？
4．已知方程组的解满足x为负，y为正，求a的取值范围．
5．已知关于、的二元一次方程组（为实数），若方程组的解始终满足，化简并求的值．
6．已知关于x，y的二元一次方程组．若该方程组的解是，求关于a，b的二元一次方程组的解．
7．已知是二元一次方程的一个解．
(1)求m的值；
(2)用含x的代数式表示y．
8．在解方程组时，某同学发现：如果直接用代入消元法或加减消元法求解，运算量比较大，也容易出错，如果把方程组中的、分别看作一个整体，通过换元：设、，可以将原方程组化为，解得，把代入、，得，解得，所以原方程组解为．
(1)若方程组的解为，则方程组的解为_____；
(2)若方程组的解为，其中为常数．求方程组的解．
【经典计算题八 三元一次方程计算】
1．解方程组：．
2．解方程(组)∶
(1)
(2)
3．解方程组：
(1)；
(2)
4．解下列方程组：
(1)
(2)解方程组
5．解下列方程或方程组：
(1)
(2)
(3)；
(4)．
6．计算题，你能不出错吗？
(1)
(2)
(3)
(4)
7．（1）解方程组：
（2）解方程组：
8．解下列方程或方程组：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)．
【经典计算题九 二元一次方程组的新定义问题】
1．我们定义一个新运算，规定：，例如：．若，，分别求出x和y的值．
2．对于任意实数、，定义新运算：，其中、为常数，等号右边为通常的加法、减法和乘法运算，例如．若，．求的值．
3．对有理数x、y，定义新运算，其中a，b为常数，已知，．
(1)求a，b的值；
(2)如果，求y的值．
4．对a、b定义一种新运算：.
如：
(1)计算： .
(2)若，求m、n的值.
(3)若，求x的取值范围.
5．对x，y定义一种新运算F，规定：（其中m、n均为非零常数），这里等式右边是通常的四则运算，例如：．已知：，．
(1)求m，n的值；
(2)求关于t的不等式组的解集．
6．规定新运算：，其中、是常数．已知，．
(1)求a、b的值；
(2)若，求，的值；
(3)若，，且，求的最大整数值．
7．阅读理解：
已知实数，满足，，求和的值．仔细观察两个方程未知数的系数之间的关系，本题可以通过适当变形整体求得代数式的值，如由可得，由可得．这样的解题思想就是通常所说的“整体思想”．利用“整体思想”，解决下列问题：
(1)已知二元一次方程组，则________，_______；
(2)对于实数，，定义新运算：，其中，，是常数，等式右边是实数运算．已知，，求的值．
8．阅读下列材料．完成后面的任务：
新定义运算 新定义运算是指用一个符号和已知运算表达式表示一种新的运算，新定义运算是一种特别设计的计算形式，它使用一些特殊的运算符号，这是与四则运算中的加减乘除符号不一样的，新定义的算式中有括号的，要先算括号里的，但它在没有转化前，是不适合各种运算的．现在我们新定义一种运算：若，，则．如：，，则．
任务：
(1)若，，则，求x的值．
(2)已知，，则，且，，，求x，y的值．
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题型一 解二元一次方程的简单解法题型
题型二 二元一次方程组的特殊解法
题型三 二元一次方程组的错解复原问题
题型四 已知二元一次方程组的解求参数
题型五 方程组同解问题
题型六 构造二元一次方程组求解
题型七 二元一次方程组的含参计算问题
题型八 三元一次方程计算
题型九 二元一次方程组的新定义问题
【经典计算题一 解二元一次方程的简单解法题型】
1．解方程组．
【答案】
【分析】本题考查了解二元一次方程组，掌握加减消元法是解答本题的关键．
利用加减消元法，①②，得到，然后代入①，由此得到方程组的解．
【详解】解：根据题意得：
，
①②得：，
解得：，
把代入①中得：
，
解得：，
方程组的解为：．
2．解方程组：
【答案】
【分析】本题考查了解二元一次方程组，熟练掌握加减消元法是解题关键．利用加减消元法解二元一次方程组即可得．
【详解】解：，
①②得：，
解得，
将代入①得：，
解得，
所以方程组的解为．
3．解下列方程组：
(1)
(2)
【答案】(1)
(2)
【分析】此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，解题的关键是利用代入消元法或加减消元法消去一个未知数．
（1）方程组利用代入消元法求解即可；
（2）方程组利用加减消元法求解即可．
【详解】（1）
由①得．③
把③代入②，得，
解得．
把代入③，得，
故原方程组的解是；
（2）
，得，解得．
把代入①，得，
解得，
故原方程组的解是．
4．解方程组
(1)
(2)
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查了解二元一次方程组，掌握解二元一次方程组的方法是解题的关键．
（）利用加减法解答即可；
（）先化简方程组，再利用加减法解答即可．
【详解】（1）解：，
得，，
∴，
把代入②得，，
∴，
∴方程组的解为；
（2）解：方程组化简得，，
得，，
∴，
把代入①得，，
∴，
∴方程组的解为．
5．按要求解下列方程组：
(1)（用代入法）
(2)（用加减法）
【答案】(1)
(2)
【分析】本题主要考查了解二元一次方程组，解题的关键是熟练掌握代入消元法和加减消元法．
（1）用代入消元法解二元一次方程组即可；
（2）用加减消元法解二元一次方程组即可．
【详解】（1）解：，
由①得：③，
把③代入②得：，
解得：，
把代入③得：，
∴原方程组的解为：；
（2）解：，
得：，
解得：，
把代入①得：，
解得：，
∴原方程组的解为：．
6．解下列方程组∶
(1)；
(2)．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题主要考查了解方程组，熟练掌握解方程组的方法，是解题的关键．
（1）用加减消元法解二元一次方程组即可；
（2）先将二元一次方程组进行变形，然后再用代入消元法解二元一次方程组即可．
【详解】（1）解：，
，得，
把代入①得，
解得：，
所以原方程组的解为；
（2）解：，
整理原方程组，得，
由①得：，
把③代入②得：，
解得，
将代入③，得，
所以原方程组的解为．
7．解方程组
(1)
(2)
(3)
(4)
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)
【分析】本题考查解二元一次方程组：
（1）代入消元法解方程组即可；
（2）加减消元法解方程组即可；
（3）加减消元法解方程组即可；
（4）加减消元法解方程组即可．
【详解】（1）解：，
把代入，得：
，解得：，
把代入①，得：；
∴方程组的解为：；
（2），
由得：，
解得：，
把代入①，得：，
解得：，
∴方程组的解为：；
（3）
由，得：，
解得：，
把代入，得：，
解得：，
∴方程组的解为：；
（4），
由，得：，
解得：，
把代入，得：，
解得：，
∴方程组的解为：；
8．按要求的方法，解下列方程组：
(1)用代入法解方程组：．
(2)用加减法解方程组：．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查解二元一次方程组，按照要求正确求解是解答的关键．
（1）根据代入消元法求解步骤解方程组即可；
（2）根据加减消元法求解步骤解方程组即可．
【详解】（1）解：，
将①代入②中，得，即，
解得，
将代入①中，得，
所以原方程组的解是；
（2）解：
得：③，
得：④，
得：，
解得：，
把代入①得：，
解得：，
故原方程组的解是：．
【经典计算题二 二元一次方程组的特殊解法】
1．解方程组：
(1)
(2)
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查了代入消元法、整体消元法解二元一次方程组，熟练掌握利用代入消元法、整体消元法解二元一次方程组是解题的关键．
（1）把代入，求出的值并代入，得出的值，即可得出方程组的解；
（2）把整体代入，求出的值并代入，求出的值，即可得出方程组的解．
【详解】（1）解：，
把②代入①得：，
移项、合并同类项得：，
解得：，
把代入②得：，
∴方程组的解为：；
（2）解：，
把②代入①得：，
移项、合并同类项得：，
把代入②得：，
移项、合并同类项得：，
∴方程组的解为：．
2．已知关于x，y的方程组的解满足，求k的值．
【答案】2
【分析】本题考查了解二元一次方程组，解一元一次方程．熟练掌握解二元一次方程组，解一元一次方程是解题的关键．
由①②得：，可求，则，计算求解即可．
【详解】解：，
由①②得：，
∴，
∵，
∴，
解得：，
∴k的值为2．
3．已知方程组的解是．请用简便方法求方程组的解．
【答案】
【分析】本题主要考查了用二元一次方程组的特殊解法，设，，代入已知方程组的解，即可求出答案．
【详解】解：在方程组中，
设，，
则变形为方程组，
解得．
4．若关于x，y二元一次方程组的解是，求关于a，b的二元一次方程组的解．
【答案】
【分析】本题主要考查二元一次方程组的解法，根据已知得出关于a，b的方程组，进而得出答案．关键是根据整体思想及方程组的解法进行求解．
【详解】解：关于x，y二元一次方程组的解是，
关于a，b的二元一次方程组中，
解得：．
5．阅读以下材料：
解方程组，由①得③，把③代入②，得，解得，把代入③得．∴，这种解法称为“整体代入法”．
请你用这种方法解方程组：．
【答案】．
【分析】本题考查的是在解二元一次方程组时整体思想的应用．仿照所给的题例先把①变形，再代入②中求出y的值，进一步求出方程组的解即可．
【详解】解：由①得③，即，
把代入②，得，
解得，
把代入③得，
解得．
∴．
6．材料：解方程组
将①整体代入②，得，
解得，
把代入①，得，
所以
这种解法称为“整体代入法”，你若留心观察，有很多方程组可采用此方法解答，请解方程组
【答案】
【分析】本题考查解二元一次方程组．理解并掌握整体代入法解方程组，是解题的关键．利用整体代入法解方程组即可．
【详解】解：由①得：③，
将③代入②得：，
解得：，
将代入①得：，
解得：，
∴方程组的解为．
7．解方程组：
(1)
(2)
【答案】(1)
(2)
【分析】本题主要考查二元一次方程组的解法，熟练掌握二元一次方程组的解法是解题的关键；
（1）设，则原方程组可变形为，然后进行求解即可；
（2）设，则原方程组可变形为，然后进行求解即可
【详解】（1）解：设，则原方程组可变形为，
解得，
从而得方程组，
解得，
故原方程组的解为；
（2）解：设，则原方程组可变形为，
解得，
从而得方程组，
解得
故原方程组的解为
8．已知方程组，甲正确地解得，而乙粗心地把看错了，得，试求出，，的值．
【答案】，，
【分析】本题考查了二元一次方程组的解，以及解二元一次方程组，正确理解定义是解题的关键．
把，代入方程即可得到一个关于，的方程组，即可求得，的值，把代入方程即可求得的值．
【详解】解：根据题意得：，
解得：，
把代入方程，得到：，
解得：．
故，，．
【经典计算题三 二元一次方程组的错解复原问题】
1．在解方程组时，小刚正确解得，小莹因把c写错而解得，求的值．
【答案】16
【分析】本题考查了二元一次方程组的解，代数式求值，正确解方程组是解题关键．根据题意，得到关于、、的方程，求解再代入计算求值即可．
【详解】解：由题意得：，
由②得：，
由得：，
将代入①得：，
解得：，
．
2．甲、乙两人同解方程组时，甲看错了方程①中的a解得，乙看错了方程②中的b，解得，求的值．
【答案】
【分析】本题考查了二元一次方程组的解； 根据题意，将代入②，将代入①，分别求得的值，代入代数式，即可求解．
【详解】将代入②，得，解得．
将代入①，得，解得．
．
3．甲、乙两人在解方程组时，甲因看错a，解得乙将其中一个方程的b写成了其相反数，解得，求的值．
【答案】1
【详解】将，代入，得，解得．
将，代入后，左右两边不相等，故是方程的解．
将，代入后可得，解得，故．
4．甲、乙两人共同解方程组，由于甲看错了方程①中的a，得到方程组的解为，乙看错了方程②中的b，得到方程组解为，试计算：的值．
【答案】2
【分析】将代入，求得的值，将代入，求得的值，即可求出最后结果．
【详解】解：将代入，得，
解得，
将代入，得，
解得，
∴．
【点睛】本题考查了二元一次方程组错解问题，关键是将解代入没看错的方程即可求出参数的值．
5．综合与实践
小李和小张共同解关于的二元一次方程组由于粗心，小李看错了方程①中的，得到方程组的解为小张看错了方程②中的，得到方程组的解为
(1)求正确的值．
(2)求原方程组的解．
【答案】(1)，
(2)
【分析】本题主要考查二元一次方程组的错解问题；
（1）首先根据甲看错方程①中的a说明甲所解出的结果满足方程②，所以把代入方程②可得：即可求出b；而乙看错方程②中的b说明乙所解出的结果满足方程①，所以把代入方程①可得：即可求出a；
（2）根据的值得到原方程组，解方程组即可．
【详解】（1）解：依题意，把代入②得：，
解得：；
把代入①得：，
解得：；
（2）
得，
解得：，
，代入①得，，
解得：，
∴．
6．小明、小文都到黑板上做同一道题：解二元一次方程组 ，小明得出的答案是，小文得出的答案是 ．老师讲评时指出，小明的答案是正确的，小文的错了．小文经检查后发现是把第二个方程中的c看错了，根据上述信息，你能把小明、小文他们做的那道题写出来吗？试试看．
【答案】小明、小文他们做的那道题为
【分析】本题考查了二元一次方程组的解，因为小明是正确的，可将小明的答案代入原方程组，得出c的值和a与b的关系，又小文做错的原因是他把c看错了，可将小文的结果代入第一个式子，从而解出a、b、c的值，从而求解．
【详解】解：由题意知： ，
又∵小文做错的原因是他把c看错了，
∴与a、b无关．
故，
∴
解得：．
∴小明、小文他们做的那道题为 ．
7．阅读理解题．
解方程组：时，可以采用一种“整体代入”的解法：
将方程②变形为：，即：③
把①代入③得，所以，
把代入①得，
因此，原方程组的解是：．
请你根据上面的理解，运用“整体代入”法解方程组：．
【答案】
【分析】本题考查了解二元一次方程组，熟练掌握加减消元法和代入消元法解二元一次方程组，体会整体思想解方程组的便捷是解题的关键．
将方程②变形为，再整体代入即可求方程组．
【详解】解：
将方程②变形为：，即：③
把①代入③得，
所以，
把代入①得，
因此，原方程组的解是：．
8．如图，小红和小明两人共同解方程组
根据以上他们的对话内容，请你求出的正确值，并计算的值．
【答案】0
【分析】本题主要考查二元一次方程组解的定义，解决本题的关键是将已知方程组的解代入方程进行求解． 根据题意将代入方程②求出b，把代入①求出a，最后代入代数式求值．
【详解】解：∵小明看错了方程①中的，所以满足方程②，
即，解得，
∵小红看错了方程②中的，所以满足方程①，
即，解得，
∴．
【经典计算题四 已知二元一次方程组的解求参数】
1．已知关于x，y的方程组的解也是方程的解，求的值．
【答案】2
【分析】本题考查了二元一次方程组的解，以及二元一次方程的解，熟练掌握运算法则是解本题的关键．把k看作已知数表示出方程组的解得到x与y，代入已知方程计算求出k的值，即可求出原式的值．
【详解】解：①②得：，
①②得：，
代入中，得：，
解得：．
则．
2．已知方程组的解满足方程，求的值．
【答案】
【分析】本题考查解二元一次方程组，二元一次方程组的解，掌握二元一次方程组的解法是解题的关键．将与联系立方程组求解，再将解代入方程即可求出的值．
【详解】解：根据题意重新联立方程组，得
由②，得．③
将③代入①，得，解得．
将代入③，得．
所以原方程组的解为
因为方程组的解满足方程，
所以将代入，解得，
所以的值为5．
3．（1）已知关于x方程的解是非负数，求k的取值范围．
（2）若关于x、y的方程组的解满足，求m的最大整数值．
【答案】（1）；（2）的最大整数值为
【分析】此题考查了二元一次方程组的解和解一元一次不等式组，准确熟练进行计算是解题的关键．
（1）求出方程的解，根据题意得出关于k的不等式，求出不等式的解集即可；
（2）首先解不等式利用m表示出x和y的值，然后根据列不等式求得m的范围．
【详解】解：（1）变形，
得，
为非负数，
，
解得；
（2），
②①得，
，
．
．
的最大整数值为．
4．关于x，y的方程组的解满足，，
(1)求的值．
(2)化简
【答案】(1)
(2)
【分析】此题考查了二元一次方程组的解以及化简绝对值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
（1）将，，代入方程组解答即可，
（2）利用（1）求得的k值，化简绝对值即可．
【详解】（1）解：将，代入得：
，
解得：；
（2）把代入得
原式
.
5．已知关于x、y的方程组的解满足，．
(1)求m的取值范围；
(2)在m的取值范围内，当m为何整数时，不等式的解为？
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）先求出方程组的解，根据，得出不等式组，再求出不等式组的解集即可；
（2）根据不等式的解集为得出，求出m的范围，再根据（1）的结论求出，再求出整数m即可．
本题考查二元一次方程组的解、解一元一次不等式组、一元一次不等式的整数解等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识．
【详解】（1）
得：
解得
将代入①得：
解得，
∴方程组的解为：
∵关于x、y的方程组的解满足，．
∴，
∴；
（2）
合并得，
∵不等式的解为
∴
∴
又∵
∴
∵m为整数，
∴．
6．已知方程组，中，x，y的系数都已经模糊不清，但知道其中□表示同一个数，△也表示同一个数，是你这个方程组的解，你能求解原方程组吗？
【答案】
【分析】本题主要考查了二元一次方程组的解求参数，设为a，为b，根据题意将代入原方程组可以求得a、b的值，然后再将a、b代入原方程即可求得原方程组.
【详解】解：设为a，为b，
则方程组，可化为，
∵是你这个方程组的解，
∴
解得，
∴原方程组为：
7．已知关于x，y的方程组．
(1)请直接写出方程的所有正整数解；
(2)若方程组的解满足，求m的值；
(3)如果方程组有整数解，求整数m的值．
【答案】(1)，
(2)
(3)整数的值为或2
【分析】此题考查了二元一次方程组的解，二元一次方程的解，以及解二元一次方程，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
（1）把看作已知数表示出，进而确定出方程的正整数解即可；
（2）已知方程与方程组第一个方程联立求出与的值，进而求出的值；
（3）根据方程组有整数解，确定出整数的值即可．
【详解】（1）解：方程，
解得：，
当时，；
当，；
即方程的正整数的解为，；
（2）解：联立得，
解得，
代入得：，
解得；
（3）解：，
①②得：，
解得：，
把代入①得：，
当，1，，，4，时，为整数，此时，，，，2，，
当时，，不符合题意；
当时，，不符合题意；
当时，，符合题意；
当时，，符合题意，
当时，，不符合题意；
当时，，不符合题意，
综上所述，整数的值为或2．
8．已知关于，的方程组．
(1)若方程组的解满足，求的值．
(2)当取不同实数时，的值是否发生变化，如果不变，求出的值，如果改变，请说明理由．
(3)，的自然数解是________．
【答案】(1)
(2)不变，
(3)
【分析】本题考查了解二元一次方程组，已知二元一次方程组的解的情况求参数，解题关键是利用整体代入法，用含的代数式表示，的解．
（1）将方程组的两个式子进行相减，得到，再整体代入的值，即可得到关于的一元一次方程，求解即可；
（2）利用代入消元法解方程组，解得，，再将，的值代入计算即可；
（3）根据方程组的解，，列举的解为自然数时，求的值，再将的值代入的解，判定是否满足自然数条件即可．
【详解】（1）解：，
由得，，
，
，
解得．
（2）解：由题意，得，
，
解得，，
，
当取不同实数时，的值不变，都为．
（3）解：由（2）得，，
当时，，
，
当时，，
此时，，为非自然数，
，的自然数解是．
【经典计算题五 方程组同解问题】
1．如果方程组与有相同的解，求a，b的值．
【答案】
【分析】本题考查了二元一次方程组的解，根据二元一次方程组同解联立新的二元一次方程组是解题的关键．利用二元一次方程组同解可得，解得，再将代入原两个方程组即可求解．
【详解】解：∵方程组与有相同的解，
∴x，y满足，
由①得③，
将③代入②得，
∴，
将代入方程组与可得到，
由得，
∴，
∴．
2．已知方程组和有相同的解，求的值．
【答案】
【分析】本题主要考查了二元一次方程组的求解，准确计算是解题的关键．
首先把和组成方程组，解方程组可得、的值，再把、的值代入，然后可求出答案．
【详解】
解：由题意得：，
解得．
将，代入方程得，
则．
3．如果关于x、y的方程组的解是二元一次方程的一个解，求m．
【答案】
【分析】本题主要考查了解二元一次方程组，利用加减消元法得到，再由得到，则．
【详解】解：
得：，
∵，
∴，
∴
4．若方程组和方程组有相同的解，求方程组的解．
【答案】
【分析】本题主要考查了解二元一次方程组和二元一次方程组的同解问题，解题的关键在于能够熟练掌握相关性质求解，根据方程组和方程组同解可以得到求出这个方程组的解，然后代入另外两个方程求出a、b即可．
【详解】解：解方程组
解得：
把代入另外两方程得：
解得：．
5．已知方程组与有相同的解，求的平方根．
【答案】或．
【分析】本题主要考查二元一次方程组的同解问题，代数式求值及求一个数的平方根根据两个方程组解相同，可先求出的值，再将的值代入其余两个方程即可求出的值，然后代入求值，即可求出平方根，熟练掌握二元一次方程组的解法是解题的关键．
【详解】解：解方程组得，
有，得，
把代入，
得 ，解得，
将代入，
得，
∴，
∴的平方根是或．
6．若关于x、y的方程组与有相同的解．
(1)求这个相同的解；
(2)求m、n的值．
【答案】(1)
(2)．
【分析】此题考查了二元一次方程组的解法，方程组的解即为能使方程组中两方程成立的未知数的值．
（1）联立两方程组中不含m，n的方程求出相同的解即可；
（2）把求出的解代入剩下的方程中，再联立方程组求出m与n的值即可．
【详解】（1）根据题意，得：，
解得：；
（2）将代入方程组，得：，
解得：．
7．已知关于x，y的方程组和方程组的解相同．
(1)求m，n的值．
(2)求的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题主要考查了同解二元一次方程组，解题的关键是熟练掌握解二元一次方程组一般方法，准确计算．
（1）把方程组中的两个已知方程组合可得，解方程组可得：，再代入另外两个方程，求解，从而可得答案.
（2）把的值代入求出代数式的值即可．
【详解】（1）解：根据题意得：，
①②：，
把代入①：，
把代入得
解得：；
（2）解：把代入得：
原式．
8．数学学霸甲、乙两人在一次解方程组比赛中，甲求关于的方程组的正确解与乙求关于的方程组的正确的解相同．则的值为多少？
【答案】1
【分析】此题考查了二元一次方程组的解，以及解二元一次方程组，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
联立不含a与b的方程求出x与y的值，进而确定出a与b的值，代入原式计算即可求出值．
【详解】解：联立得：，
解得：，
代入得：，
解得：，
∴．
【经典计算题六 构造二元一次方程组求解】
1．在代数式中，当，时，它的值是，当，时，它的值是17，求a，b的值．
【答案】
【分析】本题主要考查了二元一次方程的解以及解二元一次方程组，根据题意构造二元一次方程组，再利用加减法解二元一次方程，解方程即可求出a，b的值．
【详解】解：，
①②，可得：，
解得，
把代入①式得：
，
解得：，
∴原方程组的解是
2．我们定义一个关于非零常数m，n的新运算，规定：，例如：．若，，求x，y的值．
【答案】x，y的值分别为2，
【分析】本题考查定义新运算，解二元一次方程组，根据新运算的法则，列出方程组，进行求解即可．
【详解】∵，，，
∴
解得
∴x，y的值分别为2，．
3．在的结果中，x的一次项系数为13，且二次项系数为1，求p，q的值．
【答案】，
【分析】本题考查多项式与多项式相乘，先求出的结果，再根据“x的一次项系数为13，且二次项系数为1”列出方程组，从而得解．
【详解】解：
因为x的一次项系数为13，且二次项系数为1．
所以，
解得：，
即，．
4．甲、乙两人共同计算一道整式乘法题：(2x＋a)(3x＋b)．甲由于把第一个多项式中的“＋a”看成了“－a”，得到的结果为6x2－5x－6；乙由于漏抄了第二个多项式中x的系数，得到的结果为2x2＋7x＋6．求正确的a，b的值．
【答案】，
【分析】先根据多项式乘以多项式展开，合并同类项，得出两个二元一次方程，组成方程组，求出方程组的解即可；
【详解】解：因为(2x－a)(3x＋b)，
＝6x2＋2bx－3ax－ab，
＝6x2＋(2b－3a)x－ab，
所以2b－3a＝－5，①
因为(2x＋a)(x＋b)＝2x2＋2bx＋ax＋ab＝2x2＋(2b＋a)x＋ab，
所以2b＋a＝7，②
由①和②组成方程组：
,
解得.
故答案为：，.
【点睛】本题考查了多项式乘以多项式，合并同类项，解二元一次方程组等知识点，能得出关于a、b的方程组是解此题的关键．
5．已知关于、的二元一次方程的解为和
(1)求、的值；
(2)当时，求的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查解二元一次方程以及二元一次方程组的解；
（1）将方程的解代入得到新的方程组解方程组即可得到答案；
（2）根据（1）得出，将代入即可得到答案．
【详解】（1）解：由题意可得，
，
解得 ；
（2）解：由（1）得，
，
将代入可得，
．
6．对于任意的有理数a，b，c，d，我们规定如：，根据这一规定，解答下列问题
（1）化简
（2）若x，y同时满足=5，，求x+y的值
【答案】（1）见解析
（2）13
【详解】本题考查的二元一次方程组．
解：（1）由题意得，原式
（2）由题意得，
7．阅读材料：对于任何实数，我们规定符号的意义是．
例如：，．
(1)按照这个规定请你计算的值；
(2)有两个算式：，，求a、b的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据所给的规定进行运算即可；
（2）结合所给的规定，列出方程组，解方程组即可．
【详解】（1）解：
；
（2）∵，，
∴，
得：，
①+③得：，
解得，
把代入②得：，
解得，
故方程组的解是，
即．
【点睛】本题主要考查实数的运算，解二元一次方程组，新定义，解答的关键是对相应的运算法则及解方程的方法的掌握．
8．阅读理解：对于某些数学问题，灵活运用整体思想，常可化难为易，使计算简便．在解二元一次方程组时，也要注意这种思想方法的应用．
比如解方程组,
解：把②代入①，得x＋2×1＝4，所以x＝2.
把x＝2代入②，得2＋2y＝1，解得y＝－.
所以方程组的解为.
尝试运用：你会用同样的方法解下面的方程组吗？试试看！
.
【答案】.
【分析】首先先把5x+6y-7=0化成5x+6y =7的形式,然后根据整体代入的数学思想把5x+6y =7代入方程进行计算,即可得到答案.
【详解】由①得5x＋6y＝7，③
把③代入②，得＋3y＝0，解得y＝－.
把y＝－代入①，得5x＋6×(－)－7＝0，解得x＝.
所以原方程组的解为
【点睛】本题考查的是代入法解二元一次方程的知识,正确理解整体的数学思想是解题的关键.
【经典计算题七 二元一次方程组的含参计算问题】
1．已知关于，的方程组的解是，求的值．
【答案】9
【分析】本题考查了二元一次方程组的解，解二元一次方程组．将代入原方程组，可得出关于，的二元一次方程组，求得，的值，再代入计算即可求解．
【详解】解：将代入原方程组得：，
解得，
．
2．已知是方程组的解，求k和m的值．
【答案】k和m的值分别为2和3
【分析】本题主要考查解二元一次方程组，根据题意将x和y代入方程组，即可解得k和m的值．
【详解】解：根据题意，把代入方程组，得
，解得．
即k和m的值分别为2和3．
3．已知方程与方程有一个相同的解，你能求出的值吗？
【答案】1
【分析】本题考查同解方程、二元一次方程组的解．把相同的解分别代入两个方程，求出m、n的值，再将m、n的值代入即可．
【详解】解：把代入，得；
把代入，得．
∴．
故答案为：1．
4．已知方程组的解满足x为负，y为正，求a的取值范围．
【答案】
【分析】本题考查了解二元一次方程组，解不等式组，掌握方程组与不等式组的解法是解题的关键；由求出二元一次方程组的解，再根据解的正负性得到关于a的不等式组，即可求得a的取值范围．
【详解】解：解方程组，得，
x为负，y为正，
，解得．
5．已知关于、的二元一次方程组（为实数），若方程组的解始终满足，化简并求的值．
【答案】
【分析】本题考查的是分式的化简求值、二元一次方程组的解法，掌握分式的混合运算法则是解答本题的关键．
根据分式的除法法则、加减法法则把原式化简，解二元一次方程组求出，代入计算得到答案．
【详解】解：原式，
，
，
，
对于方程组，得，
，
，
解得：，
则原式．
6．已知关于x，y的二元一次方程组．若该方程组的解是，求关于a，b的二元一次方程组的解．
【答案】
【分析】此题考查了二元一次方程组的解和解二元一次方程组，将代入得到，进而求解即可．
【详解】解：∵二元一次方程组的解是，
∴，
解得：．
7．已知是二元一次方程的一个解．
(1)求m的值；
(2)用含x的代数式表示y．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查了方程的解以及解方程
（1）根据二元一次方程组的定义代入计算，即可得出答案；
（2）根据解方程的方法用含x的代数式即可表示y．
【详解】（1）由题意得，，
解得，．
（2）由得，．
8．在解方程组时，某同学发现：如果直接用代入消元法或加减消元法求解，运算量比较大，也容易出错，如果把方程组中的、分别看作一个整体，通过换元：设、，可以将原方程组化为，解得，把代入、，得，解得，所以原方程组解为．
(1)若方程组的解为，则方程组的解为_____；
(2)若方程组的解为，其中为常数．求方程组的解．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查的是利用整体法解二元一次方程组；
（1）设，，则方程组可化为，再进一步解方程组即可；
（2）设，，则方程组可化为，再进一步求解即可．
【详解】（1）解：的解为，
的解为，
设，，
则方程组可变为：，
，解得：．
（2）解：设，，
则可变为：，
的解为，
的解为，
即，
解得：
【经典计算题八 三元一次方程计算】
1．解方程组：．
【答案】
【分析】此题考查了解三元一次方程组，采用加减消元法即可作答．
【详解】解：，
①②得：④，
③④得：
解得：，
把代入③得：，
把，代入①得：，
解得：，
原方程组的解为：．
2．解方程(组)∶
(1)
(2)
【答案】(1)
(2)
【分析】本题主要考查解一元一次方程、二元一次方程组，利用去分母，去括号解方程是解题关键，和加减消元法是解题的关键．
（1）通过去分母，去括号解方程即可；
（2）运用加减消元法解方程即可．
【详解】（1）
去分母，得
去括号，得
移项，得
合并同类项，得，
系数化为1，得．
（2），
，得，④
，得，解得，
将代入③得
将代入②上得
所以原方程组的解为
3．解方程组：
(1)；
(2)
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查了解二元一次方程组和解三元一次方程组，熟练掌握加减消元法和代入消元法是解题的关键．
（1）先整理，再用加减消元法进行运算即可；
（2）先运用加减消元法把三元一次方程组化成二元一次方程组，再运用代入消元法进行运算即可．
【详解】（1）解：整理得，
得，
解得，
把代入②，得，
解得，
方程组的解为；
（2）解：，
得，
得，即，
得，
解得，
把代入④得，
解得，
把，代入①得，
解得，
方程组的解为．
4．解下列方程组：
(1)
(2)解方程组
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查了二元一次方程组和三元一次方程组的解法，熟练掌握相应方程组的解法是解题的关键；
（1）根据加减消元法求解即可；
（2）先代入消元，再加减消元求解即可．
【详解】（1）解：由得，，
解得，
把代入得，，
解得，
原方程组的解为；
（2）解：把代入得，
联立方程组得，
由得，
解得，
把分别代入得，，
原方程组的解为．
5．解下列方程或方程组：
(1)
(2)
(3)；
(4)．
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)
【分析】本题主要考查了解一元一次方程，二元一次方程组和三元一次方程组，解题的关键是熟练掌握解方程组和解方程的一般方法，准确计算．
（1）先去括号，然后移项并合并同类项，最后系数化为1即可得解；
（2）先去分母，再去括号，然后移项并合并同类项，最后系数化为1即可得解；
（3）用代入消元法解二元一次方程组即可；
（4）用代入消元法和加减消元法解三元一次方程组即可．
【详解】（1）解：，
去括号，得，
移项，得，
合并同类项得：，
两边同除以4，得：．
（2）解：，
去分母，得：，
去括号，得：，
移项，得，
合并同类项得：．
（3）解：
由①得③，
把③代入②，得，
解得，
把入③，得．
∴．
（4）解：，
将①代入②后整理得：④，
将①代入③后整理得：⑤，
得，
把代入⑤可得，
把，代入①得，
故该方程组的解为：．
6．计算题，你能不出错吗？
(1)
(2)
(3)
(4)
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)
【分析】（1）方程去括号，移项，合并即可求出解；
（2）方程去分母，去括号，移项，合并，把系数化为1，即可求出解；
（3）方程组利用加减消元法求出解即可；
（4）方程组利用加减消元法求出解即可．
【详解】（1）去括号得：，
移项得：，
合并得：；
（2）去分母得：，
去括号得：，
移项得：，
合并得：，
系数化为1得：；
（3），
①②得：，
解得：，
把代入①得：，
解得：，
则方程组的解为；
（4），
①②得：④，
②③得：⑤，
⑤④得：，
解得：，
把代入⑤得：，
解得：，
把，代入③得：，
解得：，
则方程组的解为．
【点睛】此题考查了解三元一次方程组，解二元一次方程组，以及解一元一次方程，熟练掌握各自的解法是解本题的关键．
7．（1）解方程组：
（2）解方程组：
【答案】（1）；（2）
【分析】本题考查解三元一次方程组．
（1）先将①②写成，设，再代入③，继而得到，即可得到本题答案；
（2）先，得④，再得⑤式，④与⑤组成方程组，解出，再代入②得即可．
【详解】解：（1），
由①②，得．
设，k为常数且．
代入③，得，解得．
∴．
∴原方程组的解为；
（2），
解：，得，④
，得．⑤
④与⑤组成方程组，解得，
把代入②，得，
∴原方程组的解为．
8．解下列方程或方程组：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)．
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)，
【分析】（1）去括号，移项，合并同类项，系数化成即可；
（2）去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化成即可；
（3）得出，由和组成一个二元一次方程组，求出、的值，再把代入求出即可；
（4）得出，求出，把代入得出，求出，再把代入求出即可．
【详解】（1）解：，
去括号，得，
移项，得，
合并同类项，得；
（2）解：，
去分母，得，
去括号，得，
移项，得，
合并同类项，得，
系数化成，得；
（3）解：，
，得，
由和组成一个二元一次方程组
，
解得：，
把代入，得，
解得：，
所以原方程组的解是；
（4），
，得，
即，
解得：，
把代入，得，
，
，
解得：或；
所原方程组的解是，
【点睛】本题考查了解一元一次方程，绝对值，解三元一次方程组和解二元一次方程组等知识点，能正确根据等式的性质进行变形是解的关键，能把三元一次方程组转化成二元一次方程组是解的关键，能把二元一次方程组转化成一元一次方程是解的关键．
【经典计算题九 二元一次方程组的新定义问题】
1．我们定义一个新运算，规定：，例如：．若，，分别求出x和y的值．
【答案】
【分析】本题考查的是新定义运算的含义，二元一次方程组的解法，根据新定义建立方程组，再解方程组即可．
【详解】解：，
，，
，，
，
解得：．
2．对于任意实数、，定义新运算：，其中、为常数，等号右边为通常的加法、减法和乘法运算，例如．若，．求的值．
【答案】
【分析】本题主要考查了解二元一次方程组，新定义．根据新定义可得方程组，解方程组求出a、b的值，再根据新定义代值计算即可．
【详解】解：∵，，
∴，
∴，
∴．
3．对有理数x、y，定义新运算，其中a，b为常数，已知，．
(1)求a，b的值；
(2)如果，求y的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】此题考查了解列、解二元一次方程组，弄清题中的新定义运算规则列出方程组是解本题的关键，
（1）根据题意得出关于a、b的方程组，求出的值即可；
（2）根据得出关于y的方程，求出y的值即可．
【详解】（1）解：由题意得，
解得；
（2）由（1）知，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
解得．
4．对a、b定义一种新运算：.
如：
(1)计算： .
(2)若，求m、n的值.
(3)若，求x的取值范围.
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】本题考查了新定义下的运算，掌握新定义下的运算，加减消元法，解一元一次不等式是解题的关键．
（1）根据新定义进行计算即可得；
（2）相据新定义进行计算得，再运用加减消元法进行计算即可得；
（3）根据题意计算得，去括号，移项，系数法为1进行计算即可得．
【详解】（1）解：，
故答案为：；
（2）解：
整理得，
，得，
，
将代入③，得，
，
∴方程组的解集为
（3）解：
．
5．对x，y定义一种新运算F，规定：（其中m、n均为非零常数），这里等式右边是通常的四则运算，例如：．已知：，．
(1)求m，n的值；
(2)求关于t的不等式组的解集．
【答案】(1)
(2)
【分析】题目主要考查二元一次方程组的应用及不等式组的应用，理解题目中新定义的运算是解题关键．
（1）按新定义代入计算，求出m与n的值即可；
（2）根据题中新定义化简得出新不等式组，解不等式组求出解集即可．
【详解】（1）解：根据题意可得，即；
解得：；
（2）∵，
∴，；
根据题意可得：
；
，
解得：．
6．规定新运算：，其中、是常数．已知，．
(1)求a、b的值；
(2)若，求，的值；
(3)若，，且，求的最大整数值．
【答案】(1)，；
(2)，
(3)1
【分析】本题考查了解二元一次方程组，解一元一次不等式，一元一次不等式的整数解等知识点，能把二元一次方程组转化成一元一次方程是解此题的关键．
（1）根据新运算得出方程组，再①②得出，求出，再把代入①求出即可；
（2）根据新运算得出方程组，再①②得出，求出，再把代入②求出即可；
（3）根据新运算得出方程组，再①②得出，根据求出的范围，再求出最大整数解即可．
【详解】（1）解：∵，，，
，
①②，得，
解得：，
把代入①，得，
解得：；
（2）解：由（1），，
∴，
，
，
①②，得，
解得：，
把代入②，得，
解得：；
（3）解：，，，
，
①②，得，即，
，
，
，
的最大整数值是1．
7．阅读理解：
已知实数，满足，，求和的值．仔细观察两个方程未知数的系数之间的关系，本题可以通过适当变形整体求得代数式的值，如由可得，由可得．这样的解题思想就是通常所说的“整体思想”．利用“整体思想”，解决下列问题：
(1)已知二元一次方程组，则________，_______；
(2)对于实数，，定义新运算：，其中，，是常数，等式右边是实数运算．已知，，求的值．
【答案】(1)，3．
(2)54
【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，熟练掌握整体思想是解题的关键．
（1）利用①②可求出的值，利用①②进行计算可求出的值；
（2）根据题意可得，然后由④-③可得利用整体的思想求出．
【详解】（1）解：
由①②得：，
由①②得：，
∴，
∴．
故答案为：，3．
（2）∵，，，
则
由④-③可得：
即
∴．
8．阅读下列材料．完成后面的任务：
新定义运算 新定义运算是指用一个符号和已知运算表达式表示一种新的运算，新定义运算是一种特别设计的计算形式，它使用一些特殊的运算符号，这是与四则运算中的加减乘除符号不一样的，新定义的算式中有括号的，要先算括号里的，但它在没有转化前，是不适合各种运算的．现在我们新定义一种运算：若，，则．如：，，则．
任务：
(1)若，，则，求x的值．
(2)已知，，则，且，，，求x，y的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据新定义运算的法则将m、n模式化代入表达式，然后求解即可；
（2）根据新定义运算的法则列出方程组，然后求解即可．
【详解】（1）解：根据新定义运算：若，，则．
若，，则，
∴．
（2）解：根据新定义运算：若，，则．
∵，，
∴，
∵且，，
∴，
联立求解方程组，
∴．
【点睛】本题考查新定义下的代数式运算和方程、二元一次方程组的解法，正确理解新定义下的运算方式和掌握相关运算法则和公式是解题的关键．
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