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2025 年上海市杨浦区高考数学二模试卷
一、单选题：本题共 4 小题，共 20 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.△ 中，“ = ”是“ = ”的( )条件．
A.充分不必要 B.必要不充分 C.充要 D.既不充分也不必要
2.3 名同学报名参加社团活动，有 4 个社团可以报名，这些社团招收人数不限，但每位同学只能报名其中 1
个社团，则这 3 位同学可能的报名结果共有( )种．
A. 6 B. 24 C. 64 D. 81
3.已知 、 、 是单位圆上的三个点，若| | = 2，则 的最大值为( )
A. 2 B. 1 + 22 C. 2 + 1 D. 2 1
4.设 是由 个二次函数组成的集合，对于连续的正整数 1，2，3，…，2025，存在二次函数 = ( ) ∈ (1 ≤
≤ 2025, ∈ , = ( )可重复)，使得 1(1)， 2(2)， 3(3)，…， 2025(2025)是等差数列，则 的最小可能
值是( )
A. 507 B. 1013 C. 1519 D. 2025
二、填空题：本题共 12 小题，共 60 分。
5.已知集合 = {1,2,3,4}， = { |1 < < 4}，则 ∩ = ______．
6 +1.不等式 2 < 0 的解集为______．
7.函数 = 2 的最小正周期是______．
8 = 3.已知 5，则 2 = ．
9.已知 > 0， > 0 且 + = 2，则 的最大值为______．
10.在( + 1 )
6的二项展开式中，常数项的值为______．
11.已知复数 满足| 1 + | = 1，其中 为虚数单位，则| |的最小值为______．
12.不等式| + 3| + | | > 6 对一切实数 恒成立，则实数 的取值范围为______．
13.植物社团的同学观察一株植物的生长情况，为了解植物高度 (单位：厘米)与生长期 (单位：天)之间的
关系，随机统计了某 4 天的植物高度，并制作了如下对照表：
生长期 3 9 11 17
植物高度 2.4 3.4 3.8 5.2

由表中数据可得回归方程 = + 中 = 0.2，试预测生长期是 30 天时，植物高度约为______厘米. ( =
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=1
, = ) =1 2 2
14.如图，点 、 分别是直角三角形 的边 、 上的点，斜边 与扇
形的弧 相切，已知 = 4， = 2，则阴影部分绕直线 旋转一周所形
成的几何体的体积为______．
15.如图，阿基米德椭圆规是由基座、带孔的横杆、两条互相垂直的空槽、
两个可动滑块 、 组成的一种绘图工具，横杆的一端 上装有铅笔，假
设两条互相垂直的空槽和带孔的横杆都足够长，将滑块 、 固定在带
孔的横杆上，令滑块 在中一条空槽上滑动，滑块 在另一条空槽上滑
动，铅笔 随之运动就能画出椭圆.当 、 之间的距离为 14 厘米时，若
4
需要画出一个离心率为5的椭圆，则 、 之间的距离为______厘米．
16. 由若干个多边形所覆盖的区域，称为这些多边形的并集，例如图中，梯形
是△ 与矩形 的并集.已知 是正整数，在平面直角坐标系 中，
直线 的方程为 = 2 + ，若直线 交 轴于点 ，交 轴于点 ，则
△ 1 1、△ 2 2、…、△ 10 10的并集，其面积为______．
三、解答题：本题共 5 小题，共 70 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题 14 分)
已知函数 = ( )是定义在 上的偶函数．
(1)当 ∈ [0, + ∞)时， ( ) = log2( + 1)，求 ∈ ( ∞,0)时， = ( )的表达式；
(2)当 ∈ [0, + ∞)时， ( ) = 3 + 2025 ，若实数 满足 (3 2) < ( 1)，求 的取值范围．
18.(本小题 14 分)
座落于杨浦滨江的世界技能博物馆由百年历史文化保护建筑改建而成，其中的支柱保留了原有的正八棱柱，
既考虑了结构力学优势，又体现了对历史建筑的尊重和传承.如图， 1、 分别为正八棱柱的上下两个底面
的中心，已知 = 1， 1 = 4．
(1)求证： ⊥ 1 ；
(2)求点 到平面 1的距离．
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19.(本小题 14 分)
为弘扬中华民族传统文化、增强民族自豪感，某学校开展中华古诗词背诵比赛，分为初赛和复赛.全校同学
都参加了初赛，并随机抽取一个班级进行初赛成绩统计，已知该班级共有 40 位学生，他们的初赛分数的频
率分布直方图如图所示：
(1)计算 的值，并估计该校这次初赛的平均分数．
(2)初赛分数达到 80 及以上的同学，称为优秀参赛选手，现从班级中随机选出 2 位同学，用 代表其中的优
秀参赛选手人数，求 的分布；
(3)为增加比赛的趣味性，复赛规则如下：复赛试题将从题库中随机抽取，每位参赛选手将有机会回答填空、
选择和简答各 1 题；每答对 1 题得 1 分，答错或不答得 0 分，每位选手可以自行选择回答问题的顺序，若
答对一题可继续答下一题，直到 3 题全部答完；若答错或不答则比赛结束.例如：选手甲可自行按“简答一
填空一选择”顺序答题，甲答对第一题得 1 分，并继续回答第二题且答错得 0 分，结束比赛，总分为 1 分．
小杨作为优秀参赛选手，代表班级参加复赛.根据他初赛的答题正确频率，可估计他填空、选择和简答的答
题正确概率分别为：
题型 填空 选择 简答
答题正确概率 80% 90% 80%
若小杨每次答题的结果都相互独立，那么为尽量在比赛中获得较高分数，小杨应该采用怎样的答题顺序？
请说明理由．
20.(本小题 14 分)
2
已知双曲线 的标准方程为 2 2 = 1，点 是双曲线 右支上的一个动点．
(1)求双曲线 的焦点坐标和渐近线方程；
(2)过点 分别向两条渐近线作垂线，垂足为点 1， 2，求 1 2的值；
(3)若| | > 2，如图，过 作圆 ： 2 + 2 = 2 的切线 ，切点为 ，交双曲线 的左支于点 ，分别交两
条渐近线于点 、 .设| | = | |，求实数 的取值范围．
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21.(本小题 14 分)
已知函数 = ( )的导函数为 = ′( )，若函数 = ( )的定义域为 ，且不等式 ( ) > ′( )对任意 ∈
成立，则称函数 = ( )是“超导函数”．
(1)判断 ( ) = + 1 是否为“超导函数”，并说明理由；
(2)若函数 = ( )与 = ( )都是“超导函数”，且对任意 ∈ ，都有 ′( ) > 0、 ′( ) < 0，记 ( ) =
( ) ( )，求证：函数 = ( )是“超导函数”；
(3)已知函数 = ( )是“超导函数”且 (1) = ，若有且仅有一个实数 满足 ( + 1 ) = +1 ，
求 的取值范围．
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参考答案
1.
2.
3.
4.
5.{2,3}
6.( 1,2)
7.
8. 725
9.1
10.15
11. 2 1
12. ∈ (3, + ∞)或 ∈ ( ∞, 9)
13.7.7
14.2 33
15.21
16. 7671024
17.解：(1)因为 = ( )是定义在 上的偶函数，
当 ∈ [0, + ∞)时， ( ) = log2( + 1)，
则 ∈ ( ∞,0)时， > 0，
所以 ( ) = log2( + 1) = ( )，
即 < 0 时， = ( ) = log2( + 1)；
(2)当 ∈ [0, + ∞)时， ( ) = 3 + 2025 单调递增，
又 ( )为偶函数，故 < 0 时， ( )单调递减，
若实数 满足 (3 2) < ( 1)，则|3 2| < | 1|，
1 3 1 3
解得2 < < 4，即不等式解集为{ | 2 < < 4 }.
18.解：(1)证明：如图，
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连接 ，因为底面为正八边形，所以 ⊥ ，
又正八棱柱侧棱 1 ⊥底面 ， 底面 ，
所以 1 ⊥ ， 1 ∩ = ， 1， 平面 1，
所以 ⊥平面 1，
又 1 平面 1，所以 ⊥ 1F.
(2)如图，
连接 ， 1，
因为 = 1， 1 = 4，
由正八边形 的性质可得∠ = 360°8 = 45°， = = 1，
1为 1到底面 的距离， 1 = 4，
所以 =
1
2 × 1 × 1 =
1
2，
由勾股定理可得， 2 = 2 + 2 = 2，
又 2 = 2 = 2，所以 1 = 2 + 16 = 18 = 3 2，
又 = 2 = 2，所以 1 = 4+ 16 = 20 = 2 5，
因为 2 + 2 = 21 1，所以 ⊥
1
1，即 1 = 2 × 2 × 3 2 = 3，
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设点 到平面 1的距离为 ，
则 1 1 = 1 ，即3 ×
1
1 = 3 × × 4，即 3 = 2
2
，解得 = 3，
2
所以点 到平面 1的距离为3．
19.解：(1)由频率分布直方图中小矩形的面积和为 1 可得：20 × (0.005 + + 0.020 + 0.015) = 1，
解得 = 0.010；该校这次初赛的平均分数为 20 × (30 × 0.005 + 50 × 0.010 + 70 × 0.020 + 90 × 0.015) =
68．
(2)初赛分数达到 80 及以上的同学为 0.015 × 20 × 40 = 12 人，
非优秀为 28 人，由题意可得 的可能取值为 0，1，2，
2 28×27
( = 0) = 28 = 2 63
2 40×39
= ，
40 1302
1 1
( = 1) = 28 12 = 28×12 = 56 28
2 40×3940 130
= 65，
2
2 12×11 ( = 2) = 12 = 2 11
2 40×39
=
40 130
，所以 的分布列为：
2
0 1 2
5 28 11
65 130
(3)按照不同题目顺序分类讨论：填空，选择，简答：
得零分的概率：1 0.8 = 0.2，得一分的概率：0.8 × (1 0.9) = 0.08，
得两分的概率：0.8 × 0.9 × 0.2 = 0.144，
得三分的概率：0.8 × 0.9 × 0.8 = 0.576，
期望为 = 0 × 0.2 + 1 × 0.08 + 2 × 0.144 + 3 × 0.576 = 2.096 分；
因为填空和简答的正确率相同，所以“简答，选择，填空”的期望与之相同；
填空，简答，选择：得零分的概率：1 0.8 = 0.2，
得一分的概率：0.8 × 0.2 = 0.16，
得两分的概率：0.8 × 0.8 × 0.1 = 0.064，
得三分的概率：0.8 × 0.8 × 0.9 = 0.576，
期望为 = 0 × 0.2 + 1 × 0.16 + 2 × 0.064 + 3 × 0.576 = 2.016 分；
因为填空和简答的正确率相同，所以“简答，填空，选择”的期望与之相同；
选择，填空，简答：得零分的概率：1 0.9 = 0.1，
得一分的概率：0.9 × (1 0.8) = 0.18，
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得两分的概率：0.9 × 0.8 × 0.2 = 0.144，
得三分的概率：0.9 × 0.8 × 0.8 = 0.576，
期望为 3 = 0 × 0.1 + 1 × 0.18 + 2 × 0.144 + 3 × 0.576 = 2.196 分；
因为填空和简答的正确率相同，所以“选择，简答，填空”的期望与之相同；
所以 3 > 1 > 2小杨应采用“选择，填空，简答”或“选择，简答，填空”的顺序．
2
20.解：(1)双曲线 的标准方程为 2 = 1，2
则 = 3，
所以双曲线 的焦点坐标为( ± 3, 0)，渐近线方程为 =± 2 ；
(2)设 ( , )，则 2 2 2 = 2，
= 2
由 2 ， = 2 ( )
= + 2
解得 3 ，
= 2 +2 3
所以 ( + 2 , 2 +2 1 ，3 3 )
= 2
由 2 ， = 2 ( )
= 2
解得 3 ，
= 2 +2 3
所以 2(
2 2 +2
3 , 3 )，
所以 = ( 2 + 2 , 2 ， 2 2 2 1 ，3 3 ) 2 = ( 3 , 3 )
所以 = ( 2 2 )( 2 2 ) + ( 2 )( 2 )1 2 9 9
4 2= 2
2+ 2 2 2 2 2
9 =
2 = 2，9 9
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即 1
2
2 = 9；
(3)设切点 ( , )，则切线 的方程为 + = 2，且 2 + 2 = 2，
2 + 2 = 2 2 = 2 | | < 2 3
由 2 3 3
2
，解得 ，所以 ，
2 = 1
2 = 4 63 3 < | | ≤ 2
设 ( 1, 1)， ( 2, 2)， ( 3, 3)， ( 4, 4)，
+ = 2
由 2 2 ，消去 得(2
2 2) 2 + 4 4 2 2 = 0，
2 = 1
1 + =
4
2 2 2 2
所以 2 ；
1 =
4 2
2 2 2 2
+ = 2
由 22 ，消去 得(2
2 2) 2 + 4 4 = 0，
2 = 0
3 + 4 =
4
所以 2
2 2
= 4
；
3 4 2 2 2
| | = 12 + ( )2| |, | | = 12 + ( 所以 2 1 2 ) | 3 4|，
( 4 )2+16+8
2
所以 | | | | ( 1+ 2)
2 4
1 2 1 2 2
2 2 2 2 2 16 2+(16+8 2)(2 2 2) 32 2+16 4 8 2 2 = | | = | = = = =3 4| ( + )2 4 ( 4 16 23 4 3 4 )2+ 2 2 2 32 2 2 2 2 2 2 16 +16(2 )
= 1 + 1 2 1 2，2 4
又 2 = 2 2，
所以 1 + 1 2 1 22 4 = 1 +
1 2 1 2 1 3 2，2 4 (2 ) = 2+ 4
因为 6
2
< | | ≤ 2，所以3 <
2 ≤ 2 1 3，所以 1 < 2+ 4
2 ≤ 2，
3
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所以 1 < 1 3 2 ，2 + 4 ≤ 2
即 = 1 + 1 2 1 22 4 ∈ (1, 2]．
21.解：(1)函数 ( ) = + 1，
求导得 ′( ) = ，
则 ( ) = + 1 > = ′( )，
所以 ( )是“超导函数”．
(2)证明：函数 ( ) = ( ) ( )，
求导得 ′( ) = ′( ) ( ) + ( ) ′( )，
则 ( ) ′( ) = ( ) ( ) ′( ) ( ) ( ) ′( ) = [ ( ) ′( )][ ( ) ′( )] ′( ) ( )，
由函数 = ( )与 = ( )都是“超导函数”，
得 ( ) ′( ) > 0， ( ) ′( ) > 0，
由对任意 ∈ ，都有 ′( ) > 0， ′( ) < 0，得 ′( ) ′( ) < 0，
因此 ( ) ′( ) > 0，即 ( ) > ′( )，
所以函数 = ( )是“超导函数”．
(3)由函数 = ( )是“超导函数”，得对任意 ∈ ， ( ) > ′( )，
令 ( ) = ( ) ( ) ′( ) ，求导得 ′( ) = > 0，
函数 ( )在 上单调递增，且 (1) = 1，
由 ( + 1 ) = +1 ，
( +1 )
得 +1 = 1，
即 ( + 1 ) = (1)，
因此 + 1 = 1 = ，即 ，
令 ( ) = ，
由有且仅有一个实数 满足 ( + 1 ) = +1 ，
得直线 = 与函数 = ( )的图象有且只有 1 个交点，
( ) = 1 ′ 2 ，当 0 < < 时， ′( ) > 0；当 > 时， ′( ) < 0，
1
函数 ( )在(0, ]上单调递增，函数值的集合为( ∞, ],
在[ , + ∞) 1上单调递减，函数值的集合为(0, ],
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因此当 ≤ 0 1或 = 时，直线 = 与函数 = ( )的图象有且只有 1 个交点，
所以 1的取值范围{ | ≤ 0 或 = }.
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