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2025 年广西来宾市高考数学诊断试卷（4 月份）
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知|1 + |2 = 3 + 4 ，则 的虚部为( )
A. 3 B. 32 2 C. 2 D. 2
2.已知各项均为正数的等比数列{ }， 7 = 4，则log2 3 + log2 11 =( )
A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
3.巴黎奥运会在 2024 年 7 月 27 日至 8 月 12 日举行，在这期间，中国视听大数据( )显示，直播总观
看户次超 46 亿，分天观看户次(亿)分别为：1.88，2.25，2.21，2.35，2.74，2.24，2.59，5.53，4.39，4.22，
3.55，2.74，3.64，2.88，2.03，1.62，0.08.则这组数据的第 25 百分位数为( )
A. 2.03 B. 2.21 C. 2.12 D. 3.55
4.已知直线 的一个方向向量为 = (2,1)，则过点 (1, 1)且与 垂直的直线方程为( )
A. 2 3 = 0 B. 2 + 1 = 0 C. 2 + 3 = 0 D. 2 + 1 = 0
5.在平行六面体 1 1 1 1中， = = 1， 1 = 2，∠ = ∠ 1 = ∠ 1 = 60°，则直线
1， 1 所成角的余弦值为( )
A. 21 B. 7 3 3 216 6 C. 14 D. 14
6.“ ∈ ，使 2 4 3 > 0”的一个充分不必要条件是( )
A. ≤ 0 B. < 4 43 C. ≥ 1 D. < 3或 ≥ 0
2 2
7 .已知双曲线 ： 2 2 = 1( > 0, > 0)的左、右焦点分别为 1， 2，直线 与 的两条渐近线分别交于 ，
两点， 为坐标原点，若 2 2 = ， ⊥ ，则 的离心率为( )
A. 2 B. 3 C. 5 D. 102
8.函数 ( ) = ln|1 | + 2 2 ，若 = ( 2 33 )， = ( 2 )， = (log23)，则 ， ， 的大小关系是( )
A. > > B. > > C. > > D. > >
二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9 1.已知(2 ) 的二项式系数和为 64，则( )
A. = 6 B.常数项是第 3 项
C.二项式系数最大值为 20 D.所有项系数之和等于 1
10 1 .已知数列{ }满足 1 = 2， +1 =

2 +3， ∈ ，则( )
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A. = 13 26
B. 1 1 1 1若 +1
+
2
+ + = 36，则 = 33
C. = 3 1
D.若数列{ }

满足
1 1
3 = +1，记 为{ }的前 项和，则 = 4 2 3 +1 2
11.已知抛物线 1： = 4
2的焦点为 ，准线为 ， 与 轴的交点为 ，过 的直线与 分别交于 ， 两点，则
以下选项正确的是( )
A. 坐标为(1,0)
B.当 ⊥ 时，| | = 4
C.若| | | | = 16，则 △ = 8 2
D.过点 作与 垂直的直线与 交于 、 两点，则四边形 面积的最小值为 32
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12.已知 = (1,2), = (3, 2)，则 在 上的投影向量为______(用坐标表示)．
13.已知正四面体 中， = 2 3，则该四面体内半径最大的球的表面积为______．
14.已知函数 ( ) = sin + cos ，其中 = 2 ， ∈ ，记函数 2 ( )的最小值为 ，若 > 0， ∈ ，

都有 2 2 + 2 > (2 1)，则 的取值范围为______．
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题 13 分)
记△ 的内角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，已知 2 = ( + )2 ．
(1)求 ；
(2)若 = 3，求△ 的周长的最大值；
(3)若△ 的面积为 3， 为 的中点，且| | = 2 3，求 的长．
16.(本小题 15 分)
某所学校进行知识竞赛，最终甲乙同学进入决赛，争夺冠军，决赛一共有文化、科技、体育三个项目，比
赛采取每个项目中回答对问题多的那个同学在该项目获胜并且获得 20 分，没获胜的同学得 0 分，三个项目
4 1 2
比赛结束，总得分高的同学获得冠军，已知甲同学每个项目获胜的概率分别为5 , 2 , 3，比赛没有平局，且每
个项目比赛相互独立．
(1)求乙同学总得分为 40 分的概率；
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(2)用 表示甲同学的总得分，求 的分布列与期望；
(3)判断甲乙两名同学谁获得冠军的概率大．
17.(本小题 15 分)
如图，梯形 中， 为 上一点， = 2， = 2， = 2 3，且 ⊥ ， / / ，将△
沿着 翻折至 所在位置，使得平面 ⊥平面 ，连接 ， ，得到四棱锥 ， 为
的中点．
(1)若 为 的中点，证明： / /平面 ；
(2)在线段 上是否存在点 ，使得 ⊥ ，若存在，求直线 与平面 所成角的正弦值，若不存在，
请说明理由．
18.(本小题 17 分)
2 2
已知椭圆 ： 2 + 2 = 1( > > 0)， 为 的右焦点，短半轴长为 1， 为 上动点，| |的最小值为 2 3．
(1)求 的方程；
(2)已知点 ( 3, 1)，点 为 外一点，直线 交 于 ， 两点，
( ) 为原点，若| + | = | |，求直线 的方程；
( ) 记直线 ， ， 的斜率分别为 1， 2， 3，若 1 2 = 2，求△ 的面积．3 2
19.(本小题 17 分)
对 1， 2， ， ∈ [ , ]
+ + + ( )+ ( )+ + ( )
，若函数 ( )在[ , ]有不等式 ( 1 2 ) ≤ 1 2 ，则称函数 ( )
[ , ] ( 1+ + + 是在 上的“凹函数”，反之，若不等式 2 ) ≥
( 1)+ ( 2)+ + ( )
，则称函数 ( )是在[ , ]
上的“凸函数”，当且仅当 1 = 2 = = 时等号成立.也可理解为若函数 ( )在[ , ]上可导， ′( )为
( )在[ , ]上的导函数， ″( )为 ′( )在[ , ]上的导函数，当 ″( ) ≥ 0 时，函数 ( )是在[ , ]上的“凹
函数”，反之，当 ″( ) ≤ 0 时，则称函数 ( )是在[ , ]上的“凸函数”．
(1)判断函数 ( ) = ln( + 1) ( > 0)的凹凸性；
(2)若 > 0( = 1,2, , ),

=1 = 1,令 ( ) =
1
1 +
2
1 + + ( ≥ 2)，求 ( )的最小值 ；1 2 1
1 1 1
(3) 为(2)问所得结果，证明不等式：( 1) 2 <
1+2+3+ + 1( ≥ 2, ∈ )．
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参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.( 15 ,
2
5 )
13.2
14.( ∞,2 2)
15.解：(1) ∵ 2 = ( + )2 ，
∴ 2 = 2 + 2 + ，
又据余弦定理 2 = 2 + 2 2 ，
∴ = 12，
∵ ∈ (0, )，
∴ = 2 3；
(2)由 = 3 及已知得 9 = ( + )2 ，
又∵ 2 ≤ + ≤ ( + )22 (当且仅当 = 时，等号成立)，
∴ ( + )2 9 = ≤ ( + )22 ，可得 + ≤ 2 3(当且仅当 = 时，等号成立)，
∴ △ ≤ 3 + 2 3，最大值为 3 + 2 3；
(3) 1△ = 2 = 3 = 4，
∴ 2 = 2 + 2 2 12 = 2 + 2 + 4 2 + 2 = 8，
解得 = = 2，
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∴ ⊥ ，
又 = 3，
∴据勾股定理得| | = 1．
16.解：(1)设三个项目乙获胜的事件分别为 1， 2， 3，
40 1 1 1乙同学总得分 分记为事件 ，则 ( 1) = 5， ( 2) = 2， ( 3) = 3，
且 = 1 2 3 + 1 2 3 + 1 2 3，
∴ ( ) = 1 1 2 1 1 1 4 1 1 75 × 2 × 3+ 5 × 2 × 3+ 5 × 2 × 3 = 30．
(2)由题可知 = 0，20，40，60，
( = 0) = 1 × 1 × 15 2 3 =
1
30，
( = 20) = 4 × 15 2 ×
1 + 1 × 1 × 1 1 1 2 73 5 2 3 + 5 × 2 × 3 = 30，
( = 40) = 45 ×
1 × 1 + 4 × 1 × 22 3 5 2 3 +
1 × 1 × 2 75 2 3 = 15，
( = 60) = 4 × 1 × 2 45 2 3 = 15，
甲总得分的分布列：
0 20 40 60
1 7 7 4
30 30 15 15
( ) = 0 × 1 + 20 × 7 + 40 × 7 + 60 × 4 = 11830 30 15 15 3 ．
(3)甲获胜的概率为 ( = 40) + ( = 60) = 715 +
4 11
15 = 15，
11 4 11 4
乙获胜的概率为 1 15 = 15，因为15 > 15，所以甲获胜概率更大．
17.(1)证明：在梯形 中， / / ，
所以四边形 是平行四边形，所以 = = 2 3，
取 的中点 ，连接 ， ，
因为 是 的中点，
所以 // ， = 12 ，
又 // ，且 为 的中点，
所以 // ， = ，即四边形 是平行四边形，
所以 // ，
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又 平面 ， 平面 ，所以 //平面 ．
(2) 解：翻折前 ⊥ ，∠ = ∠ = 6，
翻折后 ⊥ ，
因为平面 ⊥平面 ，平面 ∩平面 = ， 平面 ，
所以 ⊥平面 ，
以 为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，
则 (0,0,0)， ( 3, 1,0)， (3 3, 1,0)， (0,0,2)， (2 3, 0,0)，
所以 = (3 3, 1, 2)， = ( 2 3, 0,2)， = ( 3, 1,0)， = ( 3, 1,2)，
设 = = (3 3, 1, 2)， ∈ [0,1]，则 = + = (3 3 2 3, , 2 2 )，
因为 ⊥ ，
所以 = 3(3 3 2 3) + = 0 3，解得 = 5，
所以 = 35 (3 3, 1, 2)，
所以 = + = ( 4 35 ,
2 , 4 ，5 5 )
易知平面 的一个法向量为 = (0,1,0)，
设直线 与平面 所成角为 ，
| | |
2
5| 17
则 = |cos < ， > | = | = =| | | 48+ 4
，
25 25+
16
25×1
17
故直线 与平面 所成角的正弦值为 17．
17
18.解：(1)设椭圆半焦距为 ，短半轴长为 1，依题意有| | = = 2 3，
= 2 3 = 2
则 = 1 ，解得 ，
2 = 2 + 2
= 3
2
所以椭圆方程为 4 +
2 = 1．
(2)( )由(1)可得椭圆右焦点 ( 3, 0)，则设直线 的方程为 = + 3，
= + 3
联立 2 ，消去 得( 2 + 4) 2 + 2 3 1 = 02 ，
4 + = 1
设点 ( 1, 1)， ( 2, 2)，则 1 + 2 =
2 3 1
2+4 , 1 2 = 2+4，
因为| + | = | |，所以( + )2 = ( )2，化简得 = 0，
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所以 1 2 + 1 2 = 0，即( 2 + 1) 1 2 + 3 ( 1 + 2) + 3 = 0，
2 2
即 ( +1) 6 11 2+4 2+4 + 3 = 0，解得 =± 2 ，
11
则直线 的方程为： + 2 3 = 0
11
或 2 3 = 0．
( )①当直线 斜率为 0 时，不妨设 ( 2,0)， (2,0)， ( , 0)，
= = 1 1 1则 1 2 3 = 2 3， 2 = = 2 3 = 2 3， 3 = = 3 ，
1 因为 2 = 2，所以 2 3 = 1 + 2，则 =
4 3 1 3 3
3 ，所以 △ =3 2 2
| | × 3 = 6 ；
0 ( , ) ( ) = = 1 1②当直线 斜率不为 时，设 0 0 ，由 得 1 3 =
1 1
1
，
1
2 = =
2 1 = 2 1 ，2 3 2
0 3 1
= = 0 1 1 13 = = 0 3 0 3 0 3
，
1 则 2 3
= 2，则 2 3 = 1 + 2，
2
+ = 1 1 + 2 1 = 2 所以 1 2 ( 1+ 2) 21 2 = 2 3，1 2 1 2
所以 2( 1 1 ) = 2 2 3 = 4 3 ，解得 00 3
3，
4
所以点 在定直线 ： = 3 3上， 平行直线 ，
3 1 3 3
点 到直线 的距离 = 3 ，所以 △ = 2 | | × 3 = 6 ，
3
综上可知，△ 的面积为 6 ．
19.解：(1) 1由题 ′( ) = +1 1, ″( ) = (
1
+1 )
2，即 ″( ) < 0，
所以 ( )为(0, + ∞)的凸函数；
(2) 2 设函数 ( ) = 1 ，则 ′( ) = 3，2(1 )2
3 1
( ) = (1 )2+3(1 )2″ 4(1 )3 > 0，所以 ( )在(0,1)为“凹函数”，
1+ 2+ +
∴ 1 1当 ≥ 2 时， 1 2 ( 1 + 1 + + ) ≥ = ，1 2 1 1 1+ 2+ + ( 1)
( 1 即 2 1 +1 1
+ + ) ≥2 1 1
，
当且仅当 1 = 2 = 3 = = 时，等号成立，
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∴ ( ) 最小值为 = 1( ≥ 2)；
(3) =
1 1 1
证明： 2 1 ( 1) = 即证 <
1+2+3+ + 1，
1 1 1
两边取对数，即证： < 1 + 2+ 3 + + 1，
∵ ( ) = ln( + 1) 1 的导数为 ′( ) = 1 +1 = +1，
当 > 0 时， ′( ) = +1 > 0 恒成立，所以 ( )在(0, + ∞)上为单调递增函数，
所以 ( ) > (0) = 0 ln( + 1) < ，
令 = 1 ，所以 ln(
1 + 1) < 1 ln( + 1) <
1
，
ln( ) ln( 1) < 1 1
ln( 1) ln( 2) < 1
所以 2 ，
3 2 < 12
2 1 < 1
累加可得： < 1 + 1+ 1 12 3 + + 1，证得不等式成立．
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