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同步探究学案
课题 10.2.1 代入消元法（第2课时） 单元 第十章 学科 数学 年级 七年级
学习 目标 经历具体问题解决的过程，感悟消元想想，会用代入法解较复杂的二元一次方程组。
重点 体会消元思想，能用代入法解较复杂的二元一次方程组。
难点 体会消元思想，能用代入法解较复杂的二元一次方程组。
探究过程
导入新课 【引入思考】 1．将未知数的个数由多化少、逐一解决的思想，叫做_______思想． 2．把二元一次方程组中一个方程的一个未知数用含_______________的式子表示出来，再______另一个方程，实现消元，进而求得这个二元一次方程组的解，这种解二元一次方程组的方法叫作______消元法，简称代入法． 3．代入法解二元一次方程组的一般步骤： _____ _____ _____ _____ _____ 4．（1）当方程组中含有用一个未知数表示另一个未知数的式子时，可以_________________求解； （2）若方程组中有未知数的系数为 ___________的方程，则选择系数为 ___________的方程进行变形比较简单。
新知探究 本节课来研究： 本节我们继续研究用代入法解未知数的系数不是1或－1二元一次方程组。 例1：用代入法解方程组 分析：方程①中x的系数的绝对值较____，可以考虑在方程①中用含____的式子表示x，再代入方程②． 例2：快递员把货物送到客户手中称为送件，帮客户寄出货物称为揽件．某快递员星期一的送件数和揽件数分别为120件和45件，报酬为270元；他星期二的送件数和揽件数分别为90件和25件，报酬为185元．如果这名快递员每送一件和每揽一件货物的报酬分别相同，他每送一件和每揽一件的报酬各是多少元？ 分析：由题意可知， 送120件的报酬＋揽____件的报酬＝270， 送____件的报酬＋揽25件的报酬＝185． 由此可以列出方程组，通过解方程组解决问题．
课堂练习 【知识技能类练习】 必做题： 1．在方程2x－3y＝6中，用含有x的式子表示y，得（　　）． A．y＝x－6 B．y＝－x－6 C．y＝x－2 D．y＝－x＋2 2．小明到商店购买活动奖品，购买20支铅笔和10本笔记本共需110元，但购买30支铅笔和5本笔记本只需85元．设每支铅笔x元，每本笔记本y元，则可列方程组为（　　）． A． B． C． D． 3．解方程组：（1） （2） 选做题： 4．用代入消元法解二元一次方程组，下列变形错误的是（ ） A．由①，得 B．由②，得 C．由①，得 D．由②，得 【综合拓展类练习】 5．先阅读材料： 解方程组 解：由①得③， 把③代入②中得，解得． 把代入③中得，即． 故方程组的解为， 这种方法称为“整体代入法”．
请用上述方法解方程组．
课堂小结 说一说：今天这节课，你都有哪些收获？
作业设计 【知识技能类作业】 1．已知方程，用含x的式子表示y，可表示为（ ） A． B． C． D． 2．解方程组： 3．化肥厂往某地区运送了两批化肥，第一批装满了9节火车车厢和 25 辆卡车，共运走了 640 t；第二批装满了 12 节火车车厢和 10 辆卡车，共运走了 760 t．平均每节火车车厢和每辆卡车分别装运化肥多少吨？ 选做题： 4．已知，求x，y的值． 【综合拓展类作业】 5．某校准备组织师生共300人参加一项公益活动，学校联系租车公司提供车辆，该公司现有A，B两种座位数不同的车型，如果租用A型车3辆，B型车3辆，则空余15个座位；如果租用A型车5辆，B型车1辆，则有15个人没座位． (1)求A，B两种车型各有多少个座位． (2)若最终租用了两种车型的车，且座位恰好坐满，则两种车型的车各租用了多少辆？
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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分课时教学设计
第三课时《10.2.1 代入消元法（第2课时）》教学设计
课型 新授课 复习课口 试卷讲评课口 其他课口
教学内容分析 本节课的主要内容是通过代入消元法解较复杂的二元一次方程组并运用二元一次方程组解决实际问题。消元是解二元一次方程组的基本思想。代入法是把方程组中一个方程的一个未知数用含另一个未知数的式子表示出来，代入另一个方程，从而实现消元。这种方法通过一系列明确的步骤来实现消元，进而求出二元一次方程组的解，体现了程序化的思想，有利于培养学生的运算能力。同时，通过运用二元一次方程组解决实际问题，提高学生的应用能力。
学习者分析 在上节课的学习中，学生已掌握了运用代入消元法解未知数系数是1或-1的二元一次方程组的解法，能够利用化归思想解决实际问题，这些知识和能力的储备，为本节课的开展做好了准备。同时，七年级学生的抽象思维能力和逻辑思维能力较差，这也导致在课堂教学中，显得枯燥、乏味，加上部分学生的运算能力不强，使得本课内容的教学难度增大，因此，教学中要紧密联系学生已有知识，创设适宜的问题情境，提高学生的学习兴趣。
教学目标 经历具体问题解决的过程，感悟消元想想，会用代入法解较复杂的二元一次方程组。
教学重点 体会消元思想，能用代入法解较复杂的二元一次方程组。
教学难点 体会消元思想，能用代入法解较复杂的二元一次方程组。
学习活动设计
教师活动学生活动环节一：学习目标教师活动1： 师出示学习目标： 经历具体问题解决的过程，感悟消元想想，会用代入法解较复杂的二元一次方程组。学生活动1： 学生齐声读本课的学习目标活动意图说明： 明确本节课的学习目标，使教师的教和学生的学有效结合在一起，激发学生的学习动力，提高学生课堂参与的兴趣与积极性。环节二：新知导入教师活动2： 问题：1．将未知数的个数由多化少、逐一解决的思想，叫做_______思想． 答案：消元 2．把二元一次方程组中一个方程的一个未知数用含_______________的式子表示出来，再______另一个方程，实现消元，进而求得这个二元一次方程组的解，这种解二元一次方程组的方法叫作______消元法，简称代入法． 答案：含另一个未知数；代入；代入 3．代入法解二元一次方程组的一般步骤： _____ _____ _____ _____ _____ 答案：变形；代入；求值；回代；写解 4．（1）当方程组中含有用一个未知数表示另一个未知数的式子时，可以_________________求解； （2）若方程组中有未知数的系数为 ___________的方程，则选择系数为 ___________的方程进行变形比较简单。 答案：（1）直接利用代入消元法 （2）1（或－1）；1（或－1） 导言：上面要解的二元一次方程组的两个方程中都有一个未知数的系数为1 或－1，下面再来看另外一些例子。学生活动2： 学生积极主动回答老师提出的问题活动意图说明： 通过复习消元法、代入消元法、用代入消元法解二元一次方程组的一般步骤及方法，加深学生对代入法解二元一次方程组的理解，为新课的引入做好铺垫。环节三：新知讲解教师活动3： 例1：用代入法解方程组 分析：方程①中x的系数的绝对值较小，可以考虑在方程①中用含y的式子表示x，再代入方程②． 解：由①，得 x＝ ③ 把③代入②，得 9( ) +7y＝39． 解这个方程，得 y＝3 把 y＝3 代入③，得 x＝2 所以这个方程组的解为 追问：解这个方程组时，可以先消去y吗？试试看. 归纳：若方程组中所有方程中的未知数的系数都不是 1 或－1，则选系数的绝对值较小的方程变形比较简单。 例2：快递员把货物送到客户手中称为送件，帮客户寄出货物称为揽件．某快递员星期一的送件数和揽件数分别为120件和45件，报酬为270元；他星期二的送件数和揽件数分别为90件和25件，报酬为185元．如果这名快递员每送一件和每揽一件货物的报酬分别相同，他每送一件和每揽一件的报酬各是多少元？ 分析：由题意可知， 送120件的报酬＋揽45件的报酬＝270， 送90件的报酬＋揽25件的报酬＝185． 由此可以列出方程组，通过解方程组解决问题． 解：设这名快递员每送一件的报酬是x元，每揽一件的报酬是y元．根据这名快递员星期一和星期二取得的报酬满足的相等关系，列得方程组 由①，得x＝ ③ 把③代入②，得90( ) +25y＝185 解这个方程，得y＝2 把 y＝2 代入③，得x＝1.5 所以这个方程组的解为 答：这名快递员每送一件的报酬是1.5元，每揽一件的报酬是2元． 归纳：运用二元一次方程组解决简单实际问题的思路 1.找出相等关系并设出未知数； 2.根据相等关系列出二元一次方程组； 3.解二元一次方程组并检验作答。学生活动3： 学生认真思考，并小组内讨论，然后派代表交流，然后认真听老师的讲解，并在老师的引导下，在小组合作探究中完成例1和例2，并尝试用代入法解较复杂的二元一次方程组活动意图说明： 通过梳理代入法解方程组的解法过程，让学生体会解较复杂的二元一次方程的思想和方法，代入法的关键是二元一次方程变形，让学生在解决问题的过程中，总结归纳出解题的一般步骤和解题技巧，并尝试运用二元一次方程组解决实际问题，体会运用方程组解决实际问题的基本思路。环节四：课堂小结教师活动4： 问题：本节课你都学习到了哪些知识？ 教师通过学生的回答，进行归纳 学生活动4： 学生积极回顾本节课学习到的知识活动意图说明： 通过学生自己回顾、总结、梳理所学的知识，将所学的知识与以前学过的知识进行紧密联系，完善认知结构和知识体系。
板书设计 课题：10.2.1 代入消元法（第2课时）一、用代入法解较复杂的二元一次方程组 二、运用二元一次方程组解决简单实际问题的思路教师板演区学生展示区
课堂练习 【知识技能类练习】 必做题： 1．在方程2x－3y＝6中，用含有x的式子表示y，得（　　）． A．y＝x－6 B．y＝－x－6 C．y＝x－2 D．y＝－x＋2 答案：C 2．小明到商店购买活动奖品，购买20支铅笔和10本笔记本共需110元，但购买30支铅笔和5本笔记本只需85元．设每支铅笔x元，每本笔记本y元，则可列方程组为（　　）． A． B． C． D． 答案：B 3．解方程组：（1） （2） 解：（1）由①得： 把代入②得 解这个方程，得 把代入得 ∴这个方程组的解为 （2）由①得： 把代入②得 解这个方程，得 把代入得 ∴这个方程组的解为 选做题： 4．用代入消元法解二元一次方程组，下列变形错误的是（ ） A．由①，得 B．由②，得 C．由①，得 D．由②，得 答案：B 【综合拓展类练习】 5．先阅读材料： 解方程组 解：由①得③， 把③代入②中得，解得． 把代入③中得，即． 故方程组的解为， 这种方法称为“整体代入法”．
请用上述方法解方程组． 解： 由①得：， 把③代入②得：，解得， 把代入③得：，解得， ∴方程组的解为．
作业设计 【知识技能类作业】 必做题： 1．已知方程，用含x的式子表示y，可表示为（ ） A． B． C． D． 答案：C 2．解方程组： 解：（1）由①得： 把代入②得 解这个方程，得 把代入得 ∴这个方程组的解为 3．化肥厂往某地区运送了两批化肥，第一批装满了9节火车车厢和 25 辆卡车，共运走了 640 t；第二批装满了 12 节火车车厢和 10 辆卡车，共运走了 760 t．平均每节火车车厢和每辆卡车分别装运化肥多少吨？ 解：设平均每节火车车厢装运化肥xt，每辆卡车装运化肥yt， 根据题意，得 由①，得③ 把③代入②，得． 解得y＝4． 把y＝4代入③，得x＝60． 所以这个方程组的解是 答：平均每节火车车厢装运化肥60t，每辆卡车装运化肥4t． 选做题： 4．已知，求x，y的值． 解：由题意，得 由①，得y＝x＋4，③ 将③代入②，得， 解这个方程，得x＝－5． 将x＝－5代入③，得y＝－1． 所以原方程组的解为 【综合拓展类作业】 5．某校准备组织师生共300人参加一项公益活动，学校联系租车公司提供车辆，该公司现有A，B两种座位数不同的车型，如果租用A型车3辆，B型车3辆，则空余15个座位；如果租用A型车5辆，B型车1辆，则有15个人没座位． (1)求A，B两种车型各有多少个座位． (2)若最终租用了两种车型的车，且座位恰好坐满，则两种车型的车各租用了多少辆？ 解：（1）设每个A型车有x个座位，B型车有y个座位， 依题意，得：，解得：． 答：每个A型车有45个座位，B型车有60个座位． （2）设需租A型车m辆，B型车n辆， 依题意，得：， ∴．∵m，n均为正整数，∴． 答：需租用A型车4辆，B型车2辆．
教学反思 本课《消元——解二元一次方程组》的第二课时，这堂课的内容是解较复杂的二元一次方程组，学生具备解一元一次方程和用含一个未知数的代数式表示另一个未知数的基础及用代入法解二元一次方程组的方法，因此在教学中让学生继续运用转化的思想将系数较简单的未知数用另一个未知数表示出来解较复杂的方程组，让学生在数学学习和研究中的继续体会“化未知为已知”的化归思想和程序化思想，并运用方程组解决实际问题，提高了解决问题的能力。
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第十章 二元一次方程组
10.2.1 代入消元法
（第2课时）
经历具体问题解决的过程，感悟消元想想，会用代入法解较复杂的二元一次方程组。
1．将未知数的个数由多化少、逐一解决的思想，叫做_______思想．
2．把二元一次方程组中一个方程的一个未知数用含_________ ______的式子表示出来，再______另一个方程，实现消元，进而求得这个二元一次方程组的解，这种解二元一次方程组的方法叫作______消元法，简称代入法．
消元
含另一个
未知数
代入
代入
3．代入法解二元一次方程组的一般步骤：
_____ _____ _____ _____ _____ 　　
4．（1）当方程组中含有用一个未知数表示另一个未知数的式子时，可以____________________求解；
（2）若方程组中有未知数的系数为 ___________的方程，则选择系数为 ___________的方程进行变形比较简单。
直接利用代入消元法
1（或－1）
1（或－1）
变形　　 代入　　 求值　　 回代　　 写解
上面要解的二元一次方程组的两个方程中都有一个未知数的系数为1 或－1，下面再来看另外一些例子。
例1：用代入法解方程组
分析：方程①中x的系数的绝对值较小，可以考虑在方程①中用含y的式子表示x，再代入方程②．
x＝
例1：用代入法解方程组
解：由①，得
x＝ ③
把③代入②，得
9( ) +7y＝39．
解这个方程，得
y＝3
把 y＝3 代入③，得
x＝2
所以这个方程组的解为
　解这个方程组时，可以先消去y吗？试试看.
若方程组中所有方程中的未知数的系数都不是 1 或－1，则选系数的绝对值较小的方程变形比较简单。
例2：快递员把货物送到客户手中称为送件，帮客户寄出货物称为揽件．某快递员星期一的送件数和揽件数分别为120件和45件，报酬为270元；他星期二的送件数和揽件数分别为90件和25件，报酬为185元．如果这名快递员每送一件和每揽一件货物的报酬分别相同，他每送一件和每揽一件的报酬各是多少元？
分析：由题意可知，
送120件的报酬＋揽45件的报酬＝270，
送90件的报酬＋揽25件的报酬＝185．
由此可以列出方程组，通过解方程组解决问题．
解：设这名快递员每送一件的报酬是x元，每揽一件的报酬是y元．根据这名快递员星期一和星期二取得的报酬满足的相等关系，列得方程组
由①，得 x＝ ③
把③代入②，得 90( ) +25y＝185
解这个方程，得 y＝2
把 y＝2 代入③，得 x＝1.5
所以这个方程组的解为
答：这名快递员每送一件的报酬是1.5元，每揽一件的报酬是2元．
运用二元一次方程组解决简单实际问题的思路
1.找出相等关系并设出未知数；
2.根据相等关系列出二元一次方程组；
3.解二元一次方程组并检验作答。
【知识技能类练习】必做题：
1．在方程2x－3y＝6中，用含有x的式子表示y，得（　　）
A．y＝x－6 B．y＝－x－6
C．y＝x－2 D．y＝－x＋2
C
【知识技能类练习】必做题：
2．小明到商店购买活动奖品，购买20支铅笔和10本笔记本共需110元，但购买30支铅笔和5本笔记本只需85元．设每支铅笔x元，每本笔记本y元，则可列方程组为（　　）．
A． B．
C． D．
B
【知识技能类练习】必做题：
3．解方程组：（1） （2）
解：（1）由①得：
把代入②得
解这个方程，得
把代入得
∴这个方程组的解为
（2）由①得：
把代入②得
解这个方程，得
把代入得
∴这个方程组的解为
【知识技能类练习】选做题：
4．用代入消元法解二元一次方程，下列变形错误的是（ ）
A．由①，得 B．由②，得
C．由①，得 D．由②，得
B
5．先阅读材料：
请用上述方法解方程组．
【综合拓展类练习】
解方程组
解：由①得③，
把③代入②中得，解得．
把代入③中得，即．
故方程组的解为，
这种方法称为“整体代入法”．
【综合拓展类练习】
解：
由①得：，
把③代入②得：，解得，
把代入③得：，解得，
∴方程组的解为．
解二元一次方程组
运用二元一次方程组解决简单实际问题的思路
用代入法解较复杂的二元一次方程组
找出相等关系并设出未知数
解二元一次方程组并检验作答
根据相等关系列出二元一次方程组
【知识技能类作业】必做题：
1．已知方程，用含x的式子表示y，可表示为（ ）
A． B．
C． D．
C
【知识技能类作业】必做题：
2．解方程组：
解：（1）由①得：
把代入②得
解这个方程，得
把代入得
∴这个方程组的解为
【知识技能类作业】必做题：
3．化肥厂往某地区运送了两批化肥，第一批装满了9节火车车厢和 25 辆卡车，共运走了 640 t；第二批装满了 12 节火车车厢和 10 辆卡车，共运走了 760 t．平均每节火车车厢和每辆卡车分别装运化肥多少吨？
解：设平均每节火车车厢装运化肥 x t，每辆卡车装运化肥 y t，
根据题意，得由①，得 ③
把③代入②，得．解得y＝4．
把y＝4代入③，得x＝60．
所以这个方程组的解是
答：平均每节火车车厢装运化肥 60 t ，每辆卡车装运化肥 4 t ．
【知识技能类作业】选做题：
4．已知，求x，y的值．
解：由题意，得
由①，得y＝x＋4，③
将③代入②，得，
解这个方程，得x＝－5．
将x＝－5代入③，得y＝－1．
所以原方程组的解为
【综合拓展类作业】
5．某校准备组织师生共300人参加一项公益活动，学校联系租车公司提供车辆，该公司现有A，B两种座位数不同的车型，如果租用A型车3辆，B型车3辆，则空余15个座位；如果租用A型车5辆，B型车1辆，则有15个人没座位．
(1)求A，B两种车型各有多少个座位．
(2)若最终租用了两种车型的车，且座位恰好坐满，则两种车型的车各租用了多少辆？
【综合拓展类作业】
解：（1）设每个A型车有x个座位，B型车有y个座位，
依题意，得：，解得：．
答：每个A型车有45个座位，B型车有60个座位．
（2）设需租A型车m辆，B型车n辆，
依题意，得：，
∴．∵m，n均为正整数，∴．
答：需租用A型车4辆，B型车2辆．

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