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2025年中考提优：几何综合选填压轴必刷训练题
翻折综合问题
1．（2025·辽宁大连·一模）如图，点在矩形的边上，将矩形沿翻折，点恰好落在边的点处，如果，，则的长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了矩形与折叠，勾股定理，掌握矩形、折叠的性质是关键．
根据矩形的性质得到，由折叠的性质得到，，在中，，设，则，在中，由列式求解即可．
【详解】解：∵四边形是矩形，
∴，
∵折叠，
∴，，
设，则，
在中，，
∴，
∴，，
在中，，
∴，
解得，，
∴，
故选：B ．
2．（2025·辽宁本溪·模拟预测）如图，在矩形中，，，点E为边上的一个动点，将沿折叠得到，连接，，当为直角三角形时，则的长为 ．
【答案】
【分析】当时，设交于点，由矩形性质得到，由折叠性质得到，则，进而利用平行线分线段成比例求得，利用勾股定理求得，然后证明求得；再说明不存在为直角三角形，且或的情况，进而可得答案．
【详解】解：如图1，当时，设交于点，
∵四边形是矩形，，，
，，
∵将沿折叠得到，
∴点与点D关于直线对称，
∴垂直平分，
，，
，
∴，
，
，
，
，
∴，
，
，
，
如图1，当时，点在矩形内部，则，
当时，则四边形为正方形，此时点在上且不与点重合，
，
如图2，，则，
，
，
∴不存在或的情况，
综上所述，当为直角三角形时，则的长为，
故答案为：．
【点睛】本题考查矩形的性质、折叠性质、勾股定理、相似三角形的判定与性质、平行线的判定、平行线分线段成比例等知识，熟练掌握这些知识的联系与运用是解答本题的关键．
3．（2025·辽宁丹东·模拟预测）如图，在矩形纸片中，，为边的中点，点在边上，连接，将沿翻折，点的对应点为，连接．若，则 ．
【答案】/
【分析】如图：连接，延长交的延长线于H，根据折叠的性质及矩形的性质，证明，进而得到为直角三角形，设，则，证明为等腰三角形，求出，进而完成解答．
【详解】解：如图：连接，延长交的延长线于H，
∵矩形中，为边的中点，，
∴，，
∵将沿翻折，点的对应点为，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，即，
∴为直角三角形，
设，则，
∴，
∴，
∴为等腰三角形，
∴，
∴，
∴．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了矩形的性质、全等三角形的性质与判定、等腰三角形的性质与判定、勾股定理、折叠的性质等知识点，灵活运用相关性质定理是解题的关键．
4．（2024·辽宁鞍山·三模）如图，菱形中，，E是边中点，连接，把四边形沿翻折，A，B的对应点分别为F，G，的延长线交于点M，连接，，．下列结论：
①；②；③；④．其中正确的个数为（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【答案】B
【分析】先根据中点以及折叠性质，得以及运用内角和进行化简，证明①是正确的；根据折叠性质，得出是的中位线，结合中位线的性质，可以证明②是正确的；根据菱形性质以及折叠性质，得，再运用角的差运算，列式代入化简，得，即可证明③是错误的；连接，结合菱形性质，以及，，得，运用三角函数以及斜边大于直角边，进行判断，即可作答．
【详解】解：延长交于一点N，如图所示：
∵ E是边中点，连接，把四边形沿翻折，A，B的对应点分别为F，G，
∴
∴
∴
∵
∴
∴；故①是正确的
∵ E是边中点，连接，把四边形沿翻折，A，B的对应点分别为F，G，
∴ ,
∴是的中位线
∴
故②是正确的；
∵菱形中，
∵ E是边中点，连接，把四边形沿翻折，A，B的对应点分别为F，G，
∴
∴
∴
∵在菱形中，
∴
∴，故③是正确的；
连接，如图：
∵菱形中，，E是边中点，
∴
∴
∵
∴
∵
∴故④是错误的
故选：C
【点睛】本题考查了折叠性质以及菱形性质，三角函数的应用，中位线的判定与性质，三角形的内角和以及外角的综合应用，难度较大，综合性较强，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
5．（2024·辽宁沈阳·模拟预测）如图，矩形中，，，是边上一点，且，是边上一动点，作，交边于点，将沿着所在直线折叠，点的对应点恰好落在边上，则的长为 ．
【答案】4或
【分析】设，则，过作于，则．先利用，即可得出；再利用，即可得出；在中，利用勾股定理列方程求解即可得到的值，进而得出结论．
【详解】解：设，则，如图所示，过作于，则，
∵四边形是矩形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，即，
∴，
由折叠可得，，，，
∴，
∵，
∴，，
∴，
又∵，
∴，
∴，即，
∴，
∴，
中，，
∴，
解得或，
∴或．
故答案为：或．
【点睛】本题考查了折叠的性质，矩形的性质，相似三角形的判定及性质，勾股定理，熟练掌握矩形的性质，相似三角形的判定及性质，勾股定理是解题的关键．
6．（2024·辽宁营口·模拟预测）如图， 在菱形纸片中， 点E在边上，将纸片沿折叠， 点B落在处，， 垂足为F 若， 则
【答案】/
【分析】根据菱形的性质，翻折的性质，和三角形的相似判定和性质解答即可．
【详解】解：∵，
∴，
由翻折，菱形的性质，得： ， ，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
过点E作，
设， 则，
∵，，
∴，
∴，
∴，
解得：，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查了菱形的性质，折叠的性质，勾股定理，三角形相似的判定和性质，熟练掌握性质是解题的关键．
7．（2024·辽宁沈阳·模拟预测）如图，在矩形中，，，为边的中点，连接，，点，分别是，边上的两个动点，连接，将沿折叠，使点的对应点恰好落在边上，若是以为腰的等腰三角形，则的长为 ．
【答案】或
【分析】如图1所示，当时，过点H作于M，则，设，则，，利用勾股定理求出，证明，再解直角三角形得到，则，解方程即可得到答案；如图2所示，当时，过点G作于M，则，解，求出，则．
【详解】解：如图1所示，当时，过点H作于M，
∴，
由折叠的性质可得，
设，则，
∴，
∵四边形是矩形，
∴，，
∵E是的中点，
∴，
在中，由勾股定理得，
∵，
∴，
在中，，
∴在中，，
∴，
解得，即，
∴；
如图2所示，当时，过点G作于M，
∴，
由折叠的性质可得，
在中，，
∴，
；
综上所述，的长为或．
【点睛】本题主要考查了矩形与折叠，勾股定理，解直角三角形，三线合一定理，利用分类讨论的思想求解是解题的关键．
8．（2024·辽宁·模拟预测）如图，在菱形中，，，P，Q分别为线段上的动点，连接，把沿所在直线翻折，使点D的对应点E恰好落在线段或线段上，若的面积为，则的长为 ．
【答案】或
【分析】本题主要考查了菱形的性质，矩形的判定与性质，解直角三角形等知识，分点E落在线段上和点E落在线段上两种情况讨论求解即可
【详解】解：∵四边形是菱形，
∴，，，
∴．
∴．
∴．
当点E落在线段上时，如图1，过点A作于点M，过点E作于点N．
∴，．
∵，
∴．
∴四边形是矩形，
∴．
在中，∵，，
∴，
∴．
∵，，
∴，
∴．
∴．
当点E落在线段上时，如图2，过点E作于点K．
由翻折的性质，得．
又，
∴是等边三角形．
又，
∴．
设，则．
在中，根据勾股定理，得．
∵，，
∴，解得．
∴，
∴．
综上所述，的长为或．
故答案：或．
9．（2024·辽宁沈阳·模拟预测）如图，在菱形中，， 点为直线上方一点，且，分别作点关于直线AB和直线AD的对称点，，连接当与菱形的边平行时，的面积为 ．
【答案】或
【分析】本题主要考查菱形的性质，垂直平分线的判定与性质，三角形中位线性质定理等知识，掌握菱形的性质，垂直平分线的判定与性质，三角形中位线性质定理等知识是解本题的关键．
分和两种情况，在时先证明点F与点A重合，求出，的长，再由中位线定理求出的长，再根据三角形面积公式求解即可；同理可求出时的结论．
【详解】解：当时，
，
，如图，
设与交于点E，交于点F，则有，连接，
又由对称性可知，垂直平分，垂直平分，
为的中位线，
，
又点F在直线上，也在直线上，
与点重合，
设，，
为等腰直角三角形，
，
又，
，
在中，，
，
，
，
，
，，
在中，，
，
，如图，
设与交于点M，交于点N，连接
同理可得为的中位线，
，
，
∴点M在直线上，M，A重合，
则垂直平分于点A，
是等腰直角三角形，
，，，
，垂直平分，
，，
在中，，
，，
，
综上，的面积为或，
故答案为：或
10．（2024·辽宁鞍山·模拟预测）如图，矩形纸片，点E在线段上，将沿向上翻折，点C的对应点落在线段上，点M，N分别是线段与线段上的点，将四边形沿向上翻折，点B恰好落在线段的中点处．则线段的长 ．
【答案】/
【分析】本题考查了翻折变换、正方形的性质，矩形的性质，勾股定理等知识， 作于，连接交于，连接，此时根据正方形的性质可得，，应用勾股定理计算得出再根据由折叠的性质得，在中根据勾股定理求得长度，最后根据，计算求得的长度即可．
【详解】解：如图，作于，连接交于，连接
由题意可知，四边形是正方形，是等腰直角三角形，
，，
在中，，
设，则，
在中，，
即，
解得：，
，
由折叠的性质可知：，，
，
，
故答案为：．
11．（2024·辽宁营口·二模）如图，将矩形纸片折叠，折痕为，点分别在边上，点的对应点分别在．且点在矩形内部，的延长线交边于点，交边于点．，，当点为三等分点时，的长为 ．
【答案】或
【分析】本题考查了折叠的性质、矩形的性质、勾股定理、相似三角形的判定与性质，分两种情况：当时，；当时，，分别利用折叠的性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理计算即可得出答案，熟练掌握以上知识点并灵活运用，采用分类讨论的思想是解此题的关键．
【详解】解：当时，，
∵将矩形纸片折叠，折痕为，
∴，，，，，
∴，，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
过点作于，则，
设，则，
∴，
∴，
∵，
∴，
解得：或（不符合题意，舍去），
∴；
当时，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
解得：，
∴，
综上所述的长为或，
故答案为：或．
12．（2024·辽宁丹东·二模）如图所示、四边形为正方形，，点E为边中点，点F在边上，连接，将图形沿翻折，点A对应点为点，当时，则的长是 ．
【答案】或
【分析】本题考查了图形的折叠、正方形的性质以及正切的定义．分情况讨论当在上方时，当在上方时，过作于点M，交于点Q，分别过作于点N，于点P，利用角度互余关系分别得到，然后利用正切的定义分别求出、、，从而求出则可求，当在下方时，同理计算即可．
【详解】解：如图，当在上方时，过作于点M，交于点Q，分别过作于点N，于点P，
∵，
∴，
∴
∵，点E为边中点，
∴，
在中，
，
∴设，
则，
则，，
由
则有，由，
同理，可求得，
∴，
由辅助线可知，
，
∵，
，
∴，
∴，
同理，可求得，
∴
如图，当在下方时，过作于点M，交延长线于点Q，分别过作于点N，于点P，
由辅助线可知，
在中，，
，
则同理可得，
同理，由两角关系可求得，，
在中， 同理可求得，
∴，
在中，
，
同理可求得，
则
故答案为：或
13．（2024·辽宁·一模）如图，正方形中，，点是对角线上一点，连接，过点作，交于点，连接，交于点，将沿翻折，得到，连接，交于点，若点为上的三等分点，则线段的长是 ．
【答案】或
【分析】本题是常见的中考数学填空压轴题，有一定难度，主要考查了正方形的性质，折叠的性质，相似三角形的判定和性质，四点共圆，构造出相似三角形是解本题的关键．
分两种情况：①当时，利用勾股定理求出，再证明，得出，进而求得，再根据，判断出点，，，四点共圆，进而得出，由翻折得出：，，可得，再运用勾股定理即可得出答案；②当时，同法可求解．
【详解】解：分两种情况：①当时，
四边形是正方形，
，，
，
在中，根据勾股定理得：
，
，
，
，
，
，
，
，
，
是正方形的对角线，
，
，
，
，
点，，，四点共圆，
，
将沿翻折，得到，
，，
，，
，
．
②当时，如图，
∴
由勾股定理，得
同理可得：，
∴．
故答案为：或．
【点睛】本题是常见的中考数学填空压轴题，有一定难度，主要考查了正方形的性质，折叠的性质，相似三角形的判定和性质，四点共圆，构造出相似三角形是解本题的关键．
14．（2023·辽宁葫芦岛·二模）如图，在中，，，，点是的中点，点是斜边上一动点，沿所在直线把翻折到的位置，交于点，若为直角三角形，则的长为 ．

【答案】或
【分析】先根据直角三角形的性质和勾股定理求得，，结合题意可得，分两种情况：当时，根据三角形内角和定理和折叠的直线可得，根据等角对等边可得，根据直角三角形的性质和勾股定理求得，，，即可求出；当时，作交的延长线于，设，则，根据全等三角形的判定和性质可得，结合直角三角形的性质和勾股定理求得，，根据勾股定理列出方程，解方程即可求出．
【详解】解：在中，，，
∴，，
∵点是的中点，
∴，
当时，如图：

∵，
∴，
∴，
即，
∴，
在中，，，
在中，，
即，
∴；
当时，作交的延长线于．如图：

设，则，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
在中，，，
在中，，
即，
解得：；
综上所述，满足条件的的值为或．
故答案为：或．
【点睛】本题考查了直角三角形的性质，勾股定理，折叠的性质，三角形内角和定理，全等三角形的判定和性质，等角对等边等，构建直角三角形，借助勾股定理求解是解题的关键．
15．（2024·辽宁大连·一模）如图，在矩形中，．将矩形沿折叠，使点A落在边上的E处，得到四边形，连接，，若,，则 ．

【答案】//
【分析】本题考查了矩形的性质，折叠的性质，勾股定理，正切函数，直角三角形的特征，
过点G作于点M，设与的交点为N，根据矩形的性质，得，得到四边形是矩形，继而得到,根据折叠的性质得，，,结合，得到，结合，得到，结合得到，设，则，继而得到，结合，得到，根据勾股定理，得到，，根据,得到，结合，得得，继而得到，计算即可．
【详解】过点G作于点M，设与的交点为N，
∵，∴，
∴四边形是矩形，
∴,
根据折叠的性质得，，,，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
设，则，
∴，
∵，
∴，
∴，，
,
∴，
∴，
∵，
∴
∴，
∴，
∴，
故答案为：．

16．（2024·辽宁抚顺·三模）如图，在中，，，，点D为边上一点（不与A，B重合），点E为的中点，将沿翻折，得到，连接，当以点D，E，B，F为顶点的四边形为平行四边形时，的长为 ．

【答案】或
【分析】本题考查了平行四边形的性质，折叠的性质，勾股定理，锐角三角函数，分两种情况画出图形，由折叠的性质及勾股定理可求出答案，熟练掌握折叠的性质是解题的关键．
【详解】解：∵在中，，，，
∴，
∴，
分两种情况：
①如图，四边形为平行四边形，

由翻折可知，，
∵点E为的中点，
∴，
∵四边形为平行四边形，，
∴，
∴，
∴，
在中，
，
∴，
∴；
②如图，四边形为平行四边形，

由翻折可知，，
∵四边形为平行四边形，
∴，
∴，
综上所述，的长为或，
故答案为：或．
17．（2024·辽宁丹东·二模）矩形中，对角线，交于点，，，点为边中点，动点从点出发，沿的方向在边，上以每秒1个单位的速度运动，设运动时间为秒，将矩形沿折叠，点的对应点为，当点落在矩形对角线上时（不与矩形顶点重合），则的值为 秒．
【答案】2或
【分析】本题考查四边形翻折问题，解题关键是掌握直角三角形斜边上的中线长度等于斜边长的一半．如图1，当点落在矩形对角线上时，连接，由翻折及点E为中点可得，即分别垂直，，再由平行线分线段成比例即可求解；如图2，当点落在矩形对角线上时，时，作于点G，证明，得，代入值即可求解．
【详解】解：如图1，当点落在矩形对角线上时，连接，
由翻折可得，
∵点E为中点，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴F为中点，
∴，
∴；
如图2，
当点落在矩形对角线上时，时，作于点G，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，
解得．
故答案为：2或．
旋转综合问题
18．（2025·辽宁沈阳·模拟预测）如图1，在等腰直角中，，点是中点，在中，，，，将与重合，如图2，再将绕点顺时针旋转，与相交于点，与相交于点，若，则的长是 ．
【答案】/
【分析】设与交于点，过点作于，根据旋转的性质得到，，进而得到，，从而推出，再反复利用等腰三角形的性质和勾股定理，得到相关线段关系，即可求出的长．
【详解】解：如图，设与交于点，过点作于，
将绕点顺时针旋转，
，，
，
，
，
，
，，
，
，
，
，
，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
故答案为：．
【点睛】本题考查了旋转的性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理，30度角所对的直角边等于斜边一半等知识，熟练掌握相关知识点是解题关键．
19．（2024·辽宁抚顺·二模）如图，为等边三角形，D为平面内一点，连接，将绕点D顺时针旋转，得到线段，连，．当，，时， ．
【答案】2或
【分析】本题考查勾股定理，等边三角形的判定与性质，旋转的性质；先证明为等边三角形，得到，，再根据在左边或右边分情况讨论，分别画出图形，结合图形利用勾股定理计算即可．
【详解】解：∵为等边三角形，，
∴，，
∵将绕点D顺时针旋转，得到线段，
∴，，
∴为等边三角形，
∴，，
当在左边时，如图，连接，，与交于点，
∵，
∴，，
∴垂直平分，
∴，
∵，，，
∴，
∴，
∴，
∴；
当在右边时，如图，连接，与交于点，
∵，
∴，
中，，
综上所述，或，
故答案为：或．
20．（2024·辽宁·模拟预测）如图，在中，，，，D，E分别是边，的中点，连接．将绕点D顺时针旋转（）得到，点A，E的对应点分别为G、F，与交于点P．当直线与的一边平行时，的长为 ．
【答案】1或3
【分析】根据题意，由旋转性质，结合直线与的一边平行，分两类：当时；当时；结合图形，分两种情况讨论求解即可得到答案，
【详解】解：根据题意，将绕点按顺时针方向旋转得到，即，
在中，，，，
．
点，分别是边．的中点，
是的中位线，
，．，
当时，如图所示：
，，
，
，
和均为等腰三角形，且．，
，
由得到，则，
当时，如图所示：
，
，
，
，
，
四边形是平行四边形，
，，
是正方形，
，
，
，
解得，
综上所述，的长为或
故答案为：或．
【点睛】本题考查求旋转性质、全等三角形性质、勾股定理、中点定义、中位线的性质、等腰三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质，熟练掌握相关几何性质，分类讨论是解决问题的关键．
21．（2024·辽宁丹东·模拟预测）如图，点E为正方形边上一点，连接，将绕点A逆时针方向旋转得到，点B对应点为F，点E对应点为G，交于点H，连接．下列结论：①；②；③当点E与点C重合时；④当点G落在边上时，；⑤当最短时，，其中正确的是 （填写序号）．
【答案】①②③④⑤
【分析】根据旋转的性质即可判断①，利用正方形性质得到，结合旋转的性质得到，进而得到，即可得到，判断②，当点E与点C重合时，连接，证明为等边三角形，结合正方形性质证明，利用全等三角形性质以及等边三角形性质即可判断③，当点G落在边上时，作的垂直平分线交于点，连接，证明，结合旋转的性质得到，结合垂直平分线性质得到，利用直角三角形性质，以及解直角三角形的应用 表示出，，再根据即可判断④，在过点且垂直于的线段上运动，根据垂线段最短，即当时，最短，过点作于点，证明四边形为矩形，得到，结合直角三角形性质以及正方形性质即可判断⑤．
【详解】解：将绕点A逆时针方向旋转得到，
，
故①正确；
四边形为正方形，
，
由旋转的性质可知，，，
，
，
，
故②正确；
当点E与点C重合时，连接，如图所示：
由旋转的性质可知，，，
为等边三角形，
，
四边形为正方形，
，
，
，
，
故③正确；
当点G落在边上时，作的垂直平分线交于点，连接，
四边形为正方形，
，，
由旋转的性质可知，，
，
，
，
，
的垂直平分线交于点，
，
，
，
，
，
，
，
故④正确；
在过点且垂直于的线段上运动，
根据垂线段最短，即当时，最短，过点作于点，
，，，
四边形为矩形，
，
，
，
，
故⑤正确；
综上所述，正确的有①②③④⑤．
【点睛】本题主要考查了正方形的性质，矩形的性质和判定，等边三角形的性质和判定，旋转的性质，全等三角形的性质和判定等，解直角三角形，准确的作出图形并作出辅助线是解题的关键．
22．（2024·辽宁朝阳·三模）如图，点D是等边边上一动点，线段绕点C顺时针旋转得到线段，连接，连接并延长交与点E，若，，则的长是 ．

【答案】或
【分析】证明得，，证明得，作于点M，根据勾股定理求出，，然后分两种情况求解即可．
【详解】解：∵是等边三角形，
∴．
由旋转的性质得，，
∴，
∴，．
∵，
∴，
∴．
如图，作于点M，

∵，
∴，
∴，．
当点D靠近点C时，，
∴，
∴；
当点D靠近点A时，
，
∴，
∴．
故答案为：或．
【点睛】本题考查了旋转的性质，等边三角形的性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理，三线合一等知识，分类讨论是解答本题的关键．
23．（2024·辽宁抚顺·三模）如图，在中，，，点是斜边边上一点，连接，将线段绕点顺时针旋转，得到线段，连接线段，点为线段的中点，连接，若，，则线段的长为 ．
【答案】或
【分析】本题考查了中位线的定义，三角函数，相似三角形的判定，勾股定理等知识，熟练掌握相似三角形的性质是解题的关键；根据题意，延长至点，使，连接，，由相似三角形性质和勾股定理可得出答案．
【详解】解：如图，延长至点，使，连接，，
点是中点，点是中点，
是的中位线，
，
作，垂足为，
，，
，，
，
，
，
，
是等腰直角三角形，，，
，，
，
，
，
，
，
，，
，
在上取点，使，
则，
，
，
在 中，，
，
，
．
如图所示，同理可求，．
综上所述：线段的长为或．
故答案为：或．
24．（2024·辽宁盘锦·一模）如图，，，，，点D为的中点，点E在的延长线上，将绕点D顺时针旋转度得到，当是直角三角形时，的长为 ．
【答案】10或
【分析】本题考查了勾股定理，全等三角形的性质，旋转的性质．根据勾股定理可求出，先根据全等三角形的性质和旋转的性质，得到，从而得到．再分情况讨论：①当时；②当时，利用勾股定理分别求解，即可得到答案．利用分类讨论的思想解决问题是解题关键．
【详解】解：，，，
由勾股定理得：，
，
，
绕点D顺时针旋转得到，
，
点D为的中点，
，
①当时，
，
，
；
②当时，

在中，，
在中，，
综上可知，的长为10或．
故答案为：10或．
25．（2024·辽宁盘锦·一模）如图，直线，点C在直线上（不与点B重合），连接，将线段绕点C顺时针旋转，得到线段，连接，点E是的中点，连接，且，当是等腰三角形时， ．
【答案】3或或
【分析】如图，当在的右边时，当时，得，当时，如图，过作于，过作于，当，此时，重合，舍去，如图，当在的左边时，为钝角三角形，只能，连接，过作交于，再分别画出图形，利用数形结合的方法解题即可．
【详解】解：如图，当在的右边时，
当时，
∵点E是的中点，，，
∴，，，
∵，，，
∴，
∴；
当时，如图，过作于，过作于，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∵，，，
∴，
∴，
∴，
连接，交于，
同理可得：，
∴，，
∴，
∴，设，
由勾股定理可得：，
∴，
解得：（负根舍去）；即，
当，此时，重合，舍去，
如图，当在的左边时，为钝角三角形，
∴只能，
连接，过作交于，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∴，
∴，
综上为3，或；
故答案为：3，或．
【点睛】本题考查的是等腰直角三角形的性质，等腰三角形的定义，全等三角形的判定与性质，勾股定理的应用，三角形的中位线的性质，平行线分线段成比例，一元二次方程的解法，旋转的性质，清晰的分类讨论是解本题的关键．
26．（2024·辽宁辽阳·一模）如图，边长为4的正方形，点是边上的一点，连接，将射线绕点逆时针旋转交的延长线于点，连接，取中点，连接，若，则的长为 ．
【答案】/
【分析】由正方形的性质及旋转的性质证得，得到．连接，，易证，得到，过点G作于点H，得，过点G作于点H，则，得到，结合点G是的中点，得到，因此有，进而，再根据即可解答．
【详解】∵四边形是边长为4的正方形，
∴，，
∴，
∴，
∵由旋转可得，即，
∵，
∴，
∴，
∴．
连接，，
∵点G是的中点，
∴在中，，
在中，，
∴，
∵，，
∴，
∴．
过点G作于点H，则，
∴，
∵，即，
∴．
过点G作于点H，则，
∴，
∴，
∵点G是的中点，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵
∴，
∴．
故答案为：
【点睛】本题考查正方形的性质，旋转的性质，三角形全等的判定及性质，相似三角形的判定及性质，三角函数解直角三角形，综合运用相关知识，正确作出辅助线是解题的关键．
27．（2024·辽宁·一模）如图，在中，，，点D为的中点，点P是边上一点，且．将绕点C在平面内旋转，点P的对应点为点Q，连接，．当时，的长为 ．
【答案】或
【分析】本题考查了旋转的性质，勾股定理，直角三角形斜边上中线的性质，等腰三角形的性质，运用分类讨论的思想解决问题是解题关键．
连接，利用勾股定理得到，，再根据直角三角形斜边中线等于斜边一半得到，由旋转的性质可知，分两种情况讨论：①点在线段上；②点在的延长线上，利用勾股定理即可求得的长．
【详解】解：如图，连接，
在中，，，
，
点D为的中点，
，，
由旋转的性质可知，，
①点在线段上，
，
，
在中，；
②点在的延长线上，
在中，，，
，
综上可知，当时，的长为或，
故答案为：或．
28．（2025·辽宁沈阳·一模）如图，在平面直角坐标系中，已知点，为等边三角形，M是x轴负半轴上的一个动点（不与原点O重合），线段绕M点顺时针旋转得到，连接，则下列结论正确的是 ．
①点B的坐标是；
②始终是等边三角形；
③在点M运动过程中，的大小可能是；
④连接，当时，的长是．
【答案】①②④
【分析】如图，作于，则，，由勾股定理得，，则B的坐标是，进而可判断①的正误；由旋转的性质可知，，可证是等边三角形，进而可判断②的正误；证明，则，进而可判断③的正误；如图，连接，作轴于，作轴于，则，，，，则，，由勾股定理得，，，，由勾股定理得，，则，由勾股定理得，，，进而可判断④的正误．
【详解】解：如图，作于，
∵为等边三角形，，
∴，，
由勾股定理得，，
∴B的坐标是，①正确，故符合要求；
由旋转的性质可知，，
∴是等边三角形，②正确，故符合要求；
∵、是等边三角形，
∴，
∴，即，
∵，
∴，
∴，③错误，故不符合要求；
如图，连接，作轴于，作轴于，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
由勾股定理得，，
∴，，
由勾股定理得，，
∴，
由勾股定理得，，
∴，④正确，故符合要求；
故答案为：①②④．
【点睛】本题考查了等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，旋转的性质，含的直角三角形，勾股定理等知识．熟练掌握等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，旋转的性质，含的直角三角形，勾股定理是解题的关键．
线段的值与比值问题
29．（2025·辽宁沈阳·一模）如图，为等腰三角形，，，以为斜边作Rt△ADB，，，连接，交于点E，则 ．
【答案】
【分析】先求解，，如图，过作于，过作于，过作于，求解，，，证明，求解，，进一步求解，证明，再利用相似三角形的性质解答即可.
【详解】解：∵，，
∴，
∵，
∴，，
如图，过作于，过作于，过作于，
∴，，，
∵，，，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴；
故答案为：
【点睛】本题考查的是勾股定理的应用，等腰三角形的性质，锐角三角函数的应用，相似三角形的判定与性质，作出合适的辅助线是解本题的关键.
30．（2025·辽宁·一模）如图，在矩形中，，，点E在上，点F在对角线所在的直线上，，直线与直线交于点G，直线与直线交于点H，若，则的长为 ．
【答案】3或7
【分析】本题考查相似三角形的判定与性质，矩形的性质，根据与线段的位置关系分情况讨论，设，过作于，先由求出，
再由结合用表示出，最后根据，得到，代入后解方程即可．
【详解】解：∵在矩形中，，，
∴，，，，
∴，
设，
当在线段上时，如图，过作于，
∵，
∴，，
∴，，
∵，
∴，解得，
∵，，
∴，
∴，
∴，
解得，
∵，，
∴，
∴，
∴，
解得，
∴；
当在线段外时，如图，过作于，
∵，
∴，，
∴，，
∵，
∴，解得，
∵，，
∴，
∴，
∴，
解得，
∵，，
∴，
∴，
∴，
解得，
∴，
综上所述，或，
故答案为：3或7．
31．（2025·辽宁阜新·一模）如图，边长为3的正方形中，M为对角线上的一点，连接并延长交于点P．若，则的长为 ．
【答案】/
【分析】本题考查了正方形的性质、勾股定理、含角的直角三角形的性质、等腰三角形的性质等知识点，熟练掌握正方形的性质是解题关键．
先根据正方形的性质、三角形全等的判定证出，根据全等三角形的性质可得，继而得到，再根据等腰三角形的性质可得，从而可得，然后利用勾股定理、含角的直角三角形的性质求解即可得．
【详解】解：∵边长为3的正方形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵
∴，
解得：，
∴，
∴，
故答案为：
32．（2024·辽宁大连·二模）如图，在正方形中，点是对角线上一点，连接，过点作交的延长线于点，连接．若，，则的长为（ ）
A． B． C．4 D．3.5
【答案】C
【分析】过点E作于G，证明A、E、B、F四点共圆，得到，从而可证明，由勾股定理可求得，再求，从而求得，从而求得，即可由勾股定理得，代入即可求解．
【详解】解：过点E作于G，
∵
∴
∵正方形
∴，，
∴
∴A、E、B、F四点共圆，
∴
∴，
∴，
由勾股定理得，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
故选：C．
【点睛】本题考查正方形的性质，勾股定理，四点共圆，圆周角性质，直角三角形的性质，等腰三角形的判定．证明A、E、B、F四点共圆是解题的关键．
33．（2024·辽宁盘锦·三模）如图，在中，，，点D在上，且，点E是上的动点，连接，点F，G分别是和的中点，连接，，当时，线段的长为 ．
【答案】
【分析】分别过点G，F作的垂线，垂足为M，N，过点G作于点P，作于点P，得到四边形、是矩形，结合勾股定理和等腰三角形性质可分别表示出线段、，进而推出、和的长，再根据建立等式求解，即可解题．
【详解】解：如图，分别过点G，F作的垂线，垂足为M，N，过点G作于点P，作于点P，
四边形、是矩形，
，，
∵，，
，，
又∵点G和点F分别是线段和的中点，
，，
，且，
∴，，
，
，
，
，即，
，
∴，
∴，，
设，
∴，，
在中，，
在中，，
∵，
∴，
解得，即，
在中， ．
故答案为：．
【点睛】本题考查矩形的性质和判定，等腰三角形的性质，直角三角形性质，勾股定理，解题的关键在于熟练掌握相关知识．
34．（2024·辽宁铁岭·一模）如图，正方形中，，点P为射线上任意一点（与点B、C不重合），连接，在的右侧作正方形，连接．交射线于E．当长为1时，的长为 ．
【答案】或
【分析】由题可分两种情况，当交点在线段上时，或当交点在线段延长线上时，分别将绕点顺时针旋转，可判定全等三角形，用勾股定理求出对应边的长度即可．
【详解】解：分两种情况：
（1）当交点在线段上时，
四边形为正方形，
将绕点顺时针旋转，如图1所示，与重合，且，，三点共线，
四边形是正方形，
，
，
由旋转可得，
，
，
连接，
在和中，
，
，
，
设，
正方形边长，，
，，，
在中，有勾股定理得：，
即：，
解得：；
（2）当交点在线段延长线上时，
同理旋转到，如图2所示，可得，
同理可证，
，
设，
正方形边长，，
，，
在中，有勾股定理得：，
即：，
解得：；
，，
，
，
即，
解得：；
综上所述：或．
故答案为：或．
【点睛】本题主要考查正方形的性质，利用旋转图形证三角形全等，根据勾股定理和相似图形求出对应线段的长度是解题的关键，本题难点在于利用旋转构造全等三角形．
35．（2024·辽宁沈阳·零模）如图，在中，，，，以为边作矩形（点，，，按逆时针方向排列），，和的延长线相交于点，点从点出发沿向点运动，到达点时停止．点在线段上运动，且始终满足，连接，，．当的面积为时，的长是 ．
【答案】1或
【分析】分两种情况：①当点在线段上运动时，②当点在线段上运动时，运用解直角三角形、勾股定理等知识即可求得答案．
【详解】解：，
设，，
点从点出发沿向点运动，到达点时停止，
有以下两种情况：
①当点在线段上运动时，过点作于，过点作于，如图1，
在中，，，，
，
∴由勾股定理得，，
四边形为矩形，
，，，，
，
，
，
，
，
，
在中，，
，
，，
，
在中，，
，
，，
，
，
，
解得：或（负值舍去），
．
②当点在线段上运动时，连接，过点作于，于，如图2所示：
同理，设，则，为直角三角形，
依题意得：，，
，，
，
，
，
即，
在中，，
，
，，
，
，
解得：或（舍去），
，
综上所述：的长为1或．
故答案为：1或．
【点睛】本题考查了矩形的性质，直角三角形的性质，勾股定理，三角形面积，解直角三角形等，解题关键是运用数形结合思想和分类讨论思想解决问题．
36．（2024·辽宁·模拟预测）如图，在中，，，，D为边上一点，，E为边上一动点，连接，以为边并在的右侧作等边，连接，若，则的长为 ．

【答案】或
【分析】本题主要考查了等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，矩形的判定和性质．分两种情况，结合等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，即可求解．
【详解】解：第一种情况：
如图，以为边在右侧作等边，连接，

∴，．
∵为等边三角形，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴，．
过点A作于M，过点D作于N．
∴四边形为矩形．
∴，
又∵，
∴．
在中，，，
∴，，
又∵，
∴．
在中，，
由勾股定理得，
∴．
第二种情况：
如图，同理可证．
∴．
∴的长为或．

故答案为：或
37．（2024·辽宁鞍山·模拟预测）如图，在中，，，，点为边上一动点，点为边上一动点，，当是等腰三角形时，的长为 ．
【答案】或或
【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，勾股定理，等腰三角形的判定和性质．分、和三种情况讨论，利用相似三角形的判定和性质结合等腰三角形的性质求解即可．
【详解】解：在中，，，，
∴，
设，
∵，
则，，
当时，作于点，
∴，
∵，，
∴，
∴，即，
解得，
∴；
当时，
∴，
解得，
∴；
当时，作于点，
∴，
∵，，
∴，
∴，即，
解得，
∴；
综上，的长为或或．
故答案为：或或．
38．（2024·辽宁抚顺·三模）如图，点E是正方形对角线所在直线上一点，点F在的延长线上，连接，过点E作交的延长线于点G，连接并延长交的延长线于点P．若，，当时，则线段的长是 ．
【答案】10或
【分析】由正方形够够的性质，得出、、四点共圆，进而可证是等腰直角三角形，再证明，得到，分两种情况讨论：①当点在线段上时；②当点在的延长线上时，分别解直角三角形，即可求解．
【详解】解：四边形是正方形，
，，，
，
，且和为弦同一侧圆周角，
、、四点共圆，
，
是等腰直角三角形，
，，
，，
，
，
，
①当点在线段上时，如图，过点作于点，
，
是等腰直角三角形，
，
，
，
，
，
，
；
②当点在的延长线上时，如图，过点作于点，
同理可得，，，
，
，
，
综上可知，线段的长是10或，
故答案为：10或
【点睛】本题考查了正方形的性质，四点共圆，等腰直角三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，解直角三角形，利用分类讨论的思想解决问题是关键．
39．（2024·辽宁鞍山·三模）如图，正方形和正方形的边长分别为7和3，点E，G分别在边，上，点H在，两边上运动，连接，，当为等腰三角形时， ．

【答案】或
【分析】本题考查了正方形的性质以及等腰三角形的性质，勾股定理，正确掌握相关性质内容是解题的关键．进行分类讨论，因为正方形和正方形的边长分别为7和3，则是不存在的，那么当或者这两种情况进行作图，运用数形结合思想以及勾股定理，列式计算，即可作答．
【详解】解： ∵为等腰三角形
当，
此时为点，且在直线的延长线上，如图：

过点作
∵四边形和四边形为正方形
∴
∴四边形是平行四边形
∵
∴四边形是矩形，
∴
∵为等腰三角形
∴，与点H在，两边上运动相矛盾；
∴舍去
当，点在上，如图：延长交于一点

如图：点在上，过点H作

∵四边形和四边形为正方形
∴
∴
∴四边形是矩形，同理得四边形是矩形，
∴
∴
则
∵正方形和正方形的边长分别为7和3，
∴
则
即
∴
当时，点H在上，如图
，故不成立；
当点H在上，过点H作，如图所示：

∵四边形和四边形为正方形
∴
∴
∴四边形是矩形
∴
则
∴
综上：或，
故答案为：或．
40．（2024·辽宁鞍山·模拟预测）如图，在中，，，，，分别为边，上的动点，且，作，垂足为，连接．当是直角三角形时，的长为 ．

【答案】或
【分析】说明只能为锐角，根据直角三角形的性质求出，，然后分或两种情况求解即可．
【详解】解：∵，分别为边，上的动点，，
当时，，此时不存在；
当时，，
∵，，
∴为直角三角形，，
∴，
∴为锐角，
当时，
如图，设，
∵，
∴，
在中，，，，
∴，，
∵，
∴，
∴，
四边形是矩形，
∴，
∴，
∴，
∴，

当时，
如图，设，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
解得：，
∴，
综上所述，的长为或，
故答案为：或．
【点睛】本题考查相似三角形的判定和性质，矩形的判定和性质，所对的直角边等于斜边的一半，勾股定理，运用了分类讨论的思想．理解题意并运用分类讨论是解题的关键．
41．（2022·辽宁本溪·一模）如图，正方形中，点是边上一点，连接，以为对角线作正方形，边与正方形的对角线相交于点，连接，若，则 ．
【答案】5：4
【分析】根据CE：DE＝1：2，设CE＝x，DE＝2x，则BC＝3x，由勾股定理知BE＝，由∠BEH＝∠EDB，∠EBH＝∠DBE可证△BEH∽△BDE，根据对应边成比例即可；
【详解】∵CE：DE＝1：2，
∴设CE＝x，DE＝2x，则BC＝3x，
在 中，，
在中，，
∵∠BEH＝∠EDB＝45°，∠EBH＝∠DBE，
∴△BEH∽△BDE，
∴，
∴，
即，
解得，
∴ ，
∴
【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，正方形的性质，熟练掌握相似三角形的判定是解决问题的关键．
42．（2024·辽宁大连·一模）如图，中，，，点D、E、F分别在线段、、上，且，，则（ ）

A． B． C． D．
【答案】D
【分析】依据题意，过点D作于H，于G，可证四边形是矩形，，，，由题意，可设，则，由平行线分线段成比例可得，，通过证明，可得，即可求解．
【详解】解：如图，过点D作于H，于G，

设，
∵，，
∴，．
∵，，，
∴四边形是矩形．
∴，，．
∴，，
∴，，且，
∴，．
∵，
∴．
∴，且．
∴．
∴．
∴．
故选：D．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，勾股定理，矩形的判定和性质，添加恰当辅助线构造相似三角形是本题的关键．
43．（2024·辽宁大连·三模）如图，在正方形中，点为上靠近点的三等分点，点为的中点，以为直角边，点为直角顶点向右构造等腰，连接、，则的值为 ．
【答案】
【分析】过点G作于H，交于M，由正方形的性质可证明四边形是矩形；设正方形边长为a；再证明，则，从而可求得，由勾股定理即可求得；再求得，由勾股定理求得，最后即可求得结果．
【详解】解：如图，过点G作于H，交于M，
则，
∵四边形是正方形，
，，
，
∴四边形是矩形，
；
设正方形边长为a；
是的中点，点为上靠近点的三等分点，
，
;
是等腰三角形，且，
，
，
，
，
，
，
；
在中，由勾股定理得；
，，
，
在中，由勾股定理得，
．
故答案为：．
【点睛】本题考查了正方形的性质，矩形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理等知识，构造辅助线证明全等是解题的关键．
最值问题
44．（2025·辽宁沈阳·一模）如图，在中，．按以下步骤作图：①以点C为圆心，适当长为半径画弧，分别交，于点N，M；②分别以M，N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在内交于点G；③作射线．若，D为边的中点，E为射线上一动点，则的最小值为（ ）
A．3 B． C． D．5
【答案】B
【分析】由题意得，为的角平分线，在上截取，可得是等腰直角三角形，继而得到垂直平分，则为点A关于的对称点，连接，交于点E，此时最小，即的值，利用勾股定理求解即可．
【详解】解：由题意得，为的角平分线，
在上截取，
，
是等腰直角三角形，
，，即垂直平分，
为点A关于的对称点，
连接，交于点E，
，
此时最小，即的值，
，为边的中点，
，，
，
即．
故选：B．
【点睛】本题考查了角平分线的定义、等腰直角三角形的判定和性质，垂直平分线的性质及勾股定理等，熟练掌握知识点是解题的关键．
45．（2025·辽宁沈阳·模拟预测）点A为矩形的边延长线上一点，，，点F为边上的动点，连接，过点F作，垂足为G，点H是点A关于点D的对称点，则的最小值为 ．
【答案】/
【分析】本题考查了矩形的判定与性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质等知识，连接，，过H作于K，证明四边形是平行四边形，得出，则，故当三点共线时，最小，最小值为，证明，根据相似的性质求出，，然后在中，根据勾股定理求出，即可求解．
【详解】解：连接，，过H作于K，
∵矩形，
∴，
又，
∴四边形是矩形，
∴，，
∴四边形是平行四边形，
∴，
∴，
当三点共线时，最小，最小值为，
在中，，，，
∴，
∵点H是点A关于点D的对称点，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，即，
∴，，
∴，
∴，
∴的最小值为，
∴的最小值为，
故答案为：．
46．（2025·辽宁沈阳·模拟预测）如图，在四边形中，，点分别在线段和上运动，并且满足，取的中点，点是线段上一点，连接和，则的最小值为 ．
【答案】
【分析】本题主要考查了矩形的性质和判定，两点之间线段最短，勾股定理，直角三角形的性质，根据性质确定最小值是解题的关键．作点B过关于直线的对称点，连接，可知，即，根据两点之间线段最短，可知当点C，G，P，四点共线时，最小，连接，，再根据勾股定理及直角三角形的性质得出答案．
【详解】如图所示，作点B过关于直线的对称点，连接，可知
，
即，根据两点之间线段最短，可知当点C，G，P，四点共线时，最小，连接，．
∵，，
∴，
根据勾股定理，得，
解得．
∵，
∴四边形是矩形，
∴，，
∴．
再根据勾股定理，得，
∴的最小值为．
故答案为：．
47．（2025·辽宁沈阳·模拟预测）如图，在中，，，动点P在内，且使得的面积为3，点Q为动点，则的最小值为 ．
【答案】
【分析】本题考查了轴对称的性质、垂线段最短、等腰直角三角形的判定与性质、勾股定理，作于D，先由三角形面积公式得出，作，距离为1，则点P在直线l上运动且在内，点B到直线l的距离为5，作B关于直线l的对称点E，则，作于，交l于，连接，当点E、P、Q在同一直线上，且垂直于时，的值最小，为，再由等腰直角三角形的性质结合勾股定理即可得出答案．
【详解】解：如图，作于D，
，
∵的面积为3，
∴，
∴，
作直线，距离为1，则点P在直线l上运动且在内，点B到直线l的距离为5，作B关于直线l的对称点E，
∴，，
∴，
作于，交l于，连接，
当点E、P、Q在同一直线上，且垂直于时，的值最小，为，
∵在中，，，
∴，
∴为等腰直角三角形，
∴，
∵，
∴，
∴的最小值为，
故答案为：．
48．（2024·辽宁·模拟预测）如图，在矩形 中，，．若E 是边上的一个动点，过点E 作，交对角线于点O，交直线 于点 F，在点 E 移动的过程中，的最小值为（ ）
A．8 B． C．10 D．
【答案】B
【分析】过点D作交于M，过点A作，使，连接，可得是平行四边形，则：，当N、E、C三点共线时，的值最小，即为的长度，求出的长度即可得解．
【详解】

过点D作交于M，过点A作，使，连接，
四边形是平行四边形，
，
∴
当N、E、C三点共线时，最小，
四边形是矩形，，
，
，
四边形是平行四边形，
，
，
，
，
，
，
，
，即，
，
在中，由勾股定理得，
在中，由勾股定理得，
即：的最小值为；
故选：B．
【点睛】本题考查了利用轴对称求最短距离问题，勾股定理，矩形的性质，解直角三角形，平行四边形的判定和性质，熟练掌握知识点，准确作出辅助线是解题的关键．
49．（2024·辽宁抚顺·三模）如图，在矩形中，，，是边上一动点，是对角线上一动点，且，则的最小值为（ ）
A．3 B． C．4 D．
【答案】C
【分析】本题主要考查了矩形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理等．依据题意，延长到，使，连接，，由四边形是矩形，从而，，，，先证，进而，故，所以当点、、共线时，最小，最小值为，最后利用勾股定理进行计算可以得解．
【详解】解：延长到，使，连接，，
四边形是矩形，
∴，，，．
．
，，
．
，
，
当点、、共线时，最小，最小值为．
最小值为．
，
．
在中，，，
．
最小值为4．
故选：C．
50．（2024·辽宁葫芦岛·二模）在中，，，，点D，E在，边上，且，则的最小值是 ．
【答案】
【分析】本题考查两点之间线段最短、勾股定理，全等三角形的性质和判定等知识，学会构造全等三角形解决问题是解题的关键．
如图作，使得．作交的延长线于．首先证明，可得，推出的最小值为的长．
【详解】解：如图作，使得．作交的延长线于．
，
，
，，
，
，
，
的最小值为的长，
∵，
∴，
∴，
在中，
，，
，，
∴，
在中，．
故答案为：．
51．（2024·辽宁盘锦·三模）如图，在中，，，，按下列步骤作图：
①在和上分别截取、，使．
②分别以点和点为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧在内交于点．
③作射线交于点F．
若点是线段上的一个动点，连接，则的最小值是（ ）
A． B． C． D．2
【答案】A
【分析】本题考查了作角平分线，正弦，垂线段最短，三角形内角和定理等知识，由作图可知，是的平分线，可求，如图，作于，则，由，可知当、、三点共线，且时，的值最小，最小值为，计算求解即可，确定线段和最小的情况是解题的关键．
【详解】解：由作图可知，是的平分线，
，
如图，作于，
，
，
当、、三点共线，且时，的值最小，最小值为，
故选：A．
52．（2024·辽宁·模拟预测）如图，在中，，E是直角边的中点，F是直角边上的一个动点，将沿所在直线折叠，得到，D是斜边的中点，若，，则的最小值为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】C
【分析】本题考查了折叠的性质、全等三角形的判定与性质、两点之间线段最短、三角形的中位线定理、圆的定义，确定动点的运动轨迹是解题的关键．根据折叠的性质可得，，结合E是直角边的中点，得到，由此可判断点在以为圆心，为半径的圆上运动，当、、共线时，此时的值最小，根据三角形中位线定理求出，即可求出此时的最小值．
【详解】解： 将沿所在直线折叠，得到，
，
，
E是直角边的中点，
，
点在以为圆心，为半径的圆上运动，如图所示，
，
当、、共线时，即与重合时，取得最小值，
又，
此时的值最小，
D是斜边的中点，
是的中位线，
，
此时，，
的最小值为4．
故选：C．
53．（2024·辽宁葫芦岛·一模）如图，边长为7的正方形中，点E、G分别在射线、上，在边上，与交于点，，，，则的最小值为 ．
【答案】/
【分析】本题关键搞清的运动轨迹，有，，可知，所以到的中点的距离始终相等，在根据三角形三边的关系可得的范围，从而确定它的最小值．
【详解】解：取的中点，作垂直于点，
∴四边形是矩形，
∴，
∵四边形是边长为7的正方形，
∴，
，，，
，
，
又，，
，
，
，
所以在以为圆心，2为半径的圆弧上运动，
∴在中，由勾股定理可得，
，
当落在上时，取到等号，
即达到最小，最小值为；
故答案为．
【点睛】本题考查正方形的基本性质，和全等直角三角形的判定，解决此类问题的关键是判断动点的运动轨迹，然后利用三角形三边的关系判断何时取到最值．
54．（2024·辽宁大连·一模）如图，在边长为2的正方形中，点E在正方形内部且．连接，以、为边构造，连接，则线段的最小值为 ．
【答案】
【分析】先证明，得出，推导出点F的运动轨迹为半圆，再根据两点之间线段最短，推导出最小值．
【详解】连接和，
四边形是正方形，
，，
四边形是平行四边形，
，，
，
，
，
在和中
，
，
点F在以为直径的圆上运动，圆心O为的中点，
如图所示，，即，
当且仅当C、F、O三点共线时，最小，
，
在中，，，
，
，
故答案为：．
【点睛】本题考查了线段的最小值问题，正方形的性质，平行四边形的性质，圆周角定理及其推论，三角形全等的证明，正确作出辅助线，推导出F的运动轨迹是解题的关键．
55．（2024·辽宁大连·三模）如图，在等边中，点D在平面内，，，则的最大值为（ ）

A．4 B．5 C．6 D．7
【答案】B
【分析】本题考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，三角形三边的关系等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．
以为边作等边三角形，证明得，根据三角形三边的关系求出的最大值即可求解．
【详解】如图，以为边作等边三角形，则，．

∵是等边三角形，
∴，
∴，
∴，
∴．
∵，，
∵，
∴当点E，D，C三点共线时，有最大值，即的长度为5．
∴的最大值是5．
故选：B．
56．（2024·辽宁大连·一模）如图，在中，，点在上，且，点是边上的一个动点，连接．将绕点顺时针旋转得到，点的对应点是点．若，，则点，之间的距离的最小值是 ．
【答案】
【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，锐角三角函数，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，正确添加辅助线，熟练掌握知识点是解决本题的关键，由题意可得，过作，且，连接交于，交于点，证明，再证，点在过点且与垂直的直线上，即为、两点间距离的最小值（当与重合时，、两点间距离最小），过作于，然后解直角三角形得到，，由题意知是等腰直角三角形，则，即可求得的长．
【详解】解：过作，且，连接交于，交于点，过作于，
等腰，，
，
，
，
，
，
又，
，
点在过点且与垂直的直线上，
记与的交点为点，
，
当与重合时，、两点间距离最小，
，，
，
，，
，
，
在中，，
∵
，
在和中，，，
，
，
故答案为：．
57．（2024·辽宁葫芦岛·二模）如图，在中，，，是延长线上的一点，．是边上的一点（点与点、不重合），以、为邻边作．连接并取的中点，连接，则的最小值是 ．

【答案】
【分析】过点B作交的延长线于点，连接，过点P作的平行线交于点，交于点，连接，过点作，可知为的最小值，进行求解即可．
【详解】解：过点B作交的延长线于点，连接，过点P作的平行线交于点，交于点，连接，过点作，如图所示：

∵，
∴，
∴点在线段上运动（不与点重合），点在线段上运动（不与点重合），
∴当时，取得最小值，最小值等于的长，
∵，
∴，
∵，
∴
∴，
∵且，
∴，
∴四边形为平行四边形，
∴，
∵，
∴，
∵P为的中点，
∴为的中点，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴的最小值为；
故答案为：．
【点睛】本题综合考查了等腰直角三角形的性质，勾股定理、动点轨迹问题，平行四边形的判定和性质，垂线段最短等知识的综合．根据题意确定动点轨迹是解题关键．
58．（2024·辽宁·模拟预测）如图，在正方形中，，，点F在上运动（不与点A，D重合），过点F作交于点G，则的最大值为（ ）
A．3 B． C．5 D．
【答案】B
【分析】本题主要考查了相似三角形的性质与判定，二次函数的最值问题，正方形的性质，证明是解题的关键．
先求出，设，则，证明，得到，利用二次函数的性质求解即可．
【详解】解：，
．
四边形是正方形，
．
设，则．
，
．
，
，
又，
．
，即．
．
，
当时，取得最大值，最大值为．
故选：B．
59．（2025·辽宁抚顺·一模）如图，在正方形中，，E为对角线上一动点，F为射线上一点．若，则面积的最大值为 ．
【答案】16
【分析】本题考查了二次函数的应用、正方形的性质、等腰三角形的判定与性质，熟练掌握二次函数的性质是解题关键．
过点作于点，先证出，再设，则，根据等腰三角形的三线合一可得，然后利用三角形的面积公式、二次函数的性质求解即可得．
【详解】解：如图，过点作于点，
∵四边形是正方形，
∴，
∴，
∴，
∴，
设，
∵，
∴，
∵，，
∴（等腰三角形的三线合一），
∴的面积为，
由二次函数的性质可知，当时，取得最大值，最大值为16，
即面积的最大值为16，
故答案为：16．
60．（2024·辽宁大连·一模）中，，，，将绕点旋转得到，连接、，在旋转过程中，面积的最大值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查旋转的性质，勾股定理，三角形的面积，过作于点，过点作于点，根据勾股定理和等积法分别得到，，由将绕点旋转得到，可得，当点、、共线时取“”，此时取得最大值，即可得出相应的的面积．确定“的最大值”是解题的关键．
【详解】解：过作于点，过点作于点，
∵将绕点旋转得到，，，，
∴，，，
∴，，
∴，
∴，
∵将绕点旋转得到，
∴，
当点、、共线时取“”，此时取得最大值：，
∴在旋转过程中，面积的最大值是：．
故选：B．
含尺规作图类问题
61．（2025·辽宁丹东·模拟预测）如图，在中，按以下步骤作图：①分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于，两点，作直线和交于点；②以点A为圆心，长为半径画弧，交于点：③分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点，连接，和交于点，连接．若，，则的长为（ ）
A．2 B． C．4 D．
【答案】B
【分析】根据基本作图可知，，可证明，同时由作图可知，即可根据三角形中位线定理求得答案．
【详解】解：由作图步骤①可知，是边的垂直平分线，
，
由作图步骤②可知，，，
，
．
故选：B．
【点睛】本题考查了线段的垂直平分线和角平分线的尺规作图，三角形中位线定理，等腰三角形的三线合一性质，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
62．（2025·辽宁·一模）如图，在中，，以点C为圆心，适当长为半径作弧，分别交、于点E，F，再分别以点E，F为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点G，作射线交于点D，过点D作交于点H．若，则 （用含a的代数式表示）．
【答案】
【分析】由作法得平分，证明，，再证明，再利用相似三角形的性质可得答案．
【详解】解：由作法得平分，
∴，
∵，
∴，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
故答案为：．
【点睛】本题考查的是平行线的性质，等腰三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，证明是解本题的关键．
63．（2025·辽宁沈阳·模拟预测）如图，在边长为2的正方形中，以点为圆心，以长为半径作弧，交对角线于点，分别以点，为圆心，以大于长为半径作弧，两弧交于点，作射线交边于点，则的长为 ．
【答案】/
【分析】本题考查了正方形的性质，角平分线的性质以及尺规作图，解直角三角形，正确作出垂线是解题的关键．
过点E作于点G，由题意得，平分，则，设，则，由得，求解，再由求解即可．
【详解】解：过点E作于点G，
由题意得，平分，
∵四边形是正方形，
∴，，
∴，
设，则，
∴在中，由得：，
解得：，经检验是分式方程的解，
∴，
故答案为：．
64．（2025·辽宁铁岭·一模）如图，在中，，分别以点A，B为圆心，大于的长为半径画弧，两弧分别交于点M和N，作直线交于点E，作于点D，连接，交于点F，若，，则的长为 ．
【答案】
【分析】该题考查了相似三角形的性质和判定，勾股定理，尺规作线段垂直平分线等知识点，解题的关键是证明三角形相似．
过点E作交于点．根据作图可得垂直平分线段，得出，勾股定理求出，证明，得出，证明，求出，等面积法求出，从而得，，证明，求出，再根据即可解答．
【详解】解：过点E作交于点．
根据作图可得垂直平分线段，
∴，
又 ∵，
，
∵，，
∴，
∴，
∴，
又，
，
，
，
，
，，
又，
，
，
，
．
故答案为：．
65．（2025·辽宁丹东·一模）如图，在中，，以点A为圆心，任意长为半径作弧，分别交于点M，N；分别以M，N为圆心，大于长为半径作弧，两弧交于点P，作射线交于点，作于点；以点为圆心，长为半径作弧，以点为圆心，长为半径作弧，两弧在AC右侧交于点E，连接，若，，则的长为 ．（用含m的式子表示）
【答案】
【分析】本题考查了等腰三角形的性质、相似三角形的性质和判定，解三角形、尺规作图，等知识点，连接，由作法可证明，，，设，可得，，再证明，可得，即可求出，，由即可解题．
【详解】解：如图，连接，
由作法可知：是的角平分线，，，
∵，
∴，，，
∴，
∴，
设，则，
，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，即：，
∴，
∴，
∴
故答案为．
66．（2025·辽宁鞍山·模拟预测）如图，在中，，，以点为圆心，适当长为半径作弧，分别交，于点，，再分别以点，为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于点，作射线，点是射线上一点，连接，．若，则 ．
【答案】/度
【分析】本题考查作图——基本作图，角平分线的判定和性质，三角形内角和定理，三角形的外角性质，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
延长到，延长到；过点作于点，于点，于点，根据题和尺规作角平分线的方法可得平分，根据角平分线的性质可得，根据三角形的外角性质和三角形的内角和定理求出，，求得，推得，根据角平分线的性质可得，根据角平分线的判定推得平分，即可求解．
【详解】解：延长到，延长到；过点作于点，于点，于点，如图，
由作图可知平分，
，
，，
，
在中，，
在中，，
，
，
，，
，
，
平分，
，
．
故答案为：．
67．（2025·辽宁沈阳·模拟预测）如图，中，，以C为圆心，在CD上截取CF，使得，连接；以点A为圆心，适当长为半径作弧，分别与，相交于点M，N，再分别以点M，N为圆心，大于长为半径作弧，两弧在的内部相交于点H，射线与交于点E，与交于点G，若，，则的面积为 ．
【答案】/
【分析】过B作于P，连接，由作图知：，根据平行四边形的性质，等角对等边等知识可得出，进而求出，，证明，求出，根据平行线的性质，等边对等角并结合已知可证明，根据勾股定理求出，根据等积法求出，即可求解．
【详解】解：过B作于P，连接，
由作图知：，
在中，，，，
∴，
∴，
∴，
又，
∴，
∵，
∴，，
∵，
∴，
∴，即，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查了尺规作图—作角平分线，平行四边形的性质，等腰三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理等知识，明确题意，添加合适辅助线，构造相似三角形是解题的关键．
68．（2025·辽宁阜新·一模）如图，在矩形ABCD中，AB=1，AD=3．①以点A为圆心，以不大于AB长为半径作弧，分别交边AD，AB于点E，F，再分别以点E，F为圆心，以大于EF长为半径作弧，两弧交于点P，作射线AP分别交BD，BC于点O，Q；②分别以点C，Q为圆心，以大于CQ长为半径作弧，两弧交于点M，N，作直线MN交AP于点G，则OG长为 ．
【答案】
【分析】根据矩形的性质可得，，，再根据作图过程可知平分，是的垂直平分线，再证，利用相似三角形的性质求得，再根据垂直平分线的性质证得是等腰直角三角形求得，最后利用即可求解．
【详解】解：∵四边形是矩形，
∴，，，
根据作图过程可知平分，是的垂直平分线，
∴，
∴，
∴，CQ=BC-BQ=2，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
如图，设的垂直平分线交于点，交CQ于点R，
∴，GH⊥CQ，，
∴是等腰直角三角形，且四边形CDHR是矩形，
∴，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了作图—复杂作图，相似三角形的判定和性质，勾股定理，角平分线的性质，线段垂直平分线的性质，矩形的性质，综合运用所学知识是解题的关键．
69．（2024·辽宁·模拟预测）如图，为的对角线，分别以，为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于两点，过这两点的直线分别交，于点，，交于点，连接，．若，，则平行四边形的面积为（ ）

A．16 B．24 C．32 D．64
【答案】A
【分析】本题考查平行四边形的性质，菱形的判定等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识．本题先求证四边形为菱形，从而得到，再由平行线间的距离相等，面积比等于底边比得，求出，，从而问题即可求解．
【详解】解：由作图知，是线段的垂直平分线，
∴，，，
∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴四边形为菱形，
∵，，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵四边形是平行四边形，
∴．
故选：A．
70．（2024·辽宁鞍山·模拟预测）如图，已知是一个锐角，以点为圆心，任意长为半径画弧，分别交，于点A，，再分别以点A，为圆心，大于长为半径画弧，两弧交于点，画射线．过点A作，交射线于点，过点作，交于点．设，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】如图，连接，过点作于．首先证明四边形是菱形，解直角三角形求出即可解决问题．
【详解】解：如图，连接，过点作于．
由作图可知，，，
∵，
，
，
，
，，
四边形是菱形，
，，
，，
，
，，
，
，
，
，
，
，
．
故选：B．
【点睛】本题考查作图复杂作图，平行线的性质，角平分线的定义，菱形的判定和性质，解直角三角形等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题．
71．（2024·辽宁辽阳·一模）如图，按如下步骤作图：（1）以点为圆心，以适当长为半径画弧，交于点，交于点；（2）分别以，为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧在的内部相交于点；（3）作射线交于点；（4）分别以，为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧相交于，两点；（5）作直线，分别交，于点，，依据以上作图，若，，，则的长是（ ）
A．2 B．3 C． D．
【答案】D
【分析】根据作法得平分，垂直平分，所以，，，再证明四边形为菱形得到，然后利用平行线分线段成比例定理计算的长．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．
【详解】解：由作法得平分，垂直平分，
∴，，，
∵，
∴，
∴，
∴，
同理可得，
∴四边形为平行四边形，
而，
∴四边形为菱形，
∴，
∵，
∴，即，
∴，
故选D．
【点睛】本题考查了作图 复杂作图、角平分线的性质和垂直平分线的性质、菱形的判定及性质、平行线分线段成比例定理，证明四边形为菱形是解答本题的关键．
72．（2024·辽宁·模拟预测）如图，已知在中，边的垂直平分线交于点E，再以点B为圆心，任意长为半径画弧交，于点M，N，再分别以M，N为圆心，大于长为半径画弧交于点P，作射线恰好交于点．若，，的面积为9，则的面积为（ ）
A．9 B．12 C．30 D．27
【答案】C
【分析】此题考查了角平分线和垂直平分线的尺规作图和性质，解题的关键是熟练掌握角平分线和垂直平分线的尺规作图和性质．
过点E作于点G，根据题意得到，然后根据垂直平分线的性质得到，，然后利用的面积为9求出，进而利用代数求解即可．
【详解】解：过点E作于点G，
由作图可知，射线为的平分线，
，
直线为线段的垂直平分线，
，，
的面积为9，
，，
，
，
，
故选：C．
73．（2024·辽宁大连·一模）矩形中，，，点为上一点，连接，以点为圆心长为半径作弧与以点为圆心长为半径所作的弧交于另一点，射线交于点，当四边形的面积等于矩形面积的一半时，的长度等于 ．
【答案】1或3
【分析】过点E作交于点H，首先求出矩形面积，然后根据题意得到，求出，然后证明出，得到，然后证明出四边形是矩形，设，则，，然后在中利用勾股定理求解即可．
【详解】如图所示，过点E作交于点H，
∵矩形中，，，
∴矩形面积，
∵四边形的面积等于矩形面积的一半，
∴
∴，即
∵
∴
∵根据题意得，，，
∴
∴
∴
∴
∵
∴四边形是矩形
∴设，
∴，，
∴在中，
∴
整理得，
解得，
∴的长度等于1或3．
故答案为：1或3．
【点睛】此题考查了矩形的性质和判定，勾股定理，全等三角形的性质和判定，解一元二次方程等知识，解题的关键是熟练掌握以上知识点．
74．（2024·辽宁大连·一模）如图，在中，以A、B为圆心，、长为半径分别作弧交于点，连接、，在上截取点M，以点为圆心，长为半径作弧交于点N，以大于的长分别以点M、N为圆心作弧交于一点，点与这点连线的直线交于点P，交于I．若，，则的长为（ ）
A． B． C． D．10
【答案】B
【分析】通过作图痕迹推导出，为等腰三角形，为角平分线；通过三角形全等，证明，结合角平分线的性质，可得；在中用勾股定理，计算出；再由，推出，得出和的比，最后结合的长度得出的长度．
【详解】延长交于点O，作交的延长线于点H，
由题意可知，，，是的角平分线，
在和中
，
在和中
，，
又，
，
在中，，，
，
平分，过点I作交于K，
在和中
设为x，则，，
在中，，
即
可得，
即，
，
，，，，
，，
又，，
，
又，
，
不妨设，，，
，
，
．
故选：B．
【点睛】本题考查段已知线段及角平分线的作图，角平分线的性质，全等三角形的证明，勾股定理的应用，相似三角形的证明与应用，合理作出辅助线构造相似三角形是解题的关键．
动点轨迹图象问题
75．（2025·辽宁抚顺·一模）如图，在等边三角形中，，当直角三角板的角的顶点在上移动时，斜边始终经过边的中点，设直角三角板的另一直角边与相交于点，设，，么与之间的函数图象大致是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了动点函数问题、相似三角形的判定与性质、等边三角形的性质，由等边三角形的性质可得，，，证明，得出，由此即可得．
【详解】解：∵为等边三角形，，，为的中点，
∴，，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，即，
∴，
故选：B．
76．（2025·辽宁沈阳·一模）如图1，动点从菱形的顶点出发，沿边匀速运动，运动到顶点时停止．设点的运动路程为，的长为，与的函数图像如图2所示，则菱形的边长为（　　）
A． B．4 C． D．2
【答案】A
【分析】本题主要考查了函数图像、菱形的性质、勾股定理等知识，通过函数图像获得所需信息是解题关键．首先根据函数图像可知，当时，，当点运动到点时，，再由菱形的性质可得，然后由勾股定理解得的值，即可获得答案．
【详解】解：由函数图像可知，当时，，
当点运动到点时，，
∵四边形为菱形，
∴，
∴，
即菱形的边长为．
故选：A．
77．（2025·辽宁丹东·模拟预测）如图，中，，点在折线上运动，过点作的垂线，垂足为，设，，则关于的函数图象大致是（ ）
A． B．C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了动点与面积的关系，相似三角形的判定和性质，二次函数图象的性质，掌握动点运用的规律，相似三角形的判定和性质得到的值，正确计算三角形的面积，确定函数关系式，结合图形分析是解题的关键．
运用勾股定理，等面积法得到边上的高，根据点在折线上运动，分类讨论：当点在上时，，即；当点在上时，如图所示，，即；运用相似三角形的判定和性质可得的值，由三角形面积的公式可得关于的函数解析式，结合二次函数图象的性质判定即可求解；
【详解】解：在中，，
∴，
如图所示，过点作于点，
∵，
∴，
∴在中，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴当点在上时，，即，，
∴，
∴图形是二次函数图象的一部分，开口向上，故A、B选项符合题意，C、D选项不符合题意；
当点在上时，如图所示，，即，
∵，
∴，且，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴图形是二次函数图象的一部分，开口向下，故A选项符合题意，B选项不符合题意；
故选：A ．
78．（2025·辽宁沈阳·一模）如图1，在中，动点P从点A出发沿折线方向匀速运动至点A停止，设点P的运动路程为x，线段的长度为y，图2是表示y与x的函数关系的图象，其中点E为曲线的最低点，下列结论①，②，③的面积为，④中边上的高为4，其中正确的个数为（ ）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【分析】根据图象得到，过点A作于点Q，当点P与Q重合时，在图2中F点表示当时，点P到达点Q，此时当P在上运动时，最小，，勾股定理求出，即可得到的面积及边上的高，再根据勾股定理求出，由此判断各选项
【详解】解：由图2可知，当时点P在上运动，线段的长度为8，即；
如图，过点A作于点Q，当点P与Q重合时，在图2中F点表示当时，点P到达点Q，此时当P在上运动时，最小，

∴，
在中，
∴
∵，
∴，故③正确，④错误；
∵，
∴，故①正确；
∵，
∴，
∴，
∴，故②正确；
故选：C
【点睛】本题考查了动点问题的函数图象，勾股定理，三角函数，从函数图象获取信息是解题的关键．
79．（2024·辽宁营口·二模）如图1，点从等腰直角三角形的顶点出发，沿直线运动到三角形内部一点，再从该点沿直线运动到的中点．设点运动的路程为的面积为，图2是点运动时随变化的关系图象，则的长为（ ）
A．1 B．2 C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了动点问题的函数图象．由图象知，时，的面积为，当点在（）上运动时，的面积不变，为，当点位于点时，此时为等腰直角三角形，据此，利用的面积，求解即可．
【详解】解：由图象知，当点在点，即时，的面积为，
当点运动到点，此时时，的面积为，
而在运动到的过程中，的面积不变，为，
如图，当点在（）上运动时，的面积不变，为，
∴当点位于点时，此时为等腰直角三角形，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵的面积，即，
∴，
∴，
故选：B．
80．（2024·辽宁鞍山·模拟预测）如图①，在菱形中，，点E是的中点，点P是对角线上一动点，设的长度为x，与的长度之和为y，图②是y关于x的函数图象，则图象上最低点H的坐标为 ．
【答案】/
【分析】根据可得图象上最低点即为求出当最小时的的值，利用对称性求解即可．
【详解】解：图象上最低点表示的意义为最小，
∵菱形，
∴关于对称，
∴连接交于，此时最小，最小值为长度，

∵即点P与点C重合时，，
∴，
∵点是的中点，
∴．
连接．
∵菱形，，
∴，，，
∴是等边三角形，
∵点E是的中点，
∴，，，
∴，即．
∵，
∴，即，
∴图象上最低点H的坐标为，
故答案为：．
【点睛】本题考查了菱形得性质、动点问题的函数图象、等边三角形的判定与性质、含30度角的直角三角形的性质、勾股定理等知识，解直角三角形，正确作出辅助线是解题关键．
81．（2024·辽宁·模拟预测）如图，在矩形 中，，E 是线段上的一个动点，连接，将线段 绕点 E 逆时针旋转得到线段 ．连接并延长交边 于点G．设，当时，y 与x 之间的函数解析式为 ．

【答案】
【分析】本题是几何变换综合题，考查了旋转的性质，相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定和性质，矩形的性质等知识，熟练掌握旋转的性质及相似三角形的判定和性质是解题的关键．
过点F作于点M．根据矩形的性质和旋转的性质证明，得出，．再证明，根据相似三角形的性质得出，，从而得出．
【详解】解：如图，过点F作于点M．
．
四边形是矩形，
．
．
由旋转的性质，得．
．
，
，
又，
，
．
，
．
，
，
，
，即，
，
．
．
故答案为：．

82．（2024·辽宁大连·一模）如图，△ACD中，B是边上一点，且，，E是上一点，且，若，，，则y与x的函数关系式为 ．
【答案】
【分析】本题主要考查了相似三角形的判定和性质、等腰三角形的性质、三角形的内角和定理及平行线的判定，解本题的关键是作出辅助线构造相似三角形．作辅助线，构建相似三角形，由题意，，，，再证明，通过列比例式结合平行线分线段成比例定理可得解．
【详解】解：如图，过点A作于P，作交的延长线于G，
∴．
由题意，得，，，
∵，，
∴．
∴，
∴．
∴．
∵，，
∴，
∴．
∴．
∵，
∴．
∴．
∴．
故答案为：．中小学教育资源及组卷应用平台
2025年中考提优：几何综合选填压轴必刷训练题
翻折综合问题
1．（2025·辽宁大连·一模）如图，点在矩形的边上，将矩形沿翻折，点恰好落在边的点处，如果，，则的长为（ ）
A． B． C． D．
2．（2025·辽宁本溪·模拟预测）如图，在矩形中，，，点E为边上的一个动点，将沿折叠得到，连接，，当为直角三角形时，则的长为 ．
3．（2025·辽宁丹东·模拟预测）如图，在矩形纸片中，，为边的中点，点在边上，连接，将沿翻折，点的对应点为，连接．若，则 ．
4．（2024·辽宁鞍山·三模）如图，菱形中，，E是边中点，连接，把四边形沿翻折，A，B的对应点分别为F，G，的延长线交于点M，连接，，．下列结论：
①；②；③；④．其中正确的个数为（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
5．（2024·辽宁沈阳·模拟预测）如图，矩形中，，，是边上一点，且，是边上一动点，作，交边于点，将沿着所在直线折叠，点的对应点恰好落在边上，则的长为 ．
6．（2024·辽宁营口·模拟预测）如图， 在菱形纸片中， 点E在边上，将纸片沿折叠， 点B落在处，， 垂足为F 若， 则
7．（2024·辽宁沈阳·模拟预测）如图，在矩形中，，，为边的中点，连接，，点，分别是，边上的两个动点，连接，将沿折叠，使点的对应点恰好落在边上，若是以为腰的等腰三角形，则的长为 ．
8．（2024·辽宁·模拟预测）如图，在菱形中，，，P，Q分别为线段上的动点，连接，把沿所在直线翻折，使点D的对应点E恰好落在线段或线段上，若的面积为，则的长为 ．
9．（2024·辽宁沈阳·模拟预测）如图，在菱形中，， 点为直线上方一点，且，分别作点关于直线AB和直线AD的对称点，，连接当与菱形的边平行时，的面积为 ．
10．（2024·辽宁鞍山·模拟预测）如图，矩形纸片，点E在线段上，将沿向上翻折，点C的对应点落在线段上，点M，N分别是线段与线段上的点，将四边形沿向上翻折，点B恰好落在线段的中点处．则线段的长 ．
11．（2024·辽宁营口·二模）如图，将矩形纸片折叠，折痕为，点分别在边上，点的对应点分别在．且点在矩形内部，的延长线交边于点，交边于点．，，当点为三等分点时，的长为 ．
12．（2024·辽宁丹东·二模）如图所示、四边形为正方形，，点E为边中点，点F在边上，连接，将图形沿翻折，点A对应点为点，当时，则的长是 ．
13．（2024·辽宁·一模）如图，正方形中，，点是对角线上一点，连接，过点作，交于点，连接，交于点，将沿翻折，得到，连接，交于点，若点为上的三等分点，则线段的长是 ．
14．（2023·辽宁葫芦岛·二模）如图，在中，，，，点是的中点，点是斜边上一动点，沿所在直线把翻折到的位置，交于点，若为直角三角形，则的长为 ．

15．（2024·辽宁大连·一模）如图，在矩形中，．将矩形沿折叠，使点A落在边上的E处，得到四边形，连接，，若,，则 ．

16．（2024·辽宁抚顺·三模）如图，在中，，，，点D为边上一点（不与A，B重合），点E为的中点，将沿翻折，得到，连接，当以点D，E，B，F为顶点的四边形为平行四边形时，的长为 ．

17．（2024·辽宁丹东·二模）矩形中，对角线，交于点，，，点为边中点，动点从点出发，沿的方向在边，上以每秒1个单位的速度运动，设运动时间为秒，将矩形沿折叠，点的对应点为，当点落在矩形对角线上时（不与矩形顶点重合），则的值为 秒．
旋转综合问题
18．（2025·辽宁沈阳·模拟预测）如图1，在等腰直角中，，点是中点，在中，，，，将与重合，如图2，再将绕点顺时针旋转，与相交于点，与相交于点，若，则的长是 ．
19．（2024·辽宁抚顺·二模）如图，为等边三角形，D为平面内一点，连接，将绕点D顺时针旋转，得到线段，连，．当，，时， ．
20．（2024·辽宁·模拟预测）如图，在中，，，，D，E分别是边，的中点，连接．将绕点D顺时针旋转（）得到，点A，E的对应点分别为G、F，与交于点P．当直线与的一边平行时，的长为 ．
21．（2024·辽宁丹东·模拟预测）如图，点E为正方形边上一点，连接，将绕点A逆时针方向旋转得到，点B对应点为F，点E对应点为G，交于点H，连接．下列结论：①；②；③当点E与点C重合时；④当点G落在边上时，；⑤当最短时，，其中正确的是 （填写序号）．
22．（2024·辽宁朝阳·三模）如图，点D是等边边上一动点，线段绕点C顺时针旋转得到线段，连接，连接并延长交与点E，若，，则的长是 ．

23．（2024·辽宁抚顺·三模）如图，在中，，，点是斜边边上一点，连接，将线段绕点顺时针旋转，得到线段，连接线段，点为线段的中点，连接，若，，则线段的长为 ．
24．（2024·辽宁盘锦·一模）如图，，，，，点D为的中点，点E在的延长线上，将绕点D顺时针旋转度得到，当是直角三角形时，的长为 ．
25．（2024·辽宁盘锦·一模）如图，直线，点C在直线上（不与点B重合），连接，将线段绕点C顺时针旋转，得到线段，连接，点E是的中点，连接，且，当是等腰三角形时， ．
26．（2024·辽宁辽阳·一模）如图，边长为4的正方形，点是边上的一点，连接，将射线绕点逆时针旋转交的延长线于点，连接，取中点，连接，若，则的长为 ．
27．（2024·辽宁·一模）如图，在中，，，点D为的中点，点P是边上一点，且．将绕点C在平面内旋转，点P的对应点为点Q，连接，．当时，的长为 ．
28．（2025·辽宁沈阳·一模）如图，在平面直角坐标系中，已知点，为等边三角形，M是x轴负半轴上的一个动点（不与原点O重合），线段绕M点顺时针旋转得到，连接，则下列结论正确的是 ．
①点B的坐标是；
②始终是等边三角形；
③在点M运动过程中，的大小可能是；
④连接，当时，的长是．
线段的值与比值问题
29．（2025·辽宁沈阳·一模）如图，为等腰三角形，，，以为斜边作Rt△ADB，，，连接，交于点E，则 ．
30．（2025·辽宁·一模）如图，在矩形中，，，点E在上，点F在对角线所在的直线上，，直线与直线交于点G，直线与直线交于点H，若，则的长为 ．
31．（2025·辽宁阜新·一模）如图，边长为3的正方形中，M为对角线上的一点，连接并延长交于点P．若，则的长为 ．
32．（2024·辽宁大连·二模）如图，在正方形中，点是对角线上一点，连接，过点作交的延长线于点，连接．若，，则的长为（ ）
A． B． C．4 D．3.5
33．（2024·辽宁盘锦·三模）如图，在中，，，点D在上，且，点E是上的动点，连接，点F，G分别是和的中点，连接，，当时，线段的长为 ．
34．（2024·辽宁铁岭·一模）如图，正方形中，，点P为射线上任意一点（与点B、C不重合），连接，在的右侧作正方形，连接．交射线于E．当长为1时，的长为 ．
35．（2024·辽宁沈阳·零模）如图，在中，，，，以为边作矩形（点，，，按逆时针方向排列），，和的延长线相交于点，点从点出发沿向点运动，到达点时停止．点在线段上运动，且始终满足，连接，，．当的面积为时，的长是 ．
36．（2024·辽宁·模拟预测）如图，在中，，，，D为边上一点，，E为边上一动点，连接，以为边并在的右侧作等边，连接，若，则的长为 ．

37．（2024·辽宁鞍山·模拟预测）如图，在中，，，，点为边上一动点，点为边上一动点，，当是等腰三角形时，的长为 ．
38．（2024·辽宁抚顺·三模）如图，点E是正方形对角线所在直线上一点，点F在的延长线上，连接，过点E作交的延长线于点G，连接并延长交的延长线于点P．若，，当时，则线段的长是 ．
39．（2024·辽宁鞍山·三模）如图，正方形和正方形的边长分别为7和3，点E，G分别在边，上，点H在，两边上运动，连接，，当为等腰三角形时， ．

40．（2024·辽宁鞍山·模拟预测）如图，在中，，，，，分别为边，上的动点，且，作，垂足为，连接．当是直角三角形时，的长为 ．

41．（2022·辽宁本溪·一模）如图，正方形中，点是边上一点，连接，以为对角线作正方形，边与正方形的对角线相交于点，连接，若，则 ．
42．（2024·辽宁大连·一模）如图，中，，，点D、E、F分别在线段、、上，且，，则（ ）

A． B． C． D．
43．（2024·辽宁大连·三模）如图，在正方形中，点为上靠近点的三等分点，点为的中点，以为直角边，点为直角顶点向右构造等腰，连接、，则的值为 ．
最值问题
44．（2025·辽宁沈阳·一模）如图，在中，．按以下步骤作图：①以点C为圆心，适当长为半径画弧，分别交，于点N，M；②分别以M，N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在内交于点G；③作射线．若，D为边的中点，E为射线上一动点，则的最小值为（ ）
A．3 B． C． D．5
45．（2025·辽宁沈阳·模拟预测）点A为矩形的边延长线上一点，，，点F为边上的动点，连接，过点F作，垂足为G，点H是点A关于点D的对称点，则的最小值为 ．
46．（2025·辽宁沈阳·模拟预测）如图，在四边形中，，点分别在线段和上运动，并且满足，取的中点，点是线段上一点，连接和，则的最小值为 ．
47．（2025·辽宁沈阳·模拟预测）如图，在中，，，动点P在内，且使得的面积为3，点Q为动点，则的最小值为 ．
48．（2024·辽宁·模拟预测）如图，在矩形 中，，．若E 是边上的一个动点，过点E 作，交对角线于点O，交直线 于点 F，在点 E 移动的过程中，的最小值为（ ）
A．8 B． C．10 D．
49．（2024·辽宁抚顺·三模）如图，在矩形中，，，是边上一动点，是对角线上一动点，且，则的最小值为（ ）
A．3 B． C．4 D．
50．（2024·辽宁葫芦岛·二模）在中，，，，点D，E在，边上，且，则的最小值是 ．
51．（2024·辽宁盘锦·三模）如图，在中，，，，按下列步骤作图：
①在和上分别截取、，使．
②分别以点和点为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧在内交于点．
③作射线交于点F．
若点是线段上的一个动点，连接，则的最小值是（ ）
A． B． C． D．2
52．（2024·辽宁·模拟预测）如图，在中，，E是直角边的中点，F是直角边上的一个动点，将沿所在直线折叠，得到，D是斜边的中点，若，，则的最小值为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
53．（2024·辽宁葫芦岛·一模）如图，边长为7的正方形中，点E、G分别在射线、上，在边上，与交于点，，，，则的最小值为 ．
54．（2024·辽宁大连·一模）如图，在边长为2的正方形中，点E在正方形内部且．连接，以、为边构造，连接，则线段的最小值为 ．
55．（2024·辽宁大连·三模）如图，在等边中，点D在平面内，，，则的最大值为（ ）

A．4 B．5 C．6 D．7
56．（2024·辽宁大连·一模）如图，在中，，点在上，且，点是边上的一个动点，连接．将绕点顺时针旋转得到，点的对应点是点．若，，则点，之间的距离的最小值是 ．
57．（2024·辽宁葫芦岛·二模）如图，在中，，，是延长线上的一点，．是边上的一点（点与点、不重合），以、为邻边作．连接并取的中点，连接，则的最小值是 ．

58．（2024·辽宁·模拟预测）如图，在正方形中，，，点F在上运动（不与点A，D重合），过点F作交于点G，则的最大值为（ ）
A．3 B． C．5 D．
59．（2025·辽宁抚顺·一模）如图，在正方形中，，E为对角线上一动点，F为射线上一点．若，则面积的最大值为 ．
60．（2024·辽宁大连·一模）中，，，，将绕点旋转得到，连接、，在旋转过程中，面积的最大值是（ ）
A． B． C． D．
含尺规作图类问题
61．（2025·辽宁丹东·模拟预测）如图，在中，按以下步骤作图：①分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于，两点，作直线和交于点；②以点A为圆心，长为半径画弧，交于点：③分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点，连接，和交于点，连接．若，，则的长为（ ）
A．2 B． C．4 D．
62．（2025·辽宁·一模）如图，在中，，以点C为圆心，适当长为半径作弧，分别交、于点E，F，再分别以点E，F为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点G，作射线交于点D，过点D作交于点H．若，则 （用含a的代数式表示）．
63．（2025·辽宁沈阳·模拟预测）如图，在边长为2的正方形中，以点为圆心，以长为半径作弧，交对角线于点，分别以点，为圆心，以大于长为半径作弧，两弧交于点，作射线交边于点，则的长为 ．
64．（2025·辽宁铁岭·一模）如图，在中，，分别以点A，B为圆心，大于的长为半径画弧，两弧分别交于点M和N，作直线交于点E，作于点D，连接，交于点F，若，，则的长为 ．
65．（2025·辽宁丹东·一模）如图，在中，，以点A为圆心，任意长为半径作弧，分别交于点M，N；分别以M，N为圆心，大于长为半径作弧，两弧交于点P，作射线交于点，作于点；以点为圆心，长为半径作弧，以点为圆心，长为半径作弧，两弧在AC右侧交于点E，连接，若，，则的长为 ．（用含m的式子表示）
66．（2025·辽宁鞍山·模拟预测）如图，在中，，，以点为圆心，适当长为半径作弧，分别交，于点，，再分别以点，为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于点，作射线，点是射线上一点，连接，．若，则 ．
67．（2025·辽宁沈阳·模拟预测）如图，中，，以C为圆心，在CD上截取CF，使得，连接；以点A为圆心，适当长为半径作弧，分别与，相交于点M，N，再分别以点M，N为圆心，大于长为半径作弧，两弧在的内部相交于点H，射线与交于点E，与交于点G，若，，则的面积为 ．
68．（2025·辽宁阜新·一模）如图，在矩形ABCD中，AB=1，AD=3．①以点A为圆心，以不大于AB长为半径作弧，分别交边AD，AB于点E，F，再分别以点E，F为圆心，以大于EF长为半径作弧，两弧交于点P，作射线AP分别交BD，BC于点O，Q；②分别以点C，Q为圆心，以大于CQ长为半径作弧，两弧交于点M，N，作直线MN交AP于点G，则OG长为 ．
69．（2024·辽宁·模拟预测）如图，为的对角线，分别以，为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于两点，过这两点的直线分别交，于点，，交于点，连接，．若，，则平行四边形的面积为（ ）

A．16 B．24 C．32 D．64
70．（2024·辽宁鞍山·模拟预测）如图，已知是一个锐角，以点为圆心，任意长为半径画弧，分别交，于点A，，再分别以点A，为圆心，大于长为半径画弧，两弧交于点，画射线．过点A作，交射线于点，过点作，交于点．设，，则（ ）
A． B． C． D．
71．（2024·辽宁辽阳·一模）如图，按如下步骤作图：（1）以点为圆心，以适当长为半径画弧，交于点，交于点；（2）分别以，为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧在的内部相交于点；（3）作射线交于点；（4）分别以，为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧相交于，两点；（5）作直线，分别交，于点，，依据以上作图，若，，，则的长是（ ）
A．2 B．3 C． D．
72．（2024·辽宁·模拟预测）如图，已知在中，边的垂直平分线交于点E，再以点B为圆心，任意长为半径画弧交，于点M，N，再分别以M，N为圆心，大于长为半径画弧交于点P，作射线恰好交于点．若，，的面积为9，则的面积为（ ）
A．9 B．12 C．30 D．27
73．（2024·辽宁大连·一模）矩形中，，，点为上一点，连接，以点为圆心长为半径作弧与以点为圆心长为半径所作的弧交于另一点，射线交于点，当四边形的面积等于矩形面积的一半时，的长度等于 ．
74．（2024·辽宁大连·一模）如图，在中，以A、B为圆心，、长为半径分别作弧交于点，连接、，在上截取点M，以点为圆心，长为半径作弧交于点N，以大于的长分别以点M、N为圆心作弧交于一点，点与这点连线的直线交于点P，交于I．若，，则的长为（ ）
A． B． C． D．10
动点轨迹图象问题
75．（2025·辽宁抚顺·一模）如图，在等边三角形中，，当直角三角板的角的顶点在上移动时，斜边始终经过边的中点，设直角三角板的另一直角边与相交于点，设，，么与之间的函数图象大致是（　　）
A． B．
C． D．
76．（2025·辽宁沈阳·一模）如图1，动点从菱形的顶点出发，沿边匀速运动，运动到顶点时停止．设点的运动路程为，的长为，与的函数图像如图2所示，则菱形的边长为（　　）
A． B．4 C． D．2
77．（2025·辽宁丹东·模拟预测）如图，中，，点在折线上运动，过点作的垂线，垂足为，设，，则关于的函数图象大致是（ ）
A． B．C． D．
78．（2025·辽宁沈阳·一模）如图1，在中，动点P从点A出发沿折线方向匀速运动至点A停止，设点P的运动路程为x，线段的长度为y，图2是表示y与x的函数关系的图象，其中点E为曲线的最低点，下列结论①，②，③的面积为，④中边上的高为4，其中正确的个数为（ ）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
79．（2024·辽宁营口·二模）如图1，点从等腰直角三角形的顶点出发，沿直线运动到三角形内部一点，再从该点沿直线运动到的中点．设点运动的路程为的面积为，图2是点运动时随变化的关系图象，则的长为（ ）
A．1 B．2 C． D．
80．（2024·辽宁鞍山·模拟预测）如图①，在菱形中，，点E是的中点，点P是对角线上一动点，设的长度为x，与的长度之和为y，图②是y关于x的函数图象，则图象上最低点H的坐标为 ．
81．（2024·辽宁·模拟预测）如图，在矩形 中，，E 是线段上的一个动点，连接，将线段 绕点 E 逆时针旋转得到线段 ．连接并延长交边 于点G．设，当时，y 与x 之间的函数解析式为 ．

82．（2024·辽宁大连·一模）如图，△ACD中，B是边上一点，且，，E是上一点，且，若，，，则y与x的函数关系式为 ．

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