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5.8 正多边形和圆
１.了解正多边形和圆的有关概念；
２.理解并掌握正多边形半径和边长、边心距、中心角之间的关系
3.会应用多边形和圆的有关知识画多边形。
学习目标
正多边形
各边相等，各角也相等的多边形.
回顾旧知
菱形是正多边形吗？矩形是正多边形吗？
×
×
菱形的四个角不相等.
矩形的四条边不相等.
正多边形的性质
正n边形内角和：
180°(n－2)
思 考
正多边形内角和、外角和:
正n边形的内角和为 ;
外角和为 ;
每个内角为 .
(n-2)180°
360°
轴对称图形，一个正n边形共有n条对称轴，每条对称轴都通过n边形的中心.
正多边形的性质
正五边形
正八边形
正三边形
边数是偶数的正多边形是中心对称图形，它的中心就是对称中心.
正八边形
正六边形
正多边形的性质
思考: 把一个圆5等分, 并依次连接这些点, 得到正多边形吗
证明：∵AB=BC=CD=DE=EA
A
B
C
D
E
⌒
⌒
⌒
⌒
⌒
∴AB=BC=CD=DE=EA
∵BCE=CDA=EAB
⌒
∴∠A=∠B
同理∠B=∠C=∠D=∠E
∴∠A=∠B=∠C=∠D=∠E
又∵顶点A、B、C、D、E都在⊙O上
∴五边形ABCDE是⊙O的 内接正五边形.
定义：把圆分成n（n≥3）等份：
依次连结各分点所得的多边形是这个圆
的内接正多边形.
这个圆是这个正多边形的外接圆，正n边形的各顶点n等分其外接圆.
概念
把圆分成n（n≥3）等份, 依次连结各分点所得的多边形是这个圆的内接正多边形.
相关概念：如图，一个正六边形和它的外接圆：
O
A
B
C
D
E
F
1、一个正多边形的外接圆的圆心叫做正多边形的中心。
2、外接圆的半径叫
做正多边形的半径。
O
A
B
C
D
E
F
3、正多边形每一边所对的圆心角叫做正多边形的中心角。
正n边形的中心角：
O
A
B
C
D
E
F
4、正多边形的中心到一条边的距离叫做正多边形的边心距。
O
A
B
C
D
E
F
O
C
D
A
B
M
半径R
圆心角
弦心距r
圆心
类比学习
圆内接正多边形
外接圆的圆心
正多边形的中心
外接圆的半径
正多边形的半径
每一条边所对的圆心角
正多边形的中心角
弦心距
正多边形的边心距
中心角
A
B
C
D
E
F
O
半径R
边心距r
中心
M
归纳总结
F
A
D
E
.
.
O
B
C
r
R
P
典型例题
例1-1 如图,在圆内接正六边形ABCDEF中,半径OC=4,OG⊥BC，垂足为G，求这个正六边形的中心角、边长和边心距.
(1)如图,连接AC,BE,CE,则BE=______,
∠BAC=______,∠BEC=_____,AC=______.
(2)过点D作⊙O的切线MN,则∠MDE=___.
(4)若△BCE的面积为8,则六边形ABCDEF的面积为_____.
(3)若边心距OG=4,求正六边形的的边长和半径
F
A
D
E
.
B
C
·
A
B
C
O
例1-2 如图,在圆内接正三角形ABC中,半径为5，求正三角形的中心角,边心距,面积。
·
A
B
C
O
D
例1-3如图,在圆内接正方形ABCD中,半径为5.求正方形的中心角,边心距,面积。
1. 已知圆内接正方形的面积为8，求圆内接正六边形的面积。
O
A
B
C
D
E
F
巩固练习
2. 同圆的内接正三角形、正四边形、正六边形的边长之比为 。
3. 正六边形的边长为3,则它的外接圆和内切圆所围成的圆环面积为 .
巩固练习
拓展探究
如图,M,N分别是⊙O内接正多边形AB,BC上的点,且BM=CN.
(1)求图①中∠MON=________;
图②中∠MON= ;
图③中∠MON= ;
(2)试探究∠MON的度数与正n边形的边数n的关系.
A
B
C
D
E
A
B
C
D
.
A
B
C
M
N
M
N
M
N
O
O
O
图①
图②
图③
已知⊙O的半径为2cm，求作圆的内接正三角形
探究
量角器作图
120 °
A
O
C
B
①用量角器度量，使∠AOB=∠BOC=∠COA=120°．
②用量角器或30°角的三角板度量，使∠BAO=∠CAO=30°．
一题多解
你能用以上方法画出正四边形、正五边形、正六边形吗？
小练习
·
A
B
C
D
O
·
A
B
C
D
E
O
O
A
B
C
D
E
F
·
90°
72°
60°
探究——尺规作图
正方形
你能用尺规作出正四边形、正八边形吗？
·
A
B
C
D
O
作出已知⊙O的互相垂直的直径即得圆内接正方形，再过圆心作各边的垂线与⊙O相交，或作各中心角的角平分线与⊙O相交，即得圆接正八边形，照此方法依次可作正十六边形、正三十二边形、正六十四边形……

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